Уравнение отрезка. Прямая линия. Уравнение прямой. Что будем делать с полученным материалом

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

Аx + By + С = О, (1)

где А, В, С R и А 2 + В 2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой .

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

-уравнение в отрезках .

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M 1 (x 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) принадлежит l . Тогда

Аx 1 + Ву 1 + С = Ах 2 + Ву 2 + С, то есть A(x 1 -x 2) + В(у 1 -у 2) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x 1 -x 2 ,у 1 -у 2). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l .

Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда

А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .

Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l .

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l , ее направлящий вектор = (m,n) и точка M 0 (x 0 ,y 0) принадлежащая l . Тогда для произвольной точки M (x ,у ) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

Радиус-векторы соответственно точек M и M 0 , то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х ,у ), =(х 0 ,у 0), то

x = x 0 + mt ,

y = y 0 + nt

- параметрическое уравнение прямой .

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой .

Наконец, если на прямой l заданы две точки M 1 (х 1 ,у 1) и

M 2 (x 2 ,у 2), то вектор =(х 2 -х 1 ,y 2 -у 1) является направляющим вектором прямой l . Тогда

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки .

Взаимное расположение двух прямых .

Пусть прямые l 1 и l 2 заданы своими общими уравнениями

l 1: А 1 х + В 1 у + С 1 = 0, (1)

l 2: А 2 х + В 2 у + С 2 = 0.

Теорема . Пусть прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A 1 =λA 2 , В 1 =λB 2 ;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А 1 =λA 2 , B 1 =λB 2 , С 1 =λС 2 ;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А 1 =λA 2 , В 1 =λВ 2 , С 1 λС 2 .

Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l 1 и l 2 , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями

l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Уравнение:

A 1 x + B 1 y + С + λ (A 2 х + В 2 y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l 1 и l 2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l 1 и l 2 . своими общими уравненими; = (А 1 ,B 1), = (А 2 ,В 2) – нормальные векторы этих прямых; k 1 = tgα 1 , k 2 = tgα 2 – угловые коэффициенты; = (m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) – направляющие векторы. Тогда, прямые l 1 и l 2 параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либо k 1 =k 2 , либо .

Пусть теперь прямые l 1 и l 2 перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.

Если прямые l 1 и l 2 заданы соответственно уравнениями

l 1: у =k 1 x + b 1 ,

l 2: у =k 2 x + b 2 ,

то tgα 2 = tg(90º+α) = .

Отсюда следует, что

Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l 1 и l 2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l 1 и l 2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k 1 в k 2 соответственно. Тогда

Очевидно, что , то есть (х -х 0) + В(у -у 0) + C(z -z 0) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -Аx 0 - Ву 0 - Cz 0 . Получим

Ax + By + Сz + D = 0 (*)

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости .

Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

- уравнение плоскости в отрезках . Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

И подробно разберем особый вид уравнения прямой – . Начнем с вида уравнения прямой в отрезках и приведем пример. После этого остановимся на построении прямой линии, которая задана уравнением прямой в отрезках. В заключении покажем, как осуществляется переход от полного общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

Навигация по странице.

Уравнение прямой в отрезках – описание и пример.

Пусть на плоскости зафиксирована Oxy .

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях Ox и Oy , считая от начала координат.

Поясним этот момент. Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки и , так как и . А точки и как раз расположены на координатных осях Ox и Oy соответственно и удаленны от начала координат на a и b единиц. Знаки чисел a и b указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак «+» означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак «-» означает обратное.

Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат Oxy в зависимости от значений чисел a и b в уравнении прямой в отрезках.

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy . Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида , следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки и , после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

Приведем пример.

Пример.

Постройте прямую линию, заданную уравнением прямой в отрезках вида .

Решение.

По заданному уравнению прямой в отрезках видно, что прямая проходит через точки . Отмечаем их и соединяем прямой линией.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

При решении некоторых задач, связанных с прямой на плоскости, удобно работать с уравнением прямой в отрезках. Однако существуют другие виды уравнений, задающих прямую на плоскости. Поэтому приходится осуществлять переход от заданного уравнения прямой к уравнению этой прямой в отрезках.

В этом пункте мы покажем, как получить уравнение прямой в отрезках, если дано полное общее уравнение прямой .

Пусть нам известно полное общее уравнение прямой на плоскости . Так как А , В и С не равны нулю, то можно перенести число С в правую часть равенства, разделить обе части полученного равенства на –С , а коэффициенты при x и y отправить в знаменатели:
.

(В последнем переходе мы пользовались равенством ).

Так мы от общего уравнения прямой перешли к уравнению прямой в отрезках , где .

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy задана уравнением . Напишите уравнение этой прямой в отрезках.

Решение.

Перенесем одну вторую в правую часть заданного равенства: . Теперь разделим на обе части полученного равенства: . Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: . Так мы получили требуемое уравнение прямой в отрезках.

Ответ:

Если прямую определяет

Уравнение прямой в отрезках

Пусть дано общее уравнение прямой:

Уравнение прямой в отрезках, где - отрезки, которые отсекает прямая на соответствующих осях координат.

Построить прямую, заданную общим уравнением:

Из чего, можно построить уравнение этой прямой в отрезках:

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Утверждение 1.

Для того чтобы прямые и, заданные уравнениями:

Совпадали, необходимо и достаточно, чтобы:

Доказательство: и совпадают, их направляющие вектора и коллинеарны, т. е.:

Возьмем точку М 0 этим прямым, тогда:

Умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму в силу (2) получим:

Итак, формулы (2), (3) и (4) эквивалентны. Пусть выполняется (2), тогда уравнения системы (*) эквивалентны соответствующие прямые совпадают.

Утверждение 2.

Прямые и, заданные уравнениями (*) параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда:

Доказательство:

Пусть и не совпадают:

Несовместна, т. е., по теореме Кронекера-Капелли:

Это возможно лишь при условии:

Т. е., при выполнении условия (5).

При выполнении первого равенства (5), - невыполнение второго равенства дает несовместность системы (*) прямые параллельны и не совпадают.

Замечание 1.

Полярная система координат.

Зафиксируем на плоскости точку и назовем ее полюсом. Луч, исходящий из полюса, назовем полярной осью.

Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг т. против часовой стрелки будем считать положительным. Рассмотрим любую точку на заданной плоскости, обозначим через ее расстояние до полюса и назовем полярным радиусом. Угол, на который нужно повернуть полярную ось, чтобы она совпала с обозначим через и назовем полярным углом.

Определение 3.

Полярными координатами точки называется ее полярный радиус и полярный угол:

Замечание 2. в полюсе. Значение для точек, отличных от точки определено с точностью до слагаемого.

Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось - с положительной полуосью. Здесь. Тогда:

Что является связью между прямоугольной декартовой и полярной системами координат.

Уравнение лемнискаты Бернулли. Записать его в полярной системе координат.

Нормальное уравнение прямой на плоскости. Пусть полярная ось совпадает с, - ось, проходящая через начало координат. Пусть:

Пусть, тогда:

Условие (**) для того, чтобы точка:

Уравнение прямой в полярной системе координат.

Здесь - длина, проведенного от начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси.

Уравнение (7) можно переписать:

Нормальное уравнение прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

Xcosj + ysinj - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 .

Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = lА, В 1 = lВ. Если еще и С 1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Кривые второго порядка.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y 2 = 2px – уравнение параболы.

6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – уравнение окружности.

Окружность.

В окружности (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a 2 = b 2 + c 2 .

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения :

R 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex. Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

X = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Из канонического уравнения: , с учетом b 2 = c 2 – a 2:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 .

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 .

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у 2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c 2 = a 2 + b 2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Построим график этой гиперболы.

Задача — по заданным координатам конца отрезка построить прямую, проходящую через него.

Мы считаем, что отрезок невырожден, т.е. имеет длину больше нуля (иначе, понятно, через него проходит бесконечно много различных прямых).

Двумерный случай

Пусть дан отрезок , т.е. известны координаты его концов , , , .

Требуется построить уравнение прямой на плоскости , проходящей через этот отрезок, т.е. найти коэффициенты , , в уравнении прямой:

Заметим, что искомых троек , проходящих через заданный отрезок, бесконечно много : можно умножить все три коэффициента на произвольное ненулевое число и получить ту же самую прямую. Следовательно, наша задача — найти одну из таких троек.

Нетрудно убедиться (подстановкой этих выражений и координат точек и в уравнение прямой), что подходит следующий набор коэффициентов:

Целочисленный случай

Важным преимуществом такого способа построения прямой является то, что если координаты концов были целочисленными, то и полученные коэффициенты также будут целочисленными . В некоторых случаях это позволяет производить геометрические операции, вообще не прибегая к вещественным числам.

Однако есть и небольшой недостаток: для одной и той же прямой могут получаться разные тройки коэффициентов. Чтобы избежать этого, но не уходить от целочисленных коэффициентов, можно применить следующий приём, часто называемый нормированием . Найдём наибольший общий делитель чисел , , , поделим на него все три коэффициента, а затем произведём нормировку знака: если или , то умножим все три коэффициента на . В итоге мы придём к тому, что для одинаковых прямых будут получаться одинаковые тройки коэффициентов, что позволит легко проверять прямые на равенство.

Вещественнозначный случай

При работе с вещественными числами следует всегда помнить о погрешностях.

Коэффициенты и получаются у нас порядка исходных координат, коэффициент — уже порядка квадрата от них. Это уже может быть достаточно большими числами, а, например, при пересечении прямых они станут ещё больше, что может привести к большим ошибкам округления уже при исходных координатах порядка .

Поэтому при работе с вещественными числами желательно производить так называемую нормировку прямой: а именно, делать коэффициенты такими, чтобы . Для этого надо вычислить число :

и разделить все три коэффициента , , на него.

Тем самым, порядок коэффициентов и уже не будет зависеть от порядка входных координат, а коэффициент будет того же порядка, что и входные координаты. На практике это приводит к значительному улучшению точности вычислений.

Наконец, упомянем о сравнении прямых — ведь после такой нормировки для одной и той же прямой могут получаться только две тройки коэффициентов: с точностью до умножения на . Соответственно, если мы произведём дополнительную нормировку с учётом знака (если или , то умножать на ), то получающиеся коэффициенты будут уникальными.