Амплитудный спектр прямоугольного периодического импульса. Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности. Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

С выхода источника сообщений поступают сигналы, несущие информацию, а также тактовые, используемые для синхронизации работы передатчика и приемника системы передачи. Информационные сигналы имеют вид непериодической, а тактовые- периодическойпоследовательности импульсов.

Для правильной оценки возможности передачи таких импульсов по каналам связи определим их спектральный состав. Периодический сигнал в виде импульсов любой формы можно разложить в ряд Фурье согласно (7).

Для передачи по воздушным и кабельным линиям связи применяются сигналы различной формы. Выбор той или иной формы зависит от характера передаваемых сообщений, частотного спектра сигналов, частотных ивременных параметров сигналов. Большое применение в технике передачи дискретных сообщений получили сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам.

Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и

гармонических составляющих периодических прямоугольных импульсов (рисунок 4,а) длительностью и периодом. Поскольку сигнал является четной функцией времени, то в выражении (3) все четные гармонические составляющие обращаются в нуль (=0), а нечетные составляющие принимают значения:

(10)

Постоянная составляющая равна

(11)

Для сигнала 1:1 (телеграфные точки) рисунок 4а:

,
. (12)

Модули амплитуд спектральных составляющих последовательности прямоугольных импульсов с периодом
приведены на рис. 4,б. По оси абсцисс отложены основная частота повторения импульсов
() и частоты нечетных гармонических составляющих
,
и т.д. Огибающая спектра изменяется по закону.

При увеличении периода ,по сравнению с длительностью импульса,число гармонических составляющих в спектральном составе периодического сигнала увеличиваются. Например, для сигнала с периодом (рисунок 4,в)получаем, что постоянная составляющая равнаи

В полосе частот от нуля до частотырасполагается пять гармоническихсоставляющих (рисунок 4,г), в то время как прилишь одна.

При дальнейшем увеличении периода повторения импульсов число гармонических составляющих становится все больше и больше. В предельном случае когда
сигнал становится непериодической функцией времени, число его гармонических составляющих в полосе частот от нуля до частотыувеличивается до бесконечности; расположены они будут набесконечноблизких расстояниях по частоте;спектр непериодического сигналастановится непрерывным.

Рисунок 4

2.4 Спектр одиночного импульса

Задан одиночный видеоимпульс (рисунок 5):

Рисунок 5

Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Для этого мысленно дополним одиночный импульс такими же импульсами, периодически следующими через некоторый интервал времени , и получим изученную ранее периодическую последовательность:

Представим одиночный импульс как сумму периодических импульсов с большим периодом .

, (14)

где - целые числа.

Для периодического колебания

. (15)

Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим к бесконечности период повторения: . При этом, очевидно:

, (16)

Обозначим

. (17)

Величиной называется спектральная характеристика (функция) одиночного импульса (прямое преобразование Фурье). Она зависит только от временного описания импульсаи в общем виде является комплексной:

, (18) где
; (19)

; (20)

где
- модуль спектральной функции (амплитудно-частотная характеристика импульса);

- фазовый угол, фазо-частотная характеристика импульса.

Найдем для одиночного импульса по формуле (8), используя спектральную функцию:

Если , получим:

. (21)

Полученное выражение называется обратным преобразованием Фурье.

Интеграл Фурье определяет импульс в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах.

На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладает одиночный импульс.

Полная энергия импульса (энергия, выделяемая на активном сопротивлении Ом) равна

(22)

Изменяя порядок интегрирования, получим

Внутренний интеграл есть спектральная функция импульса , взятая при аргументе -, т.е. представляет собой комплексно сопряженную свеличину:

Следовательно

Квадрат модуля (произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).

В этом случае условно говорят, что спектр импульса является двусторонним, т.е. размещается в полосе частот от до.

Приведенное соотношение (23), устанавливающее связь между энергией импульса (на сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной функции известно под названием равенство Парсеваля.

Оно утверждает, что энергия, заключенная в импульсе , равна сумме энергий всех составляющих его спектра. Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется.

Так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования , то удвоив значение интеграла можно ввести интегрирование в пределах от 0 до:

. (24)

При этом говорят, что спектр импульса размещается в полосе частот от 0 до и называется односторонним.

Подынтегральная величина в (23) называется энергетическим спектром (спектральная плотность энергии) импульса

Она характеризует распределение энергии по частоте, и её значение на частоте равно энергии импульса, приходящейся на полосу частот, равной 1 Гц. Следовательно, энергия импульса есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот отдо.Иначе говоря, энергия равна площади, заключённой между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала и осью абсцисс.

Для оценки распределения энергии по спектру пользуются относительной интегральной функцией распределения энергии (энергетической характеристикой)

, (25)

где
- энергия импульса в заданной полосе частот от 0 до, которая характеризует долю энергии импульса, сосредоточенную в интервале частот от 0 до.

Для одиночных импульсов различной формы выполняются следующие закономерности:

Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов является модулирующей функцией для формирования периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов (ПППВИ), которые являются зондирующими сигналами для обнаружения и измерения координат движущихся целей. Поэтому, по спектру модулирующей функции (ПППВИ), можно относительно просто и быстро и определить спектр зондирующего сигнала (ПППРИ). При отражении зондирующего сигнала от движущейся цели изменяются частоты спектра гармоник несущего колебания (эффект Доплера). Вследствие чего, можно выделить полезный сигнал, отраженный от движущейся цели, на фоне мешающих (помеховых) колебаний, отраженных от неподвижных объектов (местные предметы) или малоподвижных объектов (метеообразования, стаи птиц и др.).

ПППВИ (рис. 1.42) представляет собой совокупность одиночных прямоугольных видеоимпульсов, следующих друг за другом через равные промежутки времени. Аналитическое выражение сигнала.

где – амплитуда импульсов; – длительность импульсов; – период следования импульсов; – частота следования импульсов, ; – скважность.

Для вычисления спектрального состава периодической последовательности импульсов применяют ряд Фурье. При известных спектрах одиночных импульсов, образующих периодическую последовательность, можно воспользоваться связью между спектральной плотностью импульсов и комплексными амплитудами ряда:

Для одиночного прямоугольного видеоимпульса спектральная плотность описывается формулой

Воспользовавшись связью между спектральной плотностью одиночного импульса и комплексными амплитудами ряда, находим

где = 0; ± 1; ± 2; ...

Амплитудно-частотный спектр (рис. 1.43) будет представлен совокупностью составляющих:

при этом положительным значениям соответствуют нулевые начальные фазы, а отрицательным – начальные фазы, равные .

Таким образом, аналитическое выражение ПППВИ будет равно

Из анализа графиков, приведенных на рисунке 1.43 следует:

· Спектр ПППВИ дискретный состоящий из отдельных гармоник с частотой .

· Огибающая АЧС изменяется по закону .

· Максимальное значение огибающей при равно , значение постоянной составляющей .

· Начальные фазы гармоник в пределах нечетных лепестков равны 0, в пределах четных .

· Количество гармоник в пределах каждого лепестка равно .

· Ширина спектра сигнала на уровне 90% энергии сигнала

· База сигнала , поэтому сигнал является простым.

Если изменять длительность импульсов , либо частоту их повторения F (период ), то параметры спектра и его АЧС будет изменяться.

На рисунке 1.43 представлен пример изменения сигнала и его АЧС при увеличении длительности импульса в два раза.

Периодические последовательности прямоугольных видеоимпульсов и их АЧС параметрами , T ,. и , T , изображены на рисунке 1.44.

Из анализа приведенных графиков следует:

1. Для ПППВИ с длительностью импульса :

· Скважность q =4, следовательно, в пределах каждого лепестка сосредоточено 3 гармоники;

· Частота k-ой гармоники ;

· Ширина спектра сигнала на уровне 90% энергии ;

· Постоянная составляющая равна

2. Для ПППВИ с длительностью импульса :

· Скважность q= 2, следовательно, в пределах каждого лепестка находится 1 гармоника;

· Частота k-ой гармоники осталось неизменной ;

· Ширина спектра сигнала на уровне 90% его энергии уменьшилась в 2 раза ;

· Постоянная составляющая увеличилась в 2 раза .

Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении длительности импульса, происходит “сжатие” АЧС вдоль оси ординат (уменьшается ширина спектра сигнала), при этом увеличиваются амплитуды спектральных составляющих. Частоты гармоник не изменяются.

На рисунке 1.44. представлен пример изменения сигнала и его АЧС при увеличении периода следования в 4 раза (уменьшение частоты повторения в 4 раза).

c) ширина спектра сигнала на уровне 90% его энергии не изменилась;

d) постоянная составляющая уменьшилась в 4 раза.

Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении периода следования (уменьшении частоты повторения происходит “сжатие ”) АЧС вдоль оси частот (уменьшаются амплитуды гармоник с увеличением их количества в пределах каждого лепестка). Ширина спектра сигнала при этом не изменяется. Дальнейшее уменьшение частоты повторения (увеличения периода следования) приведет (при ) к уменьшению амплитуд гармоник до бесконечно малых величин. При этом сигнал превратиться в одиночный, соответственно спектр станет сплошным.

Классификация сигналов и их параметры.

Электрические сигналы представляют собой электрические процессы, используемые для передачи или хранения информации.

Сигналы можно разделить на два больших класса: детерминированные и случайные. Детерминированными называются сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени можно предсказать с вероятностью, равной единице и которые задаются в виде некоторой определенной функции времени. Приведем несколько характерных примеров: гармонический сигнал с известной амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 а ); последовательность прямоугольных импульсов с известным периодом следования T , длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 б ); последовательность импульсов произвольной формы с известнымидлительностью t и, амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 в ). Детерминированные сигналы не содержат никакой информации.

Случайные сигналы представляют собой хаотические функции времени, значения которых заранее неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице (одиночный импульс с длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 г ) речь, музыка в выражении электрических величин). К случайным сигналам относятся также шумы.

Детерминированные сигналы, в свою очередь, подразделяются на периодические, для которых выполняется условие S (t )=S (t+kT ), где T – период, k -любое целое число, а под S (t ) понимается изменяющиеся со временем ток, напряжение или заряд (рис. 1.1 а, б, в ).

Очевидно, что к непериодическим относится любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие S (t )¹S (t+kT ).

Простейшим периодическим сигналом является гармонический сигнал вида .

Любой сложный периодический сигнал можно разложить на гармонические составляющие. Ниже такое разложение будет проведено для нескольких конкретных видов сигналов.

Гармонический сигнал высокой частоты, в котором путем модуляции заложена информация, называется радиосигналом (рис. 1.1 д ).

Периодические сигналы.

Любой сложный периодический сигнал S (t )=S (t+kT ) (рис.1.2), заданный на интервале значений t от –¥ до +¥, может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов. Это представление осуществляется в виде ряда Фурье, если только заданная периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле:

1. На любом конечном интервале времени функция S (t ) должна быть непрерывна или иметь конечное число разрывов первого рода.

2. В пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.

Обычно все реальные радиотехнические сигналы удовлетворяют этим условиям. В тригонометрической форме ряд Фурье имеет вид (1.1)

где постоянная составляющая равна (1.2)

а коэффициенты a n , и b n при косинусоидальных и синусоидальных членах разложения определяются выражениями (1.3)

Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n-ой гармоники выражаются через коэффициенты a n , и b n следующим образом (1.4)

При использовании комплексной формы записи выражение для сигнала S(t) принимает вид . Здесь коэффициенты , называемые комплексными амплитудами, равны и связаны с величинами а n и b n формулами: при n>0, и при n<0. С учётом обозначений .

Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, w, 2w, 3w …, т. е. имеет линейчатый или дискретный характер (рис.1.3). Использование рядов Фурье в сочетании с принципом суперпозици является мощным средством анализа влияния линейных систем на прохождение через них различного вида периодических сигналов.

При разложении периодической функции в ряд Фурье, следует учитывать симметрию самой функции, т. к. это позволяет упростить расчеты. В зависимости от вида симметрии представленные рядом Фурье функции могут:

1. Не иметь постоянной составляющей если площадь фигуры для положительного полупериода равна площади фигуры для отрицательного полупериода.

2. Не иметь четных гармоник и постоянной составляющей, если значения функции повторяются через половину периода с обратным знаком.

Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности.

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов изображена на рис. 1.4. Постоянная составляющая ряда Фурье определяется из выражения и для данного случая равна .

Амплитуда cos-составлящей а n равна

, а амплитуда sin-составляющей b n равна .

Амплитуда n -ой гармоники

Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и

(10)

Постоянная составляющая равна

(11)

Для сигнала 1:1 (телеграфные точки) рисунок 4а:

,
. (12)

Рисунок 4

2.4 Спектр одиночного импульса

Задан одиночный видеоимпульс (рисунок 5):

Рисунок 5

Представим одиночный импульс как сумму периодических импульсов с большим периодом .

, (14)

где - целые числа.

Для периодического колебания

. (15)

, (16)

Обозначим

. (17)

, (18) где
; (19)

; (20)

где
- модуль спектральной функции (амплитудно-частотная характеристика импульса);

- фазовый угол, фазо-частотная характеристика импульса.

Найдем для одиночного импульса по формуле (8), используя спектральную функцию:

Если , получим:

. (21)

Полученное выражение называется обратным преобразованием Фурье.

На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладает одиночный импульс.

Полная энергия импульса (энергия, выделяемая на активном сопротивлении Ом) равна

(22)

Изменяя порядок интегрирования, получим

Следовательно

Квадрат модуля (произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).

. (24)

При этом говорят, что спектр импульса размещается в полосе частот от 0 до и называется односторонним.

Подынтегральная величина в (23) называется энергетическим спектром (спектральная плотность энергии) импульса

, (25)

Для одиночных импульсов различной формы выполняются следующие закономерности:

Периодические и непериодические сигналы, форма которых отличается от синусоидальной, обычно называют импульсными сигналами . Процессы генерации, преобразования, а также вопросы практического применения импульсных сигналов относятся сегодня ко многим областям электроники.

Так, например, ни один современный блок питания не обходится без расположенного на его печатной плате генератора прямоугольных импульсов, такого например как на микросхеме TL494, выдающей импульсные последовательности с параметрами, подходящими для текущей нагрузки.

Поскольку импульсные сигналы могут иметь различную форму, то и называют различные импульсы в соответствии с похожей по форме геометрической фигурой: прямоугольные импульсы, трапецеидальные импульсы, треугольные импульсы, пилообразные импульсы, ступенчатые, и импульсы разных других форм. Между тем, наиболее часто практически применяются именно прямоугольные импульсы . О их параметрах и пойдет речь в данной статье.

Конечно, термин «прямоугольный импульс» несколько условен. В силу того что ничего идеального в природе не бывает, как не бывает и идеально прямоугольных импульсов. На самом деле реальный импульс, который принято называть прямоугольным, может иметь и колебательные выбросы (на рисунке показаны как b1 и b2), обусловленные вполне реальными емкостными и индуктивными факторами.

Выбросы эти могут, конечно, отсутствовать, однако существуют электрические и временные параметры импульсов, отражающие в числе прочего «неидеальность их прямоугольности».

Прямоугольный импульс имеет определенную полярность и рабочий уровень. Чаще всего полярность импульса положительна, поскольку подавляющее большинство цифровых микросхем питаются положительным, относительно общего провода, напряжением, и следовательно мгновенное значение напряжения в импульсе всегда больше нуля.

Но есть, например, компараторы, питаемые двухполярным напряжением, в таких схемах можно встретить разнополярные импульсы. Вообще микросхемы, питаемые напряжением отрицательной полярности, не так широко применяются, как микросхемы с обычным положительным питанием.

В последовательности импульсов рабочее напряжение импульса может принимать низкий или высокий уровень, причем один уровень с течением времени сменяет другой. Уровень низкого напряжения обозначают U0, уровень высокого U1. Наибольшее мгновенное значение напряжения в импульсе Ua или Um, относительно начального уровня, называется амплитудой импульса .

Разработчики импульсных устройств зачастую оперируют активными импульсами высокого уровня, такими как показанный на рисунке слева. Но иногда практически целесообразно применить в качестве активных импульсы низкого уровня, для которых исходное состояние - высокий уровень напряжения. Импульс низкого уровня показан на рисунке справа. Называть импульс низкого уровня «отрицательным импульсом» - безграмотно.

Перепад напряжения в прямоугольном импульсе называют фронтом, который представляет собой быстрое (соизмеримое по времени со временем протекания переходного процесса в цепи) изменение электрического состояния.

Перепад с низкого уровня к высокому уровню, то есть положительный перепад, называют передним фронтом или просто фронтом импульса. Перепад от высокого уровня к низкому, или отрицательный перепад, называют срезом, спадом или просто задним фронтом импульса.

Передний фронт обозначают в тексте 0.1 или схематически _|, а задний фронт 1.0 или схематически |_.

В зависимости от инерционных характеристик активных элементов, переходный процесс (перепад) в реальном устройстве всегда занимает некоторое конечное время. Поэтому полная длительность импульса включает в себя не только времена существования высокого и низкого уровней, но также времена длительности фронтов (фронта и среза), которые обозначаются Тф и Тср. Практически в любой конкретной схеме время фронта и спада можно увидеть при помощи .

Так как в реальности моменты начала и окончания переходных процессов в перепадах очень точно выделить непросто, то принято считать за длительность перепада промежуток времени, во время которого напряжение изменяется от 0,1Ua до 0,9Ua (фронт) или от 0,9Ua до 0,1Ua (срез). Так и крутизна фронта Кф и крутизна среза Кс.р. задаются в соответствии с данными граничными состояниями, и измеряются в вольтах в микросекунду (в/мкс). Непосредственно длительностью импульса называют промежуток времени, отсчитываемый от уровня 0,5Ua.

Когда рассматривают в общем процессы формирования и генерации импульсов, то фронт и срез принимают по длительности за ноль, поскольку для грубых расчетов эти малые временные промежутки оказываются не критичны.

Это импульсы, следующие друг за другом в определенном порядке. Если паузы между импульсами и длительности импульсов в последовательности равны между собой, то это периодическая последовательность. Период следования импульсов Т - это сумма длительности импульса и паузы между импульсами в последовательности. Частота f следования импульсов - это величина обратная периоду.

Периодические последовательности прямоугольных импульсов, кроме периода Т и частоты f, характеризуются еще парой дополнительных параметров: коэффициентом заполнения DC и скважностью Q. Коэффициент заполнения - это отношение времени длительности импульса к его периоду.

Скважность - это отношение периода импульса ко времени его длительности. Периодическая последовательность скважности Q=2, то есть такая, у которой время длительности импульса равно времени паузы между импульсами или у которой коэффициент заполнения равен DC=0,5, называется меандром.