Bu üsul, nöqtələrdən keçən parabola ilə qismən seqmentdə inteqrana yaxınlaşmağı təklif edir.
(x j , f(x j)), Harada j = i-1; i-0.5; i, yəni inteqran funksiyasını ikinci dərəcəli Laqranj interpolyasiya polinomu ilə təxmini edirik:

İnteqrasiyanı həyata keçirdikdən sonra əldə edirik:

Bu budur Simpsonun düsturu və ya parabolik düstur. Seqmentdə
[a, b] Simpsonun düsturu formasını alır

Simpson metodunun qrafik təsviri Şəkildə göstərilmişdir. 2.4.

düyü. 10.4. Simpson üsulu

Dəyişənləri yenidən təyin etməklə (2.16) ifadəsindəki kəsr indekslərindən xilas olaq:

Sonra Simpsonun düsturu formasını alır

(2.18) düsturunun xətası aşağıdakı ifadə ilə qiymətləndirilir:

Harada h·n = b-a, . Beləliklə, Simpson düsturunun xətası ilə mütənasibdir O(h 4).

Şərh. Qeyd etmək lazımdır ki, Simpsonun düsturunda inteqrasiya seqmenti mütləq şəkildə bölünür hətta intervalların sayı.

10.5. Müəyyən inteqralların üsullarla hesablanması
Monte Karlo

Daha əvvəl müzakirə olunan üsullar adlanır deterministik , yəni şans elementindən məhrumdur.

Monte Karlo üsulları(MMK) təsadüfi dəyişənlərin modelləşdirilməsindən istifadə etməklə riyazi məsələlərin həlli üçün ədədi üsullardır. MMC-lər ehtimal prosesləri nəticəsində yaranan riyazi problemləri uğurla həll etməyə imkan verir. Üstəlik, heç bir ehtimalla əlaqəli olmayan problemləri həll edərkən, bu problemləri həll etməyə imkan verən bir ehtimal modeli (və hətta birdən çox) ilə süni şəkildə ortaya çıxa bilərsiniz. Müəyyən inteqralın hesablanmasını nəzərdən keçirək

Düzbucaqlı düsturundan istifadə edərək bu inteqralı hesablayarkən, interval [ a, b] bölün N ortasında inteqralın dəyərləri hesablanan eyni intervallar. Təsadüfi qovşaqlarda funksiya dəyərlərini hesablayaraq daha dəqiq nəticə əldə edə bilərsiniz:

Burada γ i intervalda bərabər paylanmış təsadüfi ədəddir
. MMC inteqralının hesablanmasında xəta ~ dir ki, bu da əvvəllər öyrənilmiş deterministik metodlardan əhəmiyyətli dərəcədə böyükdür.

Şəkildə. Şəkil 2.5 təsadüfi qovşaqlarla (2.21) və (2.22) tək inteqralın hesablanması üçün Monte Karlo metodunun qrafik tətbiqini təqdim edir.

(2.23)

düyü. 10.6. Monte Karlo metodu ilə inteqrasiya (2-ci hal)

Şəkildə göründüyü kimi. 2.6, inteqral əyri vahid kvadratda yerləşir və əgər intervalda bərabər paylanmış təsadüfi ədədlərin cütlərini əldə edə bilsək, nəticədə alınan dəyərlər (γ 1, γ 2) nöqtənin koordinatları kimi şərh edilə bilər. vahid kvadratında. Sonra, bu cüt ədədlərin kifayət qədər çoxu əldə edilərsə, təxminən bunu güman edə bilərik
. Burada Səyrinin altına düşən nöqtələrin cütlərinin sayıdır və N– ədəd cütlərinin ümumi sayı.

Misal 2.1. Aşağıdakı inteqralı hesablayın:

Problem müxtəlif üsullarla həll edildi. Alınan nəticələr cədvəldə ümumiləşdirilmişdir. 2.1.

Cədvəl 2.1

Şərh. Cədvəl inteqralının seçilməsi bizə hər bir metodun səhvini müqayisə etməyə və arakəsmələrin sayının hesablamaların düzgünlüyünə təsirini öyrənməyə imkan verdi.

11 QEYRİ XƏTTİNİN TƏXMİN HƏLLİ
VƏ TRANSENDENT tənliklər

Trapesiya üsulu ilə müəyyən inteqralı tapmaq üçün əyrixətti trapezoidin sahəsi də hündürlüyü h və əsasları 1, 2, 3,..у n olan n düzbucaqlı trapesiyaya bölünür, burada n düzbucaqlı trapezoidin sayıdır. . İnteqral ədədi olaraq düzbucaqlı trapesiyaların sahələrinin cəminə bərabər olacaqdır (Şəkil 4).

düyü. 4

n - bölmələrin sayı

Trapezoidal düsturun xətası ədədlə qiymətləndirilir

Trapesiya düsturunun xətası, düzbucaqlı formulunun xətasına nisbətən böyümə ilə daha tez azalır. Buna görə də, trapezoidal düstur düzbucaqlı metoddan daha çox dəqiqliyə imkan verir.

Simpsonun düsturu

Əgər hər bir cüt seqment üçün ikinci dərəcəli çoxhədli düzəldiriksə, sonra onu seqmentə inteqrasiya etsək və inteqralın əlavə xüsusiyyətindən istifadə etsək, Simpsonun düsturunu alırıq.

Simpson metodunda müəyyən inteqralı hesablamaq üçün bütün inteqrasiya intervalı bərabər uzunluqlu h=(b-a)/n olan yarımintervallara bölünür. Bölmə seqmentlərinin sayı cüt ədəddir. Sonra hər bir bitişik altinterval cütündə f(x) inteqran funksiyası ikinci dərəcəli Laqranc çoxhədli ilə əvəz olunur (Şəkil 5).

düyü. 5 Seqmentdə y=f(x) funksiyası 2-ci dərəcəli çoxhədli ilə əvəz olunur

Seqmentdə inteqrana baxaq. Bu inteqranı nöqtələrdə y= ilə üst-üstə düşən ikinci dərəcəli Laqranj interpolyasiya polinomu ilə əvəz edək:

Seqmentə inteqrasiya edək:

Dəyişənlərin dəyişməsini təqdim edək:

Əvəzedici düsturları nəzərə alaraq,

İnteqrasiyanı həyata keçirdikdən sonra Simpsonun düsturunu alırıq:

İnteqral üçün alınan dəyər ox, düz xətlər və nöqtələrdən keçən parabola ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsi ilə üst-üstə düşür.Seqmentdə Simpson düsturu belə görünəcək:

Parabola düsturunda x 1, x 3, ..., x 2n-1 bölməsinin tək nöqtələrində f(x) funksiyasının qiyməti 4, x 2, x 4, cüt nöqtələrində əmsala malikdir. .., x 2n-2 - əmsal 2 və iki sərhəd nöqtəsində x 0 =a, x n =b - əmsal 1.

Simpson düsturunun həndəsi mənası: seqmentdə f(x) funksiyasının qrafiki altında əyrixətti trapezoidin sahəsi təxminən parabolaların altında yatan fiqurların sahələrinin cəmi ilə əvəz olunur.

Əgər f(x) funksiyası dördüncü dərəcəli davamlı törəməyə malikdirsə, onda Simpson düsturunun xətasının mütləq qiyməti ondan çox deyil.

burada M seqmentdə ən böyük dəyərdir. n 4 n 2-dən daha sürətli böyüdüyü üçün Simpson düsturunun xətası n artdıqca trapezoidal formulun xətasından çox daha sürətli azalır.

Gəlin inteqralı hesablayaq

Bu inteqralı hesablamaq asandır:

10-a bərabər olan n-i götürək, h=0.1, bölmə nöqtələrində inteqralın qiymətlərini, həmçinin yarım tam ədəd nöqtələrini hesablayaq.

Orta düzbucaqlılar düsturundan istifadə edərək I düz = 0,785606 (səhv 0,027%) əldə edirik, trapesiya düsturundan istifadə edərək I tələ = 0,784981 (xəta təxminən 0,054-dür. Sağ və sol düzbucaqlılar üsulundan istifadə edərkən xəta daha çox olur. 3%-dən çox.

Təxmini düsturların düzgünlüyünü müqayisə etmək üçün inteqralı yenidən hesablayaq

lakin indi n=4 olan Simpsonun düsturuna görə. Seqmenti x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 nöqtələri ilə dörd bərabər hissəyə bölək və funksiyanın təqribən qiymətlərini hesablayaq. f(x)=1/( 1+x) bu nöqtələrdə: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Simpsonun düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Əldə edilən nəticənin səhvini təxmin edək. f(x)=1/(1+x) inteqral funksiyası üçün bizdə: f (4) (x)=24/(1+x) 5, yəni seqmentdə . Buna görə də M=24 götürə bilərik və nəticənin xətası 24/(2880 4 4)=0,0004-ü keçmir. Təxmini dəyəri dəqiq olanla müqayisə edərək belə nəticəyə gəlirik ki, Simpson düsturundan istifadə etməklə alınan nəticənin mütləq xətası 0,00011-dən azdır. Bu, yuxarıda verilmiş səhv qiymətləndirməsinə uyğundur və əlavə olaraq Simpson düsturunun trapesiya formulundan daha dəqiq olduğunu göstərir. Buna görə də Simpson düsturu müəyyən inteqralların təxmini hesablanması üçün trapesiya formuluna nisbətən daha çox istifadə olunur.

Gəlin inteqrasiya seqmentini ayıraq [ A, b] cüt ədədə n bərabər hissələr artımlarla h. Hər seqmentdə [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] inteqral funksiyası f(X) ikinci dərəcəli interpolyasiya polinomu ilə əvəz edirik:

Bu kvadrat üçhəcmlilərin əmsallarını müvafiq cədvəl məlumatlarının nöqtələrində çoxhədlinin bərabərliyi şərtlərindən tapmaq olar. Nöqtələrdən keçən ikinci dərəcəli Laqranj interpolyasiya polinomu kimi qəbul edə bilərik :

Elementar sahələrin cəmini və (şək. 3.3) müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablana bilər. Aldığımız bərabərlikləri nəzərə alsaq

-

düyü. 3.3. Simpson metodu üçün illüstrasiya

Hər bir elementar seqment üçün belə hesablamalar apardıqdan sonra ortaya çıxan ifadələri ümumiləşdiririk:

Bu ifadə üçün S müəyyən inteqralın qiyməti kimi qəbul edilir:

(3.35)

Nəticədə yaranan əlaqə deyilir Simpsonun düsturu və ya parabola düsturu.

Bu düstur başqa yollarla, məsələn, seqmenti bölərkən trapesiya üsulundan iki dəfə istifadə etməklə əldə edilə bilər [ A, b] addımlarla hissələrə bölün h və 2 h və ya düzbucaqlı və trapezoidlərin düsturlarını birləşdirməklə (bax. Bölmə 3.2.6).

Bəzən Simpson düsturu yarımtam indekslərdən istifadə etməklə yazılır. Bu halda, bölmənin seqmentlərinin sayı P ixtiyari (hətta mütləq deyil) və Simpsonun düsturunun forması var

(3.36)

2-ci hissənin seqmentlərinin sayına (3.35) düstur tətbiq edilərsə, (3.36) düsturunun (3.35) üst-üstə düşdüyünü görmək asandır. n və addım h/2.

Misal. Simpson metodundan istifadə edərək inteqralı hesablayın

Funksiya dəyərləri n = 10, h = 0.1 cədvəldə verilmişdir. 3.3. (3.35) düsturu tətbiq edərək tapırıq

Simpson metodundan istifadə edərək ədədi inteqrasiyanın nəticəsinin dəqiq dəyərlə üst-üstə düşdüyü aşkar edildi (altı əhəmiyyətli rəqəm).

Simpson metodundan istifadə edərək müəyyən inteqralın hesablanması üçün mümkün alqoritmlərdən biri Şəkil 1-də göstərilmişdir. 3.4. İnteqrasiya seqmentinin sərhədləri [ A, b], xəta ε, həmçinin inteqralın dəyərlərini hesablamaq üçün düstur y =f(x) .

düyü. 3.4. Simpson metodu alqoritmi

Əvvəlcə seqment bir addımla iki hissəyə bölünür h =(b- a)/2. İnteqralın qiyməti hesablanır I 1. Sonra addımların sayı ikiqat artır, dəyər hesablanır I 2 artımla h/2. Hesabın başa çatması şərti formada götürülür. Bu şərt yerinə yetirilmədikdə, yeni bir addım yarıya bölünür və s.

Qeyd edək ki, Şek. 3.4 alqoritm optimal deyil: hər bir yaxınlaşmanı hesablayarkən I 2 funksiya dəyəri istifadə edilmir f(x), artıq əvvəlki mərhələdə aşkar edilmişdir. Bölmədə daha iqtisadi alqoritmlər müzakirə olunacaq. 3.2.7.

Kvadrat düsturları adlanan düsturlardan istifadə etməklə həll edilə bilən müəyyən inteqralın ədədi hesablanması ilə bağlı problem yaranır.

Ədədi inteqrasiya üçün ən sadə düsturları xatırlayaq.

Təxmini ədədi dəyəri hesablayaq. İnteqrasiya intervalını [a, b] nöqtələri bölmək yolu ilə n bərabər hissəyə bölürük
, kvadratura düsturunun düyünləri adlanır. Düyünlərdəki dəyərlər məlum olsun
:

Böyüklük

inteqrasiya intervalı və ya addım adlanır. Qeyd edək ki, praktikada - hesablamalarda i sayı kiçik seçilir, adətən 10-20-dən çox deyil.

inteqral interpolyasiya polinomu ilə əvəz olunur

təqribən nəzərdən keçirilən intervalda f (x) funksiyasını təmsil edir.

a) İnterpolyasiya polinomunda yalnız bir birinci həddi saxlayaq

Nəticədə kvadrat düstur

düzbucaqlı düsturu adlanır.

b) İlk iki hədini interpolyasiya polinomunda saxlayaq, onda

(2)

Formula (2) trapezoidal düstur adlanır.

c) İnteqrasiya intervalı
biz onu cüt sayda 2n bərabər hissəyə böləcəyik və inteqrasiya addımı h bərabər olacaqdır . Interval üzrə
uzunluğu 2 saat olan inteqranı ikinci dərəcəli interpolyasiya polinomu ilə əvəz edirik, yəni polinomda ilk üç həddi saxlayırıq:

Alınan kvadratura düsturu Simpson düsturu adlanır

(3)

(1), (2) və (3) düsturları sadə həndəsi məna daşıyır. Dördbucaqlılar düsturunda intervalda f(x) inteqral funksiyası
absis oxuna paralel y = yk düz xətt seqmenti ilə, trapesiya formulunda isə düz xətt seqmenti ilə əvəz olunur.
və düzbucaqlının və düzxətli trapezoidin sahəsi müvafiq olaraq hesablanır, sonra yekunlaşdırılır. Simpsonun düsturunda f(x) funksiyası intervalda
uzunluğu 2h kvadrat trinomial - parabola ilə əvəz olunur
Əyrixətti parabolik trapezoidin sahəsi hesablanır, sonra sahələr toplanır.

NƏTİCƏ

İşin sonunda yuxarıda müzakirə olunan üsulların tətbiqinin bir sıra xüsusiyyətlərini qeyd etmək istərdim. Müəyyən bir inteqralın təxmini həlli üçün hər bir metodun öz üstünlükləri və mənfi cəhətləri var, qarşıya qoyulan vəzifədən asılı olaraq xüsusi üsullardan istifadə edilməlidir.

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodu qeyri-müəyyən inteqralların hesablanmasının əsas üsullarından biridir. Hətta hansısa başqa üsulla inteqrasiya etdiyimiz hallarda belə, biz tez-tez aralıq hesablamalarda dəyişən dəyişənlərə müraciət etməli oluruq. İnteqrasiyanın uğuru böyük ölçüdə verilmiş inteqralı sadələşdirəcək dəyişənlərin belə uğurlu dəyişməsini seçə bildiyimizdən asılıdır.

Əslində, inteqrasiya metodlarının tədqiqi bu və ya digər növ inteqral üçün hansı növ dəyişkənliyin dəyişdirilməsinin lazım olduğunu tapmaqdan ibarətdir.

Beləliklə, hər hansı rasional kəsrin inteqrasiyasıçoxhədli və bir neçə sadə fraksiyaların inteqrasiyasına qədər azaldır.

İstənilən rasional funksiyanın inteqralı son formada elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə edilə bilər, yəni:

loqarifmlər vasitəsilə - 1-ci tip sadə fraksiya hallarında;

rasional funksiyalar vasitəsilə - 2-ci tip sadə kəsrlər halında

loqarifmlər və arktangentlər vasitəsilə - 3-cü tip sadə kəsrlər olduqda

rasional funksiyalar və arktangentlər vasitəsilə - 4-cü tip sadə kəsrlər halında. Universal triqonometrik əvəzetmə həmişə inteqrandı rasionallaşdırır, lakin çox vaxt çox çətin rasional fraksiyalara gətirib çıxarır ki, onlar üçün, xüsusən, məxrəcin köklərini tapmaq demək olar ki, mümkün deyil. Buna görə də, mümkün olduqda, inteqrandı rasionallaşdıran və daha az mürəkkəb fraksiyalara səbəb olan qismən əvəzetmələrdən istifadə olunur.

Nyuton-Leybnits düsturu müəyyən inteqralların tapılması üçün ümumi yanaşmadır.

Müəyyən inteqralların hesablanması üsullarına gəlincə, onlar praktiki olaraq bütün bu texnika və üsullardan fərqlənmir.

Eyni şəkildə tətbiq edin əvəzetmə üsulları(dəyişkənin dəyişməsi), hissələr üzrə inteqrasiya üsulu, triqonometrik, irrasional və transsendental funksiyalar üçün antitörəmələrin tapılması üçün eyni üsullar. Yeganə özəllik ondan ibarətdir ki, bu üsullardan istifadə edərkən transformasiyanı təkcə inteqral funksiyaya deyil, həm də inteqrasiyanın hüdudlarına qədər genişləndirmək lazımdır. İnteqrasiya dəyişənini əvəz edərkən, uyğun olaraq inteqrasiyanın sərhədlərini dəyişməyi unutmayın.

Düzgün teoremdən funksiyanın davamlılığının şərti funksiyanın inteqrallığı üçün kafi şərtdir. Lakin bu o demək deyil ki, müəyyən inteqral yalnız davamlı funksiyalar üçün mövcuddur. İnteqrasiya edilə bilən funksiyalar sinfi daha genişdir. Məsələn, sonlu sayda kəsilmə nöqtəsi olan funksiyaların müəyyən inteqralı var.

Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək fasiləsiz funksiyanın müəyyən inteqralının hesablanması həmişə mövcud olan, lakin həmişə elementar funksiya və ya cədvəllərin tərtib olunduğu funksiya olmayan əks törəmənin tapılmasına gəlir. inteqral. Çoxsaylı tətbiqlərdə inteqral funksiyası cədvəldə göstərilmişdir və Nyuton-Leybniz düsturu birbaşa tətbiq olunmur.

Ən dəqiq nəticə əldə etmək lazımdırsa, idealdır Simpson üsulu.

Yuxarıda tədqiq olunanlardan belə nəticə çıxara bilərik ki, inteqral fizika, həndəsə, riyaziyyat və digər elmlərdə istifadə olunur. İnteqraldan istifadə edərək qüvvənin işi hesablanır, kütlə mərkəzinin koordinatları və maddi nöqtənin keçdiyi yol tapılır. Həndəsədə cismin həcmini hesablamaq, əyrinin qövs uzunluğunu tapmaq və s. üçün istifadə olunur.

Ali riyaziyyat kafedrası

Tamamladı: Matveev F.I.

Yoxlayan: Burlova L.V.

Ulan-Ude, 2002

1. İnteqrasiyanın ədədi üsulları

2. Simpsonun düsturunun törəməsi

3. Həndəsi illüstrasiya

4. İnteqrasiya mərhələsinin seçilməsi

5. Nümunələr

1. İnteqrasiyanın ədədi üsulları

Ədədi inteqrasiya problemi inteqralı hesablamaqdır

İnteqralın bir sıra dəyərləri vasitəsilə.

Cədvəllərdə göstərilən funksiyalar, elementar funksiyalarda inteqralları alınmayan funksiyalar və s. üçün ədədi inteqrasiya məsələləri həll edilməlidir. Yalnız bir dəyişənin funksiyalarını nəzərdən keçirək.

İnteqrasiya edilməli olan funksiyanın əvəzinə interpolyasiya çoxhədlini inteqral edirik. İnteqranı interpolyasiya polinomu ilə əvəz etməyə əsaslanan üsullar polinomun parametrlərindən istifadə etməklə nəticənin düzgünlüyünü qiymətləndirməyə və ya verilmiş dəqiqliyə əsasən bu parametrləri seçməyə imkan verir.

Ədədi üsulları inteqranın yaxınlaşma üsuluna görə şərti olaraq qruplaşdırmaq olar.

Nyuton-Kotes metodları funksiyanı dərəcə çoxhədli ilə yaxınlaşdırmağa əsaslanır. Bu sinfin alqoritmi yalnız çoxhədlinin dərəcəsi ilə fərqlənir. Bir qayda olaraq, yaxınlaşan çoxhədlinin qovşaqları bərabərləşir.

Spline inteqrasiya üsulları funksiyanı spline-parçalı çoxhədli ilə yaxınlaşdırmağa əsaslanır.

Ən yüksək cəbri dəqiqlik üsulları (Qauss metodu) verilmiş (seçilmiş) qovşaqların sayı üçün minimum inteqrasiya xətası təmin edən xüsusi seçilmiş qeyri-bərabər qovşaqlardan istifadə edir.

Çoxsaylı inteqralların hesablanması zamanı ən çox Monte Karlo metodlarından istifadə olunur; qovşaqlar təsadüfi seçilir və cavab ehtimaldır.

ümumi səhv

kəsilmə xətası

yuvarlaqlaşdırma xətası

Seçilmiş metoddan asılı olmayaraq, ədədi inteqrasiya prosesində inteqralın təxmini qiymətini hesablamaq və xətanı qiymətləndirmək lazımdır. n ədədi artdıqca xəta azalır

seqment arakəsmələri. Lakin bu, yuvarlaqlaşdırma xətasını artırır

qismən seqmentlər üzrə hesablanmış inteqralların qiymətlərinin cəmlənməsi ilə.

Kəsmə xətası inteqralın xüsusiyyətlərindən və qismən seqmentin uzunluğundan asılıdır.

2. Simpsonun düsturunun törəməsi

Əgər hər bir cüt seqment üçün ikinci dərəcəli çoxhədli düzəldiriksə, sonra onu inteqral etsək və inteqralın əlavə xüsusiyyətindən istifadə etsək, Simpson düsturunu alırıq.

Seqmentdə inteqranı nəzərdən keçirək. Bu inteqranı nöqtələrdə üst-üstə düşən ikinci dərəcəli Laqranj interpolyasiya polinomu ilə əvəz edək:

Gəlin inteqrasiya edək:

və Simpson düsturu adlanır.

İnteqral üçün alınan dəyər ox, düz xətlər və nöqtələrdən keçən parabola ilə məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin sahəsi ilə üst-üstə düşür.

İndi Simpson düsturundan istifadə edərək inteqrasiya xətasını qiymətləndirək. İntervalda davamlı törəmələrin olduğunu fərz edəcəyik . Gəlin fərqi düzəldək

Bu iki inteqralın hər birinə orta qiymət teoremini tətbiq etmək artıq mümkündür, çünki funksiya birinci inteqrasiya intervalında davamlı və qeyri-mənfi, ikincisində isə qeyri-müsbətdir (yəni hər birində işarəni dəyişmir. bu intervallardan). Buna görə də:

(orta qiymət teoremindən istifadə etdik, çünki - davamlı funksiyadır; ).

İki dəfə diferensiallaşdıraraq və sonra orta qiymət teoremini tətbiq edərək, başqa bir ifadə əldə edirik:

, Harada

Hər iki təxmindən belə çıxır ki, Simpsonun düsturu üçdən çox olmayan dərəcədə çoxhədlilər üçün dəqiqdir. Məsələn, Simpsonun düsturunu aşağıdakı formada yazaq:

İnteqrasiya seqmenti çox böyükdürsə, o, bərabər hissələrə bölünür (fərz edərək ) və sonra hər bir qonşu seqment cütünə, ,..., Simpson düsturunu tətbiq edin, yəni:

Simpsonun düsturunu ümumi formada yazaq:

Simpsonun düsturunun səhvi - dördüncü sıra metodu:

, (3)

Simpson metodu çox yüksək olmasa da, yüksək dəqiqlik əldə etməyə imkan verdiyi üçün. Əks halda, ikinci dərəcəli metod daha çox dəqiqlik verə bilər.

Məsələn, bir funksiya üçün for üçün trapezoidal forma dəqiq nəticə verir, Simpson düsturundan istifadə edərkən alırıq.

3. Həndəsi illüstrasiya

Uzunluğu 2 saat olan bir seqmentdə üç nöqtədən keçən parabola qurulur, . OX oxu ilə düz xətlər arasında qapalı olan parabolanın altındakı sahə inteqrala bərabər götürülür.

Simpson düsturunun tətbiqinin xüsusi xüsusiyyəti inteqrasiya seqmentinin bölmələrinin sayının cüt olmasıdır.

Bölmənin seqmentlərinin sayı təkdirsə, ilk üç seqment üçün inteqrana yaxınlaşmaq üçün ilk dörd nöqtədən keçən üçüncü dərəcəli parabola istifadə edərək bir düstur tətbiq edilməlidir.

(4)

Bu Simpsonun səkkizdə üç düsturudur.

İnteqrasiyanın ixtiyari seqmenti üçün (4) düsturu “davam etmək” olar; bu halda qismən seqmentlərin sayı üçə (bal) qat olmalıdır.

, m=2,3,... (5)

Bütün hissə

Daha yüksək səviyyəli Newton-Cotes düsturlarını əldə edə bilərsiniz:

(6)

Bölmə seqmentlərinin sayı;

İstifadə olunan polinomun dərəcəsi;

Nöqtədə ci sıranın törəməsi;

Bölmə addımı.

Cədvəl 1-də əmsallar göstərilir. Hər bir xətt k dərəcə polinomunu qurmaq üçün qovşaqlar üzrə bir interval dəstinə uyğun gəlir. Bu sxemdən daha çox dəst üçün istifadə etmək üçün (məsələn, k=2 və n=6 ilə) əmsalları “davam etmək” və sonra onları əlavə etmək lazımdır.

Cədvəl 1:

Trapezoidal və Simpson düsturları üçün xətanın qiymətləndirilməsi alqoritmi aşağıdakı kimi yazıla bilər: (7),

harada - inteqrasiya üsulundan və inteqralın xassələrindən asılı olan əmsal;

h - inteqrasiya mərhələsi;

p - metod sırası.

Runge qaydası h və kh addımları ilə inteqralı iki dəfə hesablamaqla xətanı hesablamaq üçün istifadə olunur.

(8) - posteriori təxmin. Onda Iref.= +Ro (9), inteqralın dəqiqləşdirilmiş qiyməti.

Metodun ardıcıllığı məlum deyilsə, I-ni üçüncü dəfə addımla hesablamaq lazımdır, yəni:

üç tənlik sistemindən:

I, A və p naməlumları ilə alırıq:

(10) dan belə çıxır (11)

Beləliklə, lazımi sayda dəfə istifadə edilən ikiqat hesablama üsulu verilmiş dəqiqlik dərəcəsi ilə inteqralı hesablamağa imkan verir. Lazımi sayda bölmə avtomatik olaraq seçilir. Bu halda, siz bu metodların alqoritmlərini dəyişdirmədən müvafiq inteqrasiya metodlarının alt proqramlarına çoxsaylı çağırışlardan istifadə edə bilərsiniz. Bununla belə, eyni dərəcədə əlaqəli qovşaqlardan istifadə edən metodlar üçün, inteqrasiya intervalının əvvəlki çoxsaylı bölmələri zamanı yığılmış inteqral cəmlərdən istifadə etməklə alqoritmləri dəyişdirmək və inteqralın hesablamalarının sayını iki dəfə azaltmaq mümkündür. İnteqralın iki təxmini dəyəri və trapesiya üsulu ilə addımlarla hesablanmış və əlaqə ilə əlaqələndirilir:

Eynilə, və addımları olan düsturla hesablanan inteqrallar üçün aşağıdakı əlaqələr doğrudur:

,

(13)

4. İnteqrasiya mərhələsinin seçimi

İnteqrasiya addımını seçmək üçün siz qalan terminin ifadəsindən istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, Simpsonun düsturunun qalan hissəsini götürək:

Əgər ê ê, onda ê ê .

İnteqrasiya metodunun verilmiş e dəqiqliyinə əsaslanaraq sonuncu bərabərsizlikdən müvafiq addımı təyin edirik.

, .

Lakin bu üsul qiymətləndirmə tələb edir (bu, praktikada həmişə mümkün olmur). Buna görə də, hesablamalar zamanı istənilən h addımını seçməyə imkan verən dəqiqlik təxmini müəyyən etmək üçün başqa üsullardan istifadə edirlər.

Bu texnikalardan birinə nəzər salaq. Qoy

,

addımlı inteqralın təxmini qiyməti haradadır. Seqmenti iki bərabər hissəyə bölərək addımı yarıya endirək və ().

İndi fərz edək ki, o, çox tez dəyişmir, demək olar ki, sabitdir: . Sonra Və , harada , yəni .

Bundan belə nəticə çıxara bilərik: əgər , yəni , , a tələb olunan dəqiqlikdirsə, onda addım inteqralın kifayət qədər dəqiqliklə hesablanması üçün uyğundur. Əgər, onda hesablama addımlarla təkrarlanır və sonra müqayisə edilir və s. Bu qayda Runge qaydası adlanır.

Lakin Runge qaydasını tətbiq edərkən hesablama xətasının böyüklüyünü nəzərə almaq lazımdır: azaldıqca inteqralın hesablanmasının mütləq xətası artır (asılılıq tərs mütənasibdir) və kifayət qədər kiçik olarsa, o, metodun səhvindən daha böyük ola bilər. -i keçərsə, Runge qaydası bu addım üçün tətbiq edilə bilməz və istənilən dəqiqliyə nail olmaq mümkün deyil. Belə hallarda dəyəri artırmaq lazımdır.

Runge qaydasını çıxararkən, siz mahiyyətcə bu fərziyyədən istifadə etdiniz. Yalnız dəyərlər cədvəli varsa, o zaman "sabitliyin" yoxlanılması birbaşa cədvəldən həyata keçirilə bilər.Yuxarıda göstərilən alqoritmlərin sonrakı inkişafı bizə müxtəlif hissələrdə fərqli inteqrasiya addımını seçməklə uyğunlaşan alqoritmlərə keçməyə imkan verir. inteqrasiya seqmentinin xassələrindən asılı olaraq inteqranın hesablamalarının sayı azalır.

İnteqral dəyərlərin dəqiqləşdirilməsi üçün başqa bir sxem Eithnen prosesidir. İnteqral addımlarla hesablanır və . Dəyərlərin hesablanması. Sonra (14).

Simpson metodunun dəqiqlik ölçüsü aşağıdakı kimi qəbul edilir:

5. Nümunələr

Misal 1. Cədvəllə verilmişsə Simpson düsturundan istifadə edərək inteqralı hesablayın. Xətanı təxmin edin.

Cədvəl 3.

Həlli: və inteqral üçün (1) düsturu ilə hesablayaq.

Runge qaydasına görə biz Qəbul edirik.

Misal 2.İnteqralı hesablayın .

Həll yolu: Bizdə var. Beləliklə, h==0.1. Hesablama nəticələri Cədvəl 4-də göstərilmişdir.

Cədvəl 4.

Simpson düsturu ilə inteqralın hesablanması

		y0=1,00000; -0,329573ê£ 3. Simpson metodunun səhvi üçün hesablamalar: =0,1 üçün £ 0,0000017, =0,05 üçün £ 0,0000002. Yuvarlaqlaşdırma səhvlərinin Simpson düsturu üçün belə dəqiq nəticəni təhrif etməməsi üçün bütün hesablamalar altı onluq yerlə aparılmışdır. Yekun nəticələr: