Say silsiləsi: təriflər, xassələr, yaxınlaşma əlamətləri, misallar, həllər. Nömrələr seriyası: təriflər, xassələr, yaxınlaşma əlamətləri, nümunələr, həllər D'Alembert işarəsi üçün seriyalar

Jean Leron d'Alembert məşhurdur fransız riyaziyyatçısı 18-ci əsr. Ümumiyyətlə, d'Alembert ixtisaslaşdı diferensial tənliklər və tədqiqatlarına əsaslanaraq, Əlahəzrətin top güllələrinin daha yaxşı uçması üçün ballistikanı öyrəndi. Eyni zamanda, nömrələr seriyasını unutmadım; Napoleonun qoşunlarının sıralarının sonradan belə aydın şəkildə yaxınlaşması və ayrılması boş yerə deyildi.

İşarənin özünü tərtib etməzdən əvvəl vacib bir sualı nəzərdən keçirək:
D'Alembertin yaxınlaşma testindən nə vaxt istifadə edilməlidir?

Əvvəlcə nəzərdən keçirməyə başlayaq. Ən populyarlardan istifadə etməyiniz lazım olan halları xatırlayaq müqayisə həddi. Müqayisə üçün məhdudlaşdırıcı meyar seriyanın ümumi terminində olduqda tətbiq edilir:
1) Məxrəcdə çoxhədli var.
2) Çoxhədlilər həm sayda, həm də məxrəcdə olur.
3) Bir və ya hər iki çoxhədli kök altında ola bilər.

D'Alembert testinin tətbiqi üçün əsas şərtlər aşağıdakılardır:

1) Seriyanın ümumi termini (“seriyanın doldurulması”) müəyyən dərəcədə bəzi rəqəmləri ehtiva edir, məsələn, , və s. Üstəlik, bu şeyin harada yerləşməsinin, say və ya məxrəcdə olmasının heç bir əhəmiyyəti yoxdur - vacib olan onun orada olmasıdır.

2) Seriyanın ümumi termininə faktorial daxildir. faktorial nədir? Mürəkkəb bir şey yoxdur, faktorial yalnız məhsulun sıxlaşdırılmış təsviridir:

…

…

! D'Alembert testindən istifadə edərkən faktorialı ətraflı təsvir etməli olacağıq. Əvvəlki paraqrafda olduğu kimi, faktorial fraksiyanın yuxarı və ya aşağı hissəsində yerləşə bilər.

3) Əgər seriyanın ümumi terminində “amillər zənciri” varsa, məsələn, . Bu hal nadirdir, amma! Belə bir seriyanı öyrənərkən tez-tez səhvə yol verilir - 6-cı nümunəyə baxın.

Səlahiyyətlər və/və ya faktoriallarla yanaşı, çoxhədlilər də silsilənin doldurulmasında olur, bu, vəziyyəti dəyişmir - D'Alember işarəsindən istifadə etmək lazımdır;

Bundan əlavə, sıranın ümumi terminində həm dərəcə, həm də faktorial eyni vaxtda baş verə bilər; iki faktorial ola bilər, iki dərəcə olması vacibdir heç olmasa bir şey baxılan məqamlardan - və bu, d'Alember işarəsindən istifadə etmək üçün ilkin şərtdir.

D'Alember işarəsi: Gəlin fikirləşək müsbət ədədlər seriyası. Əgər sonrakı terminin əvvəlki ilə nisbətində məhdudiyyət varsa: , onda:
a) cərgədə olduqda birləşir
b) cərgədə olduqda ayrılır
c) Nə vaxt işarəsi cavab vermir. Başqa bir işarədən istifadə etməlisiniz. Çox vaxt, məhdudlaşdırıcı müqayisə testindən istifadə etmək lazım olduqda, D'Alembert testini tətbiq etməyə çalışdıqları halda əldə edilir.

Kimin hələ də məhdudiyyətlərlə bağlı problemləri və ya məhdudiyyətlərin anlaşılmazlığı varsa, mövzuya müraciət edin Limitlər. Həll nümunələri. Həddini dərk etmədən və qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək bacarığı olmadan, təəssüf ki, irəli getmək olmaz. İndi çoxdan gözlənilən nümunələr.

Misal 1
Biz seriyanın ümumi terminində görürük ki, bu, d'Alembert testindən istifadə etmək üçün əmin bir şərtdir. Birincisi, tam həll və nümunə dizaynı, aşağıda şərhlər.

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

birləşir.

(1) Seriyanın növbəti üzvünün əvvəlkinə nisbətini tərtib edirik: . Şərtdən görürük ki, silsilənin ümumi termini . Serialın növbəti üzvünü əldə etmək üçün bu lazımdır əvəz etmək əvəzinə: .
(2) Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq. Həlllə bağlı bir az təcrübəniz varsa, bu addımı atlaya bilərsiniz.
(3) Hesabdakı mötərizələri açın. Məxrəcdə dördü gücdən çıxarırıq.
(4) ilə azaldın. Biz sabiti limit işarəsindən kənara çıxarırıq. Paylayıcıda oxşar terminləri mötərizədə təqdim edirik.
(5) Qeyri-müəyyənlik standart üsulla - say və məxrəci “en” ilə ən yüksək gücə bölmək yolu ilə aradan qaldırılır.
(6) Biz sayları hədd-həd məxrəclərə bölürük və sıfıra meyilli olanları göstəririk.
(7) Cavabı sadələşdiririk və qeyd edirik ki, D'Alembert meyarına əsasən, öyrənilən silsilələr birləşir.

Baxılan misalda silsilənin ümumi terminində 2-ci dərəcəli çoxhədli ilə qarşılaşdıq. 3-cü, 4-cü və ya daha yüksək dərəcə polinomu varsa nə etməli? Fakt budur ki, daha yüksək dərəcədə çoxhədli verilsə, mötərizənin açılmasında çətinliklər yaranacaq. Bu vəziyyətdə "turbo" həll metodundan istifadə edə bilərsiniz.

Misal 2 Oxşar bir sıra götürək və konvergensiya üçün araşdıraq
Əvvəlcə tam həll, sonra şərhlər:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

(1) Biz əlaqə yaradırıq.
(2) Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq.
(3) Hissədə ifadəni və məxrəcdəki ifadəni nəzərdən keçirin. Biz hesab edirik ki, mötərizədə mötərizələri açıb dördüncü dərəcəyə qaldırmalıyıq: , bunu qətiyyən etmək istəmirik. Bundan əlavə, Nyutonun binomial ilə tanış olmayanlar üçün bu vəzifə heç də mümkün olmaya bilər. Daha yüksək dərəcələri təhlil edək: yuxarıdakı mötərizələri açsaq, ən yüksək dərəcəni alırıq. Aşağıda eyni ali dərəcəyə sahibik: . Əvvəlki nümunə ilə bənzətmə ilə aydın olur ki, pay və məxrəc termini terminə böldükdə sonda bir həddə çatırıq. Və ya, riyaziyyatçıların dediyi kimi, polinomlar və - eyni böyümə ardıcıllığı. Beləliklə, nisbəti sadə bir qələmlə təsvir etmək və dərhal bu şeyin birinə meylli olduğunu göstərmək olduqca mümkündür. İkinci çoxhədli cütlərlə eyni şəkildə məşğul oluruq: və , onlar da eyni böyümə ardıcıllığı, və onların nisbəti birliyə meyllidir.

Əslində, 1-ci Nümunədə belə bir “hack” aradan qaldırıla bilərdi, lakin 2-ci dərəcəli polinom üçün belə bir həll hələ də bir növ ləyaqətsiz görünür. Şəxsən mən bunu edirəm: birinci və ya ikinci dərəcəli çoxhədli (və ya çoxhədlilər) varsa, 1-ci nümunəni həll etmək üçün “uzun” yoldan istifadə edirəm. 3-cü və ya daha çox çoxhədli ilə rastlaşaramsa yüksək dərəcələr, Mən Misal 2-yə bənzər “turbo” metodundan istifadə edirəm.

Misal 3 .

Faktoriallarla tipik nümunələrə baxaq:

Misal 4 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Seriyanın ümumi termininə həm dərəcə, həm də faktorial daxildir. Gün kimi aydındır ki, burada d'Alember işarəsindən istifadə edilməlidir. Gəlin qərar verək.

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.

(1) Biz əlaqə yaradırıq. Yenidən təkrar edirik. Şərtə görə, seriyanın ümumi termini: . Serialda növbəti termini əldə etmək üçün, əvəzinə siz əvəz etməlisiniz, Beləliklə: .
(2) Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq.
(3) Yeddi dərəcəni sıxın. Faktorialları ətraflı təsvir edirik. Bunu necə etmək olar - dərsin əvvəlinə baxın.
(4) Biz kəsilə bilən hər şeyi kəsdik.
(5) Sabiti hədd işarəsindən kənara çıxarırıq. Hesabdakı mötərizələri açın.
(6) Qeyri-müəyyənliyi standart üsulla aradan qaldırırıq - say və məxrəci “en” ilə ən yüksək gücə bölməklə.

Misal 5 Konvergensiya üçün seriyanı nəzərdən keçirin.

Misal 6 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Bəzən elə seriyalar olur ki, onların doldurulmasında faktorlar zənciri var, biz hələ bu tip seriyaları nəzərdən keçirməmişik; Faktorların "zənciri" olan seriyanı necə öyrənmək olar? D'Alember işarəsindən istifadə edin. Ancaq əvvəlcə nə baş verdiyini anlamaq üçün seriyanı ətraflı təsvir edək:

Genişlənmədən görürük ki, seriyanın hər bir növbəti üzvü məxrəcə əlavə edilmiş əlavə amilə malikdir, buna görə də seriyanın ümumi üzvü , onda seriyanın növbəti üzvüdür:
. Budur, onlar tez-tez avtomatik olaraq səhv edirlər, formal olaraq alqoritmə uyğun olaraq yazırlar

Təxmini həll nümunəsi belə görünə bilər: Gəlin D'Alember işarəsindən istifadə edək:
Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.
RADİKAL KÖŞİ BÖLÜMƏSİ

Oqustin Lui Koşi daha da məşhur fransız riyaziyyatçısıdır. İstənilən tələbə sizə Koşinin tərcümeyi-halını danışa bilər. texniki ixtisas. Ən mənzərəli rənglərdə. Bu adın Eyfel qülləsinin birinci mərtəbəsində həkk olunması təsadüfi deyil.

Cauchy'nin müsbət ədədlər seriyası üçün yaxınlaşma testi bir qədər əvvəl müzakirə olunan D'Alembert testinə bənzəyir.

Radikal Koşi əlaməti: Gəlin nəzərdən keçirək müsbət ədədlər seriyası. Əgər limit varsa: , onda:
a) cərgədə olduqda birləşir. Xüsusən, seriyalar birləşir.
b) cərgədə olduqda ayrılır. Xüsusən də, silsilələr arasında fərqlər var.
c) Nə vaxt işarəsi cavab vermir. Başqa bir işarədən istifadə etməlisiniz. Maraqlıdır ki, Koşi testi seriyanın yaxınlaşması sualına cavab vermirsə, o zaman D'Alember testi də bizə cavab verməyəcək. Ancaq d'Alemberin işarəsi cavab vermirsə, Koşi işarəsi yaxşı "işləyə bilər". Yəni Koşi işarəsi bu mənada daha güclü işarədir.

Radikal Cauchy işarəsini nə vaxt istifadə etməlisiniz? Radikal Cauchy testi adətən seriyanın ümumi termininin olduğu hallarda istifadə olunur TAM dərəcəsindədir "en"-dən asılı olaraq. Və ya "yaxşı" kökü seriyanın ümumi üzvündən çıxarıldıqda. Ekzotik hallar da var, amma biz onları narahat etməyəcəyik.

Misal 7 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Görürük ki, seriyanın ümumi termini tamamilə asılı olaraq bir güc altındadır, yəni radikal Cauchy testindən istifadə etməliyik:

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.

(1) Silsilənin ümumi terminini kök altında formalaşdırırıq.
(2) Eyni şeyi, yalnız kök olmadan, dərəcə xüsusiyyətindən istifadə edərək yenidən yazırıq.
(3) Göstəricidə payı məxrəc termininə bölərək, bunu göstəririk
(4) Nəticədə qeyri-müəyyənlik yaranır. Bu, gedə biləcəyiniz yerdir uzun yol: kub, kub, sonra pay və məxrəci “en” ilə ən yüksək gücə bölün. Amma in bu halda Daha təsirli bir həll yolu var: say və məxrəc terminini birbaşa sabit güc altında terminə bölmək olar. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün pay və məxrəci (ən yüksək gücə) bölün.
(5) Biz faktiki olaraq termin üzrə bölgü həyata keçiririk və sıfıra meyl edən şərtləri göstəririk.
(6) Cavabı ağlımıza gətiririk, əlimizdə olanı qeyd edirik və seriyanın ayrıldığı qənaətinə gəlirik.

Bunun üçün daha sadə bir nümunə müstəqil qərar:

Misal 8 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Və daha bir neçə tipik nümunə.

Tam həll və nümunə dizayn aşağıdadır.

Misal 9 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın
Radikal Cauchy testindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

(1) Silsilənin ümumi terminini kökün altına qoyun.
(2) Qısaldılmış vurma düsturundan istifadə edərək mötərizələri açarkən eyni şeyi, lakin kök olmadan yenidən yazırıq: .
(3) Göstəricidə payı məxrəc termininə bölürük və göstəririk ki .
(4) Formanın qeyri-müəyyənliyi. Burada mötərizədəki məxrəcə görə payı birbaşa “en” ilə ən yüksək gücə bölmək olar. Təhsil alarkən buna bənzər bir şeylə qarşılaşdıq ikinci gözəl hədd. Amma burada vəziyyət başqadır. Daha yüksək güclərdə əmsallar olsaydı eyni, məsələn: , onda termin-müddət bölgüsü ilə hiylə artıq işləməyəcək və ikinci əlamətdar həddi istifadə etmək lazım gələcək. Amma bizdə bu əmsallar var fərqli(5 və 6), buna görə də termini terminə bölmək mümkündür (və zəruridir) (yeri gəlmişkən, əksinə - ikinci əlamətdar həddi) fərqli daha yüksək güclərdə əmsallar artıq işləmir).
(5) Biz faktiki olaraq terminlər üzrə bölgü həyata keçiririk və hansı terminlərin sıfıra meyl etdiyini göstəririk.
(6) Qeyri-müəyyənlik aradan qaldırıldı, ən sadə hədd qalır: Niyə sonsuz böyük sıfıra meyllidir? Çünki dərəcənin bazası bərabərsizliyi ödəyir. Kiminsə limitin ədalətliliyinə şübhəsi varsa, mən tənbəl olmayacağam, bir kalkulyator götürəcəyəm:
Əgər, onda
Əgər, onda
Əgər, onda
Əgər, onda
Əgər, onda
...və s. sonsuzluğa - yəni həddə:
(7) Biz seriyanın birləşdiyi qənaətinə gəldiyimizi göstəririk.

Misal 10 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.

Bəzən bir həll üçün təxribat nümunəsi təklif olunur, məsələn:. Burada eksponent olaraq "en" yox, yalnız sabit. Burada say və məxrəci kvadrata çevirməlisiniz (polinomlar alırsınız), sonra məqalədəki alqoritmə əməl edin. Butaforlar üçün sıralar. Belə bir nümunədə ya seriyanın yaxınlaşması üçün lazımi test, ya da müqayisə üçün məhdudlaşdırıcı test işləməlidir.
İNTEQRAL KEŞİ BARƏSİ

Birinci kurs materialını yaxşı başa düşməyənləri məyus edəcəm. Koşi inteqral testini tətbiq etmək üçün siz törəmələri, inteqralları tapmaqda az-çox əmin olmalı, həmçinin hesablama bacarığına sahib olmalısınız. düzgün olmayan inteqral birinci növ. Dərsliklərdə riyazi analizİnteqral Cauchy testi riyazi olaraq ciddi şəkildə verilir, gəlin testi çox primitiv, lakin başa düşülən şəkildə tərtib edək; Və dərhal aydınlaşdırma üçün nümunələr.

İnteqral Cauchy testi: Gəlin nəzərdən keçirək müsbət ədədlər seriyası. Bu seriya yaxınlaşır, yoxsa ayrılır?

Misal 11 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Demək olar ki, klassik. Təbii loqarifm və bəzi boşboğazlıq.

Cauchy inteqral testindən istifadə etmək üçün əsas şərtdir silsilənin ümumi terminində müəyyən funksiyanın və onun törəməsinin olması faktıdır. Mövzudan törəmə Yəqin ki, ən sadə masa şeyini xatırlayırsınız: , və bizdə belə bir kanonik vəziyyət var.

İnteqral atributdan necə istifadə etmək olar? Əvvəlcə inteqral simvolu götürürük və seriyanın "sayğacından" yuxarı və aşağı hədləri yenidən yazırıq: . Sonra, inteqral altında, seriyanın "doldurulmasını" "he" hərfi ilə yenidən yazırıq: . Nəsə çatışmır..., oh, bəli, siz həm də hesablayıcıda diferensial ikona yapışdırmalısınız: .

İndi hesablamalıyıq düzgün olmayan inteqral. Bu vəziyyətdə iki hal mümkündür:

1) Əgər inteqral yaxınlaşırsa, o zaman sıralarımız da yaxınlaşacaq.

2) Əgər inteqralın ayrıldığı ortaya çıxarsa, o zaman sıralarımız da ayrılacaq.

Yenə deyirəm, əgər material laqeyd olsa, onda paraqrafı oxumaq çətin və qeyri-müəyyən olacaq, çünki bir xüsusiyyətdən istifadə mahiyyətcə hesablamağa başlayır. düzgün olmayan inteqral birinci növ.

Tam həll və nümunə formatı bu kimi görünməlidir:

İnteqral işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır uyğun olmayan inteqralla birlikdə.

Misal 12 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Dərsin sonunda həll və nümunə dizaynı

Nəzərdən keçirilən nümunələrdə loqarifm də kökün altında ola bilər, bu həll üsulunu dəyişdirməz;

Və yeni başlayanlar üçün daha iki nümunə

Misal 13 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Ümumi “parametrlərə” görə, seriyanın ümumi termini müqayisə üçün məhdudlaşdırıcı meyardan istifadə etmək üçün uyğun görünür. Sadəcə mötərizələri açmaq və tam müqayisə etmək üçün dərhal namizədə təqdim etmək lazımdır bu seriya konvergent sıra ilə. Ancaq bir az aldatdım, mötərizələri açmaq lazım deyil, amma yenə də məhdudlaşdırıcı müqayisə meyarı vasitəsilə həll olduqca iddialı görünəcək.

Buna görə inteqral Cauchy testindən istifadə edirik:

İnteqral funksiyası davamlıdır

birləşir uyğun olmayan inteqralla birlikdə.

! Qeyd:nəticədə çıxan ədəddirdeyil seriyanın cəmi!!!

Misal 14 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Həll və nümunə dizaynı sona çatan bölmənin sonundadır.

Nömrə silsiləsi mövzusunu tam və dönməz şəkildə mənimsəmək üçün mövzuları ziyarət edin.

Həll və cavablar:

Misal 3:Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.
Qeyd: “Turbo” həll metodundan da istifadə etmək mümkün idi: nisbəti dərhal karandaşla çevrələyin, onun birliyə meylli olduğunu göstərin və “eyni böyümə qaydasında” qeyd edin.

Nümunə 5: Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik: Beləliklə, tədqiq olunan sıra birləşir.

Misal 8:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

Misal 10:
Radikal Cauchy testindən istifadə edirik.

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.
Qeyd: Burada əsas dərəcədir, yəni

Misal 12: Biz inteqral işarəsindən istifadə edirik.

Sonlu bir ədəd əldə edilir, yəni öyrənilən seriyadır birləşir

Misal 14: İnteqral işarəsindən istifadə edirik
İnteqral üzərində davamlıdır.

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır uyğun olmayan inteqralla birlikdə.
Qeyd: Bir sıra da istifadə edərək araşdırıla bilərmüqayisə üçün məhdudlaşdırıcı meyar . Bunun üçün kökün altındakı mötərizələri açmaq və tədqiq olunan sıra ilə divergent seriyanı müqayisə etmək lazımdır.

Alternativ sıralar. Leibniz işarəsi. Həll nümunələri

Bu dərsin nümunələrini başa düşmək üçün müsbət ədədlər seriyasını yaxşı başa düşmək lazımdır: seriyanın nə olduğunu başa düşmək, seriyanın yaxınlaşması üçün lazımi işarəni bilmək, müqayisə testlərini tətbiq etməyi bacarmaq, d'Alember testi , Koşi sınağı. Ardıcıl olaraq məqalələri öyrənməklə mövzunu demək olar ki, sıfırdan qaldırmaq olar Butaforlar üçün sıralar Və D'Alember işarəsi. Cauchy əlamətləri. Məntiqi olaraq, bu dərs ardıcıl üçüncüdür və bu, yalnız alternativ sıraları başa düşməyə deyil, həm də artıq əhatə olunmuş materialı birləşdirməyə imkan verəcəkdir! Yenilik az olacaq və alternativ sıraları mənimsəmək çətin olmayacaq. Hər şey sadə və əlçatandır.

Alternativ seriya nədir? Bu, adından aydın və ya demək olar ki, aydın görünür. Sadə bir nümunə olaraq seriyaya baxaq və onu daha ətraflı təsvir edək:

İndi isə qatil şərhi olacaq. Dəyişən sıra üzvlərinin dəyişən işarələri var: üstəlik, mənfi, üstəlik, mənfi, üstəlik, mənfi və s. sonsuz.
Alignment çarpan təmin edir: əgər cütdürsə, artı işarəsi olacaq, təkdirsə, mənfi işarəsi olacaq. Riyazi jarqonda bu şey “flasher” adlanır. Beləliklə, alternativ sıra mənfi bir ilə "en" dərəcəsinə qədər "müəyyən edilir".

IN praktik nümunələr Seriyanın şərtlərinin növbələşməsi təkcə çarpanla deyil, həm də onun bacıları ilə təmin edilə bilər: , , , …. Məsələn:

Tələ "aldatmalardır": , , və s. - belə çarpanlar işarə dəyişikliyini təmin etməyin. Tamamilə aydındır ki, hər hansı bir təbii üçün: , , . Aldadıcı cərgələr təkcə xüsusi istedadlı tələbələrə ötürülür, onlar həll zamanı vaxtaşırı “öz-özünə” yaranır. funksional seriya.

Konvergensiya üçün alternativ seriyanı necə yoxlamaq olar? Leibniz testindən istifadə edin. Alman təfəkkür nəhəngi Qotfrid Vilhelm Leybniz haqqında heç nə demək istəmirəm, çünki o, riyazi əsərlərindən əlavə fəlsəfəyə dair bir neçə cild də yazıb. Beyin üçün təhlükəlidir.

Leibniz sınağı: Əgər alternativ seriyanın üzvləri monoton şəkildə modulunda azalma, sonra sıra birləşir. Və ya iki nöqtədə:

2) Silsilənin şərtləri mütləq qiymətində azalır: . Üstəlik, monoton şəkildə azalırlar.

Tamamlanmışsa hər ikisişərtlər, sonra sıra yaxınlaşır.

Modul haqqında qısa məlumat təlimatda verilmişdirİsti düsturlar məktəb kursu riyaziyyatçılar , lakin rahatlıq üçün bir daha:

"Modulo" nə deməkdir? Modul, məktəbdən xatırladığımız kimi, mənfi işarəni "yeyir". Gəlin sıraya qayıdaq. Bütün işarələri silgi ilə zehni olaraq silin və rəqəmlərə baxaq. Biz bunu görəcəyik hər növbəti seriyasının üzvü azəvvəlkindən daha çox. Beləliklə, aşağıdakı ifadələr eyni məna daşıyır:

- Serialın üzvləri işarəsindən asılı olmayaraq azalır.
– Serialın üzvləri azalır modulu.
– Serialın üzvləri azalır mütləq dəyərdə.
– Modul seriyanın ümumi müddəti sıfıra meyllidir: Yardımın sonu

İndi bir az monotonluqdan danışaq. Monotonluq darıxdırıcı ardıcıllıqdır.

Serialın üzvləri ciddi monoton seriyanın HƏR NÖVBƏTİ üzvü olduqda modulun azalması moduluƏvvəlkidən AZ: . Serial azalan ciddi monotonluğa malikdir, onu ətraflı təsvir etmək olar:

Və ya qısaca deyə bilərik: seriyanın hər bir növbəti üzvü moduluəvvəlkindən az: .

Serialın üzvləri ciddi monoton deyil seriya modulunun HƏR AŞAĞIDAKİ üzvü əvvəlkindən BÖYÜK OLMAZsa, modulun azalması: . Faktorialı olan seriyanı nəzərdən keçirək: Burada boş monotonluq var, çünki seriyanın ilk iki şərti modul baxımından eynidir. Yəni serialın hər növbəti üzvü moduluəvvəlkindən çox deyil: .

Leybnits teoreminin şərtlərində azalan monotonluq təmin edilməlidir (onun ciddi və ya qeyri-sərt olmasının fərqi yoxdur). Bu vəziyyətdə serialın üzvləri edə bilərlər hətta bir müddət modulun artması, lakin seriyanın "quyruğu" mütləq monoton şəkildə azalmalıdır. Yığdıqlarımdan qorxmağa ehtiyac yoxdur, praktik nümunələr hər şeyi öz yerinə qoyacaq;

Misal 1 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Seriyanın ümumi termini bir faktoru ehtiva edir ki, bu da Leibniz kriteriyasından istifadə etməyiniz lazım olduğunu bildirir

1) Sıranın dəyişmə üçün yoxlanılması. Adətən bu məqamda qərarın seriyası ətraflı təsvir edilir və “Serial bir-birini əvəz edir” hökmü verilir.

2) Silsilənin şərtləri mütləq qiymətdə azalır? Çox vaxt çox sadə olan limiti həll etmək lazımdır.

– seriyanın şərtləri modulda azalmır. Yeri gəlmişkən, artıq azalmanın monotonluğunu müzakirə etməyə ehtiyac yoxdur. Nəticə: seriya bir-birindən ayrılır.

Nəyin bərabər olduğunu necə tapmaq olar? Çox sadə. Bildiyiniz kimi, modul mənfi cəhətləri məhv edir, buna görə də birini yaratmaq üçün damdan yanıb-sönən işığı çıxarmaq kifayətdir. Bu halda seriyanın ümumi termini . Biz axmaqcasına "yanıb-sönən işığı" çıxarırıq: .

Misal 2 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Leibniz meyarından istifadə edirik:

1) Seriya bir-birini əvəz edir.

2) – seriyanın şərtləri mütləq qiymətdə azalır. Seriyanın hər bir növbəti üzvü əvvəlkindən daha az mütləq dəyərə malikdir: beləliklə, azalma monotondur.

Nəticə: seriya birləşir.

Hər şey çox sadə olardı - amma bu həllin sonu deyil!

Əgər sıra Leybnits testinə görə yaxınlaşırsa, o zaman seriyanın da olduğu deyilir şərti olaraq birləşir.

Modullardan ibarət sıra da birləşirsə, o zaman seriya deyirlər tamamilə birləşir.

Buna görə də, tipik bir problemin həllinin ikinci mərhələsi - mütləq yaxınlaşma üçün dəyişən sıraların işarəsinin öyrənilməsi gündəmdədir.

Bu mənim günahım deyil - bu sadəcə ədəd seriyası nəzəriyyəsidir =)

Mütləq yaxınlaşma üçün seriyalarımızı nəzərdən keçirək.
Bir sıra modullar tərtib edək - yenə sadəcə işarələrin növbələşməsini təmin edən amili aradan qaldırırıq: - ayrılır (harmonik sıra).

Beləliklə, serialımız tamamilə konvergent deyil.
Tədqiqat altında olan seriya yalnız şərti olaraq birləşir.

Qeyd edək ki, 1-ci misalda qeyri-mütləq yaxınlaşmanı öyrənməyə ehtiyac yoxdur, çünki ilk addımda silsilənin ayrıldığı qənaətinə gəlinmişdir.

Vedrələr, kürəklər, maşınlar yığırıq və ekskavatorumun kabinəsindən dünyaya geniş açıq gözlərlə baxmaq üçün qum qutusunu tərk edirik:

Misal 3 Konvergensiya üçün seriyaları nəzərdən keçirin, biz Leibniz meyarından istifadə edirik:

1)
Bu seriya bir-birini əvəz edir.

2) – seriyanın şərtləri mütləq qiymətdə azalır. Seriyanın hər bir növbəti üzvü əvvəlkindən daha az mütləq dəyərə malikdir: bu azalmanın monoton olması deməkdir. Nəticə: Seriya birləşir.

Silsilənin doldurulmasını təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, burada müqayisə üçün məhdudlaşdırıcı meyardan istifadə etmək lazımdır. Məxrəcdə mötərizələri açmaq daha rahatdır:

Gəlin bu seriyanı konvergent sıra ilə müqayisə edək. Müqayisə üçün məhdudlaşdırıcı meyardan istifadə edirik.

Sıfırdan fərqli sonlu ədəd alınır ki, bu da seriyanın sıra ilə yaxınlaşması deməkdir. Tədqiqat altında olan seriya tamamilə birləşir.

Misal 4 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Misal 5 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Bunlar özünüz qərar verə biləcəyiniz nümunələrdir. Bölmənin sonunda tam həll və nümunə dizaynı.

Gördüyünüz kimi, alternativ sıralar sadə və darıxdırıcıdır! Ancaq səhifəni bağlamağa tələsməyin, sadəcə bir neçə ekranda çoxlarını çaşdıran bir işə baxacağıq. Bu arada, məşq və təkrar üçün daha bir neçə nümunə.

Misal 6 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Biz Leybnitsin meyarından istifadə edirik.
1) Seriya bir-birini əvəz edir.
2)
Seriyanın şərtləri modulda azalır. Seriyanın hər bir növbəti üzvü əvvəlkindən daha az mütləq dəyərə malikdir, yəni azalma monotondur. Nəticə: seriya birləşir.

Nəzərə alın ki, serialın üzvlərini ətraflı təsvir etməmişəm. Onları təsvir etmək həmişə məqsədəuyğundur, lakin "çətin" hallarda qarşısıalınmaz tənbəllik səbəbindən özünüzü "Serial işarə ilə dəyişir" ifadəsi ilə məhdudlaşdıra bilərsiniz. Yeri gəlmişkən, bu məsələyə formal yanaşmağa ehtiyac yoxdur, həmişə yoxlayırıq(ən azı zehni olaraq) serialın əslində alternativ olduğunu. Sürətli baxış uğursuz olur və səhv avtomatik olaraq edilir. "Aldatmalar" haqqında xatırlayın, , , əgər varsa, müsbət şərtlərlə "müntəzəm" bir sıra əldə edərək onlardan qurtulmalısınız.

İkinci incəlik monotonluqla bağlı ifadəyə aiddir ki, onu da mümkün qədər qısalddım. Bunu edə bilərsiniz və demək olar ki, həmişə tapşırığınız qəbul ediləcək. Mən tamamilə pis bir şey deyəcəyəm - şəxsən mən monotonluq haqqında tez-tez susuram və belə bir rəqəm keçir. Ancaq bərabərsizliklərin təfərrüatlı zəncirlərinə qədər hər şeyi ətraflı təsvir etməyə hazır olun (dərsin əvvəlindəki nümunəyə baxın). Bundan əlavə, bəzən monotonluq sərt deyil və "az" sözünü "artıq yoxdur" sözü ilə əvəz etmək üçün buna da nəzarət etmək lazımdır.

Mütləq yaxınlaşma üçün seriyaları nəzərdən keçirək:

Aydındır ki, radikal Cauchy testindən istifadə etməlisiniz:

Beləliklə, seriya birləşir. Tədqiqat altında olan seriya tamamilə birləşir.

Misal 7 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Bu, müstəqil həll üçün bir nümunədir, tez-tez çətinliklərə səbəb olan sıralar var.

Misal 8 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Leibniz meyarından istifadə edirik:
1) Seriya bir-birini əvəz edir.

Məsələ burasındadır ki, bu cür məhdudiyyətlərin həlli üçün standart, gündəlik üsullar yoxdur. Bu limit hara gedir? Sıfıra, sonsuzluğa? Burada vacib olan NƏNİN sonsuzluqda daha sürətli böyüməsidir– say və ya məxrəc.

QEYD: funksiyanın böyümə qaydası anlayışı məqalədə ətraflı şəkildə əhatə olunurLimitlərin həlli üsulları . bizdə var ardıcıllıq məhdudiyyətləri, lakin bu mahiyyəti dəyişmir.

Əgər say faktorialdan daha sürətli böyüyərsə, onda . Əgər sonsuzluqda faktorial saydan daha sürətli böyüyərsə, əksinə, limiti sıfıra “çəkəcək”: . Və ya bəlkə bu hədd sıfırdan fərqli hansısa rəqəmə bərabərdir?

Seriyanın ilk bir neçə şərtini yazmağa çalışaq:
mininci dərəcəli polinomu əvəz edə bilərsiniz, bu, yenə də vəziyyəti dəyişməyəcək - gec-tez faktorial hələ də belə bir dəhşətli polinomu "ötəcək". Faktorial daha çox yüksək sifariş artım hər hansı bir güc ardıcıllığından daha çox.

– Faktorial daha sürətli böyüyür istənilən miqdarda məhsul eksponensial və güc ardıcıllığı (bizim halda).

– İstənilən eksponensial ardıcıllıq istənilən güc ardıcıllığından daha sürətli böyüyür, məsələn: , . Eksponensial ardıcıllıq daha yüksək artım sırası hər hansı bir güc ardıcıllığından daha çox. Faktorial kimi, eksponensial ardıcıllıq istənilən güc ardıcıllığının və ya polinomların istənilən sayda məhsulunu “sürükləyir”: .

– Faktorialdan daha “sərin” bir şey varmı? Yeyin! Güc eksponensial ardıcıllığı ("en" gücünə "en") faktorialdan daha sürətli böyüyür. Praktikada bu nadirdir, lakin məlumat artıq olmaz. Yardımın sonu

Beləliklə, tədqiqatın ikinci bəndini (bunu hələ də xatırlayırsınız? =)) aşağıdakı kimi yazmaq olar:
2) , çünki artım sırası -dən yüksəkdir.
Seriyanın şərtləri modulda azalır, bəzi nömrələrdən başlayaraq, bu halda silsilənin hər növbəti üzvü əvvəlkindən mütləq dəyər baxımından daha az olur, beləliklə azalma monoton olur.

Nəticə: seriya birləşir.

Budur, seriyanın şərtləri ilk dəfə mütləq dəyərdə artdığı maraqlı bir vəziyyətdir, buna görə də limit haqqında səhv ilkin rəyimiz var idi. Amma, bəzi "en" rəqəmindən başlayaraq, faktorialı paylayıcı ötür və sıranın “quyruğu” monoton şəkildə azalır ki, bu da Leybniz teoreminin şərtlərini yerinə yetirmək üçün əsaslı əhəmiyyət kəsb edir. Bu “en”in tam olaraq nəyə bərabər olduğunu tapmaq olduqca çətindir.

Müvafiq teoremə görə silsilənin mütləq yaxınlaşmasından silsilənin şərti yaxınlaşması gəlir. Nəticə: Tədqiqat seriyası tamamilə birləşir.

Və nəhayət, özünüz qərar verməyiniz üçün bir neçə nümunə. Eyni operadan biri (köməki yenidən oxuyun), lakin daha sadə. Gurmeler üçün başqa biri konvergensiyanın ayrılmaz əlamətini möhkəmləndirməkdir.

Misal 9 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Misal 10 Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Rəqəmsal müsbət və alternativ seriyaların yüksək keyfiyyətli öyrənilməsindən sonra təmiz bir vicdanla davam edə bilərsiniz. funksional seriya, heç də az olmayan monoton və monoton maraqlıdır.

Həll və cavablar:

Misal 4: Biz Leibniz meyarından istifadə edirik:

1) Bu seriya bir-birini əvəz edir.
2)
Seriyanın şərtləri modulda azalmır. Nəticə: Seriya fərqlidir..

, bu halda seriyanın hər bir növbəti üzvü əvvəlkindən mütləq dəyər baxımından daha az olur, beləliklə azalma monoton olur. yalnız şərti olaraq birləşir.

Beləliklə, sıra uyğun olmayan inteqralla birlikdə ayrılır. Tədqiqat altında olan seriya

Bu məqalə, seriyanın cəminin tapılmasından tutmuş yaxınlaşma üçün tədqiqinə qədər, say silsiləsi mövzusunda demək olar ki, hər hansı bir nümunəni həll etmək üçün lazım olan məlumatları toplayır və strukturlaşdırır.

Məqalənin icmalı.

Müsbət və alternativ sıraların tərifləri və yaxınlaşma anlayışı ilə başlayaq. Sonra, harmonik sıra, ümumiləşdirilmiş harmonik sıra kimi standart sıraları nəzərdən keçirəcəyik və sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəminin tapılması düsturunu xatırlayacağıq. Bundan sonra biz yaxınlaşan sıraların xassələrinə keçəcək, sıraların yaxınlaşması üçün zəruri şərt üzərində dayanacaq və sıraların yaxınlaşması üçün kifayət qədər kriteriyaları bəyan edəcəyik. Nəzəriyyəni ətraflı izahatlarla tipik nümunələrin həlli ilə seyreltəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Əsas təriflər və anlayışlar. .

Nömrə ardıcıllığı edək .

Budur nömrə ardıcıllığına bir nümunə: Nömrə seriyası .

formanın ədədi ardıcıllığının şərtlərinin cəmidir .

Ədədlər seriyasına misal olaraq, məxrəci q = -0,5 olan sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmini verə bilərik: Zəng etdiədəd seriyasının ümumi üzvü

Əvvəlki misal üçün ədəd seriyasının ümumi termini formaya malikdir.

Ədədlər seriyasının qismən cəmi formasının cəmidir, burada n bəzidir natural ədəd. ədəd sırasının n-ci qismən cəmi də deyilir.

Məsələn, seriyanın dördüncü qismən cəmi var .

Qismən məbləğlər sonsuz ardıcıllıq əmələ gətirir qismən məbləğlər nömrə seriyası.

Seriyamız üçün həndəsi irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə etməklə n-ci qismən cəmi tapılır. , yəni qismən məbləğlərin aşağıdakı ardıcıllığına sahib olacağıq: .

Nömrə seriyası adlanır konvergent, qismən cəmlərin ardıcıllığının sonlu həddi varsa. Əgər ədəd seriyasının qismən cəmlərinin ardıcıllığının həddi mövcud deyilsə və ya sonsuzdursa, o zaman sıra adlanır. fərqli.

Konvergent ədədlər seriyasının cəmi onun qismən cəmlərinin ardıcıllığının həddi adlanır, yəni .

Buna görə də, nümunəmizdə seriya yaxınlaşır və onun cəmi üçdə on altıya bərabərdir: .

Divergent seriyaya misal olaraq məxrəci birdən çox olan həndəsi irəliləyişin cəmini göstərmək olar: . n-ci qismən cəmi ifadə ilə müəyyən edilir , və qismən məbləğlərin həddi sonsuzdur: .

Divergent ədədlər seriyasının başqa bir nümunəsi formanın cəmidir . Bu halda n-ci qismən cəmi kimi hesablana bilər. Qismən məbləğlərin həddi sonsuzdur .

Formanın cəmi çağırdı harmonik nömrə seriyası .

Formanın cəmi , burada s hansısa həqiqi ədəddir, çağırılır harmonik nömrələr seriyası ilə ümumiləşdirilmişdir.

Yuxarıdakı təriflər çox istifadə olunan aşağıdakı ifadələri əsaslandırmaq üçün kifayətdir.

HARMONİK SERİYA DIVERGENTDİR.

Harmonik silsilənin divergensiyasını sübut edək.

Fərz edək ki, seriyalar birləşir. Sonra onun qismən məbləğlərinin sonlu həddi var. Bu halda və yaza bilərik ki, bu da bizi bərabərliyə aparır .

Digər tərəfdən,

Aşağıdakı bərabərsizliklər şübhə doğurmur. Beləliklə, . Ortaya çıxan bərabərsizlik bizə bərabərliyin olduğunu göstərir əldə edilə bilməz ki, bu da harmonik sıraların yaxınlaşması ilə bağlı fərziyyəmizə ziddir.

Nəticə: harmonik seriyalar ayrılır.

Məxrəcli NÖVLƏRİN HƏNDƏSİ PROQRESSİYASININ CƏMİ q İSƏ YAXŞILAN ƏDƏD SERİSİ VƏ ÜÇÜN AYRILAN SERİYƏDİR.

Gəlin bunu sübut edək.

Biz bilirik ki, həndəsi irəliləyişin ilk n üzvünün cəmi düsturla tapılır .

Ədalətli olanda

ədəd seriyasının yaxınlaşmasını göstərir.

q = 1 üçün rəqəmlər seriyasına sahibik . Onun qismən cəmləri kimi tapılır və qismən cəmlərin həddi sonsuzdur , bu halda silsilənin fərqliliyini göstərir.

Əgər q = -1 olarsa, o zaman ədəd seriyası formasını alacaqdır . Qismən məbləğlər tək n və cüt n üçün dəyər alır. Buradan belə nəticəyə gələ bilərik ki, hissə-hissə məbləğlər üçün heç bir məhdudiyyət yoxdur və sıra ayrılır.

Ədalətli olanda

say silsiləsindəki fərqi göstərir.

ÜMUMİYYƏT, HARMONİK SERİYA s > 1-də YAXŞIŞIR VƏ DA AYRIŞIR.

Sübut.

s = 1 üçün harmonik sıra əldə edirik və yuxarıda onun divergensiyasını təyin etdik.

At s bərabərsizliyi bütün təbii k üçün doğrudur. Harmonik silsilənin divergensiyasına görə, onun qismən cəmlərinin ardıcıllığının qeyri-məhdud olduğunu iddia etmək olar (sonlu həddi olmadığı üçün). Onda ədəd seriyasının qismən cəmlərinin ardıcıllığı daha qeyri-məhduddur (bu seriyanın hər bir üzvü harmonik sıranın müvafiq üzvündən böyükdür, buna görə də ümumiləşdirilmiş harmonik sıra s kimi ayrılır);

S > 1 üçün silsilənin yaxınlaşmasını sübut etmək qalır.

Fərqi yazaq:

Aydındır ki, onda

Gəlin n = 2, 4, 8, 16, ... üçün yaranan bərabərsizliyi yazaq.

Bu nəticələrdən istifadə edərək, orijinal nömrə seriyası ilə aşağıdakıları edə bilərsiniz:

İfadə məxrəci olan həndəsi irəliləyişin cəmidir. Biz s > 1 üçün işi nəzərdən keçirdiyimiz üçün. Buna görə
. Beləliklə, s > 1 üçün ümumiləşdirilmiş harmonik sıranın qismən cəmlərinin ardıcıllığı artır və eyni zamanda yuxarıdan qiymətlə məhdudlaşır, buna görə də seriyanın yaxınlaşmasını göstərən bir limitə malikdir. Sübut tamdır.

Nömrə seriyası adlanır müsbət əlamət, əgər onun bütün şərtləri müsbətdirsə, yəni .

Nömrə seriyası adlanır siqnal ötürücü, onun qonşu üzvlərinin əlamətləri fərqli olarsa. Alternativ say seriyası kimi yazıla bilər və ya , Harada .

Nömrə seriyası adlanır dəyişən işarə, əgər o, həm müsbət, həm də mənfi şərtlərin sonsuz sayını ehtiva edirsə.

Dəyişən nömrələr seriyası alternativ nömrələr seriyasının xüsusi halıdır.

Sıralar

müvafiq olaraq müsbət, alternativ və alternativdir.

Alternativ sıra üçün mütləq və şərti yaxınlaşma anlayışı mövcuddur.

tamamilə konvergent, əgər onun üzvlərinin mütləq qiymətlər seriyası yaxınlaşırsa, yəni müsbət ədədlər seriyası yaxınlaşır.

Məsələn, nömrələr seriyası Və silsilələr birləşdiyi üçün tamamilə yaxınlaşır , bu sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmidir.

Alternativ seriya adlanır şərti konvergent, əgər sıra ayrılırsa və sıra yaxınlaşırsa.

Şərti yaxınlaşan ədədlər seriyasına misal seriyadır . Nömrə seriyası , orijinal seriyanın şərtlərinin mütləq qiymətlərindən ibarətdir, harmonik olduğundan fərqlidir. Eyni zamanda, orijinal seriya konvergentdir, istifadə edərək asanlıqla qurulur. Beləliklə, ədədi işarə alternativ sıradır şərti konvergent.

Konvergent ədədlər seriyasının xassələri.

Misal.

Ədədlər seriyasının yaxınlaşmasını sübut edin.

Həll.

Serialı fərqli formada yazaq . Say sıraları yaxınlaşır, çünki ümumiləşdirilmiş harmonik sıra s > 1 üçün yaxınlaşır və yaxınlaşan ədədlər seriyasının ikinci xassəsinə görə ədədi əmsalı olan sıralar da yaxınlaşacaq.

Misal.

Nömrələr seriyası yaxınlaşırmı?

Həll.

Orijinal seriyanı çevirək: . Beləliklə, biz və iki ədəd seriyasının cəmini əldə etdik və onların hər biri birləşir (əvvəlki nümunəyə bax). Nəticə etibarilə, yaxınlaşan ədədlər seriyasının üçüncü xassəsinə görə ilkin sıra da yaxınlaşır.

Misal.

Ədədlər seriyasının yaxınlaşmasını sübut edin və onun məbləğini hesablayın.

Həll.

Bu nömrə seriyası iki seriya arasındakı fərq kimi təqdim edilə bilər:

Bu sıraların hər biri sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmini təmsil edir və buna görə də yaxınlaşandır. Konvergent sıraların üçüncü xassəsi ilkin ədədlər seriyasının yaxınlaşdığını iddia etməyə imkan verir. Onun cəmini hesablayaq.

Sıranın birinci üzvü birdir və müvafiq həndəsi irəliləyişin məxrəci 0,5-ə bərabərdir, buna görə də, .

Sıranın birinci həddi 3-ə bərabərdir və müvafiq sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin məxrəci 1/3-ə bərabərdir, ona görə də .

İlkin ədəd seriyasının cəmini tapmaq üçün əldə edilən nəticələrdən istifadə edək:

Seriyanın yaxınlaşması üçün zəruri şərt.

Əgər ədəd seriyası yaxınlaşırsa, onda onun k-ci üzvünün həddi sıfıra bərabərdir: .

İstənilən ədəd seriyasını yaxınlaşma üçün araşdırarkən ilk növbədə zəruri yaxınlaşma şərtinin yerinə yetirilməsini yoxlamaq lazımdır. Bu şərtin yerinə yetirilməməsi ədəd seriyasının fərqliliyini göstərir, yəni əgər varsa, o zaman sıra ayrılır.

Digər tərəfdən, bu şərtin kifayət etmədiyini başa düşməlisiniz. Yəni bərabərliyin yerinə yetirilməsi say sıralarının yaxınlaşmasını göstərmir. Məsələn, harmonik sıra üçün yaxınlaşma üçün zəruri şərt ödənilir və sıra ayrılır.

Misal.

Nömrələr seriyasını yaxınlaşma üçün nəzərdən keçirin.

Həll.

Ədədlər seriyasının yaxınlaşması üçün zəruri şərti yoxlayaq:

Limit Ədədlər seriyasının n-ci həddi sıfıra bərabər deyil, ona görə də sıra ayrılır.

Müsbət silsilənin yaxınlaşmasının kifayət qədər əlamətləri.

Konvergensiya üçün nömrələr seriyasını öyrənmək üçün kifayət qədər xüsusiyyətlərdən istifadə edərkən, daim problemlərlə qarşılaşırsınız, buna görə də hər hansı bir çətinlikiniz varsa, bu bölməyə müraciət etməyi tövsiyə edirik.

Müsbət ədədlər seriyasının yaxınlaşması üçün zəruri və kafi şərt.

Müsbət ədədlər seriyasının yaxınlaşması üçün onun qismən məbləğlərinin ardıcıllığının məhdudlaşdırılması zəruri və kifayətdir.

Serialların müqayisəsinin əlamətləri ilə başlayaq. Onların mahiyyəti tədqiq olunan ədədi sıraların yaxınlaşması və ya divergensiyası məlum olan sıra ilə müqayisə edilməsindən ibarətdir.

Birinci, ikinci və üçüncü müqayisə əlamətləri.

Seriyaların müqayisəsinin ilk əlaməti.

Qoy və iki müsbət ədəd seriyası olsun və bərabərsizlik bütün k = 1, 2, 3, üçün keçərlidir ... Onda silsilənin yaxınlaşması yaxınlaşmanı, silsilənin divergensiyası isə -nin divergensiyasını nəzərdə tutur.

Birinci müqayisə meyarı çox tez-tez istifadə olunur və yaxınlaşma üçün ədəd seriyalarını öyrənmək üçün çox güclü vasitədir. Əsas problem müqayisə üçün uyğun seriyanın seçilməsidir. Müqayisə üçün sıra adətən (lakin həmişə deyil) elə seçilir ki, onun k-ci həddinin göstəricisi tədqiq olunan ədədi sıranın k-ci həddinin say və məxrəcinin göstəriciləri arasındakı fərqə bərabər olsun. Məsələn, paylayıcı ilə məxrəcin göstəriciləri arasındakı fərq 2 – 3 = -1-ə bərabər olsun, ona görə də müqayisə üçün k-ci hədli, yəni harmonik sıra seçirik. Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal.

Seriyanın yaxınlaşması və ya divergensiyasını təyin edin.

Həll.

Silsilənin ümumi müddətinin həddi sıfıra bərabər olduğundan, silsilənin yaxınlaşması üçün zəruri şərt ödənilir.

Bərabərsizliyin bütün təbii k üçün doğru olduğunu görmək asandır. Biz bilirik ki, harmonik sıra divergentdir, buna görə də birinci müqayisə meyarı ilə orijinal seriya da fərqlidir.

Misal.

Nömrələr seriyasını yaxınlaşma üçün yoxlayın.

Həll.

İlkin şərt say sıralarının yaxınlaşması təmin edilir, çünki . Bərabərsizlik göz qabağındadır k-nin istənilən təbii dəyəri üçün. Ümumiləşdirilmiş harmonik sıra s > 1 üçün yaxınlaşdığı üçün sıra yaxınlaşır. Beləliklə, sıraların müqayisəsinin ilk əlaməti ilkin ədəd seriyasının yaxınlaşmasını bildirməyə imkan verir.

Misal.

Ədədlər seriyasının yaxınlaşmasını və ya divergensiyasını təyin edin.

Həll.

, deməli, ədəd sıralarının yaxınlaşması üçün zəruri şərt ödənilir. Müqayisə üçün hansı sıranı seçməliyəm? Bir ədəd seriyası özünü təklif edir və s haqqında qərar vermək üçün rəqəm ardıcıllığını diqqətlə araşdırırıq. Ədəd ardıcıllığının şərtləri sonsuza doğru artır. Beləliklə, bəzi N rəqəmindən (yəni N = 1619-dan) başlayaraq, bu ardıcıllığın şərtləri 2-dən böyük olacaqdır. Bu N ədədindən başlayaraq bərabərsizlik doğrudur. Nömrə silsiləsi konvergent seriyanın birinci xassəsinə görə yaxınlaşır, çünki o, birinci N – 1 həddi atmaqla konvergent seriyadan alınır. Beləliklə, birinci müqayisə meyarına görə sıra yaxınlaşır və yaxınlaşan ədədlər seriyasının birinci xassəsinə görə sıralar da yaxınlaşacaq.

İkinci müqayisə əlaməti.

Qoy və müsbət ədəd seriyası olsun. Əgər , onda silsilənin yaxınlaşması -nın yaxınlaşmasını nəzərdə tutur. Əgər , onda ədədlər sırasının divergensiyası -nın divergensiyasını nəzərdə tutur.

Nəticə.

Əgər və olarsa, onda bir sıranın yaxınlaşması digərinin yaxınlaşmasını, divergensiya isə fərqliliyi nəzərdə tutur.

İkinci müqayisə meyarından istifadə edərək seriyaları yaxınlaşma üçün yoxlayırıq. Bir sıra olaraq konvergent seriyanı götürürük. Say sırasının k-ci hədlərinin nisbətinin həddi tapaq:

Beləliklə, ikinci müqayisə meyarına görə, sıra sırasının yaxınlaşmasından ilkin seriyanın yaxınlaşması gəlir.

Misal.

Ədədlər seriyasının yaxınlaşmasını yoxlayın.

Həll.

Seriyanın yaxınlaşması üçün zəruri şərti yoxlayaq . Şərt yerinə yetirilir. İkinci müqayisə meyarını tətbiq etmək üçün harmonik seriyanı götürək. k-ci hədlərin nisbətinin həddini tapaq:

Nəticə etibarilə, harmonik silsilənin divergensiyasından ikinci müqayisə meyarına uyğun olaraq ilkin seriyanın ayrılması gəlir.

Məlumat üçün seriyaların müqayisəsi üçün üçüncü kriteriyanı təqdim edirik.

Üçüncü müqayisə əlaməti.

Qoy və müsbət ədəd seriyası olsun. Əgər şərt hansısa N ədədindən ödənilirsə, o zaman silsilənin yaxınlaşması yaxınlaşmanı, silsilənin divergensiyası isə divergensiyanı nəzərdə tutur.

D'Alember işarəsi.

Şərh.

D'Alember sınağı əgər limit sonsuzdursa, yəni əgər varsa etibarlıdır , onda sıra yaxınlaşır, əgər , sonra sıra ayrılır.

Əgər , onda d'Alembert testi seriyaların yaxınlaşması və ya ayrılması haqqında məlumat vermir və əlavə tədqiqat tələb olunur.

Misal.

D'Alembert sınağından istifadə edərək, yaxınlaşma üçün bir sıra sıraları nəzərdən keçirin.

Həll.

Ədəd seriyasının yaxınlaşması üçün lazımi şərtin yerinə yetirilməsini yoxlayaq:

Şərt yerinə yetirilir.

Gəlin d'Alember işarəsindən istifadə edək:

Beləliklə, seriya birləşir.

Radikal Koşi işarəsi.

Müsbət ədəd seriyası olsun. Əgər , onda ədəd seriyası yaxınlaşır, əgər , onda sıra ayrılır.

Şərh.

Koşinin radikal testi əgər limit sonsuzdursa, yəni əgər varsa etibarlıdır , onda sıra yaxınlaşır, əgər , sonra sıra ayrılır.

Əgər varsa, o zaman radikal Koşi testi seriyanın yaxınlaşması və ya divergensiyası haqqında məlumat vermir və əlavə tədqiqat tələb olunur.

Radikal Cauchy testindən istifadə etməyin ən yaxşısı olduğu halları ayırd etmək adətən kifayət qədər asandır. Tipik bir hal, ədəd seriyasının ümumi termininin eksponensial güc ifadəsi olmasıdır. Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal.

Radikal Koşi testindən istifadə edərək müsbət ədədlər seriyasını yaxınlaşma üçün yoxlayın.

Həll.

. Radikal Cauchy testindən istifadə edərək əldə edirik .

Beləliklə, seriyalar birləşir.

Misal.

Nömrələr seriyası yaxınlaşırmı? .

Həll.

Radikal Cauchy testindən istifadə edək , buna görə də, ədəd seriyası yaxınlaşır.

İnteqral Cauchy testi.

Müsbət ədəd seriyası olsun. y = f(x) funksiyasına bənzər davamlı arqumentli funksiya yaradaq. y = f(x) funksiyası müsbət, fasiləsiz və intervalda azalan olsun, burada ). Sonra konvergensiya halında düzgün olmayan inteqral tədqiq olunan ədəd seriyası yaxınlaşır. Əgər düzgün olmayan inteqral ayrılırsa, onda ilkin seriya da ayrılır.

y = f(x) funksiyasının intervalda azalmasını yoxlayarkən bölmədəki nəzəriyyə sizin üçün faydalı ola bilər.

Misal.

Konvergensiya üçün müsbət şərtləri olan ədəd seriyasını araşdırın.

Həll.

Silsilənin yaxınlaşması üçün zəruri şərt təmin edilir, çünki . Funksiyanı nəzərdən keçirək. Müsbət, davamlı və intervalda azalandır. Bu funksiyanın davamlılığı və pozitivliyi şübhəsizdir, lakin azalma üzərində bir az daha ətraflı dayanaq. Törəməni tapaq:
. İntervalda mənfi olur, ona görə də bu intervalda funksiya azalır.

Silsilənin yaxınlaşmasının əlamətləri.
D'Alember işarəsi. Cauchy əlamətləri

İş, iş - və anlaşma sonra gələcək
J.L. d'Alembert

Hər kəsi başlanğıc münasibəti ilə təbrik edirəm tədris ili! Bu gün 1 sentyabrdır və bayram şərəfinə uzun müddətdir səbirsizliklə gözlədiyiniz və bilmək istədiyinizi oxuculara təqdim etmək qərarına gəldim - müsbət ədədi sıraların yaxınlaşma əlamətləri. Birinci Sentyabr bayramı və mənim təbriklərim həmişə aktualdır, əgər əslində çöldə yaydırsa, eybi yoxdur, indi üçüncü dəfə imtahan verirsən, bu səhifəni ziyarət etmisənsə öyrən!

Serialları yenicə öyrənməyə başlayanlar üçün əvvəlcə məqaləni oxumağı məsləhət görürəm Butaforlar üçün nömrələr seriyası. Əslində bu araba ziyafətin davamıdır. Beləliklə, bu gün dərsdə mövzular üzrə nümunələrə və həll yollarına baxacağıq:

Praktik nümunələrdə rast gəlinən ümumi müqayisə əlamətlərindən biri D'Alembert işarəsidir. Cauchy əlamətləri daha az yaygındır, lakin çox populyardır. Həmişə olduğu kimi, materialı sadə, əlçatan və başa düşülən təqdim etməyə çalışacağam. Mövzu ən çətin deyil və bütün tapşırıqlar müəyyən dərəcədə standartdır.

D'Alembertin yaxınlaşma testi

Jan Leron d'Alember 18-ci əsrin məşhur fransız riyaziyyatçısıdır. Ümumiyyətlə, d’Alembert diferensial tənliklər üzrə ixtisaslaşmış və öz tədqiqatlarına əsaslanaraq, Əlahəzrətin top güllələrinin daha yaxşı uçması üçün ballistikanı öyrənmişdir. Eyni zamanda, nömrələr seriyasını unutmadım; Napoleonun qoşunlarının sıralarının sonradan belə aydın şəkildə yaxınlaşması və ayrılması boş yerə deyildi.

İşarənin özünü tərtib etməzdən əvvəl vacib bir sualı nəzərdən keçirək:
D'Alembertin yaxınlaşma testindən nə vaxt istifadə edilməlidir?

1) Məxrəcdə çoxhədli var.
2) Çoxhədlilər həm sayda, həm də məxrəcdə olur.
3) Bir və ya hər iki çoxhədli kök altında ola bilər.
4) Təbii ki, çoxhədlilər və köklər daha çox ola bilər.

D'Alembert testinin tətbiqi üçün əsas şərtlər aşağıdakılardır:

1) Seriyanın ümumi termini (“seriyanın doldurulması”) müəyyən dərəcədə bəzi rəqəmləri ehtiva edir, məsələn, , , və s. Üstəlik, bu şeyin harada yerləşməsinin, say və ya məxrəcdə olmasının heç bir əhəmiyyəti yoxdur - vacib olan onun orada olmasıdır.

2) Seriyanın ümumi termininə faktorial daxildir. Nömrə ardıcıllığı və onun həddi dərsində faktoriallarla qılıncları keçdik. Bununla birlikdə, öz-özünə yığılmış süfrəni yenidən yaymaq zərər verməyəcək:

…

…

3) Əgər seriyanın ümumi terminində “amillər zənciri” varsa, məsələn, . Bu hal nadirdir, amma! Belə bir seriyanı öyrənərkən tez-tez səhvə yol verilir - 6-cı nümunəyə baxın.

Səlahiyyətlər və/və ya faktoriallarla yanaşı, çoxhədlilər də silsilənin doldurulmasında olur, bu, vəziyyəti dəyişmir - D'Alember işarəsindən istifadə etmək lazımdır;

Məhdudiyyətlərlə bağlı problemləri və ya məhdudiyyətləri anlamayanlar üçün dərsə müraciət edin Limitlər. Həll nümunələri. Həddini dərk etmədən və qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək bacarığı olmadan, təəssüf ki, irəli getmək olmaz.

İndi çoxdan gözlənilən nümunələr.

Misal 1

Biz seriyanın ümumi terminində görürük ki, bu, d'Alembert testindən istifadə etmək üçün əmin bir şərtdir. Birincisi, tam həll və nümunə dizaynı, aşağıda şərhlər.

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

birləşir.
(1) Seriyanın növbəti üzvünün əvvəlkinə nisbətini tərtib edirik: . Şərtdən görürük ki, silsilənin ümumi termini . Serialın növbəti üzvünü əldə etmək üçün sizə lazımdır Əvəzinə: .
(2) Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq. Həlllə bağlı bir az təcrübəniz varsa, bu addımı atlaya bilərsiniz.
(3) Hesabdakı mötərizələri açın. Məxrəcdə dördü gücdən çıxarırıq.
(4) ilə azaldın. Biz sabiti limit işarəsindən kənara çıxarırıq. Paylayıcıda oxşar terminləri mötərizədə təqdim edirik.
(5) Qeyri-müəyyənlik standart üsulla - say və məxrəci “en” ilə ən yüksək gücə bölmək yolu ilə aradan qaldırılır.
(6) Biz sayları hədd-həd məxrəclərə bölürük və sıfıra meyilli olanları göstəririk.
(7) Cavabı sadələşdiririk və qeyd edirik ki, D'Alembert meyarına əsasən, öyrənilən silsilələr birləşir.

Misal 2

Oxşar bir sıra götürək və konvergensiya üçün araşdıraq

Əvvəlcə tam həll, sonra şərhlər:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

(1) Biz əlaqə yaradırıq.

(3) ifadəni nəzərdən keçirin payda, ifadə isə məxrəcdə. Biz hesab edirik ki, mötərizədə mötərizələri açıb dördüncü dərəcəyə qaldırmalıyıq: , bunu qətiyyən etmək istəmirik. Nyutonun binomial ilə tanış olmayanlar üçün bu vəzifə daha da çətin olacaq. Daha yüksək dərəcələri təhlil edək: yuxarıdakı mötərizələri açsaq , sonra ali təhsil alacağıq. Aşağıda eyni ali dərəcəyə sahibik: . Əvvəlki nümunə ilə bənzətmə ilə aydın olur ki, pay və məxrəc termini terminə böldükdə sonda bir həddə çatırıq. Yaxud, riyaziyyatçıların dediyi kimi, çoxhədlilər Və - eyni böyümə ardıcıllığı. Beləliklə, əlaqəni təsvir etmək olduqca mümkündür sadə bir qələmlə və dərhal bu şeyin birinə meylli olduğunu göstərin. İkinci çoxhədli cütlərlə eyni şəkildə məşğul oluruq: və , onlar da eyni böyümə ardıcıllığı, və onların nisbəti birliyə meyllidir.

Əslində, 1-ci Nümunədə belə bir “hack” aradan qaldırıla bilərdi, lakin 2-ci dərəcəli polinom üçün belə bir həll hələ də bir növ ləyaqətsiz görünür. Şəxsən mən bunu edirəm: birinci və ya ikinci dərəcəli çoxhədli (və ya çoxhədli) varsa, 1-ci nümunənin həlli üçün “uzun” metodundan istifadə edirəm. 3-cü və ya daha yüksək dərəcə çoxhədli ilə rastlaşaramsa, mən Misal 2-yə bənzər “turbo” metodu.

Misal 3

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Faktoriallarla tipik nümunələrə baxaq:

Misal 4

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Seriyanın ümumi termininə həm dərəcə, həm də faktorial daxildir. Gün kimi aydındır ki, burada d'Alember işarəsindən istifadə edilməlidir. Gəlin qərar verək.

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.
(1) Biz əlaqə yaradırıq. Yenidən təkrar edirik. Şərtə görə, seriyanın ümumi termini: . Serialda növbəti termini əldə etmək üçün, əvəzinə siz əvəz etməlisiniz, Beləliklə: .
(2) Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq.
(3) Yeddi dərəcəni sıxın. Faktorialları ətraflı təsvir edirik. Bunu necə etmək olar - dərsin əvvəlinə və ya nömrə ardıcıllığı ilə bağlı məqaləyə baxın.
(4) Biz kəsilə bilən hər şeyi kəsdik.
(5) Sabiti hədd işarəsindən kənara çıxarırıq. Hesabdakı mötərizələri açın.
(6) Qeyri-müəyyənliyi standart üsulla aradan qaldırırıq - say və məxrəci “en” ilə ən yüksək gücə bölməklə.

Misal 5

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı

Misal 6

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Genişlənmədən görürük ki, seriyanın hər bir növbəti üzvü məxrəcə əlavə edilmiş əlavə amilə malikdir, buna görə də seriyanın ümumi üzvü , sonra seriyanın növbəti üzvü:
. Budur, onlar tez-tez avtomatik olaraq səhv edirlər, formal olaraq alqoritmə uyğun olaraq yazırlar

Nümunə həlli belə görünə bilər:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

Radikal Koşi əlaməti

Oqustin Lui Koşi daha da məşhur fransız riyaziyyatçısıdır. İstənilən mühəndislik tələbəsi sizə Koşinin tərcümeyi-halını danışa bilər. Ən mənzərəli rənglərdə. Bu adın Eyfel qülləsinin birinci mərtəbəsində həkk olunması təsadüfi deyil.

Cauchy'nin müsbət ədədlər seriyası üçün yaxınlaşma testi bir qədər əvvəl müzakirə olunan D'Alembert testinə bənzəyir.

Radikal Cauchy işarəsini nə vaxt istifadə etməlisiniz? Radikal Cauchy testi adətən "yaxşı" kökün seriyanın ümumi üzvündən çıxarıldığı hallarda istifadə olunur. Bir qayda olaraq, bu bibər bir dərəcədədir hansı asılıdır. Ekzotik hallar da var, amma biz onları narahat etməyəcəyik.

Misal 7

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Biz görürük ki, fraksiya “en” dən asılı olaraq tamamilə güc altındadır, yəni radikal Koşi testindən istifadə etməliyik:

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.

(1) Silsilənin ümumi terminini kök altında formalaşdırırıq.

(2) Eyni şeyi, yalnız kök olmadan, dərəcə xüsusiyyətindən istifadə edərək yenidən yazırıq.
(3) Göstəricidə payı məxrəc termininə bölərək, bunu göstəririk
(4) Nəticədə qeyri-müəyyənlik yaranır. Burada uzun yola gedə bilərsiniz: kub, kub, sonra pay və məxrəci kublara "en" bölün. Ancaq bu vəziyyətdə daha təsirli bir həll var: bu texnika birbaşa sabit dərəcədə istifadə edilə bilər. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün pay və məxrəci (polinomların ən yüksək gücü) bölmək lazımdır.

(5) Biz terminlər üzrə bölgü aparırıq və sıfıra meylli olan şərtləri göstəririk.
(6) Cavabı ağlımıza gətiririk, əlimizdə olanı qeyd edirik və seriyanın ayrıldığı qənaətinə gəlirik.

Özünüz həll edə biləcəyiniz daha sadə bir nümunədir:

Misal 8

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Və daha bir neçə tipik nümunə.

Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı

Misal 9

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın
Radikal Cauchy testindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

(1) Silsilənin ümumi terminini kökün altına qoyun.

(2) Qısaldılmış vurma düsturundan istifadə edərək mötərizələri açarkən eyni şeyi yenidən yazırıq, lakin kök olmadan: .
(3) Göstəricidə payı məxrəc termininə bölürük və göstəririk ki .
(4) Formanın qeyri-müəyyənliyi əldə edilir və burada da bölmə birbaşa dərəcə altında həyata keçirilə bilər. Ancaq bir şərtlə:çoxhədlilərin yüksək səviyyələrinin əmsalları fərqli olmalıdır. Bizimkilər fərqlidir (5 və 6) və buna görə də hər iki mərtəbəni bölmək mümkündür (və zəruridir). Əgər bu əmsallar eynidir, məsələn (1 və 1): , onda belə bir hiylə işləmir və istifadə etməlisiniz ikinci gözəl hədd. Xatırlayırsınızsa, bu incəliklər məqalənin son bəndində müzakirə edilmişdir Limitlərin həlli üsulları.

(5) Biz faktiki olaraq terminlər üzrə bölgü həyata keçiririk və hansı terminlərin sıfıra meyl etdiyini göstəririk.
(6) Qeyri-müəyyənlik aradan qaldırıldı, bizə ən sadə hədd qalır: . Niyə daxil sonsuz böyük sıfıra meyllidir? Çünki dərəcənin bazası bərabərsizliyi ödəyir. Kiminsə limitin ədalətliliyinə şübhəsi varsa , onda mən tənbəl olmayacağam, bir kalkulyator götürəcəyəm:
Əgər, onda
Əgər, onda
Əgər, onda
Əgər, onda
Əgər, onda
...və s. sonsuzluğa - yəni həddə:

Eynilə sonsuz azalan həndəsi irəliləmə barmaqlarınızda =)
! Heç vaxt bu texnikanı sübut kimi istifadə etməyin! Çünki bir şeyin aydın olması onun doğru olması demək deyil.

(7) Biz seriyanın birləşdiyi qənaətinə gəldiyimizi göstəririk.

Misal 10

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.

İnteqral Cauchy testi

Və ya sadəcə ayrılmaz bir işarədir. Birinci kurs materialını yaxşı başa düşməyənləri məyus edəcəm. Koşi inteqral testini tətbiq etmək üçün siz törəmələri, inteqralları tapmaqda az-çox əmin olmalı, həmçinin hesablama bacarığına sahib olmalısınız. düzgün olmayan inteqral birinci növ.

Riyazi analiz dərsliklərində inteqral Cauchy testi riyazi olaraq ciddi, lakin çox çaşdırıcı şəkildə verilmişdir, ona görə də işarəni çox ciddi deyil, aydın şəkildə tərtib edəcəyəm:

Gəlin nəzərdən keçirək müsbət ədədlər seriyası. Əgər düzgün olmayan inteqral varsa, o zaman sıra bu inteqralla birlikdə yaxınlaşır və ya uzaqlaşır.

Və aydınlaşdırmaq üçün yalnız bir neçə nümunə:

Misal 11

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Demək olar ki, klassik. Təbii loqarifm və bəzi boşboğazlıq.

Cauchy inteqral testindən istifadə etmək üçün əsas şərtdir sıranın ümumi terminində müəyyən funksiyaya və onun törəməsinə oxşar amillərin olması faktıdır. Mövzudan

D'Alembertin yaxınlaşma testi Radikal Koşi yaxınlaşma testi İnteqral Koşi yaxınlaşma testi

İşarənin özünü tərtib etməzdən əvvəl vacib bir sualı nəzərdən keçirək:
D'Alembertin yaxınlaşma testindən nə vaxt istifadə edilməlidir?

D'Alembert testinin tətbiqi üçün əsas şərtlər aşağıdakılardır:

2) Seriyanın ümumi termininə faktorial daxildir. Sinifdə faktoriallarla qılıncları keçdik Nömrə ardıcıllığı və onun həddi. Bununla birlikdə, öz-özünə yığılmış süfrəni yenidən yaymaq zərər verməyəcək:

…

…

3) Əgər seriyanın ümumi terminində “amillər zənciri” varsa, məsələn, . Bu hal nadirdir, amma! Belə bir seriyanı öyrənərkən tez-tez səhvə yol verilir - 6-cı nümunəyə baxın.

Səlahiyyətlər və/və ya faktoriallarla yanaşı, çoxhədlilər də silsilənin doldurulmasında olur, bu, vəziyyəti dəyişmir - D'Alember işarəsindən istifadə etmək lazımdır;

Bundan əlavə, sıranın ümumi terminində həm dərəcə, həm də faktorial eyni vaxtda baş verə bilər; iki faktorial ola bilər, iki dərəcə olması vacibdir heç olmasa bir şey nəzərə alınan nöqtələr - və bu, D'Alembert işarəsindən istifadə üçün ilkin şərtdir.

D'Alember işarəsi: Gəlin fikirləşək müsbət ədədlər seriyası. Əgər sonrakı terminin əvvəlki ilə nisbətində məhdudiyyət varsa: , onda:
a) cərgədə olduqda birləşir. Xüsusən, seriyalar birləşir.
b) cərgədə olduqda ayrılır. Xüsusən də, silsilələr arasında fərqlər var.
c) Nə vaxt işarəsi cavab vermir. Başqa bir işarədən istifadə etməlisiniz. Çox vaxt, məhdudlaşdırıcı müqayisə testindən istifadə etmək lazım olduqda, D'Alembert testini tətbiq etməyə çalışdıqları halda əldə edilir.

İndi çoxdan gözlənilən nümunələr.

Misal 1

Biz seriyanın ümumi terminində görürük ki, bu, d'Alembert testindən istifadə etmək üçün əmin bir şərtdir. Birincisi, tam həll və nümunə dizaynı, aşağıda şərhlər.

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

birləşir.

Misal 2

Oxşar bir sıra götürək və konvergensiya üçün araşdıraq

Əvvəlcə tam həll, sonra şərhlər:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

Əslində, 1-ci Nümunədə belə bir “hack” aradan qaldırıla bilərdi, lakin 2-ci dərəcəli polinom üçün belə bir həll hələ də bir növ ləyaqətsiz görünür. Şəxsən mən bunu edirəm: birinci və ya ikinci dərəcəli çoxhədli (və ya çoxhədli) varsa, 1-ci nümunənin həlli üçün “uzun” metodundan istifadə edirəm. 3-cü və ya daha yüksək dərəcə çoxhədli ilə rastlaşaramsa, mən Misal 2-yə bənzər “turbo” metodu.

Misal 3

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Rəqəm ardıcıllığı haqqında dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı.
(4) Biz kəsilə bilən hər şeyi kəsdik.
(5) Sabiti hədd işarəsindən kənara çıxarırıq. Hesabdakı mötərizələri açın.
(6) Qeyri-müəyyənliyi standart üsulla aradan qaldırırıq - say və məxrəci “en” ilə ən yüksək gücə bölməklə.

Misal 5

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı

Misal 6

Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Nümunə həlli belə görünə bilər:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, öyrənilən seriya birləşir.

İşarənin özünü tərtib etməzdən əvvəl vacib bir sualı nəzərdən keçirək:
D'Alembertin yaxınlaşma testindən nə vaxt istifadə edilməlidir?

D'Alembert testinin tətbiqi üçün əsas şərtlər aşağıdakılardır:

1) Seriyanın ümumi termini (“seriyanın doldurulması”) müəyyən dərəcədə bəzi rəqəmləri ehtiva edir, məsələn, , və s. Üstəlik, bu funksiyaların harada, say və ya məxrəcdə yerləşməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur - vacib olan onların orada olmasıdır.

2) Seriyanın ümumi termininə faktorial daxildir. faktorial nədir?

…

…

3) Əgər seriyanın ümumi terminində “amillər zənciri” varsa, məsələn, . Bu hal nadirdir.

Səlahiyyətlər və/və ya faktoriallarla yanaşı, çoxhədlilər də silsilənin doldurulmasında olur, bu, vəziyyəti dəyişmir - D'Alember işarəsindən istifadə etmək lazımdır;

Həddini dərk etmədən və qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək bacarığı olmadan, təəssüf ki, irəli getmək olmaz.

Misal:
Həlli: Biz seriyanın ümumi terminində görürük ki, bu, d'Alembert testindən istifadə etmək üçün əmin bir şərtdir.

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

birləşir.

Radikal Koşi işarəsi.

Cauchy'nin müsbət ədədlər seriyası üçün yaxınlaşma testi bir qədər əvvəl müzakirə olunan D'Alembert testinə bənzəyir.

! Maraqlıdır ki, Koşi testi seriyanın yaxınlaşması sualına cavab vermirsə, o zaman D'Alember testi də bizə cavab verməyəcək. Ancaq d'Alemberin işarəsi cavab vermirsə, Koşi işarəsi yaxşı "işləyə bilər". Yəni Koşi işarəsi bu mənada daha güclü işarədir.

!!! Radikal Cauchy işarəsini nə vaxt istifadə etməlisiniz? Radikal Cauchy testi adətən seriyanın ümumi termininin olduğu hallarda istifadə olunur TAM dərəcəsindədir "en"-dən asılı olaraq. Və ya "yaxşı" kökü seriyanın ümumi üzvündən çıxarıldıqda. Ekzotik hallar da var, amma biz onları narahat etməyəcəyik.

Misal: Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Həlli: Görürük ki, seriyanın ümumi termini tamamilə asılı olaraq bir güc altındadır, yəni radikal Cauchy testindən istifadə etməliyik:

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır.

İnteqral Cauchy testi.

Koşi inteqral testini tətbiq etmək üçün siz törəmələri, inteqralları tapmaqda az-çox əmin olmalı, həmçinin hesablama bacarığına sahib olmalısınız. düzgün olmayan inteqral birinci növ.

Mən bunu öz sözlərimlə ifadə edəcəyəm (anlaşa bilməsi üçün).

İnteqral Cauchy testi: Gəlin nəzərdən keçirək müsbət ədədlər seriyası. Bu sıra uyğun olmayan inteqralla birlikdə yaxınlaşır və ya ayrılır.

! !! Cauchy inteqral testindən istifadə etmək üçün əsas şərtdir silsilənin ümumi terminində müəyyən funksiyanın və onun törəməsinin olması faktıdır.

Misal: Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Həlli: Mövzudan törəmə Yəqin ki, ən sadə masa şeyini xatırlayırsınız: , və bizdə belə bir kanonik vəziyyət var.

İndi düzgün olmayan inteqralı hesablamalıyıq. Bu vəziyyətdə iki hal mümkündür:

1) Əgər inteqral yaxınlaşırsa, o zaman sıralarımız da yaxınlaşacaq.

2) Əgər inteqralın ayrıldığı ortaya çıxarsa, o zaman sıralarımız da ayrılacaq.

İnteqral işarəsindən istifadə edirik:

İnteqral funksiyası davamlıdır

Beləliklə, öyrənilən seriya ayrılır uyğun olmayan inteqralla birlikdə.

Misal: Seriyanın yaxınlaşmasını araşdırın

Həlli: ilk öncə yoxlayaq silsilənin yaxınlaşmasının zəruri əlaməti. Bu, formallıq deyil, “kiçik qan tökülməsi” nümunəsi ilə məşğul olmaq üçün əla şansdır.

Nömrə ardıcıllığı daha yüksək böyümə qaydası, daha , buna görə də , yəni zəruri yaxınlaşma işarəsi ödənilir və sıra ya yaxınlaşa, ya da ayrıla bilər.

Beləliklə, bir növ işarədən istifadə etməlisiniz. Amma hansı biri? Müqayisə limiti aydın şəkildə uyğun gəlmir, çünki seriyanın ümumi termininə loqarifm sıxılmışdır, d'Alembert və Koşi əlamətləri də nəticəyə gətirib çıxarmır. Olsaydı, heç olmasa oradan çıxa bilərdik ayrılmaz xüsusiyyət.

"Cinayət yerinin yoxlanılması" fərqli bir sıra təklif edir (ümumiləşmiş harmonik sıra halı), lakin yenə də sual yaranır, hesablamada loqarifmanı necə nəzərə almaq olar?

Çox vaxt nəzərə alınmayan və uzaq bir şelfdə toz toplayan bərabərsizliklərə əsaslanan müqayisənin ilk əlaməti qalır. Serialı daha ətraflı təsvir edək:

Xatırladım ki, qeyri-məhdud böyüyür nömrə ardıcıllığı:

Və nömrədən başlayaraq bərabərsizlik təmin ediləcək:

yəni serialın üzvləri olacaq daha da çox müvafiq üzvlər fərqli sıra.

Nəticədə serialın dağılmaqdan başqa çarəsi qalmır.

Ədədlər seriyasının yaxınlaşması və ya divergensiyası onun “sonsuz quyruğundan” (qalıq) asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə bərabərsizliyin ilk iki rəqəm üçün doğru olmadığını nəzərə almaya bilərik - bu, nəticəyə təsir göstərmir.

Bitmiş nümunə bu kimi görünməlidir:

Gəlin bu seriyanı divergent seriya ilə müqayisə edək.
ilə başlayan bütün ədədlər üçün bərabərsizlik təmin edilir, buna görə də müqayisə meyarına uyğun olaraq öyrənilən sıra ayrılır.

Alternativ sıralar. Leibniz işarəsi. Həll nümunələri.

Alternativ seriya nədir? Bu, adından aydın və ya demək olar ki, aydın görünür. Sadə bir misal.

Gəlin seriyaya baxaq və onu daha ətraflı təsvir edək:

Alignment çarpan təmin edir: əgər cütdürsə, artı işarəsi olacaq, təkdirsə, mənfi işarəsi olacaq.

Praktiki misallarda silsilənin şərtlərinin növbələşməsi təkcə çarpan deyil, həm də onun bacıları ilə təmin edilə bilər: , , , …. Məsələn:

Tələ "aldatmalardır": , , və s. - belə çarpanlar işarə dəyişikliyini təmin etməyin. Tamamilə aydındır ki, hər hansı bir təbii üçün: , , .

Konvergensiya üçün alternativ seriyanı necə yoxlamaq olar? Leibniz testindən istifadə edin.

Leibniz sınağı: Əgər dəyişən silsilədə iki şərt yerinə yetirilirsə: 1) seriyanın şərtləri monoton şəkildə mütləq qiymətində azalır. 2) modulda ümumi hədd həddi sıfıra bərabərdir, onda sıralar birləşir və bu silsilənin cəminin modulu birinci həddinin modulundan artıq olmur.

Modul haqqında qısa məlumat:

"Modulo" nə deməkdir? Modul, məktəbdən xatırladığımız kimi, mənfi işarəni "yeyir". Gəlin sıraya qayıdaq . Bütün işarələri silgi ilə zehni olaraq silin və rəqəmlərə baxaq. Biz bunu görəcəyik hər növbəti seriyasının üzvü azəvvəlkindən daha çox.

İndi bir az monotonluq haqqında.

Serialın üzvləri ciddi monoton seriyanın HƏR NÖVBƏTİ üzvü olduqda modulun azalması moduluƏvvəlkidən AZ: . Bir sıra üçün Azalmanın ciddi monotonluğu ətraflı təsvir edilə bilər:

Və ya qısaca deyə bilərik: seriyanın hər bir növbəti üzvü moduluəvvəlkindən az: .

Serialın üzvləri ciddi monoton deyil seriya modulunun HƏR AŞAĞIDAKİ üzvü əvvəlkindən BÖYÜK OLMAZsa, modulun azalması: . Faktorial bir sıra nəzərdən keçirin: Burada boş monotonluq var, çünki seriyanın ilk iki şərti modul baxımından eynidir. Yəni serialın hər növbəti üzvü moduluəvvəlkindən çox deyil: .

Misal: Konvergensiya üçün seriyaları yoxlayın

Həlli: Seriyanın ümumi termini bir faktoru ehtiva edir ki, bu da Leibniz kriteriyasından istifadə etməyiniz lazım olduğunu bildirir

1) Sıraların monoton azalma üçün yoxlanılması.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – birinci şərt yerinə yetirilmir

2) – ikinci şərt də yerinə yetirilmir.

Nəticə: seriya bir-birindən ayrılır.

Tərif:Əgər sıra Leybniz kriteriyasına görə yaxınlaşırsa və modullardan ibarət sıra da yaxınlaşırsa, o zaman deyirlər ki, sıra tamamilə birləşir.

Əgər sıra Leybniz kriteriyasına görə yaxınlaşırsa və modullardan ibarət sıra ayrılırsa, o zaman seriyaya deyilir. şərti olaraq birləşir.

Modullardan ibarət sıra yaxınlaşırsa, bu seriya da birləşir.

Buna görə də alternativ yaxınlaşan sıra mütləq və ya şərti yaxınlaşma üçün araşdırılmalıdır.

Misal:

Həlli: Leibniz meyarından istifadə edirik:

1) Sıranın hər bir növbəti üzvü əvvəlkindən mütləq dəyər baxımından daha azdır: – birinci şərt yerinə yetirilir.

2) – ikinci şərt də təmin edilir.

Nəticə: seriya birləşir.

Şərti və ya mütləq yaxınlaşmanı yoxlayaq.

Bir sıra modullar yaradaq - yenə işarənin dəyişməsini təmin edən çarpanı çıxarırıq:
– ayrılır (harmonik sıra).

Beləliklə, serialımız tamamilə konvergent deyil.
Tədqiqat altında olan seriya şərti olaraq birləşir.

Misal:Şərti və ya mütləq yaxınlaşma üçün seriyanı yoxlayın

Həlli: Leibniz meyarından istifadə edirik:
1) Gəlin seriyanın ilk bir neçə şərtini yazmağa çalışaq:

…?!

Əgər say faktorialdan daha sürətli böyüyərsə, onda . Əgər sonsuzluqda faktorial saydan daha sürətli böyüyərsə, o, əksinə, limiti sıfıra "çəkəcək": . Və ya bəlkə bu hədd sıfırdan fərqli hansısa rəqəmə bərabərdir? və ya . Bunun əvəzinə, mininci dərəcəli bir çoxhədli əvəz edə bilərsiniz, bu, yenə də vəziyyəti dəyişməyəcək - gec-tez faktorial hələ də belə bir dəhşətli polinomu "ötəcək". Faktorial daha yüksək artım sırası.

– Faktorial daha sürətli böyüyür istənilən miqdarda məhsul eksponensial və güc ardıcıllığı(bizim işimiz).

– Faktorialdan daha “güclü” bir şey varmı? Yeyin! Güc eksponensial ardıcıllığı (“en” gücünə “en”) faktorialdan daha sürətli böyüyür. Praktikada bu nadirdir, lakin məlumat artıq olmaz.

Yardımın sonu

Beləliklə, tədqiqatın ikinci bəndini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
2) , çünki artım sırası -dən yüksəkdir.
Seriyanın şərtləri modulda azalır, bəzi nömrələrdən başlayaraq, bu halda silsilənin hər növbəti üzvü əvvəlkindən mütləq dəyər baxımından daha az olur, beləliklə azalma monoton olur.

Nəticə: sıra birləşir.

Budur, seriyanın şərtləri ilk dəfə mütləq dəyərdə artdığı maraqlı bir vəziyyətdir, buna görə də limit haqqında səhv ilkin rəyimiz var idi. Amma, bəzi "en" rəqəmindən başlayaraq, faktorial payı ötür və sıranın “quyruğu” monoton şəkildə azalır ki, bu da Leybniz teoreminin şərtlərini yerinə yetirmək üçün əsaslı əhəmiyyət kəsb edir. Bu “en”in tam olaraq nəyə bərabər olduğunu tapmaq olduqca çətindir..

Mütləq və ya şərti yaxınlaşma üçün seriyaları araşdırırıq:

Və burada D'Alemberin işarəsi artıq işləyir:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, seriya birləşir.

Tədqiqat altında olan seriya tamamilə birləşir.

Təhlil olunan nümunə başqa bir şəkildə həll edilə bilər (biz alternativ sıranın yaxınlaşması üçün kifayət qədər meyardan istifadə edirik).

Alternativ seriyanın yaxınlaşmasının kifayət qədər əlaməti:Əgər verilmiş seriyanın şərtlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət sıra yaxınlaşırsa, bu seriya da yaxınlaşır.

İkinci yol:

Şərti və ya mütləq yaxınlaşma üçün seriyanı yoxlayın

Həll : Mütləq yaxınlaşma üçün seriyaları nəzərdən keçirək:

Biz d'Alember işarəsindən istifadə edirik:

Beləliklə, seriya birləşir.
Alternativ sıraların yaxınlaşması üçün kifayət qədər meyar əsasında seriyanın özü yaxınlaşır.

Nəticə: Tədqiqat seriyası tamamilə birləşir.

Verilmiş dəqiqliklə sıranın cəmini hesablamaq Aşağıdakı teoremdən istifadə edəcəyik:

Dəyişən seriyaya işarə edək Leybnits meyarının şərtlərini ödəyir və qoy - onun n th qismən məbləğ. Sonra sıra yaxınlaşır və onun cəminin təxmini hesablanmasında səhv S mütləq dəyərdə ilk atılan terminin modulundan çox deyil: