Kompleks ədəd z =x + i * y formasında olan ədəddir, burada x və y realdır nömrələri, və i = xəyali vahid (yəni kvadratı -1 olan ədəd). Təqdimatı müəyyən etmək arqument hərtərəfli nömrələri, qütb koordinat sistemində kompleks müstəvidə mürəkkəb ədədə baxmaq lazımdır.

Təlimatlar

1. Kompleks komplekslərin təmsil olunduğu müstəvi nömrələri, kompleks adlanır. Bu müstəvidə üfüqi oxu real tutur nömrələri(x) və şaquli ox xəyalidir nömrələri(y). Belə bir müstəvidə ədəd iki koordinat z = (x, y) ilə verilir. Qütb koordinat sistemində nöqtənin koordinatları modul və arqumentdir. Modul |z| məsafəsidir bir nöqtədən mənşəyə qədər. Bucaq arqument adlanırmı? nöqtəni birləşdirən vektor və koordinat ön sözü ilə koordinat sisteminin üfüqi oxu arasında (şəklə bax).

2. Şəkil kompleks modul olduğunu göstərir nömrələri z = x + i * y Pifaqor teoremindən istifadə etməklə tapılır: |z| = ? (x^2 + y^2). Əlavə arqument nömrələri z üçbucağın iti bucağı kimi tapılır - triqonometrik funksiyaların qiymətləri vasitəsilə sin, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Tutaq ki, z = 5 * (1 + ?3 * i) ədədi verilsin. Əvvəlcə həqiqi və xəyali hissələri seçin: z = 5 +5 * ?3 * i. Belə çıxır ki, həqiqi hissə x = 5, xəyali hissə isə y = 5 * ?3-dür. Modulu hesablayın nömrələri: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Sonra bucağın sinusunu tapın?: sin ? = 5/10 = 1/2. Oradan arqumenti alırıq nömrələri z 30°-ə bərabərdir.

4. Nümunə 2. z = 5 * i ədədi verilsin. Şəkildən görə bilərsiniz ki, bucaq? = 90°. Yuxarıda verilmiş düsturdan istifadə edərək bu dəyəri yoxlayın. Bunun koordinatlarını yazın nömrələri kompleks müstəvidə: z = (0, 5). Modul nömrələri|z| = 5. tg bucağının tangensi? = 5/5 = 1. Buradan nə çıxır? = 90°.

5. Misal 3. Tutaq ki, z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i olan 2 kompleks ədədin cəminin arqumentini tapmaq lazımdır. Əlavə etmə qaydalarına görə siz bu iki kompleksi əlavə edirsiniz nömrələri: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Sonra yuxarıdakı diaqrama uyğun olaraq arqumenti hesablayın: tg? = 9/3 = 3.

Qeyd!
Əgər rəqəm z = 0 olarsa, onun üçün arqumentin dəyəri müəyyən edilmir.

Faydalı məsləhət
Kompleks ədədin arqumentinin qiyməti 2 * dəqiqliyi ilə müəyyən edilir? * k, burada k istənilən tam ədəddir. Mübahisənin mənası? belə -?

Tərif 8.3 (1).

Uzunluq |z| z = (x,y) vektoru z = x + yi kompleks ədədinin modulu adlanır

Üçbucağın hər bir tərəfinin uzunluğu onun digər iki tərəfinin uzunluqlarının cəmindən artıq olmadığından və üçbucağın iki tərəfinin uzunluqları fərqinin mütləq qiyməti üçüncü tərəfin uzunluğundan az olmadığı üçün. , onda hər hansı iki z 1 və z 2 kompleks ədədləri üçün bərabərsizliklər yerinə yetirilir

Tərif 8.3 (2).

Kompleks ədəd arqumenti. Əgər φ sıfırdan fərqli z vektorunun həqiqi ox ilə yaratdığı bucaqdırsa, formanın istənilən bucağı (φ + 2πn, burada n tam ədəddir və yalnız bu cür bucaq da aşağıdakıların əmələ gətirdiyi bucaq olacaqdır. real ox ilə z vektoru.

Sıfırdan fərqli z = = (x, y) vektorunun həqiqi ox ilə yaratdığı bütün bucaqlar çoxluğu z = x + yi kompleks ədədinin arqumenti adlanır və arg z ilə işarələnir. Bu çoxluğun hər bir elementi z ədədinin arqumentinin qiyməti adlanır (şək. 8.3(1)).

düyü. 8.3(1).

Təyyarənin sıfırdan fərqli vektoru onun uzunluğu və x oxu ilə yaratdığı bucaq ilə unikal şəkildə təyin olunduğundan, sıfırdan fərqli iki kompleks ədəd yalnız və yalnız onların mütləq qiymətləri və arqumentləri bərabər olduqda bərabərdir.

Məsələn, z ədədinin φ arqumentinin qiymətlərinə 0≤φ şərti qoyularsa<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Tərif 8.3.(3)

Kompleks ədədin yazılmasının triqonometrik forması. z = x + уi ≠ 0 kompleks ədədinin həqiqi və xəyali hissələri onun r= |z| modulu ilə ifadə edilir. və arqument φ aşağıdakı kimidir (sinus və kosinusun tərifindən):

Bu bərabərliyin sağ tərəfi z kompleks ədədinin yazılmasının triqonometrik forması adlanır. Biz onu z = 0 üçün də istifadə edəcəyik; bu halda r = 0 və φ istənilən qiymət ala bilər - 0 rəqəminin arqumenti müəyyən edilməmişdir. Beləliklə, hər bir kompleks ədəd triqonometrik formada yazıla bilər.

O da aydın olur ki, əgər kompleks ədədi z şəklində yazılsa

onda r ədədi onun moduludur, çünki

Və φ onun arqumentinin dəyərlərindən biridir

Mürəkkəb ədədlərin yazılmasının triqonometrik forması mürəkkəb ədədləri vurarkən istifadə etmək üçün əlverişli ola bilər, xüsusən də kompleks ədədlərin məhsulunun həndəsi mənasını tapmağa imkan verir.

Triqonometrik formada kompleks ədədlərin vurulması və bölünməsi üçün düsturları tapaq. Əgər

sonra mürəkkəb ədədlərin vurulması qaydasına uyğun olaraq (cəmin sinus və kosinus düsturlarından istifadə etməklə)

Beləliklə, mürəkkəb ədədləri vurarkən onların mütləq dəyərləri vurulur və arqumentlər əlavə olunur:

Bu düsturu ardıcıl olaraq n kompleks ədədə tətbiq etməklə, əldə edirik

Bütün n ədədlər bərabərdirsə, alırıq

Hara üçün

həyata keçirdi

Beləliklə, mütləq dəyəri 1 olan kompleks ədəd üçün (deməli, forması var

Bu bərabərlik adlanır Moivre düsturları

Başqa sözlə, kompleks ədədləri bölərkən onların modulları bölünür,

və arqumentlər çıxarılır.

Nümunələr 8.3 (1).

Mürəkkəb C müstəvisində aşağıdakı şərtlərə cavab verən nöqtələr toplusunu çəkin:

Verilmiş kompleks ədədi $z=a+bi$ ifadə edənə verilmiş kompleks ədədin modulu deyilir.

Verilmiş kompleks ədədin modulu aşağıdakı düsturla hesablanır:

Misal 1

Verilmiş $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$ kompleks ədədlərinin modulunu hesablayın.

$z=a+bi$ kompleks ədədinin modulunu hesablayırıq: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Orijinal kompleks ədəd $z_(1) =13$ üçün $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = alırıq. \sqrt (169) =13$

Orijinal kompleks ədəd $\, z_(2) =4i$ üçün $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) alırıq. ) = \sqrt(16) =4$

Orijinal kompleks ədəd $\, z_(3) =4+3i$ üçün $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^() alırıq. 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Tərif 2

Həqiqi oxun müsbət istiqaməti və verilmiş $z=a+bi$ kompleks ədədinə uyğun gələn $\overrightarrow(OM) $ radius vektorunun yaratdığı $\varphi $ bucağı bu ədədin arqumenti adlanır və $\arg z$ ilə işarələnir.

Qeyd 1

Müəyyən edilmiş kompleks ədədin modulu və arqumenti kompleks ədədi triqonometrik və ya eksponensial formada təqdim edərkən açıq şəkildə istifadə olunur:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - triqonometrik forma;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponensial forma.

Misal 2

Aşağıdakı verilənlərlə verilən kompleks ədədi triqonometrik və eksponensial formada yazın: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) $r=3;\varphi =\pi $ verilənlərini müvafiq düsturlara əvəz edin və əldə edin:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - triqonometrik forma

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponensial forma.

2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ məlumatını müvafiq düsturlara əvəz edin və əldə edin:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - triqonometrik forma

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponensial forma.

Misal 3

Verilmiş kompleks ədədlərin modulunu və arqumentini təyin edin:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Verilmiş kompleks ədədi müvafiq olaraq triqonometrik və eksponensial formalarda yazmaq üçün düsturlardan istifadə edərək modul və arqument tapacağıq.

\ \

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ orijinal kompleks ədədi üçün $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ alırıq. .

2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ ilkin kompleks ədədi üçün biz $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ əldə edin.

3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ ilkin kompleks ədədi üçün $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $ orijinal kompleks ədədi üçün $r=13;\varphi =\pi $ alırıq.

Verilmiş kompleks ədədin $\varphi $ arqumenti $z=a+bi$ aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Təcrübədə verilmiş $z=a+bi$ kompleks ədədinin arqumentinin qiymətini hesablamaq üçün adətən aşağıdakı düsturdan istifadə olunur:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(massiv)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi , a

və ya tənliklər sistemini həll edir

$\left\(\begin(massiv)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(massiv)\sağ. $. (**)

Misal 4

Verilmiş kompleks ədədlərin arqumentini hesablayın: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

$z=3$ olduğundan $a=3,b=0$. (*) düsturu ilə orijinal kompleks ədədin arqumentini hesablayaq:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

$z=4i$ olduğundan $a=0,b=4$. (*) düsturu ilə orijinal kompleks ədədin arqumentini hesablayaq:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

$z=1+i$ olduğundan $a=1,b=1$. İlkin kompleks ədədin arqumentini (**) sistemini həll etməklə hesablayaq:

\[\left\(\begin(massiv)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(massiv)\sağ.\]

Triqonometriya kursundan məlum olur ki, $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ birinci koordinat rübünə uyğun olan və $\varphi =\frac-a bərabər olan bucaq üçün (\pi )( 4) $.

$z=-5$ olduğundan $a=-5,b=0$. (*) düsturu ilə orijinal kompleks ədədin arqumentini hesablayaq:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

$z=-2i$ olduğundan $a=0,b=-2$. (*) düsturu ilə orijinal kompleks ədədin arqumentini hesablayaq:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Qeyd 2

$z_(3)$ ədədi $(0;1)$ nöqtəsi ilə təmsil olunur, buna görə də müvafiq radius vektorunun uzunluğu 1-ə bərabərdir, yəni. $r=1$ və $\varphi =\frac(\pi )(2) $ arqumenti 3-cü Qeydə uyğun olaraq.

$z_(4)$ ədədi $(0;-1)$ nöqtəsi ilə təmsil olunur, buna görə də müvafiq radius vektorunun uzunluğu 1-dir, yəni. $r=1$ və $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ arqumenti Qeyd 3-ə uyğun olaraq.

$z_(5) $ ədədi $(2;2)$ nöqtəsi ilə təmsil olunur, buna görə də müvafiq radius vektorunun uzunluğu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = -ə bərabərdir. \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, yəni. $r=2\sqrt(2) $ və $\varphi =\frac(\pi )(4) $ arqumenti düzbucaqlı üçbucağın xassəsinə görə.

Kompleks ədəd z =x + i * y formasında olan ədəddir, burada x və y realdır nömrələri, və i = xəyali vahid (yəni kvadratı -1 olan ədəd). Konsepsiyanı müəyyən etmək arqument hərtərəfli nömrələri, qütb koordinat sistemində kompleks müstəvidə kompleks ədədi nəzərə almaq lazımdır.

Təlimatlar

Kompleks komplekslərin təmsil olunduğu müstəvi nömrələri, kompleks adlanır. Bu müstəvidə üfüqi oxu real tutur nömrələri(x) və şaquli ox xəyalidir nömrələri(y). Belə bir müstəvidə ədəd iki koordinat z = (x, y) ilə verilir. Qütb koordinat sistemində nöqtənin koordinatları modul və arqumentdir. Modul |z| məsafəsidir bir nöqtədən mənşəyə qədər. Arqument nöqtəni və başlanğıcı birləşdirən vektor və koordinat sisteminin üfüqi oxu arasındakı bucaqdır (şəklə bax).

Şəkil kompleks modul olduğunu göstərir nömrələri z = x + i * y Pifaqor teoremindən istifadə etməklə tapılır: |z| = ? (x^2 + y^2). Növbəti arqument nömrələri z üçbucağın iti bucağı kimi tapılır - triqonometrik funksiyaların qiymətləri vasitəsilə sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Məsələn, z = 5 * (1 + ?3 * i) ədədi verilsin. Əvvəlcə həqiqi və xəyali hissələri seçin: z = 5 +5 * ?3 * i. Belə çıxır ki, həqiqi hissə x = 5, xəyali hissə isə y = 5 * ?3-dür. Modulu hesablayın nömrələri: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Sonra bucağın sinusunu tapın: sin = 5/10 = 1/2. Bu arqumenti verir. nömrələri z 30°-ə bərabərdir.

Nümunə 2. z = 5 * i ədədi verilsin. Şəkil göstərir ki, bucaq = 90°-dir. Yuxarıda verilmiş düsturdan istifadə edərək bu dəyəri yoxlayın. Bunun koordinatlarını yazın nömrələri kompleks müstəvidə: z = (0, 5). Modul nömrələri|z| = 5. Bucağın tangensi tg = 5 / 5 = 1. Buradan belə çıxır ki, = 90°.

Misal 3. z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i iki mürəkkəb ədədin cəminin arqumentini tapmaq lazım gəlsin. Əlavə etmə qaydalarına görə siz bu iki kompleksi əlavə edirsiniz nömrələri: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Sonra yuxarıdakı diaqramdan istifadə edərək arqumenti hesablayın: tg = 9/3 = 3.