x təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu verilmişdir. Diskret təsadüfi dəyişən, ehtimal paylanması qanunu
Fəsil 1. Diskret təsadüfi dəyər
§ 1. Təsadüfi dəyişən anlayışları.
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu.
Tərif : Təsadüfi, sınaq nəticəsində, əvvəlcədən bilinməyən və təsadüfi səbəblərdən asılı olaraq, mümkün qiymətlər toplusundan yalnız bir qiymət alan kəmiyyətdir.
Təsadüfi dəyişənlərin iki növü var: diskret və davamlı.
Tərif : X təsadüfi dəyişən adlanır diskret (fasiləsiz) əgər onun dəyərlər dəsti sonlu və ya sonsuzdur, lakin hesablana bilirsə.
Başqa sözlə, diskret təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri yenidən nömrələnə bilər.
Təsadüfi dəyişən onun paylanma qanunundan istifadə edərək təsvir edilə bilər.
Tərif : Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri ilə onların ehtimalları arasındakı uyğunluğu çağırın.
Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu cədvəl şəklində göstərilə bilər, onun birinci sətirində təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri artan qaydada, ikinci sətirdə isə bunların müvafiq ehtimalları göstərilir. dəyərlər, yəni.
burada р1+ р2+…+ рn=1
Belə cədvəl diskret təsadüfi dəyişənin paylanma sırası adlanır.
Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlər çoxluğu sonsuzdursa, p1+ p2+…+ pn+… seriyası birləşir və onun cəmi 1-ə bərabərdir.
Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu qrafik şəkildə təsvir edilə bilər, bunun üçün düzbucaqlı koordinat sistemində nöqtələri ardıcıl olaraq koordinatları (xi; pi), i=1,2,…n birləşdirən sınıq xətt qurulur. Nəticə xətti adlanır paylama poliqonu (şək. 1).
Üzvi kimya" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">üzvi kimya müvafiq olaraq 0,7 və 0,8-dir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylanma qanununu tərtib edin - tələbənin keçəcəyi imtahanların sayı.
Həll. İmtahan nəticəsində hesab edilən təsadüfi dəyişən X aşağıdakı qiymətlərdən birini qəbul edə bilər: x1=0, x2=1, x3=2.
Bu dəyərlərin ehtimalını tapaq.Hadisələri işarə edək:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" hündürlük="66 src=">
 |
Beləliklə, X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu cədvəllə verilir:
Nəzarət: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Paylanma funksiyası
Təsadüfi dəyişənin tam təsviri paylama funksiyası ilə də verilir.
Tərif: Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma funksiyası hər bir x dəyəri üçün X təsadüfi dəyişənin x-dən kiçik qiymət alması ehtimalını təyin edən F(x) funksiyası adlanır:
F(x)=P(X<х)
Həndəsi olaraq paylanma funksiyası X təsadüfi dəyişənin say xəttində x nöqtəsinin solunda yerləşən nöqtə ilə ifadə olunan dəyəri alması ehtimalı kimi şərh edilir.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) (-∞;+∞) üzərində azalmayan funksiyadır;
3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) nöqtələrində solda davamlı və bütün digər nöqtələrdə davamlı;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Diskret təsadüfi kəmiyyət X-in paylanma qanunu cədvəl şəklində verilirsə:
onda F(x) paylanma funksiyası düsturla müəyyən edilir:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
x≤ x1 üçün 0,
r1 x1-də< х≤ x2,
F(x)= x2-də р1 + р2< х≤ х3
x>xn üçün 1.
Onun qrafiki Şəkil 2-də göstərilmişdir:
§ 3. Diskret təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları.
Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərə daxildir gözlənilən dəyər.
Tərif: Riyazi gözlənti M(X) diskret təsadüfi dəyişən X onun bütün dəyərlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir:
M(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin xarakteristikası kimi çıxış edir.
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
1)M(C)=C, burada C sabit qiymətdir;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir;
5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit qiymətdir;
Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin orta dəyəri ətrafında dispersiya dərəcəsini xarakterizə etmək üçün dispersiyadan istifadə olunur.
Tərif: Fərqlilik D ( X ) təsadüfi dəyişən X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir:
Dispersiya xüsusiyyətləri:
1)D(C)=0, burada C sabit qiymətdir;
2)D(X)>0, burada X təsadüfi dəyişəndir;
3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit qiymətdir;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir;
Dispersiyanı hesablamaq üçün düsturdan istifadə etmək çox vaxt rahatdır:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
D(X) dispersiyasının kvadrat təsadüfi kəmiyyət ölçüsü var ki, bu da həmişə əlverişli deyil. Buna görə də, √D(X) dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin dispersiyasının göstəricisi kimi də istifadə olunur.
Tərif: Standart sapma σ(X) X təsadüfi dəyişəni dispersiyanın kvadrat kökü adlanır:
Tapşırıq № 2. Diskret təsadüfi dəyişən X paylama qanunu ilə müəyyən edilir:
P2, paylanma funksiyası F(x)-i tapın və onun qrafikini, həmçinin M(X), D(X), σ(X) qrafikini çəkin.
Həll: X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabər olduğundan, onda
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
F(x)=P(X) paylanma funksiyasını tapaq Həndəsi cəhətdən bu bərabərliyi aşağıdakı kimi şərh etmək olar: F(x) təsadüfi dəyişənin say oxunda x nöqtəsinin solunda yerləşən nöqtə ilə ifadə olunan qiyməti alma ehtimalıdır. Əgər x≤-1 olarsa, onda F(x)=0, çünki (-∞;x) üzərində bu təsadüfi dəyişənin tək qiyməti yoxdur; Əgər -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Əgər 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) iki qiymət var x1=-1 və x2=0; Əgər 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Əgər 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Əgər x>3 olarsa, onda F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünki dörd qiymət x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) və x5=3 intervalına düşür. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" eni="14 hündürlük=2" hündürlük="2"> x≤-1-də 0, -1-də 0,1<х≤0, 0-da 0.2<х≤1, F(x)= 1-də 0,5<х≤2, 2-də 0,7<х≤3, 1-də x>3 F(x) funksiyasını qrafik olaraq təqdim edək (şək. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" eni="158 hündürlük=29" hündürlük="29">≈1,2845. §
4. Binom paylanma qanunu diskret təsadüfi dəyişən, Puasson qanunu. Tərif: binomial
diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanması qanunu adlanır X - hər birində A hadisəsi p ehtimalı ilə baş verə bilən və ya q = 1-p ehtimalı ilə baş verməyən n müstəqil təkrar sınaqda A hadisəsinin baş vermələrinin sayı. Onda P(X=m) - n sınaqda A hadisəsinin düz m dəfə baş vermə ehtimalı Bernulli düsturu ilə hesablanır: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m İkili qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntiləri, dispersiyası və standart sapması müvafiq olaraq düsturlardan istifadə etməklə tapılır: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Hər sınaqda A hadisəsinin baş vermə ehtimalı - "beşin atılması" eynidir və 1/6-ya bərabərdir. , yəni P(A)=p=1/6, onda P(A)=1-p=q=5/6, burada - "A ala bilməmək." X təsadüfi dəyişəni aşağıdakı qiymətləri qəbul edə bilər: 0;1;2;3. Bernoulli düsturundan istifadə edərək X-in mümkün qiymətlərinin hər birinin ehtimalını tapırıq: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Bu. X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu aşağıdakı formaya malikdir: Nəzarət: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. X təsadüfi kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarını tapaq: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tapşırıq № 4. Avtomatik maşın hissələri möhürləyir. İstehsal edilmiş hissənin qüsurlu olma ehtimalı 0,002-dir. 1000 seçilmiş hissə arasında olma ehtimalını tapın: a) 5 qüsurlu; b) ən azı biri qüsurludur. Həll:
n=1000 ədədi böyükdür, qüsurlu hissənin əmələ gəlməsi ehtimalı p=0,002 azdır və nəzərdən keçirilən hadisələr (hissə qüsurlu olur) müstəqildir, buna görə də Puasson düsturu yerinə yetirilir: Рn(m)= e-
λ
λm λ=np=1000 0,002=2 tapaq. a) 5 qüsurlu hissənin olma ehtimalını tapın (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Ən azı bir qüsurlu hissənin olma ehtimalını tapın. A hadisəsi - "seçilmiş hissələrdən ən azı biri nasazdır" hadisənin əksidir - "bütün seçilmiş hissələr qüsurlu deyil." Buna görə də, P(A) = 1-P(). Beləliklə, istənilən ehtimal bərabərdir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Müstəqil iş üçün tapşırıqlar.
1.1
1.2.
Dağılmış təsadüfi dəyişən X paylama qanunu ilə müəyyən edilir: p4-ü, F(X) paylama funksiyasını tapın və onun qrafikini, həmçinin M(X), D(X), σ(X) qrafikini çəkin. 1.3.
Qutuda 9 marker var, 2-si artıq yazmır. Təsadüfi olaraq 3 marker götürün. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında yazı markerlərinin sayıdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin. 1.4.
Kitabxananın rəfində təsadüfi şəkildə düzülmüş 6 dərslik var, onlardan 4-ü cildlidir. Kitabxanaçı təsadüfi qaydada 4 dərsliyi götürür. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında cildlənmiş dərsliklərin sayıdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin. 1.5.
Biletdə iki tapşırıq var. Birinci məsələnin düzgün həlli ehtimalı 0,9, ikincisi isə 0,7-dir. Təsadüfi dəyişən X biletdəki düzgün həll edilmiş problemlərin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın, həmçinin F(x) paylanma funksiyasını tapın və onun qrafikini qurun. 1.6.
Üç atıcı hədəfə atəş açır. Bir atışla hədəfi vurma ehtimalı birinci atıcı üçün 0,5, ikinci üçün 0,8, üçüncü üçün isə 0,7-dir. Təsadüfi dəyişən X, atıcılar hər dəfə bir atəş açdıqları təqdirdə hədəfə vurulan vuruşların sayıdır. M(X),D(X) paylanma qanununu tapın. 1.7.
Basketbolçu topu səbətə atır, hər vuruşa dəymə ehtimalı 0,8. Hər vuruş üçün o, 10 xal alır və qaçırsa, ona heç bir xal verilmir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylama qanununu tərtib edin - basketbolçunun 3 atışda aldığı xalların sayı. M(X),D(X), eləcə də onun 10 baldan çox alma ehtimalını tapın. 1.8.
Kartların üzərinə hərflər yazılır, cəmi 5 sait və 3 samit. 3 kart təsadüfi seçilir və hər dəfə götürülmüş kart geri qaytarılır. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında saitlərin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin və M(X),D(X),σ(X) tapın. 1.9.
Orta hesabla, müqavilələrin 60% -i Sığorta Şirkəti sığorta hadisəsinin baş verməsi ilə əlaqədar sığorta məbləğlərini ödəyir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylama qanununu tərtib edin - təsadüfi seçilmiş dörd müqavilə arasında sığorta məbləğinin ödənildiyi müqavilələrin sayı. Bu kəmiyyətin ədədi xarakteristikalarını tapın. 1.10.
Radiostansiya ikitərəfli rabitə qurulana qədər müəyyən fasilələrlə çağırış işarələrini (dörddən çox olmayan) göndərir. Zəng işarəsinə cavab alma ehtimalı 0,3-dür. Təsadüfi dəyişən X göndərilən zəng işarələrinin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin və F(x) tapın. 1.11.
3 açar var, onlardan yalnız biri kilidə uyğundur. Təsadüfi dəyişən X-nin paylanması qanununu tərtib edin, əgər sınanmış açar sonrakı cəhdlərdə iştirak etmirsə, kilidi açmaq cəhdlərinin sayı. M(X),D(X) tapın. 1.12.
Etibarlılıq üçün üç cihazın ardıcıl müstəqil sınaqları aparılır. Hər bir sonrakı cihaz yalnız əvvəlkinin etibarlı olduğu halda sınaqdan keçirilir. Hər bir cihaz üçün testdən keçmə ehtimalı 0,9-dur. Test edilmiş cihazların təsadüfi dəyişən X sayı üçün paylama qanununu tərtib edin. 1.13
.X diskret təsadüfi dəyişənin üç mümkün qiyməti var: x1=1, x2, x3 və x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektron cihaz blokunda 100 eyni element var. T zamanı hər bir elementin sıradan çıxma ehtimalı 0,002-dir. Elementlər müstəqil işləyir. T zamanı ərzində ikidən çox olmayan elementin sıradan çıxma ehtimalını tapın. 1.15.
Dərslik 50 min nüsxə tirajla nəşr edilmişdir. Dərsliyin səhv bağlanma ehtimalı 0,0002-dir. Sirkulyasiyada aşağıdakıların olma ehtimalını tapın: a) dörd qüsurlu kitab, b) ikidən az qüsurlu kitab. 1
.16.
Hər dəqiqə ATS-ə daxil olan zənglərin sayı λ=1,5 parametri ilə Puasson qanununa əsasən paylanır. Bir dəqiqədən sonra aşağıdakıların gəlməsi ehtimalını tapın: a) iki zəng; b) ən azı bir zəng. 1.17.
Z=3X+Y olarsa M(Z),D(Z)-i tapın. 1.18.
İki müstəqil təsadüfi dəyişənin paylanma qanunları verilmişdir: Z=X+2Y olarsa M(Z),D(Z)-i tapın. Cavablar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; x≤-2-də 0, -2-də 0,3<х≤0, F(x)= 0-da 0.5<х≤2, 2-də 0,9<х≤5, 1-də x>5 -1-də 0,3<х≤0, 0-da 0.4<х≤1, F(x)= 1-də 0.6<х≤2, 2-də 0,7<х≤3, 1-də x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" eni="2 hündürlük=98" hündürlük="98"> x≤0-da 0, 0-da 0.03<х≤1, F(x)= 1-də 0,37<х≤2, x>2 üçün 1 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Fəsil 2. Davamlı təsadüfi dəyişən
Tərif: Davamlı
bütün mümkün dəyərləri say xəttinin sonlu və ya sonsuz diapazonunu tamamilə dolduran kəmiyyətdir. Aydındır ki, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdur. Fasiləsiz təsadüfi dəyişən paylama funksiyasından istifadə etməklə təyin edilə bilər. Tərif: F paylama funksiyası
fasiləsiz təsadüfi dəyişən X hər bir dəyər üçün müəyyən edən F(x) funksiyası adlanır xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Paylanma funksiyası bəzən məcmu paylama funksiyası adlanır. Paylanma funksiyasının xüsusiyyətləri:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Davamlı təsadüfi dəyişən üçün paylama funksiyası istənilən nöqtədə fasiləsizdir və ayrı-ayrı nöqtələr istisna olmaqla, hər yerdə diferensiallana bilir. 3) X təsadüfi dəyişənin (a;b), [a;b], [a;b] intervallarından birinə düşmə ehtimalı F(x) funksiyasının qiymətləri arasındakı fərqə bərabərdir. a və b nöqtələrində, yəni. R(a)<Х 4) X davamlı təsadüfi dəyişənin bir ayrı qiymət alması ehtimalı 0-dır. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Paylanma funksiyasından istifadə edərək fasiləsiz təsadüfi dəyişənin təyin edilməsi yeganə yol deyil. Ehtimalın paylanma sıxlığı (paylanma sıxlığı) anlayışını təqdim edək. Tərif
:
Ehtimalın paylanması sıxlığı
f
(
x
)
fasiləsiz təsadüfi dəyişən X-in paylanma funksiyasının törəməsidir, yəni: Ehtimal sıxlığı funksiyası bəzən diferensial paylanma funksiyası və ya diferensial paylanma qanunu adlanır. f(x) ehtimal sıxlığının paylanmasının qrafiki adlanır ehtimal paylama əyrisi
.
Ehtimal sıxlığının paylanmasının xüsusiyyətləri:
1) f(x) ≥0, burada xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s; b) Məlumdur ki, F(x)= ∫ f(x)dx Buna görə də, x əgər x≤2, onda F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 əgər x>6, onda F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Beləliklə, x≤2-də 0, F(x)= (x-2)2/16-da 2<х≤6, x>6 üçün 1. F(x) funksiyasının qrafiki şək 3-də göstərilmişdir https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" eni="14" hündürlük="62 src="> x≤0-da 0, F(x)= (3 arktan x)/π 0-da<х≤√3, x>√3 üçün 1. f(x) diferensial paylanma funksiyasını tapın Həll:
f(x)= F’(x) olduğundan DIV_ADBLOCK93"> · Riyazi gözlənti M (X)
davamlı təsadüfi dəyişən X bərabərliklə müəyyən edilir: M(X)= ∫ x f(x)dx, bir şərtlə ki, bu inteqral mütləq yaxınlaşsın. · Dispersiya
D
(
X
)
davamlı təsadüfi dəyişən X bərabərliklə müəyyən edilir: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, və ya D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Standart kənarlaşma σ(Х)
davamlı təsadüfi dəyişən bərabərliklə müəyyən edilir: Daha əvvəl dispers təsadüfi dəyişənlər üçün müzakirə edilən riyazi gözləmə və dispersiyanın bütün xassələri davamlı olanlar üçün də etibarlıdır. Tapşırıq №3. X təsadüfi dəyişəni f(x) diferensial funksiyası ilə müəyyən edilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Müstəqil həll üçün problemlər.
2.1.
Fasiləsiz təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilir: x≤0-da 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 üçün 0, F(x)= - π/6-da cos 3x<х≤ π/3, x> π/3 üçün 1. f(x) diferensial paylanma funksiyasını tapın və həmçinin Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2-də 0, f(x)= c x 2-də<х≤4, x>4 üçün 0. 2.4.
Fasiləsiz təsadüfi dəyişən X paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir: x≤0-da 0, f(x)= 0-da c √x<х≤1, x>1 üçün 0. Tapın: a) c rəqəmi; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x at, 0-da x. Tapın: a) F(x) və onun qrafikini qurun; b) M(X),D(X), σ(X); c) dörd müstəqil sınaqda X-in qiymətinin (1;4) intervalına aid dəyərin düz 2 qatını alması ehtimalı. 2.6.
Fasiləsiz X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylama sıxlığı verilir: f(x)= 2(x-2) x-də, 0-da x. Tapın: a) F(x) və onun qrafikini qurun; b) M(X),D(X), σ (X); c) üç müstəqil sınaqda X-in dəyərinin seqmentə aid dəyərin düz 2 qatını alması ehtimalı . 2.7.
f(x) funksiyası aşağıdakı kimi verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) funksiyası aşağıdakı kimi verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" eni="45" hündürlük="36 src="> .jpg" eni="16" hündürlük="15">[- π /4; π /4]. Tapın: a) funksiyanın bəzi X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal sıxlığı olacağı c sabitinin qiymətini; b) paylanma funksiyası F(x). 2.9.
(3;7) intervalında cəmlənmiş X təsadüfi kəmiyyəti F(x)= paylanma funksiyası ilə təyin olunur. Bunun ehtimalını tapın təsadüfi dəyişən X dəyəri alacaq: a) 5-dən az, b) 7-dən az deyil. 2.10.
Təsadüfi dəyişən X, intervalda cəmlənmişdir (-1;4), F(x)= paylanma funksiyası ilə verilir. Bunun ehtimalını tapın təsadüfi dəyişən X dəyəri alacaq: a) 2-dən az, b) 4-dən az deyil. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Tapın: a) c rəqəmi; b) M(X); c) ehtimal P(X> M(X)). 2.12.
Təsadüfi dəyişən diferensial paylama funksiyası ilə müəyyən edilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" eni="60" hündürlük="38 src=">.jpg" eni="16 hündürlük=15" hündürlük="15"> . Tapın: a) M(X); b) ehtimal P(X≤M(X)) 2.13.
Rem paylanması ehtimal sıxlığı ilə verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 üçün. Sübut edin ki, f(x) həqiqətən də ehtimal sıxlığı funksiyasıdır. 2.14.
Fasiləsiz X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylama sıxlığı verilir: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Şəkil 5) 2.16.
X təsadüfi dəyişəni qanuna uyğun olaraq paylanır. düz üçbucaq"(0;4) intervalında (şək. 5). Bütün say xəttində f(x) ehtimal sıxlığının analitik ifadəsini tapın. Cavablar
x≤0-da 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 üçün 0, π/6-da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. x≤a üçün 0, a üçün f(x)=<х x≥b üçün 0. f(x) funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Tapşırıq №1. X təsadüfi dəyişəni seqmentdə bərabər paylanmışdır. Tapın: a) ehtimalın paylanması sıxlığı f(x) və onun qrafikini qurun; b) paylanma funksiyası F(x) və onun qrafiki; c) M(X),D(X), σ(X). Həll:
Yuxarıda müzakirə olunan düsturlardan istifadə edərək a=3, b=7 ilə tapırıq: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" eni="22" hündürlük="39"> 3≤х≤7-də, x>7 üçün 0 Onun qrafikini quraq (şək. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 at x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" eni="203" hündürlük="119 src=">Şəkil 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" eni="14" hündürlük="49 src="> x-də 0<0, f(x)= x≥0 üçün λе-λх. Eksponensial qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası düsturla verilir: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" eni="161" hündürlük="119 src="> Şəkil 6 Eksponensial paylanmanın riyazi gözləntiləri, dispersiya və standart sapması müvafiq olaraq aşağıdakılara bərabərdir: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Beləliklə, riyazi gözlənti və eksponensial paylanmanın standart kənarlaşması bir-birinə bərabərdir. X-in (a;b) intervalına düşmə ehtimalı düsturla hesablanır: P(a<Х Tapşırıq № 2. Cihazın orta nasazlıqsız işləmə müddəti 100 saatdır.Aparatın nasazlıqsız işləmə müddətinin eksponensial paylanma qanununa malik olduğunu fərz etsək, tapın: a) ehtimalın paylanma sıxlığı; b) paylanma funksiyası; c) cihazın nasazlıqsız işləmə müddətinin 120 saatdan çox olma ehtimalı. Həll:
Şərtə görə, riyazi paylanma M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) x≥0 üçün f(x)= 0,01e -0,01x. b) x-də F(x)= 0<0, x≥0-da 1-e -0,01x. c) Paylanma funksiyasından istifadə edərək istənilən ehtimalı tapırıq: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Normal paylanma qanunu Tərif:
Davamlı təsadüfi dəyişən X var normal paylanma qanunu (Gauss qanunu),
onun paylanma sıxlığı formaya malikdirsə: burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normal paylanma əyrisi adlanır normal və ya Qauss əyrisi
(Şəkil 7) Normal qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası Laplas funksiyası F (x) vasitəsilə aşağıdakı düsturla ifadə edilir: Laplas funksiyası haradadır. Şərh:
Ф(x) funksiyası təkdir (Ф(-х)=-Ф(х)), əlavə olaraq x>5 üçün Ф(х) ≈1/2 qəbul edə bilərik. F(x) paylanma funksiyasının qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" eni="218" hündürlük="33"> Kənarlaşmanın mütləq qiymətinin az olması ehtimalı müsbət rəqəmδ düsturla hesablanır: Xüsusilə, m=0 üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir: "Üç Siqma Qaydası"
Əgər X təsadüfi kəmiyyəti m və σ parametrləri ilə normal paylanma qanununa malikdirsə, onda onun qiymətinin (a-3σ; a+3σ) intervalında olması demək olar ki, dəqiqdir, çünki https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" eni="157" hündürlük="57 src=">a) b) Düsturdan istifadə edək: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" eni="369" hündürlük="38 src="> Ф(х) funksiya qiymətləri cədvəlindən Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 tapırıq. Beləliklə, istədiyiniz ehtimal: P(28 Müstəqil iş üçün tapşırıqlar
3.1.
X təsadüfi kəmiyyəti (-3;5) intervalında bərabər paylanmışdır. Tapın: b) paylanma funksiyası F(x); c) ədədi xarakteristikalar; d) ehtimalı P(4<х<6). 3.2.
X təsadüfi dəyişəni seqmentdə bərabər paylanmışdır. Tapın: a) paylanma sıxlığı f(x); b) paylanma funksiyası F(x); c) ədədi xarakteristikalar; d) ehtimal P(3≤х≤6). 3.3.
Magistral yolda avtomatik svetofor var ki, orada yaşıl işıq 2 dəqiqə, sarı 3 saniyə, qırmızı 30 saniyə yanır və s. Avtomobil magistralda təsadüfi vaxtda hərəkət edir. Avtomobilin svetofordan dayanmadan keçməsi ehtimalını tapın. 3.4.
Metro qatarları müntəzəm olaraq 2 dəqiqəlik fasilələrlə hərəkət edir. Sərnişin təsadüfi vaxtda platformaya daxil olur. Bir sərnişinin qatar üçün 50 saniyədən çox gözləməli olma ehtimalı nədir? X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın - qatarın gözləmə müddəti. 3.5.
Paylanma funksiyası ilə verilən eksponensial paylanmanın dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın: F(x)= x-də 0<0, x≥0 üçün 1-8x. 3.6.
Davamlı təsadüfi dəyişən X ehtimalın paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir: x-də f(x)= 0<0, x≥0-da 0,7 e-0,7x. a) Nəzərdən keçirilən təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu adlandırın. b) F(X) paylanma funksiyasını və X təsadüfi kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarını tapın. 3.7.
X təsadüfi dəyişəni ehtimal paylama sıxlığı ilə müəyyən edilmiş eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır: x-də f(x)= 0<0, x≥0-da 0,4 e-0,4 x. Test nəticəsində X-in (2.5;5) intervalından qiymət alması ehtimalını tapın. 3.8.
Davamlı təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilmiş eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır: F(x)= x-də 0<0, x≥0-da 1-0,6x Test nəticəsində X-in seqmentdən qiymət alması ehtimalını tapın. 3.9.
Normal paylanmış təsadüfi kəmənin gözlənilən qiyməti və standart kənarlaşması müvafiq olaraq 8 və 2-dir.Tap: a) paylanma sıxlığı f(x); b) sınaq nəticəsində X-in (10;14) intervalından qiymət alması ehtimalı. 3.10.
Təsadüfi dəyişən X normal olaraq 3,5 riyazi gözlənti və 0,04 dispersiya ilə paylanır. Tapın: a) paylanma sıxlığı f(x); b) sınaq nəticəsində X-in seqmentdən qiymət alması ehtimalı . 3.11.
X təsadüfi kəmiyyəti normal olaraq M(X)=0 və D(X)=1 ilə paylanır. Hadisələrdən hansının: |X|≤0.6 və ya |X|≥0.6 ehtimalı daha çoxdur? 3.12.
X təsadüfi dəyişəni M(X)=0 və D(X)=1 ilə normal paylanır.Bir sınaq zamanı hansı intervaldan (-0,5;-0,1) və ya (1;2) qiymət almaq ehtimalı daha yüksəkdir? 3.13.
Səhm başına cari qiymət M(X)=10 den olan normal paylanma qanunundan istifadə etməklə modelləşdirilə bilər. vahidlər və σ (X)=0,3 den. vahidlər Tapın: a) cari səhm qiymətinin 9,8 den olması ehtimalı. vahidlər 10,4 günə qədər vahidlər; b) “üç siqma qaydasından” istifadə edərək, cari səhm qiymətinin yerləşəcəyi sərhədləri tapın. 3.14.
Maddənin çəkisi sistematik səhvlər olmadan aparılır. Təsadüfi ölçmə xətaları orta kvadrat nisbəti σ=5g olan normal qanuna tabedir. Dörd müstəqil təcrübədə üç çəkidə xətanın mütləq 3r qiymətində baş verməməsi ehtimalını tapın. 3.15.
X təsadüfi kəmiyyəti normal olaraq M(X)=12.6 ilə paylanır. Təsadüfi dəyişənin (11.4;13.8) intervalına düşmə ehtimalı 0.6826-dır. Standart kənarlaşma σ tapın. 3.16.
X təsadüfi kəmiyyəti M(X)=12 və D(X)=36 ilə normal paylanır.0,9973 ehtimalı ilə test nəticəsində X təsadüfi kəmiyyətinin düşəcəyi intervalı tapın. 3.17.
Avtomatik maşın tərəfindən hazırlanmış hissə, onun idarə olunan parametrinin nominal dəyərdən X sapması modul 2 ölçü vahidindən çox olarsa, qüsurlu sayılır. Ehtimal olunur ki, X təsadüfi kəmiyyət M(X)=0 və σ(X)=0,7 ilə normal paylanmışdır. Maşın qüsurlu hissələrin neçə faizini istehsal edir? 3.18.
Hissənin X parametri nominal dəyərə bərabər olan 2 riyazi gözlənti və 0,014 standart sapma ilə normal şəkildə paylanır. X-in nominal qiymətdən kənara çıxmasının nominal dəyərin 1%-dən çox olmama ehtimalını tapın. Cavablar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" eni="14" hündürlük="110 src="> b) x≤-3 üçün 0, F(x)= sol"> 3.10.
a)f(x)=, b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; məna F(5); təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X seqmentdən dəyərlər alacaq. Paylanma çoxbucaqlı qurun. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu təyin edin X cədvəl şəklində. Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın X. Funksiyaların qrafiklərini qurun və . Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini, dispersiyasını, rejimini və medianı hesablayın X. Nümunə A: 6 9 7 6 4 4 Nümunə B: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Variant 17. Onun riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın. Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın X. Funksiyaların qrafiklərini qurun və . X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini, dispersiyasını, rejimini və medianı hesablayın. · orta nümunə; · nümunə fərqi; Rejim və median; Nümunə A: 0 0 2 2 1 4 · orta nümunə; · nümunə fərqi; standart nümunə sapması; · rejim və median; Nümunə B: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Variant 18. Onun riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın. X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasını tapın. Funksiyaların qrafiklərini çəkin və . Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini, dispersiyasını, rejimini və medianı hesablayın X. · orta nümunə; · nümunə fərqi; standart nümunə sapması; · rejim və median; Nümunə A: 4 7 6 3 3 4 · orta nümunə; · nümunə fərqi; standart nümunə sapması; · rejim və median; Nümunə B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Variant 19. 1. Saytda 16 qadın və 5 kişi çalışır. İşçi sayından istifadə etməklə 3 nəfər təsadüfi seçilib. Bütün seçilmiş insanların kişi olma ehtimalını tapın. 2. Dörd sikkə atılır. Yalnız iki sikkənin “gerb” olması ehtimalını tapın. 3. “PSİXOLOGİYA” sözü hər birinin üzərində bir hərf yazılmış kartlardan ibarətdir. Kartlar qarışdırılır və geri qaytarılmadan bir-bir çıxarılır. Çıxarılan hərflərin söz əmələ gəlməsi ehtimalını tapın: a) PSİXOLOGİYA; b) KİŞİ. 4. Qabda 6 qara və 7 ağ top var. 5 top təsadüfi çəkilir. Onların arasında olma ehtimalını tapın: a. 3 ağ top; b. 3-dən az ağ top; c. ən azı bir ağ top. 5. Hadisənin baş vermə ehtimalı A bir sınaqda 0,5-ə bərabərdir. Aşağıdakı hadisələrin ehtimalını tapın: a. hadisə A 5 müstəqil sınaq seriyasında 3 dəfə görünür; b. hadisə A 50 sınaq seriyasında ən azı 30 və 40 dəfədən çox görünməyəcək. 6. Eyni rejimdə bir-birindən asılı olmayaraq işləyən, eyni gücə malik 100 maşın var ki, onların sürücüsü 0,8 iş saatı ərzində işə salınır. İstənilən anda 70-dən 86-ya qədər maşının işə düşmə ehtimalı nədir? 7. Birinci qabda 4 ağ və 7 qara top, ikinci qabda isə 8 ağ və 3 qara top var. Birinci qabdan təsadüfi olaraq 4 top, ikincidən isə 1 top çəkilir. Çəkilmiş toplar arasında cəmi 4 qara topun olması ehtimalını tapın. 8. Avtomobil satış salonuna gündəlik həcmdə üç markalı avtomobillər daxil olur: “Moskviç” – 40%; "Oka" - 20%; "Volqa" - bütün idxal olunan avtomobillərin 40% -i. “Moskviç” markalı avtomobillərdən 0,5 faizində oğurluğa qarşı qurğu, “Oka”da – 0,01 faiz, “Volqa”da – 0,1 faiz var. Baxış üçün götürülən avtomobildə oğurluğa qarşı qurğunun olması ehtimalını tapın. 9. Rəqəmlər və seqmentdə təsadüfi seçilir. Bu ədədlərin bərabərsizlikləri ödəməsi ehtimalını tapın. 10. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu verilmişdir X: Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın X; məna F(2); təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X intervaldan dəyərlər alacaq. Paylanma çoxbucaqlı qurun. Məlum olduğu kimi, təsadüfi dəyişən
vəziyyətdən asılı olaraq müəyyən dəyərlər qəbul edə bilən dəyişən kəmiyyət adlanır. Təsadüfi dəyişənlər latın əlifbasının böyük hərfləri ilə (X, Y, Z), dəyərləri isə müvafiq kiçik hərflərlə (x, y, z) işarələnir. Təsadüfi dəyişənlər fasiləsiz (diskret) və davamlı olaraq bölünür. Diskret təsadüfi dəyişən
müəyyən sıfırdan fərqli ehtimallarla yalnız sonlu və ya sonsuz (hesablana bilən) dəyərlər toplusunu qəbul edən təsadüfi dəyişəndir. Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu
təsadüfi dəyişənin qiymətlərini onların müvafiq ehtimalları ilə birləşdirən funksiyadır. Paylanma qanunu aşağıdakı yollardan biri ilə müəyyən edilə bilər. 1
. Paylanma qanunu cədvəllə verilə bilər:
burada λ>0, k = 0, 1, 2, … . V) istifadə etməklə paylanma funksiyaları F(x)
, hər bir x dəyəri üçün təsadüfi dəyişən X-in x-dən kiçik bir dəyər alması ehtimalını təyin edir, yəni. F(x) = P(X< x). F(x) funksiyasının xassələri 3
. Paylanma qanunu qrafik olaraq müəyyən edilə bilər
– paylanma çoxbucaqlı (poliqon) (3-cü məsələyə bax). Qeyd edək ki, bəzi problemləri həll etmək üçün paylanma qanununu bilmək lazım deyil. Bəzi hallarda paylama qanununun ən mühüm xüsusiyyətlərini əks etdirən bir və ya bir neçə rəqəmi bilmək kifayətdir. Bu, təsadüfi dəyişənin "orta dəyəri" mənasını daşıyan rəqəm və ya təsadüfi dəyişənin orta dəyərindən kənarlaşmasının orta ölçüsünü göstərən bir rəqəm ola bilər. Bu cür ədədlərə təsadüfi dəyişənin ədədi xarakteristikaları deyilir. Diskret təsadüfi dəyişənin əsas ədədi xarakteristikaları
: 1000 lotereya bileti buraxıldı: onlardan 5-i 500 rubl, 10-u 100 rubl, 20-si 50 rubl, 50-si 10 rubl qazanacaq. Təsadüfi dəyişən X ehtimalının paylanması qanununu müəyyən edin - hər biletə uduş. Həll.
Məsələnin şərtlərinə görə, təsadüfi dəyişən X-in aşağıdakı qiymətləri mümkündür: 0, 10, 50, 100 və 500. Uduşsuz biletlərin sayı 1000 – (5+10+20+50) = 915, sonra P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Eynilə, biz bütün digər ehtimalları tapırıq: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Nəticə qanunu cədvəl şəklində təqdim edək: X dəyərinin riyazi gözləntisini tapaq: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Cihaz üç müstəqil işləyən elementdən ibarətdir. Hər bir elementin bir sınaqda uğursuzluq ehtimalı 0,1-dir. Bir təcrübədə uğursuz elementlərin sayı üçün paylanma qanununu tərtib edin, paylama poliqonunu qurun. F(x) paylama funksiyasını tapın və onun qraflığını çəkin. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini, dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın. Həll.
1.
Diskret təsadüfi dəyişən X = (bir sınaqda uğursuz elementlərin sayı) aşağıdakı mümkün qiymətlərə malikdir: x 1 = 0 (cihaz elementlərinin heç biri uğursuz), x 2 = 1 (bir element uğursuz), x 3 = 2 ( iki element uğursuz oldu ) və x 4 =3 (üç element uğursuz). Elementlərin uğursuzluqları bir-birindən müstəqildir, hər bir elementin uğursuzluq ehtimalları bərabərdir, buna görə də tətbiq olunur. Bernoulli düsturu
. Nəzərə alsaq ki, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 şərtinə uyğun olaraq qiymətlərin ehtimallarını təyin edirik: Beləliklə, X-in arzu olunan binomial paylanma qanunu formaya malikdir: X i-nin mümkün qiymətlərini absis oxu boyunca və müvafiq ehtimalları p i ordinat oxu boyunca çəkirik. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nöqtələrini quraq. Bu nöqtələri düz xətt seqmentləri ilə birləşdirərək, istədiyimiz paylama poliqonunu əldə edirik. 3.
F(x) = Р(Х) paylanma funksiyasını tapaq F(x) funksiyasının qrafiki 4.
X binomial paylanması üçün: Ehtimal nəzəriyyəsinin tətbiqlərində təcrübənin kəmiyyət xarakteristikaları birinci dərəcəli əhəmiyyət kəsb edir. Kəmiyyətcə müəyyən edilə bilən və təcrübə nəticəsində vəziyyətdən asılı olaraq müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyət deyilir. təsadüfi dəyişən. Təsadüfi dəyişənlərə nümunələr: 1. Zərbənin on atışında cüt sayda xalların görünməsinin sayı. 2. Bir sıra atəş açan atıcının hədəfə vurduğu zərbələrin sayı. 3. Partlayan mərmi fraqmentlərinin sayı. Verilən nümunələrin hər birində təsadüfi dəyişən yalnız təcrid olunmuş dəyərləri, yəni təbii ədədlər seriyasından istifadə edərək nömrələnə bilən dəyərləri qəbul edə bilər. Mümkün dəyərləri fərdi təcrid olunmuş nömrələr olan və bu dəyişənin müəyyən ehtimallarla qəbul etdiyi belə bir təsadüfi dəyişən adlanır. diskret. Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonlu və ya sonsuz (hesablana bilən) ola bilər. Paylanma qanunu Diskret təsadüfi dəyişən onun mümkün dəyərlərinin və onlara uyğun ehtimalların siyahısıdır. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu cədvəl şəklində (ehtimalların paylanma seriyası), analitik və qrafik (ehtimalın paylanması poliqonu) şəklində göstərilə bilər. Təcrübə apararkən, öyrənilən dəyəri "orta hesabla" qiymətləndirmək lazım gəlir. Təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin rolunu adlanan ədədi xarakteristika oynayır riyazi gözlənti, düsturu ilə müəyyən edilir Harada x 1 , x 2
,.. , x n– təsadüfi dəyişənlərin qiymətləri X, A səh 1 ,səh 2 ,
... , səh n– bu dəyərlərin ehtimalları (qeyd edək ki səh 1
+
səh 2
+…+
səh n =
1). Misal. Atış hədəfdə aparılır (şək. 11). I-də vuruş üç xal, II-də iki xal, III-də bir xal verir. Bir atıcının bir atışda topladığı xalların sayı formanın paylama qanununa malikdir Atıcıların bacarıqlarını müqayisə etmək üçün toplanmış xalların orta dəyərlərini müqayisə etmək kifayətdir, yəni. riyazi gözləntilər M(X) Və M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. İkinci atıcı orta hesabla bir az daha çox xal verir, yəni. təkrar atəş açdıqda daha yaxşı nəticə verəcəkdir. Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini qeyd edək: 1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir: M(C)
= C. 2. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: M =(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X n). 3. Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri amillərin riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir. M(X 1 X 2 …
X n)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X n). 4. Binom paylanmasının riyazi inkarı sınaqların sayı ilə bir sınaqda baş verən hadisənin ehtimalının hasilinə bərabərdir (tapşırıq 4.6). M(X)
= pr. Təsadüfi dəyişənin "orta hesabla" riyazi gözləntidən necə yayındığını qiymətləndirmək üçün, yəni. Ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənlərin qiymətlərinin yayılmasını xarakterizə etmək üçün dispersiya anlayışından istifadə olunur. Fərqlilik təsadüfi dəyişən X kvadrat sapmanın riyazi gözləntisi adlanır: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Dispersiya təsadüfi dəyişənin dispersiyasının ədədi xarakteristikasıdır. Tərifdən aydın olur ki, təsadüfi dəyişənin dispersiyası nə qədər kiçik olarsa, onun mümkün dəyərləri riyazi gözlənti ətrafında bir o qədər yaxın yerləşdirilir, yəni təsadüfi dəyişənin dəyərləri onun riyazi gözləntiləri ilə daha yaxşı xarakterizə olunur. . Tərifdən belə çıxır ki, dispersiya düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər Başqa düsturdan istifadə edərək fərqi hesablamaq rahatdır: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Dispersiya aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir: 1. Sabitin dispersiyası sıfırdır: D(C)
=
0.
2. Daimi əmsalı kvadrata çevirməklə dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası şərtlərin dispersiyasının cəminə bərabərdir: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X n) 4. Binom paylanmasının dispersiyası sınaqların sayı ilə bir sınaqda hadisənin baş verməsi və baş verməməsi ehtimalının hasilinə bərabərdir: D(X)
= npq. Ehtimal nəzəriyyəsində çox vaxt təsadüfi dəyişənin dispersiyasının kvadrat kökünə bərabər ədədi xarakteristikadan istifadə edilir. Bu ədədi xarakteristika orta kvadrat sapma adlanır və simvolla işarələnir Təsadüfi kəmənin orta qiymətindən sapmasının təxmini ölçüsünü xarakterizə edir və təsadüfi dəyişənlə eyni ölçüyə malikdir. 4.1.
Atıcı hədəfə üç atəş açır. Hər atışla hədəfi vurma ehtimalı 0,3-dür. Xitlərin sayı üçün paylama seriyası qurun. Həll. Xitlərin sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X. Hər bir dəyər x n
təsadüfi dəyişən X müəyyən bir ehtimala uyğundur P n . Bu halda diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu müəyyən edilə bilər yaxın paylama. Bu problemdə X 0, 1, 2, 3 qiymətlərini alır. Bernulli düsturuna görə Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin ehtimallarını tapaq: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Təsadüfi dəyişənin dəyərlərini təşkil etməklə X artan qaydada paylama seriyasını əldə edirik: X n Qeyd edək ki, məbləğ təsadüfi dəyişənin olma ehtimalı deməkdir X mümkün olanlar arasından ən azı bir dəyər alacaq və bu hadisə buna görə də etibarlıdır 4.2
.Qabda 1-dən 4-ə qədər rəqəmləri olan dörd top var. İki top çıxarılır. Təsadüfi dəyər X– top nömrələrinin cəmi. Təsadüfi dəyişənin paylanma sırasını qurun X. Həll. Təsadüfi dəyişən dəyərlər X 3, 4, 5, 6, 7-dir. Uyğun ehtimalları tapaq. Təsadüfi dəyişən dəyəri 3 X seçilmiş toplardan birinin nömrəsi 1, digərinin isə 2 olduğu yeganə halda qəbul edilə bilər. Mümkün test nəticələrinin sayı ikinin dörd (mümkün top cütlərinin sayı) birləşmələrinin sayına bərabərdir. Klassik ehtimal düsturundan istifadə edərək əldə edirik Eynilə, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. 5 cəmi iki halda görünə bilər: 1 + 4 və 2 + 3, yəni X formaya malikdir: Paylanma funksiyasını tapın F(x) təsadüfi dəyişən X və onu tərtib edin. üçün hesablayın X onun riyazi gözləntisi və variasiyası. Həll. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu paylanma funksiyası ilə müəyyən edilə bilər F(x)
=P(X
x).
Paylanma funksiyası F(x) bütün say sətirində müəyyən edilmiş azalmayan, sola davamlı funksiyadır, isə F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Diskret təsadüfi dəyişən üçün bu funksiya düsturla ifadə edilir Buna görə də bu halda Paylanma funksiyasının qrafiki F(x) pilləli xəttdir (şək. 12) F(x) Gözlənilən dəyərM(X) qiymətlərin çəkili arifmetik ortasıdır X 1 , X 2 ,……X n təsadüfi dəyişən X tərəzi ilə ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
və təsadüfi dəyişənin orta qiyməti adlanır X. Formula görə M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Dispersiya təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin orta qiymətindən dağılma dərəcəsini xarakterizə edir və işarələnir. D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Diskret təsadüfi dəyişən üçün dispersiya formaya malikdir və ya düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər Problemin ədədi məlumatlarını düsturla əvəz edərək, əldə edirik: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
İki zar eyni anda iki dəfə atılır. Diskret təsadüfi kəmənin binom paylanması qanununu yazın X- iki zarda cüt ümumi xalların sayı. Həll. Gəlin təsadüfi bir hadisəni təqdim edək A= (bir atışla iki zar cəmi cüt sayda xalla nəticələndi). Ehtimalın klassik tərifindən istifadə edərək tapırıq R(A)=
Harada n
- mümkün test nəticələrinin sayı qaydaya uyğun olaraq tapılır çarpma: n
= 6∙6 =36, m
-
tədbirə üstünlük verən insanların sayı A nəticələr - bərabərdir m= 3∙6=18. Beləliklə, bir sınaqda müvəffəqiyyət ehtimalı ρ
= P(A)=
1/2.
Problem Bernoulli test sxemindən istifadə etməklə həll edilir. Burada bir problem iki zarı bir dəfə atmaq olardı. Belə testlərin sayı n
= 2. Təsadüfi dəyişən X 0, 1, 2 qiymətlərini ehtimallarla qəbul edir R 2 (0)
= Təsadüfi dəyişənin tələb olunan binomial paylanması X paylama seriyası kimi təqdim edilə bilər: X n ρ
n 4.5
. Altı hissədən ibarət bir dəstədə dörd standart hissə var. Üç hissə təsadüfi seçildi. Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasını qurun X– seçilmişlər arasında standart hissələrin sayı və onun riyazi gözləntisini tapın. Həll. Təsadüfi dəyişən dəyərlər X 0,1,2,3 ədədləridir. Aydındır ki R(X=0)=0, çünki yalnız iki qeyri-standart hissə var. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu X Onu paylama seriyası şəklində təqdim edək: X n ρ
n Gözlənilən dəyər M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisini sübut edin X- hadisənin baş vermə sayı A V n hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı bərabər olan müstəqil sınaqlar ρ
– bir sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalı ilə sınaq sayının hasilinə bərabər, yəni binomial paylanmanın riyazi gözləntisinin olduğunu sübut etmək. M(X)
=n .
ρ
, və dispersiya D(X)
=n.p.
. Həll. Təsadüfi dəyər X 0, 1, 2... dəyərləri qəbul edə bilər, n. Ehtimal R(X= k) Bernoulli düsturu ilə tapılır: R(X=k)= R n(k)= Təsadüfi dəyişənin paylanma seriyası X formaya malikdir: X n ρ
n q n Harada q=
1-
ρ
. Riyazi gözlənti üçün ifadəmiz var: M(X)= Bir test vəziyyətində, yəni ilə n= 1 təsadüfi dəyişən üçün X 1 – hadisənin baş vermə sayı A- paylama seriyası formaya malikdir: X n ρ
n M(X 1)=
0∙q +
1
∙ səh
=
səh D(X 1)
=
səh
–
səh 2
=
səh(1-
səh)
=
pq. Əgər X k – hadisənin baş vermə sayı A o zaman hansı testdə R(X Kimə)=
ρ
Və X=X 1 +X 2 +….+X n . Buradan alırıq M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X n)=
nρ,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Keyfiyyətə nəzarət şöbəsi məhsulların standartlığını yoxlayır. Məhsulun standart olma ehtimalı 0,9-dur. Hər partiyada 5 məhsul var. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın X- hər birində 4 standart məhsul olacaq partiyaların sayı - 50 partiya yoxlamaya məruz qaldıqda. Həll. Hər təsadüfi seçilmiş partiyada 4 standart məhsulun olması ehtimalı sabitdir; ilə işarə edək ρ
.Sonra təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X bərabərdir M(X)=
50∙ρ.
Ehtimalını tapaq ρ
Bernoulli düsturuna görə: ρ=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Üç zar atılır. Düşmüş xalların cəminin riyazi gözləntisini tapın. Həll. Təsadüfi dəyişənin paylanmasını tapa bilərsiniz X- düşmüş xalların cəmi və sonra onun riyazi gözləntisi. Bununla belə, bu yol çox çətin olur. Təsadüfi dəyişəni təmsil edən başqa bir texnikadan istifadə etmək daha asandır X, riyazi gözləntisinin hesablanması daha asan olan bir neçə sadə təsadüfi dəyişənlərin cəmi şəklində hesablanması lazım olan riyazi gözlənti. Əgər təsadüfi dəyişən X i yuvarlanan xalların sayıdır i- sümüklər ( i= 1, 2, 3), sonra balların cəmi Xşəklində ifadə olunacaq X = X 1 + X 2 + X 3 . İlkin təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini hesablamaq üçün yalnız riyazi gözləntinin xüsusiyyətindən istifadə etmək qalır. M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). Aydındır ki R(X i = K)=
1/6, TO=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. Buna görə də təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X i oxşayır M(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Test zamanı uğursuz olan cihazların sayının riyazi gözləntisini müəyyən edin, əgər: a) bütün qurğular üçün uğursuzluq ehtimalı eynidir R, və sınaqdan keçirilən cihazların sayı bərabərdir n; b) uğursuzluq ehtimalı i
–
cihazın dəyəri bərabərdir səh i
,
i=
1,
2, … , n. Həll. Təsadüfi dəyişən olsun X uğursuz cihazların sayıdır X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
Aydındır ki R(X i =
1)=
R i ,
R(X i =
0)=
1–
R i ,i= 1,
2,
…
,n. M(X i)=
1∙R i +
0∙(1-R i)=P i , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + S n .
"a" halda cihazın nasaz olma ehtimalı eynidir, yəni R i =səh,i= 1,
2, …
,n. M(X)=
n.p.. Təsadüfi dəyişən olduğunu görsək, bu cavabı dərhal almaq olar X parametrləri ilə binom paylanmasına malikdir ( n,
səh).
4.10.
İki zar eyni vaxtda iki dəfə atılır. Diskret təsadüfi kəmənin binom paylanması qanununu yazın X - iki zərdə bərabər sayda xalların rulonlarının sayı. Həll. Qoy A=(ilk zarda cüt ədəd yuvarlanır), B =(ikinci zarda cüt ədədin yuvarlanması). Bir atışda hər iki zarda cüt ədədin əldə edilməsi məhsulla ifadə edilir AB. Sonra R
(AB)
= R(A)∙R(IN)
=
İki zarın ikinci atışının nəticəsi birincidən asılı deyil, ona görə də Bernoulli düsturu tətbiq olunur. n
=
2,p = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Təsadüfi dəyər X 0, 1, 2 dəyərlərini qəbul edə bilər ,
ehtimalını Bernoulli düsturu ilə tapmaq olar: R(X= 0)= P 2
(0)
=
q
2
= 9/16, R(X= 1)= P 2
(1)= C R(X= 2)= P 2
(2)= C Təsadüfi dəyişənin paylanma seriyası X: 4.11.
Cihaz, hər bir elementin zamanla uğursuz olma ehtimalı eyni olan çox sayda müstəqil işləyən elementlərdən ibarətdir. t. Zamanla imtinaların orta sayını tapın t elementlər, əgər bu müddət ərzində ən azı bir elementin sıradan çıxma ehtimalı 0,98 olarsa. Həll.
Zamanla imtina edənlərin sayı t elementlər – təsadüfi dəyişən X, Puasson qanununa görə paylanan, elementlərin sayı çox olduğu üçün elementlər müstəqil işləyir və hər bir elementin sıradan çıxma ehtimalı kiçikdir. Bir hadisənin baş verməsinin orta sayı n testlər bərabərdir M(X)
=
n.p..
Uğursuzluq ehtimalından bəri TO elementləri n düsturu ilə ifadə edilir R n
(TO)
harada
=
n.p., onda vaxt ərzində heç bir elementin uğursuz olma ehtimalı t
çatırıq K = 0: R n
(0)= e - . Buna görə də əks hadisənin baş vermə ehtimalı vaxtındadır t
ən azı bir element uğursuz olur - 1-ə bərabərdir - e -
. Məsələnin şərtlərinə görə bu ehtimal 0,98-dir. Eq. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, buradan
=
-ln
0,02
4. Beləliklə, vaxtında t cihazın işləməsi, orta hesabla 4 element uğursuz olacaq. 4.12
. Zarlar "iki" gələnə qədər yuvarlanır. Orta atış sayını tapın. Həll. Bir təsadüfi dəyişən təqdim edək X– bizi maraqlandıran hadisə baş verənə qədər yerinə yetirilməli olan testlərin sayı. Ehtimal ki X= 1 zarın bir atılması zamanı “iki”nin görünməsi ehtimalına bərabərdir, yəni. R(X= 1)
= 1/6. Hadisə X= 2 o deməkdir ki, birinci testdə “iki” çıxmadı, ikincidə gəldi. Hadisənin baş vermə ehtimalı X= 2 müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması qaydası ilə tapılır: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Eynilə, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 və s. Bir sıra ehtimal paylamalarını əldə edirik: (5/6) Kimə
∙1/6 Atışların (sınaqların) orta sayı riyazi gözləntidir M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + TO
(5/6) TO -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + TO
(5/6) TO -1
+ …) Seriyanın cəmini tapaq: Beləliklə, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Beləliklə, "iki" gələnə qədər orta hesabla 6 zar atmalısınız. 4.13.
Müstəqil testlər hadisənin eyni ehtimalı ilə həyata keçirilir A hər imtahanda. Hadisənin baş vermə ehtimalını tapın A, əgər üç müstəqil sınaqda hadisənin baş vermə sayının fərqi 0,63 olarsa .
Həll.Üç sınaqda bir hadisənin baş vermə sayı təsadüfi dəyişəndir X, binom qanununa görə paylanmışdır. Müstəqil sınaqlarda hadisənin baş vermə sayının dəyişməsi (hər sınaqda hadisənin eyni ehtimalı ilə) hadisənin baş verməsi və baş verməməsi ehtimalları ilə sınaqların sayının hasilinə bərabərdir. (problem 4.6) D(X)
=
npq.
Şərtlə n
=
3,
D(X)
=
0.63, buna görə də bilərsiniz R tənlikdən tapın 0,63
= 3∙R(1-R), iki həlli var R 1
=
0,7 və R 2
=
0,3. PAYLAŞMA QANUNU VƏ XARAKTERİSTİKASI Təsadüfi Dəyişənlər Təsadüfi dəyişənlər, onların təsnifatı və təsvir üsulları. Təsadüfi kəmiyyət təcrübə nəticəsində bu və ya digər qiymət ala bilən, lakin hansının əvvəlcədən məlum olmadığı kəmiyyətdir. Təsadüfi dəyişən üçün, buna görə də, siz yalnız qiymətləri təyin edə bilərsiniz, onlardan birini mütləq sınaq nəticəsində alacaq. Aşağıda bu dəyərləri təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri adlandıracağıq. Təsadüfi dəyişən təcrübənin təsadüfi nəticəsini kəmiyyətcə səciyyələndirdiyindən onu təsadüfi hadisənin kəmiyyət xarakteristikası kimi qəbul etmək olar. Təsadüfi dəyişənlər adətən Latın əlifbasının böyük hərfləri ilə, məsələn, X..Y..Z və onların mümkün dəyərləri müvafiq kiçik hərflərlə işarələnir. Üç növ təsadüfi dəyişən var: diskret; Davamlı; Qarışıq. Diskret mümkün dəyərlərin sayı hesablana bilən çoxluq təşkil edən təsadüfi dəyişəndir. Öz növbəsində, elementləri nömrələnə bilən çoxluğa sayıla bilən deyilir. “Diskret” sözü latın discretus sözündən olub, “fasiləsiz, ayrı-ayrı hissələrdən ibarət” mənasını verir. Nümunə 1. Diskret təsadüfi dəyişən nməhsullar partiyasında qüsurlu X hissələrin sayıdır. Həqiqətən, bu təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri 0-dan n-ə qədər bir sıra tam ədədlərdir. Nümunə 2. Diskret təsadüfi dəyişən hədəfə ilk vuruşdan əvvəl atışların sayıdır. Burada, Nümunə 1-də olduğu kimi, mümkün dəyərlər nömrələnə bilər, baxmayaraq ki, məhdudlaşdırıcı vəziyyətdə mümkün dəyər sonsuz böyük bir rəqəmdir. Davamlı Mümkün dəyərləri davamlı olaraq ədədi oxun müəyyən bir intervalını dolduran, bəzən bu təsadüfi dəyişənin mövcudluq intervalı adlanan təsadüfi bir dəyişəndir. Beləliklə, mövcudluğun istənilən sonlu intervalında davamlı təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuz böyükdür. Misal 3. Davamlı təsadüfi dəyişən müəssisənin aylıq elektrik enerjisi istehlakıdır. Nümunə 4. Davamlı təsadüfi dəyişən hündürlükölçəndən istifadə edərək hündürlüyün ölçülməsində səhvdir. Altimetrin işləmə prinsipindən məlum olsun ki, xəta 0-dan 2 m-ə qədərdir.Ona görə də bu təsadüfi dəyişənin mövcudluq intervalı 0-dan 2 m-ə qədər olan intervaldır. Təsadüfi dəyişənlərin paylanma qanunu. Təsadüfi dəyişən, onun mümkün dəyərləri ədədi oxda göstərildikdə və paylanma qanunu qurularsa, tam dəqiqləşdirilmiş hesab olunur. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri ilə müvafiq ehtimallar arasında əlaqə quran əlaqədir. Təsadüfi dəyişənin müəyyən bir qanuna uyğun olaraq paylandığı və ya verilmiş paylama qanununa tabe olduğu deyilir. Paylanma qanunları kimi bir sıra ehtimallar, paylanma funksiyası, ehtimal sıxlığı və xarakterik funksiyadan istifadə olunur. Paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin tam ehtimal təsvirini verir. Paylanma qanununa görə, təcrübədən əvvəl təsadüfi dəyişənin hansı mümkün qiymətlərinin daha tez-tez, hansının daha az görünəcəyinə hökm etmək olar. Diskret təsadüfi kəmiyyət üçün paylanma qanunu cədvəl şəklində, analitik (düstur şəklində) və qrafik olaraq göstərilə bilər. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu təyin etməyin ən sadə forması təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini və onların müvafiq ehtimallarını artan qaydada sadalayan cədvəldir (matris). Belə cədvəl diskret təsadüfi dəyişənin paylanma sırası adlanır. 1 Test nəticəsində X təsadüfi kəmiyyətinin müvafiq olaraq x 1, x 2,... x n qiymətlərini almasından ibarət olan X 1, X 2,..., X n hadisələri. uyğunsuz və yeganə mümkün olanlar (cədvəl təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini sadaladığı üçün), yəni. tam qrup təşkil edir. Buna görə də, onların ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir. Beləliklə, hər hansı bir diskret təsadüfi dəyişən üçün (Bu vahid bir şəkildə təsadüfi dəyişənin dəyərləri arasında paylanır, buna görə də "paylanma" termini). Təsadüfi dəyişənin dəyərləri absis oxu boyunca, onların müvafiq ehtimalları isə ordinat oxu boyunca çəkilərsə, paylama seriyası qrafik şəkildə təsvir edilə bilər. Alınan nöqtələrin əlaqəsi ehtimal paylanmasının çoxbucaqlı və ya çoxbucaqlı adlanan qırıq xəttini əmələ gətirir (şək. 1). Misal Lotereyaya daxildir: 5000 den dəyərində avtomobil. ədəd, 4 televizor 250 den. ədəd, 200 den dəyərində 5 videoregistrator. vahidlər 7 gün ərzində cəmi 1000 bilet satılır. vahidlər Bir bilet alan lotereya iştirakçısının əldə etdiyi xalis uduşların paylanması qanununu tərtib edin. Həll. Təsadüfi dəyişən X-in mümkün dəyərləri - hər bilet üçün xalis uduş - 0-7 = -7 pula bərabərdir. vahidlər (bilet qazanmasa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vahidlər (biletdə müvafiq olaraq videomagnitofon, televizor və ya avtomobil uduşu varsa). 1000 biletdən qalib olmayanların sayının 990, göstərilən uduşların isə müvafiq olaraq 5, 4 və 1 olduğunu nəzərə alaraq, ehtimalın klassik tərifindən istifadə edərək əldə edirik.
1.2.
p4=0,1; x≤-1-də 0,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a üçün 0,
,
Normal əyri x=m düz xəttinə nisbətən simmetrikdir, x=a-da maksimuma malikdir, -ə bərabərdir.
,
X
–28
–20
–12
–4
səh
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
səh
0,1
0,2
0,3
0,4
Binom paylanması üçün M(X)=np, Puasson paylanması üçün M(X)=λ
Binom paylanması üçün D(X)=npq, Puasson paylanması üçün D(X)=λ“Diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu” mövzusunda məsələlərin həlli nümunələri
Tapşırıq 1.
Tapşırıq 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Yoxlayın: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
0 üçün< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 üçün< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 üçün< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 üçün F(x) = 1 olacaq, çünki hadisə etibarlıdır. 
- riyazi gözlənti M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- standart kənarlaşma σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
Kimə
(1-ρ
) n- Kimə
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
TOg
TO -1
= (
g TO)
g
.
Yüklənir...