Ədədlərin bölünmə əlamətləri- bunlar bölmədən bu ədədin verilmiş ədədə qalıqsız bölünüb-bölünmədiyini nisbətən tez öyrənməyə imkan verən qaydalardır.
Bəzi bölünmə əlamətləri olduqca sadə, bəziləri daha mürəkkəbdir. Bu səhifədə siz sadə ədədlərin bölünmə əlamətlərini, məsələn, 2, 3, 5, 7, 11 kimi, və 6 və ya 12 kimi mürəkkəb ədədlərin bölünmə əlamətlərini tapa bilərsiniz.
Ümid, bu məlumat sizə faydalı olacaq.
Xoşbəxt öyrənmə!

2-yə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın

Bu bölünmənin ən sadə əlamətlərindən biridir. Bu belə səslənir: əgər natural ədədin yazısı cüt rəqəmlə bitirsə, o, cütdür (qalıqsız 2-yə bölünür) və natural ədədin yazısı tək rəqəmlə bitirsə, bu ədəd təkdir. .
Başqa sözlə, əgər ədədin son rəqəmi olarsa 2 , 4 , 6 , 8 və ya 0 - ədəd 2-yə bölünür, yoxsa, onda bölünmür
Məsələn, rəqəmlər: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 cüt olduqları üçün 2-yə bölünürlər.
Rəqəmlər: 23 5 , 137 , 2303
Onlar tək olduqları üçün 2-yə bölünmürlər.

3-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın

Bu bölünmə əlamətinin tamam başqa qaydaları var: ədədin rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünürsə, o zaman ədəd 3-ə bölünür; Əgər ədədin rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünmürsə, o zaman 3-ə bölünmür.
Bu o deməkdir ki, bir ədədin 3-ə bölünüb-bölünmədiyini başa düşmək üçün onu təşkil edən ədədləri toplamaq kifayətdir.
Bu belə görünür: 3987 və 141 3-ə bölünür, çünki birinci halda 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - 3-ə bölünür), ikincidə isə 1+4+1= 6 (6:3=2 - həm də 3-ə bölünür).
Amma ədədlər: 235 və 566 3-ə bölünmür, çünki 2+3+5= 10 və 5+6+6= 17 (və biz bilirik ki, nə 10, nə də 17 qalıqsız 3-ə bölünmür).

4-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın

Bu bölünmə əlaməti daha mürəkkəb olacaq. Əgər ədədin son 2 rəqəmi 4-ə bölünən ədədi əmələ gətirirsə və ya 00-dırsa, o zaman ədəd 4-ə bölünür, əks halda verilmiş ədəd 4-ə qalıqsız bölünməz.
Məsələn: 1 00 və 3 64 4-ə bölünürlər, çünki birinci halda nömrə bitir 00 , ikincisində isə 64 , bu da öz növbəsində qalıqsız 4-ə bölünür (64:4=16)
Rəqəmlər 3 57 və 8 86 4-ə bölünmür, çünki heç biri yoxdur 57 nə də 86 4-ə bölünmür, yəni bu bölünmə meyarına uyğun gəlmir.

5-ə bölünmə testi

Və yenə də kifayət qədər sadə bölünmə əlamətimiz var: əgər natural ədədin yazısı 0 və ya 5 rəqəmi ilə bitirsə, bu ədəd 5-ə qalıqsız bölünür.Əgər ədədin yazısı başqa rəqəmlə bitirsə, onda ədəd 5-ə qalıqsız bölünmür.
Bu o deməkdir ki, rəqəmlərlə bitən istənilən rəqəm 0 Və 5 məsələn, 1235 5 və 43 0 , qaydaya düşür və 5-ə bölünür.
Və, məsələn, 1549 3 və 56 4 5 və ya 0 rəqəmi ilə bitməsin, yəni onları 5-ə qalıqsız bölmək olmaz.

6-ya bölünmə qabiliyyətini yoxlayın

Qarşımızda 2 və 3 ədədlərinin hasili olan 6 mürəkkəb rəqəmi var. Deməli, 6-ya bölünmə əlaməti də mürəkkəbdir: ədədin 6-ya bölünməsi üçün onun iki işarəsi uyğun olmalıdır. eyni zamanda bölünmə: 2-yə və 3-ə bölünmə əlaməti. Nəzərə alın ki, 4 kimi mürəkkəb ədədin fərdi bölünmə əlaməti var, çünki o, 2 rəqəminin öz-özünə hasilidir. Ancaq gəlin 6-ya bölünmə testinə qayıdaq.
138 və 474 ədədləri cütdür və 3-ə bölünmə meyarlarına cavab verir (1+3+8=12, 12:3=4 və 4+7+4=15, 15:3=5), yəni bölünəndir 6 ilə. Lakin 123 və 447, 3-ə bölünsələr də (1+2+3=6, 6:3=2 və 4+4+7=15, 15:3=5), lakin onlar təkdir, hansı ki onların 2-yə bölünmə kriteriyasına uyğun gəlmədiyini və buna görə də 6-ya bölünmə meyarına uyğun olmadığını bildirir.

7-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın

Bölünmənin bu sınağı daha mürəkkəbdir: bu ədədin onluq sayından sonuncu rəqəminin iki dəfə çıxarılmasının nəticəsi 7-yə və ya 0-a bölünərsə, ədəd 7-yə bölünür.
Bu olduqca qarışıq səslənir, amma praktikada sadədir. Özünüz baxın: nömrə 95 9 7-ə bölünür, çünki 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 qalıqsız 7-yə bölünür). Üstəlik, transformasiya zamanı alınan nömrə ilə bağlı çətinliklər yaranarsa (ölçüsünə görə onun 7-yə bölünüb-bölünmədiyini anlamaq çətindir, onda bu proseduru lazım bildiyiniz qədər davam etdirmək olar).
Misal üçün, 45 5 və 4580 1 7-ə bölünmə xüsusiyyətlərinə malikdir. Birinci halda hər şey olduqca sadədir: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. İkinci vəziyyətdə bunu edəcəyik: 4580 -2*1=4580-2=4578. olub olmadığını anlamaq bizim üçün çətindir 457 8-dən 7-yə qədər, gəlin prosesi təkrar edək: 457 -2*8=457-16=441. Və yenə də bölünmə testindən istifadə edəcəyik, çünki qarşımızda hələ də üç rəqəmli nömrə var 44 1. Beləliklə, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, yəni. 42 7-yə qalıqsız bölünür, yəni 45801 7-yə bölünür.
Budur rəqəmlər 11 1 və 34 5 7-ə bölünmür, çünki 11 -2*1=11-2=9 (9 7-yə bölünmür) və 34 -2*5=34-10=24 (24 qalıqsız 7-yə bölünmür).

8-ə bölünmə testi

8-ə bölünmə testi belə səslənir: əgər son 3 rəqəm 8-ə bölünən bir ədəd təşkil edirsə və ya 000-dırsa, verilmiş ədəd 8-ə bölünür.
Rəqəmlər 1 000 və ya 1 088 8-ə bölünür: birincisi bitir 000 , ikinci 88 :8=11 (8-ə qalıqsız bölünür).
Və burada 1 nömrələri var 100 və ya 4 757 ədədlər, çünki 8-ə bölünmür 100 Və 757 8-ə qalıqsız bölünmür.

9-a bölünmə testi

Bu bölünmə əlaməti 3-ə bölünmə əlamətinə bənzəyir: ədədin rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünürsə, o zaman ədəd 9-a bölünür; Əgər ədədin rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünmürsə, o zaman ədəd 9-a bölünmür.
Məsələn: 3987 və 144 9-a bölünür, çünki birinci halda 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - 9-a qalıqsız bölünür), ikincisində isə 1+4+4= 9 (9:9=1 - 9-a da bölünür).
Amma ədədlər: 235 və 141 9-a bölünmür, çünki 2+3+5= 10 və 1+4+1= 6 (və biz bilirik ki, nə 10, nə də 6 qalıqsız 9-a bölünmür).

10, 100, 1000 və digər rəqəm vahidlərinə bölünmə əlamətləri

Mən bu bölünmə əlamətlərini birləşdirdim, çünki onları eyni şəkildə təsvir etmək olar: ədədin sonundakı sıfırların sayı verilmiş rəqəm vahidindəki sıfırların sayından çox və ya ona bərabər olarsa, ədəd rəqəm vahidinə bölünür. .
Başqa sözlə, məsələn, bizdə aşağıdakı rəqəmlər var: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . bunların hamısı 1-ə bölünür 0 ; 46400 və 867 000 həm də 1-ə bölünür 00 ; və onlardan yalnız biri 867-dir 000 1-ə bölünür 000 .
Rəqəm vahidindən arxada sıfırları az olan hər hansı nömrələr həmin rəqəm vahidinə bölünmür, məsələn 600 30 və 7 93 bölünməyən 1 00 .

11-ə bölünmə testi

Ədədin 11-ə bölünüb-bölünmədiyini öyrənmək üçün bu ədədin cüt və tək rəqəmlərinin cəmi arasındakı fərqi əldə etməlisiniz. Əgər bu fərq 0-a bərabərdirsə və ya 11-ə qalıqsız bölünürsə, o zaman ədədin özü 11-ə qalıqsız bölünür.
Daha aydın olmaq üçün nümunələrə baxmağı təklif edirəm: 2 35 4 11-ə bölünür, çünki ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 də 11-ə bölünür, çünki ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Budur 1 1 1 və ya 4 35 4 11-ə bölünmür, çünki birinci halda (1+1)- alırıq. 1 =1, ikincidə ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12-yə bölünmə testi

12 rəqəmi mürəkkəbdir. Onun bölünmə əlaməti eyni zamanda 3 və 4-ə bölünmə əlamətlərinə uyğun olmasıdır.
Məsələn, 300 və 636 həm 4-ə bölünmə əlamətlərinə (son 2 rəqəm sıfırdır və ya 4-ə bölünür), həm də 3-ə bölünmə əlamətlərinə (həm birinci, həm də üçüncü ədədlərin rəqəmlərinin cəminə bölünür) uyğun gəlir. 3-ə), lakin nəhayət, onlar 12-yə qalıqsız bölünürlər.
Lakin 200 və ya 630 12-yə bölünmür, çünki birinci halda ədəd yalnız 4-ə bölünmə meyarına, ikincidə isə yalnız 3-ə bölünmə meyarına cavab verir. lakin hər iki meyar eyni vaxtda deyil.

13-ə bölünmə testi

13-ə bölünmə əlaməti odur ki, əgər bu ədədin 4-ə vurulan vahidlərinə əlavə olunan ədədin onlarla ədədi 13-ə qatdırsa və ya 0-a bərabərdirsə, o zaman ədədin özü 13-ə bölünür.
Məsələn götürək 70 2. Beləliklə, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 13-ə qalıqsız bölünür), yəni 70 2 13-ə qalıqsız bölünür. Başqa bir misal rəqəmdir 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. 130 rəqəmi 13-ə qalıqsız bölünür, yəni verilmiş ədəd 13-ə bölünmə kriteriyasına uyğundur.
Rəqəmləri götürsək 12 5 və ya 21 2, sonra alırıq 12 +4*5=32 və 21 Müvafiq olaraq +4*2=29 və nə 32, nə də 29 13-ə qalıqsız bölünür, yəni verilmiş ədədlər 13-ə qalıqsız bölünmür.

Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti

Yuxarıda deyilənlərdən göründüyü kimi, hər hansı birinin olduğunu güman etmək olar natural ədədlər siz öz fərdi bölünmə işarənizi və ya ədəd bir neçə fərqli ədədin qatıdırsa, “kompozit” işarəsini seçə bilərsiniz. Ancaq təcrübədən göründüyü kimi, ümumiyyətlə rəqəm nə qədər çox olarsa, onun işarəsi də bir o qədər mürəkkəbdir. Bölünmə meyarının yoxlanılmasına sərf olunan vaxtın bölmənin özünə bərabər və ya ondan çox olması mümkündür. Buna görə də biz adətən bölünmənin ən sadə əlamətlərindən istifadə edirik.

Məqalədə tam ədədlərin qalığa bölünməsi anlayışı araşdırılır. Tam ədədlərin qalığa bölünməsi teoremini isbat edək və dividendlər və bölənlər, natamam hissələr və qalıqlar arasındakı əlaqələrə baxaq. Nümunələrdən istifadə edərək onlara ətraflı baxaraq, tam ədədləri qalıqlara bölərkən qaydalara baxaq. Həllin sonunda bir yoxlama aparacağıq.

Tam ədədlərin qalıqlara bölünməsi haqqında ümumi anlayış

Tam ədədlərin qalığa bölünməsi natural ədədlərin qalığı ilə ümumiləşdirilmiş bölmə hesab olunur. Bu, natural ədədlərin tam ədədlərin tərkib hissəsi olduğu üçün edilir.

İxtiyari bir ədədin qalığı ilə bölmə a tam ədədinin sıfırdan başqa b ədədinə bölündüyünü bildirir. Əgər b = 0 olarsa, onda qalanla bölməyin.

Natural ədədləri qalığa bölmək kimi, a və b tam ədədləri b sıfır deyil, c və d ilə bölünür. Bu halda, a və b dividend və bölən adlanır və d bölmənin qalan hissəsidir, c tam və ya natamam hissədir.

Qalanların bütöv olmadığını fərz etsək mənfi rəqəm, onda onun qiyməti b ədədinin modulundan böyük deyil. Bunu belə yazaq: 0 ≤ d ≤ b. Bu bərabərsizlik zənciri 3 və ya daha çox ədədi müqayisə edərkən istifadə olunur.

Əgər c natamam hissədirsə, d a tam ədədinin b-yə bölünməsinin qalığıdır, onu qısaca ifadə etmək olar: a: b = c (qalıq d).

a ədədlərini b-yə bölərkən qalıq sıfır ola bilər, onda a-nın b-yə tam, yəni qalıqsız bölündüyünü deyirlər. Qalıqsız bölmə xüsusi bölgü halı hesab olunur.

Sıfırı hansısa ədədə bölsək, nəticə sıfır olur. Bölmənin qalan hissəsi də sıfır olacaq. Bunu sıfırı tam ədədə bölmək nəzəriyyəsindən izləmək olar.

İndi gəlin tam ədədləri qalığa bölmənin mənasına baxaq.

Məlumdur ki, müsbət tam ədədlər natural ədədlərdir, onda qalığa bölündükdə natural ədədləri qalığa bölərkən eyni məna alınacaq.

Mənfi tam a-nı müsbət tam b-yə bölmək məntiqlidir. Bir nümunəyə baxaq. Təsəvvür edin ki, b şəxs tərəfindən ödənilməli olan a məbləğində maddələr borcumuz var. Buna nail olmaq üçün hər kəs bərabər töhfə verməlidir. Hər biri üçün borc məbləğini müəyyən etmək üçün özəl s dəyərinə diqqət yetirmək lazımdır. Qalan d, borcları ödədikdən sonra maddələrin sayının məlum olduğunu göstərir.

Alma nümunəsinə baxaq. 2 nəfərin 7 alma borcu varsa. Hər kəsin 4 alma qaytarmalı olduğunu hesablasaq, tam hesablamadan sonra onlarda 1 alma qalacaq. Bunu bərabərlik kimi yazaq: (− 7) : 2 = − 4 (t. 1-dən) .

Hər hansı a rəqəmini tam ədədə bölmək məntiqli deyil, lakin bu, seçim kimi mümkündür.

Tam ədədlərin qalığa bölünməsi haqqında teorem

Müəyyən etdik ki, a dividend, sonra b bölən, c qismən hissə və d qalıqdır. Onlar bir-birinə bağlıdır. Bu əlaqəni a = b · c + d bərabərliyindən istifadə edərək göstərəcəyik. Onların arasındakı əlaqə qalığa bölünmə teoremi ilə xarakterizə olunur.

Teorem

İstənilən tam ədəd yalnız tam və sıfırdan fərqli b ədədi vasitəsilə bu şəkildə göstərilə bilər: a = b · q + r, burada q və r bəzi tam ədədlərdir. Burada 0 ≤ r ≤ b var.

a = b · q + r-nin mövcudluğunun mümkünlüyünü sübut edək.

Sübut

Əgər a və b iki ədədi varsa və a qalıqsız b-yə bölünürsə, onda tərifdən belə çıxır ki, q ədədi var və a = b · q bərabərliyi doğru olacaqdır. Onda bərabərliyi doğru hesab etmək olar: r = 0 üçün a = b · q + r.

Onda b · q bərabərsizliyi ilə verilən q-u götürmək lazımdır< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Bizdə var ki, a − b · q ifadəsinin qiyməti sıfırdan böyükdür və b ədədinin qiymətindən böyük deyil, ondan belə nəticə çıxır ki, r = a − b · q. Tapırıq ki, a ədədi a = b · q + r şəklində təmsil oluna bilər.

İndi b-nin mənfi qiymətləri üçün a = b · q + r-ni təmsil etməyi düşünməliyik.

Ədədin modulu müsbət olur, onda a = b · q 1 + r alırıq, burada q 1 qiyməti hansısa tam ədəddir, r 0 ≤ r şərtinə cavab verən tam ədəddir.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Unikallığın sübutu

Fərz edək ki, a = b q + r, q və r şərti 0 ≤ r doğru olan tam ədədlərdir.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Və r 1 bəzi rəqəmlər haradadır q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Bərabərsizlik sol və sağ tərəfdən çıxarıldıqda, 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 alırıq ki, bu da r - r 1 = b · q 1 - q-a bərabərdir. Moduldan istifadə edildiyi üçün r - r 1 = b · q 1 - q bərabərliyini alırıq.

Verilmiş şərt deyir ki, 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Və q 1- bütöv və q ≠ q 1, onda q 1 - q ≥ 1. Buradan əldə edirik ki, b · q 1 - q ≥ b. Əldə edilən bərabərsizliklər r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Buradan belə nəticə çıxır ki, a ədədini a = b · q + r yazmaqdan başqa heç bir şəkildə ifadə etmək olmaz.

Dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqə

a = b · c + d bərabərliyindən istifadə edərək, natamam hissə c olan b bölücü və qalan d məlum olduqda naməlum dividend a tapa bilərsiniz.

Misal 1

Bölmə zamanı əldə etdiyimiz dividendləri müəyyənləşdirin - 21, qismən hissə 5, qalan hissəsi isə 12-dir.

Həll

Məlum bölən b = − 21, natamam hissə c = 5 və qalıq d = ​​12 olan dividend a-nı hesablamaq lazımdır. a = b · c + d bərabərliyinə müraciət etməliyik, buradan a = (− 21) · 5 + 12 alırıq. Hərəkətlərin ardıcıllığına əməl etsək, - 21-i 5-ə vururuq, bundan sonra (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 alırıq.

Cavab: - 93 .

Bölən ilə qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqə bərabərliklərdən istifadə etməklə ifadə edilə bilər: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b və d = a - b · c . Onların köməyi ilə bölücü, qismən hissə və qalığı hesablaya bilərik. Bu, məlum dividend, bölücü və qismən bölünmə ilə a tam ədədini b-yə bölərkən daim qalığı tapmağa gəlir. d = a − b · c düsturu tətbiq edilir. Həll yolunu ətraflı nəzərdən keçirək.

Misal 2

Tam ədədi - 19-u - 7-yə bərabər məlum natamam hissə ilə 3 tam ədədinə bölərkən qalığı tapın.

Həll

Bölmənin qalığını hesablamaq üçün d = a − b · c formasının düsturunu tətbiq edirik. Şərtə görə, bütün məlumatlar mövcuddur: a = − 19, b = 3, c = − 7. Buradan d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (fərq − 19 − (− 21) alırıq. Bu misal hesablanır. çıxma qaydasından istifadə edərək mənfi tam ədəd.

Cavab: 2 .

Bütün müsbət tam ədədlər natural ədədlərdir. Buradan belə nəticə çıxır ki, bölmə natural ədədlərin qalığı ilə bütün bölmə qaydalarına əsasən aparılır. Təbii ədədlərin qalan hissəsinə bölünmə sürəti vacibdir, çünki təkcə müsbət ədədlərin bölünməsi deyil, həm də ixtiyari tam ədədlərin bölünməsi qaydaları buna əsaslanır.

Bölmənin ən əlverişli üsulu bir sütundur, çünki natamam və ya sadəcə bir qalıq ilə bir hissə əldə etmək daha asan və sürətlidir. Həll yoluna daha ətraflı baxaq.

Misal 3

14671-i 54-ə bölün.

Həll

Bu bölmə bir sütunda aparılmalıdır:

Yəni, qismən hissə 271-ə, qalanı isə 37-ə bərabərdir.

Cavab: 14,671: 54 = 271. (qalan 37)

Qalığa müsbət tamı mənfi tam ədədə bölmək qaydası, nümunələr

Müsbət ədədin qalığını mənfi tam ədədə bölmək üçün bir qayda tərtib etmək lazımdır.

Tərif 1

Müsbət tam a-nın mənfi tam b-yə bölünməsinin natamam hissəsi a ədədlərinin modullarının b-yə bölünməsinin natamam əmsalına əks olan ədəd verir. Onda a b-yə bölündükdə qalıq qalığa bərabərdir.

Beləliklə, müsbət tam ədədin mənfi tam ədədə bölünməsinin natamam hissəsi müsbət olmayan tam ədəd hesab olunur.

Alqoritmi alırıq:

• dividend modulunu bölücünün moduluna bölün, sonra natamam bir hissə alırıq və
• qalıq;
• Əldə etdiyimiz rəqəmin əksini yazaq.

Müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmək üçün alqoritm nümunəsinə baxaq.

Misal 4

Qalan 17 ilə - 5-ə bölün.

Həll

Qalan müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmək alqoritmini tətbiq edək. 17-ni - 5 moduluna bölmək lazımdır. Buradan əldə edirik ki, qismən hissə 3-ə, qalan hissəsi isə 2-yə bərabərdir.

17-ni - 5 = - 3-ə 2-yə bərabər qalanla bölməkdən tələb olunan ədədi alırıq.

Cavab: 17: (− 5) = − 3 (qalan 2).

Misal 5

45-i - 15-ə bölmək lazımdır.

Həll

Rəqəmləri modula bölmək lazımdır. 45 rəqəmini 15-ə bölün, qalıqsız 3-ə bərabər hissəni alırıq. Bu o deməkdir ki, 45 rəqəmi 15-ə qalıqsız bölünür. Cavab - 3, çünki bölmə modulu həyata keçirilir.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Cavab: 45: (− 15) = − 3 .

Qalanla bölmə qaydasının tərtibi aşağıdakı kimidir.

Tərif 2

Mənfi tam a-nı müsbət b-yə bölərkən natamam c hissəsi əldə etmək üçün verilmiş ədədin əksini tətbiq etmək və ondan 1-i çıxarmaq lazımdır, onda qalan d düsturla hesablanacaq: d = a - b · c.

Qaydaya əsasən belə nəticəyə gələ bilərik ki, bölmə zamanı mənfi olmayan tam ədəd alırıq. Həllin düzgünlüyünü təmin etmək üçün a-nı b-yə qalığa bölmək üçün alqoritmdən istifadə edin:

• dividend və bölücünün modullarını tapın;
• modulu bölmək;
• verilmiş ədədin əksini yazın və 1-i çıxarın;
• qalıq d = ​​a − b · c üçün düsturdan istifadə edin.

Bu alqoritmin istifadə edildiyi bir həll nümunəsinə baxaq.

Misal 6

Bölmənin qismən hissəsini və qalığını tapın - 17-dən 5-ə.

Həll

Verilmiş ədədləri modula bölürük. Tapırıq ki, bölmə zamanı hissə 3, qalan hissə isə 2-dir. 3-ü əldə etdiyimiz üçün bunun əksi 3-dür. 1-i çıxarmaq lazımdır.

− 3 − 1 = − 4 .

İstədiyiniz dəyər - 4-ə bərabərdir.

Qalanı hesablamaq üçün a = − 17, b = 5, c = − 4, sonra d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = lazımdır. 3 .

Bu o deməkdir ki, bölmənin natamam hissəsi rəqəmdir - qalığı 3-ə bərabər olan 4.

Cavab:(− 17) : 5 = − 4 (qalan 3).

Misal 7

Mənfi tam ədədi - 1404-ü müsbət 26-ya bölün.

Həll

Sütun və modulla bölmək lazımdır.

Biz ədədlərin modullarının qalıqsız bölünməsini əldə etdik. Bu o deməkdir ki, bölmə qalıqsız yerinə yetirilir və istədiyiniz hissə = - 54.

Cavab: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Mənfi tam ədədlər üçün qalığı olan bölmə qaydası, nümunələr

Mənfi tam ədədlərin qalığı ilə bölmə qaydasını tərtib etmək lazımdır.

Tərif 3

Mənfi tam a-nı mənfi b-yə bölməkdən natamam c hissəni əldə etmək üçün modul hesablamalar aparmaq, sonra 1-i əlavə etmək lazımdır, sonra d = a − b · c düsturundan istifadə etməklə hesablamalar apara bilərik.

Buradan belə nəticə çıxır ki, mənfi tam ədədlərin bölünməsinin natamam hissəsi müsbət ədəd olacaqdır.

Gəlin formalaşdıraq bu qayda alqoritm şəklində:

• dividend və bölücünün modullarını tapın;
• ilə natamam hissə əldə etmək üçün dividend modulunu bölən modula bölün.
• qalıq;
• natamam hissəyə 1 əlavə etmək;
• d = a − b · c düsturu əsasında qalığın hesablanması.

Nümunədən istifadə edərək bu alqoritmə baxaq.

Misal 8

- 17-ni - 5-ə bölərkən qismən hissəni və qalığı tapın.

Həll

Həllin düzgün olması üçün qalığa bölmə alqoritmini tətbiq edirik. Əvvəlcə ədədləri modula bölün. Buradan əldə edirik ki, qismən hissə = 3, qalan isə 2-dir. Qaydaya görə, natamam hissə və 1 əlavə etməlisiniz. 3 + 1 = 4 alırıq. Buradan alırıq ki, verilmiş ədədlərin bölünməsinin qismən hissəsi 4-ə bərabərdir.

Qalanı hesablamaq üçün düsturdan istifadə edəcəyik. Şərtə görə a = − 17, b = − 5, c = 4, onda düsturdan istifadə edərək, d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = alırıq. − 17 + 20 = 3 . Tələb olunan cavab, yəni qalıq 3-ə, qismən bölünmə isə 4-ə bərabərdir.

Cavab:(− 17) : (− 5) = 4 (qalan 3).

Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsinin yoxlanılması

Rəqəmləri qalığa böldükdən sonra yoxlama aparmalısınız. Bu yoxlama 2 mərhələdən ibarətdir. Əvvəlcə qalıq d-nin mənfi olmadığı yoxlanılır, 0 ≤ d şərti təmin edilir.< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Nümunələrə baxaq.

Misal 9

Bölmə aparılır - 521-ə - 12. Bölmə 44, qalan 7-dir. Yoxlayın.

Həll

Qalan müsbət ədəd olduğu üçün onun qiyməti bölənin modulundan kiçikdir. Bölən - 12-dir, yəni modulu 12-dir. Növbəti yoxlama nöqtəsinə keçə bilərsiniz.

Şərtlə a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7 olduğunu əldə edirik. Buradan b · c + d hesablayırıq, burada b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Buradan belə çıxır ki, bərabərlik doğrudur. Doğrulama keçdi.

Misal 10

Bölmə yoxlamasını həyata keçirin (− 17): 5 = − 3 (qalan − 2). Bərabərlik doğrudurmu?

Həll

Birinci mərhələnin mənası budur ki, tam ədədlərin qalığa bölünməsini yoxlamaq lazımdır. Buradan aydın olur ki, - 2-yə bərabər qalıq verildiyi üçün hərəkət düzgün yerinə yetirilməyib. Qalan mənfi rəqəm deyil.

Bizdə var ki, ikinci şərt yerinə yetirilib, lakin bu iş üçün kifayət deyil.

Cavab: Yox.

Misal 11

19 sayı - 3-ə bölündü. Qismən hissə 7, qalanı isə 1-dir. Bu hesablamanın düzgün olub olmadığını yoxlayın.

Həll

1-ə bərabər qalıq verilir. O, müsbətdir. Dəyər bölücü moduldan azdır, yəni birinci mərhələ tamamlanır. İkinci mərhələyə keçək.

b · c + d ifadəsinin qiymətini hesablayaq. Şərtə görə, b = − 3, c = 7, d = 1, əvəz etmək deməkdir. rəqəmli dəyərlər, biz b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 alırıq. Buradan belə çıxır ki, a = b · c + d bərabərliyi yerinə yetirilmir, çünki şərt a = - 19 verir.

Buradan belə çıxır ki, bölgü səhvlə aparılıb.

Cavab: Yox.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu yazıda baxacağıq tam ədədlərin qalığa bölünməsi. Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin ümumi prinsipindən başlayaq, tam ədədlərin qalığa bölünməsi teoremini tərtib edib sübuta yetirək, dividend, bölən, natamam hissə və qalıq arasındakı əlaqələri izləyək. Sonra, tam ədədlərin qalığa bölünmə qaydalarını təsvir edəcəyik və nümunələri həll edərkən bu qaydaların tətbiqini nəzərdən keçirəcəyik. Bundan sonra, tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsini yoxlamağı öyrənəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Tam ədədlərin qalığa bölünməsi haqqında ümumi anlayış

Tam ədədlərin qalığa bölünməsini ümumiləşdirmə kimi nəzərdən keçirəcəyik natural ədədlərin qalıqlarına bölmə. Bunun səbəbi tam ədədlər var tərkib hissəsi tam ədədlər.

Təsvirdə istifadə olunan terminlər və təyinatlarla başlayaq.

Natural ədədlərin qalığa bölünməsinə bənzətməklə, a və b (b sıfıra bərabər deyil) iki tam ədədinin qalığına bölünmənin nəticəsinin iki c və d tam ədədi olduğunu fərz edəcəyik. a və b nömrələri çağırılır bölünə bilən Və bölücü müvafiq olaraq d sayı - qalan a-nın b-yə bölünməsindən və c tam ədədi adlanır natamam özəl(və ya sadəcə özəl, qalıq sıfır olarsa).

Gəlin razılaşaq ki, qalıq var qeyri-mənfi tam ədəd, və onun dəyəri b-dən çox deyil, yəni (biz danışarkən oxşar bərabərsizlik zəncirləri ilə qarşılaşdıq. üç və ya daha çox tam ədədin müqayisəsi).

Əgər c ədədi natamam hissədirsə və d ədədi a tam ədədini b tam ədədinə böldükdən sonra qalıqdırsa, bu faktı qısaca olaraq a:b=c (qalan d) şəklində bərabərlik kimi yazacağıq.

Qeyd edək ki, a tam ədədini b tam ədədinə bölərkən qalıq sıfır ola bilər. Bu halda deyirik ki, a b-yə bölünür izsiz(və ya tamamilə). Beləliklə, tam ədədlərin qalıqsız bölünməsi tam ədədlərin qalığa bölünməsinin xüsusi halıdır.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, sıfırı tam ədədə bölərkən biz həmişə qalıqsız bölmə ilə məşğul oluruq, çünki bu halda bölgü sıfıra bərabər olacaq (nəzəriyyə bölməsinə baxın) sıfırın tam ədədə bölünməsi), qalan da sıfır olacaq.

Terminologiya və qeydlər üzərində qərar verdik, indi tam ədədləri qalığa bölməyin mənasını anlayaq.

Mənfi a tam ədədinin tam ədədə bölünməsi müsbət rəqəm b mənası da verilə bilər. Bunu etmək üçün düşünün borc kimi mənfi tam ədəd. Bu vəziyyəti təsəvvür edək. Maddələri təşkil edən borc b nəfər tərəfindən bərabər töhfə verməklə ödənilməlidir. Bu halda c natamam kəmiyyətinin mütləq qiyməti bu şəxslərin hər birinin borcunun məbləğini, qalan d isə borc ödənildikdən sonra neçə maddənin qalacağını göstərəcək. Bir misal verək. Tutaq ki, 2 nəfərin 7 alma borcu var. Hər birinin 4 alma borcu olduğunu fərz etsək, borcunu ödədikdən sonra 1 alma qalacaq. Bu vəziyyət bərabərliyə uyğundur (−7):2=−4 (qalan 1).

Biz ixtiyari tam a-nın qalığını mənfi tam ədədə bölməyə heç bir məna verməyəcəyik, lakin onun mövcud olmaq hüququnu özündə saxlayacağıq.

Tam ədədlərin qalığa bölünməsi haqqında teorem

Natural ədədlərin qalığa bölünməsindən danışarkən, a bölən a, bölən b, qismən hissə c və qalıq d ilə a=b·c+d bərabərliyi ilə əlaqəli olduğunu bildik. a, b, c və d tam ədədləri eyni əlaqəyə malikdir. Bu əlaqə aşağıdakı kimi təsdiqlənir qalığa bölünmə teoremi.

Teorem.

İstənilən a tam ədədi a=b·q+r şəklində tam və sıfırdan fərqli b ədədi vasitəsilə unikal şəkildə təmsil oluna bilər, burada q və r bəzi tam ədədlərdir və .

Sübut.

Əvvəla, a=b·q+r-ın təmsil olunmasının mümkünlüyünü sübut edirik.

Əgər a və b tam ədədləri belədirsə ki, a b-yə bölünür, onda tərifə görə q tam ədədi var ki, a=b·q olsun. Bu halda r=0-da a=b·q+r bərabərliyi yerinə yetirilir.

İndi biz fərz edəcəyik ki, b müsbət tam ədəddir. q tam ədədini seçək ki, b·q hasil a rəqəmindən çox olmasın, b·(q+1) hasil isə artıq a-dan böyük olsun. Yəni q-nı elə götürürük ki, bərabərsizliklər b q olsun

Mənfi b üçün a=b·q+r-nin təmsil olunmasının mümkünlüyünü sübut etmək qalır.

Bu halda b ədədinin modulu müsbət ədəd olduğundan, belə bir təqdimat var ki, burada q 1 hansısa tam ədəd, r isə şərtləri ödəyən tam ədəddir. Sonra q=−q 1 götürərək mənfi b üçün lazım olan a=b·q+r təsvirini alırıq.

Gəlin unikallığın sübutuna keçək.

Tutaq ki, a=b·q+r, q və r tam ədədlərdir və , başqa a=b·q 1 +r 1 təsviri var ki, burada q 1 və r 1 bəzi tam ədədlərdir və q 1 ≠ q və .

Birinci bərabərliyin sol və sağ tərəflərindən müvafiq olaraq ikinci bərabərliyin sol və sağ tərəflərini çıxdıqdan sonra r− bərabərliyinə ekvivalent olan 0=b·(q−q 1)+r−r 1 alırıq. r 1 =b·(q 1 −q) . Sonra formanın bərabərliyi , və ədədlərin modulunun xüsusiyyətlərinə görə bərabərlik .

Şərtlərdən belə nəticəyə gələ bilərik. q və q 1 tam ədədlər və q≠q 1 olduğuna görə belə nəticəyə gəlirik ki, . Alınan bərabərsizliklərdən və ondan nəticə çıxır ki, formanın bərabərliyi bizim fərziyyəmizə görə mümkün deyil. Buna görə də a ədədinin a=b·q+r-dan başqa heç bir təsviri yoxdur.

Dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqələr

a=b·c+d bərabərliyi naməlum dividend a tapmağa imkan verir, əgər bölən b, qismən hissə c və qalıq d məlumdursa. Bir nümunəyə baxaq.

Misal.

Əgər −21 tam ədədinə bölündükdə nəticə 5-in natamam hissəsi və 12-nin qalığı olarsa, divident dəyəri nədir?

Həll.

Bölən b=−21, qismən hissə c=5 və qalıq d=12 məlum olduqda dividend a hesablamalıyıq. a=b·c+d bərabərliyinə dönsək, a=(−21)·5+12 alırıq. Müşahidə edərək, əvvəlcə −21 və 5 tam ədədlərini vururuq müxtəlif işarəli tam ədədləri vurma qaydası, bundan sonra icra edirik müxtəlif işarəli tam ədədlərin toplanması: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Cavab:

−93 .

Dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqələr də b=(a−d):c, c=(a−d):b və d=a−b·c şəklində bərabərliklərlə ifadə edilir. Bu bərabərliklər müvafiq olaraq bölücü, qismən hissə və qalığı hesablamağa imkan verir. D=a−b·c düsturundan istifadə edərək, dividend, bölən və qismən hissə məlum olduqda, a tam ədədini b tam ədədinə bölərkən qalığı tapmalı olacağıq. Əlavə sualların qarşısını almaq üçün, qalanın hesablanması nümunəsinə baxaq.

Misal.

Əgər qismən hissənin -7-yə bərabər olduğunu bilirsinizsə, −19 tam ədədini 3 tam ədədinə bölərkən qalığı tapın.

Həll.

Bölmənin qalığını hesablamaq üçün d=a−b·c formalı düsturdan istifadə edirik. Şərtdən a=−19, b=3, c=−7 bütün lazımi məlumatlara sahibik. d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 alırıq (fərqi −19−(−21) istifadə edərək hesabladıq. mənfi tam ədədi çıxmaq qaydası).

Cavab:

Müsbət tam ədədlərin qalığı ilə bölmə, nümunələr

Bir dəfədən çox qeyd etdiyimiz kimi, müsbət tam ədədlər natural ədədlərdir. Buna görə də, müsbət tam ədədlərin qalığı ilə bölmə, natural ədədlərin qalığı ilə bölmənin bütün qaydalarına uyğun olaraq həyata keçirilir. Asanlıqla icra edə bilmək çox vacibdir natural ədədlərin qalıqlarına bölmə, çünki təkcə müsbət tam ədədlərin deyil, həm də ixtiyari tam ədədlərin qalığı ilə bölmənin bütün qaydalarının əsasını məhz bu təşkil edir.

Bizim fikrimizcə, yerinə yetirmək ən əlverişlidir sütuna bölmə, bu üsul həm natamam hissəni (və ya sadəcə olaraq bölməni), həm də qalığını əldə etməyə imkan verir. Müsbət tam ədədlərin qalığı ilə bölmə nümunəsinə baxaq.

Misal.

Qalan 14,671-i 54-ə bölün.

Həll.

Bu müsbət tam ədədləri sütuna bölək:

Qismən hissə 271-ə, qalan hissəsi isə 37-yə bərabərdir.

Cavab:

14 671:54=271 (qalan. 37) .

Qalığa müsbət tamı mənfi tam ədədə bölmək qaydası, nümunələr

Müsbət tam ədədin qalığını mənfi tam ədədə bölməyə imkan verən bir qayda tərtib edək.

Müsbət tam a-nın mənfi tam b-yə bölünməsinin qismən hissəsi a-nın b-nin moduluna bölünməsinin qismən hissəsinə əksdir və a-nın b-yə bölünməsinin qalan hissəsi bölünmənin qalığına bərabərdir.

Bu qaydadan belə nəticə çıxır ki, müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmənin qismən hissəsi belədir. qeyri-müsbət tam ədəd.

Göstərilən qaydanı qalığa müsbət tamı mənfi tam ədədə bölmək alqoritminə çevirək:

• Dividendin modulunu bölənin moduluna bölürük, qismən hissə və qalığı alırıq. (Əgər qalıq sıfıra bərabərdirsə, onda ilkin ədədlər qalıqsız bölünür və əks işarəli tam ədədlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq, tələb olunan hissə modulların bölünməsindən alınan hissəyə əks olan ədədə bərabərdir. )
• Yaranan natamam hissənin və qalanın əksinə olan ədədi yazırıq. Bu ədədlər müvafiq olaraq tələb olunan əmsal və orijinal müsbət tam ədədin mənfi tam ədədə bölünməsinin qalığıdır.

Müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmək alqoritmindən istifadə nümunəsi verək.

Misal.

17 müsbət tam ədədinin qalığını −5 mənfi tam ədədinə bölün.

Həll.

Qalan müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmək üçün alqoritmdən istifadə edək.

Bölməklə

Nömrə, əks nömrə 3 −3-dür. Beləliklə, 17-nin −5-ə bölünməsinin tələb olunan qismən hissəsi −3, qalanı isə 2-dir.

Cavab:

17 :(−5)=−3 (qalan 2).

Misal.

Bölmək 45-ə -15.

Həll.

Dividend və bölən modulları müvafiq olaraq 45 və 15-dir. 45 rəqəmi 15-ə qalıqsız bölünür və bölmə 3-dür. Buna görə də 45 müsbət tam ədədi qalıqsız −15 mənfi tam ədədinə bölünür və hissə 3-ün əksinə olan ədədə, yəni −3-ə bərabərdir. Doğrudan da, görə müxtəlif işarəli tam ədədlərin bölünməsi qaydası bizdə var.

Cavab:

45:(−15)=−3 .

Mənfi tam ədədin qalanı ilə müsbət tam ədədə bölünmə, nümunələr

Mənfi tam ədədi qalığa bölmək qaydasının tərtibini müsbət tam ədədə verək.

Mənfi tam a-nı müsbət tam ədədə bölməkdən c natamam əmsalını əldə etmək üçün orijinal ədədlərin modullarını bölməkdən natamam əmsalın əksinə olan ədədi götürməli və ondan birini çıxarmalı, bundan sonra qalan d hesablanmalıdır. d=a−b·c düsturundan istifadə etməklə.

Bu qalığa bölmə qaydasından belə çıxır ki, mənfi tam ədədi müsbət tam ədədə bölmənin qismən hissəsi mənfi tam ədəddir.

Göstərilən qaydadan a mənfi tam ədədini qalığa b müsbət tam ədədinə bölmək üçün alqoritm əmələ gəlir:

• Dividend və bölən modullarının tapılması.
• Dividendin modulunu bölənin moduluna bölürük, qismən hissə və qalığı alırıq. (Əgər qalıq sıfırdırsa, onda ilkin tam ədədlər qalıqsız bölünür və tələb olunan hissə modul bölgüsü hissəsinə əks olan ədədə bərabərdir.)
• Yaranan natamam hissənin əksinə olan ədədi yazırıq və ondan 1 rəqəmini çıxarırıq. Hesablanmış ədəd orijinal mənfi tam ədədi müsbət tam ədədə bölməkdən əldə edilən c qismən hissəsidir.

Qalan ilə yazılı bölmə alqoritmindən istifadə etdiyimiz nümunənin həllini təhlil edək.

Misal.

−17 mənfi tam ədədini 5 müsbət tam ədədinə bölərkən qismən hissə və qalığı tapın.

Həll.

Dividendin modulu −17-nin modulu 17-yə, bölən 5-in modulu isə 5-ə bərabərdir.

Bölməklə 17-dən 5-ə qədər, biz qismən hissəni 3 və qalan 2-ni alırıq.

3-ün əksi -3-dür. −3-dən birini çıxarın: −3−1=−4. Beləliklə, tələb olunan qismən hissə −4-ə bərabərdir.

Qalanları hesablamaq qalır. Bizim nümunəmizdə a=−17 , b=5 , c=−4 , onda d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Beləliklə, −17 mənfi tam ədədini 5 müsbət tam ədədinə bölmənin qismən hissəsi −4, qalanı isə 3-dür.

Cavab:

(−17):5=−4 (qalan 3) .

Misal.

−1,404 mənfi tam ədədini 26 müsbət tam ədədinə bölün.

Həll.

Dividendin modulu 1404, bölən modulu 26-dır.

Sütun istifadə edərək 1404-ü 26-ya bölün:

Dividend modulu bölən moduluna qalıqsız bölündüyü üçün ilkin tam ədədlər qalıqsız bölünür və istədiyiniz hissə 54-ün əksinə olan ədədə, yəni -54-ə bərabərdir.

Cavab:

(−1 404):26=−54 .

Mənfi tam ədədlər üçün qalığı olan bölmə qaydası, nümunələr

Mənfi tam ədədlərin qalığı ilə bölmə qaydasını tərtib edək.

Mənfi tam a-nı mənfi tam ədədə bölməkdən c natamam hissəni əldə etmək üçün orijinal ədədlərin modullarını bölməkdən natamam hissəni hesablamaq və ona bir əlavə etmək lazımdır, bundan sonra d düsturundan istifadə edərək qalıq d hesablanır. =a−b·c.

Bu qaydadan belə nəticə çıxır ki, mənfi tam ədədlərin bölünməsinin qismən hissəsi müsbət tam ədəddir.

Göstərilən qaydanı mənfi tam ədədlərin bölünməsi alqoritmi şəklində yenidən yazaq:

• Dividend və bölən modullarının tapılması.
• Dividendin modulunu bölənin moduluna bölürük, qismən hissə və qalığı alırıq. (Əgər qalıq sıfırdırsa, onda ilkin tam ədədlər qalıqsız bölünür və tələb olunan hissə bölmənin modulunun bölünən moduluna bölünən hissəyə bərabərdir.)
• Yaranan natamam hissəyə bir əlavə edirik; bu ədəd ilkin mənfi tam ədədlərin bölünməsindən arzu olunan natamam hissədir.
• Qalanı d=a−b·c düsturu ilə hesablayırıq.

Nümunə həlli zamanı mənfi tam ədədlərin bölünməsi alqoritmindən istifadəni nəzərdən keçirək.

Misal.

−17 mənfi tam ədədini −5 mənfi tam ədədinə bölərkən qismən hissə və qalığı tapın.

Həll.

Qalanla uyğun bölgü alqoritmindən istifadə edək.

Dividendin modulu 17, bölən modulu 5-dir.

Bölmə 17-nin 5-dən çox olması qismən 3-ü, qalanı isə 2-ni verir.

Natamam hissə 3-ə bir əlavə edirik: 3+1=4. Deməli, −17-nin −5-ə bölünməsinin tələb olunan qismən hissəsi 4-ə bərabərdir.

Qalanları hesablamaq qalır. Bu misalda a=−17 , b=−5 , c=4 , sonra d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Beləliklə, −17 mənfi tam ədədini −5 mənfi tam ədədinə bölmənin qismən hissəsi 4, qalanı isə 3-dür.

Cavab:

(−17):(−5)=4 (qalan 3) .

Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsinin yoxlanılması

Tam ədədləri qalığa böldükdən sonra nəticəni yoxlamaq faydalıdır. Doğrulama iki mərhələdə aparılır. Birinci mərhələdə qalıq d-nin qeyri-mənfi ədəd olub-olmaması yoxlanılır, həmçinin şərtin təmin edilib-edilməməsi yoxlanılır. Yoxlamanın birinci mərhələsinin bütün şərtləri yerinə yetirilirsə, onda siz yoxlamanın ikinci mərhələsinə keçə bilərsiniz, əks halda qalıq ilə bölərkən haradasa səhvə yol verildiyini iddia etmək olar. İkinci mərhələdə a=b·c+d bərabərliyinin etibarlılığı yoxlanılır. Əgər bu bərabərlik doğrudursa, onda qalığa bölgü düzgün aparılıb, əks halda haradasa səhvə yol verilib.

Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsinin yoxlanıldığı misalların həllərinə baxaq.

Misal.

−521 ədədini −12-yə bölərkən qismən hissə 44, qalanı isə 7 idi, nəticəni yoxlayın.

Həll. b=−3, c=7, d=1 üçün −2. bizdə var b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Beləliklə, a=b·c+d bərabərliyi düzgün deyil (bizim nümunəmizdə a=−19).

Ona görə də qalıqla bölgü səhv aparılıb.

Sadə bir misala baxaq:
15:5=3
Bu nümunədə natural ədədi 15-ə böldük tamamilə 3 ilə, qalıqsız.

Bəzən natural ədədi tam bölmək olmur. Məsələn, problemi nəzərdən keçirin:
Şkafda 16 oyuncaq var idi. Qrupda beş uşaq var idi. Hər uşaq eyni sayda oyuncaq götürdü. Hər uşağın neçə oyuncağı var?

Həll:
Bir sütundan istifadə edərək 16 rəqəmini 5-ə bölün və əldə edirik:

Bilirik ki, 16-nı 5-ə bölmək olmaz. 5-ə bölünən ən yaxın kiçik ədəd 15 qalığı 1-dir. 15 rəqəmini 5⋅3 kimi yaza bilərik. Nəticədə (16 – dividend, 5 – bölən, 3 – natamam hissə, 1 – qalıq). var düstur qalıq ilə bölmə hansı edilə bilər həllini yoxlamaq.

a= b⋅ c+ d
a - bölünən,
b - bölücü,
c - natamam hissə,
d - qalıq.

Cavab: hər uşaq 3 oyuncaq götürəcək və bir oyuncaq qalacaq.

Bölmənin qalan hissəsi

Qalan həmişə böləndən kiçik olmalıdır.

Bölmə zamanı qalıq sıfır olarsa, bu, dividendlərin bölünməsi deməkdir tamamilə və ya bölücüdə qalıq olmadan.

Bölmə zamanı qalıq böləndən böyükdürsə, bu, tapılan ədədin ən böyük olmadığını bildirir. Dividenti böləcək daha çox sayda, qalanı isə böləndən az olacaq.

“Qalıqla bölmə” mövzusunda suallar:
Qalan böləndən böyük ola bilərmi?
Cavab: yox.

Qalan bölücüyə bərabər ola bilərmi?
Cavab: yox.

Natamam hissə, bölən və qalıqdan istifadə edərək dividend necə tapmaq olar?
Cavab: Düsturda qismən hissə, bölən və qalığın qiymətlərini əvəz edirik və divident tapırıq. Düstur:
a=b⋅c+d

Nümunə №1:
Qalığa bölün və yoxlayın: a) 258:7 b) 1873:8

Həll:
a) Sütunlara bölün:

258 – dividend,
7 - bölücü,
36 - natamam hissə,
6 - qalıq. Qalan bölən 6-dan kiçikdir<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Sütunlara bölün:

1873 - bölünən,
8 - bölən,
234 - natamam hissə,
1 - qalıq. Qalan bölən 1-dən kiçikdir<8.

Gəlin onu düsturla əvəz edək və nümunəni düzgün həll edib-etmədiyimizi yoxlayaq:
8⋅234+1=1872+1=1873

Nümunə №2:
Natural ədədləri bölərkən hansı qalıqlar alınır: a) 3 b)8?

Cavab:
a) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 3-dən kiçikdir. Bizim vəziyyətimizdə qalıq 0, 1 və ya 2 ola bilər.
b) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 8-dən kiçikdir. Bizim vəziyyətimizdə qalıq 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 və ya 7 ola bilər.

Nümunə #3:
Natural ədədləri bölərkən ən böyük qalıq hansıdır: a) 9 b) 15?

Cavab:
a) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 9-dan kiçikdir. Amma ən böyük qalığı göstərməliyik. Yəni bölücüyə ən yaxın olan ədəddir. Bu 8 nömrədir.
b) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 15-dən azdır. Amma ən böyük qalığı göstərməliyik. Yəni bölücüyə ən yaxın olan ədəddir. Bu rəqəm 14-dür.

Nümunə №4:
Dividend tapın: a) a:6=3(qalan.4) b) c:24=4(qalan.11)

Həll:
a) Düsturdan istifadə edərək həll edin:
a=b⋅c+d
(a – dividend, b – bölən, c – qismən hissə, d – qalıq.)
a:6=3(istirahət.4)
(a – dividend, 6 – bölən, 3 – qismən hissə, 4 – qalıq.) Gəlin rəqəmləri düsturla əvəz edək:
a=6⋅3+4=22
Cavab: a=22

b) Düsturdan istifadə edərək həll edin:
a=b⋅c+d
(a – dividend, b – bölən, c – qismən hissə, d – qalıq.)
s:24=4(istirahət.11)
(c – dividend, 24 – bölən, 4 – qismən hissə, 11 – qalıq.) Gəlin rəqəmləri düsturla əvəz edək:
с=24⋅4+11=107
Cavab: c=107

Tapşırıq:

Tel 4 m. 13 sm-lik parçalara kəsilməlidir. Neçə belə parça olacaq?

Həll:
Əvvəlcə metrləri santimetrə çevirməlisiniz.
4m.=400sm.
Sütunla bölmək olar və ya fikrimizcə əldə edirik:
400:13=30(qalan 10)
yoxlayaq:
13⋅30+10=390+10=400

Cavab: 30 ədəd alacaqsınız və 10 sm tel qalacaq.