Hərəkətin diferensial tənlikləri. Maddi nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri Dinamikaya giriş. Əsas müddəalar

DİNAMİKA

“Nəzəri mexanika” fənni üzrə elektron dərslik

tələbələr üçün yazışma forması təlim

Federal təhsil standartına uyğundur

(üçüncü nəsil)

Sidorov V.N., texnika elmləri doktoru, professor

Yaroslavl Dövlət Texniki Universiteti

Yaroslavl, 2016

Giriş…………………………………………………………………………………

Dinamiklər………………………………………………………………………

1.Dinamikaya giriş. Əsas müddəalar ……………………………

1.1.Əsas anlayışlar və təriflər………………………………

1.2.Nyuton qanunları və dinamikanın problemləri……………………………

1.3.Əsas qüvvələrin növləri………………………………. ............

Cazibə qüvvəsi………………………………………………………………….

Ağırlıq ………………………………………………………..

Sürtünmə qüvvəsi…………………………………………………………

Elastik qüvvə………………………………………………………..

1.4.Diferensial tənliklər hərəkətlər……………………………

Nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri………………..

Mexanik hərəkətin diferensial tənlikləri

sistemləri………………………………………………………

2. Dinamikanın ümumi teoremləri………………………. ………………………

2.1. Kütlə mərkəzinin hərəkəti haqqında teorem ……………….. ………………

2.2. İmpulsun dəyişməsi haqqında teorem…………………

2.3. Bucaq momentumunun dəyişməsi haqqında teorem…………

Moment teoremi……………………………………………………………

Sərt cismin kinetik momenti………………………………

Sərt cismin eksenel ətalət anı ……………………………..

Huygens – Steiner – Eyler teoremi………………………..

Sərt cismin fırlanma hərəkəti dinamikasının tənliyi...

2.4.Kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teorem…………………..

Materialın kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem

xal………………………………………………………………

Mexanikanın kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem

sistemləri………………………………………………………

Bərk cismin kinetik enerjisini hesablamaq üçün düsturlar

müxtəlif hərəkət hallarında……………………………………………………

Qüvvələrin işinin hesablanması nümunələri…………………………………

2.5 Mexanik enerjinin saxlanma qanunu…………………………

Giriş

“Kim mexanika qanunları ilə tanış deyil

təbiəti tanıya bilməz"

Galileo Galilei

Mexanikanın əhəmiyyəti, istehsalın təkmilləşdirilməsində, onun səmərəliliyinin artırılmasında, elmi-texniki prosesin sürətləndirilməsində və elmi işlərin tətbiqində, əmək məhsuldarlığının yüksəldilməsində və məhsulun keyfiyyətinin yüksəldilməsində mühüm rolu, təəssüf ki, bütün nazirlik və idarələrin rəhbərləri tərəfindən birmənalı başa düşülmür. , daha yüksək təhsil müəssisələri, eləcə də dövrümüzün mexanikasının nəyi təmsil etdiyi /1/.Bir qayda olaraq, bütün ali texniki təhsil müəssisələrində oxunan nəzəri mexanikanın məzmunu ilə mühakimə olunur.

Tələbələr bilməlidirlər ki, nəzəri mexanika ali təhsilin fundamental mühəndislik fənlərindən biri kimi, ən mühüm bölmələrin elmi əsasını təşkil edir. müasir texnologiya, riyaziyyat və fizikanı tətbiqi elmlərlə, gələcək peşə ilə birləşdirən bir növ körpü. üzrə dərslərdə nəzəri mexanikaİlk dəfə olaraq tələbələrə sistemli təfəkkür və praktiki problemləri qoymaq və həll etmək bacarığı öyrədilir. Onları sona, ədədi nəticəyə qədər həll edin. Həllini təhlil etməyi, onun tətbiqi məhdudiyyətlərini və mənbə məlumatlarının düzgünlüyünə olan tələbləri təyin etməyi öyrənin.

Tələbələr üçün eyni dərəcədə vacibdir ki, nəzəri mexanika bu fundamental elmin geniş mənasında müasir mexanikanın nəhəng binasının tamamilə zəruri olsa da, yalnız giriş hissəsidir. Mexanikanın digər sahələrində də inkişaf etdiriləcək: materialların möhkəmliyi, lövhələr və qabıqlar nəzəriyyəsi, vibrasiya nəzəriyyəsi, tənzimləmə və dayanıqlıq, maşın və mexanizmlərin kinematikası və dinamikası, maye və qaz mexanikası, kimyəvi mexanika.

Maşınqayırma və cihazqayırma, tikinti sənayesi və hidrotexnika, filiz hasilatı və emalı, kömür, neft və qaz, dəmir yolu və avtomobil nəqliyyatı, gəmiqayırma, aviasiya və kosmik texnologiyanın bütün sahələrində əldə edilən nailiyyətlər, elmin qanunlarının dərindən dərk edilməsinə əsaslanır. mexanika.

Dərslik qısaldılmış kurs proqramına uyğun olaraq texniki universitetdə qiyabi fakültələrin maşınqayırma, avtomexanika ixtisaslarının tələbələri üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Beləliklə, bir neçə tərif.

Nəzəri mexanika maddi cisimlərin mexaniki hərəkəti və tarazlığının ümumi qanunauyğunluqlarını və maddi cisimlər arasında yaranan mexaniki qarşılıqlı təsirləri öyrənən elmdir.

Altında maddi obyektin mexaniki hərəkəti başa düşmək zamanla baş verən digər maddi obyektlərə münasibətdə mövqeyinin dəyişməsi.

Altında mexaniki qarşılıqlı təsir demək cisimlərin bir-birinə bu cür hərəkətləri, bu zaman bu cisimlərin hərəkətləri dəyişir və ya özləri deformasiyaya uğrayırlar (formalarını dəyişirlər).

Nəzəri mexanika üç bölmədən ibarətdir: statika, kinematika və dinamika.

DİNAMİKA

Dinamikaya giriş. Əsas müddəalar

Əsas anlayışlar və təriflər

Mexanikanın bir hissəsi kimi dinamikanın tərifini bir daha bir qədər fərqli formada formalaşdıraq.

Dinamiklər – maddi cisimlərin hərəkətini onlara təsir edən qüvvələri nəzərə alaraq öyrənən mexanikanın bir sahəsi.

Tipik olaraq, dinamikanın öyrənilməsi öyrənməkdən başlayır maddi nöqtənin dinamikası və sonra təhsilə davam edin mexaniki sistemin dinamikası.

Dinamikanın bu bölmələrinin bir çox teorem və qanunlarının tərtibi oxşar olduğundan, lazımsız təkrarlamalara yol verməmək və dərsliyin mətn həcmini azaltmaq üçün dinamikanın bu bölmələrinin birlikdə təqdim edilməsi məqsədəuyğundur.

Bəzi tərifləri təqdim edək.

Ətalət (ətalət qanunu) – digər cisimlərdən ona təsir etmədikdə (yəni qüvvələr olmadıqda) cisimlərin istirahət vəziyyətini və ya vahid düzxətli ötürmə hərəkətini saxlamaq xüsusiyyəti..

Ətalət - cisimlərin qüvvələrin köməyi ilə onların istirahət vəziyyətini və ya vahid formasını dəyişmək cəhdlərinə müqavimət göstərmək qabiliyyəti düzxətli hərəkət .

Ətalətin kəmiyyət ölçüsüdür çəki(m). Kütlənin standartı kiloqramdır (kq).

Buradan belə nəticə çıxır ki, cisim nə qədər inert olarsa, kütləsi bir o qədər çox olarsa, müəyyən bir qüvvənin təsiri altında onun istirahət vəziyyəti və ya vahid hərəkəti bir o qədər az dəyişir, bədənin sürəti bir o qədər az dəyişir, yəni. bədən gücə daha yaxşı müqavimət göstərə bilir. Və əksinə, bədənin kütləsi nə qədər kiçik olsa, onun istirahət vəziyyəti və ya vahid hərəkəti nə qədər çox dəyişirsə, bədənin sürəti bir o qədər dəyişir, yəni. Bədən gücə daha az davamlıdır.

Dinamikanın qanunları və problemləri

Maddi nöqtənin dinamika qanunlarını tərtib edək. Nəzəri mexanikada onlar aksioma kimi qəbul edilir. Bu qanunların etibarlılığı ondan ibarətdir ki, onların əsasında klassik mexanikanın bütün binası tikilir, qanunları böyük dəqiqliklə həyata keçirilir. Klassik mexanikanın qanunlarının pozulması yalnız yüksək sürətlə (relativistik mexanika) və mikroskopik miqyasda (kvant mexanikası) müşahidə olunur.

Əsas qüvvələrin növləri

Əvvəlcə təbiətdə olan bütün qüvvələrin aktiv və reaktiv (əlaqələrin reaksiyaları) bölünməsini təqdim edək.

Aktiv cismi hərəkətə gətirə bilən qüvvəni adlandırın.

Reaksiya əlaqə sərbəst olmayan bir cismə aktiv qüvvənin təsiri nəticəsində yaranır və bədənin hərəkətinə mane olur.. Əslində, buna görə də, təsirli bir qüvvənin nəticəsi, cavabı, sonrakı təsiridir.

Mexanika problemlərində ən çox rast gəlinən qüvvələri nəzərdən keçirək.

Ağırlıq

Ümumdünya cazibə qanunu ilə təyin olunan iki cisim arasındakı bu cazibə qüvvəsi:

Yerin səthində cazibə qüvvəsinin sürətlənməsi haradadır, ədədi olaraq bərabərdir g≈ 9,8 m/s 2, m- sistemin bütün nöqtələrinin ümumi kütləsi kimi müəyyən edilən cismin və ya mexaniki sistemin kütləsi:

radius vektoru haradadır k- oh sistemin nöqtəsi. Kütlə mərkəzinin koordinatlarını bərabərliyin hər iki tərəfini (3.6) oxlara proyeksiya etməklə əldə etmək olar:

(7)

Sürtünmə qüvvəsi

Mühəndislik hesablamaları quru sürtünmə qanunları adlanan eksperimental olaraq müəyyən edilmiş qanunlara əsaslanır (yağlama olmadıqda) və ya Coulomb qanunları:

· Bir cismi digərinin səthi boyunca hərəkət etdirməyə çalışarkən sürtünmə qüvvəsi yaranır ( statik sürtünmə qüvvəsi ), dəyəri sıfırdan bəzi məhdudlaşdırıcı dəyərə qədər dəyərlər ala bilər.

· Son sürtünmə qüvvəsinin böyüklüyü bəzi ölçüsüz, eksperimental olaraq müəyyən edilmiş sürtünmə əmsalının məhsuluna bərabərdir. f normal təzyiqin gücünə N, yəni.

.

(8)

· Statik sürtünmə qüvvəsinin məhdudlaşdırıcı dəyərinə çatdıqda, birləşən səthlərin yapışma xüsusiyyətləri tükəndikdən sonra, bədən dayaq səthi boyunca hərəkət etməyə başlayır və hərəkətə müqavimət qüvvəsi demək olar ki, sabitdir və sürətdən asılı deyildir. (ağlabatan məhdudiyyətlər daxilində). Bu qüvvə adlanır sürüşmə sürtünmə qüvvəsi və statik sürtünmə qüvvəsinin məhdudlaşdırıcı dəyərinə bərabərdir.

· səthlər.

Bəzi cisimlər üçün sürtünmə əmsalı dəyərlərini təqdim edək:

Cədvəl 1

Yuvarlanan sürtünmə

Şəkil 1

Təkər sürüşmədən yuvarlandıqda (şəkil 1), dəstəyin reaksiyası təkərin hərəkət istiqaməti boyunca bir qədər irəliləyir. Bunun səbəbi təkər materialının və təmas zonasında dəstəkləyici səthin asimmetrik deformasiyasıdır. Gücün təsiri altında təmas zonasının B kənarında təzyiq artır, A kənarında isə azalır. Nəticədə, reaksiya bir miqdar təkərin hərəkətinə doğru sürüşür k, çağırdı yuvarlanan sürtünmə əmsalı . Təkər üzərində bir cüt qüvvə hərəkət edir və təkərin fırlanmasına qarşı yönəldilmiş yuvarlanma müqaviməti anı ilə:

Vahid yuvarlanma ilə tarazlıq şəraitində, qüvvə cütlərinin momentləri və , bir-birini tarazlayır: , bundan cismin hərəkətinə qarşı yönəlmiş qüvvənin dəyərinin təxmininə əməl olunur: . (10)

Əksər materiallar üçün nisbət sürtünmə əmsalından əhəmiyyətli dərəcədə azdır f. Bu, texnologiyada, mümkün olduqda, sürüşməni yuvarlanma ilə əvəz etməyə çalışdıqlarını izah edir.

Elastik qüvvə

Bu, deformasiyaya uğramış cismin ilkin, deformasiya olunmamış vəziyyətinə qayıtmağa çalışdığı qüvvədir. Məsələn, bir yayı bir miqdarda uzatsanız λ , onda elastik qüvvə və onun modulu müvafiq olaraq bərabərdir:

.

(11)

Vektor münasibətindəki mənfi işarə qüvvənin yerdəyişmədən əks istiqamətə yönəldiyini göstərir. Böyüklük ilə adlanır " sərtlik "və N/m ölçüsünə malikdir.

Hərəkətin diferensial tənlikləri

Nöqtələrin hərəkətinin diferensial tənlikləri

Nöqtənin dinamikasının əsas qanununun (3.2) şəklində ifadəsinə qayıdaq, onu 1-ci və 2-ci dərəcəli vektor diferensial tənlikləri şəklində yazaq (alt simvol güc nömrəsinə uyğun olacaq):

(17)

(18)

Məsələn, (15) və (17) tənlik sistemlərini müqayisə edək. Koordinat oxlarında nöqtənin hərəkətinin təsvirinin 2-ci dərəcəli 3 diferensial tənliyə və ya (çevrilmədən sonra) 1-ci dərəcəli 6 tənliyə endirilməsini asan görmək olar. Eyni zamanda, bir nöqtənin təbii oxlarda hərəkətinin təsviri bir 1-ci dərəcəli diferensial tənlikdən (sürətə görə) və iki cəbr tənliyindən ibarət qarışıq tənliklər sistemi ilə əlaqələndirilir.

Buradan belə nəticəyə gələ bilərik maddi nöqtənin hərəkətini təhlil edərkən, təbii oxlarda hərəkət tənliklərini formalaşdırmaqla, dinamikanın birinci və ikinci məsələlərini həll etmək bəzən daha asan olur..

Maddi nöqtənin dinamikasının birinci və ya birbaşa məsələsinə nöqtənin və onun kütləsinin hərəkət tənliklərini nəzərə alaraq ona təsir edən qüvvəni (və ya qüvvələri) tapmaq lazım olan məsələlər daxildir.

Maddi nöqtənin dinamikasının ikinci və ya tərs məsələsinə onun kütləsi, ona təsir edən qüvvə (və ya qüvvələr) və məlum kinematik ilkin şərtlər əsasında onun hərəkətinin tənliklərini müəyyən etmək lazım olan məsələlər daxildir.

Qeyd etmək lazımdır ki, dinamikanın 1-ci məsələsini həll edərkən diferensial tənliklər cəbri tənliklərə çevrilir ki, onun sisteminin həlli əhəmiyyətsiz işdir. Dinamikanın 2-ci məsələsini həll edərkən diferensial tənliklər sistemini həll etmək üçün Koşi məsələsini formalaşdırmaq lazımdır, yəni. deyilənləri tənliklərə əlavə edin "kənar" şərtlər. Bizim vəziyyətimizdə bunlar ilkin (son) an və ya sözdə mövqe və sürətə məhdudiyyətlər qoyan şərtlərdir. "

Fəaliyyət və reaksiya bərabərliyi qanununa görə, daxili qüvvələr həmişə cütləşdiyindən (qarşılıqlı təsir göstərən iki nöqtənin hər birinə təsir edir), onlar bərabərdir, əks istiqamətlidir və bu nöqtələri birləşdirən düz xətt boyunca hərəkət edir, sonra onların cəmi cütləşir. sıfıra bərabərdir. Bundan əlavə, bu iki qüvvənin hər hansı bir nöqtəyə qarşı momentlərinin cəmi də sıfırdır. Bu o deməkdir ki bütün daxili qüvvələrin cəmi Və mexaniki sistemin bütün daxili qüvvələrinin momentlərinin cəmi sıfıra bərabərdir:

,

(22)

.

(23)

Budur, müvafiq olaraq, O nöqtəsinə nisbətən hesablanmış daxili qüvvələrin əsas vektoru və əsas momenti.

(22) və (23) bərabərlikləri əks etdirir mexaniki sistemin daxili qüvvələrinin xassələri .

Bəziləri üçün icazə verin k- mexaniki sistemin maddi nöqtəsi, həm xarici, həm də daxili qüvvələr eyni vaxtda hərəkət edir. Onlar bir nöqtəyə tətbiq olunduğundan, müvafiq olaraq xarici () və daxili () qüvvələrin nəticələri ilə əvəz edilə bilər. Sonra dinamikanın əsas qanunu k sistemin -ci nöqtəsi kimi yazıla bilər , buna görə də bütün sistem üçün bu olacaq:

(24)

Formal olaraq (24)-dəki tənliklərin sayı rəqəmə uyğundur n mexaniki sistemin nöqtələri.

İfadələr (24) təmsil edir vektor formasında sistemin diferensial hərəkət tənlikləri , əgər onlar sürət vektorlarını müvafiq olaraq sürətin və radius vektorunun birinci və ya ikinci törəmələri ilə əvəz edərlərsə: Bir nöqtənin (15) hərəkət tənlikləri ilə analoji olaraq bu vektor tənlikləri 3-lük sistemə çevrilə bilər. n 2-ci tərtibli diferensial tənliklər.

Dinamikanın ümumi teoremləri

Ümumi, maddi cisimlərin inertial istinad sistemində hər hansı hərəkət halları üçün etibarlı qanunlar verən maddi nöqtənin və mexaniki sistemin dinamikasının teoremləridir.

Ümumiyyətlə, bu teoremlər maddi nöqtənin və mexaniki sistemin hərəkətini təsvir edən diferensial tənliklər sisteminin həllinin nəticələridir.

BÖLMƏ 3. DİNAMİKA.

Dinamiklər Maddi bədən- kütləsi olan bədən.

Maddi nöqtə

Material

A - bV -

Ətalət

Bədən kütləsi

güc -

,

. A - b- - elektrovozun dartma qüvvəsi; V- -

Sistem İnertial

Hərəkat Kosmos Vaxt

Sistem

MÖVZU 1

Birinci Qanun(ətalət qanunu).

Təcrid olunmuş

Misal üçün: - Bədən çəkisi, -

- başlanğıc sürəti).

İkinci Qanun(dinamikanın əsas qanunu).

Riyazi olaraq bu qanun vektor bərabərliyi ilə ifadə edilir

Sürətlənmə zamanı nöqtənin hərəkəti bərabər dəyişkəndir (şək. 5: A - hərəkət - yavaş; b - hərəkət - sürətlənmiş, . - nöqtə kütləsi, - sürət vektoru, - güc vektoru, - sürət vektoru).

Nə zaman - nöqtə bərabər və düzxətli hərəkət edir və ya nə vaxt - istirahətdədir (ətalət qanunu). İkinci qanun bizə arasında əlaqə yaratmağa imkan verir Bədən çəkisi, yer səthinə yaxın yerləşən və onun çəki , , sərbəst düşmənin sürətlənməsi haradadır.

Üçüncü Qanun(hərəkət və reaksiya bərabərliyi qanunu).

İki material nöqtələr bir-birinə böyüklüyünə bərabər və bu nöqtələri əks istiqamətlərdə birləşdirən düz xətt boyunca yönəldilmiş qüvvələrlə hərəkət edir.

Qüvvələr müxtəlif nöqtələrə tətbiq olunduğundan qüvvələr sistemi balanslaşdırılmır (şək. 6). Öz növbəsində - qarşılıqlı təsir göstərən nöqtələrin kütlələrinin nisbəti onların təcillərinə tərs mütənasibdir.

Dördüncü Qanun(qüvvələrin hərəkətinin müstəqilliyi qanunu).

Sürətlənmə, bir neçə qüvvənin eyni vaxtda hərəkət etdiyi bir nöqtənin qəbul etdiyi nöqtə, hər bir qüvvə ayrı-ayrılıqda ona tətbiq edildikdə nöqtənin alacağı sürətlənmələrin həndəsi cəminə bərabərdir.

İzah (Şəkil 7). Nəticə qüvvəsi kimi müəyyən edilir. ildən , Bu .

İkinci (tərs) problem.

Cərəyanı bilmək qüvvə nöqtəsinə, onun kütləsinə və ilkin hərəkət şərtlərinə görə nöqtənin hərəkət qanununu və ya onun hər hansı digər kinematik xüsusiyyətlərini təyin edin.

İlkin nöqtənin dekart oxlarında hərəkəti üçün şərtlər nöqtənin koordinatları, , və bu oxlar üzrə ilkin sürətin proyeksiyası və nöqtənin hərəkətinin başlanğıcına uyğun gələn və sıfıra bərabər qəbul edilən zaman anındadır. .

Bu tipli məsələlərin həlli maddi nöqtənin hərəkətinin diferensial tənliklərinin (və ya bir tənliyinin) tərtibinə və onların birbaşa inteqrasiya yolu ilə və ya diferensial tənliklər nəzəriyyəsindən istifadə edərək sonrakı həllinə aiddir.

MÖVZU 2. MEXANİK SİSTEM DİNAMİKASINA GİRİŞ

2.1. Əsas anlayışlar və təriflər

Mexanik maddi nöqtələr sistemi və ya sistemi bir-biri ilə qarşılıqlı əlaqədə olan maddi nöqtələrin məcmusudur.

Mexanik sistemlərə nümunələr:

1. qarşılıqlı təsir edən maddi hissəciklərin toplusu kimi tamamilə bərk bədən də daxil olmaqla maddi bədən; bir-birinə bağlı bərk cisimlər dəsti; günəş sistemindəki planetlər toplusu və s.

2. Uçan quş sürüsü mexaniki sistem deyil, çünki quşlar arasında qüvvələr qarşılıqlı əlaqəsi yoxdur.

Pulsuz mexaniki sistem nöqtələrin hərəkətinə heç bir əlaqənin qoyulmadığı bir sistemdir. Misal üçün: günəş sisteminin planetlərinin hərəkəti.

Sərbəst olmayan mexaniki sistem - nöqtələrin hərəkətinə keçidlərin tətbiq olunduğu sistem. Misal üçün: hissələrin hər hansı mexanizmdə, maşında və s. hərəkəti.

Qüvvələrin təsnifatı

Sərbəst olmayan mexaniki sistemə təsir edən qüvvələrin təsnifatı aşağıdakı diaqram şəklində təqdim edilə bilər:

Xarici qüvvələr - verilmiş mexaniki sistemin nöqtələrinə digər sistemlərdən təsir edən qüvvələr.

Daxili- bir mexaniki sistemin nöqtələri arasında qarşılıqlı təsir qüvvələri.

Sistemin ixtiyari nöqtəsi (Şəkil 1) aşağıdakılardan təsirlənir: - xarici qüvvələrin nəticəsi (indeks - ilk hərf) fransız sözü exterieur - (xarici)); - daxili qüvvələrin nəticəsi (indeks - interieur sözündən - (daxili)). Əlaqə reaksiyasının eyni gücü, tapşırığın şərtlərindən asılı olaraq, həm xarici, həm də daxili ola bilər.

Daxili qüvvələrin mülkiyyəti

və - mexaniki sistemin qarşılıqlı təsir nöqtələri (şəkil 2). Dinamikanın 3-cü qanununa əsaslanır

Digər tərəfdə: . Beləliklə, mexaniki sistemin daxili qüvvələrinin əsas vektoru və əsas momenti sıfıra bərabərdir:

BÖLMƏ 3. DİNAMİKA.

KLASSİK MEXANİKANIN ƏSAS ANLAYIŞLARI

Dinamiklər- nəzəri mexanikanın hərəkətin öyrənildiyi bölməsi maddi cisimlər(nöqtələr) tətbiq olunan qüvvələrin təsiri altında. Maddi bədən- kütləsi olan bədən.

Maddi nöqtə- nöqtələrinin hərəkətində fərqi əhəmiyyətsiz olan maddi cisim. Bu, ya hərəkəti zamanı ölçüləri laqeyd qala bilən bir cisim, ya da translyasiya ilə hərəkət edərsə, sonlu ölçülərə malik bir cisim ola bilər.

Material nöqtələrə daxil olduğu hissəciklər də deyilir möhkəm onun bəzi dinamik xüsusiyyətlərini təyin edərkən.

Maddi nöqtələrin nümunələri (Şəkil 1): A - Yerin Günəş ətrafında hərəkəti. Yer maddi nöqtədir; b- sərt cismin köçürmə hərəkəti. Bərk cisim maddi nöqtədir, çünki ; V - cismin bir ox ətrafında fırlanması. Bir cismin hissəciyi maddi nöqtədir.

Ətalət- maddi cisimlərin tətbiq olunan qüvvələrin təsiri altında onların hərəkət sürətini daha tez və ya daha yavaş dəyişdirmə xüsusiyyəti.

Bədən kütləsi verilmiş cismin tərkibindəki maddənin miqdarından asılı olan və translyasiya hərəkəti zamanı onun ətalət ölçüsünü təyin edən skalyar müsbət kəmiyyətdir. Klassik mexanikada kütlə sabit kəmiyyətdir.

güc- cisimlər arasında və ya cisim (nöqtə) ilə sahə (elektrik, maqnit və s.) arasında mexaniki qarşılıqlı təsirin kəmiyyət ölçüsü. Güc böyüklüyü, tətbiq nöqtəsi və istiqaməti (təsir xətti) ilə xarakterizə olunan vektor kəmiyyətidir (şək. 2: - tətbiq nöqtəsi qüvvənin təsir xəttidir).

Dinamikada sabit qüvvələrlə yanaşı, zamandan, sürətdən asılı ola bilən dəyişən qüvvələr də var. , məsafə və ya bu kəmiyyətlərin cəmindən, yəni.

Belə qüvvələrin nümunələri Şəkildə göstərilmişdir. 3 . A -- bədən çəkisi, - hava müqavimət qüvvəsi; b- - elektrovozun dartma qüvvəsi; V- - mərkəzdən itələmə və ya cazibə qüvvəsi.

Sistem arayış - başqa bir cismin hərəkətinin öyrənildiyi cisimlə əlaqəli koordinat sistemi. İnertial sistem - dinamikanın birinci və ikinci qanunlarının təmin olunduğu sistem. Bu sabit koordinat sistemi və ya vahid və xətti translyasiya ilə hərəkət edən bir sistemdir.

Hərəkat mexanikada cismin məkan və zamandakı mövqeyinin dəyişməsidir. Kosmos klassik mexanikada, üçölçülü, Evklid həndəsəsinə tabedir. Vaxt- istənilən istinad sistemində bərabər şəkildə baş verən skalyar kəmiyyət.

Sistem vahidlər fiziki kəmiyyətlərin ölçü vahidlərinin məcmusudur. Bütün mexaniki kəmiyyətləri ölçmək üçün: üç əsas vahid kifayətdir: uzunluq, vaxt, kütlə və ya güc vahidləri. Mexanik kəmiyyətlərin bütün digər ölçü vahidləri bunlardan əldə edilir. İki növ vahidlər sistemi istifadə olunur: beynəlxalq vahidlər sistemi SI (və ya daha kiçik - GHS) və vahidlərin texniki sistemi - ICG.

MÖVZU 1. MADDİ NÖQTƏNİN DİNAMİKASINA GİRİŞ.

1.1. Maddi nöqtənin dinamika qanunları (Qaliley-Nyuton qanunları)

Birinci Qanun(ətalət qanunu).

Təcrid olunmuş xarici təsirlərdən maddi nöqtə öz istirahət vəziyyətini saxlayır və ya tətbiq olunan qüvvələr onu bu vəziyyəti dəyişməyə məcbur edənə qədər bərabər və düzxətli hərəkət edir.

Qüvvələr olmadıqda və ya balanslaşdırılmış qüvvələr sisteminin təsiri altında bir nöqtənin yerinə yetirdiyi hərəkətə ətalətlə hərəkət deyilir.

Misal üçün: cismin hamar (sürtünmə qüvvəsi sıfırdır) üfüqi səth boyunca hərəkəti (şək. 4: - Bədən çəkisi, - normal müstəvi reaksiya). O vaxtdan bəri.

Bədən eyni sürətlə hərəkət etdikdə; bədən istirahətdə olduqda ( - başlanğıc sürəti).

Rıkov V.T.

Dərslik. - Krasnodar: Kuban Dövlət Universiteti, 2006. - 100 s.: 25 ill Klassik universitet təhsilinin fiziki ixtisasları üçün nəzəri mexanika üzrə tapşırıqları olan mühazirə kursunun birinci hissəsi.
Dərslik nəzəri mexanika və kontinuum mexanikası üzrə tədris-metodiki kompleksin ikinci hissəsini təşkil edir. Burada nəzəri mexanika və kontinuum mexanika üzrə kursun üç bölməsi üçün mühazirə qeydləri var: “Dinamikanın əsas diferensial tənliyi”, “Mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət” və “Sərt cismin fırlanma hərəkəti”. Tədris-metodiki kompleksin bir hissəsi kimi, dərslikdə nəzarət tapşırıqları (test variantları) və yekun kompüter testi (imtahan) üçün suallar var. Bu kurs mühazirə fraqmentləri (lazer diskdə) olan elektron dərslik ilə tamamlanır.
Dərs vəsaiti ali məktəblərin fizika və fizika-texniki fakültələrinin 2-ci və 3-cü kurs tələbələri üçün nəzərdə tutulmuşdur, nəzəri və texniki mexanikanın əsaslarını öyrənən texniki universitetlərin tələbələri üçün faydalı ola bilər.
Dinamikanın fundamental diferensial tənliyi (Nyutonun ikinci qanunu)
Bölmə quruluşu
Maddi nöqtənin hərəkətinin təsviri
Birbaşa və tərs dinamika problemləri
Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən impulsun saxlanması qanununun çıxarılması
Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən enerjinin saxlanması qanununun çıxarılması
Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən bucaq impulsunun saxlanması qanununun çıxarılması.
Hərəkətin inteqralları

Test tapşırığı
Mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət
Bölmə quruluşu
Mərkəzi simmetrik sahə anlayışı
Əyrixətti koordinatlarda sürət
Əyrixətti koordinatlarda sürətlənmə
Sferik koordinatlarda sürət və təcil
Mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət tənlikləri
Sektor sürəti və sektor sürətlənməsi
Cazibə sahəsində və Kulon sahəsində maddi nöqtənin hərəkət tənliyi
İki bədən problemini tək bədən probleminə endirmək. Azaldılmış kütlə
Ruterford düsturu
Mövzu üzrə test: Əyrixətti koordinatlarda sürət və təcil
Sərt cismin fırlanma hərəkəti
Bölmə quruluşu
Bərk cisim anlayışı. Fırlanma və tərcümə hərəkəti
Bərk cismin kinetik enerjisi
Ətalət tensoru
Ətalət tensorunun diaqonal formaya salınması
Ətalət tenzorunun diaqonal komponentlərinin fiziki mənası
Ətalət tensoru üçün Ştayner teoremi
Sərt cismin impulsu
Fırlanan koordinat sistemində sərt cismin fırlanma hərəkətinin tənlikləri
Eyler bucaqları
Qeyri-inertial istinad sistemlərində hərəkət
Mövzu üzrə test: Sərt cismin fırlanma hərəkəti
Oxumaq tövsiyə olunur
Ərizə
Ərizə
Bəzi əsas düsturlar və əlaqələr
Mövzu indeksi

Siz kitab rəyi yazıb təcrübələrinizi bölüşə bilərsiniz. Digər oxucular oxuduğunuz kitablar haqqında fikirlərinizlə hər zaman maraqlanacaqlar. Kitabı sevdiyiniz olub-olmamasından asılı olmayaraq, dürüst və təfərrüatlı fikirlərinizi bildirsəniz, insanlar onlar üçün uyğun olan yeni kitablar tapacaqlar.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r() t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Dərslik) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G) r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rıkov Rıkov V.T. DİNAMİKANIN ƏSAS DİFFERENTİAL TƏNLİKİ Dərslik Mühazirə qeydləri Test tapşırıqları Yekun test sualları (birləşmiş imtahan) Krasnodar 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 Rəyçi: Fizika-riyaziyyat elmləri doktoru. Elmlər, Professor, Rəhbər. Kuban Texnoloji Universitetinin struktur mexanikası kafedrası I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Dinamikanın əsas diferensial tənliyi: Dərslik. müavinət. Krasnodar: Kuban. dövlət univ., 2006. – 100 s. İl. 25. Biblioqrafiya 6 başlıq ISBN Dərslik nəzəri mexanika və kontinuum mexanikası üzrə tədris-metodiki kompleksin ikinci hissəsini təmsil edir. Burada nəzəri mexanika və kontinuum mexanika üzrə kursun üç bölməsi üçün mühazirə qeydləri var: “Dinamikanın əsas diferensial tənliyi”, “Mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət” və “Sərt cismin fırlanma hərəkəti”. Tədris-metodiki kompleksin bir hissəsi kimi, dərslikdə nəzarət tapşırıqları (test variantları) və yekun kompüter testi (imtahan) üçün suallar var. Bu kurs mühazirə fraqmentləri (lazer diskdə) olan elektron dərslik ilə tamamlanır. Dərslik ali məktəblərin fizika və fizika-texniki fakültələrinin 2-ci və 3-cü kurs tələbələri üçün nəzərdə tutulmuşdur, nəzəri və texniki mexanikanın əsaslarını öyrənən texniki universitetlərin tələbələri üçün faydalı ola bilər. Kuban Dövlət Universitetinin Fizika və Texnologiya Fakültəsi Şurasının qərarı ilə nəşr edilmişdir UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Kuban Dövlət Universiteti, 2006 MÜNDƏRİCAT Ön söz................ ...... ................................................. ....... 6 Lüğət................................................. ........ .......................... 8 1. Dinamikanın əsas diferensial tənliyi (Nyutonun ikinci qanunu) .. ......... ................. 11 1.1. Bölmə quruluşu................................................................. ... 11 1.2. Maddi nöqtənin hərəkətinin təsviri....... 11 1.2.1. Dekart koordinat sistemi....................... 12 1.2.2. Nöqtənin hərəkətini təsvir etməyin təbii yolu. Müşayiət edən üçbucaqlı................................................. ... ............... 13 1.3. Dinamikanın birbaşa və tərs məsələləri................................... 16 1.4. Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən impulsun saxlanması qanununun çıxarılması................................... ................................................ 21 1.5. Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən enerjinin saxlanması qanununun çıxarılması...................................... ................................................. 24 1.6. Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən bucaq impulsunun saxlanması qanununun çıxarılması.................................. ...................... ......... 26 1.7. Hərəkətin inteqralları................................................. .... 27 1.8. Qeyri-inertial istinad sistemlərində hərəkət...................................... ............ ........................... 28 1.9. Test tapşırığı................................................. ... 28 1.9.1. Problemin həlli nümunəsi................................. 28 1.9.2. Test tapşırıqları üçün seçimlər................................. 31 1.10. Yekun nəzarət (imtahan) testləri ................... 35 1.10.1. A sahəsi ................................................... ...... ............ 35 1.10.2. B sahəsi ................................................... ...... ............ 36 1.10.3. C sahəsi ................................................... ..... ............ 36 2. Mərkəzdən simmetrik sahədə hərəkət............ 38 2.1. Bölmə quruluşu................................................................. ... 38 2.2. Mərkəzləşdirilmiş simmetrik sahə anlayışı....... 39 3 2.3. Əyrixətti koordinatlarda sürət............ 39 2.4. Əyrixətti koordinatlarda sürətlənmə....... 40 2.5. Sferik koordinatlarda sürət və təcil ...................................... ................................ 41 2.6. Mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət tənlikləri................................................ ............ ..... 45 2.7. Sektor sürəti və sektorun sürətlənməsi...... 46 2.8. Qravitasiya sahəsində və Kulon sahəsində maddi nöqtənin hərəkət tənliyi...................................... 48 2.8.1. Effektiv enerji................................................. ... 48 2.8.2. Trayektoriya tənliyi................................................. .... 49 2.8.3. Trayektoriya formasının ümumi enerjidən asılılığı...................................... ............ ......... 51 2.9. İki bədən problemini tək bədən probleminə endirmək. Azaldılmış kütlə................................................. ......... 52 2.10. Rezerford düsturu................................................. ... 54 2.11. Mövzu üzrə test: Əyrixətti koordinatlarda sürət və təcil................................ 58 2.11.1. Əyrixətti koordinatlarda sürət və sürətlənmə mövzusunda testin tamamlanması nümunəsi. .......................... 58 2.11.2. Test tapşırıqlarının variantları........................... 59 2.12. Yekun nəzarət (imtahan) testləri ................ 61 2.12.1. A sahəsi ................................................... ...... ............ 61 2.12.2. B sahəsi ................................................... ...... ............ 62 2.12.3. C sahəsi ................................................... ..... ............ 63 3. Sərt cismin fırlanma hərəkəti...................... ............ 65 3.1. Bölmə quruluşu................................................................. ... 65 3.2. Bərk cisim anlayışı. Fırlanma və ötürmə hərəkəti................................................. ...... 66 3.3. Bərk cismin kinetik enerjisi................. 69 3.4. Ətalət tensoru................................................. ...... ..... 71 3.5. Ətalət tenzorunun diaqonal formaya endirilməsi...................................... ......... ..... 72 4 3.6. Ətalət tenzorunun diaqonal komponentlərinin fiziki mənası...................................... ............ 74 3.7. Ətalət tenzoru üçün Ştayner teoremi......... 76 3.8. Sərt cismin impulsu................................. 78 3.9. Fırlanan koordinat sistemində sərt cismin fırlanma hərəkətinin tənlikləri................................... ............... .......................... 79 3.10. Eyler bucaqları................................................. ............ 82 3.11. Qeyri-inertial istinad sistemlərində hərəkət...................................... ............ ........................... 86 3.12. Mövzu üzrə test: Sərt cismin fırlanma hərəkəti...................................... ............. .. 88 3.12.1. Nəzarət tapşırıqlarının yerinə yetirilməsi nümunələri................................................. ...................... ...................... 88 3.12.2. Ev testi................................. 92 3.13. Yekun nəzarət (imtahan) testləri ................... 92 3.13.1. A sahəsi ................................................... ...... ............ 92 3.13.2. B sahəsi ................................................... ...... ............ 94 3.13.3. C sahəsi ................................................... ...... ............ 95 Tövsiyə olunan oxu................................. ...... ............ 97 Əlavə 1 ......................... ..................................... 98 Əlavə 2. Bəzi əsas düsturlar və əlaqələr......... ................................................................ ...... ... 100 Mövzu indeksi...................................... ............. ....... 102 5 ÖN SÖZ Bu kitab “Nəzəri mexanika və kontinuum mexanikasının əsasları” kursu üçün tədris-metodiki kompleksin “bərk komponentidir”. “fizika” – 010701, “radiofizika” və elektronika” – 010801 ixtisasları üzrə dövlət təhsil standartına daxil olan. Onun elektron versiyası (pdf formatı) Kuban Dövlət Universitetinin saytında və Kuban Dövlət Universitetinin Fizika və Texnologiya fakültəsinin lokal şəbəkəsində yerləşdirilib. Ümumilikdə nəzəri mexanika və kontinuum mexanikasının əsasları üzrə tədris-metodiki kompleksin dörd əsas hissəsi hazırlanmışdır. Vektor və tenzor analizi - kompleksin birinci hissəsi - təkcə nəzəri mexanika kursunun deyil, bütün nəzəri fizikanın kursunun riyazi əsasları sahəsində əsas bilikləri gücləndirmək və böyük ölçüdə formalaşdırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Nəzəri mexanika kursunun özü iki hissəyə bölünür, onlardan biri dinamikanın əsas diferensial tənliyinə - Nyutonun ikinci qanununa əsaslanan mexaniki məsələlərin həlli üsullarının təqdimatını ehtiva edir. İkinci hissə analitik mexanikanın əsaslarının təqdimatıdır (tədris-metodiki kompleksin üçüncü hissəsi). Kompleksin dördüncü hissəsi kontinuum mexanikasının əsaslarını ehtiva edir. Kompleksin hər bir hissəsi və hamısı birlikdə elektron təlim kursları - aktiv təlim vasitələri ilə tamamlanan HTML səhifələri olan dəyişdirilmiş komponentlər - təlimin funksional elementləri ilə dəstəklənir. Bu alətlər KubSU veb-saytında arxivləşdirilmiş formada yerləşdirilir və ya kağız nüsxəyə əlavə edilmiş, ya da ayrıca lazer disklərində paylanır. Bərk komponentlərdən fərqli olaraq, elektron komponentlər səmərəliliyini artırmaq üçün daimi modifikasiyaya məruz qalacaqlar. 6 Tədris kompleksinin “bərk komponenti”nin əsasını bu bölmənin əsas anlayışlarını izah edən “lüğət” və əlifba sırası ilə əlavə edilmiş mühazirə qeydləri təşkil edir. Bu təlimatın üç bölməsinin hər birindən sonra problemin həlli nümunələri ilə test tapşırığı təklif olunur. Bu komponentin iki nəzarət tapşırığı evdə yerinə yetirilir - bunlar 2 və 3-cü bölmələr üçün tapşırıqlardır. 3-cü tapşırıq hamı üçün ümumidir və praktik məşğələlər üçün dəftərlərdə yoxlamaq üçün müəllimə təqdim olunur. 2-ci tapşırıqda hər bir şagird müəllimin göstərişi ilə 21 variantdan birini yerinə yetirir. Tapşırıq 1 sinifdə bir sinif sessiyası (cüt) zamanı ayrı-ayrı kağız parçalarında yerinə yetirilir və yoxlama üçün müəllimə təqdim olunur. Tapşırıq uğursuz olarsa, iş ya tələbə tərəfindən düzəldilməlidir (ev tapşırığı), ya da başqa variantla (sinif tapşırıqları) yenidən yerinə yetirilməlidir. Sonuncular müəllimin təklif etdiyi vaxtda məktəb cədvəlindən kənarda həyata keçirilir. Təklif olunan hissə tədris vəsaiti həmçinin köməkçi materialdan ibarətdir: Əlavə 1-də metrik tensorun komponentləri - test 3-ün aralıq məqsədləri və Əlavə 2 - imtahanda qənaətbəxş qiymət almaq üçün məcburi olan əzbərləmə əsas düsturlar və münasibətlər təqdim olunur. Təlimatın hər bir hissəsinin hər bir bölməsi test tapşırıqları ilə başa çatır - birləşdirilmiş imtahanın tərkib hissəsidir, bunun əsasını təklif olunan formaların paralel doldurulması ilə kompüter testi və kompüter qiymətləndirmələri və test forması əsasında sonrakı müsahibə təşkil edir. Testin “B” sahəsi cavab toplusunda seçilmiş varianta aparan riyazi çevrilmələrin forması haqqında qısa qeyd tələb edir. “C” sahəsində siz formada bütün hesablamaları yazmalı və klaviaturada ədədi cavabı yazmalısınız. 7 LÜĞƏT Əlavə kəmiyyət bütün sistem üçün dəyəri sistemin ayrı-ayrı hissələri üçün dəyərlərinin cəminə bərabər olan fiziki kəmiyyətdir. Fırlanma hərəkəti, sərt cismin ən azı bir nöqtəsinin sürətinin sıfır olduğu hərəkətdir. İkinci qaçış sürəti, kosmik gəmini parabolik trayektoriyaya salan fırlanmayan planetdən buraxılış sürətidir. Maddi nöqtənin impulsu nöqtənin kütləsi və sürətinin məhsuludur. Maddi nöqtələr sisteminin impulsu, sistemin bütün nöqtələrinin impulslarının cəmi kimi müəyyən edilən əlavə kəmiyyətdir. Hərəkətin inteqralları müəyyən şəraitdə saxlanılan və dinamikanın əsas diferensial tənliyinin - ikinci dərəcəli tənliklər sisteminin vahid inteqrasiyası nəticəsində alınan kəmiyyətlərdir. Maddi nöqtənin kinetik enerjisi müəyyən bir nöqtəyə müəyyən sürət vermək üçün lazım olan işə bərabər olan hərəkət enerjisidir. Maddi nöqtələr sisteminin kinetik enerjisi sistemin bütün nöqtələrinin enerjilərinin cəmi kimi müəyyən edilən əlavə kəmiyyətdir. Vektorun kovariant komponentləri vektorun qarşılıqlı əsas vektorlara genişlənmə əmsallarıdır. Afin əlaqə əmsalları bazis vektorlarının törəmələrinin bazisin özünün vektorlarına nisbətən koordinatlarına görə genişlənmə əmsallarıdır. Bir əyrinin əyriliyi toxunan dairənin radiusunun əksidir. Sürətlərin ani mərkəzi müəyyən bir zamanda sürəti sıfır olan bir nöqtədir. 8 Sabit qüvvənin mexaniki işi qüvvə və yerdəyişmənin skalyar hasilidir. Mexanik hərəkət zamanla bir cismin digər cisimlərə nisbətən kosmosdakı mövqeyinin dəyişməsidir. Dinamikanın tərs məsələsi verilmiş qüvvələrdən (koordinatların, zamanın və sürətin məlum funksiyalarından) istifadə edərək maddi nöqtənin hərəkət tənliklərini tapmaqdır. Translational hərəkət bərk cisimdə müəyyən edilmiş hər hansı düz xəttin özünə paralel hərəkət etdiyi hərəkətdir. Maddi nöqtənin potensial enerjisi, ixtiyari olaraq seçilmiş, verilmiş maddi nöqtəni fəzanın verilmiş nöqtəsindən sıfır potensial səviyyəsinə köçürmək üçün sahə qüvvələrinin işinə bərabər olan cisimlərin və ya cismin hissələrinin sahə qarşılıqlı təsir enerjisidir. Azaldılmış kütlə, mərkəzi simmetrik sahədə hərəkəti iki cismin probleminə endirilən hipotetik bir maddi nöqtənin kütləsidir. Dinamikanın bilavasitə vəzifəsi verilmiş hərəkət tənliklərindən istifadə edərək maddi nöqtəyə təsir edən qüvvələri müəyyən etməkdir. Christoffel simvolları afin əlaqənin simmetrik əmsallarıdır. Kütlə mərkəzi (ətalət mərkəzi) sistemi - Mexanik sistemin impulsunun sıfır olduğu bir istinad sistemi. Sürət bir vektor kəmiyyətidir, ədədi olaraq vahid vaxtda yerdəyişməyə bərabərdir. Osculating dairəsi əyri ilə ikinci dərəcəli təmasda olan bir dairədir, yəni. ikinci dərəcəli sonsuz kiçiklərə qədər verilmiş nöqtənin qonşuluğunda əyri və oskulyar dairənin tənlikləri bir-birindən fərqlənmir. 9 Müşaiyət edən trihedron – nöqtəni müşayiət edən Dekart koordinat sistemini təqdim etmək üçün istifadə edilən vahid vektorların üçlüyü (tangens, normal və binormal vektorlar). Sərt cisim hər hansı iki nöqtə arasındakı məsafəsi dəyişməyən cisimdir. Ətalət tensoru ikinci dərəcəli simmetrik tensordur, onun komponentləri fırlanma hərəkətinə görə sərt cismin ətalət xassələrini təyin edir. Trayektoriya kosmosda hərəkət edən bir nöqtənin izidir. Hərəkət tənlikləri zamanın ixtiyari anında bir nöqtənin fəzadakı mövqeyini təyin edən tənliklərdir. Sürətlənmə vektor kəmiyyətdir, ədədi olaraq vahid vaxtda sürətin dəyişməsinə bərabərdir. Normal sürətlənmə, bir nöqtənin trayektoriya ilə təmasda olan dairə boyunca müəyyən bir sürətlə hərəkət etdiyi zaman mərkəzdənqaçma sürətinə bərabər olan sürətə perpendikulyar bir sürətlənmədir. Mərkəzi simmetrik sahə maddi nöqtənin potensial enerjisinin yalnız “O” mərkəzinə olan r məsafəsindən asılı olduğu sahədir. Enerji bir cismin və ya cisimlər sisteminin iş görmək qabiliyyətidir. 10 1. DİNAMİKANIN ƏSAS DİFFERENTİAL TƏNLİKİ (NYUTONUN İKİNCİ QANUNU) 1.1. Bölmənin strukturu “izlər” “fasad” dinamikasının birbaşa və tərs məsələləri “fasad” Maddi nöqtənin hərəkətinin təsviri “izlər” “izlər” “izlər” “fasad” impulsun saxlanma qanunu “fasad” təbii tənliyi əyri “izlər” “fasad” Test işi “ izlər” “fasad” Yekun nəzarət testləri “fasad” Enerjinin qorunması qanunu “izlər” “izlər” “fasad” Vektor cəbri “izlər” “izlər” “fasad” Konservasiya qanunu bucaq impulsunun Şəkil 1 - Bölmə 1-in əsas elementləri. 2. Maddi nöqtənin hərəkətinin təsviri Mexanik hərəkət zamanla digər cisimlərə nisbətən cismin fəzada mövqeyinin dəyişməsi kimi müəyyən edilir. Bu tərif iki vəzifə qoyur: 1) fəzada bir nöqtəni digərindən fərqləndirmək üçün metod seçmək; 2) digər orqanların mövqeyinin müəyyən edildiyi nisbi orqanın seçimi. 11 1.2.1. Kartezyen koordinat sistemi Birinci vəzifə koordinat sisteminin seçimi ilə bağlıdır. Üçölçülü fəzada fəzadakı hər bir nöqtə nöqtənin koordinatları adlanan üç ədədlə əlaqələndirilir. Ən bariz olan düzbucaqlı ortoqonal koordinatlardır ki, onlar adətən Kartezyen adlanır (adını fransız alimi Rene Dekartın şərəfinə adlandırırlar). 1 Rene Dekart ilk dəfə Kartezyen koordinat sisteminin qurulmasının əsasını təşkil edən miqyas anlayışını təqdim etdi. Üçölçülü fəzada müəyyən bir nöqtədə üç qarşılıqlı ortoqonal, böyüklükdə eyni olan i, j, k vektorları qurulur, onlar eyni zamanda miqyas vahidləridir, yəni. onların uzunluğu (modulu) tərifinə görə ölçü vahidinə bərabərdir. Rəqəmsal oxlar bu vektorlar boyunca yönəldilir, onların üzərindəki nöqtələr “proyeksiya” yolu ilə fəzadakı nöqtələrlə uyğunlaşdırılır - Şəkil 1-də göstərildiyi kimi nöqtədən ədədi oxa perpendikulyar çəkilir. Dekart koordinatlarında proyeksiya əməliyyatı aşağıdakılara gətirib çıxarır: paraleloqram qaydası boyunca ix, jy və kz vektorlarının əlavə edilməsi bu halda düzbucaqlıya çevrilir. Nəticədə nöqtənin fəzadakı mövqeyi “radius vektoru” adlanan r = ix + jy + kz vektorundan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər, çünki digər vektorlardan fərqli olaraq bu vektorun mənşəyi həmişə koordinatların mənşəyi ilə üst-üstə düşür. Zamanla məkanda nöqtənin mövqeyinin dəyişməsi x = x(t), y = y (t), z = z (t) nöqtəsinin koordinatlarının zamandan asılılığının yaranmasına gətirib çıxarır 1 Latınləşdirilmiş ad. Rene Dekartın əsəri Kartezidir, ona görə də ədəbiyyatda “Kartezian koordinatları” adını tapa bilərsiniz. 12 və radius vektoru r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Bu funksional əlaqələr müvafiq olaraq koordinat və vektor formasında hərəkət tənlikləri adlanır z kz k r jy i y j ix x Şəkil 2 - Dekart koordinat sistemi Nöqtənin sürəti və sürəti radiusun vaxtına görə birinci və ikinci törəmələr kimi müəyyən edilir. vektor v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Sonrakıların hər yerində nöqtə və müəyyən kəmiyyətin təyinatının üstündəki qoşa nöqtə zamana görə bu kəmiyyətin birinci və ikinci törəməsini ifadə edəcək. 1.2.2. Nöqtənin hərəkətini təsvir etməyin təbii yolu. Müşayiət edən üçbucaqlı r = r (t) tənliyi adətən parametrik formada əyrinin tənliyi adlanır. Hərəkət tənlikləri vəziyyətində parametr zamandır. Hər hansı bir hərəkət 13 trayektoriya adlanan müəyyən əyri boyunca baş verdiyindən, o zaman trayektoriyanın seqmenti (yol) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 monoton funksiyadır. bu hərəkət vaxtı ilə əlaqələndirilir. Bədənin keçdiyi yol adətən “təbii” və ya “kanonik” parametr adlanan yeni parametr kimi qəbul edilə bilər. Müvafiq əyri tənliyi r = r(s) kanonik və ya təbii parametrləşdirmədə tənlik adlanır. τ m n Şəkil 3 – Müşaiyət edən üçbucaqlı Vektor dr ds trayektoriyaya toxunan vektordur (Şəkil 3), uzunluğu birə bərabərdir, çünki dr = ds. τ= 14 dτ-dən τ vektoruna perpendikulyar, yəni. trayektoriyaya normal istiqamətləndirilir. Bu vektorun fiziki (daha doğrusu, daha sonra görəcəyimiz kimi həndəsi) mənasını tapmaq üçün t parametri ilə bağlı diferensiasiyaya keçək, onu zaman kimi qəbul edək. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Bu münasibətlərin sonuncusu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər a 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 şərtləri τ 2 = 1 belə çıxır ki, vektor τ′ = burada v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – ümumi dt 2-ci sürətlənmənin vektoru. Ümumi sürətlənmə normal (mərkəzdənqaçma) və tangensial sürətlənmələrin cəminə bərabər olduğundan, nəzərdən keçirdiyimiz vektor normal sürətlənmə vektorunun sürətin kvadratına bölünməsinə bərabərdir. Dairədə hərəkət edərkən normal sürətlənmə tangensial sürətlənməyə bərabərdir və vektor a = an = n v2, R burada n çevrənin normal vektoru, R isə çevrənin radiusudur. Buradan belə nəticə çıxır ki, τ′ vektoru τ′ = Kn, 1 şəklində təmsil oluna bilər, burada K = əyrinin əyriliyi - təmas dairəsinin radiusunun əksidir. Dəyişən dairə verilmiş əyri 15 ilə ikinci dərəcəli təmasda olan əyridir. Bu o deməkdir ki, əyrinin tənliyini bir nöqtədə ikinci dərəcəli sonsuz kiçiklərə qədər güc seriyasına genişləndirməkdə özümüzü məhdudlaşdırsaq, bu əyrini çevrədən ayıra bilməyəcəyik. n vektoruna bəzən əsas normal vektor deyilir. Tangens vektoru τ və normal vektordan biz binormal vektor m = [τ, n] qura bilərik. Üç vektor τ, n və m sağ üçlüyü - müşayiət edən trihedron təşkil edir, onunla Şəkil 3. 1.3-də göstərildiyi kimi nöqtəni müşayiət edən Dekart koordinat sistemini əlaqələndirə bilərsiniz. Dinamikanın birbaşa və tərs problemləri 1632-ci ildə Qalileo Qaliley qanun kəşf etdi, sonra isə 1687-ci ildə İsaak Nyuton filosofların hərəkəti təsvir etmək üsullarına dair fikirlərini dəyişdirən qanunu formalaşdırdı: “Hər bir cisim sakitlik və ya vahid və düzxətli hərəkəti bir müddətə qədər saxlayır. Tətbiq olunan qüvvələr onu dəyişməyə məcbur edir.” bu vəziyyətdir”. 1 Bu kəşfin əhəmiyyətini çox qiymətləndirmək olmaz. Qalileydən əvvəl filosoflar hesab edirdilər ki, hərəkətin əsas xüsusiyyəti sürətdir və cismin sabit sürətlə hərəkət etməsi üçün sabit qüvvə tətbiq edilməlidir. Əslində, təcrübə bunu dəqiq göstərir: güc tətbiq etsək, bədən hərəkət edir, tətbiq etməyi dayandırsaq, bədən dayanır. Və yalnız Galileo fərq etdi ki, güc tətbiq etməklə, biz arzumuzdan (və tez-tez müşahidəmizdən) əlavə olaraq, əslində Yerdəki real şəraitdə hərəkət edən sürtünmə qüvvəsini tarazlayırıq. Nəticədə, sürəti sabit saxlamaq üçün deyil, onu dəyişdirmək üçün güc lazımdır, yəni. hesabat sürətləndirilməsi. 1 I. Nyuton. Təbii fəlsəfənin riyazi prinsipləri. 16 Doğrudur, Yerin şərtləri altında başqa cisimlərin təsirinə məruz qalmayan bir cismin müşahidəsini həyata keçirmək mümkün deyil, ona görə də mexanika Nyutonun (Qalileyin) ) birinci qanun yerinə yetirilməlidir. 1 Nyutonun birinci qanununun riyazi formalaşdırılması gücün sürətə mütənasibliyi ifadəsinin vektor kəmiyyətləri kimi paralellik ifadəsi ilə əlavə edilməsini tələb edir?nə F ∼W ⎫ F skalar ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ burada Δv d v d dr = = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Təcrübə göstərir ki, skalyar əmsal ümumiyyətlə bədən kütləsi adlanan kəmiyyət ola bilər. Beləliklə, Nyutonun birinci qanununun riyazi ifadəsi, yeni postulatların əlavə edilməsi nəzərə alınmaqla, F = mW formasını alır, 1 Lakin belə bir istinad sisteminin hansı real cisimlərlə əlaqələndirilə biləcəyi hələ də aydın deyil. Efir fərziyyəsi (“Nisbilik nəzəriyyəsi”nə baxın) bu problemi həll edə bilərdi, lakin Mişelson təcrübəsinin mənfi nəticəsi bu ehtimalı istisna edirdi. Buna baxmayaraq, mexanika bu cür istinad çərçivələrinə ehtiyac duyur və onların mövcudluğunu təsdiqləyir. Nyutonun ikinci qanunu kimi tanınan 17. Bir neçə qüvvənin təsir göstərə biləcəyi verilmiş xüsusi cisim üçün təcil təyin olunduğu üçün Nyutonun ikinci qanununu n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) şəklində yazmaq rahatdır. . a =1 Ümumi halda qüvvə koordinatların, sürətlərin və zamanın funksiyası kimi qəbul edilir. Bu funksiya həm açıq, həm də gizli şəkildə zamandan asılıdır. Gizli zamandan asılılıq o deməkdir ki, hərəkət edən cismin koordinatlarında (qüvvə koordinatlardan asılıdır) və sürətində (qüvvə sürətdən asılıdır) dəyişikliklər səbəbindən qüvvə dəyişə bilər. Zamandan açıq-aşkar asılılıq onu göstərir ki, əgər cisim kosmosda müəyyən bir sabit nöqtədə istirahət edirsə, onda qüvvə hələ də zamanla dəyişir. Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən Nyutonun ikinci qanunu iki qarşılıqlı tərs riyazi əməliyyatla bağlı iki problemi ortaya çıxarır: diferensiallaşma və inteqrasiya. 1. Dinamikanın birbaşa məsələsi: verilmiş r = r (t) hərəkət tənliklərindən istifadə edərək, maddi nöqtəyə təsir edən qüvvələri təyin edin. Bu problem fundamental fizikanın problemidir, onun həlli cisimlərin qarşılıqlı təsirini təsvir edən yeni qanun və qanunauyğunluqların tapılmasına yönəlmişdir. Dinamikanın birbaşa probleminin həllinə misal olaraq Günəş sisteminin planetlərinin müşahidə olunan hərəkətini təsvir edən Keplerin empirik qanunlarına əsaslanan İ.Nyutonun universal cazibə qanununu tərtib etməsini göstərmək olar (2-ci bölməyə baxın). 2. Dinamikanın tərs məsələsi: verilmiş qüvvələr (koordinatların məlum funksiyaları, zaman və sürət) maddi nöqtənin hərəkət tənliklərini tapın. Bu, tətbiqi fizikanın vəzifəsidir. Bu problem baxımından Nyutonun ikinci 18 qanunu d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1) ikinci dərəcəli adi diferensial tənliklər sistemidir. 1) dt həlləri zaman funksiyaları və inteqrasiya sabitləri. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Sonsuz həllər toplusundan müəyyən bir hərəkətə uyğun bir həll seçmək üçün diferensial tənliklər sistemini ilkin şərtlərlə (Koşi problemi) əlavə etmək lazımdır - müəyyən bir zamanda (t = 0) dəyərlər təyin etmək Nöqtənin koordinatları və sürətləri: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Qeyd 1. İ.Nyuton qanunlarında qüvvə cisimlərin qarşılıqlı təsirini xarakterizə edən kəmiyyət kimi başa düşülür ki, bunun nəticəsində cisimlər deformasiyaya uğrayır və ya sürətlənmə əldə edilir. Bununla belə, D'Alemberin Küləklərin Ümumi Səbəbi haqqında Müzakirəsində (1744) etdiyi kimi, küləyin kütləsinin hasilinə bərabər olan ətalət qüvvəsini təqdim etməklə dinamika problemini statika probleminə endirmək çox vaxt rahatdır. cisim və verilmiş cismin nəzərə alındığı istinad çərçivəsinin sürətləndirilməsi. Formal olaraq, bu, I. New19-un ikinci qanununun sağ tərəfini sol tərəfə köçürmək və bu hissəyə “ətalət qüvvəsi” F + (− mW) = 0 və ya F + Fin = 0 adını təyin etmək kimi görünür. Nəticədə yaranan ətalət qüvvəsi yuxarıda verilmiş qüvvənin tərifinə uyğun gəlmir. Bu baxımdan, ətalət qüvvələri tez-tez "uydurma qüvvələr" adlanır, çünki qüvvələr kimi yalnız sürətləndirici istinad çərçivəsi ilə əlaqəli qeyri-inertial müşahidəçi tərəfindən qəbul edilir və ölçülür. Bununla belə, vurğulamaq lazımdır ki, qeyri-inertial müşahidəçi üçün ətalət qüvvələri faktiki olaraq qüvvəyə istinad sisteminin bütün cisimlərinə təsir edən kimi qəbul edilir. Məhz bu qüvvələrin mövcudluğu planetin daim düşən peykindəki cisimlərin tarazlığını (çəkisizliyini) və (qismən) Yerə sərbəst düşmə sürətinin ərazinin enindən asılılığını “izah edir”. Qeyd 2. İkinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemi kimi Nyutonun ikinci qanunu da bu tənliklərin tək inteqrasiyası problemi ilə bağlıdır. Bu şəkildə alınan kəmiyyətlər hərəkətin inteqralları adlanır və ən vacibi onlarla əlaqəli iki haldır: 1) bu kəmiyyətlər əlavədir (əlavədir), yəni. mexaniki sistem üçün belə bir dəyər onun ayrı-ayrı hissələri üçün müvafiq dəyərlərin cəmidir; 2) müəyyən fiziki cəhətdən başa düşülən şəraitdə bu kəmiyyətlər dəyişmir, yəni. qorunub saxlanılır və bununla da mexanikada qorunma qanunlarını ifadə edir. 20 1.4. Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən impulsun saxlanması qanununun çıxarılması N maddi nöqtələr sistemini nəzərdən keçirək. Qoy "a" nöqtə nömrəsi olsun. Hər bir “a” nöqtəsi üçün Nyutonun II qanununu yazaq dv (1.2) ma a = Fa , dt burada Fa “a” nöqtəsinə təsir edən bütün qüvvələrin nəticəsidir. Nəzərə alsaq ki, ma = const, dt-ə vurularaq, bütün N tənliklər (1.2) əlavə edilərək və t-dən t + Δt-ə qədər olan sərhədlər daxilində inteqrasiya edilərək, N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = burada v a t +Δt N alırıq. ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) “a” nöqtəsinin t zamanındakı sürəti, ua = ra (t + Δt) isə “a” nöqtəsinin t + Δt zamanındakı sürətidir. Gəlin daha sonra “a” nöqtəsinə təsir edən qüvvələri xarici Faeks (xarici - xarici) və daxili Fain (daxili - daxili) qüvvələrinin Fa = Fain + Faeks cəmi kimi təsəvvür edək. “a” nöqtəsinin SİSTEM-ə daxil olan digər nöqtələrlə daxili, xarici isə sistemə daxil olmayan nöqtələrlə qarşılıqlı təsir qüvvələrini adlandıracağıq. Göstərək ki, daxili qüvvələrin cəmi Nyutonun üçüncü qanununa görə yox olur: iki cismin bir-birinə təsir göstərdiyi qüvvələr böyüklüklərinə görə bərabər və əks istiqamətdə Fab = − Fab, əgər “a” və “b” nöqtələrinə aiddirsə. SİSTEM. Əslində, sistemin digər nöqtələrindən “a” nöqtəsinə təsir edən qüvvə 21 N Fain = ∑ Fab-a bərabərdir. b =1 Onda N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Beləliklə, maddi nöqtələr sisteminə təsir edən bütün qüvvələrin cəmi yalnız xarici qüvvələrin cəminə tənəzzül edir. Nəticədə N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt alırıq. (1.3) – maddi nöqtələr sisteminin impulsunun dəyişməsi sistemə təsir edən xarici qüvvələrin impulsuna bərabərdir. Əgər sistemə xarici qüvvələr ∑F a =1 = 0 təsir etmirsə, sistem qapalı adlanır. Bu halda sistemin ex a impulsu dəyişmir (saxlanılır) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Adətən bu ifadə impulsun saxlanması qanunu kimi şərh olunur. Bununla belə, gündəlik nitqdə bir şeyi qorumaqla, başqa bir şeydə bu bir şeyin məzmununun dəyişməzliyini ifadə etməyi deyil, bu orijinal bir şeyin nəyə çevrildiyini başa düşməyi nəzərdə tuturuq. Əgər pul faydalı bir şey almağa xərclənirsə, o, yoxa çıxmır, əksinə bu şeyə çevrilir. Amma inflyasiya səbəbindən onların alıcılıq qabiliyyəti aşağı düşübsə, o zaman transformasiya zəncirini izləmək çox çətin olur ki, bu da qorunmamaq hissi yaradır. İmpulsun ölçülməsinin nəticəsi, hər hansı kinematik kəmiyyət kimi, ölçmələrin aparıldığı istinad sistemindən (bu kəmiyyəti ölçən fiziki alətlər yerləşir) asılıdır. 22 Klassik (qeyri-relativistik) mexanika müxtəlif istinad sistemlərində kinematik kəmiyyətlərin ölçülməsinin nəticələrini müqayisə edərək, hadisələrin eyni vaxtda olması anlayışının istinad sistemindən asılı olmadığı fərziyyəsindən gizli çıxış edir. Buna görə stasionar və hərəkət edən müşahidəçi tərəfindən ölçülən nöqtənin koordinatları, sürətləri və təcilləri arasındakı əlaqə həndəsi əlaqələrdir (Şəkil 4) dr du Sürət u = = r və sürətlənmə W = = u , müşahidəçi K tərəfindən ölçülür. adətən mütləq dr ′ sürət və sürətlənmə adlanır. Sürət u′ = = r ′ və sürətlənmə dt du′ W ′ = = u ′ , müşahidəçi K′ ilə ölçülür – nisbi sürət və təcil. İstinad sisteminin V sürəti və sürətlənməsi A portativdir. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Şəkil 4 – Ölçülmüş kəmiyyətlərin müqayisəsi Tez-tez Qalileonun sürətin əlavə teoremi adlanan sürətə çevrilmə qanunundan istifadə edərək impuls üçün əldə edirik. K və K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma istinad sistemlərində ölçülən maddi nöqtələr sisteminin. Mexanik sistemin impulsunun sıfıra bərabər olduğu istinad sistemi 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a kütlə mərkəzi və ya ətalət mərkəzi sistemi adlanır. Aydındır ki, belə istinad sisteminin sürəti N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m -ə bərabərdir. (1.5) a a =1 Xarici qüvvələr olmadıqda mexaniki sistemin impulsu dəyişmədiyi üçün kütlə mərkəzinin sürəti də dəyişmir. Zamanla (1.5) inteqrasiya edərək, koordinatların mənşəyinin seçilməsinin özbaşınalığından istifadə edərək (inteqrasiya sabitini sıfıra bərabər qoyuruq) mexaniki sistemin kütlə mərkəzinin (ətalət mərkəzinin) təyin edilməsinə gəlirik. N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1,6) a 1,5. Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən enerjinin saxlanması qanununun çıxarılması N maddi nöqtələr sistemini nəzərdən keçirək. Hər “a” nöqtəsi üçün Nyutonun II qanununu (1.2) yazırıq və dr hər iki hissəni va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa nöqtəsinin sürətinə skalyar şəkildə vururuq. , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Çevrilmələrdən sonra hər iki tərəfi dt-ə vuraraq, t1-dən t2-yə qədər olan sərhədlər daxilində inteqrasiya edərək və ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1) olduğunu qəbul edirik. ), ua = va (t2) , biz 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) alırıq. a a (1.7) ra Sonra, Fa qüvvəsini potensial və dissipativ qüvvələrin cəmi kimi təqdim edək Fa = Fapot + Faad. Dissipativ qüvvələr mexaniki enerjinin dağılmasına səbəb olan qüvvələrdir, yəni. onu digər enerji növlərinə çevirmək. Potensial qüvvələr qapalı dövrədə işi sıfır olan qüvvələrdir. A = ∫ (Fapot, dra) = 0 . (1.8) L Potensial sahənin gradient olduğunu göstərək, yəni. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Həqiqətən də, Stoks teoreminə uyğun olaraq tər tərini ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa , ds) , L S yaza bilərik ki, burada S - səthi əhatə edən səthdir. kontur L Şəkil 5. S L Şəkil 5 – Kontur və səth Stokes teoremi aşkar əlaqəyə görə (1.9) rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t Yəni vektor sahəsi skalyar funksiyanın qradiyenti ilə ifadə edilirsə, onun qapalı kontur boyu işi mütləq sıfıra bərabərdir. Əks müddəa da doğrudur: əgər vektor sahəsinin qapalı kontur boyu dövriyyəsi sıfırdırsa, o zaman qradiyenti verilmiş vektor sahəsi olan müvafiq skalyar sahəni tapmaq həmişə mümkündür. (1.9) nəzərə alınmaqla (1.7) əlaqəni R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra kimi təqdim etmək olar. ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Ümumilikdə bizdə N belə tənlik var. Bütün bu tənlikləri əlavə edərək klassik mexanikada 1 enerjinin saxlanması qanununu alırıq: sistemin ümumi mexaniki enerjisinin dəyişməsi sökücü qüvvələrin işinə bərabərdir ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R varsa () dissipativ qüvvələr yoxdur, mexaniki sistemin ümumi (kinetik plus potensial) enerjisi dəyişmir (“konservləşdirilmiş”) və sistem mühafizəkar adlanır. 1.6. Dinamikanın əsas diferensial tənliyindən bucaq impulsunun saxlanması qanununun çıxarılması N maddi nöqtələr sistemini nəzərdən keçirək. Hər bir “a” nöqtəsi üçün Nyutonun II qanununu (1.2) yazırıq və sol tərəfdəki hər iki tərəfi vektorial olaraq ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a nöqtəsinin radius vektoruna vururuq. . dt ⎦ ⎣ 1 Mexanik enerjinin çevrilmələri haqqında bu fikir yalnız maddi materiyanın sahə materiyasına və əksinə çevrilməsi ilə müşayiət olunmayan hadisələri nəzərə alsaq, obyektiv reallığa adekvat olur. 26 K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) kəmiyyəti başlanğıca nisbətən Fa qüvvəsinin momenti adlanır. Aşkar münasibətə görə d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎦t ⎣ d⎦t ⎥ d ⎣ ⎣ d ⎡ ⎣ ra , ma va ⎤⎦ = Ka . dt Əvvəlki kimi, belə tənliklərin sayı N-dir və onları əlavə etməklə dM =K, (1.12) dt alarıq, burada N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 əlavə kəmiyyəti deyilir. mexaniki sistemin bucaq momentumu. Sistemə təsir edən qüvvələrin momenti sıfırdırsa, sistemin bucaq impulsu qorunur N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Hərəkətin inteqralları 1.4-1.6-cı bəndlərdə nəzərdə tutulan kəmiyyətlər müəyyən şərtlərdə qorunur: impuls, enerji və bucaq impulsları dinamikanın əsas diferensial tənliyinin - hərəkət tənliyinin vahid inteqrasiyası nəticəsində əldə edilir, yəni. ikinci dərəcəli diferensial tənliklərin birinci inteqrallarıdır. Buna görə bütün bu fiziki kəmiyyətlər adətən hərəkətin inteqralları adlanır. Daha sonra ikinci növ Laqranj tənliklərinin (Nyutonun konfiqurasiya fəzasının ikinci qanununun çevrildiyi tənliklər27) tədqiqinə həsr olunmuş bölmədə hərəkət inteqrallarının Nyuton məkanı və zamanının xassələrinin nəticəsi kimi nəzərdən keçirilə biləcəyini göstərəcəyik. . Enerjinin saxlanması qanunu zaman miqyasının homojenliyinin nəticəsidir. Fəzanın homojenliyindən impulsun saxlanma qanunu, fəzanın izotropiyasından isə bucaq impulsunun saxlanma qanunu əmələ gəlir. 1.8. Qeyri-inertial istinad sistemlərində hərəkət 1.9. Test tapşırığı 1.9.1. Məsələnin həllinə misal C1 mərkəzinə cəlbedici qüvvənin və C2 mərkəzinə qarşı itələmə qüvvəsinin təsiri altında olan nöqtənin mərkəzlərə olan məsafələrə mütənasib hərəkət tənliklərini tapın. Mütənasiblik əmsalları müvafiq olaraq k1m və k2m-ə bərabərdir, burada m - M nöqtəsinin kütləsidir. Zamanın ixtiyari anında mərkəzlərin koordinatları aşağıdakı əlaqələrlə müəyyən edilir: X1(t) = acosωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. Zamanın ilkin anında nöqtənin koordinatları x = a idi; y = 0; z=0 və vx = vy = vz =0 komponentləri ilə sürət. Məsələni k1 > k2 şərti ilə həll edin. İki F1 və F2 qüvvəsinin təsiri altında maddi nöqtənin hərəkəti (Şəkil 5) dinamikanın əsas diferensial tənliyi - Nyutonun ikinci qanunu ilə müəyyən edilir: mr = F1 + F2, burada simvolun üstündəki iki nöqtə zamanla təkrarlanan diferensiasiya deməkdir. . Məsələnin şərtlərinə görə F1 və F2 qüvvələri münasibətlərlə müəyyən edilir: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2. Tələb olunan kəmiyyət M nöqtəsinin radius vektorudur, ona görə də r1 və r2 vektorları radius vektoru və məlum vektorlar R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin vasitəsilə ifadə edilməlidir. ωt + k cosh λt və R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, burada i, j, k Dekart koordinat sisteminin bazis vektorlarıdır. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 “О” koordinatların mənşəyi, R1 və R2 – cəlbedici və itələyici mərkəzlərin radius vektorları, r – M nöqtəsinin radius vektoru, r1 və r2 – mövqeyi təyin edən vektorlardır. M nöqtəsinin mərkəzlərə nisbətən. Şəkil 6 – İki mərkəzin sahəsindəki M nöqtəsi Şəkil 6-dan r1 = r − R1 alırıq; r2 = r − R2 . Bütün bu münasibətləri Nyutonun ikinci qanunu ilə əvəz edərək və tənliyin hər iki tərəfini m kütləsinə bölərək sabit əmsallı ikinci dərəcəli qeyri-bircins diferensial tənliyi əldə edirik: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin). ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Məsələnin şərtlərinə görə k1 > k2 olduğuna görə, müsbət qiymət k2 = k1 – k2 qeydini təqdim etmək məqsədəuyğundur. Sonra yaranan diferensial tənlik formasını alır: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. Bu tənliyin həllini bircins tənliyin ro + k 2 ro = 0 ümumi həllinin ro və qeyri-bircins tənliyinin r = ro + rch xüsusi həllinin cəmi şəklində axtarmaq lazımdır. Ümumi həlli qurmaq üçün kökləri xəyali olan λ2 + k2 = 0 xarakterik tənliyini tərtib edirik: λ1,2 = ± ik, burada i = −1. Buna görə də homojen tənliyin ümumi həlli r = A cos kt + B sin kt şəklində yazılmalıdır, burada A və B vektor inteqrasiya sabitləridir. Müəyyən bir həlli α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −ω2α1 cos ωt − ω2 təyin olunmamış əmsalları daxil etməklə sağ tərəfin forması ilə tapmaq olar. 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Bu həlli qeyri-bərabər tənliyə əvəz edərək və tənliklərin sol və sağ tərəflərində eyni vaxt funksiyaları üçün əmsalları bərabərləşdirərək qeyri-müəyyən əmsalları təyin edən tənliklər sistemini alırıq: α1 (k 2 - ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. Beləliklə, qeyri-bərabər tənliyin ümumi həlli 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt formasına malikdir. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 İnteqrasiya sabitləri ilkin şərtlərdən müəyyən edilir, onları vektor şəklində yazmaq olar: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . İnteqrasiya sabitlərini təyin etmək üçün ixtiyari zaman anında nöqtənin sürətini bilmək lazımdır ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j). cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Tapılan məhlulda ilkin şərtləri əvəz edərək (t = 0) alarıq: k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Buradan inteqral sabitlərini tapıb k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt) hərəkət tənliklərindəki tənliyə əvəz edək. ω k + λ2 Bu ifadə vektor formasında tələb olunan hərəkət tənliklərini əks etdirir. Bu hərəkət tənlikləri, eləcə də onların axtarışının bütün prosesi Dekart koordinat sisteminin oxları üzrə proyeksiyalarda yazıla bilər. + 1.9.2. Test tapşırıqlarının variantları O1 mərkəzə cazibə qüvvəsinin və O2 mərkəzdən itələmə qüvvəsinin təsiri altında olan maddi nöqtənin hərəkət tənliklərini tapın. Qüvvələr mərkəzlərə olan məsafələrə mütənasibdir, mütənasiblik əmsalları müvafiq olaraq k1m və k2m-ə bərabərdir, burada m nöqtənin kütləsidir. 31 mərkəzin koordinatları, ilkin şərtlər və əmsallara qoyulan şərtlər cədvəldə verilmişdir. Birinci sütunda seçim nömrəsi var. Tək variantlarda k1 > k2, tək variantlarda k2 > k1 hesab edin. Nəzarət tapşırıqlarının variantları cədvəl 1-də verilmişdir. İkinci və üçüncü sütunlarda t-nin ixtiyari anında cəlbedici və itələyici mərkəzlərin koordinatları göstərilir. Son altı sütun, inteqrasiya sabitlərini müəyyən etmək üçün zəruri olan maddi nöqtənin ilkin koordinatlarını və onun ilkin sürətinin komponentlərini müəyyən edir. Cədvəl 1. Sınaq işi üçün variantlar 1. a, b, c, R, λ və ω kəmiyyətlər sabit kəmiyyətlərdir Variant 1 1 Mərkəzin koordinatları O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; İlkin dəyərlər Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Mərkəzin koordinatları O2 Y2 = Y1 + kül λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Cədvəl 1-in davamı 1 6 7 2 X 1 = kül λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt. 8 4 X 1 = kül λt ; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae. 10 X 1 = a + ct 3; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = ach λt ; Z1 = kül λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = kül λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4. 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Cədvəlin sonu 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = kül λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + kül λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = a sin ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4. 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = kül λt ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4. Z 2 = 0. X 1 = kül λt; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Test tapşırığı üçün ədəbiyyat 1. Meşçerski İ.V.Nəzəri mexanikadan məsələlər toplusu. M., 1986. S. 202. (Məsələlər No 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Olxovski İ.İ. Fiziklər üçün nəzəri mexanika kursu. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Yekun nəzarət (imtahan) testləri 1.10.1. A sahəsi A.1.1. Maddi nöqtənin dinamikası üçün əsas diferensial tənlik... formasına malikdir. A.1.2. Birbaşa dinamika məsələsinin həlli o deməkdir ki... A1.3. Dinamikanın tərs məsələsinin həlli deməkdir... A.1.5. Maddi nöqtələr sisteminə təsir edən daxili qüvvələrin cəmi ona görə yox olur... A.1.6. Gücün impulsu... A.1.7. Ətalət mərkəzi sistemi istinad sistemidir ki, A.1.8. Kütlənin mərkəzi... A.1.9. Kütlə mərkəzinin koordinatları A.1.10 düsturu ilə müəyyən edilir. Ətalət mərkəzi sisteminin sürəti düsturla müəyyən edilir... A.1.11. Ən ümumi formada maddi nöqtələr sisteminin impulsunun saxlanması qanunu belə yazılır... A.1.12. Potensial qüvvə sahəsi... münasibəti ilə müəyyən edilir (əsas tərif) A.1.13. Potensial qüvvə sahəsi... əlaqəsi ilə müəyyən edilir (əsas tərifin nəticəsi) A.1.14. Əgər F sahəsi potensialdırsa, onda... A.1.15. Maddi nöqtələr sisteminin bucaq impulsu kəmiyyətdir... A.1.16. Mexanik sistemə təsir edən qüvvələrin momentini... əlaqəsi ilə təyin etmək olar... A.1.17. Əgər mexaniki sistemə təsir edən qüvvələrin momenti sıfıra bərabərdirsə, onda ... A.1.18 saxlanılır. Əgər mexaniki sistemə təsir edən xarici qüvvələrin cəmi sıfıra bərabərdirsə, onda ... A.1.19 saxlanılır. Əgər mexaniki sistemə dissipativ qüvvələr təsir etmirsə, onda ... A.1.20 qalır. 35 1.10.2 olduqda mexaniki sistem qapalı adlanır. B ua B.1.1 sahəsi. ∑ ∫ d (m d v) a a a va inteqralının hesablanmasının nəticəsi ... B.1.2 ifadəsidir. K istinad sistemində mexaniki sistemin impulsu ona nisbətən V sürəti ilə hərəkət edən K′ istinad sisteminin impulsu ilə ... əlaqəsi ilə əlaqələndirilir. B.1.3. Əgər F = −∇Π olarsa, onda... B.1.4. F = −∇Π qüvvəsinin qapalı dövrə boyunca gördüyü iş … d va2 B1 səbəbiylə yox olur. 5. Vaxt törəməsi ... dt-ə bərabərdir B.1.6. impuls anının zaman törəməsi d ... dt 1.10.3-ə bərabərdir. C sahəsi C.1.1. Kütləsi m olan nöqtə elə hərəkət edərsə ki, t zamanında onun koordinatları x = x(t), y = y(t), z = z (t) olarsa, ona F qüvvəsi, Fx (Fy) komponenti təsir edir. , Fz) bərabər olan... C.1.2. Əgər nöqtə kmr qüvvəsinin təsiri altında hərəkət edirsə və t = 0-da onun koordinatları (m) (x0, y0, z0) və sürəti (m/s) (Vx, Vy, Vz) varsa, o zaman t = t1 s onun x koordinatı bərabər olacaq...(m) C.1.3. Tərəfləri a, b və c olan düzbucaqlı paralelepipedin təpələrində m1, m2, m3 və m4 nöqtə kütlələri vardır. Ətalət mərkəzinin koordinatını (xc, yc, zc) tapın. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Şəkil 7 – C.1.3 C.1.4 tapşırığı üçün. Uzunluğu olan çubuğun sıxlığı ρ = ρ(x) qanununa görə dəyişir. Belə çubuqun kütlə mərkəzi başlanğıcdan uzaqda yerləşir... C.1.5. Koordinatları x = a, y = b, z = c olan nöqtəyə F = (Fx, Fy, Fz) qüvvəsi tətbiq edilir. Bu qüvvənin momentinin koordinatların mənşəyinə nisbətən proyeksiyaları bərabərdir... 37 2. MƏRKƏZİ SİMMETRİK SAHƏDƏ HƏRƏKƏT 2.1. “İstifadə edir” bölməsinin strukturu Əyrixətti koordinatlarda sürət və sürətlənmə Tensor analizi “izlər” “istifadə edir” İdarəetmə blokunun hərəkət inteqralları “izlər” “istifadə edir” Sektor sürəti Vektor məhsulu “izlər” “istifadə edir” Traektoriya tənliyi Müəyyən inteqral “izlər” ” “istifadə edir” “istifadə edir” “Rezerford düsturu Steradian Şəkil 8 - “mərkəzi simmetrik sahə” bölməsinin strukturu 38 2.2. Mərkəzi simmetrik sahə anlayışı Maddi nöqtənin potensial enerjisinin yalnız r-dən hansısa “O” mərkəzinə qədər olan məsafədən asılı olduğu sahəni mərkəzi simmetrik adlandıraq. Dekart koordinat sisteminin başlanğıcı "O" nöqtəsində yerləşdirilirsə, bu məsafə nöqtənin radius vektorunun modulu olacaqdır, yəni. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. Potensial sahənin tərifinə uyğun olaraq nöqtəyə ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er qüvvəsi təsir edir. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r Belə sahədə P(r) = const ekvipotensial səthləri sferik koordinatlarda r = const koordinat səthləri ilə üst-üstə düşür. Dekart koordinatlarında üç sıfırdan fərqli komponentə malik olan qüvvə (2.1), sferik koordinatlarda yalnız bir sıfırdan fərqli komponentə malikdir - er bazis vektoruna proyeksiya. Yuxarıda göstərilənlərin hamısı bizi simmetriyası fiziki sahənin simmetriyası ilə üst-üstə düşən sferik koordinatlara müraciət etməyə məcbur edir. Sferik koordinatlar ortoqonal əyrixətti koordinatların xüsusi halıdır. 2.3. Əyrixətti koordinatlarda sürət xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) dekart koordinatları, ξ = ξi(xk) isə əyrixətti koordinatlar olsun – Dekart koordinatlarının bir-bir funksiyaları. Tərifinə görə, sürət vektoru dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt burada ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 vektorları sözdə koordinat (ya holonomik və ya inteqrasiya edilə bilən) əsas. Sürət vektorunun kvadratı v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j-ə bərabərdir. Kəmiyyətlər ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j∂j ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ metrik tensorun kovariant komponentlərini təmsil edir. Əyrixətti koordinatlarda maddi nöqtənin kinetik enerjisi mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j formasını alır. (2.5) 2 2 2.4. Əyrixətti koordinatlarda sürətlənmə Əyrixətti koordinatlarda təkcə hərəkət edən nöqtənin koordinatları zamandan asılı deyil, həm də onunla hərəkət edən bazisin vektorları, genişlənmə əmsalları sürət və təcilin ölçülən komponentləridir. Buna görə də əyrixətti koordinatlarda təkcə nöqtənin koordinatları deyil, həm də dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i bazis vektorları da diferensiasiyaya məruz qalır. (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt dei (ξi (t)) kompleks funksiyasının diferensiallaşdırılması qaydası ilə ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Vektorun törəməsi koordinat da vektor∂ei torusdur, ona görə də doqquz vektorun hər biri ∂ξ j bazis vektorlarına genişləndirilə bilər ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Γijk genişlənmə əmsallarına afin əlaqə əmsalları deyilir. Afin əlaqənin əmsallarının təyin olunduğu fəzalara afin əlaqə fəzaları deyilir. Affin əlaqə əmsallarının sıfıra bərabər olduğu fəzalara afin fəzalar deyilir. Affin fəzada, ən ümumi halda, hər bir ox boyunca ixtiyari tərəzi ilə yalnız düzxətli əyri koordinatlar təqdim edilə bilər. Belə fəzada bazis vektorları onun bütün nöqtələrində eynidir. Əgər koordinat əsası (2.3) seçilərsə, onda afin əlaqənin əmsalları alt yazılarda simmetrik olur və bu halda onlara Kristoffel simvolları deyilir. Kristoffel simvollarını metrik tensorun komponentləri və onların koordinat törəmələri ilə ifadə etmək olar ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ gij kəmiyyətləri metrik tensorun kontravariant komponentləridir - matrisin gij-ə tərs elementləri. Baş bazis vektorları baxımından sürətlənmə vektorunun genişlənmə əmsalları Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt sürətlənmə vektorunun zidd komponentlərini təmsil edir. 2.5. Sferik koordinatlarda sürət və təcil Sferik koordinatlar ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ Dekart koordinatları x, y və z ilə aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir (Şəkil 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθcosϕ, y = rsinθzrc, zϕ . 41 z θ y r ϕ x x Şəkil 9 – Dekart koordinatları x, y, z sferik koordinatları ilə r, θ, ϕ arasında əlaqə. Bu münasibətləri (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂11 = (2.4) ifadəsində əvəz etməklə metrik tenzorun komponentlərini tapırıq. 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂2 2 ∂ 2 + 2 2 z = 2 ∂ 2 + z = ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎟⎜ = ⎟; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x  ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂Έ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Metrik tensorun diaqonal olmayan komponentləri sıfıra bərabərdir, çünki sferik koordinatlar ortoqonal əyrixətti koordinatlardır. Bu, birbaşa hesablamalar və ya əsas vektorların koordinat xətlərinə tangenslər qurmaqla yoxlanıla bilər (Şəkil 10). er eϕ θ eθ Şəkil 10 - Sferik koordinatlarda koordinat xətləri və bazis vektorları Əsas və qarşılıqlı bazislərdən əlavə, tez-tez fiziki bazis adlanandan istifadə olunur - koordinat xətlərinə toxunan vahid vektorlar. Bu əsasda vektor komponentlərinin fiziki ölçüsü, yəni ümumi olaraq fiziki olaraq da adlandırılan, bazanın adını müəyyən edən modulunun ölçüsü ilə üst-üstə düşür. Metrik tenzorun yaranan komponentlərini (2.5) əvəz edərək, sferik koordinatlarda 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 olan maddi nöqtənin kinetik enerjisinin ifadəsini alırıq. 2 2 Sferik koordinatlar mərkəzi simmetrik sahənin simmetriyasını əks etdirdiyi üçün (2.10) ifadəsi mərkəzi simmetrik sahədə maddi nöqtənin hərəkətini təsvir etmək üçün istifadə olunur. () 43 (2.9) düsturu ilə sürətlənmənin kontravariant komponentlərini tapmaq üçün əvvəlcə matrisin elementləri kimi metrik tensorun kontravariant komponentlərini tapmaq lazımdır, tərs matris gij və sonra (2.8) düsturlarına uyğun olaraq Christoffel simvolları. Gij matrisi ortoqonal koordinatlarda diaqonal olduğundan onun tərs matrisinin elementləri (həmçinin diaqonal) sadəcə olaraq gij elementlərinin tərsidir: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Əvvəlcə Christoffel simvollarından hansının sıfırdan fərqli olacağını öyrənək. Bunun üçün yuxarı işarəni 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ -ə bərabər qoyaraq (2.8) münasibətini yazırıq. 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Metrik tenzorun diaqonal olmayan komponentləri sıfıra və g11 = 1 (sabit) komponenti olduğundan mötərizədəki son iki həd sıfıra çevrilir və birinci həd qeyri-sabit olacaqdır. i = j = 2 və i = j = 3 üçün sıfır. Beləliklə, yuxarıda indeksi 1 olan Christoffel simvolları arasında yalnız Γ122 və Γ133 sıfırdan fərqli olacaqdır. Eynilə, yuxarıda 2 və 3 indeksləri olan sıfırdan fərqli Christoffel simvollarını tapırıq. Cəmi 6 sıfırdan fərqli Christoffel simvolu var: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Bu münasibətləri (1.3) ifadəsi ilə əvəz edərək, sferik koordinatlarda kontravariant sürətlənmə komponentlərini alırıq: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − θ ϕ2; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θϕ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət tənlikləri Sferik koordinatlarda qüvvə vektoru yalnız bir sıfırdan fərqli komponentə malikdir d Π (r) (2.13) Fr = − dr Buna görə maddi nöqtə üçün Nyutonun ikinci qanunu d Π (r) formasını alır. ) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θϕ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.16) + θ θ ϕ + θ2 = ϕ g = 0 r (2.15 ) tənliyinin iki qismən həlli var ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Bu həllərin birincisi əyrixətti koordinatlara qoyulan şərtlə ziddiyyət təşkil edir, θ = 0-da J = çevirmələrin Yakobiyanı = 0. g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 İkinci həlli (2.17) nəzərə alaraq (2.14) və (2.16) tənlikləri d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = formasını alır. − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r (2.19) tənliyi d ϕ dr = r ϕ dəyişənlərini və birinci inteqralı r 2ϕ = C , (2.20) ayırmağa imkan verir ki, burada C inteqrasiya sabitidir. Növbəti bənddə göstəriləcək ki, bu sabit sektor sürətini iki dəfə təmsil edir və buna görə də (2.20) inteqralın özü Keplerin ikinci qanunu və ya sahə inteqralıdır. (2.18) tənliyinin birinci inteqralını tapmaq üçün (2.18) ilə əvəz edirik. 18) əlaqə (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ və dəyişənləri ayırın dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr İnteqrasiya nəticəsində ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ alırıq. ⎝ 2 saat e. (2.17) və (2.20) bəndlərini (2.10) əvəz etməklə yoxlamaq asan olan mexaniki enerjinin saxlanması qanunu. 2.7. Sektor sürəti və sektor sürəti Sektor sürəti – ədədi olaraq dəyər sahəsinə bərabərdir, vahid zamanda nöqtənin radius vektoru ilə süpürüldü dS σ= . dt Şəkil 11-dən göründüyü kimi 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 və sektorun sürəti 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ əlaqəsi ilə müəyyən edilir. 2 Silindrik koordinatlarda müstəvi hərəkət halında r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C şəklini alır. (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Şəkil 11 – Radius vektoru ilə süpürülən sahə Beləliklə, C inteqrasiyasının sabiti sektor sürətindən iki dəfə böyükdür. (2.22) ifadəsinin zaman törəməsini hesablayaraq sektor sürətini 47 1 ⎡r , r ⎤ alırıq. (2.24) 2⎣ ⎦ Nyutonun ikinci qanununa görə, (2.24) ifadəsi qüvvənin kütləyə bölünmüş momentinin yarısını ifadə edir və bu anı sıfıra çevirmək bucaq momentumunun saxlanmasına gətirib çıxarır (bax: bölmə 1.2). Sektor sürəti bucaq momentinin kütləyə bölünməsinin yarısıdır. Başqa sözlə desək, mərkəzi simmetrik sahədə hərəkət tənliklərinin birinci inteqrallarını hərəkətin diferensial tənliklərini açıq şəkildə inteqral etmədən, yalnız 1) hərəkətin dissipativ qüvvələr olmadıqda baş verdiyinə əsaslanaraq yazmaq olardı; 2) qüvvələrin momenti 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m sıfıra çevrilir. σ= 2.8. Cazibə sahəsində və Kulon sahəsində maddi nöqtənin hərəkət tənliyi 2.8.1. Effektiv enerji (2.21) nisbətində dəyişənlər asanlıqla ayrılır dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ və nəticədə (2.26) əlaqə təhlil edilə bilər. Kulon və qravitasiya sahələri vəziyyətlərində potensial enerji mərkəzə olan məsafəyə tərs mütənasibdir α ⎧α > 0 – cazibə qüvvəsi; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Ümumi Enerji kütləsi M və radiusu R olan planetin səthində yerləşən nöqtə mv 2 GMm α2 − = − münasibəti ilə müəyyən edilir. E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Nöqtənin trayektoriyası hiperboladır. Bir nöqtənin ümumi enerjisi sıfırdan böyükdür. 2.9. İki bədən problemini tək bədən probleminə endirmək. Azaldılmış kütlə İki cismin yalnız bir-biri ilə qarşılıqlı təsir qüvvəsinin təsiri altında hərəkəti məsələsini nəzərdən keçirək (Şəkil 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – koordinatların mənşəyi; m1 və m2 – qarşılıqlı təsir göstərən cisimlərin kütlələri Şəkil 14 – İki cisim məsələsi Cismlərin hər biri üçün Nyutonun ikinci qanununu yazaq 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) r vektoru üçün r = r2 − r1 olar. (2.36) r1 və r2 vektorlarını r vektoru vasitəsilə ifadə etmək məsələsini qoyaq. Bunun üçün tək (2.36) tənliyi kifayət deyil. Bu vektorların tərifində qeyri-müəyyənlik koordinatların mənşəyinin seçilməsinin özbaşınalığı ilə bağlıdır. Bu seçimi heç bir şəkildə məhdudlaşdırmadan r1 və r2 vektorlarını r vektoru ilə unikal şəkildə ifadə etmək mümkün deyil. Koordinatların mənşəyinin mövqeyi yalnız bu iki cismin mövqeyi ilə müəyyən edilməli olduğundan, onu sistemin kütlə mərkəzi (ətalət mərkəzi) ilə birləşdirmək mantiqidir, yəni. m1r1 + m2 r2 = 0 qoyun. (2.37) (2.37) istifadə edərək r1 vektorundan istifadə edərək r2 vektorunu ifadə edib (2.36) əvəz edərək, m2 m1 r1 = − r alırıq; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Bu münasibətləri (2.35) yerinə iki tənlik əvəzinə bir mr = F (r) alırıq ki, burada m kəmiyyəti daxil edilir, azalmış kütlə mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Beləliklə, bir-birinə qarşılıqlı təsir sahəsində iki cismin hərəkəti problemi ətalət mərkəzində mərkəzləşdirilmiş simmetrik sahədə kütləsi azaldılmış nöqtənin hərəkəti məsələsinə endirilir. 53 2.10. Rezerford düsturu Əvvəlki paraqrafın nəticələrinə uyğun olaraq, iki hissəciyin toqquşması və onların sonrakı hərəkəti problemi stasionar mərkəzin mərkəzi sahəsində hissəciyin hərəkətinə endirilə bilər. Bu problemi E.Rezerford α-hissəciklərin maddənin atomları tərəfindən səpilməsinə dair təcrübənin nəticələrini izah etmək üçün nəzərdən keçirmişdir (Şəkil 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Şəkil 15 – rm ϕ ϕ χ α-zərrəciyin stasionar atom tərəfindən səpilməsi Atomun əydiyi zərrəciyin trayektoriyası trayektoriyaya perpendikulyar nisbətdə simmetrik olmalı, səpilmə mərkəzindən aşağı enməlidir ( asimptotların əmələ gətirdiyi bucağın bissektoru). Bu anda hissəcik mərkəzdən rm ən qısa məsafədədir. α-hissəciklərin mənbəyinin yerləşdiyi məsafə rm-dən çox böyükdür, ona görə də zərrəciyin sonsuzluqdan hərəkət etdiyini düşünə bilərik. Bu hissəciyin sonsuzluqdakı sürəti Şəkil 15-də V∞ ilə göstərilmişdir. Sürət vektorunun V∞ xəttinin səpilmə mərkəzindən keçən ona paralel xəttdən ρ məsafəsi təsir məsafəsi adlanır. Səpələnmiş hissəcik trayektoriyasının mərkəz xətti ilə asimptotunun əmələ gətirdiyi χ bucağı (eyni zamanda qütb koordinat sisteminin qütb 54 oxu) səpilmə bucağı adlanır. Təcrübənin özəlliyi ondan ibarətdir ki, təsir məsafəsi, prinsipcə, təcrübə zamanı müəyyən edilə bilməz. Ölçmələrin nəticəsi yalnız səpilmə bucaqları müəyyən [χ,χ + dχ] intervalına aid olan hissəciklərin dN sayı ola bilər. Nə vaxt vahidinə düşən N hissəciklərinin N sayını, nə də onların axınının sıxlığını n = (S, düşən şüanın kəsik sahəsidir) təyin etmək mümkün deyil. Buna görə də (2.39) dN düsturu ilə təyin olunan effektiv səpilmə kəsiyi dσ səpilmə xarakteristikası kimi qəbul edilir. (2.39) dσ = n Sadə hesablama nəticəsində alınan dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ ifadəsi düşən hissəciklərin axınının sıxlığından asılı deyil, lakin yenə də təsir məsafəsindən asılıdır. Səpilmə bucağının təsir məsafəsinin monotonik (monotonik olaraq azalan) funksiyası olduğunu görmək çətin deyil ki, bu da effektiv səpilmə kəsiyini aşağıdakı kimi ifadə etməyə imkan verir: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным xətti tənliklər ikinci sıra və ya köməkçi kompleks dəyişən ω = ω1 + iω2 istifadə etməklə. Bu tənliklərin ikincisini i = −1-ə vuraraq və ω kompleks dəyəri üçün birinci ilə əlavə edərək, dt həlli ω = AeiΩt formasına malik olan dω = iΩω tənliyini əldə edirik, burada A inteqrasiya sabitidir. Həqiqi və xəyali hissələri bərabərləşdirərək, ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt alırıq. Bucaq sürət vektorunun yuxarı hissənin simmetriya oxuna perpendikulyar olan müstəviyə proyeksiyası ω⊥ = ω12 + ω22 = const, böyüklükdə sabit qalır, x3 oxu ətrafında bucaq sürəti (3.26) olan dairəni təsvir edir, bucaq adlanır. presessiya sürəti. 3.10. Eyler bucaqları Eyler teoremi: Sərt cismin sabit nöqtə ətrafında ixtiyari fırlanması sabit nöqtədən keçən üç ox ətrafında üç ardıcıl fırlanma ilə 82 yerinə yetirilə bilər. Sübut. Fərz edək ki, cismin son vəziyyəti Oξηζ koordinat sisteminin mövqeyi ilə verilir və müəyyən edilir (şəkil 25). Oxy və Oξηζ müstəvilərinin kəsişməsinin ON düz xəttini nəzərdən keçirək. Bu düz xətt qovşaqların xətti adlanır. ON qovşaqlarının xəttində müsbət istiqamət seçək ki, Oz oxundan Oζ oxuna ən qısa keçid qovşaqlar xəttinin müsbət istiqamətindən baxdıqda müsbət istiqamətdə (saat əqrəbinin əksinə) müəyyən edilsin. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Şəkil 25 – Eyler bucaqları ϕ bucağına görə birinci fırlanma (Ox oxunun müsbət istiqamətləri ilə qovşaqların xətti ON) Oz oxu ətrafında yerinə yetirilir. Birinci fırlanmadan sonra zamanın ilkin anında Ox oxu ilə üst-üstə düşən Oξ oxu ON qovşaqlarının xətti ilə, Oη oxu Oy düz xətti ilə üst-üstə düşəcək. θ bucağı ilə ikinci fırlanma həyata keçirilir. qovşaqların xətti ətrafında. İkinci fırlanmadan sonra Oξη müstəvisi son mövqeyi ilə üst-üstə düşəcək. Oξ oxu yenə də ON qovşaqlarının xətti ilə üst-üstə düşəcək, Oη oxu 83 düz xətti Oy" ilə üst-üstə düşəcək. Oζ oxu onun son vəziyyəti ilə üst-üstə düşəcək.Üçüncü (sonuncu) fırlanma Oζ oxu ətrafında ψ bucağı ilə həyata keçirilir.Hərəkət edən sistemin oxunun üçüncü fırlanmasından sonra koordinatlar öz son, əvvəlcədən müəyyən edilmiş mövqeyini alacaq.Teorem sübut edilmişdir. yuxarıda aydın olur ki, ϕ, θ və ψ bucaqları sabit nöqtə ətrafında hərəkət edən cismin vəziyyətini müəyyən edir.Bu bucaqlar deyilir: ϕ - presessiya bucağı, θ - nutasiya bucağı və ψ - bucağın öz fırlanması.Aydındır ki, hər an zaman cismin müəyyən mövqeyinə və Eyler bucaqlarının müəyyən qiymətlərinə uyğundur.Deməli, Eyler bucaqları zamanın ϕ = ϕ(t), θ = θ(t) və ψ = ψ(t) funksiyalarıdır. . Bu funksional asılılıqlar sərt cismin hərəkət qanununu müəyyən etdiyi üçün sabit bir nöqtə ətrafında hərəkət tənlikləri adlanır. Fırlanan koordinat sistemində istənilən vektoru yaza bilmək üçün stasionar koordinat sisteminin i, j, k bazis vektorlarını sərt cismə dondurulmuş fırlanan koordinat sisteminin e1, e2, e3 vektorları vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Bu məqsədlə üç köməkçi vektor təqdim edirik. Düyünlər xəttinin vahid vektorunu n ilə işarə edək. İki köməkçi koordinat üçhərlisini quraq: n, n1, k və n, n2, k, sağ əlli koordinat sistemləri kimi orientasiya olunmuş (şəkil 22), vektor n1 Oksi müstəvisində, vektoru n2 Oξη müstəvisində yerləşir. Bu köməkçi vektorlar vasitəsilə istirahətdə olan koordinat sisteminin vahid vektorlarını ifadə edək 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Köməkçi vektorlar da öz növbəsində fırlanan koordinat sisteminin vektorları vasitəsilə asanlıqla ifadə oluna bilər n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. (3.27)-ni (3.28) əvəz edərək, stasionar koordinat sisteminin bazis vektorları ilə fırlanan koordinat sisteminin bazis vektorları arasında son əlaqəni əldə edirik i = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) cos ϕ − −[(e1) sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ +) e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Bu çevrilmələri L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 matris formasında yazmaq olar. L31 L32 L33 Fırlanma matrisi L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ elementləri ilə müəyyən edilir; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Onda ümumi başlanğıc ətrafında ixtiyari fırlanma bucaq sürətinin vektorunun komponentləri sərt cismə dondurulmuş fırlanan koordinat sistemindəki bucaq sürətinin komponentləri vasitəsilə aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω3 Ω21 L22 L31 L32 L23. L33 Tapşırığı. Stasionar koordinat sistemindən fırlanan koordinat sisteminə tərs çevrilmələri yazın. 3.11. Qeyri-inertial istinad sistemlərində hərəkət 1-ci bənddə. 4. bir istinad sistemindən (K) digərinə (K´) keçidi nəzərdən keçirdik, birinciyə nisbətən translyasiya olaraq hərəkət edir, bu istinad sistemlərində (bu müşahidəçilər tərəfindən) ölçülən ixtiyari “M” nöqtəsinin radius vektorları əlaqəlidir. əlaqəsi ilə (Şəkil 4, s. 23) r = r′ + R. Gəlin, 1.4-cü bənddə olduğu kimi, K´ istinad sisteminin və onunla əlaqəli koordinat sisteminin müəyyən bir bucaq sürəti ilə ω(t) fırlandığını fərz etsək, dr dr ′ dR , = + dt dt dt ifadəsinin zaman törəməsini hesablayaq. . Tərcümə hərəkəti vəziyyətində, sonuncu ifadənin sağ tərəfindəki birinci termin müşahidəçi K´ tərəfindən ölçülən M nöqtəsinin sürəti idi. Fırlanma hərəkəti zamanı məlum olur ki, r ′ vektoru müşahidəçi K´ tərəfindən ölçülür, zaman törəməsi isə müşahidəçi K tərəfindən hesablanır. M nöqtəsinin nisbi sürətini təcrid etmək üçün (3.22) düsturundan istifadə edirik. translyasiya ilə hərəkət edən istinad sistemindəki vektorun zaman törəməsi ilə fırlanan istinad sistemindəki törəmə arasında əlaqə dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt burada d ′r ′ u′ = dt Müşahidəçi K´ tərəfindən ölçülən zaman törəməsi. Beləliklə, R radius vektoru ilə təyin olunan K´ sisteminin koordinatlarının mənşəyini qütb kimi seçərək, fırlanan koordinat sistemi üçün sürətlərin əlavə edilməsi teoremini alırıq u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) burada qeydlər 1.4-cü bəndin qeydlərinə uyğundur. (3.29) ifadəsinin zaman törəməsinin hesablanması du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎦ dt törəməsinin çevrilməsi və dt törəməsinin çevrilməsi ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω sürətlənmələr arasındakı əlaqəni əldə edirik. , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Bu sürətlənmələr üçün ümumi təyinatlar onların fiziki mənasına uyğundur: du Wabs = – M nöqtəsinin sürətlənməsi, müşahidəçinin istirahətdə ölçdüyü dt – mütləq sürətlənmə; 87 dV ′ – müşahidəçinin K´ müşahidəçisinə nisbətən sürətlənməsi dt K – daşınan sürətlənmə; d ′u′ Wrel = – müşahidəçi K´ tərəfindən ölçülən M nöqtəsinin sürətlənməsi – nisbi sürətlənmə; WCor = 2 [ ω, u′] – Wperin hərəkəti nəticəsində yaranan sürətlənmə = M nöqtəsinin fırlanan istinad sistemində bucaq sürət vektoruna paralel olmayan sürətlə hərəkəti, – Koriolis sürətlənməsi; [ ε, r ′] – K´ istinad sisteminin fırlanma hərəkətinin qeyri-bərabərliyi səbəbindən sürətlənmə, ümumi qəbul edilmiş adı yoxdur; Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – ω vektoru r ′ vektoruna perpendikulyar olduqda, fırlanan diskin xüsusi vəziyyətində mənası aydınlaşan normal və ya mərkəzləşdirilmiş sürətlənmə. Həqiqətən də, bu halda Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – vektor xətti sürətə perpendikulyar (normal olaraq) istiqamətləndirilir. mərkəzə radius. 3.12. Test

Galileo-Nyutonun mexanika qanunları

Dinamika insanın praktik fəaliyyətinin ümumiləşdirilməsi olan qanunlara (aksiomlara) əsaslanır. Bu qanunlardan məntiqi olaraq mexanikanın müxtəlif prinsipləri yaranır. Bu qanunlar Qaliley və Nyuton tərəfindən ümumiləşdirilmiş və maddi nöqtəyə münasibətdə formalaşdırılmışdır.

Nyutonun birinci qanunu(ətalət qanunu). Qüvvələr tərəfindən təsirlənməyən və ya tarazlıq qüvvələr sistemi ilə hərəkət edən maddi nöqtə öz sakitlik vəziyyətini və ya vahid və xətti hərəkəti saxlamaq qabiliyyətinə malikdir.

Həm birinci, həm də ikinci halda nöqtənin sürətlənməsi sıfırdır.Nöqtənin bu kinematik vəziyyətinə deyilir. ətalət.

Ətalət qanununun mövcud olduğu bütün istinad sistemləri adlanır ətalət.

Nyutonun ikinci qanunu(dinamikanın əsas qanunu). Maddi nöqtənin inertial istinad sisteminə nisbətən sürətlənməsi nöqtəyə tətbiq olunan qüvvəyə mütənasibdir və bu qüvvə boyunca yönəldilir (şək. 1).

Bu qanunu formada ifadə etmək olar

(1)

Harada m maddi nöqtənin ətalət xassələrini xarakterizə edən müsbət əmsala nöqtənin kütləsi deyilir. Klassik mexanikada kütlə sabit kəmiyyət hesab olunur. SI kütlə vahidi kiloqramdır (kq); - nöqtə sürətlənməsi; - bir nöqtəyə tətbiq olunan qüvvə.

düyü. 1

düyü. 2

Kütlə adətən yerin səthində cazibə qüvvəsi və cazibə qüvvəsinin sürətlənməsi ilə müəyyən edilir. (1)-ə görə bizdə var

Nyutonun üçüncü qanunu(hərəkət və reaksiya qüvvələrinin bərabərliyi haqqında qanun). İki maddi nöqtə arasındakı qarşılıqlı təsir qüvvələri böyüklükdə bərabər və əks istiqamətdədir (şəkil 2), yəni.

Dördüncü Qanun(qüvvələrin hərəkətinin müstəqilliyi qanunu). Bir neçə qüvvənin eyni vaxtda təsiri ilə maddi nöqtə bu qüvvələrin hər birinin ayrı-ayrılıqda təsiri altında əldə edəcəyi sürətlənmələrin həndəsi cəminə bərabər bir sürət əldə edir. Beləliklə, maddi nöqtəyə tətbiq olunan qüvvələr bir-birindən asılı olmayaraq ona təsir edir.

Maddi nöqtəyə qüvvələr sistemi tətbiq edilsin onda Nyutonun ikinci qanununa görə hər bir qüvvənin təsirindən sürətlənmə (1) ifadəsi ilə müəyyən edilir:

Bütün qüvvələrin eyni vaxtda hərəkəti ilə sürətlənmə

(3)

(2) və (3) istifadə edərək, nöqtənin dinamikası üçün əsas tənliyi əldə edirik:

Lakin nöqtə bir qüvvənin təsiri altında eyni sürətlənmə əldə edir

Qüvvələr sistemindən bəri və qüvvə nöqtəyə eyni sürəti verir, onda bu qüvvələr sistemi və qüvvə ekvivalentdir.

Maddi nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri

3.1.2.1. Sərbəst nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri

düyü. 3

Sərbəst maddi nöqtəyə nəticə verən qüvvələr sistemi təsir etsin, bax şək. 3. Sonra dinamikanın əsas qanununa əsasən,

(4)

Nöqtənin sürətlənməsi kimi təqdim edilə bilər , buna görə də bərabərlik (4) formasını alır:

. (5)

Tənlik (5) maddi nöqtənin hərəkətinin vektor diferensial tənliyidir. Əgər onu Kartezian koordinat sisteminin oxlarına proyeksiya etsək, bu oxlara proyeksiyalarda maddi nöqtənin hərəkətinin diferensial tənliklərini alacağıq:

Bir nöqtə müstəvidə hərəkət etdikdə Oksi tənliklər sistemi (6) formasını alır:

Bir nöqtə bir ox boyunca düz bir xəttdə hərəkət etdikdə öküz bir diferensial hərəkət tənliyini alırıq:

Bərabərliyi (5) təbii koordinat oxlarına proqnozlaşdıraraq, təbii koordinat oxlarına proyeksiyalarda nöqtənin diferensial hərəkət tənliklərini alırıq:

1.2.2. Sərbəst olmayan nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri

Əlaqələrdən azad olma prinsipinə əsaslanaraq, əlaqələrin hərəkətini onların reaksiyaları ilə əvəz etməklə, sərbəst olmayan nöqtəni sərbəst nöqtəyə çevirmək olar. Bağ reaksiyalarının nəticəsi olsun, onda nöqtənin dinamikasının əsas tənliyi formanı alacaq:

(7)

Dekart koordinat sisteminin oxları üzərində (7) proyeksiya edərək, bu oxlara proyeksiyalarda sərbəst olmayan nöqtənin diferensial hərəkət tənliklərini alırıq:

Məsələləri həll etmək üçün bu tənliklərə məhdudiyyət tənliklərini əlavə etmək lazımdır.

Təbii koordinat oxlarına proyeksiyalarda nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri:

1.2.3. Nöqtənin nisbi hərəkəti üçün diferensial tənliklər

Nöqtə dinamikasının əsas tənliyi sürətlənmənin mütləq olduğu inertial istinad sistemi üçün etibarlıdır. Koriolis teoreminə görə mütləq sürətlənmə

portativ hərəkətin sürətlənməsi haradadır; – hərəkət edən koordinat sisteminə nisbətən nöqtənin nisbi sürətlənməsi; - Koriolis sürətlənməsi.

Mütləq sürətlənmə ifadəsini nöqtənin dinamikasının əsas tənliyinə əvəz edərək, əldə edirik

Aşağıdakı qeydi təqdim edək: – portativ ətalət qüvvəsi; - Koriolis ətalət qüvvəsi.

Sonra (9) tənliyi formasını alır

(10)

Alınan bərabərlik dinamik Koriolis teoremini ifadə edir.

Koriolis teoremi. Maddi nöqtənin nisbi hərəkəti o zaman mütləq hesab edilə bilər ki, bu nöqtəyə təsir edən qüvvələrə köçürmə və Koriolis ətalət qüvvələri əlavə olunsun.

Nöqtənin nisbi tarazlığı halını nəzərdən keçirək Sonra Coriolis sürətləndirilməsi Bu dəyərləri (10) tənliyinə əvəz edərək, bir nöqtənin nisbi tarazlığının şərtini əldə edirik:

Nöqtənin nisbi hərəkəti üçün dinamikanın əsas qanununun onun mütləq hərəkətinin əsas qanunu ilə üst-üstə düşməsi üçün aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilməlidir:

Hərəkət edən koordinat sistemi translyasiya ilə hərəkət edərsə, bu şərt təmin edilir düz və bərabər Bu istinad sistemlərinə münasibətdə, eləcə də stasionar sistemlərə münasibətdə, zaman ətalət qanunu yerinə yetiriləcək. Buna görə də, translyasiya, düzxətli və bərabər şəkildə hərəkət edən bütün istinad sistemləri, eləcə də istirahətdə olanlar ətalət.

Dinamikanın qanunları bütün ətalət istinad sistemlərində eyni olduğuna görə, istinad nöqtəsi kimi eyni hadisə götürülərsə, bütün bu sistemlərdə mexaniki hadisələr tam olaraq eyni şəkildə davam edir. Bu, klassik mexanikanın nisbilik prinsipinə əməl edir.

Klassik mexanikanın nisbilik prinsipi. Heç bir mexaniki təcrübə bu hərəkətdə onunla iştirak edən istinad sisteminin ətalət hərəkətini aşkar edə bilməz.

Maddi nöqtənin sərbəst vibrasiyası. Sabit qüvvənin sərbəst rəqsə təsiri

Pulsuz vibrasiya(yaxud öz dalğalanmalar) - bunlar dalğalanmalardır xarici təsirlər olmadıqda yalnız ilkin verilən enerji (potensial və ya kinetik) hesabına həyata keçirilən salınım sistemi

Sərbəst vibrasiyaların diferensial tənliyi müqavimət olmadıqda:

Bu tənliyin ümumi həlli burada formasına malikdir

Maddi bir nöqtəyə təsir edən mövqe qüvvəsi onu ilkin vəziyyətinə qaytarmağa meylli olduqda, nöqtənin hərəkəti salınım xarakterli olacaqdır. Bu qüvvə adətən bərpaedici adlanır.

Bərpaedici qüvvənin təsiri altında maddi nöqtə sinusoidal qanuna uyğun olaraq hərəkət edir, yəni. harmonik salınım hərəkəti.

Sabit P qüvvəsi bərpaedici F qüvvəsinin təsiri altında olan nöqtənin yaratdığı rəqslərin xarakterini dəyişmir, ancaq statik əyilmə miqdarı ilə bu rəqslərin mərkəzini P qüvvəsinin təsirinə doğru sürüşdürür.

Maddi nöqtənin rezonans şəraitində hərəkəti

olduğu halda, yəni. narahatedici qüvvənin tezliyi təbii rəqslərin tezliyinə bərabər olduqda, rezonans hadisəsi baş verir.

Rezonans məcburi salınımların amplitüdünün kəskin artmasıdır. Təbii rəqslərin tezliyi hərəkətverici qüvvənin tezliyi ilə üst-üstə düşdükdə baş verir

Rezonans zamanı məcburi rəqslərin diapazonu zaman keçdikcə qeyri-müəyyən şəkildə artacaq

Sürətlə mütənasib müqavimət göstərən maddi nöqtənin məcburi salınımları.

Fırlanma hərəkəti

Bu halda . Sonra

– fırlanma hərəkəti zamanı cismin kinetik enerjisi cismin fırlanma oxuna nisbətən ətalət momentinin və onun bucaq sürətinin kvadratına hasilinin yarısına bərabərdir.

Koeniq teoremi

Mexanik sistemin kinetik enerjisi kütlə mərkəzinin hərəkət enerjisi üstəgəl kütlə mərkəzinə nisbətən hərəkət enerjisidir:

T=T0+Tr(\displaystyle (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Burada T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt sistemin ümumi kinetik enerjisidir, (\displaystyle T_(0))T0 kütlə mərkəzinin hərəkətinin kinetik enerjisidir, (\displaystyle T_(r))Tr sistemin nisbi kinetik enerjisi.

Başqa sözlə desək, mürəkkəb hərəkətdə olan cismin və ya cisimlər sisteminin ümumi kinetik enerjisi sistemin köçürmə hərəkətindəki enerjisi ilə kütlə mərkəzinə nisbətən onun sferik hərəkətindəki enerjisinin cəminə bərabərdir.

Daha dəqiq bir düstur: bütün sistemin ümumi kinetik enerjisi, onun kütlə mərkəzində cəmlənmiş və kütlə mərkəzinin sürəti ilə hərəkət edən sistemin bütün kütləsinin kinetik enerjisinin cəminə bərabərdir. eyni sistemin nisbi sistemində kütlə mərkəzinə nisbətən enerjisi

Şəkil 1 - Bədənin sərbəst düşməsi.

Yük kiçik olduğundan, hava müqaviməti olduqca kiçikdir və onu aradan qaldırmaq üçün enerji kiçikdir və laqeyd qala bilər. Bədənin sürəti yüksək deyil və qısa məsafədə hava ilə sürtünmə ilə tarazlaşdığı və sürətlənməsinin dayandığı məqama çatmır.

Yerlə toqquşma anında kinetik enerji maksimumdur. Çünki bədənin maksimum sürəti var. Bədən yerin səthinə çatdığı və hündürlüyü sıfır olduğu üçün potensial enerji sıfırdır. Yəni, baş verən odur ki, yuxarı nöqtədəki maksimum potensial enerji hərəkət edərkən kinetik enerjiyə çevrilir və bu da öz növbəsində aşağı nöqtədə maksimuma çatır. Lakin hərəkət zamanı sistemdəki bütün enerjilərin cəmi sabit qalır. Potensial enerji azaldıqca kinetik enerji də artır.

İdeal əlaqələr

Nöqtə bir səth boyunca və ya əyri boyunca hərəkət etdikdə, əlaqənin reaksiyası normal və tangensial komponentlərə parçalana bilər. Reaksiyanın tangensial komponenti sürtünmə qüvvəsini təmsil edir. Səth və ya əyri nə qədər hamar olarsa, reaksiyanın tangensial komponenti bir o qədər kiçik olacaqdır. Səth və ya əyri tamamilə hamardırsa, reaksiya səthə normaldır

İdeal əlaqələr reaksiyalarında tangensial komponentlər olmayan sürtünməsiz bağlar adlanır

Bağlardan qurtulma prinsipi, buna görə sərbəst olmayan bir cismi ona təsir edən bağları atsaq və onları qüvvələrlə əvəz etsək, sərbəst hesab edilə bilər - bağların reaksiyaları.

Ünsiyyət reaksiyası Verilmiş əlaqənin bədənə təsir etdiyi, onun bu və ya digər hərəkətlərinin qarşısını aldığı qüvvəyə əlaqənin reaksiyası deyilir. Ünsiyyət reaksiyasıəlaqənin bədənin hərəkətinə mane olduğu yerə əks istiqamətə yönəldilmişdir.

Sərt möhür

Sərt yerləşdirmənin reaksiyasını tapmaq komponentləri təyin etməkdən ibarətdir X A Və Y A qüvvələrin təsir müstəvisində şüanın xətti hərəkətinin qarşısının alınması və anın cəbri dəyəri m A, şüanın ona tətbiq olunan qüvvələrin təsiri altında fırlanmasının qarşısını almaq.

Şəkil 4

Həll. Bu problemi tarazlıq tənlikləri yaratmaqla məlum statik üsullardan istifadə etməklə həll etmək olar. Ancaq bu vəziyyətdə əvvəlcə çubuqlardakı qüvvələri tapmalı olacaqsınız. Mümkün hərəkətlər prinsipi bizə güc tapmağa imkan verir F statikanın ümumi tənliyindən istifadə edərək daha sadədir.

Biz fəal qüvvələr göstəririk və. Çubuğu çevirərək sistemə mümkün hərəkəti veririk ASC bucaq altında (Şəkil 66). Oluk tərcümə hərəkəti edəcəyi üçün onun bütün nöqtələrinin hərəkətləri eyni olacaq:

Harada a=AO=BD.

İş tənliyini yaradırıq: . Künc .

Buna görə də alırıq. Buradan.

Dinamikanın ümumi tənliyi.

D'Alember prinsipinə görə, müəyyən qüvvələrin təsiri altında hərəkət edən maddi sistem, onların ətalət qüvvələri sistemin bütün nöqtələrinə tətbiq edilərsə, tarazlıqda olan hesab edilə bilər. Bu, mümkün hərəkətlər prinsipindən istifadə edə biləcəyiniz deməkdir.

Nöqtələrin ətalət qüvvələrinin onların mümkün hərəkətləri üzərindəki işlərinin cəmi (1) iş tənliyinə əlavə olunacaq:

Və ya mümkün sürətlər prinsipinə görə (2):

Bu tənliklər deyilir dinamikanın ümumi tənliyi . Bu, kifayət qədər mürəkkəb maddi sistemlərin hərəkətinin öyrənilməsi ilə bağlı problemlərin böyük bir sinfini həll etməyə imkan verir.

(3) və (4) tənlikləri göstərir ki, istənilən sabit zaman anında aktiv qüvvələrin və ətalət qüvvələrinin istənilən virtual yerdəyişmələr üzrə elementar işlərinin cəmi sıfıra bərabərdir, bu şərtlə ki, sistemə ideal və məhdudlaşdırıcı əlaqələr qoyulsun.

Bu metodun digər mühüm üstünlüyünü, dinamikanın ümumi tənliyini vurğulamağa dəyər - sistemin hərəkətini öyrənərkən (ideal) əlaqələrin reaksiyaları istisna edilir.

Bəzən bu tənlik mexaniki sistemlərin hərəkətini öyrənmək üçün və bütün birləşmələrin ideal olmadığı hallarda, məsələn, sürtünmə ilə əlaqələr olduqda istifadə edilə bilər. Bunun üçün aktiv qüvvələrə sürtünmə qüvvələrinin olması nəticəsində yaranan reaksiyaların həmin komponentlərini əlavə etmək lazımdır.

Şəkil 11

Bu vəziyyətdə olan bədənə aşağı sürət verilirsə və ya kiçik bir məsafəyə köçürülürsə və gələcəkdə bu sapmalar artmazsa, tarazlıq sabit sayılır.

Sübut etmək olar (Laqranj-Diriklet teoremi) mühafizəkar sistemin tarazlıq vəziyyətində onun potensial enerjisi minimuma malikdirsə, bu tarazlıq vəziyyəti sabitdir.

Bir sərbəstlik dərəcəsi olan mühafizəkar sistem üçün minimum potensial enerjinin şərti və buna görə də tarazlıq vəziyyətinin sabitliyi ikinci törəmə ilə müəyyən edilir, onun tarazlıq vəziyyətindəki dəyəri,

Klassik mexanika qanunları. Maddi nöqtənin hərəkətinin diferensial tənliyi.

Ətalət adlanan elə istinad sistemləri vardır ki, onlara heç bir qüvvə təsir etmədikdə (və ya qarşılıqlı tarazlaşdırılmış qüvvələr onlara təsir edən) maddi nöqtələrə nisbətən sükunət vəziyyətində və ya vahid xətti hərəkət edir.

İnertial istinad sistemində sabit kütləsi olan maddi nöqtənin aldığı sürətlənmə ona tətbiq olunan bütün qüvvələrin nəticəsi ilə düz mütənasibdir və kütləsi ilə tərs mütənasibdir.

Maddi nöqtələr bir-biri ilə eyni təbiətli, bu nöqtələri birləşdirən düz xətt boyunca yönəldilmiş, böyüklüyünə bərabər və istiqaməti əks olan qüvvələrlə qarşılıqlı təsir göstərir.

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

burada ΣX və ΣY nöqtəyə təsir edən qüvvələrin müvafiq cismə proyeksiyalarının cəbri cəmidir. koordinat oxları; x və y nöqtənin cari koordinatlarıdır.

Alınan diferensial asılılıqlardan istifadə edərək iki əsas dinamik problem həll olunur:

• nöqtənin verilmiş hərəkəti əsasında ona təsir edən qüvvələr müəyyən edilir;
• Bir nöqtəyə təsir edən qüvvələri bilərək, onun hərəkətini təyin edirlər.