İki bərabər rəqib şahmat oynayır. Ekvivalent çevrilmələr. Düsturların sadələşdirilməsi. Mükəmməl normal formalar
Tərif. İki f 1 (x) = g 1 (x) və f 2 (x) = g 2 (x) tənlikləri, köklərinin çoxluqları üst-üstə düşürsə, ekvivalent adlanır.
Məsələn, tənliklər x 2 - 9 = 0 və (2 X + 6)(X- 3) = 0 ekvivalentdir, çünki hər ikisinin kökləri 3 və -3 rəqəmlərinə malikdir. Tənliklər (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 və x 2+ 1 = 0, çünki hər ikisinin kökü yoxdur, yəni. onların köklərinin çoxluğu üst-üstə düşür.
Tərif. Tənliyin ekvivalent tənliklə əvəz edilməsi ekvivalent çevrilmə adlanır.
İndi hansı çevrilmələrin ekvivalent tənlikləri əldə etməyə imkan verdiyini öyrənək.
Teorem 1. Tənlik olsun f(x) və g(x) setdə müəyyən edilir və h(x) eyni çoxluqda müəyyən edilmiş ifadədir. Sonra tənliklər f(x) = g(x)(1) və f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) ekvivalentdir.
Sübut. ilə işarə edək T 1 -(1) tənliyinin həllər toplusu və vasitəsilə T 2 -(2) tənliyinin həlli çoxluğu. Onda (1) və (2) tənlikləri əgər ekvivalent olacaqdır T 1 = T 2. Bunu yoxlamaq üçün hər hansı bir kökün olduğunu göstərmək lazımdır T 1(2) tənliyinin kökü və əksinə, hər hansı bir kökdür T 2(1) tənliyinin köküdür.
Qoy nömrə A- (1) tənliyinin kökü. Sonra a? T 1, və (1) tənliyinə əvəz edildikdə onu həqiqi ədədi bərabərliyə çevirir f(a) = g(a), və ifadəsi h(x)ədədi ifadəyə çevirir h(a), setdə məna kəsb edir X. Həqiqi bərabərliyin hər iki tərəfinə əlavə edək f(a) = g(a)ədədi ifadə h(a). Həqiqi ədədi bərabərliklərin xassələrinə görə həqiqi ədədi bərabərliyi əldə edirik f(a) + h(a) =g(a) + h(a), rəqəmin olduğunu göstərir A(2) tənliyinin köküdür.
Beləliklə, sübut edilmişdir ki, (1) tənliyinin hər bir kökü də (2) tənliyinin köküdür, yəni. T 1 ilə T 2.
Qoy indi A -(2) tənliyinin kökü. Sonra A? T 2 və (2) tənliyinə əvəz edildikdə onu həqiqi ədədi bərabərliyə çevirir f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Bu bərabərliyin hər iki tərəfinə ədədi ifadəni əlavə edək - h(a), Həqiqi ədədi bərabərliyi əldə edirik f(x) = g(x), sayı olduğunu göstərir A -(1) tənliyinin kökü.
Beləliklə, sübut edilmişdir ki, (2) tənliyinin hər bir kökü də (1) tənliyinin köküdür, yəni. T 2 ilə T 1.
Çünki T 1 ilə T 2 Və T 2 ilə T 1, sonra bərabər çoxluqların tərifi ilə T 1= T 2, bu o deməkdir ki, (1) və (2) tənlikləri ekvivalentdir.
Bu teorem fərqli şəkildə tərtib edilə bilər: əgər tənliyin hər iki tərəfi tərif sahəsi ilə X eyni çoxluqda müəyyən edilmiş dəyişənlə eyni ifadəni əlavə edirik, sonra verilmiş birinə ekvivalent olan yeni tənlik əldə edirik.
Bu teoremdən tənliklərin həlli zamanı istifadə olunan nəticələr gəlir:
1. Tənliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etsək, verilənə ekvivalent tənlik alırıq.
2. Əgər hər hansı bir termin (ədədi ifadə və ya dəyişənli ifadə) tənliyin bir hissəsindən digərinə keçərək, terminin işarəsini əks tərəfə keçirsə, onda verilmiş birinə ekvivalent tənlik alırıq.
Teorem 2. Tənlik olsun f(x) = g(x) setdə müəyyən edilir X Və h(x) - eyni çoxluqda təyin olunan və heç bir dəyər üçün itməyən ifadə Xçoxlarından X. Sonra tənliklər f(x) = g(x) Və f(x) h(x) =g(x) h(x) ekvivalentdir.
Bu teoremin sübutu Teorem 1-in sübutuna bənzəyir.
Teorem 2 fərqli şəkildə tərtib edilə bilər: tənliyin hər iki tərəfinin domen sahəsi varsa X eyni çoxluqda müəyyən edilən və onun üzərində yox olmayan eyni ifadəyə vurulduqda, verilənə ekvivalent yeni tənlik əldə edirik.
Bu teoremdən nəticə çıxır: Tənliyin hər iki tərəfi sıfırdan fərqli eyni ədədə vurularsa (və ya bölünərsə), verilənə ekvivalent tənlik alırıq.
Bir dəyişənli tənliklərin həlli
1- tənliyini həll edək x/3 = x/6, x ? R və həll prosesində həyata keçirəcəyimiz bütün dəyişiklikləri əsaslandıracağıq.
| Transformasiyalar | Transformasiya üçün əsaslandırma |
| 1. Tənliyin sol və sağ tərəflərindəki ifadələri ortaq məxrəcə gətirək: (6-2) X)/ 6 = X/6 | Tənliyin sol tərəfindəki ifadənin eyni çevrilməsini həyata keçirdik. |
| 2. Ümumi məxrəci ataq: 6-2 X = X | Tənliyin hər iki tərəfini 6-ya vurduq (Teorem 2) və buna ekvivalent tənlik əldə etdik. |
| 3. -2x ifadəsini əks işarəli tənliyin sağ tərəfinə keçiririk: 6 = X+2X. | Biz Teorem 1-in nəticəsini istifadə etdik və əvvəlkinə və deməli, verilənə ekvivalent tənlik əldə etdik. |
| 4. Bənzər şərtləri tənliyin sağ tərəfində təqdim edirik: 6 = 3 X. | İfadənin şəxsiyyət çevrilməsi reallaşdırıldı. |
| 5. Tənliyin hər iki tərəfini 3-ə bölün: X = 2. | Biz 2-ci teoremdən nəticəni istifadə etdik və əvvəlkinə və buna görə də buna ekvivalent tənlik əldə etdik. |
Bu tənliyi həll edərkən etdiyimiz bütün çevrilmələr ekvivalent olduğu üçün deyə bilərik ki, 2 bu tənliyin köküdür.
Əgər tənliyin həlli prosesində 1-ci və 2-ci teoremlərin şərtləri yerinə yetirilmirsə, o zaman köklərin itməsi baş verə bilər və ya kənar köklər yarana bilər. Buna görə də, daha sadə bir tənliyi əldə etmək üçün bir tənliyi çevirərkən, onların verilmiş tənliyə ekvivalent olmasını təmin etmək vacibdir.
Məsələn, tənliyi nəzərdən keçirək x(x - 1) = 2x, x? R. Gəlin hər iki hissəni bölək X, tənliyini alırıq X - 1 = 2, haradandır X= 3, yəni bu tənliyin tək kökü var - rəqəm 3. Amma bu doğrudurmu? Görmək asandır ki, bu tənlikdə dəyişən əvəzinə X 0-ı əvəz etsəniz, 0·(0 - 1) = 2·0 həqiqi ədədi bərabərliyinə çevrilir. Bu o deməkdir ki, 0 bu tənliyin köküdür, çevrilmələri həyata keçirərkən itirdik. Gəlin onları təhlil edək. İlk etdiyimiz iş tənliyin hər iki tərəfini bölmək oldu X, olanlar. ifadə ilə vurulur1/ x, lakin X= Oh, məntiqli deyil. Beləliklə, biz Teorem 2-nin şərtini yerinə yetirmədik, bu da kökün itirilməsinə səbəb oldu.
Bu tənliyin köklər çoxluğunun iki 0 və 3 rəqəmindən ibarət olduğuna əmin olmaq üçün başqa bir həll təqdim edirik. 2 ifadəsini hərəkət etdirək X sağdan sola: x(x- 1) - 2x = 0. Onu tənliyin sol tərəfindəki mötərizədə çıxaraq X və oxşar şərtləri verin: x(x - 3) = 0. İki amilin hasili sıfıra bərabərdir, o halda ki, onlardan ən azı biri sıfıra bərabərdir, Ona görə x= 0 və ya X- 3 = 0. Buradan görərik ki, bu tənliyin kökləri 0 və 3-dür.
Riyaziyyatın başlanğıc kursunda nəzəri əsas tənliklərin həlli hərəkətlərin komponentləri və nəticələri arasındakı əlaqədir. Məsələn, tənliyin həlli ( X·9):24 = 3 aşağıdakı kimi əsaslandırılır. Naməlum dividenddə olduğu üçün dividend tapmaq üçün bölücünü əmsalla vurmaq lazımdır: X·9 = 24·3, yaxud X·9 = 72.
Naməlum amili tapmaq üçün məhsulu məlum faktora bölmək lazımdır: x = 72:9 və ya x = 8, buna görə də bu tənliyin kökü 8 rəqəmidir.
Məşqlər
1 . Aşağıdakı qeydlərdən hansının bir dəyişəndə tənlik olduğunu müəyyənləşdirin:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3)·5 = 12; d) ( X-3)· y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Tənlik 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 setdə müəyyən edilmişdir natural ədədlər. Nə üçün 1 rəqəminin bu tənliyin kökü olduğunu, lakin 2 və -1 rəqəmlərinin onun kökləri olmadığını izah edin.
3. tənlikdə ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 bir ədəd silinir və nöqtələrlə əvəz olunur. Bu tənliyin kökünün 2 rəqəmi olduğunu bilirsinizsə, silinmiş ədədi tapın.
4. Aşağıdakı şərtləri tərtib edin:
a) 5 rəqəmi tənliyin köküdür f(x) = g(x);
b) 7 rəqəmi tənliyin kökü deyil f(x) = g(x).
5. Aşağıdakı cüt tənliklərdən hansının həqiqi ədədlər çoxluğuna ekvivalent olduğunu müəyyən edin:
a) 3 + 7 X= -4 və 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 və 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 və l X + 2 = 0.
6. Tənliyin ekvivalentlik əlaqəsinin xassələrini tərtib edin. Onlardan hansı tənliyin həlli prosesində istifadə olunur?
7. Tənlikləri həll edin (hamısı həqiqi ədədlər çoxluğunda verilmişdir) və onların sadələşdirilməsi prosesində aparılan bütün çevrilmələri əsaslandırın:
a)(7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
c)(2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Tələbə həll etdiyi tənlik 5 X + 15 = 3 X+ 9 aşağıdakı kimi: Sol tərəfdəki mötərizədə 5 rəqəmini, sağdakı 3 rəqəmini çıxardım və tənliyi əldə etdim. 5(x+ 3) = 3(X+ 3) və sonra hər iki tərəfi ifadəyə bölün X+ 3. 5 = 3 bərabərliyini aldım və bu tənliyin kökünün olmadığı qənaətinə gəldim. Tələbə düzdür?
9. 2/(2-) tənliyini həll edin x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. 2 rəqəmi bu tənliyin köküdürmü?
10. Komponentlər və hərəkətlərin nəticələri arasındakı əlaqədən istifadə edərək tənlikləri həll edin:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Arifmetik və cəbr üsullarından istifadə edərək məsələləri həll edin:
a) Birinci rəfdə ikincidən 16 çox kitab var. Hər rəfdən 3 kitab çıxarsanız, birinci rəfdə ikinci rəfdən bir yarım dəfə çox kitab olacaq. Hər rəfdə neçə kitab var?
b) Velosipedçi düşərgə yerindən stansiyaya qədər 26 km-ə bərabər olan bütün məsafəni 1 saat 10 dəqiqəyə qət etdi. Bu zamanın ilk 40 dəqiqəsində o, bir sürətlə, qalan vaxtda isə 3 km/saat az sürətlə hərəkət edib. Velosipedçinin səyahətin birinci hissəsində sürətini tapın.
Bölmə 2. Düsturların məntiqi ekvivalentliyi. Təklif cəbr düsturları üçün normal formalar
Ekvivalentlik əlaqəsi
Həqiqət cədvəllərindən istifadə edərək, girişin hansı həqiqət dəyərlərinin dəstlərini təyin edə bilərsiniz dəyişənlər düsturu hansı düsturların tavtologiya və ya ziddiyyət olacağı doğru və ya yanlış məna (eləcə də müvafiq məntiqi quruluşa malik ifadə) alacaq, həmçinin verilmiş iki formulun ekvivalent.
Məntiqdə iki cümlənin hər ikisi doğru və ya yalan olduqda ekvivalent deyilir. Bu ifadədəki “eyni zamanda” sözü birmənalı deyil. Beləliklə, “Sabah çərşənbə axşamı olacaq” və “Dünən bazar günü idi” cümlələri üçün bu söz hərfi məna daşıyır: bazar ertəsi hər ikisi doğrudur, həftənin qalan günlərində isə hər ikisi yanlışdır. tənliklər üçün " x = 2"Və" 2x = 4"" eyni zamanda "dəyişənlərin eyni dəyərlərində" deməkdir. “Sabah yağış yağacaq” və “Sabah yağış yağmayacağı doğru deyil” proqnozları eyni vaxtda təsdiqlənəcək (doğru çıxacaq) və ya təsdiqlənməyəcək (yalan çıxacaq). Əslində, bu, düsturlarla təmsil oluna bilən iki fərqli formada ifadə edilən eyni proqnozdur. X Və . Bu düsturlar həm doğru, həm də yanlışdır. Yoxlamaq üçün həqiqət cədvəli yaratmaq kifayətdir:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Birinci və son sütunlarda həqiqət dəyərlərinin üst-üstə düşdüyünü görürük. Belə düsturları, eləcə də uyğun cümlələri ekvivalent hesab etmək təbiidir.
F 1 və F 2 düsturlarının ekvivalenti tavtologiyadırsa, onların ekvivalent olduğu deyilir.
İki düsturun ekvivalentliyi aşağıdakı kimi yazılır: (oxu: düstur F 1 formuluna bərabərdir F 2).
Düsturların ekvivalent olub-olmadığını yoxlamağın üç yolu var: 1) onların ekvivalentini yaradın və onun tavtologiya olub-olmadığını yoxlamaq üçün həqiqət cədvəlindən istifadə edin; 2) hər bir düstur üçün həqiqət cədvəli yaradın və yekun nəticələri müqayisə edin; nəticədə çıxan sütunlarda dəyişən dəyərlərinin eyni dəstləri ilə hər iki formulun həqiqət dəyərləri bərabərdir, onda düsturlar ekvivalentdir; 3) ekvivalent çevrilmələrdən istifadə etməklə.
Misal 2.1: Düsturların ekvivalent olub-olmadığını tapın: 1) , ; 2) , .
1) Ekvivalentliyi təyin etmək üçün birinci üsuldan istifadə edək, yəni düsturların ekvivalentliyinin də tavtologiya olub-olmadığını öyrənəcəyik.
Ekvivalent düstur yaradaq: . Nəticə düstur iki fərqli dəyişəndən ibarətdir ( A Və IN) və 6 əməliyyat: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Bu o deməkdir ki, müvafiq həqiqət cədvəlində 5 sətir və 8 sütun olacaq:
| A | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Həqiqət cədvəlinin yekun sütunundan aydın olur ki, qurulmuş ekvivalentlik tavtologiyadır və buna görə də .
2) Düsturların ekvivalent olub-olmadığını öyrənmək üçün ikinci üsuldan istifadə edirik, yəni düsturların hər biri üçün həqiqət cədvəli tərtib edirik və nəticədə alınan sütunları müqayisə edirik. ( Şərh. İkinci üsuldan səmərəli istifadə etmək üçün bütün tərtib edilmiş həqiqət cədvəllərinin eyni başlaması lazımdır, yəni uyğun sətirlərdə dəyişən dəyər dəstləri eyni idi .)
Düsturda iki müxtəlif dəyişən və 2 əməliyyat var, yəni müvafiq həqiqət cədvəlində 5 sətir və 4 sütun var:
| A | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Düsturda iki müxtəlif dəyişən və 3 əməliyyat var, yəni müvafiq həqiqət cədvəlində 5 sətir və 5 sütun var:
| A | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Tərtib edilmiş həqiqət cədvəllərinin nəticə sütunlarını müqayisə etsək (cədvəllər eyni başladığı üçün dəyişən qiymətlər toplusuna diqqət yetirə bilmirik) onların uyğun gəlmədiyini və buna görə də düsturların ekvivalent olmadığını görürük ().
İfadə düstur deyil (çünki " " simvolu heç bir məntiqi əməliyyata aid deyil). ifadə edir münasibət düsturlar arasında (həmçinin ədədlər arasında bərabərlik, xətlər arasında paralellik və s.).
Ekvivalentlik əlaqəsinin xassələri haqqında teorem etibarlıdır:
Teorem 2.1. Təklif cəbri düsturları arasında ekvivalentlik əlaqəsi:
1) refleksiv olaraq: ;
2) simmetrik olaraq: əgər , onda ;
3) keçidli: əgər və , onda .
Məntiq qanunları
Təklif məntiqi düsturlarının ekvivalentləri çox vaxt adlanır məntiq qanunları. Onlardan ən vaciblərini sadalayırıq:
1. – şəxsiyyət qanunu.
2. – xaric edilmiş orta qanunu
3. – ziddiyyət qanunu
4. – sıfırla disjunksiya
5. – sıfırla birləşmə
6. – vəhdətdən ayrılıq
7. – biri ilə birləşmə
8. – ikiqat inkar qanunu
9. – bağlayıcının kommutativliyi
10. – disjunksiyanın kommutativliyi
11. – birləşmənin assosiativliyi
12. – disyunksiyanın assosiativliyi
13. – bağlayıcının paylanması
14. – disjunksiyanın paylanması
15. – səlahiyyət qanunları
16. 
; 
- absorbsiya qanunları
17. 
; 
- de Morqan qanunları
18. 
– disjunksiya vasitəsilə implikasiyanı ifadə edən qanun
19. 
- ziddiyyət qanunu
20. – ekvivalentliyi digər məntiqi əməliyyatlar vasitəsilə ifadə edən qanunlar
Məntiq qanunları mürəkkəb düsturları sadələşdirmək və düsturların eyni həqiqəti və ya yanlışlığını sübut etmək üçün istifadə olunur.
Ekvivalent çevrilmələr. Düsturların sadələşdirilməsi
Əgər hər yerdə eyni düstur bəzi dəyişən əvəzinə ekvivalent düsturlara çevrilirsə, onda yeni alınan düsturlar da əvəzetmə qaydasına uyğun olaraq ekvivalent olacaq. Beləliklə, hər bir ekvivalentdən istənilən qədər yeni ekvivalentlik əldə etmək olar.
Misal 1:Əvəzində De Morqan qanununda olarsa Xəvəz və yerinə Yəvəz etdikdə yeni ekvivalentlik əldə edirik. Yaranan ekvivalentliyin etibarlılığı həqiqət cədvəlindən istifadə etməklə asanlıqla yoxlanıla bilər.
Düsturun bir hissəsi olan hər hansı bir düstur varsa F, düstura ekvivalent düsturla əvəz etsəniz, nəticədə düstur düstura ekvivalent olacaq F.
Sonra 2-ci nümunədəki düstur üçün aşağıdakı əvəzetmələr edilə bilər:
– ikiqat inkar qanunu;
- De Morqan qanunu;
– ikiqat inkar qanunu;
– assosiativlik qanunu;
- İdepotentlik qanunu.
Ekvivalentlik münasibətinin keçid xassəsinə görə bunu deyə bilərik 
.
Bir formulun ona ekvivalent olan digəri ilə əvəz edilməsi deyilir ekvivalent çevrilmə düsturlar.
Altında sadələşdirmə Tərkibində implikasiya və ekvivalentlik işarələri olmayan düsturlar qeyri-elementar düsturların inkarlarını (xüsusən də ikiqat neqativlər) ehtiva etməyən və ya ümumilikdə daha az sayda birləşmə və ayırma işarələrini ehtiva edən düstura aparan ekvivalent çevrilmə başa düşülür. orijinal biri.
Misal 2.2: Düsturu sadələşdirək 
.
İlk addımda biz implikasiyanı diszunksiyaya çevirən qanunu tətbiq etdik. İkinci mərhələdə biz kommutativ qanunu tətbiq etdik. Üçüncü addımda biz səlahiyyət hüququnu tətbiq etdik. Dördüncüsü De Morqanın qanunudur. Beşincisi isə ikiqat inkar qanunudur.
Qeyd 1. Müəyyən bir düstur tavtologiyadırsa, ona ekvivalent olan hər hansı bir düstur da tavtologiyadır.
Beləliklə, müəyyən düsturların eyni həqiqətini sübut etmək üçün ekvivalent çevrilmələrdən də istifadə edilə bilər. Bunun üçün bu formula tavtologiya olan düsturlardan birinə ekvivalent çevrilmələr aparmaq lazımdır.
Qeyd 2. Bəzi tavtologiyalar və ekvivalentlər cüt-cüt birləşir (ziddiyyət qanunu və alternativ, kommutativ, assosiativ qanunlar qanunu və s.). Bu yazışmalar deyilənləri ortaya qoyur ikilik prinsipi .
Tərkibində implikasiya və ekvivalentlik işarələri olmayan iki düstur deyilir ikili , əgər onların hər biri işarələri müvafiq olaraq digərindən almaq olarsa.
İkilik prinsipi aşağıdakıları ifadə edir:
Teorem 2.2: Tərkibində implikasiya və ekvivalentlik işarələri olmayan iki düstur ekvivalentdirsə, onlara ikili düsturlar da ekvivalentdir.
Normal formalar
Normal forma verilmiş funksiyanı həyata keçirən düsturun sintaktik birmənalı yazılması üsuludur.
Məlum məntiq qanunlarından istifadə edərək istənilən formul formanın ekvivalent formuluna çevrilə bilər 
, burada və hər biri ya dəyişəndir, ya dəyişənin inkarıdır, ya da dəyişənlərin birləşməsidir və ya onların inkarıdır. Başqa sözlə, hər hansı bir düstur sadə standart formanın ekvivalent düsturuna endirilə bilər ki, bu da elementlərin diszunksiyası olacaq, hər biri ayrı-ayrı müxtəlif məntiqi dəyişənlərin ya inkar işarəsi olan və ya olmayan birləşməsidir.
Misal 2.3: Böyük düsturlarda və ya çoxsaylı çevrilmələr zamanı birləşmə işarəsini buraxmaq adətdir (vurma işarəsi ilə analogiyaya görə): . Görürük ki, aparılan çevrilmələrdən sonra düstur üç bağlayıcının diszyunkiyasıdır.
Bu forma deyilir disjunktiv normal forma (DNF). Fərdi DNF elementi adlanır elementar birləşmə və ya vahidin tərkib hissəsidir.
Eynilə, hər hansı bir düstur elementlərin birləşməsi olacaq, hər biri inkar işarəsi olan və ya olmayan məntiqi dəyişənlərin disjunksiyasından ibarət olan ekvivalent düstura endirilə bilər. Yəni, hər bir formul formanın ekvivalent formuluna endirilə bilər 
, burada və hər biri ya dəyişəndir, ya dəyişənin inkarıdır, ya da dəyişənlərin disjunksiyasıdır və ya onların inkarıdır. Bu forma deyilir konyunktiv normal forma
(KNF).
Misal 2.4:
CNF-nin ayrı bir elementi adlanır elementar disjunksiya və ya sıfırın tərkib hissəsi.
Aydındır ki, hər bir düsturda sonsuz sayda DNF və CNF var.
Misal 2.5: Düstur üçün bir neçə DNF tapaq 
.
Mükəmməl normal formalar
SDNF (mükəmməl DNF) hər bir elementar birləşmənin bütün elementar ifadələri ehtiva etdiyi və ya onların inkarlarının bir dəfə təkrarlanmadığı bir DNF-dir;
SKNF (mükəmməl CNF) hər elementar disjunksiyanın bütün elementar ifadələri ehtiva etdiyi və ya onların inkarlarının bir dəfə təkrarlanmadığı bir CNF-dir;
Misal 2.6: 1) – SDNF
2) 1 - SKNF
Gəlin formalaşdıraq xarakterik xüsusiyyətlər SDNF (SKNF).
1) Dizyunkiyanın (bağlamanın) bütün üzvləri müxtəlifdir;
2) Hər bir bağlayıcının (dizyunkiyanın) bütün üzvləri müxtəlifdir;
3) Heç bir bağlayıcı (dizyunksiya) həm dəyişəni, həm də onun inkarını ehtiva edir;
4) Hər bir bağlayıcı (dizyunksiya) orijinal düstura daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
Gördüyümüz kimi, xarakterik xüsusiyyətlər (lakin formalar deyil!) ikililiyin tərifini qane edir, ona görə də hər ikisini əldə etməyi öyrənmək üçün bir formanı başa düşmək kifayətdir.
Ekvivalent çevrilmələrdən istifadə edərək DNF-dən (CNF) asanlıqla SDNF (SKNF) əldə etmək olar. Mükəmməl normal formaların alınması qaydaları da ikili olduğundan, biz SDNF-nin əldə edilməsi qaydasını ətraflı təhlil edəcəyik və ikililiyin tərifindən istifadə edərək SCNF-nin alınması qaydasını özünüz formalaşdıracağıq.
Ümumi qayda düsturun ekvivalent çevrilmələrdən istifadə edərək SDNF-yə gətirilməsi:
Formulu vermək üçün F SDNF-ə eyni dərəcədə yanlış olmayan, kifayətdir:
1) onu bir növ DNF-ə aparın;
2) dəyişəni ehtiva edən disyunksiyanın şərtlərini onun inkarı ilə birlikdə çıxarın (əgər varsa);
3) disjunksiyanın eyni şərtlərindən biri istisna olmaqla, hamısını çıxarın (əgər varsa);
4) hər bir bağlayıcının eyni üzvlərindən (əgər varsa) birindən başqa hamısını çıxarın;
5) hər hansı bağlayıcıda ilkin düstura daxil olan dəyişənlər arasında dəyişən yoxdursa, bu bağlayıcıya termin əlavə edin və müvafiq paylayıcı qanunu tətbiq edin;
6) ortaya çıxan disjunksiya eyni terminləri ehtiva edirsə, resept 3-dən istifadə edin.
Nəticə düstur bu formulun SDNF-sidir.
Misal 2.7: Düstur üçün SDNF və SCNF tapaq 
.
Bu düstur üçün DNF artıq tapıldığından (bax. Nümunə 2.5), biz SDNF əldə etməklə başlayacağıq:
2) yaranan disjunksiyada onların inkarları ilə yanaşı dəyişənlər də yoxdur;
3) disjunksiyada eyni üzvlər yoxdur;
4) heç bir bağlayıcıda eyni dəyişənlər yoxdur;
5) birinci elementar birləşmədə ilkin düstura daxil olan bütün dəyişənlər var, ikinci elementar birləşmədə isə dəyişən yoxdur z, ona görə də ona üzv əlavə edək və paylama qanununu tətbiq edək: ;
6) eyni terminlərin disjunksiyada meydana gəldiyini görmək asandır, ona görə də birini çıxarırıq (resept 3);
3) eyni disjunksiyalardan birini çıxarın: 
;
4) qalan diszyunksiyalar eyni terminlərə malik deyildir;
5) elementar disjunksiyaların heç biri ilkin düstura daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva etmir, ona görə də onların hər birini bağlayıcı ilə tamamlayaq: ;
6) nəticələnən bağlayıcıda eyni disyunksiyalar yoxdur, ona görə də tapılan bağlayıcı forma mükəmməldir.
Ümumilikdə SKNF və SDNF düsturları olduğundan F 8 üzv, sonra çox güman ki, düzgün tapıldı.
Hər bir mümkün (saxtalana bilən) düsturun bir unikal SDNF və bir unikal SCNF var. Tavtologiyanın SKNF-si yoxdur, lakin ziddiyyətin SKNF-si yoxdur.
Tərif.İki məntiq cəbr düsturları A və B adlanırlar ekvivalent, elementar ifadələrin düsturlarına daxil edilmiş hər hansı bir dəyər toplusunda eyni məntiqi dəyərləri qəbul edərsə.
Düsturların ekvivalentliyini işarə ilə və qeyd ilə işarə edəcəyik A IN düsturlar deməkdir A və B ekvivalentdirlər.
Məsələn, düsturlar ekvivalentdir:
Formula A adlanır eyni dərəcədə doğrudur (və ya tavtologiya), əgər ona daxil olan dəyişənlərin bütün qiymətləri üçün 1 qiymətini alırsa.
Məsələn, düsturlar da doğrudur , .
Formula Açağırdı eyni yalan, ona daxil olan dəyişənlərin bütün qiymətləri üçün 0 qiymətini qəbul edərsə.
Məsələn, düstur eyni dərəcədə yanlışdır.
Aydındır ki, ekvivalentlik əlaqəsi refleksiv, simmetrik və keçidlidir.
Ekvivalentlik və ekvivalentlik anlayışları arasında aşağıdakı əlaqə mövcuddur: əgər düsturlar A Və IN ekvivalentdir, sonra düstur A IN- tavtologiya və əksinə, əgər düstur A IN- tavtologiya, sonra düsturlar A Və IN ekvivalentdirlər.
Məntiq cəbrinin ən mühüm ekvivalentlərini üç qrupa bölmək olar.
1. Əsas ekvivalentlər:
Absorbsiya qanunlarından birini sübut edək. Formulu nəzərdən keçirin . Bu düsturda olarsa A= 1 sonra, açıq-aydın və sonra iki doğru ifadənin birləşməsi kimi. İndi formulda edək A x = 0. Amma onda qoşma əməlinin tərifinə görə bağlayıcı da yalançı olacaq . Beləliklə, bütün hallarda düsturun dəyərləri A dəyərlərə uyğundur A, və buna görə də A x.
2. Bəzi məntiqi əməliyyatları digərləri vasitəsilə ifadə edən ekvivalentlər:
Aydındır ki, sonuncunun hər iki hissəsindən inkarlar götürsək və ikiqat inkarların aradan qaldırılması qanunundan istifadə etsək, müvafiq olaraq 3 və 4-cü ekvivalentlərdən 5 və 6-cı ekvivalentlər alınır. Beləliklə, ilk dörd ekvivalentin sübuta ehtiyacı var. Onlardan ikisini sübut edək: birinci və üçüncü.
Eyni məntiqi dəyərlərlə X Və saat, , , düsturları doğrudursa, bağlayıcı da doğru olacaqdır 
.
Buna görə də, bu halda ekvivalentliyin hər iki tərəfi eyni həqiqi qiymətlərə malikdir.
Qoy indi X Və saat müxtəlif məntiqi dəyərlərə malikdir. O zaman ekvivalentlik və ya iki təsirdən biri yanlış olacaq. Eyni zamanda
birləşmə yalan olacaq . Beləliklə, bu halda ekvivalentliyin hər iki tərəfi eyni məntiqi məna daşıyır.
Ekvivalentliyi nəzərə alın 3. Əgər X Və saat eyni zamanda həqiqi dəyərləri qəbul edin, onda birləşmə doğru olacaq x&y və birləşmənin yanlış inkarı. Eyni zamanda və və yalan olacaq və buna görə də disjunksiya da yalan olacaq .
İndi dəyişənlərdən ən azı birini edək X və ya saat yalan kimi qiymətləndirir. Sonra birləşmə yalan olacaq x&y və onun həqiqi inkarı. Eyni zamanda, dəyişənlərdən ən azı birinin inkarı doğru olacaq və buna görə də disjunksiya da doğru olacaq. .
Buna görə də bütün hallarda 3-cü ekvivalentliyin hər iki tərəfi eyni məntiqi qiymətləri qəbul edir.
2 və 4-cü ekvivalentlər oxşar şəkildə sübut olunur.
Bu qrupun ekvivalentlərindən belə çıxır ki, məntiq cəbrində hər hansı bir düstur yalnız iki məntiqi əməliyyatdan ibarət ekvivalent düsturla əvəz edilə bilər: birləşmə və inkar və ya diszyunksiya və inkar.
Məntiqi əməliyyatların daha da aradan qaldırılması mümkün deyil. Deməli, yalnız bağlayıcıdan istifadə etsək, inkar kimi bir düstur X birləşmə operatorundan istifadə etməklə ifadə edilə bilməz.
Bununla belə, istifadə etdiyimiz beş məntiqi əməliyyatdan hər hansı birinin ifadə oluna biləcəyi əməliyyatlar var. Belə bir əməliyyat, məsələn, "Şefferin vuruşu" əməliyyatıdır. Bu əməliyyat simvolu ilə göstərilir x|y və aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilir:
| x | y | x|y |
Aydındır ki, ekvivalentlər var:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Bu iki ekvivalentlikdən belə nəticə çıxır ki, məntiq cəbrində hər hansı bir düstur yalnız “Schaeffer vuruşu” əməliyyatını ehtiva edən ekvivalent düsturla əvəz edilə bilər.
Qeyd edək ki.
Əməliyyat eyni şəkildə daxil edilə bilər 
.
3. Məntiq cəbrinin əsas qanunlarını ifadə edən ekvivalentlər:
1. x&y y&x - birləşmənin kommutativliyi.
2. x saat y X- disjunksiyanın kommutativliyi.
3. x&(y&y) (x&y)&z- birləşmənin assosiativliyi.
4. X(y z ) (X y) z disyunksiyanın assosiativliyidir.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- bağlayıcının diszyunsiyaya nisbətən paylanması.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) - bağlayıcıya nisbətən diszyunksiyanın paylanması.
Sadalanan qanunların sonuncusunu sübut edək. Əgər X= 1, onda düsturlar doğru olacaq X (y& z), X y, x z . Ancaq sonra birləşmə də doğru olacaq (X y)& (x z ). Beləliklə, nə vaxt X= 1, 6 ekvivalentinin hər iki tərəfi eyni məntiqi dəyərləri alır (doğru).
Qoy indi x = 0. Sonra X (y&z) y&z,x saat saat Və x z z , və buna görə də birləşmə X (y&z) y&z. Buna görə də, burada 6 ekvivalentinin hər iki tərəfi eyni düstura ekvivalentdir y&z, və buna görə də eyni məntiqi dəyərləri götürün.
§ 5. Düsturların ekvivalent çevrilmələri
I, II və III qrupların ekvivalentlərindən istifadə edərək, düsturun bir hissəsini və ya düsturu ekvivalent düsturla əvəz edə bilərsiniz. Düsturların belə çevrilmələri adlanır ekvivalent.
Ekvivalent çevrilmələr ekvivalentləri sübut etmək, düsturları verilmiş formaya gətirmək, düsturları sadələşdirmək üçün istifadə olunur.
Formula A onun ekvivalent düsturundan daha sadə hesab edilir IN, daha az hərfdən ibarətdirsə, daha az məntiqi əməliyyatlar. Bu zaman ekvivalentlik və implikasiya əməlləri adətən disyunksiya və konyunksiya əməliyyatları ilə əvəz olunur və inkar elementar ifadələr kimi təsnif edilir. Bir sıra nümunələrə baxaq.
1. Ekvivalentliyi sübut edin 
.
I, II və III qrupların ekvivalentlərindən istifadə etməklə
2.
Formulu sadələşdirin 
.
Ekvivalent düsturlar zəncirini yazaq:
3. Düsturun eyni həqiqətini sübut edin
Ekvivalent düsturlar zəncirini yazaq:
Boolean cəbri
III qrupun ekvivalentləri göstərir ki, məntiq cəbrinin birləşmə və diszyunksiya əməlləri ilə bağlı kommutativ və assosiativ qanunları və diszyunksiya ilə bağlı bölüşdürmə qanunu var, eyni qanunlar ədədlər cəbrində də tətbiq olunur; Odur ki, ədədlər cəbrində həyata keçirilən məntiq cəbrinin düsturları üzərində də eyni çevrilmələr aparıla bilər (mötərizənin açılması, mötərizənin içərisinə salınması, mötərizədən ortaq amilin çıxarılması).
Ancaq məntiq cəbrində ekvivalentlərin istifadəsinə əsaslanan başqa çevrilmələr də mümkündür:
Bu xüsusiyyət bizə geniş ümumiləşdirmələrə gəlməyə imkan verir.
Boş olmayan dəsti nəzərdən keçirək M hər hansı bir təbiət elementləri ( x,y,z,...} , burada “=” (bərabər) əlaqəsi və üç əməliyyat müəyyən edilir: “+” (əlavə), “ ” (vurma) və “-” (inkar), aşağıdakı aksiomalara tabedir:
Kommutativ qanunlar:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Birliyin qanunları:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (y z) = (x y) z.
Dağıtım qanunları:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
İdepotensiyanın qanunları:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
İkiqat inkar qanunu:
De Morqanın qanunları:
6a. , 6b . .
Absorbsiya qanunları:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
Bu qədər çox Mçağırdı Boolean cəbri.
Əsas elementlərin altındadırsa x, y, z, ...Əgər müvafiq olaraq “+”, “ ”, “-” disyunksiya, birləşmə, inkar əməliyyatları ilə ifadələri nəzərdə tuturuqsa və bərabər işarəsi ekvivalentlik əlaməti hesab edilirsə, onda I, II və III qrupların ekvivalentlərindən aşağıdakı kimi olur. , Boole cəbrinin bütün aksiomları təmin edilir.
Müəyyən bir aksioma sistemi üçün bütün aksiomların təmin edilməsi üçün xüsusi obyektləri və onlar arasında xüsusi əlaqələri seçmək mümkün olduqda, bunun tapıldığını söyləyirlər. təfsir(və ya modeli) bu aksiomlar sisteminin.
Bu o deməkdir ki, məntiq cəbri Boolean cəbrinin təfsiridir. Boole cəbrinin başqa şərhləri var. Məsələn, əsas elementlərin altındadırsa x, y, z, ... dəstləri Mçoxluqları “+”, “ ”, “-” birləşmə, kəsişmə, toplama əməliyyatları ilə müvafiq olaraq, bərabər işarəsi ilə isə çoxluqların bərabər işarəsini nəzərdə tuturuq, onda çoxluq cəbrinə gəlirik. Çoxluq cəbrində Boole cəbrinin bütün aksiomlarının təmin olunduğunu yoxlamaq çətin deyil.
Boolean cəbrinin müxtəlif şərhləri arasında texniki xarakterli şərhlər var. Onlardan biri aşağıda müzakirə olunacaq. Göstəriləcəyi kimi, müasir avtomatlaşdırmada mühüm rol oynayır.
Məntiq cəbr funksiyaları
Artıq qeyd edildiyi kimi, məntiqi cəbr düsturunun mənası tamamilə bu düstura daxil olan ifadələrin mənalarından asılıdır. Buna görə də məntiq cəbrinin düsturu ona daxil olan elementar müddəaların funksiyasıdır.
Məsələn, düstur bir funksiyadır
üç dəyişən f(x,y,z). Bu funksiyanın özəlliyi ondan ibarətdir ki, onun arqumentləri iki qiymətdən birini qəbul edir: sıfır və ya bir və eyni zamanda funksiya həm də iki qiymətdən birini qəbul edir: sıfır və ya bir.
Tərif. Məntiq cəbr funksiyası hektar dəyişənlər (və ya Boolean funksiyası) ha dəyişənlərinin funksiyası adlanır, burada hər dəyişən iki qiymət alır: 0 və 1, funksiya isə yalnız iki qiymətdən birini qəbul edə bilər: 0 və ya 1.
Aydındır ki, məntiq cəbrinin eyni dərəcədə doğru və eyni dərəcədə yalan düsturları daimi funksiyalar, və iki ekvivalent düstur eyni funksiyanı ifadə edir.
n dəyişənin funksiyalarının sayının neçə olduğunu öyrənək. Aydındır ki, məntiq cəbrinin hər bir funksiyası (eləcə də məntiq cəbrinin düsturu) 2n sətirdən ibarət olan həqiqət cədvəlindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Beləliklə, n dəyişənin hər bir funksiyası sıfırdan və birdən ibarət 2 n dəyər alır. Beləliklə, n dəyişənin funksiyası tam olaraq sıfırlar və uzunluğu 2 n olan birlər dəsti ilə müəyyən edilir (Sıfırların və uzunluğu 2 n olan birlərin dəstlərinin ümumi sayı bərabərdir. Bu o deməkdir ki, məntiq cəbrinin müxtəlif funksiyaları n dəyişənlər bərabərdir.
Xüsusilə, bir dəyişənin dörd fərqli funksiyası və iki dəyişənin on altı fərqli funksiyası var. Məntiq cəbrinin bütün funksiyalarını bir yerdə yazaq Və iki dəyişən.
Bir dəyişənin müxtəlif funksiyaları üçün həqiqət cədvəlini nəzərdən keçirək. Aydındır ki, belə görünür:
| x | f 1 (x) | f2(x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Bu cədvəldən belə çıxır ki, bir dəyişənin iki funksiyası sabit olacaq: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, a f2(x) X, Və f 3 (x) .
İki dəyişənin bütün mümkün funksiyaları üçün həqiqət cədvəli formaya malikdir:
f i = f i (x,y)
| x | y | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Aydındır ki, bu funksiyaların analitik ifadələrini aşağıdakı kimi yazmaq olar.
Həll olunan tənlikdən sözdə olana keçməyə imkan verir ekvivalent tənliklər Və nəticə tənlikləri, həllərindən ilkin tənliyin həllini təyin etmək mümkün olan. Bu yazıda hansı tənliklərin ekvivalent, hansının nəticə tənlik adlandığını ətraflı təhlil edəcəyik, onlara müvafiq təriflər verəcək, izahlı misallar verəcək və ekvivalent tənliyin və nəticə tənliyinin məlum köklərindən istifadə edərək tənliyin köklərinin necə tapılacağını izah edəcəyik. .
Ekvivalent tənliklər, tərif, nümunələr
Bir tərif verək ekvivalent tənliklər.
Tərif
Ekvivalent tənliklər- bunlar eyni köklü və ya kökü olmayan tənliklərdir.
Mənaca eyni, lakin ifadə baxımından bir qədər fərqli olan təriflər müxtəlif riyaziyyat dərsliklərində verilir, məsələn,
Tərif
f(x)=g(x) və r(x)=s(x) iki tənlik çağırılır ekvivalent, əgər onların eyni kökləri varsa (və ya xüsusən də hər iki tənliyin kökləri yoxdursa).
Tərif
Eyni kökləri olan tənliklər adlanır ekvivalent tənliklər. Kökləri olmayan tənliklər də ekvivalent sayılır.
Eyni köklər dedikdə, aşağıdakılar nəzərdə tutulur: əgər hansısa ədəd ekvivalent tənliklərdən birinin köküdürsə, o da bu tənliklərdən hər hansı digərinin köküdür və ekvivalent tənliklərdən heç birinin kökü olmayan kök ola bilməz. bu tənliklərdən hər hansı birinin kökü.
Ekvivalent tənliklərə misallar verək. Məsələn, 4 x = 8, 2 x = 4 və x = 2 olan üç tənlik ekvivalentdir. Həqiqətən, onların hər birinin tək kök 2 var, ona görə də tərifinə görə ekvivalentdirlər. Başqa bir misal: iki x·0=0 və 2+x=x+2 tənliyi ekvivalentdir, onların həll çoxluqları üst-üstə düşür: həm birincinin, həm də ikincinin kökü istənilən ədəddir. İki x=x+5 və x 4 =−1 tənlikləri də ekvivalent tənliklərə misaldır, onların hər ikisinin real həlli yoxdur;
Şəkili tamamlamaq üçün qeyri-bərabər tənliklərə nümunələr verməyə dəyər. Məsələn, x=2 və x 2 =4 tənlikləri ekvivalent deyil, çünki ikinci tənliyin birinci tənliyin kökü olmayan −2 kökü var. Tənliklər və eyni zamanda ekvivalent deyillər, çünki ikinci tənliyin kökləri istənilən ədəddir və sıfır rəqəmi birinci tənliyin kökü deyil.
Ekvivalent tənliklərin tərifi həm bir dəyişənli tənliklərə, həm də tənliklərə aiddir. böyük rəqəm dəyişənlər. Bununla belə, iki, üç və s olan tənliklər üçün. dəyişənlər üçün tərifdəki “köklər” sözü “həlllər” sözü ilə əvəz edilməlidir. Belə ki,
Tərif
Ekvivalent tənliklər- bunlar eyni həlli olan və ya olmayan tənliklərdir.
Bir neçə dəyişəni olan ekvivalent tənliklərə misal göstərək. x 2 +y 2 +z 2 =0 və 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - burada üç dəyişənli x, y və z olan ekvivalent tənliklərə nümunə verilmişdir, onların hər ikisinin unikal həlli var (0, 0) , 0). Lakin iki dəyişənli x+y=5 və x·y=1 olan tənliklər ekvivalent deyil, çünki məsələn, x=2, y=3 cütü birinci tənliyin həllidir (bu dəyərləri əvəz edərkən birinci tənliyə doğru 2+3=5 bərabərliyini alırıq, lakin ikincinin həlli deyil (bu dəyərləri ikinci tənliyə əvəz etdikdə 2·3=1 səhv bərabərliyini alırıq).
Nəticə tənlikləri
Məktəb dərsliklərindən nəticə tənliklərinin tərifləri bunlardır:
Tərif
Əgər f(x)=g(x) tənliyinin hər bir kökü eyni zamanda p(x)=h(x) tənliyinin köküdürsə, onda p(x)=h(x) tənliyi adlanır. nəticəsi tənliklər f(x)=g(x) .
Tərif
Birinci tənliyin bütün kökləri ikinci tənliyin kökləridirsə, ikinci tənliyin kökləri adlanır. nəticəsi birinci tənlik.
Nəticə tənliklərə bir neçə misal verək. x 2 =3 2 tənliyi x−3=0 tənliyinin nəticəsidir. Həqiqətən də, ikinci tənliyin tək kökü x=3, bu kök də x 2 =3 2 tənliyinin köküdür, ona görə də tərifinə görə x 2 =3 2 tənliyi x−3= tənliyinin nəticəsidir. 0. Başqa bir misal: (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 tənliyi tənliyin nəticəsidir. 
, çünki ikinci tənliyin bütün kökləri (onlardan ikisi var, bunlar 2 və 3-dür) birinci tənliyin kökləri olduğu aydındır.
Nəticə tənliyin tərifindən belə çıxır ki, tamamilə hər hansı bir tənlik heç bir kökü olmayan hər hansı bir tənliyin nəticəsidir.
Ekvivalent tənliklərin tərifindən və nəticə tənliyinin tərifindən bir neçə açıq-aydın nəticələrə istinad etməyə dəyər:
- Əgər iki tənlik ekvivalentdirsə, onda onların hər biri digərinin nəticəsidir.
- Əgər iki tənliyin hər biri digərinin nəticəsidirsə, bu tənliklər ekvivalentdir.
- İki tənlik yalnız və yalnız hər biri digərinin nəticəsi olduqda ekvivalentdir.
1. İki bərabər oyunçu heç-heçə olmayan oyunu oynayır. Birinci oyunçunun qalib gəlmə ehtimalı nədir: a) iki oyundan bir oyun? b) dörddən ikisi? c) altıdan üçü?
Cavab: A) ; b) ; V)
3. Seqment AB nöqtə ilə ayrılır İLƏ 2:1 nisbətində. Bu seqmentə təsadüfi olaraq dörd xal atılır. Onlardan ikisinin C nöqtəsinin solunda, ikisinin isə sağda olması ehtimalını tapın.
Cavab:
4. Bu hadisənin hər sınaqda baş vermə ehtimalı 0,25 olarsa, 243 sınaqda A hadisəsinin düz 70 dəfə baş verməsi ehtimalını tapın.
Cavab: .
5. Oğlan övladı olma ehtimalı 0,515-dir. 100 yeni doğulan körpə arasında bərabər sayda oğlan və qız olması ehtimalını tapın.
Cavab: 0,0782
6. Mağaza şüşə qablarda 500 butulka aldı. Daşınma zamanı hər hansı bir şüşənin qırılma ehtimalı 0,003-dür. Mağazanın sınmış butulka alması ehtimalını tapın: a) düz iki; b) ikidən az; c) ən azı iki; d) ən azı bir.
Cavab: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Avtomobil zavodu əhəmiyyətli qüsurları olmayan avtomobillərin 80%-ni istehsal edir. Zavoddan avtomobil mübadilə məntəqəsinə gətirilən 600 avtomobil arasında ən azı 500 avtomobilin əhəmiyyətli qüsursuz olması ehtimalı nədir?
Cavab: 0,02.
8. Sikkəni neçə dəfə atmaq lazımdır ki, 0,95 ehtimalla gerbin nisbi görünmə tezliyinin ehtimaldan kənara çıxmasını gözləmək olar. r=0,5 bir sikkə atmaqla gerbin görünüşü 0,02-dən çox deyil?
Cavab: n ≥ 2401.
9. 100 müstəqil hadisənin hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı sabit və bərabərdir səh=0,8. Hadisənin baş vermə ehtimalını tapın: a) ən azı 75 dəfə və 90 dəfədən çox olmamaqla; b) ən azı 75 dəfə; c) 74 dəfədən çox olmayaraq.
Cavab: a) , b) , c) .
10. Müstəqil sınaqların hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı 0,2-dir. 5000 sınaqla 0,9128 ehtimalı ilə hadisənin baş vermə tezliyinin onun ehtimalından hansı sapmasının gözlənildiyini tapın.
Cavab:
11. Sikkəni neçə dəfə atmaq lazımdır ki, 0,6 ehtimalla gerbin nisbi görünmə tezliyinin ehtimaldan kənara çıxmasını gözləmək olar. səh=0,5 mütləq dəyərdə 0,01-dən çox olmayacaq.
Cavab: n = 1764.
12. 10.000 müstəqil sınaqdan hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı 0,75-dir. Hadisənin nisbi baş vermə tezliyinin mütləq qiymətdə onun ehtimalından 0,01-dən çox olmayan kənara çıxması ehtimalını tapın.
Cavab: .
13. Müstəqil sınaqların hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı 0,5-dir. Sınaqların sayını tapın n, bu zaman 0,7698 ehtimalı ilə hadisənin baş verməsinin nisbi tezliyinin mütləq dəyərdə onun ehtimalından 0,02-dən çox olmayan kənara çıxacağını gözləmək olar.
Yüklənir...