Fransız riyaziyyatçısı təyyarənin kafellə örtülməsi məsələsini həll etdi. Həll olunmayan problemlərin nümunələri: kafel problemi Sonra kitabların kubik qablaşdırma qutusunu doldurduğu kimi, bütün üçölçülü həcm bu təyyarələrlə doldurulur. Bu üsul yardım metodu adlanır.

Təyyarəni adi üçbucaqlardan, kvadratlardan və ya altıbucaqlılardan (aşağıda) hazırlanmış parketlə örtmək asandır. kafel Hər bir fiqurun təpələrinin yalnız qonşu fiqurların təpələrinə tətbiq olunduğu bu tənzimləməni başa düşürük və bir təpənin yan tərəfə tətbiq olunduğu vəziyyət yoxdur). Belə plitələrin nümunələri Şəkildə göstərilmişdir. 1.

Başqa doğrusu yoxdur n-boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan bucaqları olan bir təyyarəni örtmək mümkün olmayacaq. Bunu necə izah etmək olar. Məlum olduğu kimi, hər hansı birinin daxili bucaqlarının cəmi n-gon bərabərdir ( n– 2) 180°. Çünki bütün bucaqlar düzgündür n-qonlar eynidir, onda hər bir bucağın dərəcə ölçüsü . Təyyarəni bu cür fiqurlarla örtmək olarsa, onda hər bir təpədə birləşir kçoxbucaqlılar (bəziləri üçün k). Bu təpədə bucaqların cəmi 360° olmalıdır, buna görə də . Bir neçə sadə transformasiyadan sonra bu bərabərlik buna çevrilir: . Ancaq yoxlamaq asan olduğu kimi, sonuncu tənliyin yalnız üç cüt həlli var, əgər fərz etsək ki, n Və k natural ədədlər: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 və ya k = 6, n= 3. Bu nömrə cütləri Şəkildə göstərilənlərə tam uyğun gəlir. 1 kafel.

Boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan bir təyyarəni plitələr qoymaq üçün başqa hansı çoxbucaqlılardan istifadə edilə bilər?

Tapşırıq

a) İstənilən üçbucağın müstəviyə plitələr vurmaq üçün istifadə oluna biləcəyini sübut edin.

b) Sübut edin ki, hər hansı dördbucaqlı (həm qabarıq, həm də qabarıq olmayan) müstəvini plitələmək üçün istifadə edilə bilər.

c) Təyyarənin plitələnməsi üçün istifadə edilə bilən beşbucaqlıya misal göstərin.

d) Təyyarənin plitələnməsi üçün istifadə edilə bilməyən altıbucaqlıya misal göstərin.

e) Nümunə verin n-hər hansı üçün kvadrat n> 6, təyyarəni asfaltlamaq üçün istifadə edilə bilər.

İpucu 1

a), c), e) bəndlərində eyni fiqurlardan "zolaqlar" düzəltməyə cəhd edə bilərsiniz, sonra bütün təyyarəni asfaltlamaq üçün asanlıqla istifadə edilə bilər.

Addım b): Qarşı tərəfləri cüt-cüt paralel olan iki eyni dördbucaqlı altıbucaqlıya qatlayın. Bu altıbucaqlılarla bir təyyarəni örtmək olduqca asandır.

d nöqtəsi): hər təpəsindəki bucaqların cəminin 360°-yə bərabər olması faktından istifadə edin.

İpucu 2

e) bəndində siz fərqli davranmağa cəhd edə bilərsiniz: mövcud rəqəmləri bir az dəyişdirin ki, yeni mozaikalar alınsın.

Həll

Cavab nümunələri şəkillərdə göstərilmişdir.

c) Ev şəklində olan beşbucaqlı:

d) Bu cür altıbucaqlılarla bir təyyarənin döşənməsi mümkün olmayacaq: belə bir altıbucağın heç bir hissəsi tamamilə "kəsilmiş" küncə sığmayacaq. Bu hüceyrələrdə aydın görünür:

Təyyarənin döşəməsi üçün istifadə edilə bilməyən bir çox başqa altıbucaqlılar tapa bilərsiniz.

e) Təyyarənin döşənməsi üçün istifadə oluna bilən dodekaqon nümunəsidir. Bu kafel üsulu adi kvadrat şəbəkənin modifikasiyası kimi əldə edilmişdir (bax. Şəkil 1, iişərtdən):

Son söz

Boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan eyni fiqurlarla bir təyyarənin plitələrlə örtülməsi problemi qədim zamanlardan bəri məlumdur. Onun xüsusi hallarından biri, parketlərin nə ola biləcəyi sualıdır (yəni bir təyyarənin döşənməsi). müntəzəm çoxbucaqlılar, və mütləq eyni deyil) və xüsusilə, düzgün parket döşəmələri. Düzgün parket aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir: parketi özünə köçürən paralel köçürmələrin (fırlanma olmadan növbələrin) köməyi ilə əvvəlcədən seçilmiş qovşağı istənilən digər parket node ilə birləşdirə bilərsiniz. Şəkildə. Şərtlərdən 1-i tam olaraq düzgün parket döşəmələri göstərir.

Adi parket döşəmələrinin cəmi 11 müxtəlif növünün olduğunu sübut etmək o qədər də çətin deyil (bax: Vahid plitələr siyahısı). Bu, problem bəyanatında eyni müntəzəm çoxbucaqlılardan yalnız üç növ parket olduğunu sübut etdiyimiz kimi, təxminən eyni şəkildə sübut edilmişdir - hər bir müntəzəm çoxbucaqlının bucaqlarının dərəcə ölçüləri məlumdur, sadəcə onları seçmək lazımdır ki, cəmi 360°-dir və bu, sadəcə seçimlərin kiçik bir siyahısı ilə həyata keçirilir. Bu parket döşəmələri əsasında çoxlu qədim mozaikalar var.

Gildən, daşdan və şüşədən hazırlanmış mozaikalar (və taxta və plitələrdən hazırlanmış parket döşəmələri) bu nəzəriyyənin həyatda ən məşhur və başa düşülən tətbiqidir. Bir çoxumuz mətbəximizə və ya vanna otağımıza girərək bunu təsdiqləyə bilərik. Gələcək dizaynerlər xüsusi olaraq riyazi parketləri öyrənirlər, çünki onlar və onların varyasyonları tez-tez memarlıq və dekorasiyada istifadə olunur.

Tessellations təbiətdə də baş verir. Tanınmış pətəkdən əlavə, ən parlaq nümunələrdir geoloji formasiyalar Stolbchaty burnunda (Kunaşir adası, Kuril adalarının böyük silsiləsi) və Şimali İrlandiyada "Nəhəng yolu".

Problemimizin ümumiləşdirilməsi - kosmosun kirəmitlənməsi - inteqrasiya olunmuş optika və lazer fizikasında mühüm rol oynayan kristalloqrafiyanın müasir mühüm sahəsidir.

Qəribədir ki, nisbətən yaxın vaxtlara qədər yalnız dövri mozaikalar (müəyyən yerdəyişmələrdən və onun təkrarlarından sonra özlərinə tamamilə uyğun gələn) məlum idi. Bununla belə, 1974-cü ildə ingilis alimi Roger Penrose qeyri-dövri plitələr təklif etdi və indi onun adı ilə Penrose plitələr adlanır. Daha sonra (1984-cü ildə) oxşar qeyri-dövri strukturlar aşkar edilmişdir

Ağlasığmazı düşünmək və onun hələ də düşünülə bilən olduğuna əmin olmaq həndəsənin bir hadisəsidir.

A.D.Aleksandrov

Sinif: 8-9

Məqsədlər:

Şagirdlərin yeni riyazi obyektlər və riyazi anlayışlar haqqında təsəvvürlərinin formalaşması və inkişafı.
İnkişaf yaradıcı maraq riyaziyyata.
Şagirdlərin riyazi üfüqlərinin genişləndirilməsi.
Birgə işləyərkən xoş niyyət və qarşılıqlı yardımın gücləndirilməsi.

Sinifdənkənar tədbirlərin məqsədləri:

Yeni riyazi obyektlərin öyrənilməsində riyazi biliklərin praktiki tətbiqi.
İnkişaf məntiqi təfəkkür və tədqiqat bacarıqları.
Yeni əldə edilmiş biliklərin müasir elmdə tətbiqinə giriş.
Mövzunun əlavə öyrənilməsi üçün sualların verilməsi.

Hazırlanması: qruplarda işləmək, hər qrup müntəzəm çoxbucaqlıların modellərini, həmçinin ixtiyari üçbucaqların və dördbucaqlıların surətlərini hazırlayır.

Tələbə işinin təşkili formaları: frontal, qrup.

Müəllimin işinin təşkili formaları: rəhbərlik, təşkilatçılıq, koordinasiya.

Xüsusiyyətlər: multimedia ofisi.

İstifadə olunan avadanlıq: kompüter, proyektor, ekran, CD.

Təqdimat "Parketlər - çoxbucaqlı bir təyyarənin döşənməsi."

Dərsin gedişatı.

Parketlər qədim zamanlardan insanların diqqətini cəlb edib. Döşəmələri örtdülər, otaqların divarlarını örtdülər, binaların fasadlarını bəzədilər, dekorativ-tətbiqi sənətdə istifadə etdilər.
Parketin öyrənilməsi məktəbin riyaziyyat kurikulumuna daxil edilməsə də, bu mövzuya maraq sadə bir məktəb məsələsini həll etdikdən sonra yaranıb: “İsbut edin ki, ikitərəfli trapesiya şəklində olan eyni plitələrdən bütün ətrafı örtən parket hazırlamaq olar. təyyarənin istənilən hissəsi." Təyyarəyə plitələr qoymaq üçün başqa hansı çoxbucaqlılardan istifadə etmək olar?

Düzgün parket döşəmələri

Parket Bu, bütün müstəvi bu çoxbucaqlılarla əhatə olunduğu və istənilən iki çoxbucaqlının ya ümumi tərəfi olan, ya da ortaq təpəyə malik olduğu və ya ortaq nöqtələri olmayan çoxbucaqlıları olan bir müstəviyə döşənməsi adlanır.

Parket adlanır düzgün, bərabər müntəzəm çoxbucaqlılardan ibarətdirsə.
Düzgün parket döşəməsinin nümunələri Pifaqorlulara məlum idi. Onlar təyyarəni aşağıdakılarla doldururlar: kvadratlar, bərabərtərəfli üçbucaqlar, müntəzəm altıbucaqlılar.

Tələbələr üçün tapşırıq: Adi poliqonların mövcud modellərindən müntəzəm parket döşəmələri hazırlayın.

Diqqət edək ki, parketdən başqa heç bir normal çoxbucaqlı olmasın. Və burada çoxbucaqlının bucaqlarının cəmi üçün düstur lazımdır. Əgər parketdən hazırlanırsa n-qons, onda parketin hər təpəsində yaxınlaşma k = 360°/ olacaq. a n çoxbucaqlılar, harada a n – düzgün bucaq n-gon. Bunu tapmaq asandır a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° və 120°<a n < 180° при n > 7. Buna görə də 360° bərabər bölünür a n yalnız nə vaxt n = 3; 4; 6.
Maraqlıdır ki, müntəzəm üçbucaq arasında kvadrat və müntəzəm altıbucaqlı, perimetri nəzərə alınmaqla, altıbucaqlı ən böyük sahəyə malikdir. Bu vəziyyət təbiətdə arı pətəklərinin adi altıbucaqlı formasına sahib olmasına gətirib çıxarır, çünki arılar, pətəklər qurarkən, mümkün qədər az mum istifadə edərkən instinktiv olaraq onları mümkün qədər tutumlu etməyə çalışırlar.

Yarı normal parket döşəmə.

Müxtəlif sayda tərəfləri olan müntəzəm çoxbucaqlıların istifadəsinə imkan verən müntəzəm çoxbucaqlılardan parketlərin qurulması üsullarını genişləndirək, lakin hər bir təpənin ətrafında müntəzəm çoxbucaqlılar eyni ardıcıllıqla düzülsün. Belə parketlər deyilir yarı nizamlı.

Tələbə tapşırığı: yarı nizamlı parket döşəmələri yaratmaq üçün müntəzəm poliqonların mövcud modellərindən istifadə edin.

Yarım nizamlı parketlərin sayını öyrənmək üçün ümumi bir təpə ətrafında müntəzəm çoxbucaqlıların yerləşdirilməsinin mümkün hallarını təhlil etmək lazımdır. Bunu etmək üçün ilə işarə edək a 1 ,a 2 ... ümumi təpəsi olan müntəzəm çoxbucaqlıların bucaqlarıdır. Gəlin onları artan qaydada təşkil edək a 1 < a 2 < … Bütün bu bucaqların cəminin 360°-yə bərabər olması lazım olduğunu nəzərə alaraq, mümkün bucaq dəstlərini ehtiva edən bir cədvəl tərtib edəcəyik və müvafiq parketləri göstərəcəyik.
Belə ki, cəmi 11 ədəd adi və yarı nizamlı parket var.

Planiqonlar

Başqa bir ümumiləşdirməni nəzərdən keçirək - ixtiyari çoxbucaqlının nüsxələrindən hazırlanmış parketlər, "kənarları boyunca" düzəldilir (yəni, hər hansı bir plitəni digərinə çevirən). Bu parketlərdə kafel ola bilən çoxbucaqlılar deyilir planqonlar.
Bir təyyarənin ixtiyari üçbucağın nüsxələri ilə düzülə biləcəyi aydındır, lakin ixtiyari dördbucaqlının planiqon olduğu daha az aydındır. Qarşı tərəfləri bərabər və paralel olan istənilən altıbucaqlı üçün də eynidir.

Tələbə tapşırığı: İxtiyari üçbucaqların və dördbucaqların mövcud nüsxələrindən parket hazırlayın.

Yuxarıda müzakirə olunan bütün parketlər dövri xarakter daşıyır, yəni onların hər birində bir neçə plitədən ibarət olan bir sahəni seçmək (və hətta bir çox cəhətdən) mümkündür, ondan bütün parket paralel sürüşmə ilə əldə edilir.
Alimlərin bu cür strukturlara marağı onunla izah olunur ki, dövri kirəmitlərin, xüsusən də məkan plitələrinin kristal strukturları modelləşdirməsi.

Gələcək üçün sual: Dövri olmayan plitələr varmı?

Nəticə əvəzinə

Öz parketlərinizin yaradılması xüsusi maraq doğurur - məsələn, eksenel simmetriya və paralel tərcümədən istifadə edərək təyyarəni eyni fiqurlarla (parket elementləri) doldurmaq. Əsas odur ki, tikinti parket elementinə bərabər ölçüdə çoxbucaqlıya əsaslanır.

Ev tapşırığı.İstənilən vasitələrdən istifadə edərək bəyəndiyiniz parketi yaradın: rəngli kağızdan kompüter texnologiyasına qədər.

İstifadə olunmuş ədəbiyyat siyahısı:

1. Atanasyan L.S. və başqaları, 7-9 – M.: Təhsil, 2010.
2. Atanasyan L.S. s. Həndəsə: Əlavə et. məktəb üçün fəsillər dərslik 8-ci sinif: Dərslik. məktəb şagirdləri üçün dərslik. və cl. dərinliyi ilə oxudu riyaziyyat. – M.: Təhsil, 1996.
3. Atanasyan L.S. s. Həndəsə: Əlavə et. məktəb üçün fəsillər dərslik 9-cu sinif: Dərslik. məktəb şagirdləri üçün dərslik. və cl. dərinliyi ilə oxudu riyaziyyat. – M.: Təhsil, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Adi çoxbucaqlılardan hazırlanmış parketlər.//Kvant, 1970, №3.
5. Smirnov V.A. Kompüter həndəsə kömək edir //Riyaziyyat: Həftəlik tədris-metodiki adj. qaza "Birinci sentyabr." – 2003, № 21.
6. Sovertkov P.I. və başqaları kompüter ekranında həndəsi parket.//İnformatika və təhsil, 2000, №9.
7. Uşaqlar üçün ensiklopediya. T.11.Riyaziyyat/Baş redaktor. M.D.Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Təyyarənin döşənməsi haqqında danışacağıq. Tessellation bütöv bir təyyarənin üst-üstə düşməyən formalarla örtülməsidir. Ehtimal ki, asfalt çəkməyə maraq ilk növbədə mozaika, ornament və digər naxışların tikilməsi ilə əlaqədar yaranmışdır. Təkrarlanan motivlərdən ibarət çoxlu bəzək əşyaları məlumdur. Ən sadə plitələrdən biri Şəkil 1-də göstərilmişdir.

Təyyarə paraleloqramlarla örtülmüşdür və bütün paraleloqramlar eynidir. Bu plitənin istənilən paraleloqramı, sonuncunu vektorla (vektorlar və seçilmiş paraleloqramın kənarları ilə müəyyən edilir, n və m tam ədədlərdir) dəyişdirərək çəhrayı paraleloqramdan əldə edilə bilər. Qeyd etmək lazımdır ki, bütövlükdə bütün kafel bir vektor (və ya) ilə dəyişdirildikdə özünə çevrilir. Bu xassə tərif kimi qəbul edilə bilər: yəni dövrlərlə dövri plitələr vektor və vektorla yerdəyişdikdə özünə çevrilən kirəmitdir. Dövri plitələr olduqca mürəkkəb ola bilər, bəziləri çox gözəldir.

Təyyarənin kvazperiodik plitələri

Təyyarənin maraqlı və dövri olmayan mozaikləri var. 1974-cü ildə İngilis riyaziyyatçısı Rocer Penrose təyyarənin kvazperiodik lövhələrini kəşf etdi. Bu plitələrin xüsusiyyətləri təbii olaraq dövri olanların xüsusiyyətlərini ümumiləşdirir. Belə plitənin nümunəsi Şəkil 2-də göstərilmişdir.

Bütün təyyarə romblarla örtülmüşdür. Brilyantlar arasında heç bir boşluq yoxdur. Hər hansı bir romb mozaikasını növbə və fırlanmalardan istifadə edərək yalnız iki mozaikadan istifadə etməklə əldə etmək olar. Bu dar romb (36 0, 144 0) və geniş romb (72 0, 108 0), Şəkil 3-də göstərilmişdir. Rombların hər birinin tərəflərinin uzunluğu 1-dir. Bu plitələr dövri deyil - açıq-aydın heç bir yerdəyişmə altında özünə çevrilmir. Bununla belə, bəzi vacib xüsusiyyətlərə malikdir ki, bu da onu dövri kirəmitlərə yaxınlaşdırır və onu kvazperiodik adlandırmağa məcbur edir. Məsələ ondadır ki, kvazperiodik plitələrin istənilən sonlu hissəsi bütün plitələr boyunca saysız-hesabsız dəfə baş verir. Bu kirəmit 5-ci dərəcəli simmetriya oxuna malikdir, halbuki dövri plitələr üçün belə baltalar mövcud deyil.

Penrose tərəfindən qurulmuş təyyarənin digər kvazperiodik plitələri Şəkil 4-də göstərilmişdir. Bütün təyyarə xüsusi tipli dörd çoxbucaqlı ilə örtülmüşdür. Bu ulduz, romb, müntəzəm beşbucaqdır.

A) İnflyasiyanın və deflyasiyanın çevrilməsi

Yuxarıda göstərilən kvaziperiodik plitələrin üç nümunəsinin hər biri sonlu sayda rəqəmlərin tərcümələri və fırlanmalarından istifadə edərək təyyarənin örtüyüdür. Bu örtük heç bir yerdəyişmə altında özünə çevrilmir; örtünün hər hansı bir məhdud hissəsi bütün örtük boyu saysız-hesabsız dəfə baş verir, üstəlik, bütün müstəvidə eyni dərəcədə tez-tez olur. Yuxarıda təsvir olunan plitələr bəzi xüsusi xüsusiyyətlərə malikdir, Penrose bunu inflyasiya adlandırdı. Bu xüsusiyyətin öyrənilməsi bu örtüklərin strukturunu anlamağa imkan verir. Üstəlik, inflyasiya Penrose nümunələrini qurmaq üçün istifadə edilə bilər. İnflyasiya ən aydın şəkildə Robinson üçbucaqlarının misalında göstərilə bilər. Robinzon üçbucaqları Şəkil 6-da göstərildiyi kimi bucaqları (36 0, 72 0, 72 0) və (108 0, 36 0, 36 0) və yan uzunluqları olan iki bərabərhüquqlu P, Q üçbucaqlarıdır. Burada φ qızıl nisbətdir:

Bu üçbucaqlar daha kiçiklərə kəsilə bilər ki, yeni (kiçik) üçbucaqların hər biri orijinallardan birinə bənzəsin. Kəsmə Şəkil 7-də göstərilmişdir: ac düz xətti dab bucağının bissektrisasıdır və ae, ab və ac seqmentləri bərabərdir. Acb və ace üçbucağının konqruent və P üçbucağına, cde üçbucağının isə Q üçbucağına bənzədiyini görmək asandır. Q üçbucağı belə kəsilir. gh seqmentinin uzunluğu ih seqmentinin uzunluğuna bərabərdir (və 1-ə bərabərdir). igh üçbucağı P üçbucağına, igf üçbucağı Q üçbucağına bənzəyir. Yeni üçbucaqların xətti ölçüləri ilkinlərdən t dəfə kiçikdir. Bu kəsmə deflyasiya adlanır.

Əks çevrilmə - yapışdırma - inflyasiya adlanır.

Şəkil bizə göstərir ki, iki P üçbucağından və bir Q üçbucağından P üçbucağını, P və Q üçbucağından isə Q üçbucağını yapışdıra bilərik. Yeni (yapışdırılmış) üçbucaqlar orijinal üçbucaqlardan t dəfə böyük xətti ölçülərə malikdir.

Beləliklə, biz inflyasiya və deflyasiyanın transformasiyası anlayışını təqdim etdik. Aydındır ki, inflyasiyanın transformasiyası təkrarlana bilər; bu, ölçüləri orijinaldan t 2 dəfə böyük olan bir cüt üçbucaqla nəticələnəcək. Ardıcıl olaraq inflyasiya çevrilmələrini tətbiq etməklə, istədiyiniz kimi bir cüt üçbucaq əldə edə bilərsiniz böyük ölçü. Bu şəkildə, bütün təyyarəni asfaltlaya bilərsiniz.

Göstərilə bilər ki, Robinson üçbucaqları ilə yuxarıda təsvir olunan plitələr dövri deyil

Sübut

Gəlin bu ifadənin sübutunu qeyd edək. Gəlin ziddiyyətlə mübahisə edək. Tutaq ki, təyyarənin Robinson üçbucaqları ilə döşənməsi u və w dövrləri ilə periyodikdir. Müstəvini tərəfləri u, w olan paraleloqramlar şəbəkəsi ilə əhatə edək, aşağı sol təpəsi (şəbəkəmizə nisbətən) kölgəli paraleloqramda yerləşən P - üçbucaqların sayını p ilə işarə edək; Eyni şəkildə q ədədini təyin edək. (Seçilmiş p+q üçbucaqları verilmiş dövri plitələrin əsas bölgəsini təşkil edir.) Mərkəzi O olan radius R olan dairəni nəzərdən keçirək. P üçbucaqlarının sayını PR (əslində QR) ilə işarə edək (müvafiq olaraq Q- üçbucaqlar) bu dairənin içərisində uzanır.

Gəlin bunu sübut edək

1) Həqiqətən də, R radiuslu çevrə ilə kəsişən üçbucaqların sayı R ilə mütənasibdir, R radiuslu dairənin içindəki üçbucaqların sayı isə R 2 ilə mütənasibdir. Buna görə də hədddə P - üçbucaqlarının sayının çevrədəki Q - üçbucaqlarının sayına nisbəti fundamental bölgədə bu nisbətə bərabərdir.

İndi mozaikamızı götürək və deflyasiya çevrilmələrini həyata keçirək. Sonra orijinal fundamental bölgədə pґ = 2p + q daha kiçik P - üçbucaqlar və qґ = p + q daha kiçik Q - üçbucaqlar olacaq. R radiuslu dairədə kiçik üçbucaqların sayını pґR və qґR ilə işarə edək. İndi bir ziddiyyət əldə etmək asandır. Əslində,

= = = = (L'Hopital qaydası)

Haradan, tənliyin həlli

p/q=(2p+q)/(p+q),

p və q isə tam ədədlərdir! Ziddiyyət göstərir ki, Robinson üçbucaqları ilə plitələr dövri deyil.

Belə çıxır ki, Robinson üçbucaqlarının bu örtüyü tək deyil. Robinson üçbucaqları ilə təyyarənin sonsuz sayda müxtəlif kvazperiodik örtükləri var. Kobud desək, bu fenomenin səbəbi deflyasiya zamanı Şəkil 7-dəki bisektorun a təpəsindən deyil, b təpəsindən çəkilə bilməsidir. Bu özbaşınalıqdan istifadə edərək, məsələn, üçbucaqlı örtünün romblu üçbucaq örtüyünə çevrilməsinə nail olmaq mümkündür.

B) İkiliyin transformasiyası

Yuxarıda verilmiş kvazperiodik plitələrin qurulması üsulu bir təxmin kimi görünür. Bununla belə, kvazperiodik örtüklərin qurulması üçün müntəzəm bir yol var. Bu, ideyası Hollandiyalı riyaziyyatçı de Brauna məxsus olan ikili çevrilmə üsuludur.

Təyyarənin romblarla əvəzlənməsinin qurulması nümunəsindən istifadə edərək bu üsulu izah edək (bax. şək. 3). Əvvəlcə G şəbəkəsini quraq. Bunun üçün adi beşbucaq götürün və onun tərəflərini nömrələyin (j = 1,2,3,4,5; şək. 10). j nömrəli tərəfə baxaq. Bu tərəfə paralel sonsuz xətlər dəsti quraq ki, iki ən yaxın xətt arasındakı məsafə 1-ə bərabər olsun.

Beşbucaqlı tərəflərin hər biri üçün oxşar tikinti aparaq; Düz xətlər çəkəcəyik ki, onlar yalnız cüt-cüt kəsişsinlər. Nəticə dövri olmayan sətirlər toplusudur (Şəkil 9). Sətirləri iki indekslə yenidən nömrələyək: l j (n). Burada j xəttin istiqamətini göstərir (beşbucaqlının hansı tərəfinə paraleldir). N tam ədədi müxtəlif paralel xətləri nömrələyir, bütün tam qiymətlərdən keçir (həm müsbət, həm də mənfi). Bu xətlər dəsti müstəvini sonsuz çoxbucaqlılar çoxluğuna bölür. Bu çoxbucaqlılara mesh üzlər deyilir. Çoxbucaqlıların tərəflərini torun kənarları, çoxbucaqlıların təpələrini isə şəbəkənin təpələri adlandıracağıq. (Kvaziperiodik Q örtüyü üçün eynilə: romblar Q üzləri, rombların tərəfləri Q kənarları, rombların təpələri Q təpələridir)

Beləliklə, G şəbəkəsi qurulur. İndi ikililiyin çevrilməsini həyata keçirək. G şəbəkəsinin hər bir üzü Q kvazperiodik örtüyünün təpəsi ilə müqayisə edilə bilər (rombusun təpəsi). Təpələri hərflərlə işarə edirik (bunlar vektorlardır). Əvvəlcə torun hər M üzünü aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq beş tam ədəd n j = (M), j - 1,2, ....5 ilə əlaqələndiririk. M-nin daxili nöqtələri bəzi l j (n) xətti ilə ona paralel l j (n+1) xətti arasında yerləşir.

Bu n tam ədədini biz M-nin üzləri ilə uyğunlaşdıracağıq. Şəbəkənin beş istiqamətdə xətləri olduğundan, bu şəkildə G şəbəkəsinin hər M-nin beş n j (M) tam ədədini uyğunlaşdıracağıq. Q kvazi dövri örtüyünün təpə nöqtəsi , G şəbəkəsinin verilmiş M üzünə uyğun gələn, aşağıdakı kimi qurulur:

(M) = n 1 (M) + + … +

Burada düzgün beşbucaqlının mərkəzindən j nömrəli tərəfin ortasına yönəlmiş vahid uzunluqlu vektor verilmişdir. Beləliklə, torun hər bir üzü ilə bir örtücü təpəni birləşdirdik. Bu yolla biz Q-nun bütün təpələrini qura bilərik.

İndi bəzi təpələri düz xətt seqmentləri ilə birləşdirək. Bunlar Q örtüyünün kənarları olacaq (rombusların tərəfləri). Bunu etmək üçün ümumi kənarı olan M1 və M2 bir cüt üzü nəzərdən keçirin. Bu üzlərə və seqmentlərə uyğun olan örtünün təpələrini birləşdirəcəyik.

Sonra fərqin olduğu ortaya çıxır

Bəlkə də on vektordan yalnız birinə bərabərdir.

Beləliklə, hər bir mesh kənarı Q örtüyü ilə əlaqələndirilir. Hər bir mesh zirvəsi Q (rombus) ilə əlaqələndirilir. Onlara uyğun gələn dörd örtük təpəsini (M R) nəzərdən keçirək. Fərq xassəsindən (2) belə çıxır ki, bu təpələrdən keçən örtüyün kənarları rombun sərhədini təşkil edir. Təyyarənin romblarla kvazperiodik örtüyü qurulur.

İkilik çevrilmə üsulunu təsvir etdik. Bu ümumi üsul kvazperiodik örtüklər metodunun qurulması. Bu konstruksiyada nizamlı beşbucaq istənilən düzgün çoxbucaqlı ilə əvəz edilə bilər. Nəticə yeni kvazi dövri örtük olacaq. Duality transformasiya üsulu kosmosda kvazperiodik strukturların qurulması üçün də tətbiq olunur.

B) Üçölçülü fəzanın kvazperiodik doldurulması

Penrose nümunələrinin üçölçülü ümumiləşdirilməsi mövcuddur. Üçölçülü məkan xüsusi tipli paralelepipedlərlə doldurula bilər. Paralelepipedlərin ümumi daxili nöqtələri yoxdur və onlar arasında boşluqlar yoxdur. Bu doldurulmanın hər bir paralelepipedini sürüşmə və fırlanmalardan istifadə edərək yalnız iki paralelepipeddən əldə etmək olar. Bunlar Amman-Makkay paralelepipedləri adlananlardır. Paralelepipedi təyin etmək üçün bir təpədən çıxan üç kənarı qeyd etmək kifayətdir. İlk Amman-Mackay paralelepipedi üçün bu vektorlar aşağıdakı formaya malikdir:

= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)

Və ikinci paralelepiped üçün:

= (0; -1;f), = (f; 0;1), = (0;1; f)

Bu paralelepipedlərlə doldurulma heç bir yerdəyişmə altında özünə çevrilmir, lakin onun hər hansı sonlu hissəsi bütün doldurma boyunca saysız-hesabsız dəfə baş verir. Kosmosun bu paralelepipedlərlə doldurulması ikosahedrin simmetriyaları ilə bağlıdır. İkosaedr Platonik bərk cisimdir. Üzlərinin hər biri müntəzəm üçbucaqdır. İkosaedrin 12 təpəsi, 20 üzü və 30 kənarı var

Ərizə

Məlum oldu ki, sürətlə soyudulmuş alüminium-manqan əriməsi (1984-cü ildə kəşf edilmişdir) məhz bu simmetriyalara malikdir. Və təkcə bu maddə deyil, digər real kvazikristallar da tapılıb, onların eksperimental və nəzəri araşdırma müasir elmin ön sıralarındadır.

Riyaziyyat dünyasında sensasiya. Təyyarəni fasiləsiz və üst-üstə düşmədən örtən yeni tip beşbucaqlılar kəşf edilib.

Bu, belə beşbucaqlıların yalnız 15-ci növüdür və son 30 ildə kəşf edilən ilkdir.

Təyyarə istənilən formalı üçbucaq və dördbucaqlılarla örtülmüşdür, lakin beşbucaqlılarla hər şey daha mürəkkəb və maraqlıdır. Daimi beşbucaqlılar bir təyyarəni örtə bilməz, lakin bəzi nizamsız beşbucaqlılar örtə bilər. Belə rəqəmlərin axtarışı yüz il ərzində ən maraqlı işlərdən biri olmuşdur. riyazi problemlər. Axtarış 1918-ci ildə, riyaziyyatçı Karl Reynhard ilk beş uyğun rəqəmi kəşf etdikdən sonra başladı.

Uzun müddət Reynhardın bütün mümkün düsturları hesabladığına və daha belə beşbucaqlıların olmadığına inanılırdı, lakin 1968-ci ildə riyaziyyatçı R.B.Kerşner daha üçü tapdı və Riçard Ceyms 1975-ci ildə onların sayını doqquza çatdırdı. Elə həmin il 50 yaşlı amerikalı evdar qadın və riyaziyyat həvəskarı Marjorie Race öz qeyd metodunu inkişaf etdirdi və bir neçə il ərzində daha dörd beşbucaq kəşf etdi. Nəhayət, 1985-ci ildə Rolf Stein rəqəmlərin sayını on dördə çatdırdı.

Pentaqonlar qeyri-müəyyənlik və sirrin qaldığı yeganə rəqəm olaraq qalır. 1963-cü ildə təyyarəni örtən altıbucaqlıların cəmi üç növü olduğu sübut edildi. Qabarıq yeddibucaqlı, səkkizbucaqlı və s. arasında belə üçbucaqlar yoxdur. Lakin Pentaqonlarla hələ hər şey tam aydın deyil.

Bu günə qədər belə beşbucaqlıların yalnız 14 növü məlum idi. Onlar illüstrasiyada göstərilir. Onların hər biri üçün düsturlar linkdə verilmişdir.

30 il ərzində heç kim yeni bir şey tapa bilmədi və nəhayət çoxdan gözlənilən kəşf! Bu, Vaşinqton Universitetinin bir qrup alimi tərəfindən hazırlanmışdır: Casey Mann, Jennifer McLoud və David Von Derau. Balaca yaraşıqlı oğlan belə görünür.

Casey Mann deyir: "Biz çoxlu, lakin məhdud sayda varyasyonlar vasitəsilə kompüter axtarışı vasitəsilə formanı kəşf etdik". "Əlbəttə, biz çox həyəcanlıyıq və bir az da təəccüblənirik ki, yeni beşbucaqlı növü kəşf edə bilmişik."

Kəşf sırf mücərrəd görünür, amma əslində tapa bilər praktik tətbiq. Məsələn, bitirmə plitələrinin istehsalında.

Təyyarənin üzərini örtən yeni beşbucaqlıların axtarışı, şübhəsiz ki, davam edəcək.

Niyə bəzi insan orqanları cüt-cüt (məsələn, ağciyərlər, böyrəklər), digərləri isə bir nüsxədə gəlir?

Kaustiklər işığın əks olunması və sınması nəticəsində yaranan hər yerdə yayılmış optik səthlər və əyrilərdir. Kaustiklər işıq şüalarının cəmləşdiyi xətlər və ya səthlər kimi təsvir edilə bilər.

Shabbat G.B.

İndi kainatın quruluşu haqqında qədim insanların Yerin səthi haqqında bildiyi qədər məlumat əldə edirik. Daha dəqiq desək, biz bilirik ki, Kainatın bizim müşahidələrimiz üçün əlçatan olan kiçik hissəsi üçölçülü Evklid fəzasının kiçik bir hissəsi ilə eyni şəkildə qurulub. Başqa sözlə, biz üçölçülü manifoldda (3-manifold) yaşayırıq.

Viktor Lavrus

İnsan ətrafındakı əşyaları formalarına görə fərqləndirir. Obyektin formasına maraq həyati zərurətlə diktə oluna bilər və ya şəklin gözəlliyinə görə yarana bilər. Tikintisi simmetriya və qızıl nisbətin birləşməsinə əsaslanan forma, ən yaxşı vizual qavrayışa və gözəllik və harmoniya hissinin yaranmasına kömək edir. Bütöv həmişə hissələrdən ibarətdir, müxtəlif ölçülü hissələr bir-biri ilə və bütövlükdə müəyyən münasibətdədir. Qızıl nisbət prinsipi sənətdə, elmdə, texnikada və təbiətdə bütöv və onun hissələrinin struktur və funksional mükəmməlliyinin ən yüksək təzahürüdür.

“Ölçülər” sənədli filmi sizi tədricən dördüncü ölçüyə aparan iki saatlıq riyaziyyatdır.

Sergey Stafeev

Qədim xalqların ən çox bilik tələb edən işi zaman və məkanda oriyentasiya idi. Bu məqsədlə bəşəriyyət qədim zamanlardan çoxsaylı meqalit tikililər - kromlexlər, dromoslar, dolmenlər və menhirlər ucaltmışdır. Dəqiqələrin dəqiqliyi ilə vaxtı hesablamağa və ya yarım dərəcədən çox olmayan xəta ilə istiqamətləri vizuallaşdırmağa imkan verən inanılmaz dərəcədə dahiyanə cihazlar icad edilmişdir. Biz bütün qitələrdə insanların necə günəş şüaları üçün tələlər yaratdıqlarını, astronomik istiqamətlərə "əzilmiş" kimi məbədlər tikdiklərini, gündüz ulduzları seyr etmək üçün maili tunellər qazdıqlarını və ya gnomon obeliskləri ucaltdıqlarını göstərəcəyik. İnanılmaz dərəcədə uzaq əcdadlarımız, məsələn, yalnız günəş və ya ay kölgələrini deyil, hətta Veneranın kölgəsini də izləməyi bacardılar.