The metodik material yalnız istinad üçündür və geniş mövzulara aiddir. Məqalədə əsas elementar funksiyaların qrafiklərinin icmalı verilir və ən vacib məsələ nəzərdən keçirilir - qrafiki necə düzgün və TEZ qurmaq olar. Tədqiqat zamanı ali riyaziyyatəsas cədvəlləri bilmədən elementar funksiyalarÇətin olacaq, ona görə də parabola, hiperbol, sinus, kosinus və s.-nin qrafiklərinin necə göründüyünü xatırlamaq və bəzi funksiya qiymətlərini yadda saxlamaq çox vacibdir. Əsas funksiyaların bəzi xüsusiyyətləri haqqında da danışacağıq.

Mən materialların tamlığına və elmi əsaslılığına iddia etmirəm; vurğu, ilk növbədə, təcrübəyə - o şeylərə veriləcək. insan hər addımda, ali riyaziyyatın istənilən mövzusunda hərfi mənada qarşılaşır. Butaforlar üçün qrafiklər? Belə demək olar.

Oxucuların çoxsaylı müraciətlərinə görə kliklənən məzmun cədvəli:

Bundan əlavə, mövzu ilə bağlı ultra qısa konspekt var
- ALTI səhifəni öyrənməklə 16 növ diaqramı mənimsəyin!

Ciddi, altı, hətta mən də təəccübləndim. Bu xülasə təkmilləşdirilmiş qrafiklərdən ibarətdir və nominal ödənişlə mövcuddur; demo versiyasına baxmaq olar. Qrafiklərin həmişə əlində olması üçün faylı çap etmək rahatdır. Layihəni dəstəklədiyiniz üçün təşəkkür edirik!

Və dərhal başlayaq:

Koordinat oxlarını necə düzgün qurmaq olar?

Təcrübədə testlər demək olar ki, həmişə tələbələr tərəfindən kvadrat şəklində düzülmüş ayrı-ayrı dəftərlərdə tamamlanır. Niyə damalı işarələrə ehtiyacınız var? Axı, iş, prinsipcə, A4 vərəqlərində edilə bilər. Və qəfəs yalnız təsvirlərin yüksək keyfiyyətli və dəqiq dizaynı üçün lazımdır.

Funksiya qrafikinin istənilən təsviri ilə başlayır koordinat oxları .

Rəsmlər iki ölçülü və ya üç ölçülü ola bilər.

Əvvəlcə iki ölçülü işi nəzərdən keçirək Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemi:

1) Koordinat oxlarını çəkin. ox deyilir x oxu , və oxdur y oxu . Biz həmişə onları çəkməyə çalışırıq səliqəli və əyri deyil. Oxlar da Papa Karlonun saqqalına bənzəməməlidir.

2) Baltaları böyük "X" və "Y" hərfləri ilə imzalayırıq. Baltaları etiketləməyi unutmayın.

3) Ölçüsü oxlar boyunca təyin edin: sıfır və iki birlik çəkin. Rəsm çəkərkən ən rahat və tez-tez istifadə olunan miqyas: 1 vahid = 2 hüceyrə (solda rəsm) - mümkünsə, ona yapışın. Bununla belə, vaxtaşırı rəsm dəftər vərəqinə uyğun gəlmir - sonra miqyasını azaldırıq: 1 vahid = 1 hüceyrə (sağda rəsm). Nadir haldır, lakin belə olur ki, rəsmin miqyasını daha da azaltmaq (və ya artırmaq) lazımdır.

“Pulemyot”a ehtiyac yoxdur...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….üçün koordinat müstəvisi Dekartın abidəsi deyil, tələbə də göyərçin deyil. qoyduq sıfır Və oxlar boyunca iki vahid. Bəzən əvəzinə vahidlər üçün digər dəyərləri, məsələn, absis oxunda "iki" və ordinat oxundakı "üç"ü "qeyd etmək" rahatdır - və bu sistem (0, 2 və 3) koordinatlar şəbəkəsini də unikal şəkildə təyin edəcəkdir.

Çizimi qurmazdan əvvəl rəsmin təxmin edilən ölçülərini qiymətləndirmək daha yaxşıdır. Beləliklə, məsələn, əgər tapşırıq təpələri olan üçbucaq çəkməyi tələb edirsə , , , onda 1 vahid = 2 xananın məşhur miqyasının işləməyəcəyi tamamilə aydındır. Niyə? Nöqtəyə baxaq - burada on beş santimetr aşağı ölçməli olacaqsınız və açıq-aydın, rəsm bir notebook vərəqinə sığmayacaq (və ya çətinliklə uyğunlaşmayacaq). Buna görə dərhal daha kiçik bir miqyas seçirik: 1 vahid = 1 hüceyrə.

Yeri gəlmişkən, təxminən santimetr və notebook hüceyrələri. 30 notebook hüceyrəsinin 15 santimetr olması doğrudurmu? Əylənmək üçün dəftərinizdə xətkeşlə 15 santimetr ölçün. SSRİ-də bu, bəlkə də doğru idi... Maraqlıdır ki, bu eyni santimetrləri üfüqi və şaquli olaraq ölçsəniz, nəticələr (xanalarda) fərqli olacaq! Düzünü desək, müasir noutbuklar damalı deyil, düzbucaqlıdır. Bu cəfəngiyat kimi görünə bilər, lakin belə vəziyyətlərdə, məsələn, kompas ilə bir dairə çəkmək çox əlverişsizdir. Düzünü desəm, belə məqamlarda siz yerli avtomobil sənayesini, düşən təyyarələri və ya partlayan elektrik stansiyalarını demirəm, istehsalatda xakerlik üçün düşərgələrə göndərilən yoldaş Stalinin nə qədər düzgün olduğunu düşünməyə başlayırsınız.

Keyfiyyətdən danışsaq və ya dəftərxana ləvazimatları haqqında qısa tövsiyə. Bu gün satışda olan noutbukların çoxu, ən azı, tam axmaqdır. Nəmlənmələri səbəbiylə, həm də gel qələmlərdən deyil, həm də tüklü qələmlərdən! Onlar kağız üzərində pula qənaət edirlər. Qeydiyyat üçün testlər Arxangelsk Selüloz və Kağız Fabrikindən (18 vərəq, grid) və ya "Pyaterochka" dan noutbuklardan istifadə etməyi məsləhət görürəm, baxmayaraq ki, daha bahalıdır. Bir gel qələm seçmək məsləhətdir, hətta ən ucuz Çin gel doldurma kağızı ləkələyən və ya cırlayan bir ballpoint qələmdən daha yaxşıdır. Yadımda qalan yeganə “rəqabətli” diyircəkli qələm Erich Krause idi. O, aydın, gözəl və ardıcıl yazır - istər tam nüvə ilə, istərsə də demək olar ki, boş.

əlavə olaraq: Məqalədə analitik həndəsə gözü ilə düzbucaqlı koordinat sisteminin görünüşünə toxunulur. Vektorların xətti (qeyri) asılılığı. Vektorların əsasları, koordinat rübləri haqqında ətraflı məlumatı dərsin ikinci abzasında tapmaq olar Xətti bərabərsizliklər.

3D qutu

Burada demək olar ki, eynidir.

1) Koordinat oxlarını çəkin. Standart: ox tətbiq olunur – yuxarıya doğru yönəldilmiş, ox – sağa, ox – aşağıya doğru sola yönəldilmişdir ciddi şəkildə 45 dərəcə bir açı ilə.

2) Baltaları etiketləyin.

3) Baltalar boyunca şkalayı təyin edin. Ox boyunca miqyas digər oxlar boyunca olan miqyasdan iki dəfə kiçikdir. Həm də qeyd edin ki, düzgün rəsmdə ox boyunca qeyri-standart bir "çentik" istifadə etdim (bu ehtimal yuxarıda qeyd olunub). Mənim fikrimcə, bu, daha dəqiq, daha sürətli və estetik cəhətdən daha xoşdur - mikroskop altında hüceyrənin ortasını axtarmağa və koordinatların mənşəyinə yaxın bir vahidi "heykəltəraş etməyə" ehtiyac yoxdur.

3D rəsm çəkərkən yenə miqyaslılığa üstünlük verin
1 vahid = 2 hüceyrə (solda rəsm).

Bütün bu qaydalar nə üçündür? Qaydalar pozulmaq üçün edilir. Mən indi bunu edəcəm. Fakt budur ki, məqalənin sonrakı təsvirləri mənim tərəfimdən Excel-də hazırlanacaq və koordinat oxları nöqteyi-nəzərdən səhv görünəcəkdir. düzgün dizayn. Mən bütün qrafikləri əl ilə çəkə bilərdim, lakin Excel onları daha dəqiq çəkmək istəmədiyi üçün onları çəkmək əslində qorxuludur.

Elementar funksiyaların qrafikləri və əsas xassələri

Xətti funksiya tənliklə verilir. Xətti funksiyaların qrafiki belədir birbaşa. Düz xətt qurmaq üçün iki nöqtəni bilmək kifayətdir.

Misal 1

Funksiyanın qrafikini qurun. Gəlin iki nöqtə tapaq. Nöqtələrdən biri kimi sıfırı seçmək sərfəlidir.

Əgər, onda

Başqa bir məqamı götürək, məsələn, 1.

Əgər, onda

Tapşırıqları yerinə yetirərkən, nöqtələrin koordinatları ümumiyyətlə cədvəldə ümumiləşdirilir:

Və dəyərlər özləri şifahi və ya qaralamada, kalkulyatorda hesablanır.

İki nöqtə tapıldı, gəlin rəsm çəkək:

Rəsm hazırlayarkən biz həmişə qrafikaya imza atırıq.

Xətti funksiyanın xüsusi hallarını xatırlamaq faydalı olardı:

İmzaları necə qoyduğuma diqqət yetirin, rəsmin öyrənilməsi zamanı imzalar uyğunsuzluğa yol verməməlidir. IN bu halda Xətlərin kəsişdiyi nöqtənin yanında və ya qrafiklərin arasında sağ altda imza qoymaq son dərəcə arzuolunmaz idi.

1) () formasının xətti funksiyasına düz mütənasiblik deyilir. Misal üçün, . Düz mütənasiblik qrafiki həmişə başlanğıcdan keçir. Beləliklə, düz xəttin qurulması sadələşdirilmişdir - yalnız bir nöqtə tapmaq kifayətdir.

2) Formanın tənliyi oxa paralel düz xətti təyin edir, xüsusən də oxun özü tənliklə verilir. Funksiyanın qrafiki heç bir nöqtə tapılmadan dərhal qurulur. Yəni, giriş aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: "x-in istənilən dəyəri üçün y həmişə -4-ə bərabərdir."

3) Formanın tənliyi oxa paralel düz xətti təyin edir, xüsusən də oxun özü tənliklə verilir. Funksiyanın qrafiki də dərhal qurulur. Giriş aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: "x həmişə y-nin istənilən dəyəri üçün 1-ə bərabərdir."

Bəziləri soruşacaq ki, niyə 6-cı sinfi xatırlayırsınız?! Bu belədir, bəlkə də belədir, amma təcrübə illəri ərzində mən və ya kimi bir qrafik qurmaq tapşırığından çaş-baş qalan onlarla yaxşı tələbə ilə tanış oldum.

Düz xəttin qurulması rəsmlər çəkərkən ən çox görülən hərəkətdir.

Düz xətt analitik həndəsə kursunda ətraflı müzakirə olunur və maraqlananlar məqaləyə müraciət edə bilərlər. Müstəvidə düz xəttin tənliyi.

Kvadrat, kub funksiyanın qrafiki, çoxhədlinin qrafiki

Parabola. Cədvəl kvadrat funksiya () parabolanı təmsil edir. Məşhur hadisəyə nəzər salaq:

Funksiyanın bəzi xassələrini xatırlayaq.

Beləliklə, tənliyimizin həlli: – məhz bu nöqtədə parabolanın təpə nöqtəsi yerləşir. Bunun niyə belə olduğunu törəmə haqqında nəzəri məqalədə və funksiyanın ekstremalları haqqında dərsdə tapmaq olar. Bu vaxt uyğun “Y” dəyərini hesablayaq:

Beləliklə, təpə nöqtədədir

İndi biz parabolanın simmetriyasından həyasızcasına istifadə edərkən başqa nöqtələri tapırıq. Qeyd etmək lazımdır ki, funksiyası – hətta deyil, lakin buna baxmayaraq, heç kim parabolanın simmetriyasını ləğv etmədi.

Qalan xalları hansı ardıcıllıqla tapmaq, məncə, yekun cədvəldən aydın olacaq:

Bu tikinti alqoritmini məcazi mənada Anfisa Çexova ilə "makik" və ya "irəli-geri" prinsipi adlandırmaq olar.

Gəlin rəsm çəkək:

Tədqiq olunan qrafiklərdən başqa bir faydalı xüsusiyyət ağla gəlir:

Kvadrat funksiya üçün () aşağıdakı doğrudur:

Əgər , onda parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldilmişdir.

Əgər , onda parabolanın budaqları aşağı istiqamətlənmişdir.

Əyri haqqında dərin bilikləri Hiperbola və parabola dərsində əldə etmək olar.

Funksiya ilə kub parabola verilir. Budur məktəbdən tanış olan rəsm:

Funksiyanın əsas xüsusiyyətlərini sadalayaq

Funksiya qrafiki

Parabolanın qollarından birini təmsil edir. Gəlin rəsm çəkək:

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Bu vəziyyətdə ox olur şaquli asimptot -də hiperbolanın qrafiki üçün.

Əgər çertyoj tərtib edərkən qrafikin asimptota ilə kəsişməsinə diqqətsizliklə icazə versəniz, bu BÜTÜN səhv olardı.

Həm də birtərəfli məhdudiyyətlər hiperbolanın olduğunu söyləyir yuxarıdan məhdudlaşmır Və aşağıdan məhdudlaşmır.

Funksiyanı sonsuzluqda nəzərdən keçirək: , yəni ox boyunca sola (və ya sağa) sonsuzluğa hərəkət etməyə başlasaq, o zaman “oyunlar” nizamlı addımda olacaq. sonsuz yaxın sıfıra yaxınlaşır və müvafiq olaraq hiperbolanın budaqları sonsuz yaxın oxa yaxınlaşın.

Beləliklə, ox üfüqi asimptot funksiyanın qrafiki üçün, əgər “x” artı və ya mənfi sonsuzluğa meyllidirsə.

Funksiya budur qəribə, və deməli, hiperbola mənşəyə görə simmetrikdir. Bu fakt rəsmdən aydın görünür, əlavə olaraq analitik olaraq asanlıqla yoxlanılır: .

() formasının funksiyasının qrafiki hiperbolanın iki qolunu təmsil edir.

Əgər , onda hiperbola birinci və üçüncü koordinat rüblərində yerləşir(yuxarıdakı şəkilə baxın).

Əgər , onda hiperbola ikinci və dördüncü koordinat rüblərində yerləşir.

Hiperbolanın yerləşməsinin göstərilən nümunəsini qrafiklərin həndəsi çevrilmələri nöqteyi-nəzərindən təhlil etmək asandır.

Misal 3

Hiperbolanın sağ qolunu qurun

Nöqtəli tikinti metodundan istifadə edirik və dəyərləri bütövlükdə bölünməsi üçün seçmək faydalıdır:

Gəlin rəsm çəkək:

Hiperbolanın sol qolunu qurmaq çətin olmayacaq, burada funksiyanın qəribəliyi kömək edəcək. Kobud şəkildə desək, nöqtəli tikinti cədvəlində zehni olaraq hər nömrəyə bir mənfi əlavə edirik, müvafiq nöqtələri qoyuruq və ikinci budağı çəkirik.

Nəzərdən keçirilən xətt haqqında ətraflı həndəsi məlumatı Hiperbola və parabola məqaləsində tapmaq olar.

Eksponensial funksiyanın qrafiki

IN bu paraqraf Dərhal eksponensial funksiyanı nəzərdən keçirəcəyəm, çünki ali riyaziyyat problemlərində 95% hallarda eksponensial görünür.

Nəzərinizə çatdırım ki, bu, irrasional bir rəqəmdir: , bu, əslində, mərasimsiz quracağım bir qrafik qurarkən tələb olunacaq. Yəqin ki, üç nöqtə kifayətdir:

Funksiyanın qrafikini hələlik tək qoyaq, daha sonra bu haqda daha ətraflı danışaq.

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Funksiya qrafikləri və s. prinsipcə eyni görünür.

Deməliyəm ki, ikinci hal praktikada daha az baş verir, lakin olur, ona görə də bu məqaləyə daxil etməyi zəruri hesab etdim.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki

Təbii loqarifmalı funksiyanı nəzərdən keçirək.
Nöqtə-nöqtəli rəsm çəkək:

Loqarifmin nə olduğunu unutmusunuzsa, məktəb dərsliklərinə müraciət edin.

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Domen:

Dəyərlər diapazonu: .

Funksiya yuxarıdan məhdud deyil: , yavaş da olsa, loqarifmin budağı sonsuzluğa qədər uzanır.
Sağda sıfıra yaxın funksiyanın davranışını araşdıraq: . Beləliklə, ox şaquli asimptot funksiyanın qrafiki üçün “x” sağdan sıfıra meyllidir.

Loqarifmin tipik dəyərini bilmək və yadda saxlamaq vacibdir: .

Prinsipcə, bazaya olan loqarifmin qrafiki eyni görünür: , , (10-cu bazaya onluq loqarifm) və s. Üstəlik, baza nə qədər böyük olsa, qrafik bir o qədər düz olacaqdır.

Biz işi nəzərdən keçirməyəcəyik; axırıncı dəfə belə bir əsasla qrafik qurduğumu xatırlamıram. Və loqarifm ali riyaziyyat problemlərində çox nadir qonaq kimi görünür.

Bu paraqrafın sonunda daha bir faktı deyəcəyəm: Eksponensial funksiya və loqarifmik funksiya– bunlar iki qarşılıqlı tərs funksiyadır. Loqarifmin qrafikinə diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, bu eyni eksponentdir, sadəcə olaraq bir az fərqli yerdədir.

Triqonometrik funksiyaların qrafikləri

Məktəbdə triqonometrik əzab haradan başlayır? Sağ. Sinusdan

Funksiyanın qrafikini çəkək

Bu xətt adlanır sinusoid.

Nəzərinizə çatdırım ki, “pi” irrasional ədəddir: , triqonometriyada isə gözlərinizi qamaşdırır.

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Bu funksiyadır dövri dövrü ilə. Bunun mənası nədi? Seqmentə baxaq. Onun solunda və sağında qrafikin eyni parçası sonsuz təkrarlanır.

Domen: , yəni hər hansı “x” dəyəri üçün sinus dəyəri var.

Dəyərlər diapazonu: . Funksiya budur məhduddur: , yəni bütün "oyunlar" ciddi şəkildə seqmentdə oturur.
Bu baş vermir: daha doğrusu, olur, lakin bu tənliklərin həlli yoxdur.

1. Kəsr xətti funksiya və onun qrafiki

P(x) və Q(x) çoxhədli olduğu y = P(x) / Q(x) formalı funksiya kəsr rasional funksiya adlanır.

Yəqin ki, rasional ədədlər anlayışı ilə artıq tanışsınız. Eynilə rasional funksiyalar iki çoxhədlinin bölünməsi kimi təqdim oluna bilən funksiyalardır.

Əgər kəsr rasional funksiya iki xətti funksiyanın bölünməsidirsə - birinci dərəcəli polinomlar, yəni. formanın funksiyası

y = (ax + b) / (cx + d), onda kəsr xətti adlanır.

Qeyd edək ki, y = (ax + b) / (cx + d) funksiyasında c ≠ 0 (əks halda funksiya xətti y = ax/d + b/d olur) və a/c ≠ b/d (əks halda funksiya sabitdir). X = -d/c istisna olmaqla, bütün real ədədlər üçün xətti kəsr funksiyası müəyyən edilir. Kəsr xətti funksiyaların qrafikləri bildiyiniz y = 1/x qrafikindən formaca fərqlənmir. y = 1/x funksiyasının qrafiki olan əyriyə deyilir hiperbola. Mütləq dəyərdə x-in qeyri-məhdud artması ilə y = 1/x funksiyası mütləq qiymətdə qeyri-məhdud şəkildə azalır və qrafikin hər iki qolu absisə yaxınlaşır: sağ tərəf yuxarıdan, sol tərəf isə aşağıdan yaxınlaşır. Hiperbolanın budaqlarının yaxınlaşdığı xətlər onun adlanır asimptotlar.

Misal 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Həll.

Bütün hissəni seçək: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

İndi asanlıqla görmək olar ki, bu funksiyanın qrafiki y = 1/x funksiyasının qrafikindən aşağıdakı çevrilmələrlə alınır: 3 vahid seqment sağa sürüşərək, Oy oxu boyunca 7 dəfə uzanaraq və 2 dəfə sürüşdürün. vahid seqmentləri yuxarıya doğru.

İstənilən kəsr y = (ax + b) / (cx + d) “tam hissəni” vurğulayaraq oxşar şəkildə yazıla bilər. Nəticə etibarilə, bütün kəsr xətti funksiyaların qrafikləri hiperbolalardır, koordinat oxları boyunca müxtəlif yollarla yerdəyişmiş və Oy oxu boyunca uzanmışlar.

İstənilən ixtiyari kəsr-xətti funksiyanın qrafikini qurmaq üçün bu funksiyanı təyin edən kəsri çevirmək qətiyyən lazım deyil. Qrafikin hiperbola olduğunu bildiyimiz üçün onun budaqlarının yaxınlaşdığı düz xətləri - x = -d/c və y = a/c hiperbolanın asimptotlarını tapmaq kifayət edəcəkdir.

Misal 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiyasının qrafikinin asimptotlarını tapın.

Həll.

Funksiya müəyyən edilməyib, x = -1. Bu o deməkdir ki, x = -1 düz xətti şaquli asimptot rolunu oynayır. Üfüqi asimptotu tapmaq üçün x arqumenti mütləq dəyərdə artdıqda y(x) funksiyasının qiymətlərinin nəyə yaxınlaşdığını öyrənək.

Bunu etmək üçün kəsrin payını və məxrəcini x-ə bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğu üçün kəsr 3/2-yə meyl edəcək. Bu o deməkdir ki, üfüqi asimptot y = 3/2 düz xəttdir.

Misal 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

Kəsirin “bütün hissəsini” seçək:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

İndi asanlıqla görmək olar ki, bu funksiyanın qrafiki y = 1/x funksiyasının qrafikindən aşağıdakı çevrilmələrlə alınır: 1 vahid sola sürüşmə, Ox-a nisbətən simmetrik ekran və sürüşmə: Oy oxu boyunca 2 vahid seqment yuxarı.

Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymətlər diapazonu E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Oxlarla kəsişmə nöqtələri: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Funksiya tərif sahəsinin hər intervalında artır.

Cavab: Şəkil 1.

2. Kəsrə rasional funksiya

y = P(x) / Q(x) formasının kəsr rasional funksiyasını nəzərdən keçirək, burada P(x) və Q(x) birincidən yüksək dərəcə çoxhədlidir.

Belə rasional funksiyaların nümunələri:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) və ya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Əgər y = P(x) / Q(x) funksiyası birincidən yüksək olan iki çoxhədlinin bölünməsini ifadə edirsə, onda onun qrafiki, bir qayda olaraq, daha mürəkkəb olacaq və bəzən onu dəqiq qurmaq çətin ola bilər. , bütün detalları ilə. Bununla belə, yuxarıda təqdim etdiyimiz üsullara bənzər üsullardan istifadə etmək çox vaxt kifayətdir.

Kəsrə uyğun kəsr olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Aydındır ki, kəsr rasional funksiyasının qrafiki elementar kəsrlərin qrafiklərinin cəmi kimi əldə edilə bilər.

Kəsr rasional funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi

Kəsr rasional funksiyanın qrafiklərinin qurulmasının bir neçə üsulunu nəzərdən keçirək.

Misal 4.

y = 1/x 2 funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

y = 1/x 2 qrafikini qurmaq üçün y = x 2 funksiyasının qrafikindən istifadə edirik və qrafikləri “bölmək” texnikasından istifadə edirik.

Sahəsi D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Dəyərlər diapazonu E(y) = (0; +∞).

Baltalarla kəsişmə nöqtələri yoxdur. Funksiya bərabərdir. (-∞; 0) intervalından bütün x üçün artır, x üçün 0-dan +∞-ə qədər azalır.

Cavab: Şəkil 2.

Misal 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

Sahəsi D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada faktorlara ayırma, azaltma və xətti funksiyaya endirmə texnikasından istifadə etdik.

Cavab: Şəkil 3.

Misal 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

Tərif dairəsi D(y) = R-dir. Funksiya cüt olduğundan, qrafik ordinata görə simmetrikdir. Qrafik qurmazdan əvvəl gəlin bütün hissəni vurğulayaraq ifadəni yenidən çevirək:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Qeyd edək ki, fraksiyalı rasional funksiyanın düsturunda tam hissənin təcrid edilməsi qrafiklərin qurulması zamanı əsaslardan biridir.

Əgər x → ±∞, onda y → 1, yəni. y = 1 düz xətti üfüqi asimptotdur.

Cavab: Şəkil 4.

Misal 7.

y = x/(x 2 + 1) funksiyasını nəzərdən keçirək və onun ən böyük qiymətini dəqiq tapmağa çalışaq, yəni. qrafikin sağ yarısının ən yüksək nöqtəsi. Bu qrafiki dəqiq qurmaq üçün bugünkü bilik kifayət deyil. Aydındır ki, əyrimiz çox yüksək "yüksəyə" bilməz, çünki məxrəc tez bir zamanda payı “ötməyə” başlayır. Gəlin görək funksiyanın qiyməti 1-ə bərabər ola bilərmi. Bunun üçün x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tənliyini həll etməliyik. Bu tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Bu o deməkdir ki, bizim fərziyyəmiz yanlışdır. Funksiyanın ən böyük qiymətini tapmaq üçün A = x/(x 2 + 1) tənliyinin hansı ən böyük A-da həlli olacağını tapmaq lazımdır. İlkin tənliyi kvadratla əvəz edək: Ax 2 – x + A = 0. Bu tənliyin 1 – 4A 2 ≥ 0 olduqda həlli var. Buradan A = 1/2 ən böyük qiymətini tapırıq.

Cavab: Şəkil 5, max y(x) = ½.

Hələ suallarınız var? Funksiyaların qrafikini necə çəkməyi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Riyaziyyatda ən məşhur eksponensial funksiyalardan biri eksponentdir. Göstərilən gücə yüksəldilmiş Eyler sayını təmsil edir. Excel-də onu hesablamağa imkan verən ayrıca operator var. Onun praktikada necə istifadə oluna biləcəyinə baxaq.

Eksponent müəyyən bir gücə qaldırılmış Eyler ədədidir. Eyler nömrəsinin özü təxminən 2,718281828-dir. Bəzən buna Napier nömrəsi də deyilir. Eksponent funksiyası belə görünür:

burada e - Eyler nömrəsi, n isə yüksəlmə dərəcəsidir.

Bu göstəricini Excel-də hesablamaq üçün ayrı bir operator istifadə olunur - EXP. Bundan əlavə, bu funksiya qrafik kimi göstərilə bilər. Bu alətlərlə işləmək haqqında daha ətraflı danışacağıq.

Metod 1: Funksiyanı əl ilə daxil etməklə eksponenti hesablayın

EXP(nömrə)

Yəni bu formula yalnız bir arqument ehtiva edir. Eyler sayını artırmaq lazım olan gücdür. Bu arqument formada ola bilər ədədi dəyər, və göstəricisi olan xanaya istinad formasını götürün.

Metod 2: Funksiya Sihirbazından istifadə

Eksponentin hesablanması üçün sintaksis olduqca sadə olsa da, bəzi istifadəçilər istifadə etməyi üstün tuturlar Funksiya Sihirbazı. Bunun necə edildiyinə bir nümunə ilə baxaq.

Arqument kimi eksponenti olan xana arayışı istifadə olunursa, kursoru sahəyə yerləşdirməlisiniz. "Nömrə" və sadəcə vərəqdə həmin xananı seçin. Onun koordinatları dərhal sahədə göstəriləcək. Bundan sonra nəticəni hesablamaq üçün düyməni basın "TAMAM".

Metod 3: plan qurmaq

Bundan əlavə, Excel-də eksponentin əsas kimi hesablanmasından əldə edilən nəticələrdən istifadə edərək qrafik qurmaq mümkündür. Qrafik qurmaq üçün vərəqdə müxtəlif güclərin eksponentinin hesablanmış dəyərləri olmalıdır. Onlar yuxarıda təsvir edilən üsullardan biri ilə hesablana bilər.

y (x) = e x, törəməsi funksiyanın özünə bərabərdir.

Göstərici , və ya kimi işarələnir.

Nömrə e

Eksponent dərəcəsinin əsasıdır nömrə e. Bu irrasional rəqəmdir. Təxminən bərabərdir
e ≈ 2,718281828459045...

e sayı ardıcıllığın həddi ilə müəyyən edilir. Bu sözdə ikinci gözəl hədd:
.

e rəqəmi də sıra şəklində göstərilə bilər:
.

Eksponensial qrafik

Eksponensial qrafik, y = e x .

Qrafik eksponenti göstərir e dərəcəyə qədər X.
y (x) = e x
Qrafik göstərir ki, eksponent monoton şəkildə artır.

Formulalar

Əsas düsturlar üçün olduğu kimidir eksponensial funksiya güc bazası ilə e.

;
;
;

İxtiyari a dərəcəsi əsaslı eksponensial funksiyanın eksponensial vasitəsilə ifadəsi:
.

Şəxsi dəyərlər

Qoy y (x) = e x. Sonra
.

Eksponent xassələri

Eksponent güc bazası olan eksponensial funksiyanın xüsusiyyətlərinə malikdir e > 1 .

Domen, dəyərlər toplusu

Göstərici y (x) = e x bütün x üçün müəyyən edilmişdir.
Onun tərif sahəsi:
- ∞ < x + ∞ .
Onun bir çox mənası var:
0 < y < + ∞ .

İfrat, artan, azalan

Eksponensial monoton artan funksiyadır, ona görə də onun ekstremal nöqtəsi yoxdur. Onun əsas xüsusiyyətləri cədvəldə təqdim olunur.

Tərs funksiya

Eksponentin tərsi təbii loqarifmdir.
;
.

Göstəricinin törəməsi

törəmə e dərəcəyə qədər X bərabərdir e dərəcəyə qədər X :
.
n-ci dərəcəli törəmə:
.
Düsturların alınması > > >

İnteqral

Kompleks ədədlər

ilə hərəkətlər mürəkkəb ədədlər istifadə edərək həyata keçirilir Eyler düsturları:
,
xəyali vahid haradadır:
.

Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

; ;
.

Triqonometrik funksiyalardan istifadə edən ifadələr

; ;
;
.

Güc seriyasının genişləndirilməsi

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.