Coğrafi koordinatlar. Yerin forması və ölçüsü. koordinat sistemləri. Hündürlüklər

Qütb koordinat sistemi müəyyən bir nöqtəni təyin etməklə müəyyən edilir O, şüanın bu nöqtəsindən çıxan qütb adlanır O.A.(kimi də qeyd olunur öküz), qütb oxu adlanır və uzunluqları dəyişdirmək üçün miqyas. Bundan əlavə, qütb koordinat sistemini təyin edərkən, nöqtənin ətrafında hansı fırlanmalar olduğu müəyyən edilməlidir O müsbət hesab olunur (çizgilərdə saat yönünün əksinə dönmələr adətən müsbət hesab olunur).

Beləliklə, təyyarədə müəyyən bir nöqtə seçək (yuxarıdakı şəkil) O(qütb) və ondan çıxan bəzi şüa öküz. Bundan əlavə, miqyas vahidini göstəririk. Nöqtənin qütb koordinatları M iki ədəd ρ və φ adlanır, onlardan birincisi (qütb radiusu ρ) nöqtənin məsafəsinə bərabərdir. M dirəkdən O, ikincisi (qütb bucağı φ, buna amplituda da deyilir) şüanın saat yönünün əksinə fırlanmalı olduğu bucaqdır. öküzşüa ilə hizalanmadan əvvəl OM.

Nöqtə M qütb koordinatları ilə ρ və φ simvolu ilə təyin olunur M(ρ, φ) .

Qütb koordinatları ilə Dekart koordinatları arasında əlaqə

Quraşdıraq nöqtənin qütb koordinatları ilə onun Dekart koordinatları arasındakı əlaqə . Dekart düzbucaqlı koordinat sisteminin başlanğıcının qütbdə olduğunu və absislərin müsbət yarımoxunun qütb oxu ilə üst-üstə düşdüyünü fərz edəcəyik. Qoy nöqtə olsun M kartezyen koordinatlarına malikdir x Və y və qütb koordinatları ρ və φ.Sonra

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Nöqtənin qütb koordinatları ρ və φ M onun Kartezyen koordinatları ilə aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

φ bucağının qiymətini tapmaq üçün işarələrdən istifadə etmək lazımdır x Və y, nöqtənin yerləşdiyi kvadrantı təyin edin M, və əlavə olaraq, φ bucağının tangensinin -ə bərabər olmasından faydalanın.

Yuxarıdakı düsturlar dekartdan qütb koordinatlarına keçid üçün düsturlar adlanır.

Qütb koordinat sistemindəki nöqtələrlə bağlı məsələlər

Misal 1.

A(3; π /4) ;

B(2; -π /2) ;

C(3; -π /3) .

Qütb oxu ətrafında bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin qütb koordinatlarını tapın.

Həll. Simmetriya ilə şüanın uzunluğu dəyişmir. Nəticə etibarilə, qütb oxuna nisbətən simmetrik nöqtə üçün birinci koordinat - şüanın uzunluğu verilmiş nöqtə ilə eyni olacaqdır. Dərsin əvvəlindəki şəkildən göründüyü kimi, qütb oxuna nisbətən simmetrik nöqtə qurarkən, bu nöqtə qütb oxu ətrafında eyni φ bucağı ilə fırlanmalıdır. Nəticə etibarilə, qütb koordinat sistemində simmetrik nöqtənin ikinci koordinatı ilkin nöqtə üçün əks işarə ilə alınan bucaq, yəni -φ olacaqdır. Deməli, qütb oxuna nisbətən verilənə simmetrik olan nöqtənin qütb koordinatları yalnız ikinci koordinatda fərqlənəcək və bu koordinat əks işarəyə malik olacaqdır. Tələb olunan simmetrik nöqtələrin qütb koordinatları aşağıdakı kimi olacaq:

A"(3; -π /4) ;

B"(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

Misal 2. Qütb koordinat sistemində nöqtələr müstəvidə verilir

A(1; π /4) ;

B(5; π /2) ;

C(2; -π /3) .

Qütbə nisbətən bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin qütb koordinatlarını tapın.

Həll. Simmetriya ilə şüanın uzunluğu dəyişmir. Nəticə etibarilə, qütbə nisbətən simmetrik bir nöqtə üçün birinci koordinat - şüanın uzunluğu verilmiş nöqtə ilə eyni olacaqdır. Başlanğıc nöqtəsini saat əqrəbinin əksinə 180 dərəcə, yəni bucaqla çevirməklə qütbə nisbətən simmetrik bir nöqtə əldə edilir. π . Nəticə etibarilə, qütbə nisbətən verilənə simmetrik olan nöqtənin ikinci koordinatı belə hesablanır. φ + π (nəticə məxrəcdən böyük bir paydırsa, nəticədə çıxan ədəddən bir tam inqilab çıxın, yəni 2 π ). Qütbə nisbətən verilənlərə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:

A"(1; 3π /4) ;

B"(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

Misal 3. Qütb koordinat sisteminin qütbü Dekart düzbucaqlı koordinatlarının başlanğıcı ilə, qütb oxu isə absislərin müsbət yarımoxu ilə üst-üstə düşür. Nöqtələr qütb koordinat sistemində verilmişdir

A(6; π /2) ;

B(5; 0) ;

C(2; π /4) .

Bu nöqtələrin Kartezian koordinatlarını tapın.

Həll. Qütb koordinatlarından Karteziana keçid üçün düsturlardan istifadə edirik:

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Bu nöqtələrin aşağıdakı Kartezyen koordinatlarını alırıq:

A(0; 6) ;

B(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

Misal 4. Qütb koordinat sisteminin qütbü Dekart düzbucaqlı koordinatlarının başlanğıcı ilə, qütb oxu isə absislərin müsbət yarımoxu ilə üst-üstə düşür. Nöqtələr Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemində verilmişdir

A(0; 5) ;

B(-3; 0) ;

C(√3; 1) .

Bu nöqtələrin qütb koordinatlarını tapın.

Topoqrafiyada istifadə olunan koordinat sistemləri: coğrafi, düz düzbucaqlı, qütb və bipolyar koordinatlar, onların mahiyyəti və istifadəsi

Koordinatlar hər hansı bir səthdə və ya fəzada nöqtənin mövqeyini təyin edən bucaq və xətti kəmiyyətlər (ədədlər) adlanır.

Topoqrafiyada həm yerdəki birbaşa ölçmələrin nəticələrindən, həm də xəritələrdən istifadə etməklə yer səthindəki nöqtələrin mövqeyini ən sadə və birmənalı şəkildə müəyyən etməyə imkan verən koordinat sistemlərindən istifadə olunur. Belə sistemlərə coğrafi, düz düzbucaqlı, qütb və bipolyar koordinatlar daxildir.

Coğrafi koordinatlar(Şəkil 1) - bucaq dəyərləri: koordinatların mənşəyinə nisbətən cismin yer səthindəki mövqeyini təyin edən enlik (Y) və uzunluq (L) - əsas (Qrinviç) meridianının ekvatorla kəsişmə nöqtəsi. Xəritədə coğrafi şəbəkə xəritə çərçivəsinin hər tərəfində miqyasla göstərilir. Çərçivənin qərb və şərq tərəfləri meridianlar, şimal və cənub tərəfləri isə paraleldir. Xəritə vərəqinin künclərində çərçivənin tərəflərinin kəsişmə nöqtələrinin coğrafi koordinatları yazılır.

düyü. 1. Yer səthində coğrafi koordinatlar sistemi

Coğrafi koordinat sistemində yer səthində hər hansı bir nöqtənin koordinatların başlanğıcına nisbətən mövqeyi bucaq ölçüsü ilə müəyyən edilir. Ölkəmizdə və əksər başqa ölkələrdə başlanğıc kimi əsas (Qrinviç) meridianının ekvatorla kəsişmə nöqtəsi götürülür. Beləliklə, bütün planetimiz üçün vahid olduğu üçün coğrafi koordinatlar sistemi müəyyən edərək problemlərin həlli üçün əlverişlidir. qarşılıqlı mövqe bir-birindən əhəmiyyətli məsafədə yerləşən obyektlər.

Buna görə də hərbi işlərdə bu sistem əsasən döyüş silahlarının istifadəsi ilə bağlı hesablamaların aparılması üçün istifadə olunur. uzun məsafə məsələn, ballistik raketlər, aviasiya və s.

Müstəvi düzbucaqlı koordinatları(Şəkil 2) - koordinatların qəbul edilmiş mənşəyinə nisbətən cismin müstəvidə mövqeyini təyin edən xətti kəmiyyətlər - iki qarşılıqlı perpendikulyar xəttin kəsişməsi ( koordinat oxları X və Y).

Topoqrafiyada hər 6 dərəcə zonanın özünəməxsus düzbucaqlı koordinatlar sistemi var. X oxu zonanın ox meridianı, Y oxu ekvator, ox meridianının ekvatorla kəsişmə nöqtəsi isə koordinatların başlanğıc nöqtəsidir.

düyü. 2. Xəritələrdə düz düzbucaqlı koordinatlar sistemi

Müstəvi düzbucaqlı koordinat sistemi zonalıdır; Yer səthinin xəritələrdə Gauss proyeksiyasında təsviri zamanı onun bölündüyü hər altı dərəcə zonası üçün müəyyən edilir və bu proyeksiyada yer səthinin nöqtələrinin təsvirlərinin müstəvidə (xəritədə) mövqeyini göstərmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. .

Zonadakı koordinatların mənşəyi ox meridianının ekvatorla kəsişmə nöqtəsidir, ona nisbətən zonanın bütün digər nöqtələrinin mövqeyi xətti ölçüdə müəyyən edilir. Zonanın mənşəyi və onun koordinat oxları yer səthində ciddi şəkildə müəyyən edilmiş mövqe tutur. Buna görə də hər bir zonanın düzbucaqlı düzbucaqlı koordinatları sistemi həm bütün digər zonaların koordinat sistemləri ilə, həm də coğrafi koordinatlar sistemi ilə əlaqələndirilir.

Nöqtələrin mövqeyini təyin etmək üçün xətti kəmiyyətlərdən istifadə düz düzbucaqlı koordinatlar sistemini həm yerdə işləyərkən, həm də xəritədə hesablamalar aparmaq üçün çox əlverişli edir. Ona görə də bu sistemdən ən çox qoşunlar arasında istifadə olunur. Düzbucaqlı koordinatlar ərazi nöqtələrinin, onların döyüş birləşmələrinin və hədəflərinin mövqeyini göstərir və onların köməyi ilə bir koordinat zonası daxilində və ya iki zonanın bitişik ərazilərində obyektlərin nisbi mövqeyini müəyyənləşdirir.

Qütb və bipolyar koordinat sistemləri yerli sistemlərdir. Hərbi praktikada, onlar ərazinin nisbətən kiçik ərazilərində bəzi nöqtələrin digərlərinə nisbətən mövqeyini müəyyən etmək üçün istifadə olunur, məsələn, hədəfləri təyin edərkən, oriyentirləri və hədəfləri qeyd edərkən, ərazi diaqramlarını tərtib edərkən və s. Bu sistemlər ilə əlaqələndirilə bilər. düzbucaqlı və coğrafi koordinat sistemləri.

Bir müstəvidə və ya üçölçülü fəzada bir koordinat sistemi təqdim etsək, təsvir edə biləcəyik. həndəsi fiqurlar və onların xassələrini tənlik və bərabərsizliklərdən istifadə etməklə, yəni cəbr üsullarından istifadə edə biləcəyik. Buna görə koordinat sistemi anlayışı çox vacibdir.

Bu yazıda düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin müstəvidə və üçölçülü fəzada necə təyin olunduğunu göstərəcəyik və nöqtələrin koordinatlarının necə təyin olunduğunu öyrənəcəyik. Aydınlıq üçün biz qrafik təsvirlər təqdim edirik.

Səhifə naviqasiyası.

Müstəvidə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi.

Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemini təqdim edək.

Bunu etmək üçün təyyarədə iki qarşılıqlı perpendikulyar xətt çəkin və hər birini seçin müsbət istiqamət, onu ox ilə göstərin və hər birini seçin miqyası(uzunluq vahidi). Bu xətlərin kəsişmə nöqtəsini O hərfi ilə işarə edək və onu nəzərdən keçirək başlanqıc nöqtəsi. Beləliklə, aldıq düzbucaqlı koordinat sistemi səthdə.

Seçilmiş mənşəyi O, istiqaməti və miqyası olan düz xətlərin hər biri deyilir koordinat xətti və ya koordinat oxu.

Müstəvidəki düzbucaqlı koordinat sistemi adətən Oxy ilə işarələnir, burada Ox və Oy onun koordinat oxlarıdır. Öküz oxu deyilir x oxu, və Oy oxu - y oxu.

İndi düzbucaqlı koordinat sisteminin müstəvidə təsviri üzərində razılaşaq.

Tipik olaraq, Ox və Oy oxları üzrə uzunluğun ölçü vahidi eyni olmaq üçün seçilir və hər bir koordinat oxundakı başlanğıcdan müsbət istiqamətdə (koordinat oxlarında tire ilə işarələnir və vahidin yanında yazılır) o), absis oxu sağa, ordinat oxu isə yuxarıya doğru yönəldilmişdir. Koordinat oxlarının istiqamətinin bütün digər variantları koordinat sistemini mənşəyə nisbətən müəyyən bucaq altında fırladıb digər tərəfdən baxmaqla səsli oxlara (Ox oxu - sağa, Oy oxu - yuxarı) endirilir. təyyarənin (lazım olduqda).

Düzbucaqlı koordinat sistemi, ilk dəfə Rene Dekart tərəfindən müstəvidə təqdim edildiyi üçün çox vaxt Kartezyen adlanır. Daha tez-tez düzbucaqlı koordinat sistemi, hamısını bir araya gətirən düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi adlanır.

Üçölçülü fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi.

Düzbucaqlı koordinat sistemi Oxyz üçölçülü Evklid fəzasında oxşar şəkildə qurulur, yalnız iki deyil, üç qarşılıqlı perpendikulyar xətt alınır. Başqa sözlə, Ox və Oy koordinat oxlarına Oz koordinat oxu əlavə olunur ki, bu da adlanır. ox tətbiq olunur.

Koordinat oxlarının istiqamətindən asılı olaraq üçölçülü fəzada sağ və sol düzbucaqlı koordinat sistemləri fərqləndirilir.

Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxıldıqda və Ox oxunun müsbət istiqamətindən Oy oxunun müsbət istiqamətinə ən qısa fırlanma saat əqrəbinin əksinə baş verirsə, o zaman koordinat sistemi adlanır. sağ.

Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxıldıqda və Ox oxunun müsbət istiqamətindən Oy oxunun müsbət istiqamətinə ən qısa fırlanma saat əqrəbi istiqamətində baş verirsə, o zaman koordinat sistemi adlanır. sol.

Müstəvidə Dekart koordinat sistemindəki nöqtənin koordinatları.

Əvvəlcə Ox koordinat xəttini nəzərdən keçirin və üzərində M nöqtəsini götürün.

Hər bir həqiqi ədəd bu koordinat xəttində bir M nöqtəsinə uyğun gəlir. Məsələn, koordinat xəttinin başlanğıcından müsbət istiqamətdə məsafədə yerləşən nöqtə rəqəmə, -3 rəqəmi isə mənfi istiqamətdə başlanğıcdan 3 məsafədə yerləşən nöqtəyə uyğundur. 0 rəqəmi başlanğıc nöqtəsinə uyğundur.

Digər tərəfdən, Ox koordinat xəttinin hər bir M nöqtəsi həqiqi ədədə uyğun gəlir. M nöqtəsi mənşəyi (O nöqtəsi) ilə üst-üstə düşürsə, bu həqiqi ədəd sıfırdır. M nöqtəsi başlanğıcdan müsbət istiqamətdə çıxarılarsa, bu həqiqi ədəd müsbətdir və verilmiş miqyasda OM seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. Bu həqiqi ədəd mənfidir və M nöqtəsi başlanğıcdan mənfi istiqamətdə çıxarılarsa, mənfi işarəli OM seqmentinin uzunluğuna bərabərdir.

Nömrə çağırılır əlaqələndirmək koordinat xəttində M nöqtələri.

İndi təqdim edilmiş düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi ilə bir təyyarəni nəzərdən keçirək. Bu müstəvidə ixtiyari M nöqtəsini qeyd edək.

M nöqtəsinin Ox xəttinə proyeksiyası, M nöqtəsinin Oy koordinat xəttinə proyeksiyası olsun (lazım olduqda məqaləyə baxın). Yəni M nöqtəsi vasitəsilə Ox və Oy koordinat oxlarına perpendikulyar xətlər çəkiriksə, bu xətlərin Ox və Oy xətləri ilə kəsişmə nöqtələri müvafiq olaraq nöqtələrdir və.

Rəqəm Ox koordinat oxundakı nöqtəyə, nömrə isə Oy oxundakı nöqtəyə uyğun olsun.

Verilmiş düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindəki müstəvinin hər bir M nöqtəsi unikal sifarişli həqiqi ədədlər cütünə uyğundur. M nöqtəsinin koordinatları səthində. Koordinat deyilir M nöqtəsinin absisi, A - M nöqtəsinin ordinatı.

Əks ifadə də doğrudur: hər bir sıralanmış həqiqi ədəd cütü verilmiş koordinat sistemində müstəvidə M nöqtəsinə uyğun gəlir.

Üç ölçülü fəzada düzbucaqlı koordinat sistemindəki nöqtənin koordinatları.

M nöqtəsinin koordinatlarının üçölçülü fəzada müəyyən edilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində necə təyin olunduğunu göstərək.

M nöqtəsinin müvafiq olaraq Ox, Oy və Oz koordinat oxlarına proyeksiyaları olsun və olsun. Ox, Oy və Oz koordinat oxları üzərindəki bu nöqtələr həqiqi ədədlərə və uyğun olsun.

M nöqtəsinin koordinat oxlarına proyeksiyalarını Ox, Oy və Oz xətlərinə perpendikulyar müstəvilər quraraq və M nöqtəsindən keçməklə də əldə etmək olar. Bu müstəvilər Ox, Oy və Oz koordinat xətlərini müvafiq olaraq və nöqtələrində kəsəcək.

Verilmiş Kartezyen koordinat sistemindəki üçölçülü fəzada hər bir nöqtə həqiqi ədədlərin ardıcıl üçlüyünə uyğundur. M nöqtəsinin koordinatları, nömrələr çağırılır absis, ordinasiya etmək Və müraciət etmək müvafiq olaraq M nöqtəsi. Əks müddəa da doğrudur: verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində həqiqi ədədlərin hər ardıcıl üçlüyü üçölçülü fəzada M nöqtəsinə uyğun gəlir.

Biblioqrafiya.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina İ.İ. Həndəsə. 7-9-cu siniflər: ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G.. Həndəsə. Orta məktəbin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Mordkoviç A.G. Cəbr. 7-ci sinif. 1-ci hissə: Ümumtəhsil müəssisələrinin şagirdləri üçün dərslik.

Kosmosda bir nöqtənin mövqeyinin müəyyən edilməsi

Deməli, bir nöqtənin fəzadakı mövqeyini ancaq bəzi digər nöqtələrə münasibətdə müəyyən etmək olar. Digər nöqtələrin mövqeyinin nəzərə alındığı nöqtəyə nisbi deyilir istinad nöqtəsi . İstinad nöqtəsi üçün başqa bir ad da istifadə edəcəyik - müşahidə nöqtəsi . Adətən istinad nöqtəsi (və ya müşahidə nöqtəsi) bəziləri ilə əlaqələndirilir koordinat sistemi , adlanır istinad sistemi. Seçilmiş istinad sistemində HƏR nöqtənin mövqeyi ÜÇ koordinatla müəyyən edilir.

Sağ tərəfdəki kartezyen (və ya düzbucaqlı) koordinat sistemi

Bu koordinat sistemi də adlanan üç qarşılıqlı perpendikulyar yönəldilmiş xəttdən ibarətdir koordinat oxları , bir nöqtədə kəsişən (mənşəyi). Mənşə nöqtəsi adətən O hərfi ilə işarələnir.

Koordinat oxları adlanır:

1. Abscissa oxu – OX kimi təyin olunur;

2. Y oxu – OY kimi işarələnir;

3. Tətbiq oxu – OZ kimi təyin olunur

İndi bu koordinat sisteminin niyə sağ əlli adlandığını izah edək. XOY müstəvisinə şəkildə göstərildiyi kimi OZ oxunun müsbət istiqamətindən, məsələn, A nöqtəsindən baxaq.

Fərz edək ki, biz OX oxunu O nöqtəsi ətrafında fırlatmağa başlayırıq. Deməli - düzgün koordinat sisteminin elə bir xüsusiyyəti var ki, XOY müstəvisinə müsbət yarımox OZ-nin istənilən nöqtəsindən baxsanız (bizim üçün bu A nöqtəsidir) , onda OX oxunu saat əqrəbinin əksinə 90 çevirdikdə onun müsbət istiqaməti OY oxunun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşəcək.

Bu qərar ildə qəbul edilib elmi dünya, sadəcə olaraq onu olduğu kimi qəbul etməliyik.

Beləliklə, istinad sistemi haqqında qərar qəbul etdikdən sonra (bizim vəziyyətimizdə sağ tərəfdəki Dekart koordinat sistemi) hər hansı bir nöqtənin mövqeyi onun koordinatlarının dəyərləri və ya başqa sözlə, dəyərlər vasitəsilə təsvir edilir. bu nöqtənin koordinat oxları üzrə proyeksiyalarının.

Belə yazılır: A(x, y, z), burada x, y, z A nöqtəsinin koordinatlarıdır.

Düzbucaqlı koordinat sistemi üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilərin kəsişmə xətləri kimi düşünülə bilər.

Qeyd etmək lazımdır ki, düzbucaqlı koordinat sistemini kosmosda istədiyiniz şəkildə istiqamətləndirə bilərsiniz və yalnız bir şərt yerinə yetirilməlidir - koordinatların mənşəyi istinad mərkəzi (və ya müşahidə nöqtəsi) ilə üst-üstə düşməlidir.

Sferik koordinat sistemi

Bir nöqtənin fəzadakı mövqeyi başqa cür də təsvir edilə bilər. Tutaq ki, biz O istinad nöqtəsinin (və ya müşahidə nöqtəsinin) yerləşdiyi fəza regionunu seçmişik və istinad nöqtəsindən müəyyən A nöqtəsinə qədər olan məsafəni də bilirik. Bu iki nöqtəni OA düz xətti ilə birləşdirək. . Bu xətt adlanır radius vektoru və kimi işarələnir r. Eyni radius vektor dəyərinə malik olan bütün nöqtələr mərkəzi istinad nöqtəsində (və ya müşahidə nöqtəsində) olan bir kürənin üzərində yerləşir və bu sferanın radiusu müvafiq olaraq radius vektoruna bərabərdir.

Beləliklə, bizə aydın olur ki, radius vektorunun qiymətini bilmək bizim üçün maraqlı olan nöqtənin mövqeyi haqqında bizə birmənalı cavab vermir. Sizə daha İKİ koordinat lazımdır, çünki nöqtənin yerini birmənalı şəkildə müəyyən etmək üçün koordinatların sayı ÜÇ olmalıdır.

Sonra, aşağıdakı kimi davam edəcəyik - təbii olaraq kəsişmə xətti verəcək iki qarşılıqlı perpendikulyar təyyarə quracağıq və bu xətt sonsuz olacaq, çünki təyyarələrin özləri heç bir şeylə məhdudlaşmır. Bu xətt üzərində bir nöqtə qoyaq və onu, məsələn, O1 nöqtəsi kimi təyin edək. İndi gəlin bu O1 nöqtəsini kürənin mərkəzi - O nöqtəsi ilə birləşdirək və görək nə baş verir?

Və çox maraqlı bir şəkil çıxır:

· Həm bir, həm də digər təyyarələr olacaq mərkəzi təyyarələr.

· Bu müstəvilərin kürənin səthi ilə kəsişməsi ilə işarələnir böyük dairələr

· Bu dairələrdən biri - özbaşına, biz zəng edəcəyik EKVATOR, sonra digər dairə çağırılacaq ƏSAS MERİDİAN.

· İki təyyarənin kəsişmə xətti istiqaməti unikal şəkildə müəyyən edəcəkdir ƏSAS MERİDİANIN XƏTLƏRİ.

Baş meridian xəttinin sferanın səthi ilə kəsişmə nöqtələrini M1 və M2 kimi qeyd edirik.

Sferanın mərkəzindən, əsas meridianın müstəvisində O nöqtəsindən keçərək, əsas meridianın xəttinə perpendikulyar düz xətt çəkirik. Bu düz xətt adlanır Qütb oxu .

Qütb oxu deyilən iki nöqtədə kürənin səthini kəsəcək SƏRƏNİN QÜTUTLARI. Bu nöqtələri P1 və P2 kimi təyin edək.

Kosmosda bir nöqtənin koordinatlarının təyin edilməsi

İndi biz fəzada bir nöqtənin koordinatlarının təyin edilməsi prosesini nəzərdən keçirəcəyik, həmçinin bu koordinatlara adlar verəcəyik. Şəkili tamamlamaq üçün bir nöqtənin mövqeyini təyin edərkən, koordinatların hesablandığı əsas istiqamətləri, həmçinin sayarkən müsbət istiqaməti göstəririk.

1. İstinad nöqtəsinin (və ya müşahidə nöqtəsinin) məkanında mövqeyi təyin edin. Bu nöqtəni O hərfi ilə işarə edək.

2. Radiusu A nöqtəsinin radius vektorunun uzunluğuna bərabər olan kürə qurun. (A nöqtəsinin radius vektoru O və A nöqtələri arasındakı məsafədir). Kürənin mərkəzi O istinad nöqtəsində yerləşir.

3. EKVATOR müstəvisinin fəzasında mövqeyini və müvafiq olaraq ƏSAS MERIDİAN müstəvisini təyin etdik. Xatırladaq ki, bu təyyarələr qarşılıqlı perpendikulyardır və mərkəzidir.

4. Bu müstəvilərin sferanın səthi ilə kəsişməsi bizim üçün ekvator dairəsinin mövqeyini, baş meridianın dairəsini, həmçinin əsas meridianın xəttinin və qütb oxunun istiqamətini müəyyən edir.

5. Qütb oxunun qütblərinin və əsas meridian xəttinin qütblərinin mövqeyini təyin edin. (Qütb oxunun qütbləri kürənin səthi ilə qütb oxunun kəsişmə nöqtələridir. Baş meridian xəttinin qütbləri əsas meridian xəttinin kürənin səthi ilə kəsişmə nöqtələridir. ).

6. A nöqtəsi və qütb oxu vasitəsilə biz bir müstəvi qururuq ki, biz onu A nöqtəsinin meridianının müstəvisi adlandıracağıq. Bu müstəvi sferanın səthi ilə kəsişdikdə böyük bir dairə alınacaq ki, biz onu A nöqtəsinin meridianının müstəvisi adlandıracağıq. A nöqtəsinin MERIDİANI.

7. A nöqtəsinin meridianı E1 kimi təyin edəcəyimiz bir nöqtədə EKVATOR dairəsini kəsəcək.

8. E1 nöqtəsinin ekvator dairəsində mövqeyi M1 və E1 nöqtələri arasında bağlanmış qövsün uzunluğu ilə müəyyən edilir. Geri sayma saat əqrəbinin əksinədir. M1 və E1 nöqtələri arasında əhatə olunmuş ekvator dairəsinin qövsü A nöqtəsinin UZUNLUĞU adlanır. Uzunluq hərflə işarələnir.  .

Aralıq nəticələri ümumiləşdirək. Hal-hazırda biz A nöqtəsinin fəzada mövqeyini təsvir edən ÜÇ koordinatdan İKİSİNİ bilirik - bu, radius vektoru (r) və uzunluqdur (). İndi üçüncü koordinatı təyin edəcəyik. Bu koordinat A nöqtəsinin onun meridianındakı mövqeyi ilə müəyyən edilir. Ancaq hesablamanın aparıldığı başlanğıc nöqtəsinin mövqeyi dəqiq müəyyən edilməmişdir: həm sferanın qütbündən (P1 nöqtəsi), həm də E1 ​​nöqtəsindən, yəni meridian xətlərinin kəsişdiyi nöqtədən saymağa başlaya bilərik. A nöqtəsinin və ekvatorun (və ya başqa sözlə - ekvator xəttindən).

Birinci halda, A nöqtəsinin meridiandakı mövqeyi Qütb MƏSAFƏSİ adlanır (kimi ilə işarələnir). R) və P1 nöqtəsi (və ya kürənin qütb nöqtəsi) ilə A nöqtəsi arasında qapalı qövsün uzunluğu ilə müəyyən edilir. Hesablama P1 nöqtəsindən A nöqtəsinə qədər meridian xətti boyunca aparılır.

İkinci halda, geri sayım ekvator xəttindən olduqda, A nöqtəsinin meridian xəttindəki mövqeyinə LATITUDE deyilir (kimi ilə işarələnir).   və E1 nöqtəsi ilə A nöqtəsi arasında bağlanmış qövsün uzunluğu ilə müəyyən edilir.

İndi nəhayət deyə bilərik ki, A nöqtəsinin sferik koordinat sistemindəki mövqeyi aşağıdakılarla müəyyən edilir:

· sfer radiusunun uzunluğu (r),

uzunluq qövsünün uzunluğu (),

Qütb məsafəsinin qövs uzunluğu (p)

Bu halda A nöqtəsinin koordinatları aşağıdakı kimi yazılacaq: A(r, , p)

Fərqli bir istinad sistemindən istifadə etsək, A nöqtəsinin sferik koordinat sistemindəki mövqeyi aşağıdakılarla müəyyən edilir:

· sfer radiusunun uzunluğu (r),

uzunluq qövsünün uzunluğu (),

· enliyin qövs uzunluğu ()

Bu halda A nöqtəsinin koordinatları aşağıdakı kimi yazılacaq: A(r, , )

Qövslərin ölçülməsi üsulları

Sual yaranır - bu qövsləri necə ölçə bilərik? Ən sadə və ən təbii yol, qövslərin uzunluğunu çevik bir hökmdarla birbaşa ölçməkdir və bu, kürənin ölçüsü bir insanın ölçüsü ilə müqayisə oluna bilərsə mümkündür. Bəs bu şərt yerinə yetirilmədikdə nə etməli?

Bu halda, biz nisbi qövs uzunluğunu ölçməyə müraciət edəcəyik. Ətrafı standart olaraq alacağıq, hissəsi bizi maraqlandıran qövsdür. Bunu necə edə bilərəm?

Koordinat sistemi- rəqəmlərdən istifadə edərək fəzada nöqtələri təyin etmək üsulu. Kosmosdakı hər hansı bir nöqtəni unikal şəkildə müəyyən etmək üçün lazım olan ədədlərin sayı onun ölçüsünü müəyyən edir. Koordinat sisteminin məcburi elementidir mənşəyi- məsafələrin hesablandığı nöqtə. Başqa bir tələb olunan element, məsafələri ölçməyə imkan verən uzunluq vahididir. Bir ölçülü fəzanın bütün nöqtələri bir nömrədən istifadə edərək seçilmiş mənbə ilə təyin edilə bilər. İki ölçülü fəza üçün iki ədəd, üçölçülü fəza üçün isə üç ədəd lazımdır. Bu nömrələr adlanır koordinatları.

1. Tarix

Bəşəriyyət tarixində koordinat sistemlərinin inkişafı həm riyazi problemlərlə, həm də kartoqrafiya və astronomiyaya əsaslanan naviqasiya sənətinin praktiki problemləri ilə bağlıdır. Məlum sistem koordinatları, düzbucaqlı, ildə Rene Dekart tərəfindən təklif edilmişdir. Avropa riyaziyyatında qütb koordinat sistemi konsepsiyası bu dövrlərdə inkişaf etdi, lakin bu barədə ilk fikirlər Qədim Yunanıstanda, Kəbənin istiqamətini hesablamaq üçün üsullar hazırlayan orta əsr ərəb riyaziyyatçılarında mövcud idi.

Koordinat sistemləri anlayışının yaranması həndəsənin yeni bölmələrinin inkişafına səbəb oldu: analitik, proyektiv, təsviri.

2. Dekart koordinat sistemi

Riyaziyyatda ən çox yayılmış koordinat sistemi Rene Dekartın adını daşıyan Kartezyen koordinat sistemidir. Dekart koordinat sistemi koordinat oxlarının istiqamətini təyin edən mənşə və üç vektorla müəyyən edilir. Kosmosdakı hər bir nöqtə bu nöqtədən məsafəyə uyğun gələn nömrələrlə müəyyən edilir koordinat müstəviləri.

Dekart sisteminin çuxurdakı koordinatları adətən Kosmosda ilə işarələnir.

Müxtəlif Kartezian koordinat sistemləri afin çevrilmələrlə bir-birinə bağlıdır: yerdəyişmə və fırlanma.

3. Əyrixətti koordinat sistemləri

Dekart koordinat sisteminə əsaslanaraq əyrixətti koordinat sistemini təyin etmək olar, məsələn, Kartezyen koordinatları ilə əlaqəli ədədlərin üçölçülü fəzası üçün:

burada bütün funksiyalar birqiymətli və davamlı olaraq fərqləndirilir və Yakobi:

Müstəvidəki əyrixətti koordinat sisteminə misal olaraq nöqtənin mövqeyinin iki rəqəmlə təyin olunduğu qütb koordinat sistemini göstərmək olar: nöqtə ilə başlanğıc arasındakı məsafə və başlanğıcı şüa ilə birləşdirən şüa arasındakı bucaq. nöqtə və seçilmiş ox. Nöqtənin kartezian və qütb koordinatları bir-biri ilə düsturlarla əlaqələndirilir:

Üç ölçülü məkan üçün silindrik və sferik koordinat sistemləri məşhurdur. Beləliklə, təyyarənin kosmosdakı mövqeyi üç rəqəmlə müəyyən edilə bilər: hündürlük, Yer səthində onun uçduğu nöqtəyə qədər olan məsafə və təyyarəyə doğru istiqamətlə şimala istiqamət arasındakı bucaq. Bu tapşırıq silindrik koordinat sisteminə uyğundur.Alternativ olaraq, təyyarənin mövqeyi ona olan məsafə və iki bucaqla müəyyən edilə bilər: qütb və azimutal. Bu vəzifə sferik koordinat sisteminə uyğundur.

Koordinat sistemlərinin müxtəlifliyi sadalananlarla məhdudlaşmır. Bu və ya digərini həll edərkən istifadə üçün əlverişli olan bir çox əyri koordinat sistemləri var riyazi problem.

3.1. Xüsusiyyətlər

Tənliklərin hər biri müəyyən edir koordinat müstəvisi. Fərqli iki koordinat müstəvisinin kəsişməsi i dəstləri koordinat xətti. Kosmosdakı hər bir nöqtə üç koordinat müstəvisinin kəsişməsi ilə müəyyən edilir.

Əyrixətti koordinat sistemlərinin mühüm xüsusiyyətləri qövs elementinin uzunluğu və onlarda həcm elementidir. Bu kəmiyyətlər inteqrasiyada istifadə olunur. Qövs elementinin uzunluğu kvadrat forma ilə verilir:

Onlar metrik tensorun komponentləridir.

Əyrixətti koordinat sistemində həcm elementi bərabərdir

Yakobianın kvadratı metrik tensorun determinantına bərabərdir:

Koordinat sistemi adlanır sağ,əgər onlar koordinat xətlərinə toxunarsa, müvafiq koordinatların böyüməsi istiqamətinə yönəldilirsə, vektorların sağ üçqatını təşkil edirlər.

Əyrixətti koordinat sistemində vektorları təsvir edərkən hər bir nöqtədə müəyyən edilmiş lokal bazadan istifadə etmək rahatdır.

4. Coğrafiya üzrə

6. Fizika üzrə

Fiziki cisimlərin hərəkətini təsvir etmək üçün fizika anlayışdan istifadə edir