İnteqrallar və onların xassələri. Qeyri-müəyyən inteqralın əsas xassələri. Müəyyən inteqralın əsas xassələri

Qoy funksiya olsun y = f(x) intervalında müəyyən edilir [ a, b ], a < b. Aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetirək:

1) ayrılaq [ a, b] nöqtələr a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b haqqında n qismən seqmentlər [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) qismən seqmentlərin hər birində [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, ixtiyari bir nöqtə seçin və bu nöqtədə funksiyanın dəyərini hesablayın: f(z i ) ;

3) əsərləri tapın f(z i ) · Δ x i , qismən seqmentin uzunluğu haradadır [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) gəlin barışaq inteqral cəmi funksiyaları y = f(x) seqmentdə [ a, b ]:

İLƏ həndəsi nöqtə Vizual nöqteyi-nəzərdən bu cəm σ əsasları qismən seqmentlər olan düzbucaqlıların sahələrinin cəmidir [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ] və hündürlüklər bərabərdir f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) müvafiq olaraq (Şəkil 1). ilə işarə edək λ ən uzun qismən seqmentin uzunluğu:

5) zaman inteqral cəminin limitini tapın λ → 0.

Tərif.Əgər (1) inteqral cəminin sonlu həddi varsa və o, seqmentin bölmə metodundan asılı deyilsə [ a, b] qismən seqmentlərə, nə də nöqtələrin seçimindən z i onlarda, sonra bu hədd adlanır müəyyən inteqral funksiyasından y = f(x) seqmentdə [ a, b] və işarələnir

Beləliklə,

Bu halda funksiya f(x) adlanır inteqrasiya oluna bilən on [ a, b]. Nömrələri a Və b müvafiq olaraq inteqrasiyanın aşağı və yuxarı həddi adlanır, f(x) – inteqral funksiya, f(x ) dx- inteqral ifadə, x– inteqrasiya dəyişəni; xətt seqmenti [ a, b] inteqrasiya intervalı adlanır.

Teorem 1.Əgər funksiyası y = f(x) [ intervalında davamlıdır a, b], onda bu intervalda inteqral edilə bilər.

İnteqrasiya hədləri eyni olan müəyyən inteqral sıfıra bərabərdir:

Əgər a > b, onda tərifə görə biz fərz edirik

2. Müəyyən inteqralın həndəsi mənası

Seqmentə qoyun [ a, b] davamlı qeyri-mənfi funksiya təyin olunur y = f(x ) . Əyrixətli trapesiya yuxarıda funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşdırılmış rəqəmdir y = f(x), aşağıdan - Ox oxu boyunca, sola və sağa - düz xətlər x = a Və x = b(Şəkil 2).

Mənfi olmayan funksiyanın müəyyən inteqralı y = f(x) həndəsi baxımdan sahəsinə bərabərdir yuxarıda funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiya y = f(x), sol və sağ – xətt seqmentləri x = a Və x = b, aşağıdan - Ox oxunun bir seqmenti.

3. Müəyyən inteqralın əsas xassələri

1. Məna müəyyən inteqral inteqrasiya dəyişəninin təyinatından asılı deyil:

2. Müəyyən inteqralın işarəsindən sabit amili çıxarmaq olar:

3. İki funksiyanın cəbri cəminin müəyyən inteqralı bu funksiyaların müəyyən inteqrallarının cəbri cəminə bərabərdir:

4.Əgər funksiyası y = f(x) inteqrasiya olunur [ a, b] Və a < b < c, Bu

5. (orta dəyər teoremi). Əgər funksiyası y = f(x) [ intervalında davamlıdır a, b], onda bu seqmentdə elə bir məqam var ki

4. Nyuton-Leybnits düsturu

Teorem 2.Əgər funksiyası y = f(x) [ intervalında davamlıdır a, b] Və F(x) bu seqmentdə onun antiderivativlərindən hər hansı biri olarsa, aşağıdakı düstur etibarlıdır:

adlanır Nyuton-Leybnits düsturu. Fərq F(b) - F(a) adətən aşağıdakı kimi yazılır:

burada simvol ikiqat joker adlanır.

Beləliklə, düstur (2) belə yazıla bilər:

Misal 1.İnteqralı hesablayın

Həll. İnteqral üçün f(x ) = x 2 ixtiyari antiderivativ formaya malikdir

Nyuton-Leybniz düsturunda hər hansı bir antitörəmə istifadə oluna biləcəyi üçün inteqralı hesablamaq üçün ən sadə formaya malik olan antitörəmə götürürük:

5. Müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişməsi

Teorem 3. Qoy funksiya olsun y = f(x) [ intervalında davamlıdır a, b]. Əgər:

1) funksiya x = φ ( t) və onun törəməsi φ "( t) üçün davamlıdır;

2) funksiya qiymətlərinin çoxluğu x = φ ( t) seqmentdir [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, onda düstur etibarlıdır

adlanır müəyyən inteqralda dəyişəni dəyişdirmək üçün düstur .

Fərqli qeyri-müəyyən inteqral, V bu halda lazım deyil orijinal inteqrasiya dəyişəninə qayıtmaq üçün - α və β inteqrasiyasının yeni hədlərini tapmaq kifayətdir (bunun üçün dəyişən üçün həll etməlisiniz. t tənliklər φ ( t) = a və φ ( t) = b).

Əvəz etmək əvəzinə x = φ ( t) əvəzetmədən istifadə edə bilərsiniz t = g(x) . Bu halda, dəyişən üzərində inteqrasiyanın yeni hədlərinin tapılması t sadələşdirir: α = g(a) , β = g(b) .

Misal 2. İnteqralı hesablayın

Həll. Düsturdan istifadə edərək yeni dəyişən təqdim edək. Bərabərliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıraraq 1+ alırıq x = t 2 , harada x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Biz inteqrasiyanın yeni sərhədlərini tapırıq. Bunu etmək üçün köhnə limitləri düsturla əvəz edək x = 3 və x = 8. Alırıq: , haradan t= 2 və α = 2; , harada t= 3 və β = 3. Beləliklə,

Misal 3. Hesablayın

Həll. Qoy u= log x, Sonra , v = x. Formula (4) görə

Antitörəmə və qeyri-müəyyən inteqral.

(a; b) intervalında f(x) funksiyasının əks törəməsi F(x) funksiyasıdır ki, verilmiş intervaldan istənilən x üçün bərabərlik yerinə yetirilsin.

C sabitinin törəməsinin sıfıra bərabər olduğunu nəzərə alsaq, bərabərlik doğrudur. . Beləliklə, f(x) funksiyası ixtiyari C sabiti üçün F(x)+C əks törəmələr toplusuna malikdir və bu antitörəmələr bir-birindən ixtiyari sabit qiymətlə fərqlənirlər.

f(x) funksiyasının antitörəmələrinin bütün çoxluğu bu funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı adlanır və işarə olunur. .

İfadəyə inteqran, f(x) isə inteqral adlanır. İnteqran f(x) funksiyasının diferensialını təmsil edir.

Naməlum funksiyanın diferensialını nəzərə alaraq tapma hərəkəti qeyri-müəyyən inteqrasiya adlanır, çünki inteqrasiyanın nəticəsi bir F(x) funksiyası deyil, onun F(x)+C antitörəmələrinin çoxluğudur.

Cədvəl inteqralları

İnteqralların ən sadə xassələri

1. İnteqrasiya nəticəsinin törəməsi inteqrana bərabərdir.

2. Diferensial funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı məbləğinə bərabərdir funksiyanın özü və ixtiyari sabit.

3. Əmsal qeyri-müəyyən inteqralın işarəsindən çıxarıla bilər.

4. Funksiyaların cəminin/fərqinin qeyri-müəyyən inteqralı funksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının cəmi/fərqinə bərabərdir.

Aydınlaşdırmaq üçün qeyri-müəyyən inteqralın birinci və ikinci xassələrinin ara bərabərlikləri verilmişdir.

Üçüncü və dördüncü xassələri sübut etmək üçün bərabərliklərin sağ tərəflərinin törəmələrini tapmaq kifayətdir:

Bu törəmələr inteqrallara bərabərdir ki, bu da birinci xassə görə sübutdur. Son keçidlərdə də istifadə olunur.

Beləliklə, inteqrasiya problemi diferensiallaşma probleminin tərsidir və bu problemlər arasında çox sıx əlaqə vardır:

birinci xüsusiyyət inteqrasiyanı yoxlamağa imkan verir. Həyata keçirilən inteqrasiyanın düzgünlüyünü yoxlamaq üçün alınan nəticənin törəməsini hesablamaq kifayətdir. Əgər diferensiasiya nəticəsində alınan funksiya inteqrana bərabər olarsa, bu, inteqrasiyanın düzgün aparıldığını bildirir;

qeyri-müəyyən inteqralın ikinci xassəsi funksiyanın məlum diferensialından onun əks törəməsini tapmağa imkan verir. Qeyri-müəyyən inteqralların birbaşa hesablanması bu xassə əsasında aparılır.

1.4.İnteqrasiya formalarının dəyişməzliyi.

İnvariant inteqrasiya arqumentləri qrupun elementləri və ya bircins fəzanın nöqtələri olan funksiyalar üçün inteqrasiya növüdür (belə fəzanın istənilən nöqtəsi qrupun verilmiş hərəkəti ilə digərinə ötürülə bilər).

f(x) funksiyası f.w diferensial formasının inteqralının hesablanmasına azaldır, burada

r(x) üçün açıq düstur aşağıda verilmişdir. Müqavilə şərtinin forması var .

burada Tg gОG-dən istifadə edərək X-də yerdəyişmə operatoru deməkdir: Tgf(x)=f(g-1x). X=G topologiyası, sola yerdəyişmələrlə özünə təsir edən qrup olsun. Mən və. G lokal kompakt olduqda mövcuddur (xüsusən sonsuz ölçülü qruplarda I.I. mövcud deyil). I. alt çoxluğu üçün və. xarakterik funksiyası cA (A-da 1-ə və A xaricində 0-a bərabərdir) sol Xaar ölçüsünü m(A) təyin edir. Bu tədbirin təyinedici xüsusiyyəti onun sola sürüşmələr altında dəyişməzliyidir: bütün gОG üçün m(g-1A)=m(A). Qrup üzrə sol Haar ölçüsü müsbət skalyar faktora qədər unikal şəkildə müəyyən edilir. Haar ölçüsü m məlumdursa, onda I. və. f funksiyası düsturla verilir . Doğru Haar ölçüsü oxşar xüsusiyyətlərə malikdir. Davamlı homomorfizm (qrup xassəsini qoruyan xəritə) G qrupunun DG qrupuna (vurmaya görə) pozitiv var. üçün nömrələr

burada dmr və dmi sağ və sol Haar ölçüləridir. DG(g) funksiyası çağırılır G qrupunun modulu. Əgər , onda G qrupu adlanır. unimodul; bu halda sağ və sol Haar ölçüləri üst-üstə düşür. Yığcam, yarısadə və nilpotent (xüsusən də kommutativ) qruplar unimoduldur. Əgər G n ölçülü Lie qrupudursa və q1,...,qn G-də sol-invariant 1-formalar fəzasında əsasdırsa, G-də sol Haar ölçüsü n-forma ilə verilir. Hesablama üçün yerli koordinatlarda

formaları qi, siz qrup G hər hansı bir matrix reallaşdırılması istifadə edə bilərsiniz: matris 1-forma g-1dg invariant qalır, və onun əmsalı. tələb olunan bazisin seçildiyi sol-invariant skalyar 1-formalardır. Məsələn, tam matris qrupu GL(n, R) birmoduldur və onun üzərindəki Haar ölçüsü forma ilə verilir. Qoy X=G/H bircinsli fəzadır ki, onun üçün lokal kompakt G qrupu transformasiya qrupu, qapalı alt qrup H isə müəyyən nöqtənin stabilizatorudur. X-də i.i-nin mövcud olması üçün bütün hОH üçün DG(h)=DH(h) bərabərliyinin olması zəruri və kifayətdir. Xüsusilə, bu, H yığcam və ya yarımsadə olduqda doğrudur. I. və tam nəzəriyyəsi. sonsuz ölçülü manifoldlarda mövcud deyil.

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi.

İnteqralların həlli asan məsələdir, lakin yalnız seçilmiş bir neçə nəfər üçün. Bu məqalə inteqralları başa düşməyi öyrənmək istəyən, lakin onlar haqqında heç nə və ya demək olar ki, heç nə bilməyənlər üçündür. İnteqral... Niyə lazımdır? Onu necə hesablamaq olar? Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar hansılardır?

Əgər inteqral üçün bildiyiniz yeganə istifadə əlçatmaz yerlərdən faydalı bir şey əldə etmək üçün inteqral simvol kimi formalı qarmaqdan istifadə etməkdirsə, xoş gəlmisiniz! Ən sadə və digər inteqralları necə həll edəcəyinizi və riyaziyyatda niyə onsuz edə bilməyəcəyinizi öyrənin.

Konsepsiyanı öyrənirik « inteqral »

İnteqrasiya əvvəldən məlum idi Qədim Misir. Təbii ki, müasir formada deyil, amma yenə də. O vaxtdan bəri riyaziyyatçılar bu mövzuda çoxlu kitablar yazmışlar. Xüsusilə özlərini fərqləndirdilər Nyuton Və Leybniz , lakin şeylərin mahiyyəti dəyişməyib.

İnteqralları sıfırdan necə başa düşmək olar? Heç bir şəkildə! Bu mövzunu başa düşmək üçün hələ də əsasların əsas anlayışına ehtiyacınız olacaq. riyazi analiz. Bloqumuzda artıq inteqralları anlamaq üçün lazım olan haqqında məlumat var.

Qeyri-müəyyən inteqral

Gəlin bəzi funksiyalarımız olsun f(x) .

Qeyri-müəyyən inteqral funksiya f(x) bu funksiya adlanır F(x) törəməsi funksiyasına bərabər olan f(x) .

Başqa sözlə, inteqral tərs törəmə və ya antitörəmədir. Yeri gəlmişkən, məqaləmizdə necə olduğunu oxuyun.

Bütün davamlı funksiyalar üçün antitörəmə mövcuddur. Həm də antitörəmə tez-tez sabit işarə əlavə olunur, çünki sabit ilə fərqlənən funksiyaların törəmələri üst-üstə düşür. İnteqralın tapılması prosesi inteqrasiya adlanır.

Sadə misal:

Antiderivativləri daim hesablamamaq üçün elementar funksiyalar, onları cədvəldə ümumiləşdirmək və hazır qiymətlərdən istifadə etmək rahatdır.

Tələbələr üçün inteqralların tam cədvəli

Müəyyən inteqral

İnteqral anlayışı ilə məşğul olarkən, biz sonsuz kiçik kəmiyyətlərlə məşğul oluruq. İnteqral bir fiqurun sahəsini, qeyri-bərabər bir cismin kütləsini, qeyri-bərabər hərəkət zamanı qət edilən məsafəni və daha çoxunu hesablamağa kömək edəcəkdir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, inteqral sonsuz sayda sonsuz kiçik şərtlərin cəmidir.

Nümunə olaraq hansısa funksiyanın qrafikini təsəvvür edin.

Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? İnteqraldan istifadə edin! Koordinat oxları və funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiyanı sonsuz kiçik seqmentlərə bölək. Bu şəkildə rəqəm nazik sütunlara bölünəcəkdir. Sütunların sahələrinin cəmi trapezoidin sahəsi olacaqdır. Ancaq unutmayın ki, belə bir hesablama təxmini nəticə verəcəkdir. Lakin seqmentlər nə qədər kiçik və dar olarsa, hesablama bir o qədər dəqiq olacaqdır. Onları uzunluq sıfıra enəcək qədər azaldsaq, seqmentlərin sahələrinin cəmi rəqəmin sahəsinə meyl edəcəkdir. Bu, müəyyən bir inteqraldır və belə yazılmışdır:

a və b nöqtələrinə inteqrasiyanın hədləri deyilir.

« İnteqral »

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var

Dummiyalar üçün inteqralların hesablanması qaydaları

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Qeyri-müəyyən inteqralı necə həll etmək olar? Burada qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinə baxacağıq ki, bu da misalların həlli zamanı faydalı olacaq.

• İnteqralın törəməsi inteqrana bərabərdir:

• Sabit inteqral işarəsi altından çıxarıla bilər:

• Cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir. Bu, fərq üçün də doğrudur:

Müəyyən inteqralın xassələri

• Xəttilik:

• İnteqrasiya hədləri dəyişdirildikdə inteqralın işarəsi dəyişir:

• At hər hansı xal a, b Və ilə:

Artıq müəyyən inteqralın cəminin həddi olduğunu öyrəndik. Bəs nümunəni həll edərkən konkret dəyəri necə əldə etmək olar? Bunun üçün Nyuton-Leybniz düsturu var:

İnteqralların həlli nümunələri

Aşağıda qeyri-müəyyən inteqralı və həlli ilə nümunələri nəzərdən keçirəcəyik. Həllin incəliklərini özünüz anlamanızı təklif edirik və bir şey aydın deyilsə, şərhlərdə suallar verin.

Materialı möhkəmləndirmək üçün inteqralların praktikada necə həll edildiyi haqqında videoya baxın. İnteqral dərhal verilməzsə, ümidsiz olmayın. Tələbələr üçün peşəkar xidmətlə əlaqə saxlayın və qapalı səth üzərində istənilən üçlü və ya əyri inteqral sizin səlahiyyətinizdə olacaq.

Bu məqalədə müəyyən inteqralın əsas xüsusiyyətləri haqqında ətraflı danışılır. Onlar Riemann və Darboux inteqralının konsepsiyasından istifadə etməklə sübut edilmişdir. Müəyyən bir inteqralın hesablanması 5 xassə sayəsində baş verir. Qalanları müxtəlif ifadələri qiymətləndirmək üçün istifadə olunur.

Müəyyən inteqralın əsas xassələrinə keçməzdən əvvəl a-nın b-dən çox olmamasına əmin olmaq lazımdır.

Müəyyən inteqralın əsas xassələri

x = a-da təyin olunan y = f (x) funksiyası ∫ a a f (x) d x = 0 ədalətli bərabərliyinə bənzəyir.

Sübut 1

Buradan görərik ki, hədləri üst-üstə düşən inteqralın qiyməti sıfıra bərabərdir. Bu, Rieman inteqralının nəticəsidir, çünki [ a intervalında hər hansı bölmə üçün hər bir inteqral cəmi σ; a ] və ζ i nöqtələrinin istənilən seçimi sıfıra bərabərdir, çünki x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n, yəni inteqral funksiyaların limitinin sıfır olduğunu tapırıq.

Tərif 2

[a intervalında inteqral oluna bilən funksiya üçün; b ] , ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x şərti ödənilir.

Sübut 2

Başqa sözlə, inteqrasiyanın yuxarı və aşağı hədlərini dəyişdirsəniz, inteqralın qiyməti əks qiymətə dəyişəcəkdir. Bu xassə Riemann inteqralından götürülüb. Bununla belə, seqmentin bölməsinin nömrələnməsi x = b nöqtəsindən başlayır.

Tərif 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x [ a intervalında müəyyən edilmiş y = f (x) və y = g (x) tipli inteqrallana bilən funksiyalara aiddir; b].

Sübut 3

Verilmiş ζ i nöqtələri ilə seqmentlərə bölmək üçün y = f (x) ± g (x) funksiyasının inteqral cəmini yazın: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

burada σ f və σ g seqmenti bölmək üçün y = f (x) və y = g (x) funksiyalarının inteqral cəmidir. λ = m a x i = 1, 2, -də limitə keçdikdən sonra. . . , n (x i - x i - 1) → 0 alırıq ki, lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemanın tərifindən bu ifadə ekvivalentdir.

Tərif 4

Sabit əmsalın müəyyən inteqralın işarəsindən kənara uzadılması. [a] intervalından inteqrasiya olunmuş funksiya; b ] ixtiyari dəyəri olan k ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x şəklində ədalətli bərabərsizliyə malikdir.

Sübut 4

Müəyyən inteqral mülkiyyətin sübutu əvvəlkinə bənzəyir:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Tərif 5

y = f (x) formalı funksiya a ∈ x, b ∈ x olan x intervalında inteqral oluna bilirsə, alırıq ki, ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d olsun. x.

Sübut 5

Mülk c ∈ a üçün etibarlı sayılır; b, c ≤ a və c ≥ b üçün. Sübut əvvəlki xüsusiyyətlərə bənzəyir.

Tərif 6

Funksiya seqmentdən inteqrasiya oluna bildikdə [a; b ], onda bu istənilən daxili c seqmenti üçün mümkündür; d ∈ a ; b.

Sübut 6

Sübut Darboux xassəsinə əsaslanır: əgər seqmentin mövcud bölməsinə xallar əlavə olunarsa, o zaman aşağı Darboux cəmi azalmayacaq, yuxarı isə artmayacaq.

Tərif 7

Funksiya [a; b ] istənilən x ∈ a dəyəri üçün f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0-dan; b , onda alırıq ki, ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Bu xassə Rieman inteqralının tərifindən istifadə etməklə isbat edilə bilər: f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 qeyri-mənfi olması şərti ilə seqmentin bölmə nöqtələrinin və ζ i nöqtələrinin istənilən seçimi üçün istənilən inteqral cəmi. .

Sübut 7

y = f (x) və y = g (x) funksiyaları [ a intervalında inteqral oluna bilirsə; b ] olarsa, aşağıdakı bərabərsizliklər etibarlı hesab olunur:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Bəyanat sayəsində inteqrasiyanın icazəli olduğunu bilirik. Bu nəticə digər xüsusiyyətlərin sübutunda istifadə olunacaq.

Tərif 8

İnteqrallana bilən funksiya üçün [ a intervalından y = f (x) ; b ] ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x şəklində ədalətli bərabərsizliyə sahibik.

Sübut 8

Bizdə belədir - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Əvvəlki xassədən biz müəyyən etdik ki, bərabərsizliyi həd-həd inteqral etmək olar və o, formanın bərabərsizliyinə uyğun gəlir - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Bu ikiqat bərabərsizliyi başqa formada da yazmaq olar: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Tərif 9

y = f (x) və y = g (x) funksiyaları [ a intervalından inteqral edildikdə; b ] g (x) üçün ≥ 0 istənilən x ∈ a üçün; b , m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x şəklində bərabərsizliyi alırıq, burada m = m i n x ∈ a ; b f (x) və M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Sübut 9

Sübut oxşar şəkildə həyata keçirilir. M və m [a seqmentindən müəyyən edilmiş y = f (x) funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətləri hesab olunur; b ] , onda m ≤ f (x) ≤ M . İkiqat bərabərsizliyi dəyəri verən y = g (x) funksiyasına vurmaq lazımdır ikiqat bərabərsizlik formada m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . [a] intervalında inteqrasiya etmək lazımdır; b ] , onda biz ifadənin sübuta yetirilməsini alırıq.

Nəticə: g (x) = 1 üçün bərabərsizlik m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) formasını alır.

İlk orta düstur

y = f (x) üçün [ a intervalında inteqrasiya olunur; b ] ilə m = m i n x ∈ a ; b f (x) və M = m a x x ∈ a ; b f (x) μ ∈ m ədədi var; ∫ a b f (x) d x = μ · b - a uyğun olan M .

Nəticə: y = f (x) funksiyası [ a intervalından kəsilməz olduqda; b ], onda c ∈ a ədədi var; ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a bərabərliyini təmin edən b.

Ümumiləşdirilmiş formada birinci orta düstur

y = f (x) və y = g (x) funksiyaları [ a intervalından inteqral oluna bildikdə; b ] ilə m = m i n x ∈ a ; b f (x) və M = m a x x ∈ a ; b f (x) , və istənilən x ∈ a dəyəri üçün g (x) > 0; b. Buradan əldə edirik ki, μ ∈ m ədədi var; ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x bərabərliyini təmin edən M .

İkinci orta düstur

y = f (x) funksiyası [ a intervalından inteqral oluna bildikdə; b ], və y = g (x) monotondur, onda c ∈ a olan ədəd var; b , burada ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x şəklində ədalətli bərabərliyi əldə edirik.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Diferensial hesablamada problem həll olunur: bu funksiya altında ƒ(x) onun törəməsini tapın(və ya diferensial). İnteqral hesablama tərs məsələni həll edir: onun törəmə F "(x)=ƒ(x) (və ya diferensial) olduğunu bilə-bilə F(x) funksiyasını tapın. Axtarılan F(x) funksiyası ƒ(x) funksiyasının əks törəməsi adlanır. ).

F(x) funksiyası çağırılır antitörəmə(a; b) intervalında ƒ(x) funksiyası, əgər hər hansı x є (a; b) üçün bərabərlik

F " (x)=ƒ(x) (və ya dF(x)=ƒ(x)dx).

Misal üçün, y = x 2, x є R funksiyasının əks törəməsi funksiyadır, çünki

Aydındır ki, istənilən funksiyalar da antitörəmə olacaq

burada C sabitdir, çünki

Teorem 29. 1. Əgər F(x) funksiyası (a;b) üzərində ƒ(x) funksiyasının əks törəməsidirsə, onda ƒ(x) üçün bütün əks törəmələr çoxluğu F(x)+ düsturu ilə verilir. C, burada C sabit ədəddir.

▲ F(x)+C funksiyası ƒ(x)-in əks törəməsidir.

Həqiqətən, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

F(х) ƒ(x) funksiyasının F(x) funksiyasından fərqli başqa antitörəmə olsun, yəni Ф "(x)=ƒ(х). Onda istənilən x є (а; b) üçün bizdə var.

Və bu o deməkdir ki (Nəticə 25.1-ə baxın).

burada C sabit ədəddir. Deməli, Ф(x)=F(x)+С.▼

ƒ(x) üçün bütün antitörəmə funksiyalarının F(x)+С çoxluğu adlanır ƒ(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı və ∫ ƒ(x) dx simvolu ilə işarələnir.

Beləliklə, tərifə görə

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Burada ƒ(x) çağırılır inteqral funksiyası, ƒ(x)dx — inteqral ifadə, X - inteqrasiya dəyişəni, ∫ -qeyri-müəyyən inteqralın işarəsi.

Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralının tapılması əməliyyatına bu funksiyanın inteqrallaşdırılması deyilir.

Həndəsi cəhətdən qeyri-müəyyən inteqral y=F(x)+C “paralel” əyrilər ailəsidir (C-nin hər bir ədədi qiyməti ailənin xüsusi əyrisinə uyğundur) (bax. Şəkil 166). Hər bir antiderivativin (əyri) qrafiki adlanır inteqral əyri.

Hər bir funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı varmı?

“(a;b) üzərində davamlı olan hər bir funksiyanın bu intervalda əks törəməsi var” və deməli, qeyri-müəyyən inteqrala malik olduğunu ifadə edən bir teorem var.

Qeyri-müəyyən inteqralın tərifindən irəli gələn bir sıra xassələrini qeyd edək.

1. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqrada, qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi isə inteqrana bərabərdir:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Həqiqətən, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Bu xassə sayəsində inteqrasiyanın düzgünlüyü diferensiasiya yolu ilə yoxlanılır. Məsələn, bərabərlik

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

doğrudur, çünki (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Müəyyən funksiyanın diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı bu funksiyanın cəminə və ixtiyari sabitə bərabərdir:

∫dF(x)= F(x)+C.

Həqiqətən,

3. Sabit əmsalı inteqral işarəsindən çıxarmaq olar:

α ≠ 0 sabitdir.

Həqiqətən,

(C 1 / a = C qoyun.)

4. Sonlu sayda fasiləsiz funksiyaların cəbri cəminin qeyri-müəyyən inteqralı funksiyaların cəmlərinin inteqrallarının cəbri cəminə bərabərdir:

F"(x)=ƒ(x) və G"(x)=g(x) olsun. Sonra

burada C 1 ±C 2 =C.

5. (İnteqrasiya düsturunun dəyişməzliyi).

Əgər , burada u=φ(x) davamlı törəmə ilə ixtiyari funksiyadır.

▲ x müstəqil dəyişən olsun, ƒ(x) - davamlı funksiya və F(x) onun antigenidir. Sonra

İndi u=φ(x) təyin edək, burada φ(x) davamlı diferensiallanan funksiyadır. F(u)=F(φ(x)) mürəkkəb funksiyasını nəzərdən keçirək. Funksiyanın birinci diferensialının formasının dəyişməzliyinə görə (bax. s. 160) bizdə var.

Buradan▼

Beləliklə, qeyri-müəyyən inteqral üçün düstur inteqrasiya dəyişəninin müstəqil dəyişən və ya onun davamlı törəməsi olan hər hansı funksiyası olmasından asılı olmayaraq etibarlı qalır.

Beləliklə, düsturdan x-i u ilə əvəz etməklə (u=φ(x)) alırıq

Xüsusilə,

Misal 29.1.İnteqralı tapın

burada C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Misal 29.2.İnteqral həlli tapın:

• 29.3. Əsas qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəli

İnteqrasiyanın diferensiallaşmanın tərs hərəkəti olmasından istifadə edərək, diferensial hesabın müvafiq düsturlarını (diferensiallar cədvəli) tərsinə çevirməklə və qeyri-müəyyən inteqralın xassələrindən istifadə etməklə əsas inteqrallar cədvəlini əldə etmək olar.

Misal üçün, çünki

d(sin u)=cos u . du

Cədvəldəki bir sıra düsturların əldə edilməsi əsas inteqrasiya üsullarını nəzərdən keçirərkən veriləcəkdir.

Aşağıdakı cədvəldəki inteqrallar cədvəl adlanır. Onları əzbər bilmək lazımdır. İnteqral hesablamada diferensial hesabda olduğu kimi elementar funksiyaların antitörəmələrini tapmaq üçün sadə və universal qaydalar yoxdur. Antitörəmələrin tapılması üsulları (yəni funksiyanın inteqrasiyası) verilmiş (axtarılan) inteqralı cədvələ gətirən göstərici üsullarına qədər azaldılır. Buna görə də cədvəl inteqrallarını bilmək və onları tanımağı bacarmaq lazımdır.

Qeyd edək ki, əsas inteqrallar cədvəlində inteqrasiya dəyişəni həm müstəqil dəyişəni, həm də müstəqil dəyişənin funksiyasını (inteqrasiya düsturunun dəyişməzlik xassəsinə görə) işarə edə bilər.

Aşağıdakı düsturların etibarlılığı düsturun sol tərəfindəki inteqrana bərabər olacaq diferensialın sağ tərəfində götürülməklə yoxlanıla bilər.

Məsələn, 2-ci düsturun etibarlılığını sübut edək. 1/u funksiyası sıfırdan başqa bütün qiymətlər üçün müəyyən edilmiş və davamlıdır.

Əgər u > 0 olarsa, onda ln|u|=lnu olarsa, onda Buna görə də

Əgər u<0, то ln|u|=ln(-u). Ноdeməkdir

Beləliklə, 2-ci düstur düzgündür. Eynilə, düstur 15-i yoxlayaq:

Əsas inteqrallar cədvəli

Dostlar! Sizi müzakirəyə dəvət edirik. Öz fikriniz varsa, şərhlərdə bizə yazın.