Paritet funksiyasının nümunələrini araşdırın. Cüt və tək funksiyalar. Dövri funksiyalar. Cüt funksiyanın qrafiki

Geri irəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Məqsədlər:

funksiyanın paritet və təklik anlayışını formalaşdırmaq, bu xassələri təyin etmək və nə zaman istifadə etmək bacarığını öyrədir funksiya tədqiqatı, hiylə qurmaq;
tələbələrin yaradıcılıq fəaliyyətini inkişaf etdirmək, məntiqi təfəkkür, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək bacarığı;
zəhmətkeşliyi və riyazi mədəniyyəti inkişaf etdirmək; ünsiyyət bacarıqlarını inkişaf etdirmək .

Avadanlıqlar: multimedia quraşdırılması, interaktiv lövhə, Təqdimat materialı.

İş formaları: axtarış və tədqiqat fəaliyyəti elementləri ilə frontal və qrup.

Məlumat mənbələri:

1. Cəbr 9 sinif A.G.Mordkoviç. Dərs kitabı.
2. Cəbr 9-cu sinif A.Q.Mordkoviç. Problemli kitab.
3. Cəbr 9 sinif. Şagirdlərin öyrənilməsi və inkişafı üçün tapşırıqlar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DƏRSLƏR zamanı

1. Təşkilati məqam

Dərs üçün məqsəd və vəzifələrin qoyulması.

2. Ev tapşırığını yoxlamaq

No 10.17 (9-cu sinif problem kitabı. A.G. Mordkoviç).

A) saat = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksiya olduqda artır X € [– 2; + ∞)
6. Funksiya aşağıdan məhduddur.
7. saat naim = – 3, saat naib yoxdur
8. Funksiya davamlıdır.

(Funksiya kəşfiyyatı alqoritmindən istifadə etmisinizmi?) Slayd.

2. Slayddan sizə verilən cədvəli yoxlayaq.

Cədvəli doldurun
	Domen	Funksiya sıfırları	İşarənin sabitliyinin intervalları		Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
	Domen	Funksiya sıfırları			Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Biliklərin yenilənməsi

– Funksiyalar verilir.
– Hər bir funksiya üçün tərifin əhatə dairəsini göstərin.
– Hər bir arqument dəyəri cütü üçün hər bir funksiyanın dəyərini müqayisə edin: 1 və – 1; 2 və - 2.
– Tərif sahəsindəki bu funksiyalardan hansı üçün bərabərliklər mövcuddur f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (alınan məlumatları cədvələ daxil edin) Slayd

		f(1) və f(– 1)	f(2) və f(– 2)	qrafika	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		və müəyyən edilməmişdir

4. Yeni material

– Uşaqlar, bu işi görərkən biz funksiyanın sizə tanış olmayan, lakin digərlərindən heç də az əhəmiyyətli olmayan başqa bir xüsusiyyətini müəyyən etdik – bu, funksiyanın bərabərliyi və təkliyidir. Dərsin mövzusunu yazın: “Cüt və tək funksiyalar”, bizim vəzifəmiz funksiyanın təkliyini və təkliyini təyin etməyi öyrənmək, funksiyaların öyrənilməsində və qrafiklərin tərtibində bu xassənin əhəmiyyətini öyrənməkdir.
Beləliklə, dərslikdəki tərifləri tapıb oxuyaq (səh. 110) . Slayd

Def. 1 Funksiya saat = f (X), X çoxluğunda müəyyən edilmiş adlanır hətta, hər hansı bir dəyər üçün XЄ X icra olunur bərabərliyi f(–x)= f(x). Nümunələr verin.

Def. 2 Funksiya y = f(x), X çoxluğunda müəyyən edilmiş adlanır qəribə, hər hansı bir dəyər üçün XЄ X f(–х)= –f(х) bərabərliyi yerinə yetirilir. Nümunələr verin.

“Cüt” və “tək” terminlərinə harada rast gəldik?
Bu funksiyalardan hansı bərabər olacaq, sizcə? Niyə? Hansıları qəribədir? Niyə?
Formanın istənilən funksiyası üçün saat= x n, Harada n– tam ədəd, funksiyanın tək olduğu iddia edilə bilər n– tək və funksiya cüt olduqda n- hətta.
- Funksiyalara baxın saat= və saat = 2X– 3 nə cüt, nə də tək deyil, çünki bərabərlik təmin edilmir f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyanın cüt və ya tək olmasının öyrənilməsi funksiyanın paritetinin öyrənilməsi adlanır. Slayd

1 və 2 təriflərində biz x və – x-də funksiyanın qiymətlərindən danışırdıq, bununla da funksiyanın həm də dəyərdə təyin olunduğu güman edilir. X, və - X.

Def 3. Əgər ədədi çoxluq x elementlərinin hər biri ilə birlikdə əks element –x-i də ehtiva edirsə, onda çoxluq X simmetrik çoxluq adlanır.

Nümunələr:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik çoxluqlar, , [–5;4] isə asimmetrikdir.

– Hətta funksiyaların simmetrik çoxluq olan tərif sahəsi varmı? Qəribə olanlar?
– Əgər D( f) asimmetrik çoxluqdur, onda funksiya nədir?
– Beləliklə, əgər funksiya saat = f(X) – cüt və ya tək, onda onun təyinetmə sahəsi D ( f) simmetrik çoxluqdur. Əks müddəa doğrudurmu: funksiyanın təyin olunma sahəsi simmetrik çoxluqdursa, o, cütdür, yoxsa təkdir?
– Bu o deməkdir ki, tərif sahəsinin simmetrik çoxluğunun olması zəruri şərtdir, lakin kifayət deyil.
– Bəs paritet üçün funksiyanı necə araşdırırsınız? Gəlin bir alqoritm yaratmağa çalışaq.

Slayd

Paritet üçün funksiyanın öyrənilməsi alqoritmi

1. Funksiyanın təyin olunma oblastının simmetrik olub olmadığını müəyyən edin. Əgər deyilsə, onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil. Əgər belədirsə, alqoritmin 2-ci addımına keçin.

2. Üçün ifadə yazın f(–X).

3. Müqayisə edin f(–X).Və f(X):

Əgər f(–X).= f(X), onda funksiya cütdür;
Əgər f(–X).= – f(X), onda funksiya təkdir;
Əgər f(–X) ≠ f(X) Və f(–X) ≠ –f(X), onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

Nümunələr:

a) funksiyasını paritet üçün yoxlayın saat= x 5 +; b) saat= ; V) saat= .

Həll.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik çoxluq.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => h(x) = x 5 + tək.

b) y =,

saat = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimmetrik çoxluq, yəni funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Seçim 2

1. Verilmiş çoxluq simmetrikdirmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Paritet üçün funksiyanı yoxlayın:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Şek. qrafiki qurulub saat = f(X), hamı üçün X, şərti təmin edir X? 0.
Funksiyanın qrafiki saat = f(X), Əgər saat = f(X) cüt funksiyadır.

3. Şek. qrafiki qurulub saat = f(X), x şərtini ödəyən bütün x üçün? 0.
Funksiyanın qrafiki saat = f(X), Əgər saat = f(X) qəribə funksiyadır.

Slaydda həmyaşıdların rəyi.

6. Ev tapşırığı: No 11.11, 11.21, 11.22;

Paritet xassəsinin həndəsi mənasının sübutu.

***(Vahid Dövlət İmtahan variantının təyin edilməsi).

1. y = f(x) tək funksiyası bütün say xəttində müəyyən edilmişdir. x dəyişəninin hər hansı qeyri-mənfi qiyməti üçün bu funksiyanın qiyməti g( funksiyasının qiyməti ilə üst-üstə düşür. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyasının qiymətini tapın. X) = at X = 3.

7. Xülasə

Funksiya ən vacib riyazi anlayışlardan biridir. Funksiya y dəyişəninin x dəyişənindən asılılığıdır, əgər x-in hər bir qiyməti y-nin tək qiymətinə uyğundursa. x dəyişəni müstəqil dəyişən və ya arqument adlanır. y dəyişəninə asılı dəyişən deyilir. Müstəqil dəyişənin (x dəyişəni) bütün dəyərləri funksiyanın təyini sahəsini təşkil edir. Asılı dəyişənin (y dəyişəni) aldığı bütün dəyərlər funksiyanın diapazonunu təşkil edir.

Funksiya qrafiki bütün nöqtələrin çoxluğudur koordinat müstəvisi, absisləri arqumentin qiymətlərinə, ordinatları isə funksiyanın müvafiq qiymətlərinə bərabərdir, yəni x dəyişəninin dəyərləri absis oxu boyunca çəkilir və y dəyişəninin qiymətləri ordinat oxu boyunca çəkilir. Bir funksiyanın qrafikini çəkmək üçün funksiyanın xassələrini bilmək lazımdır. Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri aşağıda müzakirə olunacaq!

Funksiya qrafikini qurmaq üçün proqramımızdan istifadə etməyi məsləhət görürük - Qrafik funksiyaları online. Bu səhifədəki materialı öyrənərkən hər hansı bir sualınız olarsa, onları həmişə forumumuzda verə bilərsiniz. Həmçinin forumda onlar sizə riyaziyyat, kimya, həndəsə, ehtimal nəzəriyyəsi və bir çox başqa mövzularda problemləri həll etməyə kömək edəcəklər!

Funksiyaların əsas xassələri.

1) Funksiyanın təyini sahəsi və funksiyanın qiymət diapazonu.

Funksiya sahəsi y = f(x) funksiyasının təyin olunduğu x (dəyişən x) arqumentinin bütün etibarlı real dəyərlərinin məcmusudur.
Funksiya diapazonu funksiyanın qəbul etdiyi bütün real y dəyərlərinin məcmusudur.

İbtidai riyaziyyatda funksiyalar yalnız həqiqi ədədlər çoxluğunda öyrənilir.

2) funksiyanın sıfırları.

y=0 olan x qiymətləri çağırılır funksiya sıfırlar. Bunlar funksiya qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir.

3) Funksiyanın sabit işarəsinin intervalları.

Funksiyanın sabit işarəsinin intervalları - y funksiyasının dəyərləri ya yalnız müsbət, ya da yalnız mənfi olan x dəyərlərinin intervalları adlanır. funksiyanın sabit işarəli intervalları.

4) funksiyanın monotonluğu.

Artan funksiya (müəyyən intervalda) bu intervaldan arqumentin daha böyük qiymətinin funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gələn funksiyadır.

Azalan funksiya (müəyyən intervalda) bu intervaldan arqumentin daha böyük qiymətinin funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğun gələn funksiyadır.

5) funksiyanın bərabərliyi (təkliyi).

Cüt funksiya hər hansı x f(-x) = f(x) üçün təyinetmə oblastı mənbəyə görə simmetrik olan funksiyadır. Cədvəl hətta fəaliyyət göstərir ordinat oxuna görə simmetrikdir.

Tək funksiya, təyinetmə oblastı mənbəyə görə simmetrik olan funksiyadır və tərif sahəsindən istənilən x üçün f(-x) = - f(x) bərabərliyi doğrudur. Tək funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.

Hətta funksiyası
1) Tərif oblastı (0; 0) nöqtəsinə nisbətən simmetrikdir, yəni a nöqtəsi tərif dairəsinə aiddirsə, -a nöqtəsi də təyin dairəsinə aiddir.
2) İstənilən qiymət üçün x f(-x)=f(x)
3) Cüt funksiyanın qrafiki Oy oxuna görə simmetrikdir.

Tək funksiya aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
1) Tərif sahəsi (0; 0) nöqtəsinə görə simmetrikdir.
2) tərif sahəsinə aid olan istənilən x dəyəri üçün f(-x)=-f(x) bərabərliyi təmin edilir.
3) Tək funksiyanın qrafiki başlanğıca görə simmetrikdir (0; 0).

Hər funksiya cüt və ya tək deyil. Funksiyalar ümumi görünüş nə cüt, nə də təkdir.

6) Məhdud və qeyri-məhdud funksiyalar.

|f(x)| kimi müsbət M ədədi varsa, funksiya məhdud adlanır Bütün x dəyərləri üçün ≤ M. Əgər belə bir nömrə yoxdursa, funksiya qeyri-məhduddur.

7) funksiyanın dövriliyi.

f(x) funksiyası, sıfırdan fərqli T ədədi varsa, dövri xarakter daşıyır ki, funksiyanın təyinetmə sahəsindən istənilən x üçün aşağıdakılar yerinə yetirilsin: f(x+T) = f(x). Bu ən kiçik rəqəm funksiyanın dövrü adlanır. Hamısı triqonometrik funksiyalar dövri olur. (Triqonometrik düsturlar).

f(x)=f(x-T)=f(x+T) bərabərliyi tərif sahəsindən hər hansı x üçün uyğun olan ədəd varsa, f funksiyası dövri adlanır. T funksiyanın müddətidir.

Hər bir dövri funksiyanın sonsuz sayda dövrləri var. Praktikada adətən ən kiçik müsbət dövr hesab edilir.

İnterval vasitəsilə dövri funksiyanın dəyərləri, dövrə bərabərdir, təkrarlanır. Bu, qrafiklərin qurulması zamanı istifadə olunur.

2020-ci ilin iyul ayında NASA Marsa ekspedisiyaya başlayır. Kosmik gəmi Marsa bütün qeydiyyatdan keçmiş ekspedisiya iştirakçılarının adları olan elektron daşıyıcı çatdıracaq.

Əgər bu yazı probleminizi həll edibsə və ya sadəcə bəyənmisinizsə, onun linkini sosial şəbəkələrdə dostlarınızla paylaşın.

Bu kod seçimlərindən biri kopyalanıb veb səhifənizin koduna, tercihen teqlər arasında və ya etiketdən dərhal sonra yapışdırılmalıdır. Birinci varianta görə, MathJax daha sürətli yüklənir və səhifəni daha az ləngidir. Lakin ikinci seçim avtomatik olaraq MathJax-ın ən son versiyalarını izləyir və yükləyir. İlk kodu daxil etsəniz, onun vaxtaşırı yenilənməsi lazımdır. İkinci kodu daxil etsəniz, səhifələr daha yavaş yüklənəcək, lakin MathJax yeniləmələrini daim izləmək lazım olmayacaq.

MathJax-a qoşulmağın ən asan yolu Blogger və ya WordPress-dədir: saytın idarəetmə panelində üçüncü tərəf JavaScript kodunu daxil etmək üçün nəzərdə tutulmuş vidceti əlavə edin, yuxarıda təqdim olunan yükləmə kodunun birinci və ya ikinci versiyasını ona köçürün və vidceti daha yaxın yerləşdirin. şablonun əvvəlinə (yeri gəlmişkən, bu heç də lazım deyil, çünki MathJax skripti asinxron şəkildə yüklənir). Hamısı budur. İndi MathML, LaTeX və ASCIIMathML işarələmə sintaksisini öyrənin və siz yerləşdirməyə hazırsınız riyazi düsturlar saytınızın veb səhifələrinə.

Daha bir Yeni il gecəsi... şaxtalı hava və pəncərə şüşəsindəki qar dənəcikləri... Bütün bunlar məni yenidən... fraktallar və Volfram Alfanın bu haqda bildikləri haqqında yazmağa vadar etdi. Bu mövzuda iki ölçülü fraktal strukturların nümunələrini ehtiva edən maraqlı bir məqalə var. Burada daha çox baxacağıq mürəkkəb nümunələrüçölçülü fraktallar.

Fraktal vizual olaraq həndəsi fiqur və ya cisim kimi göstərilə (təsvir edilə bilər) (hər ikisinin çoxluq olduğunu bildirir, bu halda, nöqtələr dəsti), detalları orijinal fiqurun özü ilə eyni formaya malikdir. Yəni, bu, özünə bənzəyən bir quruluşdur, təfərrüatlarını araşdırsaq, böyüdükdə böyüdülmədən eyni formanı görəcəyik. Halbuki adi halda həndəsi fiqur(fraktal deyil), böyüdükdə orijinal fiqurun özündən daha sadə formada olan detalları görəcəyik. Məsələn, kifayət qədər yüksək böyütmədə ellipsin bir hissəsi düz xətt seqmentinə bənzəyir. Fraktallarda bu baş vermir: onların hər hansı bir artması ilə biz yenə eyni şeyi görəcəyik mürəkkəb forma, hər artımla təkrar-təkrar təkrarlanacaq.

Fraktallar elminin banisi Benoit Mandelbrot “Fraktallar və Elm Naminə İncəsənət” adlı məqaləsində yazırdı: “Fraktallar ümumi formaları qədər mürəkkəb olan, yəni fraktalın bir hissəsi olan həndəsi fiqurlardır bütünün ölçüsünə qədər böyüyəcək, ya tam olaraq, ya da bəlkə də bir az deformasiya ilə bütöv görünəcək."

- (riyaziyyat.) Müstəqil dəyişən yalnız işarəni dəyişdikdə dəyişməsə belə, y = f (x) funksiyası çağırılır, yəni f (x) = f (x). Əgər f (x) = f (x), f (x) funksiyası tək adlanır. Məsələn, y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x tək funksiyaya misaldır. f(x) = x2 cüt funksiyaya misaldır. f(x) = x3 ... Vikipediya

f (x) = f (x) bərabərliyini təmin edən funksiya. Bax Cüt və tək funksiyalar... Böyük Sovet Ensiklopediyası

F(x) = x tək funksiyaya misaldır. f(x) = x2 cüt funksiyaya misaldır. f(x) = x3 ... Vikipediya

Xüsusi funksiyalar təqdim edildi fransız riyaziyyatçısı E. Mathieu 1868-ci ildə elliptik membranın vibrasiyasına dair məsələləri həll edərkən. M. f. elliptik silindrdə elektromaqnit dalğalarının yayılmasının öyrənilməsində də istifadə olunur ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

"Günah" sorğusu burada yönləndirilir; başqa mənalara da baxın. "Saniyə" sorğusu burada yönləndirilir; başqa mənalara da baxın. "Sine" sorğusu burada yönləndirilir; başqa mənalara da baxın... Vikipediya

Hər hansı bir funksiya və bərabərlik üçün cüt (tək) adlanır

Cüt funksiyanın qrafiki oxa görə simmetrikdir
.

Tək funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.

Misal 6.2. Bir funksiyanın cüt və ya tək olduğunu yoxlayın

1)
; 2)
; 3)
.

Həll.

1) Funksiya nə zaman müəyyən edilir
. tapacağıq
.

Bunlar.
. O deməkdir ki, bu funksiya bərabərdir.

2) Funksiya nə zaman müəyyən edilir

Bunlar.
. Beləliklə, bu funksiya qəribədir.

3) funksiya üçün müəyyən edilir, yəni. üçün

,
. Buna görə də funksiya nə cüt, nə də tək deyil. Bunu ümumi formanın funksiyası adlandıraq.

3. Monotonluq funksiyasının öyrənilməsi.

Funksiya
Əgər bu intervalda arqumentin hər bir böyük dəyəri funksiyanın daha böyük (kiçik) dəyərinə uyğun gəlirsə, müəyyən intervalda artan (azalma) adlanır.

Müəyyən bir intervalda artan (azalan) funksiyalara monoton deyilir.

Əgər funksiyası
interval üzrə diferensiallana bilir
və müsbət (mənfi) törəmə var
, sonra funksiya
bu intervalda artır (azalır).

Misal 6.3. Funksiyaların monotonluq intervallarını tapın

1)
; 3)
.

Həll.

1) Bu funksiya bütün say xəttində müəyyən edilmişdir. Gəlin törəməni tapaq.

Əgər törəmə sıfıra bərabərdir
Və
. Tərif sahəsi nöqtələrə bölünmüş say oxudur
,
fasilələrlə. Hər intervalda törəmənin işarəsini müəyyən edək.

Aralıqda
törəmə mənfidir, funksiya bu intervalda azalır.

Aralıqda
törəmə müsbətdir, ona görə də bu intervalda funksiya artır.

2) Bu funksiya əgər müəyyən edilir
və ya

Kvadrat üçhəmin işarəsini hər intervalda təyin edirik.

Beləliklə, funksiyanın təyini sahəsi

Gəlin törəməni tapaq
,
, Əgər
, yəni.
, Amma
. Törəmənin işarəsini intervallarda müəyyən edək
.

Aralıqda
törəmə mənfidir, ona görə də funksiya intervalda azalır
. Aralıqda
törəmə müsbətdir, funksiya intervalda artır
.

4. Ekstremumdakı funksiyanın öyrənilməsi.

Nöqtə
funksiyanın maksimum (minimum) nöqtəsi adlanır
, əgər nöqtənin belə bir məhəlləsi varsa bu hamı üçündür
bu qonşuluqdan bərabərsizlik hökm sürür

.

Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrinə ekstremum nöqtələri deyilir.

Əgər funksiyası
nöqtədə ekstremuma malikdir, onda bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir və ya mövcud deyildir (ekstremumun mövcudluğu üçün zəruri şərt).

Törəmənin sıfır olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələrə kritik deyilir.

5. Ekstremumun mövcudluğu üçün kifayət qədər şərait.

Qayda 1. Əgər keçid zamanı (soldan sağa) kritik nöqtədən keçir törəmə
işarəni “+”dan “–”ə, sonra nöqtədə dəyişir funksiyası
maksimuma malikdir; əgər “–” dən “+” a qədər, onda minimum; Əgər
işarəni dəyişmir, onda ekstremum yoxdur.

Qayda 2. Qoy nöqtədə
funksiyanın ilk törəməsi
sıfıra bərabərdir
, ikinci törəmə isə mövcuddur və sıfırdan fərqlidir. Əgər
, Bu – maksimum nöqtə, əgər
, Bu – funksiyanın minimum nöqtəsi.

Misal 6.4. Maksimum və minimum funksiyaları araşdırın:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Həll.

1) Funksiya müəyyən edilmiş və intervalda davamlıdır
.

Gəlin törəməni tapaq
və tənliyi həll edin
, yəni.
.Buradan
- kritik nöqtələr.

Törəmənin işarəsini intervallarda müəyyən edək,
.

Nöqtələrdən keçərkən
Və
törəmə işarəni “–”dən “+”a dəyişir, buna görə də 1-ci qaydaya uyğun olaraq
- minimum xal.

Bir nöqtədən keçərkən
törəmə işarəni “+”dan “–”ə dəyişir
- maksimum nöqtə.

,
.

2) Funksiya müəyyən edilmiş və intervalda davamlıdır
. Gəlin törəməni tapaq
.

Tənliyi həll etdikdən sonra
, tapacağıq
Və
- kritik nöqtələr. Əgər məxrəc
, yəni.
, onda törəmə mövcud deyil. Belə ki,
- üçüncü kritik nöqtə. Törəmə işarəsini intervallarla müəyyən edək.