Ədədin kvadrat kökünü əl ilə necə tapmaq olar. Kvadrat kök nədir? Yüzün kvadrat kökü nədir?

Riyaziyyat və fizika kursundan müxtəlif məsələləri həll edərkən şagirdlər və tələbələr çox vaxt ikinci, üçüncü və ya n-ci dərəcəli kökləri çıxarmaq ehtiyacı ilə üzləşirlər. Əlbəttə ki, əsrdə informasiya texnologiyaları Kalkulyatordan istifadə edərək bu problemi həll etmək çətin olmayacaq. Bununla belə, elektron köməkçidən istifadə etmək mümkün olmadıqda vəziyyətlər yaranır.

Məsələn, bir çox imtahanlar elektronika gətirməyə icazə vermir. Bundan əlavə, əlinizdə kalkulyator olmaya bilər. Belə hallarda radikalların əl ilə hesablanması üçün ən azı bəzi üsulları bilmək faydalıdır.

Kvadratlar cədvəlindən istifadə edərək kvadrat kökləri tapmaq

Kökləri hesablamaq üçün ən sadə üsullardan biri xüsusi bir masa istifadə edərək. Bu nədir və onu necə düzgün istifadə etmək olar?

Cədvəldən istifadə edərək 10-dan 99-a qədər istənilən ədədin kvadratını tapa bilərsiniz. Cədvəlin sətirlərində onlarla, sütunlarda isə vahidlərin qiymətləri var. Sətir və sütunun kəsişməsindəki xana ikirəqəmli ədədin kvadratını ehtiva edir. 63-ün kvadratını hesablamaq üçün dəyəri 6 olan bir sıra və 3 dəyəri olan bir sütun tapmaq lazımdır.

Kökün çıxarılması kvadratlaşdırmanın tərs əməliyyatı olduğundan, bu hərəkəti yerinə yetirmək üçün bunun əksini etməlisiniz: əvvəlcə radikalını hesablamaq istədiyiniz ədədi olan xananı tapın, sonra cavabı müəyyən etmək üçün sütun və cərgənin dəyərlərindən istifadə edin. . Nümunə olaraq hesablamanı nəzərdən keçirək kvadrat kök 169.

Cədvəldə bu nömrə ilə xana tapırıq, üfüqi olaraq onlarla - 1, şaquli olaraq vahidləri tapırıq - 3. Cavab: √169 = 13.

Eynilə, müvafiq cədvəllərdən istifadə edərək kub və n-ci kökləri hesablaya bilərsiniz.

Metodun üstünlüyü onun sadəliyi və əlavə hesablamaların olmamasıdır. Dezavantajlar göz qabağındadır: üsul yalnız məhdud sayda ədədlər üçün istifadə edilə bilər (kökün tapıldığı nömrə 100-dən 9801-ə qədər diapazonda olmalıdır). Bundan əlavə, verilmiş nömrə cədvəldə olmadıqda işləməyəcək.

Baş faktorizasiya

Kvadratlar cədvəli əlində deyilsə və ya onun köməyi ilə kök tapmaq mümkün deyilsə, cəhd edə bilərsiniz. kök altındakı ədədi əsas amillərə ayırın. Baş amillər tamamilə (qalıqsız) yalnız özlərinə və ya birinə bölünə bilən amillərdir. Nümunələr 2, 3, 5, 7, 11, 13 və s. ola bilər.

Nümunə olaraq √576-dan istifadə edərək kökün hesablanmasına baxaq. Gəlin onu əsas amillərə bölək. Aşağıdakı nəticəni alırıq: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Köklərin √a² = a əsas xüsusiyyətindən istifadə edərək, köklərdən və kvadratlardan xilas olacağıq və sonra cavabı hesablayacağıq: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3  = 24.

Çarpanlardan hər hansı birinin öz cütü yoxdursa nə etməli? Məsələn, √54 hesabını nəzərdən keçirək. Faktorlara ayırdıqdan sonra nəticəni aşağıdakı formada alırıq: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Çıxarılmayan hissə kökün altında qala bilər. Əksər həndəsə və cəbr problemləri üçün bu cavab son cavab kimi qəbul ediləcək. Ancaq təxmini dəyərləri hesablamağa ehtiyac varsa, aşağıda müzakirə ediləcək üsullardan istifadə edə bilərsiniz.

Heron üsulu

Çıxarılan kökün nəyə bərabər olduğunu heç olmasa təxminən bilmək lazım olduqda nə etməli (tam dəyər əldə etmək mümkün deyilsə)? Heron metodundan istifadə etməklə tez və kifayət qədər dəqiq nəticə əldə edilir. Onun mahiyyəti təxmini bir düsturdan istifadə etməkdir:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

burada R kökü hesablanmalı olan ədəddir, a kök dəyəri məlum olan ən yaxın ədəddir.

Metodun praktikada necə işlədiyinə baxaq və onun nə qədər dəqiq olduğunu qiymətləndirək. √111-in nəyə bərabər olduğunu hesablayaq. Kökü məlum olan 111-ə ən yaxın rəqəm 121-dir. Beləliklə, R = 111, a = 121. Dəyərləri düsturla əvəz edin:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

İndi isə metodun düzgünlüyünü yoxlayaq:

10,55² = 111,3025.

Metodun səhvi təxminən 0,3 idi. Metodun dəqiqliyini artırmaq lazımdırsa, əvvəllər təsvir olunan addımları təkrarlaya bilərsiniz:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Hesablamanın düzgünlüyünü yoxlayaq:

10,536² = 111,0073.

Formulu yenidən tətbiq etdikdən sonra səhv tamamilə əhəmiyyətsiz oldu.

Uzun bölmə ilə kök hesablanması

Kvadrat kök dəyərini tapmaq üçün bu üsul əvvəlkilərdən bir az daha mürəkkəbdir. Bununla belə, kalkulyator olmadan digər hesablama üsulları arasında ən dəqiqidir.

Deyək ki, kvadrat kökü 4 onluq yerə qədər dəqiq tapmaq lazımdır. 1308.1912 ixtiyari nömrə nümunəsindən istifadə edərək hesablama alqoritmini təhlil edək.

1. Kağız vərəqini şaquli xətt ilə 2 hissəyə bölün və sonra ondan sağa, yuxarı kənarından bir qədər aşağıda başqa bir xətt çəkin. Nömrəni sol tərəfə yazaq, onu 2 rəqəmdən ibarət qruplara bölərək, sağa və sol tərəf vergüldən. Soldakı ilk rəqəm cütsüz ola bilər. Əgər nömrənin sağ tərəfində işarə yoxdursa, onda siz 0 əlavə etməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə nəticə 13 08.19 12 olacaq.
2. Gəlin ən yaxşısını seçək böyük rəqəm, kvadratı rəqəmlərin birinci qrupundan kiçik və ya ona bərabər olacaq. Bizim vəziyyətimizdə 3-dür. Sağ üst tərəfə yazaq; 3 nəticənin ilk rəqəmidir. Aşağı sağda biz 3×3 = 9 göstəririk; bu sonrakı hesablamalar üçün lazım olacaq. Sütundakı 13-dən 9-u çıxarırıq, 4-ün qalığını alırıq.
3. Növbəti ədəd cütünü qalıq 4-ə təyin edək; 408 alırıq.
4. Yuxarı sağdakı rəqəmi 2-yə vurun və ona _ x _ = əlavə edərək, aşağı sağa yazın. 6_ x _ = alırıq.
5. Tire əvəzinə 408-dən kiçik və ya bərabər eyni ədədi əvəz etməlisiniz. 66 × 6 = 396 alırıq. Sağ üstdən 6 yazırıq, çünki bu nəticənin ikinci rəqəmidir. 408-dən 396-nı çıxarsaq, 12-ni alırıq.
6. 3-6-cı addımları təkrarlayaq. Aşağı köçürülmüş rəqəmlər ədədin kəsr hissəsində olduğu üçün 6-dan sonra sağ yuxarıda onluq nöqtə qoymaq lazımdır. Qoşa nəticəni tire ilə yazaq: 72_ x _ =. Uyğun rəqəm 1 olardı: 721×1 = 721. Gəlin onu cavab olaraq yazaq. 1219 - 721 = 498-i çıxaraq.
7. Lazımi sayda onluq yerləri almaq üçün əvvəlki bənddə verilmiş hərəkətlər ardıcıllığını daha üç dəfə yerinə yetirək. Əlavə hesablamalar üçün kifayət qədər simvol yoxdursa, soldakı cari nömrəyə iki sıfır əlavə etməlisiniz.

Nəticədə cavabı alırıq: √1308.1912 ≈ 36.1689. Bir kalkulyatordan istifadə edərək hərəkəti yoxlasanız, bütün əlamətlərin düzgün müəyyən edildiyinə əmin ola bilərsiniz.

Bitwise kvadrat kök hesablanması

Metod çox dəqiqdir. Bundan əlavə, bu, olduqca başa düşüləndir və düsturları və ya mürəkkəb hərəkətlər alqoritmini yadda saxlamağı tələb etmir, çünki metodun mahiyyəti düzgün nəticə seçməkdir.

781 rəqəminin kökünü çıxaraq.Hərəkətlərin ardıcıllığına ətraflı baxaq.

1. Kvadrat kök dəyərinin hansı rəqəminin ən əhəmiyyətli olacağını öyrənək. Bunun üçün 0, 10, 100, 1000 və s.-nin kvadratını tutaq və onların hansının arasında radikal ədədin yerləşdiyini öyrənək. Biz 10² alırıq< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Gəlin onlarla dəyəri seçək. Bunu etmək üçün növbə ilə 10, 20, ..., 90-ın ​​gücünü 781-dən çox olana qədər artıracağıq. Bizim vəziyyətimiz üçün 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 alırıq. nəticənin qiyməti n 20 daxilində olacaq< n <30.
3. Əvvəlki addıma bənzər olaraq, vahidlərin rəqəminin dəyəri seçilir. 21.22, ..., 29-u bir-bir kvadratlaşdıraq: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² alırıq ki, = 72.< n < 28.
4. Hər bir sonrakı rəqəm (onluq, yüzdə bir və s.) yuxarıda göstərildiyi kimi hesablanır. Tələb olunan dəqiqliyə nail olunana qədər hesablamalar aparılır.

Video

Bu video sizə kalkulyatordan istifadə etmədən kvadrat kökləri necə tapacağınızı göstərəcək.

Çox vaxt, problemləri həll edərkən, çıxarmaq lazım olan çoxlu sayda ilə qarşılaşırıq Kvadrat kök. Bir çox tələbə bunun səhv olduğuna qərar verir və bütün nümunəni yenidən həll etməyə başlayır. Heç bir halda bunu etməməlisiniz! Bunun iki səbəbi var:

1. Problemlərdə çoxlu sayda köklər görünür. Xüsusilə mətnlərdə;
2. Bu köklərin demək olar ki, şifahi olaraq hesablandığı bir alqoritm var.

Bu gün bu alqoritmi nəzərdən keçirəcəyik. Bəlkə də bəzi şeylər sizə anlaşılmaz görünəcək. Ancaq bu dərsə diqqət yetirsəniz, qarşı güclü bir silah alacaqsınız kvadrat köklər.

Beləliklə, alqoritm:

1. Yuxarıda və aşağıda tələb olunan kökü 10-un qatları olan ədədlərlə məhdudlaşdırın. Beləliklə, biz axtarış diapazonunu 10 rəqəmə qədər azaldacağıq;
2. Bu 10 ədəddən kök ola bilməyənləri çıxarın. Nəticədə 1-2 ədəd qalacaq;
3. Bu 1-2 ədədi kvadrat edin. Kvadratı orijinal ədədə bərabər olan kök olacaqdır.

Bu alqoritmi praktikada tətbiq etməzdən əvvəl hər bir fərdi addıma nəzər salaq.

Kök məhdudiyyəti

İlk öncə kökümüzün hansı ədədlər arasında yerləşdiyini öyrənməliyik. Rəqəmlərin ona çox olması çox arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir sıra nömrələr alırıq:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rəqəmlər bizə nə deyir? Bu sadədir: biz sərhədlər alırıq. Məsələn, 1296 rəqəmini götürək. O, 900 ilə 1600 arasındadır. Ona görə də onun kökü 30-dan az və 40-dan çox ola bilməz:

[Şəkil üçün başlıq]

Eyni şey kvadrat kökü tapa biləcəyiniz hər hansı digər rəqəmə də aiddir. Məsələn, 3364:

[Şəkil üçün başlıq]

Beləliklə, anlaşılmaz bir rəqəm əvəzinə, orijinal kökün yerləşdiyi çox xüsusi bir sıra alırıq. Axtarış sahəsini daha da daraltmaq üçün ikinci addıma keçin.

Açıqcası lazımsız nömrələrin aradan qaldırılması

Beləliklə, 10 nömrəmiz var - kök üçün namizədlər. Biz onları çox tez, mürəkkəb düşünmədən və sütunda vurmadan əldə etdik. Hərəkət etmək vaxtıdır.

İster inanın, istər inanmayın, indi biz namizədlərin sayını ikiyə endirəcəyik - yenə də heç bir mürəkkəb hesablamalar aparmadan! Bunun üçün xüsusi qaydanı bilmək kifayətdir. Bax budur:

Kvadratın son rəqəmi yalnız sonuncu rəqəmdən asılıdır orijinal nömrə.

Başqa sözlə, kvadratın son rəqəminə baxmaq kifayətdir və biz ilkin rəqəmin harada bitdiyini dərhal anlayacağıq.

Son yerdə gələ biləcək cəmi 10 rəqəm var. Gəlin onların kvadrata çevrildikdə nəyə çevrildiyini öyrənməyə çalışaq. Cədvələ nəzər salın:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Bu cədvəl kökü hesablamaq üçün başqa bir addımdır. Gördüyünüz kimi, ikinci sətirdəki rəqəmlər beşə nisbətən simmetrik oldu. Misal üçün:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüyünüz kimi, son rəqəm hər iki halda eynidir. Bu o deməkdir ki, məsələn, 3364-ün kökü 2 və ya 8 ilə bitməlidir. Digər tərəfdən, biz əvvəlki paraqrafdan məhdudiyyəti xatırlayırıq. Biz əldə edirik:

[Şəkil üçün başlıq]

Qırmızı kvadratlar bu rəqəmi hələ bilmədiyimizdən xəbər verir. Ancaq kök 2 və 8 ilə bitən yalnız iki ədəd olan 50 ilə 60 arasındadır:

[Şəkil üçün başlıq]

Hamısı budur! Bütün mümkün köklərdən yalnız iki variant buraxdıq! Və bu ən çətin vəziyyətdədir, çünki son rəqəm 5 və ya 0 ola bilər. Və sonra köklər üçün yalnız bir namizəd olacaq!

Yekun hesablamalar

Beləliklə, 2 namizəd nömrəmiz qalıb. Hansının kök olduğunu necə bilirsiniz? Cavab aydındır: hər iki rəqəmin kvadratı. Kvadratla orijinal ədədi verən kök olacaq.

Məsələn, 3364 rəqəmi üçün iki namizəd nömrəsi tapdıq: 52 və 58. Gəlin onları kvadratlaşdıraq:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Hamısı budur! Məlum oldu ki, kök 58-dir! Eyni zamanda, hesablamaları sadələşdirmək üçün cəmi və fərqin kvadratları üçün düsturdan istifadə etdim. Bunun sayəsində rəqəmləri bir sütuna vurmaq məcburiyyətində qalmadım! Bu, hesablamaların optimallaşdırılmasının başqa bir səviyyəsidir, lakin, əlbəttə ki, tamamilə isteğe bağlıdır :)

Köklərin hesablanması nümunələri

Nəzəriyyə, əlbəttə ki, yaxşıdır. Amma gəlin bunu praktikada yoxlayaq.

[Şəkil üçün başlıq]

Əvvəlcə 576 rəqəminin hansı rəqəmlər arasında olduğunu öyrənək:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

İndi isə son rəqəmə baxaq. 6-ya bərabərdir. Bu nə vaxt baş verir? Yalnız kök 4 və ya 6 ilə bitərsə. İki ədəd alırıq:

Qalan hər bir rəqəmin kvadratını çəkmək və onu orijinalla müqayisə etməkdir:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Əla! Birinci kvadratın orijinal nömrəyə bərabər olduğu ortaya çıxdı. Deməli bu kökdür.

Tapşırıq. Kvadrat kökü hesablayın:

[Şəkil üçün başlıq]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son rəqəmə baxaq:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Cavab budur: 37.

Tapşırıq. Kvadrat kökü hesablayın:

[Şəkil üçün başlıq]

Sayı məhdudlaşdırırıq:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son rəqəmə baxaq:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cavab aldıq: 52. Artıq ikinci rəqəmi kvadrata çevirmək lazım olmayacaq.

Tapşırıq. Kvadrat kökü hesablayın:

[Şəkil üçün başlıq]

Sayı məhdudlaşdırırıq:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son rəqəmə baxaq:

4225 → 5;
65.

Gördüyünüz kimi, ikinci addımdan sonra yalnız bir seçim qalır: 65. Bu, istədiyiniz kökdür. Ancaq yenə də onu kvadratlaşdıraq və yoxlayaq:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Hər şey düzgündür. Cavabı yazırıq.

Nəticə

Təəssüf ki, daha yaxşı deyil. Gəlin səbəblərə baxaq. Onlardan ikisi var:

• İstənilən normal riyaziyyat imtahanında, istər Dövlət İmtahanı, istərsə də Vahid Dövlət İmtahanı olsun, kalkulyatorlardan istifadə qadağandır. Və dərsə kalkulyator gətirsəniz, asanlıqla imtahandan qovula bilərsiniz.
• Axmaq amerikalılar kimi olmayın. Köklərə bənzəməyən - iki sadə ədəd əlavə edə bilməzlər. Və onlar fraksiyaları görəndə ümumiyyətlə isterik olurlar.

Riyaziyyatda kök tapmaq problemi ədədi gücə yüksəltməyin tərs məsələsidir. Müxtəlif köklər var: ikinci dərəcəli köklər, üçüncü dərəcəli köklər, dördüncü dərəcəli köklər və s. Bu, nömrənin əvvəlcə hansı gücə qaldırıldığından asılıdır. Kök simvolu ilə göstərilir: √ kvadrat kökdür, yəni ikinci dərəcənin kökü; kökün ikincidən daha böyük dərəcəsi varsa, kök işarəsinin üstündə müvafiq dərəcə təyin olunur. Kök işarəsinin altında olan ədəd radikal ifadədir. Kök taparkən, kök tapmaqda səhv etməməyə kömək edəcək bir neçə qayda var:

• Mənfi ədədin cüt kökü (dərəcəsi 2, 4, 6, 8 və s. olarsa) MÖVCUD YOXDUR. Əgər radikal ifadə mənfidirsə, lakin tək dərəcənin kökü axtarılırsa (3, 5, 7 və s.), onda nəticə mənfi olacaq.
• Birin istənilən gücünün kökü həmişə birdir: √1 = 1.
• Sıfırın kökü sıfırdır: √0 = 0.

100-ün kökünü necə tapmaq olar

Əgər problem dərəcənin hansı kökünü tapmaq lazım olduğunu söyləmirsə, bu, adətən ikinci dərəcənin (kvadrat) kökünü tapmaq lazım olduğunu bildirir.
Tapaq √100 =? İkinci dərəcəyə qaldırıldıqda 100 rəqəmini verən bir ədəd tapmaq lazımdır. Aydındır ki, belə bir ədəd 10 rəqəmidir, çünki: 10 2 = 100. Buna görə də, √100 = 10: 100-ün kvadrat kökü 10.

Kvadrat kök nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Bu konsepsiya çox sadədir. Təbii, deyərdim. Riyaziyyatçılar hər bir hərəkətə reaksiya tapmağa çalışırlar. Əlavə var - çıxma da var. Çoxalma var - bölmə də var. Kvadratlaşdırma var... Eləcə də var kvadrat kök götürmək! Hamısı budur. Bu hərəkət ( kvadrat kök) riyaziyyatda bu işarə ilə göstərilir:

İşarənin özü gözəl söz adlanır " radikal".

Kökü necə çıxarmaq olar? Baxmaq daha yaxşıdır misallar.

9-un kvadrat kökü nədir? Hansı ədədin kvadratı bizə 9 verəcək? 3 kvadrat bizə 9 verir! Bunlar:

Bəs sıfırın kvadrat kökü nədir? Problem deyil! Sıfır hansı ədədin kvadratını yaradır? Bəli, sıfır verir! Vasitələri:

Anladım, kvadrat kök nədir? Sonra düşünürük misallar:

Cavablar (səliqəsiz): 6; 1; 4; 9; 5.

Qərar verdiniz? Həqiqətən, bu nə qədər asandır?!

Bəs... İnsan hansısa işi köklü görəndə nə edir?

İnsan kədərlənməyə başlayır... Köklərinin sadəliyinə, yüngüllüyünə inanmır. Baxmayaraq ki, o bilir kvadrat kök nədir...

Bunun səbəbi, insanın kökləri öyrənərkən bir neçə vacib məqama məhəl qoymamasıdır. Sonra bu dəblər testlərdən və imtahanlardan amansız qisas alır...

Bir nöqtə. Kökləri görmə ilə tanımaq lazımdır!

49-un kvadrat kökü nədir? Yeddi? Doğru! Yeddi olduğunu necə bildin? Kvadrat yeddi və 49 var? Doğru! Nəzərə alın ki kökünü çıxarın 49-dan tərs əməliyyat etməli olduq - kvadrat 7! Və qaçırmayacağımıza əmin olun. Yoxsa qaçıra bilərdilər...

Çətinlik budur kök çıxarılması. Kvadratİstənilən nömrədən problemsiz istifadə edə bilərsiniz. Bir ədədi bir sütunla özünə vurmaq - hamısı budur. Amma üçün kök çıxarılması Belə sadə və uğursuz texnologiya yoxdur. məcburuq götür cavab verin və kvadratına çəkməklə düzgün olub-olmadığını yoxlayın.

Bu mürəkkəb yaradıcılıq prosesi - cavabın seçilməsi - əgər siz çox sadələşdirilmişdir xatırlayın məşhur ədədlərin kvadratları. Vurma cədvəli kimi. Deyək ki, 4-ü 6-ya vurmaq lazımdırsa, dördü 6 dəfə əlavə etmirsiniz, elə deyilmi? 24-cü cavab dərhal ortaya çıxır.Hərçənd hamı bunu başa düşmür, bəli...

Köklərlə sərbəst və uğurla işləmək üçün 1-dən 20-yə qədər olan ədədlərin kvadratlarını bilmək kifayətdir. orada Və geri. Bunlar. siz həm məsələn, 11-in kvadratını, həm də 121-in kvadrat kökünü asanlıqla oxuya bilməlisiniz. Bu əzbərliyə nail olmaq üçün iki yol var. Birincisi, kvadratlar cədvəlini öyrənməkdir. Bu, misalların həllində böyük kömək olacaq. İkincisi, daha çox nümunə həll etməkdir. Bu, kvadratlar cədvəlini xatırlamağınıza çox kömək edəcəkdir.

Və kalkulyatorlar yoxdur! Yalnız sınaq məqsədləri üçün. Əks halda imtahan zamanı amansızcasına yavaşlayacaqsınız...

Belə ki, kvadrat kök nədir Və necə kökləri çıxarın- Məncə, aydındır. İndi onları NƏDƏN çıxara biləcəyimizi öyrənək.

İkinci nöqtə. Root, mən səni tanımıram!

Hansı ədədlərdən kvadrat kök götürə bilərsiniz? Bəli, demək olar ki, hər biri. Bunun nədən olduğunu başa düşmək daha asandır qadağandır onları çıxarın.

Bu kökü hesablamağa çalışaq:

Bunun üçün kvadratın bizə -4 verəcəyi bir ədəd seçməliyik. Biz seçirik.

Nə, uyğun gəlmir? 2 2 +4 verir. (-2) 2 yenidən +4 verir! Budur... Heç bir rəqəm yoxdur ki, kvadratı kəsdikdə bizə mənfi rəqəm verəcək! Baxmayaraq ki, mən bu rəqəmləri bilirəm. Amma sizə deməyəcəyəm). Kollecə gedin və özünüz öyrənəcəksiniz.

Eyni hekayə istənilən mənfi nömrə ilə baş verəcəkdir. Beləliklə, nəticə:

Kvadrat kök işarəsi altında mənfi ədədin olduğu ifadə - mənası yoxdur! Bu qadağan olunmuş əməliyyatdır. Sıfıra bölmək qədər haramdır. Bu həqiqəti möhkəm xatırlayın! Və ya başqa sözlə:

Mənfi ədədlərdən kvadrat kök çıxara bilməzsiniz!

Ancaq bütün digərləri arasında bu mümkündür. Məsələn, hesablamaq olduqca mümkündür

İlk baxışdan bu, çox çətindir. Kəsrlərin seçilməsi və onların kvadratlaşdırılması... Narahat olmayın. Köklərin xassələrini başa düşdükdə bu cür nümunələr eyni kvadratlar cədvəlinə endiriləcəkdir. Həyat asanlaşacaq!

Yaxşı, fraksiyalar. Ancaq yenə də belə ifadələrə rast gəlirik:

Hər şey qaydasındadır. Hamısı eyni. İkinin kvadrat kökü kvadratı alındıqda bizə iki verən ədəddir. Yalnız bu rəqəm tamamilə qeyri-bərabərdir... Budur:

Maraqlısı odur ki, bu kəsr heç vaxt bitmir... Belə ədədlərə irrasional deyilir. Kvadrat köklərdə bu ən çox yayılmış şeydir. Yeri gəlmişkən, köklü ifadələr buna görə çağırılır irrasional. Aydındır ki, hər zaman belə sonsuz kəsr yazmaq əlverişsizdir. Buna görə də, sonsuz bir kəsr əvəzinə onu belə tərk edirlər:

Məsələni həll edərkən, çıxarmaq mümkün olmayan bir şeylə nəticələnirsinizsə, məsələn:

sonra belə buraxırıq. Bu cavab olacaq.

Nişanların nə demək olduğunu aydın başa düşməlisiniz

Təbii ki, ədədin kökü alınarsa hamar, bunu etməlisən. Tapşırığın cavabı, məsələn, formadadır

Olduqca dolğun cavab.

Və əlbəttə ki, yaddaşdan təxmini dəyərləri bilməlisiniz:

Bu bilik mürəkkəb tapşırıqlarda vəziyyəti qiymətləndirməyə çox kömək edir.

Üçüncü nöqtə. Ən hiyləgər.

Köklərlə işləməkdə əsas qarışıqlıq bu məqamdan qaynaqlanır. Öz imkanlarına güvən verən odur... Gəlin bu məqamla düzgün məşğul olaq!

Əvvəlcə onlardan dördünün kvadrat kökünü yenidən götürək. Artıq bu köklə sizi bezdirmişəm?) Fikir vermə, indi maraqlı olacaq!

4 hansı ədədin kvadratıdır? Yaxşı, iki, iki - narazı cavablar eşidirəm...

Sağ. iki. Amma həm də mənfi iki 4 kvadrat verəcək... Bu arada cavab

düzgün və cavab

kobud səhv. Bunun kimi.

Yaxşı, nə iş var?

Həqiqətən, (-2) 2 = 4. Və dördün kvadrat kökünün tərifi altında mənfi iki kifayət qədər uyğun... Bu da dördün kvadrat köküdür.

Amma! Məktəb riyaziyyat kursunda kvadrat kökləri nəzərə almaq adətdir yalnız mənfi olmayan rəqəmlər! Yəni sıfır və hamısı müsbətdir. Hətta xüsusi bir termin icad edilmişdir: nömrədən A- Bu mənfi olmayan kvadratı olan nömrə A. Arifmetik kvadrat kök çıxararkən mənfi nəticələr sadəcə atılır. Məktəbdə hər şey kvadrat köklərdir - hesab. Baxmayaraq ki, bu xüsusilə qeyd edilməmişdir.

Tamam, bu başa düşüləndir. Mənfi nəticələrlə narahat olmamaq daha yaxşıdır... Bu hələ çaşqınlıq deyil.

Kvadrat tənliklərin həlli zamanı qarışıqlıq başlayır. Məsələn, aşağıdakı tənliyi həll etməlisiniz.

Tənlik sadədir, cavabı yazırıq (tədris olunduğu kimi):

Bu cavab (yeri gəlmişkən, tamamilə doğrudur) sadəcə qısaldılmış versiyadır iki cavablar:

Dur, dayan! Bir az yuxarıda yazdım ki, kvadrat kök ədəddir Həmişə mənfi deyil! Və burada cavablardan biri var - mənfi! Pozğunluq. Bu, köklərə inamsızlıq yaradan ilk (amma sonuncu deyil) problemdir... Gəlin bu problemi həll edək. Gəlin cavabları (yalnız başa düşmək üçün!) belə yazaq:

Mötərizələr cavabın mahiyyətini dəyişmir. Sadəcə mötərizələrlə ayırdım əlamətlər-dan kök. İndi aydın şəkildə görə bilərsiniz ki, kök özü (mötərizədə) hələ də mənfi olmayan rəqəmdir! Və əlamətlər tənliyin həllinin nəticəsi. Axı hər hansı tənliyi həll edərkən yazmalıyıq Hamısı Xs ki, orijinal tənliyə əvəz edildikdə düzgün nəticə verəcəkdir. Həm artı, həm də mənfi olan beşin (müsbət!) kökü tənliyimizə uyğun gəlir.

Bunun kimi. Əgər sən sadəcə kvadrat kök götürün hər şeydən, səndən Həmişə alırsınız biri mənfi olmayan nəticə. Misal üçün:

Çünki - arifmetik kvadrat kök.

Ancaq bəzi kvadrat tənliyi həll edirsinizsə, məsələn:

Bu Həmişəçıxır iki cavab (artı və mənfi ilə):

Çünki bu, tənliyin həllidir.

Ümid, kvadrat kök nədir Xallarınızı aydınlaşdırdınız. İndi köklərlə nə edilə biləcəyini, xüsusiyyətlərinin nə olduğunu öyrənmək qalır. Və hansı nöqtələr və tələlər var ... üzr istəyirəm, daşlar!)

Bütün bunlar növbəti dərslərdədir.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Savadlılığın əlaməti olan çoxlu biliklər arasında əlifba birinci yerdə gəlir. Növbəti, eyni dərəcədə "işarə" elementi toplama-vurma və onlara bitişik, lakin mənaca əks olan toplama-bölmə arifmetik bacarıqlarıdır. Uzaq məktəb uşaqlığında qazanılan bacarıqlar gecə-gündüz sədaqətlə xidmət edir: TV, qəzet, SMS və hər yerdə oxuyuruq, yazırıq, sayırıq, əlavə edirik, çıxarırıq, çoxalırıq. Və mənə deyin ki, dacha istisna olmaqla, həyatınızda tez-tez kök salmalı oldunuzmu? Məsələn, 12345 rəqəminin kvadrat kökü kimi belə bir əyləncəli problem... Kolbalarda hələ də barıt varmı? Onun öhdəsindən gələ bilərikmi? Heç bir şey daha sadə ola bilməz! Mənim kalkulyatorum hanı... Onsuz da əlbəyaxa döyüş zəifdir?

Əvvəlcə bunun nə olduğunu aydınlaşdıraq - ədədin kvadrat kökü. Ümumiyyətlə, "ədədin kökünü götürmək" onu bir gücə yüksəltməyin əksinə hesab əməliyyatını yerinə yetirmək deməkdir - burada həyat tətbiqində əkslərin birliyi var. Tutaq ki, kvadrat bir ədədin özünə vurulmasıdır, yəni məktəbdə öyrədildiyi kimi, X * X = A və ya başqa bir qeyddə X2 = A və sözlə - "X kvadratı A-ya bərabərdir". Onda tərs məsələ belə səslənir: A ədədinin kvadrat kökü X ədədidir, kvadratı alındıqda A-ya bərabərdir.

Kvadrat kökün alınması

Məktəb arifmetika kursundan ilk dörd arifmetik əməliyyatdan istifadə edərək istənilən hesablamaları aparmağa kömək edən "sütundakı" hesablama üsulları məlumdur. Təəssüf ki... Kvadrat, nəinki kvadrat kökləri üçün belə alqoritmlər yoxdur. Və bu halda, kalkulyator olmadan kvadrat kökü necə çıxarmaq olar? Kvadrat kökün tərifinə əsasən, yalnız bir nəticə var - kvadratı radikal ifadənin dəyərinə yaxınlaşan ədədləri ardıcıl olaraq sadalamaqla nəticənin dəyərini seçmək lazımdır. Hamısı budur! Bir və ya iki saat keçməmişdən əvvəl, hər hansı bir kvadrat kökdə məşhur bir "sütun" vurma üsulundan istifadə edərək hesablaya bilərsiniz. Bacarıqlarınız varsa, bu, yalnız bir neçə dəqiqə çəkəcəkdir. Hətta bir kalkulyator və ya PC-nin o qədər də inkişaf etməmiş istifadəçisi bunu bir addımda edə bilər - tərəqqi.

Ancaq ciddi şəkildə, kvadrat kökün hesablanması çox vaxt "artilleriya çəngəl" texnikasından istifadə edərək həyata keçirilir: əvvəlcə kvadratı radikal ifadəyə uyğun gələn bir nömrə götürün. “Bizim kvadrat” bu ifadədən bir qədər kiçik olsa daha yaxşıdır. Sonra öz bacarıq və anlayışlarına uyğun olaraq rəqəmi tənzimləyirlər, məsələn, ikiyə vururlar və... yenidən kvadrat edirlər. Nəticə kök altındakı rəqəmdən böyükdürsə, ardıcıl olaraq orijinal nömrəni düzəldin, kök altındakı "həmkarına" tədricən yaxınlaşın. Gördüyünüz kimi - kalkulyator yoxdur, yalnız "sütunda" saymaq imkanı. Əlbəttə ki, kvadrat kökün hesablanması üçün bir çox elmi sübut edilmiş və optimallaşdırılmış alqoritmlər var, lakin "evdə istifadə" üçün yuxarıda göstərilən texnika nəticəyə 100% inam verir.

Bəli, demək olar ki, unutdum, artan savadlılığımızı təsdiqləmək üçün əvvəllər göstərilən 12345 nömrəsinin kvadrat kökünü hesablayaq. Bunu addım-addım edirik:

1. Sırf intuitiv olaraq götürək, X=100. Gəlin hesablayaq: X * X = 10000. İntuisiya ən yaxşı vəziyyətdədir - nəticə 12345-dən azdır.

2. Çalışaq, həm də sırf intuitiv olaraq, X = 120. Sonra: X * X = 14400. Və yenə də intuisiya qaydasındadır - nəticə 12345-dən çoxdur.

3. Yuxarıda 100 və 120-dən ibarət “çəngəl” aldıq. Gəlin yeni rəqəmlər seçək - 110 və 115. Biz müvafiq olaraq 12100 və 13225-i alırıq - çəngəl daralır.

4. Gəlin “bəlkə” X=111-i sınayaq. X * X = 12321 alırıq. Bu rəqəm artıq 12345-ə olduqca yaxındır. Tələb olunan dəqiqliyə uyğun olaraq, "uyğunluq" əldə edilən nəticədə davam etdirilə və ya dayandırıla bilər. Hamısı budur. Söz verildiyi kimi - hər şey çox sadədir və kalkulyator olmadan.

Bir az tarix...

Pifaqorçular, məktəbin şagirdləri və Pifaqorun davamçıları, kvadrat köklərdən istifadə etmək ideyasını eramızdan əvvəl 800 il əvvəl irəli sürdülər. və sonra biz rəqəmlər sahəsində yeni kəşflərlə "qarşılaşdıq". Və bu haradan gəldi?

1. Kök çıxarmaqla məsələnin həlli yeni sinfin ədədləri şəklində nəticə verir. Onları irrasional, başqa sözlə, “ağılsız” adlandırırdılar, çünki. onlar tam ədəd kimi yazılmır. Bu cür ən klassik nümunə 2-nin kvadrat köküdür. Bu hal tərəfi 1-ə bərabər olan kvadratın diaqonalının hesablanmasına uyğundur - bu Pifaqor məktəbinin təsiridir. Məlum oldu ki, tərəflərinin çox xüsusi vahid ölçüsü olan üçbucaqda hipotenuzun "sonu olmayan" bir ədədlə ifadə olunan ölçüsü var. Riyaziyyatda belə ortaya çıxdılar

2. Məlumdur ki, bu riyazi əməliyyatda başqa bir tutma da var - kökü çıxararkən radikal ifadənin kvadratının müsbət və ya mənfi hansı ədəd olduğunu bilmirik. Bu qeyri-müəyyənlik, bir əməliyyatın ikiqat nəticəsi bu şəkildə qeyd olunur.

Bu hadisə ilə bağlı məsələlərin tədqiqi riyaziyyatda mürəkkəb dəyişənlər nəzəriyyəsi adlanan, riyazi fizikada böyük praktik əhəmiyyət kəsb edən bir istiqamətə çevrilmişdir.

Maraqlıdır ki, eyni yerdə olan İ.Nyuton “Universal Arifmetika” əsərində kökün - radikal təyinatından istifadə etmişdir və kökün dəqiq qeydinin müasir forması 1690-cı ildən Fransız Rolunun “Manual” kitabından məlumdur. Cəbr”.