Paraleloqramın sahəsini necə tapmaq olar? Paraleloqramın sahəsi necə tapılır?

Paraleloqram tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlıdır.

Bu şəkildə əks tərəflər və bucaqlar bir-birinə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və onu ikiyə bölür. Paraleloqramın sahəsi üçün düsturlar tərəflərdən, hündürlükdən və diaqonallardan istifadə edərək dəyəri tapmağa imkan verir. Xüsusi hallarda paraleloqram da təqdim edilə bilər. Onlar düzbucaqlı, kvadrat və romb hesab olunur.
Əvvəlcə paraleloqramın hündürlüyünə və aşağı salındığı tərəfə görə sahəsinin hesablanması nümunəsinə baxaq.

Bu iş klassik sayılır və əlavə araşdırma tələb etmir. İki tərəfdən ərazini və onların arasındakı bucağı hesablamaq üçün düsturları nəzərdən keçirmək daha yaxşıdır. Hesablamalarda eyni üsuldan istifadə olunur. Əgər tərəflər və onların arasındakı bucaq verilirsə, onda sahə aşağıdakı kimi hesablanır:

Tutaq ki, bizə tərəfləri a = 4 sm, b = 6 sm olan paraleloqram verilmişdir.Onların arasındakı bucaq α = 30°-dir. Ərazini tapaq:

Diaqonallar vasitəsilə paraleloqramın sahəsi

Diaqonallardan istifadə edərək paraleloqramın sahəsi üçün düstur dəyəri tez tapmağa imkan verir.
Hesablamalar üçün diaqonallar arasında yerləşən bucağın ölçüsünə ehtiyacınız olacaq.

Diaqonallardan istifadə edərək paraleloqramın sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirək. Diaqonalları D = 7 sm, d = 5 sm olan paraleloqram verilsin.Onlar arasındakı bucaq α = 30°-dir. Verilənləri düsturla əvəz edək:

Diaqonal vasitəsilə paraleloqramın sahəsini hesablamaq nümunəsi bizə əla nəticə verdi - 8,75.

Diaqonal vasitəsilə paraleloqramın sahəsinin düsturunu bilməklə bir çox maraqlı məsələləri həll edə bilərsiniz. Onlardan birinə nəzər salaq.

Tapşırıq: Sahəsi 92 kvadratmetr olan paraleloqram verilmişdir. bax F nöqtəsi onun BC tərəfinin ortasında yerləşir. Gəlin sahəsini tapaq paraleloqramımızda yerləşəcək trapesiya ADFB. Əvvəlcə şərtlərə uyğun olaraq aldığımız hər şeyi çəkək.
Həll yoluna keçək:

Şərtlərimizə görə, ah =92 və buna görə də trapesiyamızın sahəsi bərabər olacaq

Paraleloqram nədir? Paraleloqram, əks tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlıdır.

1. Paraleloqramın sahəsi düsturla hesablanır:

\[ \BÖYÜK S = a \cdot h_(a)\]

Harada:
a paraleloqramın tərəfidir,
h a – bu tərəfə çəkilmiş hündürlük.

2. Paraleloqramın iki bitişik tərəfinin uzunluqları və onların arasındakı bucaq məlumdursa, onda paraleloqramın sahəsi aşağıdakı düsturla hesablanır:

\[ \BÖYÜK S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Əgər paraleloqramın diaqonalları verilmişsə və onların arasındakı bucaq məlumdursa, onda paraleloqramın sahəsi aşağıdakı düsturla hesablanır:

\[ \BÖYÜK S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Paraleloqramın xassələri

Paraleloqramda əks tərəflər bərabərdir: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

Paraleloqramda əks bucaqlar bərabərdir: \(\bucaq A = \bucaq C\), \(\bucaq B = \bucaq D\)

Paraleloqramın kəsişmə nöqtəsindəki diaqonalları yarıya bölünür \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Paraleloqramın diaqonalı onu iki bərabər üçbucağa ayırır.

Bir tərəfə bitişik olan paraleloqramın bucaqlarının cəmi 180 o-dur:

\(\bucaq A + \bucaq B = 180^(o)\), \(\bucaq B + \bucaq C = 180^(o)\)

\(\bucaq C + \bucaq D = 180^(o)\), \(\bucaq D + \bucaq A = 180^(o)\)

Paraleloqramın diaqonalları və tərəfləri aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Paraleloqramda hündürlüklər arasındakı bucaq onun iti bucağına bərabərdir: \(\bucaq K B H =\bucaq A\) .

Paraleloqramın bir tərəfinə bitişik olan bucaqların bissektrisaları qarşılıqlı perpendikulyardır.

Paraleloqramın iki əks bucağının bissektrisaları paraleldir.

Paraleloqramın əlamətləri

Dördbucaqlı paraleloqram olacaq, əgər:

\(AB = CD\) və \(AB || CD\)

\(AB = CD\) və \(BC = AD\)

\(AO = OC\) və \(BO = OD\)

\(\bucaq A = \bucaq C\) və \(\bucaq B = \bucaq D\)

Paraleloqramın sahəsi

Teorem 1

Paraleloqramın sahəsi onun tərəfinin uzunluğu ilə ona çəkilən hündürlüyün hasilinə bərabər müəyyən edilir.

burada $a$ paraleloqramın tərəfidir, $h$ bu tərəfə çəkilmiş hündürlükdür.

Sübut.

Bizə $AD=BC=a$ olan $ABCD$ paraleloqramı verilsin. $DF$ və $AE$ yüksəkliklərini çəkək (şək. 1).

Şəkil 1.

Aydındır ki, $FDAE$ rəqəmi düzbucaqlıdır.

\[\bucaq BAE=(90)^0-\bucaq A,\ \] \[\bucaq CDF=\bucaq D-(90)^0=(180)^0-\bucaq A-(90)^0 =(90)^0-\bucaq A=\BAE bucağı\]

Nəticədə, $CD=AB,\ DF=AE=h$ olduğundan, $I$ üçbucaqlarının bərabərliyi meyarına görə $\triangle BAE=\triangle CDF$. Sonra

Beləliklə, düzbucaqlının sahəsi haqqında teoremə görə:

Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 2

Paraleloqramın sahəsi onun bitişik tərəflərinin uzunluğunun bu tərəflər arasındakı bucağın sinusunun çarpımı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

burada $a,\b$ paraleloqramın tərəfləri, $\alpha$ onların arasındakı bucaqdır.

Sübut.

Bizə $BC=a,\ CD=b,\ \bucaq C=\alfa $ olan $ABCD$ paraleloqramı verilsin. $DF=h$ hündürlüyünü çəkək (şək. 2).

Şəkil 2.

Sinusun tərifinə görə alırıq

Beləliklə

Beləliklə, Teoremlə $1$:

Teorem sübut edilmişdir.

Üçbucağın sahəsi

Teorem 3

Üçbucağın sahəsi onun tərəfinin uzunluğunun və ona çəkilən hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

burada $a$ üçbucağın tərəfidir, $h$ bu tərəfə çəkilmiş hündürlükdür.

Sübut.

Şəkil 3.

Beləliklə, Teoremlə $1$:

Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 4

Üçbucağın sahəsi onun bitişik tərəflərinin uzunluğunun və bu tərəflər arasındakı bucağın sinusunun məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

burada $a,\b$ üçbucağın tərəfləri, $\alfa$ onların arasındakı bucaqdır.

Sübut.

Bizə $AB=a$ olan $ABC$ üçbucağı verilsin. $CH=h$ hündürlüyünü tapaq. Onu $ABCD$ paraleloqramına qədər quraq (şək. 3).

Aydındır ki, üçbucaqların bərabərliyi üçün $I$ meyarına görə, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Sonra

Beləliklə, Teoremlə $1$:

Teorem sübut edilmişdir.

Trapezoid sahəsi

Teorem 5

Trapezoidin sahəsi onun əsaslarının uzunluqları və hündürlüyü cəminin məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

Sübut.

Bizə $ABCK$ trapesiya verilsin, burada $AK=a,\ BC=b$. Gəlin orada $BM=h$ və $KP=h$ yüksəkliklərini, həmçinin $BK$ diaqonalını çəkək (şək. 4).

Şəkil 4.

Teoremlə $3$ alırıq

Teorem sübut edilmişdir.

Nümunə tapşırıq

Misal 1

Yan uzunluğu $a.$ olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapın

Həll.

Üçbucaq bərabərtərəfli olduğundan onun bütün bucaqları $(60)^0$-a bərabərdir.

Sonra teoremə görə 4$-a sahibik

Cavab:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Qeyd edək ki, bu məsələnin nəticəsi verilmiş tərəfi olan hər hansı bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapmaq üçün istifadə edilə bilər.

Paraleloqramın sahəsi üçün düstur

Paraleloqramın sahəsi onun tərəfinin və həmin tərəfin hündürlüyünün hasilinə bərabərdir.

Sübut

Paraleloqram düzbucaqlıdırsa, onda bərabərlik düzbucaqlının sahəsi üzrə teoremlə təmin edilir. Sonra, paraleloqramın bucaqlarının düzgün olmadığını fərz edirik.

$\angle BAD$ $ABCD$ və $AD > AB$ paraleloqramlarında iti bucaq olsun. Əks halda, təpələrin adını dəyişəcəyik. Sonra $B$ təpəsindən $AD$ xəttinə qədər olan hündürlük $AD$ tərəfinə düşür, çünki $AH$ ayağı hipotenuzadan $AB$ və $AB qısadır.< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

$ABCD$ paraleloqramının sahəsini və $HBCK$ düzbucağının sahəsini müqayisə edək. Paraleloqramın sahəsi $\triangle ABH$ sahəsinə görə böyükdür, lakin $\triangle DCK$ sahəsinə görə kiçikdir. Bu üçbucaqlar bərabər olduğundan onların sahələri bərabərdir. Bu o deməkdir ki, paraleloqramın sahəsi tərəflərin uzunluğu yan tərəfə olan düzbucaqlının sahəsinə və paraleloqramın hündürlüyünə bərabərdir.

Tərəflərdən və sinusdan istifadə edərək paraleloqramın sahəsi üçün düstur

Paraleloqramın sahəsi bitişik tərəflərin hasilinə və aralarındakı bucağın sinusuna bərabərdir.

Sübut

$AB$ tərəfinə düşən $ABCD$ paraleloqramının hündürlüyü $BC$ seqmentinin və $\bucaq ABC$ bucağının sinusunun hasilinə bərabərdir. Əvvəlki bəyanatı tətbiq etmək qalır.

Diaqonallardan istifadə edərək paraleloqramın sahəsi üçün düstur

Paraleloqramın sahəsi diaqonalların və aralarındakı bucağın sinusunun məhsulunun yarısına bərabərdir.

Sübut

$ABCD$ paraleloqramının diaqonalları $O$ nöqtəsində $\alpha$ bucağı ilə kəsilsin. Sonra paraleloqram xassəsinə görə $AO=OC$ və $BO=OD$. $180^\circ$-a qədər toplayan bucaqların sinusları bərabərdir, $\bucaq AOB = \bucaq COD = 180^\circ - \bucaq BOC = 180^\circ - \bucaq AOD$. Bu o deməkdir ki, diaqonalların kəsişməsindəki bucaqların sinusları $\sin \alpha$-a bərabərdir.

$S_(ABCD)=S_(\üçbucaq AOB) + S_(\üçbucaq BOC) + S_(\üçbucaq COD) + S_(\üçbucaq AOD)$

sahənin ölçülməsi aksiomuna uyğun olaraq. Bu üçbucaqlar və bucaqlar üçün diaqonallar kəsişdikdə $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ üçbucağın sahəsi düsturunu tətbiq edirik. Hər birinin tərəfləri diaqonalların yarısına bərabərdir və sinusları da bərabərdir. Buna görə də, bütün dörd üçbucağın sahələri $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ bərabərdir. dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Yuxarıda göstərilənlərin hamısını yekunlaşdıraraq əldə edirik

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Evklid həndəsəsində nöqtə və düz xətt müstəvilər nəzəriyyəsinin əsas elementləri olduğu kimi, paraleloqram da qabarıq dördbucaqlıların əsas fiqurlarından biridir. Ondan, bir topdan iplər kimi, "düzbucaqlı", "kvadrat", "romb" və digər həndəsi kəmiyyətlər anlayışları axır.

ilə təmasda

Paraleloqramın tərifi

qabarıq dördbucaqlı, hər bir cütü paralel olan seqmentlərdən ibarət olan həndəsə paraleloqram kimi tanınır.

Klassik paraleloqramın necə görünməsi dördbucaqlı ABCD ilə təsvir edilmişdir. Tərəflərə əsaslar (AB, BC, CD və AD), hər hansı təpədən bu təpənin əks tərəfinə çəkilmiş perpendikulyar hündürlük (BE və BF), AC və BD xətləri diaqonallar adlanır.

Diqqət! Kvadrat, romb və düzbucaqlı paraleloqramın xüsusi hallarıdır.

Tərəflər və açılar: əlaqənin xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyətlər, ümumiyyətlə, təyinatın özü ilə əvvəlcədən müəyyən edilir, onlar teoremlə isbat edilir. Bu xüsusiyyətlər aşağıdakılardır:

1. Qarşı tərəflər cütlükdə eynidir.
2. Bir-birinə qarşı olan bucaqlar cütlükdə bərabərdir.

Sübut: ABCD dördbucağını AC düz xəttinə bölmək yolu ilə əldə edilən ∆ABC və ∆ADC-ni nəzərdən keçirək. ∠BCA=∠CAD və ∠BAC=∠ACD, çünki AC onlar üçün ümumidir (müvafiq olaraq BC||AD və AB||CD üçün şaquli bucaqlar). Buradan belə çıxır: ∆ABC = ∆ADC (üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlaməti).

∆ABC-də AB və BC seqmentləri ∆ADC-də CD və AD xətlərinə cüt-cüt uyğun gəlir, bu da onların eyni olduğunu bildirir: AB = CD, BC = AD. Beləliklə, ∠B ∠D-ə uyğundur və onlar bərabərdir. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD olduğundan, onlar da cütlükdə eynidir, onda ∠A = ∠C olur. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Fiqurun diaqonallarının xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyət paraleloqramın bu xətlərindən: kəsişmə nöqtəsi onları yarıya bölür.

Sübut: ABCD fiqurunun AC və BD diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi olsun. Onlar iki mütənasib üçbucaq əmələ gətirir - ∆ABE və ∆CDE.

AB=CD, çünki onlar bir-birinə ziddir. Xətlərə və sekanta görə ∠ABE = ∠CDE və ∠BAE = ∠DCE.

Bərabərliyin ikinci meyarına görə, ∆ABE = ∆CDE. Bu o deməkdir ki, ∆ABE və ∆CDE elementləri: AE = CE, BE = DE və eyni zamanda AC və BD-nin mütənasib hissələridir. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Bitişik künclərin xüsusiyyətləri

Bitişik tərəflər 180 ° -ə bərabər olan bucaqların cəminə malikdir, çünki onlar paralel xətlərin və eninənin eyni tərəfində yerləşirlər. Dördbucaqlı ABCD üçün:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektorun xassələri:

1. , bir tərəfə endirilmiş, perpendikulyardır;
2. əks təpələrin paralel bisektorları var;
3. bissektrisa çəkməklə alınan üçbucaq ikitərəfli olacaq.

Teoremdən istifadə etməklə paraleloqramın xarakterik xüsusiyyətlərinin təyini

Bu rəqəmin xüsusiyyətləri, aşağıdakıları ifadə edən əsas teoremindən irəli gəlir: dördbucaqlı paraleloqram hesab olunur onun diaqonallarının kəsişməsi halında və bu nöqtə onları bərabər seqmentlərə ayırır.

Sübut: ABCD dördbucağının AC və BD xətləri i.e.-də kəsişsin. ∠AED = ∠BEC, və AE+CE=AC BE+DE=BD olduğundan, ∆AED = ∆BEC (üçbucaqların bərabərliyinin birinci meyarına görə). Yəni, ∠EAD = ∠ECB. Onlar həm də AD və BC xətləri üçün AC sekantının daxili çarpaz bucaqlarıdır. Beləliklə, paralelliyin tərifinə görə - AD || B.C. BC və CD xətlərinin oxşar xassəsi də əldə edilir. Teorem sübut edilmişdir.

Fiqurun sahəsinin hesablanması

Bu rəqəmin sahəsi bir neçə üsulla tapılırən sadələrindən biri: çəkildiyi hündürlüyün və bazanın çarpılması.

Sübut: B və C təpələrindən BE və CF perpendikulyarlarını çəkin. AB = CD və BE = CF olduğundan ∆ABE və ∆DCF bərabərdir. ABCD ölçüsünə görə EBCF düzbucağına bərabərdir, çünki onlar mütənasib fiqurlardan ibarətdir: S ABE və S EBCD, həmçinin S DCF və S EBCD. Buradan belə nəticə çıxır ki, bunun sahəsi həndəsi fiqur düzbucaqlı ilə eyni şəkildə yerləşir:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Müəyyən etmək üçün ümumi formula Paraleloqramın sahəsi hündürlüyü ilə işarələnir hb, və yan - b. Müvafiq olaraq:

Ərazini tapmağın digər yolları

Ərazi hesablamaları paraleloqramın və bucağın tərəfləri vasitəsilə, onların əmələ gətirdikləri ikinci məlum üsuldur.

,

Spr-ma - sahə;

a və b onun tərəfləridir

α a və b seqmentləri arasındakı bucaqdır.

Bu üsul praktiki olaraq birinciyə əsaslanır, lakin bilinməyən halda. həmişə kəsir düz üçbucaq, parametrləri triqonometrik eyniliklərlə tapılan, yəni . Münasibəti çevirərək alırıq. Birinci metodun tənliyində hündürlüyü bu məhsulla əvəz edirik və bu formulun etibarlılığının sübutunu əldə edirik.

Paraleloqramın və bucağın diaqonalları vasitəsilə, kəsişdikləri zaman meydana gətirdikləri ərazini də tapa bilərsiniz.

Sübut: AC və BD dörd üçbucaq yaratmaq üçün kəsişir: ABE, BEC, CDE və AED. Onların cəmi bu dördbucağın sahəsinə bərabərdir.

Bunların hər birinin sahəsi ∆ ifadəsi ilə tapıla bilər, burada a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Çünki hesablamalar tək sinus dəyərindən istifadə edir. ki . AE+CE=AC= d 1 və BE+DE=BD= d 2 olduğundan, sahə düsturu azalır:

.

Vektor cəbrində tətbiq

Bu dördbucağın tərkib hissələrinin xüsusiyyətləri vektor cəbrində, yəni iki vektorun əlavə edilməsində tətbiq tapmışdır. Paraleloqram qaydası bunu bildirir vektorlar verilmişdirsəVəyoxkollineardır, onda onların cəmi bu rəqəmin diaqonalına bərabər olacaq, əsasları bu vektorlara uyğundur.

Sübut: özbaşına seçilmiş başlanğıcdan - yəni. - vektorları qurmaq və . Sonra OA və OB seqmentlərinin tərəflər olduğu OASV paraleloqramını qururuq. Beləliklə, ƏS vektor və ya cəmi üzərində yerləşir.

Paraleloqramın parametrlərinin hesablanması üçün düsturlar

Şəxsiyyətlər aşağıdakı şərtlərlə verilir:

1. a və b, α - tərəflər və onların arasındakı bucaq;
2. d 1 və d 2, γ - diaqonallar və onların kəsişmə nöqtəsində;
3. h a və h b - a və b tərəflərinə endirilən hündürlüklər;

Parametr	Düstur
Tərəfləri tapmaq
diaqonallar boyunca və aralarındakı bucağın kosinusu
diaqonallar və tərəflər boyunca
hündürlükdən və əks təpədən keçir
Diaqonalların uzunluğunu tapmaq
tərəflərdə və onların arasındakı zirvənin ölçüsü
tərəflər və diaqonallardan biri boyunca	 Nəticə Paraleloqram, həndəsənin əsas fiqurlarından biri kimi, həyatda, məsələn, bir saytın sahəsini və ya digər ölçmələri hesablayarkən tikintidə istifadə olunur. Buna görə də, haqqında bilik fərqləndirici xüsusiyyətlər və onun müxtəlif parametrlərini hesablamaq yolları həyatın istənilən vaxtında faydalı ola bilər.