1°

1°. Səthin aydın müəyyən edilməsi halı üçün tangens müstəvisi və normal tənlikləri.

İki dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrinin həndəsi tətbiqlərindən birini nəzərdən keçirək. Qoy funksiya olsun z = f (x ;y) nöqtədə fərqlənə bilər (x 0; y 0) bəzi sahə DÎ R 2. Səthi kəsək S, funksiyasını təmsil edir z, təyyarələr x = x 0 Və y = y 0(şək. 11).

Təyyarə X = x 0 səthi ilə kəsişir S hansısa xətt üzrə z 0 (y ), tənliyi ilkin funksiyanın ifadəsində əvəz edilməklə əldə edilir z ==f (x ;y)əvəzinə X nömrələri x 0. Nöqtə M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))əyrisinə aiddir z 0 (y). Diferensiallaşan funksiyaya görə z nöqtədə M 0 funksiyası z 0 (y) nöqtəsində də fərqlənir y =y 0 . Bu səbəbdən təyyarənin bu nöqtəsində x = x 0 döngəyə z 0 (y) tangens çəkilə bilər l 1.

Bölmə üçün oxşar əsaslandırmanın aparılması saat = y 0, tangens quraq l 2 döngəyə z 0 (x) nöqtədə X = x 0 - Birbaşa 1 1 Və 1 2 adlı bir təyyarə təyin edin tangens müstəvisi səthə S nöqtədə M 0.

Onun tənliyini yaradaq. Təyyarə nöqtədən keçdiyi üçün ay(x 0;y 0;z 0), onda onun tənliyini belə yazmaq olar

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

bu şəkildə yenidən yazmaq olar:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(tənliyi -C-yə bölmək və işarələmək ).

tapacağıq A 1 və B 1.

Tangens tənlikləri 1 1 Və 1 2 oxşamaq

müvafiq olaraq.

Tangens l 1 müstəvidə yatır a , buna görə də bütün nöqtələrin koordinatları l 1(1) tənliyini təmin edin. Bu faktı sistem şəklində yazmaq olar

Bu sistemi B 1-ə münasibətdə həll edərək onu əldə edirik.Tangens üçün oxşar mülahizə apararaq l 3, bunu müəyyən etmək asandır.

Dəyərlərin əvəz edilməsi A 1 və B 1-i (1) tənliyinə daxil etdikdə, tələb olunan tangens müstəvi tənliyini əldə edirik:

Bir nöqtədən keçən xətt M 0 və səthin bu nöqtəsində qurulan tangens müstəvisinə perpendikulyar onun adlanır normal.

Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlıq şərtindən istifadə edərək kanonik normal tənlikləri əldə etmək asandır:

Şərh. Səthin adi, yəni qeyri-xüsusi nöqtələri üçün toxunan müstəvi və səthə normal düsturlar alınır. Nöqtə M 0 səth adlanır xüsusi, bu nöqtədə bütün qismən törəmələr sıfıra bərabərdirsə və ya onlardan ən azı biri mövcud deyilsə. Biz belə məqamları nəzərə almırıq.

Misal. Tangens müstəvisi və onun nöqtəsindəki səthə normal üçün tənlikləri yazın M(2; -1; 1).

Həll. Bu funksiyanın qismən törəmələrini və onların M nöqtəsindəki qiymətlərini tapaq

Buradan (2) və (3) düsturlarını tətbiq edərək, əldə edəcəyik: z-1=2(x-2)+2(y+1) və ya 2х+2у-z-1=0- tangens müstəvi tənliyi və - normal tənliklər.

2°. Səthin gizli müəyyən edilməsi halı üçün tangens müstəvisi və normal tənlikləri.

Səthi varsa S tənliyi ilə verilir F (x ; y;z)= 0, sonra (2) və (3) tənlikləri, qismən törəmələrin gizli funksiyanın törəmələri kimi tapıla biləcəyini nəzərə alaraq.

Normal müstəvi tənliyi

1.

4.

Tangens müstəvisi və səthi normal

Bəzi səth verilsin, A səthin sabit nöqtəsidir və B səthin dəyişən nöqtəsidir,

(şək. 1).

Sıfırdan fərqli vektor

→

n

çağırdı normal vektor A nöqtəsində səthə, əgər

lim B → A j = π 2 .

F (x, y, z) = 0 səth nöqtəsi bu nöqtədə adi adlanır

1. qismən törəmələr F " x , F " y , F " z davamlıdır;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Bu şərtlərdən ən azı biri pozulursa, səth nöqtəsi deyilir səthin xüsusi nöqtəsi .

Teorem 1.Əgər M(x 0 , y 0 , z 0 ) F (x , y , z) = 0 səthinin adi nöqtəsidir, onda vektor

→ n = dərəcə F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

M nöqtəsində bu səthə normaldır (x 0 , y 0 , z 0 ).

Sübut I.M.-in kitabında verilmişdir. Petruşko, L.A. Kuznetsova, V.I. Proxorenko, V.F. Safonova ``Kurs ali riyaziyyat: İnteqral hesablama. Bir neçə dəyişənin funksiyaları. Diferensial tənliklər. M.: MPEI nəşriyyatı, 2002 (səh. 128).

Səthə normal bir nöqtədə istiqamət vektoru bu nöqtədə səthə normal olan və bu nöqtədən keçən düz xətt var.

Kanonik normal tənliklərşəklində təmsil oluna bilər

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Tangens təyyarəsi müəyyən bir nöqtədə səthə bu nöqtədən bu nöqtədə səthə normala perpendikulyar keçən bir müstəvidir.

Bu tərifdən belə çıxır tangens müstəvi tənliyi formaya malikdir:

(3)

Səthdəki nöqtə təkdirsə, o zaman səthə normal vektor olmaya bilər və buna görə də səthin normal və toxunan müstəvisi olmaya bilər.

İki dəyişənli funksiyanın tam diferensialının həndəsi mənası

z = f (x, y) funksiyası a (x 0, y 0) nöqtəsində diferensiallansın. Onun qrafiki səthdir

f (x, y) − z = 0.

z 0 = f (x 0, y 0) qoyaq. Onda A nöqtəsi (x 0 , y 0 , z 0 ) səthə aiddir.

F (x, y, z) = f (x, y) − z funksiyasının qismən törəmələri

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

və A nöqtəsində (x 0 , y 0 , z 0 )

1. onlar davamlıdır;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Deməli, A F (x, y, z) səthinin adi nöqtəsidir və bu nöqtədə səthə toxunan müstəvi var. (3)-ə əsasən, tangens müstəvi tənliyi formaya malikdir:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

a (x 0, y 0) nöqtəsindən ixtiyari p (x, y) nöqtəsinə keçərkən toxunan müstəvidə nöqtənin şaquli yerdəyişməsi B Q-dır (şəkil 2). Müraciətlərin müvafiq artımı

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Burada sağ tərəfdə diferensial var d z funksiyası z = f (x, y) a nöqtəsində (x 0, x 0). Beləliklə,
d f (x 0 , y 0 ). (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) nöqtəsində f (x, y) funksiyasının qrafikinə toxunan müstəvi nöqtəsinin tətbiqinin artımıdır.

Diferensialın tərifindən belə çıxır ki, funksiyanın qrafikindəki P nöqtəsi ilə tangens müstəvisində Q nöqtəsi arasındakı məsafə sonsuz kiçikdir. yüksək sifariş p nöqtəsindən a nöqtəsinə qədər olan məsafədən.

Müəyyən bir nöqtədə və ən azı biri itməyən davamlı qismən törəmələrə malikdir, onda bu nöqtənin yaxınlığında (1) tənliyi ilə müəyyən edilmiş səth olacaqdır. sağ səth.

Yuxarıda göstərilənlərə əlavə olaraq müəyyənləşdirilməsinin gizli yolu səthi müəyyən edilə bilər açıq-aydın, əgər dəyişənlərdən biri, məsələn, z, digərləri ilə ifadə oluna bilərsə:

da var parametrik təyinat yolu. Bu vəziyyətdə səth tənliklər sistemi ilə müəyyən edilir:

Sadə səth anlayışı

Daha doğrusu, sadə səth vahid kvadratın daxili hissəsinin homeomorf xəritələşdirilməsinin (yəni tək-tək və qarşılıqlı davamlı xəritələşdirilməsi) təsviri adlanır. Bu tərifə analitik ifadə vermək olar.

Daxili nöqtələrinin koordinatları 0 bərabərsizliyini təmin edən düzbucaqlı koordinat sistemi u və v olan müstəvidə kvadrat verilsin.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для müxtəlif nöqtələr(u, v) və (u, v") fərqli uyğun nöqtələr (x, y, z) və (x, y, z") idi.

Misal sadə səth yarımkürədir. Bütün sfera deyil sadə səth. Bu, səth anlayışının daha da ümumiləşdirilməsini zəruri edir.

Hər nöqtəsinin bir qonşuluğu olan fəza alt çoxluğu sadə səth, çağırdı sağ səth .

Diferensial həndəsədə səth

Helikoid

Katenoid

Metrik səthin formasını unikal şəkildə müəyyən etmir. Məsələn, müvafiq olaraq parametrləşdirilmiş helikoid və katenoidin metrikası üst-üstə düşür, yəni onların bölgələri arasında bütün uzunluqları (izometriya) saxlayan uyğunluq var. İzometrik çevrilmələr zamanı qorunan xassələrə deyilir daxili həndəsə səthlər. Daxili həndəsə səthin kosmosdakı vəziyyətindən asılı deyil və o, gərginlik və sıxılma olmadan əyildikdə (məsələn, silindr konus halında əyildikdə) dəyişmir.

Metrik əmsallar təkcə bütün əyrilərin uzunluqlarını deyil, həm də ümumilikdə səthin daxilindəki bütün ölçmələrin nəticələrini (bucaqlar, sahələr, əyrilik və s.) müəyyən edir. Buna görə də, yalnız metrikdən asılı olan hər şey daxili həndəsə aiddir.

Normal və normal bölmə

Səth nöqtələrində normal vektorlar

Səthin əsas xüsusiyyətlərindən biri onun olmasıdır normal- verilmiş nöqtədə tangens müstəvisinə perpendikulyar vahid vektor:

.

Normalın işarəsi koordinatların seçilməsindən asılıdır.

Səthin normal (müəyyən bir nöqtədə) olan bir müstəvi ilə kəsilməsi səthdə müəyyən bir əyri əmələ gətirir ki, bu da adlanır. normal bölmə səthlər. Normal bölmə üçün əsas normal səthin normalı ilə üst-üstə düşür (işarəyə qədər).

Səthdəki əyri normal kəsik deyilsə, onun əsas normalı səthin normalı ilə müəyyən bir bucaq θ əmələ gətirir. Sonra əyrilik kəyrilik ilə əlaqəli əyri k n Meunier düsturu ilə normal kəsik (eyni tangens ilə):

Səthi təyin etməyin müxtəlif üsulları üçün normal vahid vektorunun koordinatları cədvəldə verilmişdir:

	Səth nöqtəsində normal koordinatlar
gizli tapşırıq
açıq tapşırıq
parametrik spesifikasiya

Əyrilik

Səthin müəyyən bir nöqtəsində müxtəlif istiqamətlər üçün adlanan normal hissənin müxtəlif əyriliyi əldə edilir normal əyrilik; əyrinin əsas normalı səthin normalı ilə eyni istiqamətdə gedirsə, ona artı işarəsi və ya normalların istiqamətləri əks olduqda mənfi işarəsi verilir.

Ümumiyyətlə, səthin hər bir nöqtəsində iki perpendikulyar istiqamət var e 1 və e 2, burada normal əyrilik minimum və maksimum dəyərləri alır; bu istiqamətlər adlanır əsas. İstisna, bütün istiqamətlərdə normal əyriliyin eyni olduğu haldır (məsələn, kürə yaxınlığında və ya inqilab ellipsoidinin sonunda), onda bir nöqtədəki bütün istiqamətlər əsasdır.

Mənfi (sol), sıfır (mərkəz) və müsbət (sağ) əyriliyi olan səthlər.

Əsas istiqamətlərdə normal əyriliklər deyilir əsas əyriliklər; onları κ 1 və κ 2 ilə işarə edək. Ölçü:

K= κ 1 κ 2

çağırdı Qauss əyriliyi, tam əyrilik və ya sadəcə əyrilik səthlər. Termin də var əyrilik skalyar, əyrilik tensorunun bükülməsinin nəticəsini nəzərdə tutur; bu halda əyrilik skalyarı Qauss əyriliyindən iki dəfə böyük olur.

Qauss əyriliyi metrik vasitəsilə hesablana bilər və buna görə də səthlərin daxili həndəsəsinin obyektidir (əsas əyriliklərin daxili həndəsə aid olmadığını nəzərə alın). Səth nöqtələrini əyrilik əlamətinə əsasən təsnif edə bilərsiniz (şəklə bax). Təyyarənin əyriliyi sıfırdır. Radiusu R olan sferanın əyriliyi hər yerdə bərabərdir. Daimi mənfi əyrilik səthi də var - psevdosfer.

Geodeziya xətləri, geodeziya əyriliyi

Səthdəki əyri adlanır geodeziya xətti, və ya sadəcə geodeziya, əgər onun bütün nöqtələrində əyrinin əsas normalı səthin normalı ilə üst-üstə düşürsə. Nümunə: bir müstəvidə, geodeziya düz xətlər və düz xətlərin seqmentləri, kürə üzərində - böyük dairələr və onların seqmentləridir.

Ekvivalent tərif: geodeziya xətti üçün onun əsas normalının oskulyar müstəviyə proyeksiyası sıfır vektordur. Əgər əyri geodezik deyilsə, o zaman göstərilən proyeksiya sıfırdan fərqlidir; uzunluğu deyilir geodeziya əyriliyi k g səthdə əyri. Bir əlaqə var:

,

Harada k- bu əyrinin əyriliyi, k n- onun normal hissəsinin eyni tangenslə əyriliyi.

Geodeziya xətləri daxili həndəsə aiddir. Onların əsas xüsusiyyətlərini sadalayaq.

• vasitəsilə bu nöqtə müəyyən bir istiqamətdə səthlər bir və yalnız bir geodeziya var.
• Səthin kifayət qədər kiçik bir sahəsində iki nöqtə həmişə geodeziya ilə və üstəlik yalnız bir ilə birləşdirilə bilər. İzahat: bir kürədə əks qütblər sonsuz sayda meridianlarla bağlanır və iki yaxın nöqtə yalnız böyük bir dairənin seqmenti ilə deyil, həm də tam çevrəyə əlavə etməklə birləşdirilə bilər ki, unikallıq yalnız qorunsun. kiçikdə.
• Geodeziya ən qısa yoldur. Daha ciddi şəkildə: səthin kiçik bir hissəsində verilmiş nöqtələr arasında ən qısa yol geodeziya boyunca uzanır.

Kvadrat

Səthin başqa bir vacib atributu onun olmasıdır kvadrat, bu düsturla hesablanır:

2 dəyişənli z = f(x,y) funksiyasının qrafiki D funksiyasının təyini oblastına XOY müstəvisinə proyeksiya edilmiş səthdir.
Səthi nəzərə alın σ , z = f(x,y) tənliyi ilə verilmişdir, burada f(x,y) diferensiallanan funksiyadır və M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) σ səthində sabit nöqtə olsun, yəni. z 0 = f(x 0 ,y 0). Məqsəd. Onlayn kalkulyator tapmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur tangens müstəvisi və səth normal tənlikləri. Həll Word formatında tərtib edilmişdir. Əgər əyriyə toxunan tənlik (y = f(x)) tapmaq lazımdırsa, bu xidmətdən istifadə etməlisiniz.

Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları:

Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları:

1. Bütün dəyişənlər x,y,z vasitəsilə ifadə edilir

Səthə toxunan təyyarə σ onun nöqtəsində M 0, səthdə çəkilmiş bütün əyrilərə toxunanların yerləşdiyi müstəvidir σ nöqtəsi vasitəsilə M 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) nöqtəsində z = f(x,y) tənliyi ilə müəyyən edilən səthə toxunan müstəvinin tənliyi belədir:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Vektor səthi normal vektor adlanır σ M 0 nöqtəsində. Normal vektor tangens müstəvisinə perpendikulyardır.
Səthə normal σ nöqtədə M 0 bu nöqtədən keçən və N vektorunun istiqamətinə malik düz xəttdir.
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) nöqtəsində z = f(x,y) tənliyi ilə müəyyən edilmiş səthin normalının kanonik tənlikləri, burada z 0 = f(x 0 ,y 0), formaya malikdir:

Nümunə №1. Səth x 3 +5y tənliyi ilə verilir. M 0 (0;1) nöqtəsində səthə toxunan müstəvinin tənliyini tapın.
Həll. Tangens tənliklərini ümumi formada yazaq: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y) - y 0)
Məsələnin şərtlərinə görə x 0 = 0, y 0 = 1, onda z 0 = 5
z = x^3+5*y funksiyasının qismən törəmələrini tapaq:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) nöqtəsində qismən törəmələrin dəyərləri aşağıdakılardır:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Düsturdan istifadə edərək M 0 nöqtəsində səthə toxunan müstəvinin tənliyini alırıq: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) və ya -5 y+z = 0

Nümunə № 2. Səth gizli şəkildə y 2 -1/2*x 3 -8z müəyyən edilir. M 0 (1;0;1) nöqtəsində səthə toxunan müstəvinin tənliyini tapın.
Həll. Funksiyanın qismən törəmələrinin tapılması. Funksiya gizli şəkildə göstərildiyi üçün biz düsturdan istifadə edərək törəmələri axtarırıq:

Funksiyamız üçün:

Sonra:

M 0 (1,0,1) nöqtəsində qismən törəmələrin qiymətləri:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Düsturdan istifadə edərək M 0 nöqtəsində səthə toxunan müstəvinin tənliyini alırıq: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) və ya 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Misal. Səth σ tənliyi ilə verilir z= y/x + xy – 5x 3. Səthə normal və tangens müstəvisinin tənliyini tapın σ nöqtədə M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), ona məxsus, əgər x 0 = –1, y 0 = 2.
Funksiyanın qismən törəmələrini tapaq z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Nöqtə M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) səthə aiddir σ , buna görə hesablaya bilərik z 0, verilmiş əvəz x 0 = –1 və y Səth tənliyinə 0 = 2:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
nöqtədə M 0 (–1, 2, 1) qismən törəmə dəyərlər:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
(5) düsturundan istifadə edərək səthə toxunan müstəvinin tənliyini alırıq σ nöqtədə M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
(6) düsturundan istifadə edərək səthin normalının kanonik tənliklərini alırıq σ nöqtədə M 0: .
Cavablar: tangens müstəvi tənliyi: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normal tənliklər: .

Nümunə №1. z=f(x,y) funksiyası və iki A(x 0, y 0) və B(x 1, y 1) nöqtəsi verilmişdir. Tələb olunur: 1) B nöqtəsində funksiyanın z 1 qiymətini hesablamaq; 2) A nöqtəsindən B nöqtəsinə keçərkən funksiyanın artımını diferensialla əvəz edərək, funksiyanın A nöqtəsindəki z 0 qiyməti əsasında B nöqtəsində funksiyanın təxmini z 1 qiymətini hesablayın; 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) nöqtəsində z = f(x,y) səthinə toxunan müstəvi üçün tənlik yaradın.
Həll.
Tangens tənliklərini ümumi formada yazaq:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Məsələnin şərtlərinə görə x 0 = 1, y 0 = 2, onda z 0 = 25
z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 funksiyasının qismən törəmələrini tapaq:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) nöqtəsində qismən törəmələrin dəyərləri aşağıdakılardır:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Düsturdan istifadə edərək M 0 nöqtəsində səthə toxunan müstəvinin tənliyini alırıq:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
və ya
-26 x-36 y+z+73 = 0

Nümunə № 2. (1;-1;3) nöqtəsində z = 2x 2 + y 2 olan elliptik paraboloidin tangens müstəvisinin və normalının tənliklərini yazın.

Tangens təyyarələri həndəsədə böyük rol oynayır. Tangens təyyarələrin qurulması praktiki əhəmiyyət kəsb edir, çünki onların mövcudluğu normalın təmas nöqtəsində səthə istiqamətini təyin etməyə imkan verir. Bu problem mühəndislik təcrübəsində geniş istifadə olunur. Eskizlərin qurulması üçün tangens təyyarələri də istifadə olunur. həndəsi fiqurlar, qapalı səthlərlə məhdudlaşır. Nəzəri olaraq, səthə toxunan təyyarələr diferensial həndəsədə təmas nöqtəsi bölgəsində səthin xüsusiyyətlərini öyrənmək üçün istifadə olunur.

Əsas anlayışlar və təriflər

Səthə toxunan müstəvi, kəsici müstəvinin məhdudlaşdırıcı mövqeyi kimi nəzərə alınmalıdır (əyriyə toxunan xətt ilə analogiyaya görə, bu da sekantın məhdudlaşdırıcı mövqeyi kimi təyin olunur).

Səthin müəyyən bir nöqtəsində səthə toxunan təyyarə bütün düz xətlərin çoxluğudur - verilmiş nöqtə vasitəsilə səthə çəkilmiş tangenslər.

Diferensial həndəsədə sübut edilir ki, adi nöqtədə çəkilmiş səthin bütün tangensləri koplanardır (eyni müstəviyə aiddir).

Səthə toxunan düz xəttin necə çəkiləcəyini öyrənək. Səthdə müəyyən edilmiş M nöqtəsində t səthinə toxunan t (Şəkil 203) səthi iki nöqtədə (MM 1, MM 2, ..., MM n) kəsən l j sekantının məhdudlaşdırıcı vəziyyətini əks etdirir. kəsişmə nöqtələri üst-üstə düşür (M ≡ M n, l n ≡ l M). Aydındır ki, (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, çünki g ⊂ β. Yuxarıdakılardan aşağıdakı tərif gəlir: səthə toxunan səthə aid olan hər hansı əyriyə toxunan düz xəttdir.

Təyyarə iki kəsişən düz xətt ilə təyin olunduğuna görə, verilmiş nöqtədə səthə toxunan müstəvini təyin etmək üçün bu nöqtədən səthə aid iki ixtiyari xətt çəkmək (daha yaxşı formada sadədir) kifayətdir. onların hər biri bu xətlərin kəsişmə nöqtəsində . Qurulmuş tangenslər tangens müstəvisini unikal şəkildə təyin edir. Verilmiş M nöqtəsində β səthinə tangens olan α müstəvisinin çəkilməsinin vizual təsviri Şəkil 1-də verilmişdir. 204. Bu rəqəm həm də β səthinə normal n-ni göstərir.

Müəyyən bir nöqtədə səthin normalı tangens müstəvisinə perpendikulyar olan və toxunma nöqtəsindən keçən düz xəttdir.

Səthin normaldan keçən müstəvi ilə kəsişmə xəttinə səthin normal bölməsi deyilir. Səthin növündən asılı olaraq, tangens müstəvisi səthlə bir və ya bir çox nöqtəyə (xətti) malik ola bilər. Tangens xətti eyni zamanda səthin təyyarə ilə kəsişmə xətti ola bilər.

Səthdə səthə toxunma çəkmək mümkün olmayan nöqtələrin olduğu hallar da var; belə nöqtələrə tək deyilir. Tək nöqtələrə misal olaraq gövdə səthinin qayıdış kənarına aid olan nöqtələri və ya meridian və ox sağda kəsişmədiyi təqdirdə, inqilab səthinin meridianının onun oxu ilə kəsişmə nöqtəsini göstərmək olar. bucaqlar.

Toxunma növləri səthin əyriliyinin təbiətindən asılıdır.

Səthin əyriliyi

Səthin əyriliyi məsələlərini fransız riyaziyyatçısı F.Dupen (1784-1873) tədqiq etmiş, o, səthin normal hissələrinin əyriliyindəki dəyişiklikləri təsvir etmək üçün vizual üsul təklif etmişdir.

Bunun üçün M nöqtəsində nəzərdən keçirilən səthə tangens müstəvisində (şək. 205, 206), bu kəsiklərin müvafiq əyrilik radiuslarının dəyərlərinin kvadrat köklərinə bərabər olan seqmentlər toxunanların üzərinə qoyulur. bu nöqtənin hər iki tərəfindəki normal kəsiklər. Nöqtələr dəsti - seqmentlərin ucları adlanan əyrini təyin edir Dupin göstəricisi. Dupin göstəricisinin qurulması alqoritmini (şək. 205) yazmaq olar:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

burada R əyrilik radiusudur.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) Dupin göstəricisidir.

Səthin Dupin göstəricisi ellipsdirsə, M nöqtəsi elliptik, səth isə elliptik nöqtələri olan səth adlanır.(Şəkil 206). Bu halda tangens müstəvisinin səthlə yalnız bir ümumi nöqtəsi olur və səthə aid olan və nəzərdən keçirilən nöqtədə kəsişən bütün xətlər tangens müstəvisinin bir tərəfində yerləşir. Elliptik nöqtələri olan səthlərə nümunələr bunlardır: inqilab paraboloidi, inqilab ellipsoidi, kürə (bu vəziyyətdə Dupin göstəricisi bir dairədir və s.).

Torso səthinə tangens müstəvisi çəkərkən, təyyarə düz generatrix boyunca bu səthə toxunacaqdır. Bu xəttdəki nöqtələr adlanır parabolik, səthi isə parabolik nöqtələri olan bir səthdir. Bu halda Dupinin göstəricisi iki paralel xəttdir (şək. 207*).

Şəkildə. 208 nöqtələrdən ibarət səthi göstərir

* İkinci dərəcəli əyri - parabola müəyyən şərtlər altında iki real paralel xəttə, iki xəyali paralel xəttə, iki üst-üstə düşən xəttə bölünə bilər. Şəkildə. 207 iki real paralel xəttlə məşğul oluruq.

Hər hansı bir tangens təyyarə səthi kəsir. Belə bir səth adlanır hiperbolik, və ona aid olan nöqtələrdir hiperbolik nöqtələr. Dupinin Göstəricisi bu halda- hiperbola.

Bütün nöqtələri hiperbolik olan bir səth yəhər şəklinə malikdir (oblik müstəvi, tək vərəqli hiperboloid, inqilabın konkav səthləri və s.).

Bir səthdə nöqtələr ola bilər fərqli növlər məsələn, gövdə səthinin yaxınlığında (şək. 209) M nöqtəsi elliptikdir; N nöqtəsi parabolikdir; K nöqtəsi hiperbolikdir.

Diferensial həndəsə kursunda əyrilik dəyərlərinin K j = 1/ R j (burada R j baxılan hissənin əyrilik radiusudur) həddindən artıq qiymətlərə malik olduğu normal kəsiklərin iki yerdə yerləşdiyi sübut edilmişdir. qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilər.

Belə əyriliklər K 1 = 1/R maks. K 2 = 1/R min əsas dəyərlər adlanır və H = (K 1 + K 2)/2 və K = K 1 K 2 dəyərləri müvafiq olaraq səthin orta əyriliyi və ümumi ( Qauss) baxılan nöqtədə səthin əyriliyi. Elliptik nöqtələr üçün K > 0, hiperbolik nöqtələr K

Monge diaqramında səthə toxunan müstəvinin təyin edilməsi

Aşağıda konkret misallar Elliptik (misal 1), parabolik (misal 2) və hiperbolik (nümunə 3) nöqtələri olan səthə toxunan müstəvinin qurulmasını göstərəcəyik.

NÜMUNƏ 1. Elliptik nöqtələri olan β inqilabının səthinə toxunan α müstəvisi qurun. Bu məsələnin həllinin iki variantını nəzərdən keçirək: a) M ∈ β nöqtəsi və b) M ∉ β nöqtəsi.

Variant a (Şəkil 210).

Tangens müstəvisi M nöqtəsində β səthinin paralel və meridianına çəkilmiş iki tangens t 1 və t 2 ilə müəyyən edilir.

t 1 tangensinin β səthinin h paralelinə proyeksiyaları t" 1 ⊥ (S"M") və t" 1 || x oxu M nöqtəsindən keçən β səthinin d meridianına t" 2 tangensinin üfüqi proyeksiyası meridianın horizontal proyeksiyası ilə üst-üstə düşəcək. t" 2 tangensinin frontal proyeksiyasını tapmaq üçün γ(γ) meridional müstəvisi. ∋ M) π 2 müstəvisinə paralel β 1 səthinin oxu ətrafında fırlanaraq γ mövqeyinə köçürülür. Bu halda M → M 1 nöqtəsi (M" 1, M" 1).Tangensin proyeksiyası t" 2 rarr; t" 2 1 (M" 1 S") ilə müəyyən edilir. Əgər indi γ 1 müstəvisini ilkin vəziyyətinə qaytarsaq, onda S" nöqtəsi yerində qalacaq (fırlanma oxuna aid olduğu kimi), M" 1 → M" və t" 2 tangensinin frontal proyeksiyası olacaq. təyin olunmaq (M" S")

M ∈ β nöqtəsində kəsişən iki tangens t 1 və t 2 β səthinə toxunan α müstəvisini təyin edir.

Variant b (Şəkil 211)

Səthə aid olmayan nöqtədən keçən səthə tangens müstəvisi qurmaq üçün aşağıdakı mülahizələrdən çıxış etmək lazımdır: səthdən kənarda elliptik nöqtələrdən ibarət olan nöqtə vasitəsilə səthə toxunan çoxlu müstəvilər çəkilə bilər. Bu səthlərin zərfi bəzi konusvari səth olacaqdır. Buna görə də, əlavə göstərişlər yoxdursa, problemin bir çox həlli var və bu halda verilmiş β səthinə γ tangens olan konusvari səthi çəkmək üçün azalır.

Şəkildə. 211 β kürəsinə toxunan γ konusvari səthin qurulmasını göstərir. Konusvari səthə γ toxunan hər hansı α müstəvisi β səthinə tangens olacaqdır.

M" və M" nöqtələrindən γ səthinin proyeksiyalarını qurmaq üçün h" və f" dairələrinə - sferanın proyeksiyalarına toxunanları çəkirik. 1 (1" və 1"), 2 (2" və 2"), 3 (3" və 3") və 4 (4" və 4") toxunma nöqtələrini qeyd edin. Dairənin üfüqi proyeksiyası - konusvari səthin və sferanın toxunma xətti [ 1"2"] proyeksiya olunur. Bu dairənin proyeksiyaların frontal müstəvisinə proyeksiya ediləcəyi ellipsin nöqtələrini tapmaq üçün istifadə edəcəyik. sferanın paralelləri.

Şəkildə. 211 bu yolla E və F (E" və F") nöqtələrinin frontal proyeksiyaları təyin edilir. Konusvari səthə malik olan γ, ona toxunan α müstəvisi qururuq. Qrafikin xarakteri və ardıcıllığı

Bunun üçün edilməsi lazım olan konstruksiyalar aşağıdakı nümunədə verilmişdir.

NÜMUNƏ 2 Parabolik nöqtələrlə β səthinə toxunan α müstəvisi qurun.

Nümunə 1-də olduğu kimi, iki həll variantını nəzərdən keçiririk: a) N ∈ β nöqtəsi; b) N ∉ β nöqtəsi

Variant a (Şəkil 212).

Konusvari səth parabolik nöqtələri olan səthlərə aiddir (bax. Şəkil 207.) Konusvari səthə toxunan müstəvi ona düz xətt boyunca toxunur.Onu qurmaq üçün lazımdır:

1) verilmiş N nöqtəsi vasitəsilə SN (S"N" və S"N" generatorunu çəkin;

2) generatrixin (SN) kəsişmə nöqtəsini d bələdçi ilə qeyd edin: (SN) ∩ d = A;

3) həm də A nöqtəsində t-dən d tangensinə zərbə vuracaq.

Generator (SA) və onu kəsən t tangensi verilmiş N* nöqtəsində konusvari səthə β ilə α tangensini təyin edir.

Konusvari səthə β tangens olan və N nöqtəsindən keçən α müstəvisini çəkmək üçün aid deyil.

* β səthi parabolik nöqtələrdən (S təpəsindən başqa) ibarət olduğundan, ona toxunan α müstəvisi bir N nöqtəsinə deyil, düz xəttə (SN) malik olacaqdır.

müəyyən bir səthə basaraq, lazımdır:

1) verilmiş N nöqtəsi və konusvari səthin S təpəsi vasitəsilə β düz xətt a (a" və a") çəkin;

2) bu düz xəttin üfüqi izini təyin edin H a;

3) H a vasitəsilə h 0β əyrisinin t" 1 və t" 2 tangenslərini çəkin - konusvari səthin üfüqi izi;

4) A (A" və A") və B (B" və B") toxunan nöqtələrini S (S" və S") konusvari səthin təpəsinə birləşdirin.

t 1, (AS) və t 2, (BS) kəsişən xətlər arzu olunan α 1 və α 2 tangens müstəvilərini təyin edir.

NÜMUNƏ 3. Hiperbolik nöqtələrlə β səthinə toxunan α müstəvisi qurun.

K nöqtəsi (şəkil 214) globoidin səthində (halqanın daxili səthi) yerləşir.

Tangens müstəvisinin mövqeyini təyin etmək üçün α lazımdır:

1) K nöqtəsi vasitəsilə β h(h", h") səthinə paralel çəkmək;

2) K" nöqtəsi vasitəsilə t" 1 (t" 1 ≡ h") tangensi çəkin;

3) meridional kəsiyə tangensin proyeksiyalarının istiqamətlərini müəyyən etmək üçün K nöqtəsi və səthin oxu vasitəsilə γ müstəvisini çəkmək lazımdır, üfüqi proyeksiya t" 2 h 0γ ilə üst-üstə düşəcək; qurmaq üçün tangensin frontal proyeksiyası t" 2, biz ilk növbədə γ müstəvisini fırlanma səthinin oxu ətrafında γ 1 vəziyyətinə çevirərək || π 2. Bu halda, γ müstəvisi ilə meridional kəsik frontal proyeksiyanın sol kontur qövsü ilə uyğunlaşacaq - yarımdairə g".

Meridional kəsik əyrisinə aid olan K (K, K") nöqtəsi K 1 (K" 1, K" 1) mövqeyinə keçəcək. K" 1 vasitəsilə γ 1 || müstəvisi ilə birləşmiş t" 2 1 tangensinin frontal proyeksiyasını çəkirik. π 2 mövqeyi və onun kəsişmə nöqtəsini fırlanma oxunun S" 1 frontal proyeksiyası ilə qeyd edirik. Biz γ 1 müstəvisini ilkin vəziyyətinə qaytarırıq, K" 1 → K" nöqtəsi (S" 1 ≡ S" nöqtəsi) t" 2 tangensinin frontal proyeksiyası K" və S" nöqtələri ilə müəyyən edilir.

t 1 və t 2 tangensləri l əyrisi boyunca β səthini kəsən arzu olunan tangens müstəvisini α müəyyən edir.

NÜMUNƏ 4. K nöqtəsində β səthinə toxunan α müstəvisi qurun. K nöqtəsi bir vərəqli inqilab hiperboloidinin səthində yerləşir (şək. 215).

Bu problemi əvvəlki misalda istifadə olunan alqoritmə riayət etməklə həll etmək olar, lakin nəzərə alsaq ki, bir vərəqli inqilab hiperboloidinin səthi iki düzxətli generator ailəsinə və hər birinin generatoruna malik olan idarə olunan səthdir. ailə digər ailənin bütün generatorları ilə kəsişir (bax § 32, şək. 138). Bu səthin hər bir nöqtəsi vasitəsilə iki kəsişən düz xətt çəkilə bilər - eyni vaxtda inqilabın bir vərəqli hiperboloidinin səthinə toxunan generatorlar.

Bu tangenslər tangens müstəvisini təyin edir, yəni bir vərəqli inqilab hiperboloidinin səthinə toxunan müstəvi bu səthi iki g 1 və g 2 düz xətti boyunca kəsir. Bu xətlərin proyeksiyalarını qurmaq üçün K nöqtəsinin üfüqi proyeksiyasını və t" 1 və t" 2 tangenslərini üfüqi istiqamətə aparmaq kifayətdir.

d" 2 dairəsinin tal proyeksiyası - tək vərəqli inqilab hiperboloidinin səthinin boğazı; t" 1 və t" 2-nin birini və d 1 istiqamətləndirici səthlərini kəsdiyi 1" və 2 nöqtələrini müəyyənləşdirin. 1" və 2"-dən biz K" ilə birlikdə tələb olunan xətlərin frontal proyeksiyalarını təyin edən 1" və 2" tapırıq.