Şah mat gözləntisini necə təyin etmək olar. Riyazi gözlənti düsturu. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları
Diskretin riyazi gözləntiləri təsadüfi dəyişən onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.
Qoy təsadüfi dəyişən yalnız müvafiq olaraq bərabər olan ehtimal qiymətlərini götürsün.Sonra təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri bərabərliklə müəyyən edilir.
Diskret təsadüfi dəyişən mümkün dəyərlərin sayıla bilən dəstini alırsa, o zaman
Üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə, riyazi gözlənti mövcuddur.
Şərh. Tərifdən belə çıxır ki, diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi təsadüfi olmayan (sabit) kəmiyyətdir.
Ümumi halda riyazi gözləntinin tərifi
Paylanması mütləq diskret olmayan təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini müəyyən edək. Mənfi olmayan təsadüfi dəyişənlər halından başlayaq. İdeya, riyazi gözləntiləri artıq müəyyən edilmiş diskretlərdən istifadə edərək belə təsadüfi dəyişənləri təxmini etmək və riyazi gözlənti qoymaq olacaq. limitinə bərabərdir ona yaxınlaşan diskret təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri. Yeri gəlmişkən, bu, çox faydalı ümumi fikirdir ki, hansısa xarakteristika əvvəlcə sadə obyektlər üçün müəyyən edilir, sonra isə daha mürəkkəb obyektlər üçün onları daha sadə olanlarla yaxınlaşdırmaqla müəyyən edilir.
Lemma 1. İxtiyari mənfi olmayan təsadüfi dəyişən olsun. Sonra diskret təsadüfi dəyişənlər ardıcıllığı var ki, belə
Sübut. Yarımoxu bərabər uzunluqlu seqmentlərə bölüb müəyyən edək
Sonra 1 və 2 xassələri asanlıqla təsadüfi dəyişənin tərifindən əmələ gəlir və
Lemma 2. Mənfi olmayan təsadüfi dəyişən və Lemma 1-dən 1-3 xassələrə malik olan diskret təsadüfi dəyişənlərin iki ardıcıllığı olsun.
Sübut. Qeyd edək ki, qeyri-mənfi təsadüfi dəyişənlər üçün icazə veririk
3-cü xüsusiyyətə görə, ardıcıllığın olduğunu görmək asandır müsbət ədədlər, belə
Bundan belə çıxır
Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün riyazi gözləntilərin xassələrindən istifadə edərək əldə edirik
Limitə keçərək Lemma 2 ifadəsini alırıq.
Tərif 1. Mənfi olmayan təsadüfi dəyişən olsun, - Lemma 1-dən 1-3 xassələrə malik olan diskret təsadüfi dəyişənlər ardıcıllığı. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi ədəddir.
Lemma 2 onun təxmini ardıcıllığın seçimindən asılı olmadığına zəmanət verir.
İndi ixtiyari təsadüfi dəyişən olsun. müəyyən edək
Tərifdən və asanlıqla belə çıxır
Tərif 2. İxtiyari təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi ədəddir
Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki ədədlərdən ən azı biri sonlu olarsa.
Riyazi gözləmənin xassələri
Mülk 1. Gözlənilən dəyər sabit dəyər sabitin özünə bərabərdir:
Sübut. Sabiti bir mümkün dəyəri olan və onu ehtimalla qəbul edən diskret təsadüfi dəyişən kimi nəzərdən keçirəcəyik, buna görə də,
Qeyd 1. Sabit dəyişənin diskret təsadüfi kəmiyyətlə hasilini mümkün dəyərləri sabitin hasillərinə mümkün qiymətlərlə bərabər olan diskret təsadüfi kimi təyin edək; mümkün dəyərlərin ehtimalları müvafiq mümkün dəyərlərin ehtimallarına bərabərdir.Məsələn, mümkün bir dəyərin ehtimalı bərabərdirsə, dəyərin dəyəri alması ehtimalı da bərabərdir.
Xassə 2. Sabit əmsal riyazi gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:
Sübut. Təsadüfi dəyişən ehtimal paylanması qanunu ilə verilsin:
Qeyd 1-i nəzərə alaraq, təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu yazırıq
Qeyd 2. Növbəti xassə keçməzdən əvvəl qeyd edirik ki, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər dəyişənin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə, iki təsadüfi dəyişən müstəqil adlanır. Əks halda, təsadüfi dəyişənlər asılıdır. Bir neçə təsadüfi dəyişən, əgər onların hər hansı bir sayının paylanma qanunları qalan dəyişənlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə, qarşılıqlı müstəqil adlanır.
Qeyd 3. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulunu təyin edək və mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin məhsullarına hər bir mümkün dəyərlə bərabər olan təsadüfi bir dəyişən kimi, məhsulun mümkün dəyərlərinin ehtimalları bərabərdir. amillərin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının məhsulları. Məsələn, mümkün bir dəyərin ehtimalı, mümkün dəyərin ehtimalı olarsa, mümkün dəyərin ehtimalı belədir.
Xassə 3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
Sübut. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər öz ehtimal paylama qanunları ilə müəyyən edilsin:
Təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün dəyərləri tərtib edək.Bunun üçün bütün mümkün dəyərləri hər bir mümkün qiymətə vuraq; Nəticədə, biz əldə edirik və 3-cü qeydi nəzərə alaraq, sadəlik üçün məhsulun bütün mümkün dəyərlərinin fərqli olduğunu fərz edərək paylama qanununu yazırıq (əgər belə deyilsə, sübut bir qaydada aparılır). oxşar şəkildə):
Riyazi gözlənti bütün mümkün dəyərlərin və onların ehtimallarının məhsullarının cəminə bərabərdir:
Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Xassə 4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
Sübut. Təsadüfi dəyişənlərə icazə verin və aşağıdakı paylama qanunları ilə təyin olunsun:
Bir kəmiyyətin bütün mümkün qiymətlərini tərtib edək.Bunun üçün hər bir mümkün dəyəri hər bir mümkün dəyərə əlavə edirik; Sadəlik üçün bu mümkün dəyərlərin fərqli olduğunu fərz edək (əgər belə deyilsə, sübut oxşar şəkildə aparılır) və onların ehtimallarını müvafiq olaraq və ilə işarə edirik.
Bir dəyərin riyazi gözləntisi mümkün dəyərlərin məhsullarının və onların ehtimallarının cəminə bərabərdir:
Sübut edək ki, qiymət alacaq Hadisə (bu hadisənin ehtimalı bərabərdir) qiymət alacaq hadisəyə səbəb olur və ya (toplama teoremi ilə bu hadisənin ehtimalı bərabərdir) və əksinə. Buradan belə çıxır ki, bərabərliklər oxşar şəkildə sübut olunur
Bu bərabərliklərin sağ tərəflərini (*) nisbətində əvəz edərək əldə edirik
ya da nəhayət
Variasiya və standart sapma
Təcrübədə təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin onun orta dəyəri ətrafında yayılmasını qiymətləndirmək çox vaxt lazımdır. Məsələn, artilleriyada mərmilərin vurulacaq hədəfə nə qədər yaxın düşəcəyini bilmək vacibdir.
İlk baxışdan belə görünə bilər ki, dispersiyanı qiymətləndirməyin ən asan yolu təsadüfi dəyişənin bütün mümkün kənarlaşmalarını hesablamaq və sonra onların orta qiymətini tapmaqdır. Ancaq bu yol heç bir şey verməyəcək, çünki sapmanın orta dəyəri, yəni. hər hansı bir təsadüfi dəyişən üçün sıfıra bərabərdir. Bu xüsusiyyət bəzi mümkün sapmaların müsbət, digərlərinin isə mənfi olması ilə izah olunur; onların qarşılıqlı ləğvi nəticəsində orta kənarlaşma qiyməti sıfıra bərabərdir. Bu mülahizələr mümkün sapmaların dəyişdirilməsinin məqsədəuyğunluğunu göstərir mütləq dəyərlər və ya onların kvadratları. Praktikada etdikləri budur. Düzdür, mümkün kənarlaşmaların mütləq qiymətlərlə əvəz edildiyi halda mütləq dəyərlərlə işləmək lazımdır ki, bu da bəzən ciddi çətinliklərə səbəb olur. Buna görə də, çox vaxt fərqli bir yol tuturlar, yəni. dispersiya adlanan kvadrat sapmanın orta qiymətini hesablayın.
Riyazi gözlənti tərifdir
Şah mat gözləyir biri ən mühüm anlayışlardır V riyazi statistika və dəyərlərin paylanmasını xarakterizə edən ehtimal nəzəriyyəsi və ya ehtimallar təsadüfi dəyişən. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin çəkili ortası kimi ifadə edilir. -da geniş istifadə olunur texniki analiz, tədqiqat nömrə seriyası, davamlı və uzunmüddətli proseslərin öyrənilməsi. Maliyyə bazarlarında ticarət edərkən risklərin qiymətləndirilməsində, qiymət göstəricilərinin proqnozlaşdırılmasında mühüm əhəmiyyət kəsb edir və oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur. qumar nəzəriyyələri.
Şah mat gözləyir- Bu təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, paylanması ehtimallar təsadüfi dəyişən ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.
Şah mat gözləyir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişən gözləntisini yoxlayın x ilə işarələnir M(x).
Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir
Şah mat gözləyir
Şah mat gözləyir ehtimal nəzəriyyəsində, təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkisi.
Şah mat gözləyir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının cəmi və bu dəyərlərin ehtimalları.
Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir
Şah mat gözləyir belə bir qərarın böyük ədədlər və uzaq məsafə nəzəriyyəsi çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilməsi şərti ilə müəyyən bir qərardan orta mənfəət.
Şah mat gözləyir qumar nəzəriyyəsində, spekulyatorun hər mərc üzrə orta hesabla qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumarın dilində möhtəkirlər buna bəzən "üstünlük" deyirlər möhtəkir" (spekulyant üçün müsbət olarsa) və ya "ev kənarı" (spekulyant üçün mənfi olarsa).
Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir
üçün tapşırıqlar da olacaq müstəqil qərar, cavablarını görə bilərsiniz.
Gözləmə və dispersiya təsadüfi dəyişənin ən çox istifadə edilən ədədi xarakteristikalarıdır. Onlar paylanmanın ən mühüm xüsusiyyətlərini xarakterizə edirlər: onun mövqeyi və səpilmə dərəcəsi. Gözlənilən dəyər çox vaxt sadəcə orta adlanır. təsadüfi dəyişən. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası - təsadüfi dəyişənin yayılması, yayılması xarakterikdir onun riyazi gözləntiləri haqqında.
Bir çox praktiki məsələlərdə təsadüfi dəyişənin tam, hərtərəfli xarakteristikasını - paylanma qanununu ya əldə etmək olmur, ya da heç lazım deyil. Bu hallarda, ədədi xüsusiyyətlərdən istifadə edərək təsadüfi dəyişənin təxmini təsviri ilə məhdudlaşır.
Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri
Gələk riyazi gözlənti anlayışına. Hansısa maddənin kütləsi x oxunun nöqtələri arasında paylansın x1 , x 2 , ..., x n. Üstəlik, hər bir maddi nöqtənin ehtimalı olan müvafiq kütləsi var səh1 , səh 2 , ..., səh n. Bütün sistemin mövqeyini xarakterizə edən absis oxunda bir nöqtə seçmək tələb olunur maddi nöqtələr, onların kütlələrini nəzərə alaraq. Belə bir nöqtə kimi maddi nöqtələr sisteminin kütlə mərkəzini götürmək təbiidir. Bu təsadüfi dəyişənin orta çəkisidir X, hər bir nöqtənin absisi xi müvafiq ehtimala bərabər “çəki” ilə daxil olur. Bu yolla əldə edilən təsadüfi dəyişənin orta qiyməti X onun riyazi gözləntiləri adlanır.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və bu dəyərlərin ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Misal 1. Qalib-qazan lotereyası təşkil olunub. 1000 uduş var, onlardan 400-ü 10 rubldur. Hər biri 300-20 rubl. Hər biri 200-100 rubl. və hər biri 100 - 200 rubl. Bir bilet alan şəxs üçün orta uduş nə qədərdir?
Həll. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubl olan uduşların ümumi məbləğini 1000-ə (ümumi uduş məbləği) bölsək orta uduşları tapacağıq. Sonra 50000/1000 = 50 rubl alırıq. Ancaq orta uduşların hesablanması üçün ifadə aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:
Digər tərəfdən, bu şərtlərdə qalibiyyət ölçüsü 10, 20, 100 və 200 rubl dəyərində olan təsadüfi bir dəyişəndir. ehtimalları müvafiq olaraq 0,4-ə bərabər olan; 0,3; 0,2; 0.1. Beləliklə, gözlənilən orta gəlir məbləğinə bərabərdir uduşların ölçüsünün məhsulları və onların alınması ehtimalı.
Misal 2. Nəşriyyat nəşr etmək qərarına gəldi yeni kitab. O, kitabı 280 rubla satmağı planlaşdırır, bunun 200-nü özü, 50-ni kitab mağazası, 30-unu isə müəllif alacaq. Cədvəldə kitabın nəşrinə çəkilən xərclər və kitabın müəyyən sayda nüsxəsinin satılma ehtimalı haqqında məlumat verilir.
Nəşriyyatçının gözlənilən mənfəətini tapın.
Həll. Təsadüfi dəyişən "mənfəət" satışdan əldə edilən gəlirlə xərclərin dəyəri arasındakı fərqə bərabərdir. Məsələn, 500 nüsxə kitab satılırsa, satışdan əldə olunan gəlir 200 * 500 = 100.000, nəşrin dəyəri isə 225.000 rubl təşkil edir. Beləliklə, naşir 125 min rubl zərərlə üzləşir. Aşağıdakı cədvəl təsadüfi dəyişənin gözlənilən dəyərlərini ümumiləşdirir - mənfəət:
| Nömrə | Mənfəət xi | Ehtimal səhi | xi səh i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ümumi: | 1,00 | 25000 |
Beləliklə, naşirin qazancının riyazi gözləntisini əldə edirik:
.
Misal 3. Bir vuruşla vurma ehtimalı səh= 0.2. 5-ə bərabər vuruş sayının riyazi gözləntisini təmin edən mərmilərin istehlakını müəyyənləşdirin.
Həll. İndiyə qədər istifadə etdiyimiz eyni riyazi gözləmə düsturundan ifadə edirik x- qabıq istehlakı:
.
Misal 4. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təyin edin xüç atışla vuruşların sayı, əgər hər vuruşla vuruş ehtimalı səh = 0,4 .
İpucu: təsadüfi dəyişənlərin dəyərlərinin ehtimalını tapın Bernoulli düsturu .
Riyazi gözləmənin xassələri
Riyazi gözləmənin xassələrini nəzərdən keçirək.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu sabitə bərabərdir:
Əmlak 2. Sabit amil riyazi gözləmə işarəsindən çıxarıla bilər:
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
Əmlak 5. Təsadüfi dəyişənin bütün dəyərləri varsa X eyni sayda azalma (artırma). İLƏ, onda onun riyazi gözləntisi eyni sayda azalacaq (artır):
Özünüzü yalnız riyazi gözləntilərlə məhdudlaşdıra bilməyəndə
Əksər hallarda təsadüfi dəyişəni yalnız riyazi gözlənti kifayət qədər xarakterizə edə bilməz.
Təsadüfi dəyişənlərə icazə verin X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| Məna X | Ehtimal |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Məna Y | Ehtimal |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Bu kəmiyyətlərin riyazi gözləntiləri eynidir - sıfıra bərabərdir:
Bununla belə, onların paylanma sxemləri fərqlidir. Təsadüfi dəyər X yalnız riyazi gözləntidən az fərqlənən dəyərləri və təsadüfi dəyişəni qəbul edə bilər Y riyazi gözləntidən əhəmiyyətli dərəcədə yayınan dəyərləri qəbul edə bilər. Oxşar bir misal: orta əmək haqqı yüksək və az maaş alan işçilərin payını mühakimə etməyə imkan vermir. Başqa sözlə, heç olmasa orta hesabla ondan hansı sapmaların mümkün olduğunu riyazi gözləntidən mühakimə etmək olmaz. Bunun üçün təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapmaq lazımdır.
Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası
Fərqlilik diskret təsadüfi dəyişən X onun riyazi gözləntidən yayınma kvadratının riyazi gözləntisi adlanır:
Təsadüfi dəyişənin standart sapması X onun dispersiyasının kvadrat kökünün arifmetik qiyməti deyilir:
.
Misal 5. Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyalarını və standart kənarlaşmalarını hesablayın X Və Y, paylanma qanunları yuxarıdakı cədvəllərdə verilmişdir.
Həll. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri X Və Y, yuxarıda tapıldığı kimi, sıfıra bərabərdir. Dispersiya düsturuna görə E(X)=E(y)=0 alırıq:
Sonra təsadüfi dəyişənlərin standart kənarlaşmaları X Və Y makiyaj etmək
.
Beləliklə, eyni riyazi gözləntilərlə təsadüfi dəyişənin variasiyası Xçox kiçik, lakin təsadüfi dəyişən Y- əhəmiyyətli. Bu, onların paylanmasındakı fərqlərin nəticəsidir.
Misal 6.İnvestorun 4 alternativ investisiya layihəsi var. Cədvəl bu layihələrdə gözlənilən mənfəəti müvafiq ehtimalla ümumiləşdirir.
| Layihə 1 | Layihə 2 | Layihə 3 | Layihə 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Hər bir alternativ üçün riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşmanı tapın.
Həll. 3-cü alternativ üçün bu dəyərlərin necə hesablandığını göstərək:
Cədvəl bütün alternativlər üçün tapılan dəyərləri ümumiləşdirir.
Bütün alternativlər eyni riyazi gözləntilərə malikdir. Bu o deməkdir ki, uzunmüddətli perspektivdə hər kəs eyni gəlirə malikdir. Standart kənarlaşma risk ölçüsü kimi şərh edilə bilər - nə qədər yüksəkdirsə, investisiya riski də bir o qədər yüksəkdir. Çox risk istəməyən investor layihə 1-i seçəcək, çünki o, ən kiçik standart sapmaya (0) malikdir. İnvestor qısa müddət ərzində riskə və yüksək gəlirə üstünlük verirsə, o zaman o, ən böyük standart sapma olan layihəni - 4-cü layihəni seçəcək.
Dispersiya xassələri
Dispersiyanın xüsusiyyətlərini təqdim edək.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin fərqi sıfırdır:
Əmlak 2. Sabit amil dispersiya işarəsindən onu kvadratlaşdırmaqla çıxarıla bilər:
.
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası bu dəyərin kvadratının riyazi gözləntisinə bərabərdir, ondan dəyərin özünün riyazi gözləməsinin kvadratı çıxarılır:
,
Harada 
.
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Misal 7. Məlumdur ki, diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki qiymət alır: −3 və 7. Bundan əlavə, riyazi gözlənti məlumdur: E(X) = 4. Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Həll. ilə işarə edək səh təsadüfi dəyişənin qiymət alması ehtimalı x1 = −3 . Sonra dəyərin ehtimalı x2 = 7 1 - olacaq səh. Riyazi gözlənti üçün tənliyi əldə edək:
E(X) = x 1 səh + x 2 (1 − səh) = −3səh + 7(1 − səh) = 4 ,
ehtimalları haradan əldə edirik: səh= 0,3 və 1 − səh = 0,7 .
Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu:
| X | −3 | 7 |
| səh | 0,3 | 0,7 |
Dispersiyanın 3-cü xüsusiyyətindən istifadə edərək bu təsadüfi dəyişənin dispersiyasını hesablayırıq:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini özünüz tapın və sonra həllinə baxın
Misal 8. Diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki dəyər alır. O, 0.4 ehtimalı ilə 3-dən böyük olanı qəbul edir. Bundan əlavə, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası məlumdur D(X) = 6. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.
Misal 9. Bir qabda 6 ağ və 4 qara top var. Qazandan 3 top çəkilir. Çəkilmiş toplar arasında ağ topların sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.
Həll. Təsadüfi dəyər X 0, 1, 2, 3 dəyərləri qəbul edə bilər. Müvafiq ehtimallar ondan hesablana bilər ehtimalın çoxaldılması qaydası. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| səh | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Beləliklə, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Verilmiş təsadüfi dəyişənin dispersiyası:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Davamlı təsadüfi dəyişənin gözləntiləri və dispersiyaları
Davamlı təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləntinin mexaniki təfsiri eyni mənanı saxlayacaq: sıxlığı olan x oxuna davamlı olaraq paylanmış vahid kütlə üçün kütlə mərkəzi. f(x). Funksiya arqumenti olan diskret təsadüfi dəyişəndən fərqli olaraq xi ani olaraq dəyişir; davamlı təsadüfi dəyişən üçün arqument davamlı olaraq dəyişir. Lakin fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi də onun orta qiyməti ilə bağlıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapmaq üçün müəyyən inteqralları tapmaq lazımdır. . Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin sıxlıq funksiyası verilirsə, o, birbaşa inteqrana daxil olur. Əgər ehtimal paylama funksiyası verilmişdirsə, onda onu diferensiallaşdırmaqla sıxlıq funksiyasını tapmaq lazımdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin arifmetik ortası onun adlanır riyazi gözlənti, və ya ilə işarələnir.
2. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları
Gözlənilən dəyər
Ədədi dəyərləri olan təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək. Çox vaxt nömrəni bu funksiya ilə əlaqələndirmək faydalıdır - onun "orta dəyəri" və ya necə deyərlər, " orta dəyər", "mərkəzi tendensiya indeksi". Bəziləri sonra aydın olacaq bir sıra səbəblərə görə riyazi gözlənti adətən “orta dəyər” kimi istifadə olunur.
Tərif 3. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri X zəng nömrəsi
olanlar. təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, müvafiq elementar hadisələrin ehtimallarına bərabər çəkilərlə təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin çəkili cəmidir.
Misal 6. Kalıbın üst üzündə görünən ədədin riyazi gözləntisini hesablayaq. Bu, birbaşa tərif 3-dən belə çıxır
Bəyanat 2. Təsadüfi dəyişən olsun X dəyərləri qəbul edir x 1, x 2,…, xm. Onda bərabərlik doğrudur
(5)
olanlar. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, təsadüfi dəyişənin müəyyən dəyərləri qəbul etməsi ehtimallarına bərabər çəkilərlə təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin çəkili cəmidir.
Toplamanın birbaşa elementar hadisələr üzərində aparıldığı (4) dən fərqli olaraq, təsadüfi hadisə bir neçə elementar hadisədən ibarət ola bilər.
Bəzən (5) əlaqəsi riyazi gözləntinin tərifi kimi qəbul edilir. Bununla belə, aşağıda göstərildiyi kimi 3-cü tərifdən istifadə etməklə, real hadisələrin ehtimal modellərinin qurulması üçün zəruri olan riyazi gözləntilərin xassələrini müəyyən etmək (5) münasibətindən istifadə etməkdən daha asandır.
(5) əlaqəni sübut etmək üçün təsadüfi dəyişənin eyni qiymətləri olan (4) şərtləri qruplaşdırırıq:
Sabit amil cəminin işarəsindən çıxarıla bildiyindən, onda
Hadisənin baş vermə ehtimalını təyin etməklə
Son iki əlaqədən istifadə edərək tələb olunanı əldə edirik:
Ehtimal-statistik nəzəriyyədə riyazi gözlənti anlayışı mexanikada ağırlıq mərkəzi anlayışına uyğun gəlir. Bunu nöqtələrə qoyaq x 1, x 2,…, xm kütlə sayı oxunda P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) müvafiq olaraq. Onda bərabərlik (5) göstərir ki, bu maddi nöqtələr sisteminin ağırlıq mərkəzi riyazi gözlənti ilə üst-üstə düşür ki, bu da Tərif 3-ün təbiiliyini göstərir.
Bəyanat 3. Qoy X- təsadüfi dəyər, M(X)- onun riyazi gözləntisi, A- müəyyən bir rəqəm. Sonra
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Bunu sübut etmək üçün əvvəlcə sabit olan təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək, yəni. funksiya elementar hadisələrin məkanını bir nöqtəyə xəritələşdirir A. Sabit çarpan cəminin işarəsindən kənarda götürülə bildiyindən, onda
Əgər cəminin hər bir üzvü iki həddə bölünürsə, onda bütün cəm iki cəmə bölünür ki, onlardan birincisi birinci, ikincisi isə ikinci həddi təşkil edir. Buna görə də iki təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri X+Y, elementar hadisələrin eyni fəzasında müəyyən edilmiş, riyazi gözləntilərin cəminə bərabərdir M(X) Və M(U) bu təsadüfi dəyişənlər:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Və buna görə də M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Yuxarıda göstərildiyi kimi, M(M(X)) = M(X). Beləliklə, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Çünki (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Bu M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Son bərabərliyi sadələşdirək. 3-cü ifadənin sübutunun əvvəlində göstərildiyi kimi, sabitin riyazi gözləntisi sabitin özüdür və buna görə də M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Sabit çarpan cəminin işarəsindən kənarda götürülə bildiyindən, onda M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Son bərabərliyin sağ tərəfi 0-dır, çünki yuxarıda göstərildiyi kimi, M(X-M(X))=0. Beləliklə, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , bu sübut edilməli olan şey idi.
Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır M[(X- a) 2 ] minimuma çatır A, bərabərdir M[(X- M(X)) 2 ], saat a = M(X), 3) bərabərliyində ikinci termindən bəri həmişə mənfi deyil və yalnız göstərilən qiymət üçün 0-a bərabərdir A.
Bəyanat 4. Təsadüfi dəyişən olsun X dəyərləri qəbul edir x 1, x 2,…, xm, və f ədədi arqumentin bəzi funksiyasıdır. Sonra
Bunu sübut etmək üçün riyazi gözləntiləri təyin edən bərabərliyin (4) sağ tərəfində eyni qiymətli şərtləri qruplaşdıraq:
Sabit amilin cəminin işarəsindən çıxarıla biləcəyindən və təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalının tərifindən (2) istifadə edərək əldə edirik.
Q.E.D.
Bəyanat 5. Qoy X Və U– elementar hadisələrin eyni fəzasında müəyyən edilmiş təsadüfi dəyişənlər; A Və b- bəzi rəqəmlər. Sonra M(aX+ bY)= aM(X)+ bM(Y).
Riyazi gözləmənin tərifindən və toplama simvolunun xüsusiyyətlərindən istifadə edərək bərabərlik zəncirini əldə edirik:
Lazım olduğu sübut edilmişdir.
Yuxarıda göstərilənlər riyazi gözləntinin başqa istinad nöqtəsinə və başqa ölçü vahidinə (keçid) keçiddən necə asılı olduğunu göstərir. Y=aX+b), həmçinin təsadüfi dəyişənlərin funksiyalarına. Alınan nəticələr texniki-iqtisadi təhlildə, müəssisənin maliyyə-təsərrüfat fəaliyyətinin qiymətləndirilməsində, bir valyutadan digərinə keçid zamanı xarici iqtisadi hesablamalarda, normativ-texniki sənədlərdə və s.-də daim istifadə olunur. müxtəlif parametrlər miqyası və yerdəyişməsi üçün eyni hesablama düsturlarının istifadəsi.
| Əvvəlki |
– 10 yeni doğulmuş uşaq arasında oğlanların sayı.
Bu rəqəmin əvvəlcədən bilinmədiyi tamamilə aydındır və doğulan növbəti on uşaq aşağıdakıları əhatə edə bilər:
Ya oğlanlar - bir və tək sadalanan variantlardan.
Və formada qalmaq üçün bir az bədən tərbiyəsi:
- uzun tullanma məsafəsi (bəzi vahidlərdə).
Bunu hətta idman ustası belə proqnozlaşdıra bilməz :)
Bununla belə, fərziyyələriniz?
2) Davamlı təsadüfi dəyişən – qəbul edir Hamısı rəqəmli dəyərlər bəzi sonlu və ya sonsuz intervaldan.
Qeyd : V tədris ədəbiyyatı məşhur abbreviaturalar DSV və NSV
Əvvəlcə diskret təsadüfi dəyişəni təhlil edək, sonra - davamlı.
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu
- Bu yazışma bu kəmiyyətin mümkün dəyərləri ilə onların ehtimalları arasında. Çox vaxt qanun cədvəldə yazılır: 
Termin olduqca tez-tez görünür sıra
paylanması, lakin bəzi situasiyalarda qeyri-müəyyən səslənir və ona görə də mən “qanun”a sadiq qalacağam.
Və indi Çox mühüm məqam
: təsadüfi dəyişəndən bəri Mütləq qəbul edəcək dəyərlərindən biridir, sonra müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup və onların baş vermə ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:
və ya qısaldılmış şəkildə yazılmışsa:
Beləliklə, məsələn, matrisdə yuvarlanan xalların ehtimal paylanması qanunu aşağıdakı formaya malikdir: 
Şərhsiz.
Diskret təsadüfi dəyişənin yalnız “yaxşı” tam dəyərləri qəbul edə biləcəyi təəssüratında ola bilərsiniz. Gəlin illüziyanı dağıtaq - onlar hər şey ola bilər:
Misal 1
Bəzi oyunlarda aşağıdakı qalib paylama qanunu var: 
...siz yəqin ki, çoxdandır xəyal edirsiniz :) Sizə bir sirr deyim - mən də. Xüsusilə işi bitirdikdən sonra sahə nəzəriyyəsi.
Həll: təsadüfi dəyişən üç qiymətdən yalnız birini qəbul edə bildiyi üçün müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup, yəni onların ehtimallarının cəmi birə bərabərdir: 
“Partizanı” ifşa etmək: 
– beləliklə, şərti vahidləri qazanma ehtimalı 0,4-dür.
Nəzarət: əmin olmağımız lazım olan budur.
Cavab verin:
Özünüz bir paylama qanunu tərtib etməyiniz lazım olduqda qeyri-adi deyil. Bunun üçün istifadə edirlər ehtimalın klassik tərifi, hadisə ehtimalları üçün vurma/toplama teoremləri və digər çiplər tervera:
Misal 2
Qutuda 50 lotereya bileti var, onlardan 12-si uduşludur və onlardan 2-si hər biri 1000 rubl, qalanları isə hər biri 100 rubl qazanır. Təsadüfi dəyişənin paylanması üçün qanun tərtib edin - qutudan təsadüfi olaraq bir bilet çəkilərsə, uduşların ölçüsü.
Həll: qeyd etdiyiniz kimi, təsadüfi dəyişənin dəyərləri adətən yerləşdirilir artan qaydada. Buna görə də, ən kiçik uduşlarla, yəni rublla başlayırıq.
Cəmi 50 belə bilet var - 12 = 38 və buna görə klassik tərif:
– təsadüfi çəkilmiş biletin uduzma ehtimalı.
Digər hallarda hər şey sadədir. Rubl qazanma ehtimalı:
Yoxlayın: – və bu, bu cür tapşırıqların xüsusilə xoş anıdır!
Cavab verin: uduşların bölüşdürülməsinin arzu olunan qanunu: 
Aşağıdakı vəzifəni özünüz həll etməlisiniz:
Misal 3
Atıcının hədəfi vurma ehtimalı . Təsadüfi dəyişən üçün paylama qanununu tərtib edin - 2 atışdan sonra vuruşların sayı.
...Onun üçün darıxdığını bilirdim :) Gəlin xatırlayaq vurma və toplama teoremləri. Həll və cavab dərsin sonundadır.
Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə təsvir edir, lakin praktikada yalnız bəzilərini bilmək faydalı (və bəzən daha faydalı) ola bilər. ədədi xüsusiyyətlər .
Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri
Danışan sadə dildə, Bu orta gözlənilən dəyər sınaq dəfələrlə təkrar edildikdə. Təsadüfi dəyişən ehtimallarla dəyərlər alsın 
müvafiq olaraq. Onda bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərdir məhsulların cəmi onun bütün dəyərləri müvafiq ehtimallara uyğundur:
və ya çökdü: 
Məsələn, təsadüfi bir dəyişənin riyazi gözləntisini hesablayaq - zərbdə yuvarlanan xalların sayını:
İndi isə hipotetik oyunumuzu xatırlayaq: 
Sual yaranır: ümumiyyətlə bu oyunu oynamaq sərfəlidirmi? ...kimin təəssüratları var? Buna görə də bunu "təxminən" deyə bilməzsiniz! Ancaq bu suala riyazi gözləntiləri hesablamaqla asanlıqla cavab vermək olar, mahiyyətcə - çəkili orta Qazanma ehtimalına görə:
Beləliklə, bu oyunun riyazi gözləntisi itirmək.
Təəssüratlarınıza etibar etməyin - rəqəmlərə etibar edin!
Bəli, burada ardıcıl olaraq 10, hətta 20-30 dəfə qalib gələ bilərsiniz, lakin uzun müddətdə bizi qaçılmaz xarabalıq gözləyir. Və mən sizə belə oyunlar oynamağı məsləhət görməzdim :) Yaxşı, bəlkə də ancaq Əyləncə üçün.
Yuxarıda göstərilənlərin hamısından belə nəticə çıxır ki, riyazi gözlənti artıq RANDOM dəyər deyil.
Yaradıcı tapşırıq müstəqil tədqiqat üçün:
Misal 4
Cənab X aşağıdakı sistemdən istifadə edərək Avropa ruletini oynayır: o, daim “qırmızı”ya 100 rubl mərc edir. Təsadüfi dəyişən - onun uduşlarının paylanması qanununu tərtib edin. Uduşların riyazi gözləntisini hesablayın və onu ən yaxın qəpiyə yuvarlayın. Nə qədər orta Oyunçu mərc etdiyi hər yüz üçün uduzurmu?
İstinad : Avropa ruletində 18 qırmızı, 18 qara və 1 yaşıl sektor (“sıfır”) var. "Qırmızı" görünsə, oyunçuya ikiqat mərc ödənilir, əks halda o, kazinonun gəlirinə keçir.
Öz ehtimal cədvəllərinizi yarada biləcəyiniz bir çox başqa rulet sistemi var. Ancaq bu, heç bir paylama qanunu və ya cədvəlinə ehtiyac duymadığımız haldır, çünki oyunçunun riyazi gözləntisinin tam olaraq eyni olacağı müəyyən edilmişdir. Sistemdən sistemə dəyişən yeganə şeydir
Yüklənir...