Oxa proyeksiyanın işarəsini necə təyin etmək olar. Bir vektorun oxa proyeksiyasından istifadə edərək məsafələri tapmaq üçün əsas düsturlar. Koordinat vahidi vektorlarının vektor məhsulu

§ 3. Vektorun koordinat oxları üzrə proyeksiyaları

1. Proyeksiyaların həndəsi üsulla tapılması.

Vektor
- vektorun oxa proyeksiyası ÖKÜZ
- vektorun oxa proyeksiyası OY

Tərif 1. Vektor proyeksiyası hər hansı bir koordinat oxunda vektorun əvvəlindən və sonundan koordinat oxuna endirilmiş perpendikulyarların əsasları arasında yerləşən seqmentin uzunluğuna uyğun gələn artı və ya mənfi işarəsi ilə götürülmüş ədəddir.

Proyeksiya işarəsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir. Əgər koordinat oxu boyunca hərəkət edərkən vektorun başlanğıcının proyeksiya nöqtəsindən vektorun sonunun proyeksiya nöqtəsinə oxun müsbət istiqamətində hərəkət olarsa, vektorun proyeksiyası müsbət hesab olunur. . Əgər oxa əks olarsa, proyeksiya mənfi hesab olunur.

Şəkil göstərir ki, vektor hansısa şəkildə koordinat oxuna əks istiqamətləndirilibsə, onun bu oxa proyeksiyası mənfi olur. Əgər vektor hər hansı bir şəkildə koordinat oxunun müsbət istiqamətinə yönəldilmişdirsə, onun bu oxa proyeksiyası müsbətdir.

Əgər vektor koordinat oxuna perpendikulyardırsa, onun bu oxa proyeksiyası sıfıra bərabərdir.
Əgər vektor ox ilə koordinatlıdırsa, onun bu oxa proyeksiyası vektorun mütləq qiymətinə bərabərdir.
Əgər vektor koordinat oxuna əks istiqamətləndirilibsə, onda onun bu oxa proyeksiyası mütləq qiymətində mənfi işarə ilə alınan vektorun mütləq qiymətinə bərabərdir.

2. Ən çox ümumi tərif proqnozlar.

Düzbucaqlı üçbucaqdan ABD: .

Tərif 2. Vektor proyeksiyası hər hansı bir koordinat oxunda vektorun modulunun və koordinat oxunun müsbət istiqaməti ilə vektorun yaratdığı bucağın kosinusunun hasilinə bərabər ədəddir.

Proyeksiyanın işarəsi müsbət oxu istiqaməti olan vektorun yaratdığı bucağın kosinusunun işarəsi ilə müəyyən edilir.
Bucaq kəskindirsə, kosinus müsbət işarəyə malikdir və proqnozlar müsbətdir. Küt bucaqlar üçün kosinus mənfi işarəyə malikdir, ona görə də belə hallarda oxa proyeksiyalar mənfi olur.
- deməli, oxa perpendikulyar olan vektorlar üçün proyeksiya sıfırdır.

9-cu sinif üçün fizikadan (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
vəzifə №5
fəslinə" FƏSİL 1. YOL HAQQINDA ÜMUMİ MƏLUMAT».

1. Vektorun koordinat oxuna proyeksiyasına nə deyilir?

1. a vektorunun koordinat oxuna proyeksiyası a vektorunun başlanğıcı və sonunun (bu nöqtələrdən oxa düşən perpendikulyarların) bu koordinat oxuna proyeksiyaları arasındakı seqmentin uzunluğudur.

2. Cismin yerdəyişmə vektoru onun koordinatları ilə necə bağlıdır?

2. s yerdəyişmə vektorunun koordinat oxları üzrə proyeksiyaları müvafiq cisim koordinatlarının dəyişməsinə bərabərdir.

3. Əgər nöqtənin koordinatı zaman keçdikcə artırsa, yerdəyişmə vektorunun koordinat oxuna proyeksiyası hansı işarəyə malikdir? Bəs azalarsa?

3. Əgər nöqtənin koordinatı zamanla artırsa, onda yerdəyişmə vektorunun koordinat oxuna proyeksiyası müsbət olacaq, çünki bu halda vektorun başlanğıcının proyeksiyasından oxun özü istiqamətindəki sonunun proyeksiyasına keçəcəyik.

Əgər nöqtənin koordinatı zamanla azalırsa, yerdəyişmə vektorunun koordinat oxuna proyeksiyası mənfi olacaq, çünki bu halda vektorun başlanğıcının proyeksiyasından oxun özünün bələdçisinə qarşı proyeksiyasına keçəcəyik.

4. Əgər yerdəyişmə vektoru X oxuna paraleldirsə, vektorun bu oxa proyeksiyasının modulu neçəyə bərabərdir? Bəs eyni vektorun Y oxuna proyeksiyasının modulu haqqında nə demək olar?

4. Əgər yerdəyişmə vektoru X oxuna paraleldirsə, onda vektorun bu oxa proyeksiyasının modulu vektorun özünün moduluna bərabərdir, Y oxuna proyeksiyası isə sıfırdır.

5. Şəkil 22-də göstərilən yerdəyişmə vektorlarının X oxuna proyeksiyalarının işarələrini təyin edin. Bu yerdəyişmələr zamanı cismin koordinatları necə dəyişir?

5. Aşağıdakı bütün hallarda cismin Y koordinatı dəyişmir, cismin X koordinatı isə aşağıdakı kimi dəyişəcək:

a) s 1;

s 1 vektorunun X oxuna proyeksiyası mənfidir və mütləq qiymətində s 1 vektorunun uzunluğuna bərabərdir. Belə bir hərəkətlə bədənin X koordinatı vektorun uzunluğu s 1 azalacaq.

b) s 2 ;

s 2 vektorunun X oxuna proyeksiyası müsbətdir və böyüklüyünə görə s 1 vektorunun uzunluğuna bərabərdir. Belə bir hərəkətlə bədənin X koordinatı vektorun uzunluğu s 2 artacaq.

c) s 3 ;

s 3 vektorunun X oxuna proyeksiyası mənfidir və böyüklüyünə görə s 3 vektorunun uzunluğuna bərabərdir. Belə bir hərəkətlə bədənin X koordinatı s 3 vektorunun uzunluğu ilə azalacaq.

d)s 4;

s 4 vektorunun X oxuna proyeksiyası müsbətdir və böyüklüyünə görə s 4 vektorunun uzunluğuna bərabərdir. Belə bir hərəkətlə bədənin X koordinatı vektorun uzunluğu s 4 artacaq.

e) s 5;

s 5 vektorunun X oxundakı proyeksiyası mənfidir və böyüklüyünə görə s 5 vektorunun uzunluğuna bərabərdir. Belə bir hərəkətlə bədənin X koordinatı vektorun uzunluğu s 5 azalacaq.

6. Əgər qət olunmuş məsafənin qiyməti böyükdürsə, onda yerdəyişmə modulu kiçik ola bilərmi?

6. Bəlkə. Bu, yerdəyişmə (yer dəyişdirmə vektoru) vektor kəmiyyəti olması ilə əlaqədardır, yəni. bədənin ilkin vəziyyətini sonrakı mövqeləri ilə birləşdirən istiqamətlənmiş düz xətt seqmentidir. Bədənin son vəziyyəti (qətilən məsafədən asılı olmayaraq) bədənin ilkin vəziyyətinə istədiyiniz qədər yaxın ola bilər. Bədənin son və ilkin mövqeləri üst-üstə düşərsə, yerdəyişmə modulu sıfıra bərabər olacaqdır.

7. Nə üçün cismin hərəkət vektoru mexanikada onun keçdiyi yoldan daha vacibdir?

7. Mexanikanın əsas vəzifəsi istənilən vaxt bədənin vəziyyətini müəyyən etməkdir. Bədənin hərəkət vektorunu bilməklə, bədənin koordinatlarını təyin edə bilərik, yəni. cismin istənilən andakı mövqeyini və yalnız qət etdiyi məsafəni bildiyimiz üçün cismin koordinatlarını təyin edə bilmərik, çünki hərəkət istiqaməti haqqında heç bir məlumatımız yoxdur, ancaq müəyyən bir zamanda getdiyi yolun uzunluğunu mühakimə edə bilərik.

Ox istiqamətdir. Bu o deməkdir ki, oxa və ya istiqamətlənmiş xəttə proyeksiya eyni hesab olunur. Proyeksiya cəbri və həndəsi ola bilər. Həndəsi termində vektorun oxa proyeksiyası vektor, cəbri termində isə ədəd kimi başa düşülür. Yəni vektorun oxa proyeksiyası və vektorun oxa ədədi proyeksiyası anlayışlarından istifadə olunur.

Əgər bizim L oxumuz və sıfırdan fərqli A B → vektorumuz varsa, onda onun A 1 və B 1 nöqtələrinin proyeksiyalarını ifadə edən A 1 B 1 ⇀ vektorunu qura bilərik.

A 1 B → 1 A B → vektorunun L üzərinə proyeksiyası olacaq.

Tərif 1

Vektorun oxa proyeksiyası başlanğıcı və sonu verilmiş vektorun başlanğıcı və sonunun proyeksiyaları olan vektordur. n p L A B → → A B → proyeksiyasını L üzərinə işarələmək adətdir. L-ə proyeksiya qurmaq üçün L-ə perpendikulyarlar düşür.

Misal 1

Oxa vektor proyeksiyasının nümunəsi.

Aktiv koordinat müstəvisi Təxminən x y nöqtəsi M 1 (x 1 , y 1) müəyyən edilir. M 1 nöqtəsinin radius vektorunu təsvir etmək üçün O x və O y üzərində proyeksiyalar qurmaq lazımdır. (x 1, 0) və (0, y 1) vektorlarının koordinatlarını alırıq.

Söhbət a →-nin sıfırdan fərqli b → üzərinə proyeksiyasından və ya a →-nin b → istiqamətinə proyeksiyasından gedirsə, onda biz a →-nin b → istiqamətinin üst-üstə düşdüyü oxa proyeksiyasını nəzərdə tuturuq. a → -nin b → ilə müəyyən edilmiş xəttə proyeksiyası n p b → a → → təyin olunur. Məlumdur ki, a → və b → , n p b → a → → və b → arasında olan bucaq koistifikasiyalı hesab edilə bilər. Bucağın ensiz olduğu halda, n p b → a → → və b → əks istiqamətdədir. a → və b → perpendikulyarlıq vəziyyətində və a → sıfırdır, a → b → istiqamətində proyeksiyası sıfır vektordur.

Vektorun oxa proyeksiyasının ədədi xarakteristikası vektorun verilmiş oxa ədədi proyeksiyasıdır.

Tərif 2

Vektorun oxa ədədi proyeksiyası verilmiş vektorun uzunluğunun hasilinə və verilmiş vektorla oxun istiqamətini təyin edən vektor arasındakı bucağın kosinusuna bərabər olan ədəddir.

A B → -nin L üzərinə ədədi proyeksiyası n p L A B →, a → isə b → - n p b → a → ilə işarələnir.

Düstura əsasən n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ alırıq, buradan a → a → vektorunun uzunluğu, a ⇀ , b → ^ a → vektorları arasındakı bucaqdır. və b → .

Ədədi proyeksiyanın hesablanması düsturu alırıq: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . O, məlum olan a → və b → uzunluqları və onlar arasındakı bucaq üçün tətbiq edilir. Düstur a → və b → məlum koordinatları üçün tətbiq edilir, lakin sadələşdirilmiş forma var.

Misal 2

a → uzunluğu a → 8-ə bərabər olan b → istiqamətində düz xəttə ədədi proyeksiyasını və aralarında 60 dərəcə bucağı tapın. Şərtlə bizdə a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° var. Beləliklə, əvəz edək rəqəmli dəyərlər düsturuna n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Cavab: 4.

Məlum cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → ilə a → və b → -nin skalyar hasili kimi a → , b → var. n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ düsturundan çıxış edərək b → vektoru boyunca yönəlmiş a → ədədi proyeksiyasını tapıb n p b → a → = a → , b → b → ala bilərik. Düstur paraqrafın əvvəlində verilmiş tərifə bərabərdir.

Tərif 3

a → vektorunun b → istiqamətində üst-üstə düşən oxa ədədi proyeksiyası a → və b → vektorlarının skalyar hasilinin b → uzunluğuna nisbətidir. n p b → a → = a → , b → b → düsturu a → və b → koordinatları məlum olan b → istiqamətində üst-üstə düşən xəttə a → ədədi proyeksiyasını tapmaq üçün tətbiq edilir.

Misal 3

Verilmiş b → = (- 3 , 4) . L-ə a → = (1, 7) ədədi proyeksiyasını tapın.

Həll

Koordinat müstəvisində n p b → a → = a → , b → b → formasına malikdir n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , a → = (a x , a y ) ilə və b → = b x , b y . a → vektorunun L oxuna ədədi proyeksiyasını tapmaq üçün sizə lazımdır: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Cavab: 5.

Misal 4

a → = - 2, 3, 1 və b → = (3, - 2, 6) olan b → istiqaməti ilə üst-üstə düşən a → L üzərində proyeksiyasını tapın. Üçölçülü məkan müəyyən edilir.

Həll

a → = a x , a y , a z and b → = b x , b y , b z , skalyar hasilini hesablayırıq: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → uzunluğu b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 düsturu ilə tapılır. Buradan belə çıxır ki, a → ədədi proyeksiyasını təyin etmək üçün düstur belə olacaq: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Ədədi dəyərləri əvəz edin: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Cavab: - 6 7.

a → on L ilə proyeksiyanın uzunluğu a → on L arasında əlaqəyə baxaq. Gəlin L oxunu a → və b → əlavə edərək, L üzərində bir nöqtədən keçirək, bundan sonra a → ucundan L-ə perpendikulyar xətt çəkək və L üzərinə proyeksiya aparaq. Şəklin 5 variantı var:

Birinci a → = n p b → a → → a → = n p b → a → → , deməli n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = olan hal n p b → a → → .

İkinci hal n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → istifadəsini nəzərdə tutur ki, bu da n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → deməkdir.

üçüncü iş izah edir ki, n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, onda n p b → a → → = 0 alırıq. və n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Dördüncü halda n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , aşağıdakı n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Beşinci halda a → = n p b → a → → ifadəsini göstərir ki, bu da a → = n p b → a → → deməkdir, deməli, bizdə n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Tərif 4

a → vektorunun b → ilə eyni şəkildə yönəldilmiş L oxuna ədədi proyeksiyası aşağıdakı qiymətə malikdir:

• a → və b → arasındakı bucaq 90 dərəcədən az və ya 0-a bərabər olduqda a → vektorunun L üzərinə proyeksiyasının uzunluğu: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a) şərti ilə → , b →) ^< 90 ° ;
• a → və b → perpendikulyar olduqda sıfır: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 ° olduqda;
• a → və b → vektorlarının ensiz və ya düz bucağı olduqda a → L üzərinə proyeksiyanın uzunluğu -1-ə vurulur: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° şərti ilə< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Misal 5

Proyeksiyanın a → L üzərinə uzunluğunu nəzərə alaraq, 2-yə bərabərdir. Bucağın 5 π 6 radian olması şərti ilə a → ədədi proyeksiyasını tapın.

Həll

Şərtdən aydın olur ki, bu bucaq kütdür: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Cavab: - 2.

Misal 6

Vektor uzunluğu a → 6 3-ə bərabər, b → (- 2, 1, 2) bucağı 30 dərəcə olan O x y z müstəvisi verilmişdir. L oxuna a → proyeksiyasının koordinatlarını tapın.

Həll

Əvvəlcə a → vektorunun ədədi proyeksiyasını hesablayırıq: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Şərtə görə bucaq kəskindir, onda ədədi proyeksiya a → = vektorun proyeksiyasının uzunluğu a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Bu məsələ n p L a → → və b → vektorlarının birgə yönləndirildiyini göstərir, bu isə bərabərliyin doğru olduğu t ədədinin olduğunu bildirir: n p L a → → = t · b → . Buradan görürük ki, n p L a → → = t · b → , yəni t parametrinin qiymətini tapa bilərik: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Sonra a → vektorunun L oxuna proyeksiyasının koordinatları ilə n p L a → → = 3 · b → b → = (- 2 , 1 , 2) -ə bərabərdir, burada dəyərləri vurmaq lazımdır 3. Bizdə n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Cavab: (- 6, 3, 6).

Vektorların kollinearlıq vəziyyəti haqqında əvvəllər öyrənilmiş məlumatları təkrarlamaq lazımdır.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Vektorun cəbri proyeksiyası istənilən oxda vektorun uzunluğunun və ox ilə vektor arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir:

Pr a b = |b|cos(a,b) və ya

Burada a b vektorların skalyar hasilidir, |a| - a vektorunun modulu.

Təlimatlar. Pr a b vektorunun proyeksiyasını onlayn tapmaq üçün a və b vektorlarının koordinatlarını təyin etməlisiniz. Bu halda vektor müstəvidə (iki koordinat) və fəzada (üç koordinat) təyin oluna bilər. Nəticədə həll Word faylında saxlanılır. Əgər vektorlar nöqtələrin koordinatları vasitəsilə göstərilibsə, onda bu kalkulyatordan istifadə etməlisiniz.

Vektor proyeksiyalarının təsnifatı

Vektor proyeksiyasının tərifinə görə proyeksiyaların növləri

1. AB vektorunun oxa (vektor) həndəsi proyeksiyası A"B vektoru adlanır ki, onun başlanğıcı A' başlanğıcı A'nın oxa (vektor), sonu B' proyeksiyasıdır. B ucundan eyni oxa.
2. AB vektorunun oxa (vektor) cəbri proyeksiyası A"B" vektorunun oxu ilə eyni istiqamətə malik olub-olmamasından asılı olaraq + və ya - işarəsi ilə alınan A"B" vektorunun uzunluğu adlanır ( vektor).

Koordinat sisteminə görə proyeksiyaların növləri

Vektor proyeksiyasının xassələri

1. Vektorun həndəsi proyeksiyası vektordur (istiqaməti var).
2. Vektorun cəbri proyeksiyası ədəddir.

Vektor proyeksiya teoremləri

Teorem 1. Vektorların cəminin istənilən oxa proyeksiyası vektorların cəmlərinin eyni oxa proyeksiyasına bərabərdir.

AC" =AB" +B"C"

Teorem 2. Vektorun istənilən oxa cəbri proyeksiyası vektorun uzunluğunun və ox ilə vektor arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Vektor proyeksiyalarının növləri

1. OX oxuna proyeksiya.
2. OY oxuna proyeksiya.
3. vektor üzərində proyeksiya.

OX oxundakı proyeksiya	OY oxunda proyeksiya	Vektora proyeksiya
Əgər A’B’ vektorunun istiqaməti OX oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.	Əgər A’B’ vektorunun istiqaməti OY oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.	Əgər A’B’ vektorunun istiqaməti NM vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.
Əgər vektorun istiqaməti OX oxunun istiqamətinə əks olarsa, A’B’ vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.	Əgər A’B’ vektorunun istiqaməti OY oxunun istiqamətinə əksdirsə, A’B’ vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.	Əgər A’B’ vektorunun istiqaməti NM vektorunun istiqamətinə əksdirsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.
Əgər AB vektoru OX oxuna paraleldirsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası AB vektorunun mütləq qiymətinə bərabərdir.	Əgər AB vektoru OY oxuna paraleldirsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası AB vektorunun mütləq qiymətinə bərabərdir.	Əgər AB vektoru NM vektoruna paraleldirsə, onda A’B’ vektorunun proyeksiyası AB vektorunun mütləq qiymətinə bərabərdir.
Əgər AB vektoru OX oxuna perpendikulyardırsa, A’B’ proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).	Əgər AB vektoru OY oxuna perpendikulyardırsa, A’B’ proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).	Əgər AB vektoru NM vektoruna perpendikulyardırsa, A’B’ proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).

1. Sual: Vektorun proyeksiyasının mənfi işarəsi ola bilərmi? Cavab: Bəli, proyeksiya vektoru mənfi qiymət ola bilər. Bu halda vektor əks istiqamətə malikdir (OX oxunun və AB vektorunun necə yönəldildiyinə baxın)
2. Sual: Vektorun proyeksiyası vektorun mütləq qiyməti ilə üst-üstə düşə bilərmi? Cavab: Bəli, ola bilər. Bu halda vektorlar paraleldir (və ya eyni xətt üzərində yerləşir).
3. Sual: Vektorun proyeksiyası sıfıra bərabər ola bilərmi (null vektor). Cavab: Bəli, ola bilər. Bu halda vektor müvafiq oxa (vektor) perpendikulyardır.

Misal 1. Vektor (şəkil 1) OX oxu ilə 60° bucaq əmələ gətirir (a vektoru ilə müəyyən edilir). Əgər OE miqyas vahididirsə, onda |b|=4, deməli .

Həqiqətən, vektorun uzunluğu ( həndəsi proyeksiya b) 2-yə bərabərdir və istiqamət OX oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşür.

Misal 2. Vektor (şəkil 2) OX oxu ilə (a vektoru ilə) bucaq (a,b) = 120 o təşkil edir. Uzunluq |b| b vektoru 4-ə bərabərdir, ona görə də pr a b=4·cos120 o = -2.

Həqiqətən, vektorun uzunluğu 2-dir və istiqamət oxun istiqamətinə əksdir.

Proyeksiya oxa vektor vektor, vektorun bu oxa skalyar proyeksiyasını və bu oxun vahid vektorunu vurmaqla əldə edilən vektordur. Məsələn, əgər x - skalyar proyeksiya vektor A X oxuna, sonra bir x i- onun bu oxa vektor proyeksiyası.

işarə edək vektor proyeksiyası vektorun özü ilə eynidir, lakin vektorun proqnozlaşdırıldığı oxun indeksi ilə. Beləliklə, vektorun vektor proyeksiyası A X oxunda işarə edirik A x ( yağ vektoru və ox adının alt simvolunu bildirən hərf) və ya (vektoru bildirən qalın olmayan, lakin yuxarıda ox (!) və oxun adının alt simvolu).

Skalyar proyeksiya ox başına vektor deyilir nömrə, mütləq dəyəri vektorun başlanğıc nöqtəsinin proyeksiyaları və son nöqtəsi arasında qapalı olan ox seqmentinin uzunluğuna (seçilmiş miqyasda) bərabərdir. Adətən ifadə yerinə skalyar proyeksiya sadəcə deyirlər - proyeksiya. Proyeksiya proqnozlaşdırılan vektorla eyni hərflə (normal, qalın olmayan yazıda), bu vektorun proyeksiya edildiyi oxun adının aşağı indeksi (bir qayda olaraq) ilə işarələnir. Məsələn, vektor X oxuna proyeksiya edilirsə A, onda onun proyeksiyası x ilə işarələnir. Eyni vektoru başqa oxa proyeksiya edərkən, ox Y olarsa, onun proyeksiyası y ilə işarələnəcək.

Proyeksiyanı hesablamaq üçün vektor bir oxda (məsələn, X oxu) başlanğıc nöqtəsinin koordinatını onun son nöqtəsinin koordinatından çıxarmaq lazımdır, yəni
a x = x k − x n.
Bir vektorun oxa proyeksiyası ədəddir. Bundan əlavə, x k dəyəri x n dəyərindən böyükdürsə, proyeksiya müsbət ola bilər,

x k dəyəri x n dəyərindən kiçik olarsa mənfi

və x k x n-ə bərabərdirsə, sıfıra bərabərdir.

Vektorun oxa proyeksiyasını vektorun modulunu və onun bu oxla yaratdığı bucağı bilməklə də tapmaq olar.

Şəkildən aydın olur ki, a x = a Cos α

yəni vektorun oxa proyeksiyası vektorun modulu ilə oxun istiqaməti ilə bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. vektor istiqaməti. Əgər bucaq kəskindirsə, onda
Cos α > 0 və a x > 0, və əgər kütdürsə, onda küt bucağın kosinusu mənfidir və vektorun oxa proyeksiyası da mənfi olacaqdır.

Oxdan saat əqrəbinin əksinə ölçülmüş bucaqlar müsbət, ox boyunca ölçülən bucaqlar isə mənfi hesab olunur. Lakin kosinus cüt funksiya olduğundan, yəni Cos α = Cos (− α) proyeksiyaları hesablayarkən bucaqları həm saat əqrəbinin, həm də saat əqrəbinin əksinə hesablamaq olar.

Bir vektorun oxa proyeksiyasını tapmaq üçün bu vektorun modulunu oxun istiqaməti ilə vektorun istiqaməti arasındakı bucağın kosinusuna vurmaq lazımdır.

Vektor koordinatları— verilmiş vektora bərabər seçilmiş koordinat sistemində bazis vektorlarının yeganə mümkün xətti kombinasiyasının əmsalları.

vektorun koordinatları haradadır.

Skalyar məhsul vektorlar

Vektorların skalyar hasili[- sonlu ölçülü vektor sahəsi vurulan eyni komponentlərin məhsullarının cəmi kimi müəyyən edilir vektorlar.

Məsələn, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) Və b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n