Pi rəqəminin başqa adı nədir? PI nömrəsi nədir və bu nə deməkdir? π hesablamalarının qısa tarixi

Giriş

Məqalədə riyazi düsturlar var, ona görə də oxumaq üçün onları düzgün göstərmək üçün sayta daxil olun.\(\pi\) rəqəminin zəngin tarixçəsi var. Bu sabit dairənin çevrəsinin diametrinə nisbətini bildirir.

Elmdə \(\pi \) ədədi çevrələri əhatə edən istənilən hesablamalarda istifadə olunur. Bir qutu soda həcmindən başlayaraq, peyklərin orbitlərinə qədər. Və yalnız dairələr deyil. Həqiqətən də, əyri xətlərin tədqiqində \(\pi \) ədədi dövri və salınan sistemləri anlamağa kömək edir. Məsələn, elektromaqnit dalğaları və hətta musiqi.

1706-cı ildə ingilis alimi Uilyam Consun (1675-1749) “Riyaziyyata yeni giriş” kitabında yunan əlifbasının \(\pi\) hərfi ilk dəfə 3,141592 rəqəmini ifadə etmək üçün istifadə edilmişdir.... Bu təyinat yunanca περιϕερεια - dairə, periferiya və περιµετρoς - perimetr sözlərinin başlanğıc hərfindən gəlir. Təyinat 1737-ci ildə Leonhard Eulerin işindən sonra ümumiyyətlə qəbul edildi.

Həndəsi dövr

Hər hansı bir dairənin uzunluğunun onun diametrinə nisbətinin sabitliyi uzun müddətdir qeyd olunur. Mesopotamiya sakinləri \(\pi\) sayının kifayət qədər təxmini təxminindən istifadə edirdilər. Qədim problemlərdən belə çıxır ki, onlar öz hesablamalarında \(\pi ≈ 3\) dəyərindən istifadə edirlər.

\(\pi\) üçün daha dəqiq dəyər qədim misirlilər tərəfindən istifadə edilmişdir. London və Nyu-Yorkda “Rinda papirusu” adlanan iki qədim Misir papirusu saxlanılır. Papirus 2000-1700-cü illər arasında katib Armes tərəfindən tərtib edilmişdir. Armes papirusunda \(r\) radiusu olan dairənin sahəsinin \(\frac(8)(9)\)-ə bərabər olan tərəfi olan kvadratın sahəsinə bərabər olduğunu yazırdı. dairənin diametri \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), yəni \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Beləliklə, \(\pi = 3.16\).

Qədim yunan riyaziyyatçısı Arximed (e.ə. 287-212) ilk dəfə çevrənin ölçülməsi məsələsini elmi əsaslara qoymuşdur. O, \(3\frac(10)(71) bal aldı< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metod olduqca sadədir, lakin triqonometrik funksiyaların hazır cədvəlləri olmadıqda, köklərin çıxarılması tələb olunacaq. Bundan əlavə, yaxınlaşma \(\pi \) çox yavaş-yavaş birləşir: hər iterasiya ilə səhv yalnız dörd dəfə azalır.

Analitik dövr

Buna baxmayaraq, 17-ci əsrin ortalarına qədər avropalı alimlərin \(\pi\) sayını hesablamaq cəhdləri çoxbucaqlının tərəflərini artırmağa qədər davam etdi. Məsələn, holland riyaziyyatçısı Ludolf van Zeijlen (1540-1610) \(\pi\) ədədinin təxmini qiymətini 20 onluq rəqəmə qədər dəqiq hesablamışdır.

Hesablamaq üçün ona 10 il lazım olub. Arximed metodundan istifadə edərək, o, 20 onluq yerlə \(\pi \) hesablamaq üçün \(60 \cdot 2^(29) \) - üçbucağa daxil olmuş və sərhədlənmiş çoxbucaqlıların tərəflərinin sayını ikiqat artıraraq əldə etdi.

Ölümündən sonra onun əlyazmalarında \(\pi\) rəqəminin daha 15 dəqiq rəqəmi aşkar edilmişdir. Lüdolf vəsiyyət etdi ki, tapdığı işarələr onun məzar daşına həkk olunsun. Onun şərəfinə \(\pi\) rəqəmi bəzən "Lüdolf nömrəsi" və ya "Lüdolf sabiti" adlanırdı.

Arximeddən fərqli metodu ilk tətbiq edənlərdən biri Fransua Vietdir (1540-1603). O nəticəyə gəldi ki, diametri 1-ə bərabər olan dairənin sahəsi var:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots)))) \]

Digər tərəfdən, sahə \(\frac(\pi)(4)\). İfadəni əvəz etməklə və sadələşdirərək, \(\frac(\pi)(2)\-nin təxmini dəyərini hesablamaq üçün aşağıdakı sonsuz hasil düsturunu əldə edə bilərik:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Nəticə düstur \(\pi\) ədədi üçün ilk dəqiq analitik ifadədir. Bu düstura əlavə olaraq, Viet, Arximed metodundan istifadə edərək, 6-bucaqlı ilə başlayan və tərəfləri \(2^(16) \cdot 6 \) olan çoxbucaqlı ilə bitən yazılı və dairəvi çoxbucaqlılardan istifadə edərək, yaxınlaşma verdi. sayının \(\pi \) sağ işarələri ilə 9 ilə.

İngilis riyaziyyatçısı Uilyam Brounker (1620-1684) davam edən kəsrdən istifadə edərək \(\frac(\pi)(4)\ hesablanması üçün aşağıdakı nəticələri əldə etdi:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

\(\frac(4)(\pi)\) ədədinin yaxınlaşmasının hesablanmasının bu üsulu hətta kiçik bir təxmini əldə etmək üçün kifayət qədər çoxlu hesablamalar tələb edir.

Əvəzetmə nəticəsində əldə edilən dəyərlər \(\pi\) sayından ya böyük, ya da azdır və hər dəfə həqiqi dəyərə yaxınlaşır, lakin 3.141592 dəyərini əldə etmək üçün kifayət qədər böyük işlər görmək lazımdır. hesablamalar.

Başqa bir ingilis riyaziyyatçısı Con Makin (1686-1751) 1706-cı ildə 100 onluq yerlə \(\pi\) ədədini hesablamaq üçün 1673-cü ildə Leybnitsin əldə etdiyi düsturdan istifadə etmiş və onu aşağıdakı kimi tətbiq etmişdir:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Seriya tez birləşir və onun köməyi ilə \(\pi \) sayını böyük dəqiqliklə hesablaya bilərsiniz. Bu tip düsturlar kompüter dövründə bir neçə rekord vurmaq üçün istifadə edilmişdir.

17-ci əsrdə dəyişən dəyərli riyaziyyat dövrünün başlaması ilə \(\pi\) hesablanmasında yeni mərhələ başlandı. Alman riyaziyyatçısı Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 1673-cü ildə \(\pi\) ədədinin parçalanmasını tapdı, ümumiyyətlə onu aşağıdakı sonsuz sıra kimi yazmaq olar:

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

Sıra x = 1-i \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + ilə əvəz etməklə əldə edilir. \frac (x^9)(9) – \cdots\)

Leonhard Eyler Leybnitsin ideyasını \(\pi\) ədədinin hesablanmasında arktan x üçün sıralardan istifadə edilməsinə dair əsərlərində inkişaf etdirir. 1738-ci ildə yazılmış "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Dairənin kvadratlaşdırılmasının təxmini ədədlərlə ifadə edilməsinin müxtəlif üsulları haqqında) traktatında Leybnits düsturundan istifadə edərək hesablamaların təkmilləşdirilməsi üsullarından bəhs edilir.

Euler yazır ki, arqument sıfıra meyl edərsə, arktangent üçün sıra daha tez yaxınlaşacaq. \(x = 1\) üçün silsilənin yaxınlaşması çox yavaşdır: 100 rəqəm dəqiqliyi ilə hesablamaq üçün seriyanın \(10^(50)\) şərtlərini əlavə etmək lazımdır. Arqumentin dəyərini azaltmaqla hesablamaları sürətləndirə bilərsiniz. \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) götürsək, o zaman seriyanı alırıq.

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot) 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdot) \]

Eylerə görə, bu silsilənin 210 şərtini götürsək, ədədin 100 düzgün rəqəmini alacağıq. Nəticə sırası əlverişsizdir, çünki \(\sqrt(3)\) irrasional ədədinin kifayət qədər dəqiq qiymətini bilmək lazımdır. Eyler öz hesablamalarında arktangentlərin daha kiçik arqumentlərin arktangentlərinin cəminə genişlənməsindən də istifadə etdi:

\[burada x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Eylerin qeyd dəftərlərində istifadə etdiyi \(\pi\) hesablanması üçün bütün düsturlar dərc edilməmişdir. Nəşr olunmuş məqalələrdə və dəftərlərdə o, arktangentin hesablanması üçün 3 müxtəlif seriyanı nəzərdən keçirdi, həmçinin verilmiş dəqiqliklə \(\pi\) təxmini qiymətini əldə etmək üçün lazım olan cəmləşdirilən şərtlərin sayı ilə bağlı çoxlu açıqlamalar verdi.

Sonrakı illərdə \(\pi\) rəqəminin dəyərinin dəqiqləşdirilməsi daha sürətli və daha sürətli baş verdi. Məsələn, 1794-cü ildə Georg Vega (1754-1802) artıq 140 əlamət müəyyən etdi, onlardan yalnız 136-sı doğru çıxdı.

Hesablama dövrü

20-ci əsr \(\pi\) ədədinin hesablanmasında tamamilə yeni mərhələ ilə yadda qaldı. Hind riyaziyyatçısı Srinivasa Ramanujan (1887-1920) \(\pi\) üçün çoxlu yeni düsturlar kəşf etdi. 1910-cu ildə o, Taylor seriyasında arktangens genişlənməsi vasitəsilə \(\pi\) hesablanması üçün düstur əldə etdi:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100-də \(\pi\) ədədinin 600 düzgün rəqəminin dəqiqliyi əldə edilir.

Kompüterlərin meydana gəlməsi əldə edilən dəyərlərin dəqiqliyini daha qısa müddətdə əhəmiyyətli dərəcədə artırmağa imkan verdi. 1949-cu ildə cəmi 70 saat ərzində ENIAC-dan istifadə edərək Con fon Neymanın (1903-1957) başçılıq etdiyi bir qrup alim \(\pi\) rəqəmi üçün 2037 onluq yer əldə etdi. 1987-ci ildə David və Qriqori Çudnovski \(\pi\) hesablamaqda bir neçə rekord vura bildikləri düstur əldə etdilər:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Seriyanın hər bir üzvü 14 rəqəm verir. 1989-cu ildə 1.011.196.691 onluq yer əldə edilmişdir. Bu düstur fərdi kompüterlərdə \(\pi \) hesablanması üçün çox uyğundur. Hazırda qardaşlar Nyu York Universitetinin Politexnik İnstitutunun professorudurlar.

Son zamanlar əhəmiyyətli bir inkişaf düsturun 1997-ci ildə Simon Plouffe tərəfindən kəşfi oldu. Bu, əvvəlkiləri hesablamadan \(\pi\) rəqəminin istənilən onaltılıq rəqəmini çıxarmağa imkan verir. Düsturun ilk dərc olunduğu məqalənin müəlliflərinin şərəfinə "Bailey-Borwain-Plouffe Formula" adlanır. Bu belə görünür:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4) ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

2006-cı ildə Simon PSLQ-dan istifadə edərək \(\pi\) hesablanması üçün gözəl düsturlar hazırladı. Misal üçün,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n)) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

burada \(q = e^(\pi)\). 2009-cu ildə yapon alimləri T2K Tsukuba System superkompüterindən istifadə edərək 2.576.980.377.524 onluq yerdən ibarət \(\pi\) rəqəmini əldə etdilər. Hesablamalar 73 saat 36 dəqiqə çəkdi. Kompüter saniyədə 95 trilyon əməliyyat performansını təmin edən 640 dördnüvəli AMD Opteron prosessoru ilə təchiz edilib.

\(\pi\) hesablanmasında növbəti nailiyyət 2009-cu ilin sonunda Fedora 10 ilə işləyən şəxsi kompüterində \(\pi\) ədədinin 2.699.999.990.000 onluq yerini hesablayaraq rekord vuran fransız proqramçı Fabris Bellarda məxsusdur. ). Son 14 ildə bu, superkompüterdən istifadə olunmadan qeydə alınan ilk dünya rekordudur. Yüksək performans üçün Fabris Çudnovski qardaşlarının düsturundan istifadə etdi. Ümumilikdə hesablama 131 gün çəkdi (103 gün hesablamalar və 13 gün nəticənin yoxlanılması). Belların nailiyyəti göstərdi ki, belə hesablamalar üçün superkompüter lazım deyil.

Cəmi altı ay sonra Fransuanın rekordu mühəndislər Alexander Yi və Singer Kondo tərəfindən qırıldı. \(\pi\) rəqəminin 5 trilyon onluq yerindən ibarət rekord vurmaq üçün fərdi kompüter də istifadə edilib, lakin daha təsir edici xüsusiyyətlərə malikdir: 3,33 GHz-də iki Intel Xeon X5680 prosessoru, 96 GB RAM, 38 TB disk yaddaşı və əməliyyat sistemi Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Hesablamalar üçün Alexander və Singer Çudnovski qardaşlarının düsturundan istifadə etdilər. Hesablama prosesi 90 gün və 22 TB disk sahəsi çəkdi. 2011-ci ildə \(\pi\) rəqəmi üçün 10 trilyon onluq yerləri hesablayaraq daha bir rekorda imza atdılar. Hesablamalar onların əvvəlki rekordunun qoyulduğu eyni kompüterdə aparılıb və cəmi 371 gün çəkib. 2013-cü ilin sonunda Alexander və Singerou rekordu təkmilləşdirərək \(\pi\) rəqəminin 12,1 trilyon rəqəminə çatdırdılar ki, bunun hesablanması onlara cəmi 94 gün çəkdi. Bu performans təkmilləşdirilməsi proqram təminatının işini optimallaşdırmaq, prosessor nüvələrinin sayını artırmaq və proqram xətalarına qarşı dözümlülüyünü əhəmiyyətli dərəcədə yaxşılaşdırmaqla əldə edilir.

Hazırkı rekord Alexander Yee və Singer Kondo-nun rekordudur ki, bu da 12,1 trilyon onluq yeri \(\pi\) təşkil edir.

Beləliklə, biz qədim dövrlərdə istifadə edilən \(\pi\) ədədinin hesablanması üsullarına, analitik üsullara nəzər saldıq, həmçinin kompüterlərdə \(\pi\) ədədinin hesablanması üçün müasir üsullara və qeydlərə baxdıq.

Mənbələrin siyahısı

1. Jukov A.V. Hər yerdə mövcud sayı Pi - M.: LKI nəşriyyatı, 2007 - 216 s.
2. F.Rudio. F.Rudio tərəfindən tərtib edilmiş məsələnin tarixçəsinin tətbiqi ilə dairənin kvadratlaşdırılması haqqında. / Rudio F. – M.: ONTİ NKTP SSRİ, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Şuxman, E.V. Leonhard Eulerin nəşr edilmiş və nəşr olunmamış əsərlərində arctan x üçün seriyalardan istifadə edərək Pi-nin təxmini hesablanması / E.V. Şuxman. – Elm və texnologiya tarixi, 2008 – № 4. – S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Cild 9 – 222-236s.
6. Shumikhin, S. Number Pi. 4000 illik tarix / S.Şumixin, A.Şumixina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan və Pi sayı. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Elm aləmində. 1988 – № 4. – səh.58-66.
8. Alex Yee. Nömrə dünyası. Giriş rejimi: numberworld.org

Bəyəndiniz?

deyin

Pi ən məşhur riyazi anlayışlardan biridir. Haqqında şəkillər yazılır, filmlər çəkilir, musiqi alətlərində çalınır, ona şeirlər, bayramlar həsr olunur, müqəddəs mətnlərdə axtarılır, tapılır.

Pi kim kəşf etdi?

π rəqəmini ilk dəfə kim və nə vaxt kəşf etdiyi hələ də sirr olaraq qalır. Məlumdur ki, qədim Babil inşaatçıları artıq öz dizaynlarında ondan tam istifadə ediblər. Minlərlə il yaşı olan mixi lövhələr hətta π-dən istifadə etməklə həll edilməsi təklif olunan problemləri də qoruyub saxlayır. Düzdür, o zaman π-nin üçə bərabər olduğuna inanılırdı. Bunu Babildən iki yüz kilometr aralıda yerləşən Susa şəhərində tapılmış lövhə sübut edir, burada π rəqəmi 3 1/8 olaraq göstərilmişdir.

π-nin hesablanması prosesində babillilər çevrənin radiusunun akkord kimi ona altı dəfə daxil olduğunu kəşf etdilər və dairəni 360 dərəcəyə böldülər. Və eyni zamanda günəşin orbiti ilə də eyni şeyi etdilər. Beləliklə, bir ildə 360 gün olduğunu düşünməyə qərar verdilər.

Qədim Misirdə π 3,16-ya bərabər idi.
Qədim Hindistanda - 3088.
İtaliyada dövrün başlanğıcında π-nin 3,125-ə bərabər olduğuna inanılırdı.

Antik dövrdə π-nin ən erkən qeyd edilməsi məşhur dairənin kvadratlaşdırılması probleminə, yəni sahəsi müəyyən bir dairənin sahəsinə bərabər olan bir kvadrat qurmaq üçün kompas və hökmdardan istifadə etməyin mümkünsüzlüyünə aiddir. Arximed π-ni 22/7 kəsirinə bərabərləşdirdi.

π-nin dəqiq dəyərinə ən yaxın insanlar Çində gəldi. Eramızın 5-ci əsrində hesablanmışdır. e. məşhur Çin astronomu Tzu Chun Zhi. π olduqca sadə hesablanmışdır. Tək ədədləri iki dəfə yazmaq lazım idi: 11 33 55 və sonra onları yarıya bölərək birincini kəsrin məxrəcində, ikincisini isə sayında yerləşdirin: 355/113. Nəticə yeddinci rəqəmə qədər π-nin müasir hesablamaları ilə uyğun gəlir.

Niyə π – π?

İndi hətta məktəblilər də bilirlər ki, π ədədi dairənin çevrəsinin onun diametrinin uzunluğuna nisbətinə bərabər olan riyazi sabitdir və π 3,1415926535-ə bərabərdir ... və sonra onluqdan sonra - sonsuzluğa.

Rəqəm mürəkkəb şəkildə π təyinatını aldı: əvvəlcə 1647-ci ildə riyaziyyatçı Outrade bu yunan hərfindən çevrənin uzunluğunu təsvir etmək üçün istifadə etdi. O, yunanca περιφέρεια - "periferiya" sözünün ilk hərfini götürdü. 1706-cı ildə ingilis dili müəllimi Uilyam Cons “Riyaziyyatın Nailiyyətlərinə İcmal” əsərində artıq çevrənin çevrəsinin onun diametrinə nisbətini π hərfi ilə adlandırmışdı. Və adı 18-ci əsrin riyaziyyatçısı Leonard Euler tərəfindən möhkəmləndi, onun hakimiyyəti qarşısında qalanları başlarını əydi. Beləliklə, π π oldu.

Nömrənin unikallığı

Pi həqiqətən unikal rəqəmdir.

1. Alimlər hesab edirlər ki, π ədədinin rəqəmlərinin sayı sonsuzdur. Onların ardıcıllığı təkrarlanmır. Üstəlik, heç kim heç vaxt təkrar tapa bilməyəcək. Say sonsuz olduğundan, o, tamamilə hər şeyi, hətta Rachmaninoff simfoniyasını, Əhdi-Ətiqi, telefon nömrənizi və Apokalipsisin baş verəcəyi ili ehtiva edə bilər.

2. π xaos nəzəriyyəsi ilə əlaqələndirilir. Alimlər π-də ədədlərin ardıcıllığının tamamilə təsadüfi olduğunu göstərən Beylinin kompüter proqramını yaratdıqdan sonra bu qənaətə gəliblər ki, bu da nəzəriyyəyə uyğundur.

3. Nömrəni tam hesablamaq demək olar ki, mümkün deyil - bu, çox vaxt aparacaq.

4. π irrasional ədəddir, yəni onun qiymətini kəsr kimi ifadə etmək olmaz.

5. π – transsendental ədəd. Tam ədədlər üzərində heç bir cəbri əməli yerinə yetirməklə onu əldə etmək olmaz.

6. Hidrogen atomunun radiusunun xətası ilə Kainatdakı məlum kosmik obyektləri əhatə edən dairənin uzunluğunu hesablamaq üçün π ədədində otuz doqquz onluq yer tutmaq kifayətdir.

7. π ədədi “qızıl nisbət” anlayışı ilə bağlıdır. Böyük Giza Piramidasının ölçülməsi prosesində arxeoloqlar aşkar etdilər ki, dairənin radiusu uzunluğu ilə əlaqəli olduğu kimi, hündürlüyü də təməlinin uzunluğu ilə bağlıdır.

π ilə əlaqəli qeydlər

2010-cu ildə Yahoo riyaziyyatçısı Nicholas Zhe π ədədində iki kvadrilyon onluq yerini (2x10) hesablaya bildi. Bu, 23 gün çəkdi və riyaziyyatçıya minlərlə kompüterdə işləyən, paylanmış hesablama texnologiyasından istifadə edərək birləşən çoxlu köməkçi lazım idi. Metod belə fenomenal sürətlə hesablamalar aparmağa imkan verdi. Eyni şeyi bir kompüterdə hesablamaq üçün 500 ildən çox vaxt lazımdır.

Bütün bunları sadəcə olaraq kağıza yazmaq üçün iki milyard kilometrdən çox uzunluğunda bir kağız lentə ehtiyacınız olacaq. Əgər belə bir rekordu genişləndirsəniz, onun sonu Günəş sistemindən kənara çıxacaq.

Çinli Liu Çao π rəqəminin rəqəmlərinin ardıcıllığını yadda saxlamaq üzrə rekord qoydu. 24 saat 4 dəqiqə ərzində Liu Çao heç bir səhv etmədən 67.890 onluq yer dedi.

π-nin çoxlu pərəstişkarı var. Musiqi alətlərində çalınır və məlum olur ki, əla “səslənir”. Onlar bunu xatırlayır və bunun üçün müxtəlif üsullar təklif edirlər. Əylənmək üçün onu öz kompüterlərinə endirib, kimin ən çox yüklədiyi ilə öyünürlər. Ona abidələr ucaldılır. Məsələn, Sietldə belə bir abidə var. İncəsənət Muzeyinin qarşısındakı pilləkənlərdə yerləşir.

π bəzək və interyer dizaynında istifadə olunur. Ona şeirlər həsr olunur, müqəddəs kitablarda, qazıntılarda axtarılır. Hətta “Club π” də var.
π-nin ən yaxşı ənənələrində ildə bir deyil, iki tam gün rəqəmə həsr olunur! İlk dəfə π günü martın 14-də qeyd olunur. Tam 1 saat, 59 dəqiqə, 26 saniyədə bir-birinizi təbrik etməlisiniz. Beləliklə, tarix və vaxt rəqəmin ilk rəqəmlərinə uyğun gəlir - 3.1415926.

İkinci dəfədir ki, π bayramı iyulun 22-də qeyd olunur. Bu gün Arximedin fraksiya kimi yazdığı "təxmini π" ilə əlaqələndirilir.
Adətən bu gündə tələbələr, məktəblilər və alimlər gülməli fləşmoblar və aksiyalar təşkil edirlər. Əylənən riyaziyyatçılar, düşən sendviç qanunlarını hesablamaq üçün π-dən istifadə edir və bir-birlərinə komik mükafatlar verirlər.
Yeri gəlmişkən, π əslində müqəddəs kitablarda tapıla bilər. Məsələn, İncildə. Və orada π ədədi... üçə bərabərdir.

Pi nəyə bərabərdir? məktəbdən bilirik və xatırlayırıq. 3,1415926-a bərabərdir və s... Adi bir insanın bu rəqəmi çevrənin çevrəsini diametrinə bölməklə əldə edildiyini bilməsi kifayətdir. Ancaq çoxları bilir ki, Pi sayı təkcə riyaziyyat və həndəsənin deyil, həm də fizikanın gözlənilməz sahələrində görünür. Yaxşı, bu nömrənin təbiətinin təfərrüatlarını araşdırsanız, sonsuz nömrələr seriyası arasında çox təəccüblü şeylər görəcəksiniz. Pi-nin kainatın ən dərin sirlərini gizlətməsi mümkündürmü?

Sonsuz ədəd

Pi sayının özü dünyamızda diametri 1-ə bərabər olan dairənin uzunluğu kimi görünür. Lakin Pi-yə bərabər olan seqmentin kifayət qədər sonlu olmasına baxmayaraq, Pi sayı 3,1415926 kimi başlayır və heç vaxt təkrar olunmayan ədədlər cərgəsində sonsuzluğa gedir. İlk təəccüblü fakt odur ki, həndəsədə istifadə olunan bu ədəd tam ədədlərin kəsir kimi ifadə edilə bilməz. Başqa sözlə, siz onu iki ədəd a/b nisbəti kimi yaza bilməzsiniz. Bundan əlavə, Pi sayı transsendentaldır. Bu o deməkdir ki, həlli Pi sayı olacaq tam əmsallı tənlik (polinom) yoxdur.

Pi ədədinin transsendental olması faktı 1882-ci ildə alman riyaziyyatçısı fon Lindemann tərəfindən sübut edilmişdir. Məhz bu sübut, kompas və hökmdardan istifadə edərək sahəsi verilmiş dairənin sahəsinə bərabər olan bir kvadrat çəkməyin mümkün olub-olmaması sualına cavab oldu. Bu problem qədim zamanlardan bəşəriyyəti narahat edən dairənin kvadratlaşdırılması axtarışı kimi tanınır. Görünürdü ki, bu problemin sadə həlli var və həll olunmaq üzrədir. Amma məhz Pi sayının anlaşılmaz xüsusiyyəti dairənin kvadratlaşdırılması məsələsinin həllinin olmadığını göstərdi.

Ən azı dörd min yarım ildir ki, bəşəriyyət Pi üçün getdikcə daha dəqiq bir dəyər əldə etməyə çalışır. Məsələn, Padşahların Üçüncü Kitabında (7:23) Müqəddəs Kitabda Pi sayı 3 olaraq götürülür.

Əlamətdar dəqiqliyin Pi dəyərini Giza piramidalarında tapmaq olar: piramidaların perimetri və hündürlüyünün nisbəti 22/7-dir. Bu fraksiya Pi-nin təxmini qiymətini 3.142-yə bərabər verir... Əgər təbii ki, misirlilər bu nisbəti təsadüfən təyin etməsələr. Eyni dəyər artıq eramızdan əvvəl III əsrdə böyük Arximed tərəfindən Pi sayının hesablanması ilə bağlı əldə edilmişdir.

Eramızdan əvvəl 1650-ci ilə aid qədim Misir riyaziyyat dərsliyi olan Ahmes Papirusunda Pi 3,160493827 olaraq hesablanır.

Təxminən eramızdan əvvəl 9-cu əsrə aid qədim hind mətnlərində ən dəqiq dəyər 3,1388-ə bərabər olan 339/108 rəqəmi ilə ifadə edilmişdir...

Arximeddən sonra təxminən iki min il ərzində insanlar Pi hesablamağın yollarını tapmağa çalışdılar. Onların arasında həm məşhur, həm də naməlum riyaziyyatçılar var idi. Məsələn, Roma memarı Markus Vitruvius Pollio, misirli astronom Klavdi Ptolemey, Çin riyaziyyatçısı Liu Hui, hind alimi Aryabhata, Fibonaççi kimi tanınan orta əsr riyaziyyatçısı Pizalı Leonardo, ərəb alimi Əl-Xarəzmi, adından söz “alqoritm” ortaya çıxdı. Hamısı və bir çox başqaları Pi-ni hesablamaq üçün ən dəqiq üsulları axtarırdılar, lakin 15-ci əsrə qədər hesablamaların mürəkkəbliyi səbəbindən heç vaxt 10-dan çox onluq yer əldə etmədilər.

Nəhayət, 1400-cü ildə Sanqamaqramdan olan hind riyaziyyatçısı Madhava Pi-ni 13 rəqəm dəqiqliyi ilə hesabladı (baxmayaraq ki, o, hələ də son ikisində səhv edirdi).

İşarələrin sayı

17-ci əsrdə Leybniz və Nyuton sonsuz kiçik kəmiyyətlərin təhlilini kəşf etdilər ki, bu da Pi-ni daha proqressiv şəkildə - güc seriyaları və inteqrallar vasitəsilə hesablamağa imkan verdi. Nyutonun özü 16 onluq yer hesablamışdı, lakin kitablarında bunu qeyd etməmişdir - bu onun ölümündən sonra məlum olmuşdur. Nyuton Pi-ni sırf cansıxıcılıqdan hesabladığını iddia edirdi.

Təxminən eyni vaxtda digər az tanınan riyaziyyatçılar da ortaya çıxdı və triqonometrik funksiyalar vasitəsilə Pi sayını hesablamaq üçün yeni düsturlar təklif etdilər.

Məsələn, bu, 1706-cı ildə astronomiya müəllimi Con Machin tərəfindən Pi-ni hesablamaq üçün istifadə olunan düsturdur: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Machin analitik üsullardan istifadə edərək bu düsturdan Pi sayını yüz onluq yerə qədər çıxardı.

Yeri gəlmişkən, eyni 1706-cı ildə Pi rəqəmi yunan hərfi şəklində rəsmi təyinat aldı: William Jones riyaziyyatla bağlı işində yunanca "dairə" mənasını verən "periferiya" sözünün ilk hərfini götürərək istifadə etdi. .” 1707-ci ildə anadan olan böyük Leonhard Euler, indi hər bir məktəbliyə məlum olan bu təyinatı populyarlaşdırdı.

Kompüterlər dövründən əvvəl riyaziyyatçılar mümkün qədər çox işarələrin hesablanmasına diqqət yetirdilər. Bununla bağlı bəzən gülməli şeylər də yaranırdı. Həvəskar riyaziyyatçı U.Şenks 1875-ci ildə Pi-nin 707 rəqəmini hesablamışdır. Bu yeddi yüz işarə 1937-ci ildə Parisdəki Kəşflər Sarayının divarında əbədiləşdirilib. Lakin doqquz il sonra müşahidəçi riyaziyyatçılar yalnız ilk 527 simvolun düzgün hesablandığını kəşf etdilər. Muzey səhvi düzəltmək üçün xeyli xərc çəkməli oldu - indi bütün rəqəmlər düzgündür.

Kompüterlər meydana çıxanda Pi rəqəmlərinin sayı tamamilə ağlasığmaz sıralarla hesablanmağa başladı.

1946-cı ildə yaradılan ilk elektron kompüterlərdən biri olan ENIAC, ölçülərinə görə nəhəng idi və o qədər istilik yaratdı ki, otaq 50 dərəcə Selsiyə qədər qızdı, Pi-nin ilk 2037 rəqəmini hesabladı. Bu hesablama maşına 70 saat çəkdi.

Kompüterlər təkmilləşdikcə, Pi haqqında biliklərimiz getdikcə sonsuzluğa doğru irəliləyirdi. 1958-ci ildə rəqəmin 10 min rəqəmi hesablanmışdır. 1987-ci ildə yaponlar 10.013.395 simvol hesabladılar. 2011-ci ildə yapon tədqiqatçısı Şiqeru Hondo 10 trilyon simvolu keçib.

Pi ilə başqa harada görüşə bilərsiniz?

Beləliklə, çox vaxt Pi sayı haqqında biliklərimiz məktəb səviyyəsində qalır və biz əminik ki, bu rəqəm ilk növbədə həndəsədə əvəzolunmazdır.

Dairənin uzunluğu və sahəsi üçün düsturlara əlavə olaraq, Pi sayı ellipslər, kürələr, konuslar, silindrlər, ellipsoidlər və sair üçün düsturlarda istifadə olunur: bəzi yerlərdə düsturlar sadə və yadda saxlamaq asandır, lakin digərlərində çox mürəkkəb inteqrallar ehtiva edir.

Onda biz ilk baxışda həndəsə görünməyən riyazi düsturlarda Pi sayına rast gələ bilərik. Məsələn, 1/(1-x^2) qeyri-müəyyən inteqralı Pi-yə bərabərdir.

Pi çox vaxt seriya analizində istifadə olunur. Məsələn, Pi-yə yaxınlaşan sadə bir sıra:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Seriyalar arasında Pi ən gözlənilmədən məşhur Riemann zeta funksiyasında görünür. Bu barədə qısaca danışmaq mümkün deyil, deyək ki, nə vaxtsa Pi sayı sadə ədədlərin hesablanması üçün düstur tapmağa kömək edəcək.

Və tamamilə təəccüblüdür: Pi riyaziyyatın ən gözəl "kral" düsturlarından ikisində - Stirlinq düsturu (faktorial və qamma funksiyasının təxmini dəyərini tapmağa kömək edir) və Eyler düsturu (beş riyazi sabiti birləşdirən) düsturunda görünür.

Bununla belə, ehtimal nəzəriyyəsində riyaziyyatçıları ən gözlənilməz kəşf gözləyirdi. Pi sayı da oradadır.

Məsələn, iki ədədin nisbətən sadə olma ehtimalı 6/PI^2-dir.

Pi, Buffonun 18-ci əsrdə tərtib edilmiş iynə atma problemində görünür: astarlı bir kağız parçasına atılan iynənin xətlərdən birini keçməsi ehtimalı nədir? Əgər iynənin uzunluğu L, xətlər arasındakı məsafə isə L və r > L olarsa, onda 2L/rPI ehtimal düsturundan istifadə edərək Pi-nin qiymətini təxminən hesablaya bilərik. Təsəvvür edin - təsadüfi hadisələrdən Pi əldə edə bilərik. Yeri gəlmişkən, Pi normal ehtimal paylanmasında mövcuddur, məşhur Qauss əyrisinin tənliyində görünür. Bu o deməkdirmi ki, Pi sadəcə çevrənin diametrə nisbətindən daha əsaslıdır?

Fizikada Pi ilə də tanış ola bilərik. Pi iki yük arasında qarşılıqlı təsir qüvvəsini təsvir edən Kulon qanununda, planetin Günəş ətrafında fırlanma dövrünü göstərən Keplerin üçüncü qanununda görünür və hətta hidrogen atomunun elektron orbitallarının düzülüşündə də görünür. Yenə də ən inanılmazı odur ki, Pi sayı Heisenberg qeyri-müəyyənlik prinsipinin - kvant fizikasının əsas qanununun düsturunda gizlənir.

Pi sirləri

Karl Saqanın eyniadlı filmin çəkildiyi “Əlaqə” romanında yadplanetlilər qəhrəman qıza Pinin əlamətləri arasında Tanrıdan gələn gizli mesajın olduğunu deyirlər. Müəyyən bir mövqedən, nömrədəki nömrələr təsadüfi olmağı dayandırır və Kainatın bütün sirlərinin yazıldığı bir kodu təmsil edir.

Bu roman əslində bütün dünya riyaziyyatçılarının beynini məşğul edən bir sirri əks etdirirdi: Pi rəqəmlərinin bərabər tezlikdə səpələndiyi normal rəqəmdir, yoxsa bu ədəddə səhv bir şey var? Elm adamları birinci varianta meylli olsalar da (lakin bunu sübut edə bilmirlər), Pi sayı çox sirli görünür. Yapon bir dəfə Pi-nin ilk trilyon rəqəmində 0-dan 9-a qədər olan rəqəmlərin neçə dəfə olduğunu hesablamışdı. Və gördüm ki, 2, 4 və 8 rəqəmləri digərlərindən daha çox yayılmışdır. Bu, Pi-nin tamamilə normal olmadığına dair göstərişlərdən biri ola bilər və içindəki rəqəmlər həqiqətən də təsadüfi deyil.

Gəlin yuxarıda oxuduğumuz hər şeyi xatırlayaq və özümüzdən soruşaq ki, real dünyada tez-tez başqa hansı irrasional və transsendental rəqəmə rast gəlinir?

Və mağazada daha çox qəribəliklər var. Məsələn, Pi-nin ilk iyirmi rəqəminin cəmi 20-dir, ilk 144 rəqəminin cəmi isə “heyvan sayı” 666-ya bərabərdir.

Amerikanın “Şübhəli” serialının baş qəhrəmanı professor Finç tələbələrə bildirib ki, Pi rəqəminin sonsuzluğuna görə orada doğum tarixinizin nömrələrindən tutmuş daha mürəkkəb rəqəmlərə qədər istənilən rəqəm kombinasiyası tapıla bilər. . Məsələn, 762-ci mövqedə altı doqquz ardıcıllığı var. Bu mövqe bu maraqlı birləşməni fərq edən məşhur fizikin şərəfinə Feynman nöqtəsi adlanır.

Pi rəqəminin 0123456789 ardıcıllığını ehtiva etdiyini də bilirik, lakin o, 17.387.594.880-ci rəqəmdə yerləşir.

Bütün bunlar o deməkdir ki, Pi rəqəminin sonsuzluğunda təkcə maraqlı rəqəm birləşmələri deyil, həm də “Müharibə və Sülh”ün kodlaşdırılmış mətni, İncil və hətta Kainatın Əsas Sirri, əgər varsa, tapmaq olar.

Yeri gəlmişkən, İncil haqqında. Məşhur riyaziyyatın populyarlaşdırıcısı Martin Qardner 1966-cı ildə Pi-nin milyonuncu rəqəminin (o vaxt hələ məlum deyildi) 5 rəqəmi olacağını bildirmişdi. O, hesablamalarını onunla izah edirdi ki, İncilin ingilis dilində olan versiyasında 3-cü kitab, 14-cü fəsil, 16 beyt (3-14-16) yeddinci söz beş hərfdən ibarətdir. Milyonuncu rəqəmə səkkiz ildən sonra çatıldı. Beş nömrə idi.

Bundan sonra Pi sayının təsadüfi olduğunu iddia etməyə dəyərmi?

Hər hansı çox sayda pi işarəsini hesablamaq üçün əvvəlki üsul artıq uyğun deyil. Ancaq Pi-yə daha sürətli yaxınlaşan çoxlu sayda ardıcıllıq var. Məsələn, Gauss düsturundan istifadə edək:

Bu formulun sübutu çətin deyil, ona görə də onu buraxacağıq.

Proqramın mənbə kodu, o cümlədən "uzun arifmetik"

Proqram Pi-nin ilk rəqəmlərinin NbDigitlərini hesablayır. Arktanın hesablanması funksiyası arkkot adlanır, çünki arctan(1/p) = arccot(p), lakin hesablama xüsusi olaraq arktangens üçün, yəni arktan(x) = x - x 3 /3 üçün Taylor düsturuna əsasən aparılır. + x 5 /5 - .. x=1/p, yəni arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Hesablamalar rekursiv şəkildə baş verir: cəminin əvvəlki elementi bölünür və verir. növbəti.