Cəmin loqarifmini necə genişləndirmək olar. Loqarifmik tənlik: əsas düsturlar və üsullar. Tərs triqonometrik funksiya
Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanında ona həsr edilmişdir problem C3 . Hər bir tələbə qarşıdan gələn imtahandan “yaxşı” və ya “əla” ilə keçmək istəyirsə, riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanından C3 tapşırıqlarını həll etməyi öyrənməlidir. Bu məqalədə tez-tez rast gəlinən loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər, habelə onların həlli üçün əsas üsullar haqqında qısa məlumat verilir.
Beləliklə, bu gün bir neçə nümunəyə baxaq. loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklərƏvvəlki illərin riyaziyyatı üzrə Vahid Dövlət İmtahanında tələbələrə təklif olunan. Ancaq onları həll etməyimiz lazım olan əsas nəzəri məqamların qısa xülasəsi ilə başlayacaq.
Loqarifmik funksiya
Tərif
Formanın funksiyası
0,\, a\ne 1 \]" title="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilib">!}
çağırdı loqarifmik funksiya.
Əsas xüsusiyyətlər
Loqarifmik funksiyanın əsas xassələri y=log a x:
Loqarifmik funksiyanın qrafiki belədir loqarifmik əyri:
Loqarifmlərin xassələri
Məhsulun loqarifmi iki müsbət ədəd bu ədədlərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Hissənin loqarifmi iki müsbət ədəd bu ədədlərin loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Əgər a Və b a≠ 1, sonra istənilən ədəd üçün r bərabərlik doğrudur:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Bərabərlik log a t=log a s, Harada a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, yalnız və yalnız o halda etibarlıdır t = s.
Əgər a, b, c müsbət ədədlərdir və a Və c birlikdən fərqlidir, sonra bərabərlik ( yeni loqarifm bazasına keçmək üçün düstur):
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Teorem 1.Əgər f(x) > 0 və g(x) > 0, sonra loqarifmik tənlik jurnalı a f(x) = log a g(x) (Harada a > 0, a≠ 1) tənliyə ekvivalentdir f(x) = g(x).
Loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli
Misal 1. Tənliyi həll edin:
Həll. Məqbul dəyərlər aralığına yalnız bunlar daxildir x, bunun üçün loqarifm işarəsi altındakı ifadə sıfırdan böyükdür. Bu dəyərlər aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Bunu nəzərə alaraq
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
bu loqarifmik tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu təyin edən intervalı alırıq:
Bütün şərtləri burada ödənilən 1-ci Teorem əsasında aşağıdakı ekvivalent kvadrat tənliyə keçirik:
Məqbul dəyərlər diapazonuna yalnız birinci kök daxildir.
Cavab: x = 7.
Misal 2. Tənliyi həll edin:
Həll. Tənliyin məqbul dəyərlərinin diapazonu bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:
ql-right-eqno">
Həll. Tənliyin məqbul dəyərlərinin diapazonu burada asanlıqla müəyyən edilir: x > 0.
Əvəzetmədən istifadə edirik:
Tənlik belə olur:
Əks əvəzetmə:
Hər ikisi cavab müsbət ədədlər olduğu üçün tənliyin məqbul dəyərləri daxilindədir.
Misal 4. Tənliyi həll edin:
Həll. Tənliyin məqbul dəyərlərinin diapazonunu təyin edərək həllə yenidən başlayaq. Aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:
ql-right-eqno">
Loqarifmlərin əsasları eynidir, buna görə də məqbul dəyərlər diapazonunda aşağıdakı kvadrat tənliyə keçə bilərik:
Birinci kök tənliyin məqbul dəyərləri daxilində deyil, ikincisi.
Cavab: x = -1.
Misal 5. Tənliyi həll edin:
Həll. Arada həll yolları axtaracağıq x > 0, x≠1. Tənliyi ekvivalentə çevirək:
Hər ikisi cavab tənliyin məqbul qiymətləri daxilindədir.
Misal 6. Tənliyi həll edin:
Həll. Bu dəfə tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu təyin edən bərabərsizliklər sistemi aşağıdakı formaya malikdir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Loqarifmin xassələrindən istifadə edərək, tənliyi məqbul dəyərlər diapazonunda ekvivalent olan bir tənliyə çeviririk:
Yeni loqarifm bazasına keçmək üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
Məqbul dəyərlər aralığına yalnız bir daxildir cavab: x = 4.
İndi keçək loqarifmik bərabərsizliklər . Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanı ilə qarşılaşmalı olacaqsınız. Əlavə nümunələri həll etmək üçün aşağıdakı teoremə ehtiyacımız var:
Teorem 2.Əgər f(x) > 0 və g(x) > 0, onda:
saat a> 1 loqarifmik bərabərsizlik log a f(x) > daxil ol a g(x) eyni mənalı bərabərsizliyə bərabərdir: f(x) > g(x);
0-da< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > daxil ol a g(x) əks mənalı bərabərsizliyə bərabərdir: f(x) < g(x).
Misal 7. Bərabərsizliyi həll edin:
Həll. Bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin diapazonunu müəyyən etməklə başlayaq. Loqarifmik funksiyanın işarəsi altındakı ifadə yalnız müsbət qiymətlər almalıdır. Bu o deməkdir ki, məqbul dəyərlərin tələb olunan diapazonu aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Loqarifmin əsası birdən kiçik olduğundan, müvafiq loqarifmik funksiya azalan olacaq və buna görə də 2-ci teoreme görə aşağıdakı kvadrat bərabərsizliyə keçid ekvivalent olacaq:
Nəhayət, məqbul dəyərlər diapazonunu nəzərə alaraq, əldə edirik cavab:
Misal 8. Bərabərsizliyi həll edin:
Həll. Məqbul dəyərlər diapazonunu təyin etməklə yenidən başlayaq:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Bərabərsizliyin icazə verilən qiymətləri toplusunda ekvivalent çevrilmələr həyata keçiririk:
2-ci teorem ilə bərabərsizliyə endirdikdən və keçdikdən sonra əldə edirik:
Məqbul dəyərlər diapazonunu nəzərə alaraq, yekunu əldə edirik cavab:
Misal 9. Loqarifmik bərabərsizliyi həll edin:
Həll. Bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin diapazonu aşağıdakı sistemlə müəyyən edilir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Görünür ki, məqbul qiymətlər diapazonunda loqarifmin əsasındakı ifadə həmişə birdən böyükdür və buna görə də 2-ci teoremə görə aşağıdakı bərabərsizliyə keçid ekvivalent olacaqdır:
Məqbul dəyərlər diapazonunu nəzərə alaraq yekun cavabı alırıq:
Misal 10. Bərabərsizliyi həll edin:
Həll.
Bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin diapazonu bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
I üsul Loqarifmin yeni bazasına keçid üçün düsturdan istifadə edək və məqbul dəyərlər diapazonunda ekvivalent olan bərabərsizliyə keçək.
Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.
Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması
Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: log a x və qeyd edin a y. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:
- log a x+ log a y=log a (x · y);
- log a x− jurnal a y=log a (x : y).
Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!
Bu düsturlar hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:
Log 6 4 + log 6 9.
Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 2 48 − log 2 3.
Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 3 135 − log 3 5.
Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.
Loqarifmadan eksponentin çıxarılması
İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:
Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.
Əlbəttə ki, loqarifmin ODZ-i müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 7 49 6 .
Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
[Şəkil üçün başlıq]
Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizdə:
[Şəkil üçün başlıq] Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.
İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.
Yeni bir təmələ keçid
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?
Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:
Loqarifm jurnalı verilsin a x. Sonra istənilən nömrə üçün c belə c> 0 və c≠ 1, bərabərlik doğrudur:
[Şəkil üçün başlıq]
Xüsusilə qoysaq c = x, alırıq:
[Şəkil üçün başlıq]
İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.
Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.
Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 5 16 log 2 25.
Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:
[Şəkil üçün başlıq]Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 9 100 lg 3.
Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:
[Şəkil üçün başlıq]İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:
[Şəkil üçün başlıq]Əsas loqarifmik eynilik
Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:
Birinci halda, nömrə n arqumentdə dayanan dərəcənin göstəricisinə çevrilir. Nömrə n tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.
İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: əsas loqarifmik eynilik.
Əslində sayı olsa nə olacaq b sayı elə bir gücə yüksəldi b bu gücə nömrə verir a? Düzdür: eyni nömrəni alırsınız a. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.
Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
[Şəkil üçün başlıq]
Qeyd edək ki, log 25 64 = log 5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:
[Şəkil üçün başlıq]Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)
Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır
Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.
- log a a= 1 loqarifmik vahiddir. Birdəfəlik yadda saxla: istənilən bazaya loqarifm a bu əsasdan birə bərabərdir.
- log a 1 = 0 loqarifmik sıfırdır. Baza a hər şey ola bilər, amma arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a 0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.
Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.
Münasibətdə
verilən digər iki ədəddən üç ədəddən hər hansı birini tapmaq vəzifəsi qoyula bilər. Əgər a və sonra N verilirsə, onlar eksponentasiya yolu ilə tapılır. Əgər N və sonra a x dərəcəsinin kökünü götürməklə (yaxud onu qüvvəyə qaldırmaqla) verilirsə. İndi a və N verildiyi halda x tapmalı olduğumuz halı nəzərdən keçirək.
N ədədi müsbət olsun: a ədədi müsbət olsun və birə bərabər olmasın: .
Tərif. N ədədinin a əsasına olan loqarifmi, N ədədini almaq üçün a qaldırılmalı olan göstəricidir; loqarifm ilə işarələnir
Beləliklə, (26.1) bərabərliyində göstərici N-in a əsasının loqarifmi kimi tapılır. Yazılar
eyni məna daşıyır. Bərabərlik (26.1) bəzən loqarifmlər nəzəriyyəsinin əsas eyniliyi adlanır; reallıqda loqarifm anlayışının tərifini ifadə edir. Bu tərifə görə, a loqarifminin əsası həmişə müsbət və birlikdən fərqlidir; loqarifmik N ədədi müsbətdir. Mənfi ədədlərin və sıfırın loqarifmi yoxdur. Sübut oluna bilər ki, verilmiş əsası olan istənilən ədədin dəqiq müəyyən edilmiş loqarifması var. Buna görə də bərabərlik nəzərdə tutulur. Qeyd edək ki, burada şərt vacibdir; əks halda, nəticə əsaslandırılmayacaq, çünki bərabərlik istənilən x və y qiymətləri üçün doğrudur.
Nümunə 1. Tapın
Həll. Nömrə əldə etmək üçün baza 2-ni gücə yüksəltməlisiniz.
Bu cür nümunələri həll edərkən aşağıdakı formada qeydlər edə bilərsiniz:
Nümunə 2. Tapın.
Həll. bizdə var
1 və 2-ci misallarda loqarifm ədədini rasional göstərici ilə əsasın gücü kimi təqdim edərək, istədiyimiz loqarifmanı asanlıqla tapdıq. Ümumi halda, məsələn, s. üçün, bunu etmək olmaz, çünki loqarifm irrasional dəyərə malikdir. Bu bəyanatla bağlı bir məsələyə diqqət yetirək. 12-ci bənddə biz verilmiş müsbət ədədin istənilən real gücünü təyin etmək imkanı anlayışını verdik. Bu, ümumiyyətlə, irrasional ədədlər ola bilən loqarifmlərin tətbiqi üçün lazım idi.
Loqarifmlərin bəzi xassələrinə nəzər salaq.
Xüsusiyyət 1. Ədəd və əsas bərabərdirsə, onda loqarifm birə bərabərdir və əksinə, loqarifm birə bərabərdirsə, say və əsas bərabərdir.
Sübut. Qoy loqarifmin tərifinə görə bizdə və haradan
Əksinə, tərifinə görə sonra edək
Xassə 2. Birin istənilən bazaya loqarifmi sıfıra bərabərdir.
Sübut. Loqarifmin tərifinə görə (hər hansı müsbət bazanın sıfır qüvvəsi birinə bərabərdir, bax (10.1)). Buradan
Q.E.D.
Əks ifadə də doğrudur: əgər , onda N = 1. Həqiqətən, bizdə var.
Loqarifmlərin növbəti xassəsini tərtib etməzdən əvvəl razılaşaq ki, hər ikisi c-dən böyük və ya c-dən kiçikdirsə, iki a və b ədədi üçüncü c ədədinin eyni tərəfində yerləşir. Bu ədədlərdən biri c-dən böyük, digəri isə c-dən kiçikdirsə, deyəcəyik ki, onlar c-nin əks tərəflərindədir.
Xassə 3. Ədəd və əsas birinin eyni tərəfində yerləşirsə, onda loqarifm müsbətdir; Ədəd və əsas birinin əks tərəfində yerləşirsə, loqarifm mənfi olur.
3-cü xassənin sübutu, əsas birdən böyük və göstərici müsbət və ya əsas birdən kiçik və göstərici mənfi olduqda a-nın gücünün birdən böyük olmasına əsaslanır. Baza birdən böyükdürsə və eksponent mənfi və ya baza birdən kiçikdirsə və eksponent müsbətdirsə, güc birdən kiçikdir.
Nəzərə alınacaq dörd hal var:
Biz onlardan birincisini təhlil etməklə kifayətlənəcəyik, qalanını oxucu özü nəzərdən keçirəcək.
Qoy, bərabərlikdə eksponent nə mənfi, nə də sıfıra bərabər ola bilər, buna görə də müsbətdir, yəni sübut edilməli olduğu kimi.
Misal 3. Aşağıdakı loqarifmlərdən hansının müsbət, hansının mənfi olduğunu tapın:
Həlli, a) 15 rəqəmi və 12 əsası birinin eyni tərəfində yerləşdiyi üçün;
b) 1000 və 2 bölmənin bir tərəfində yerləşdiyindən; bu halda əsasın loqarifmik ədəddən böyük olması vacib deyil;
c) 3.1 və 0.8 birliyin əks tərəflərində olduğundan;
G) ; Niyə?
d) ; Niyə?
Aşağıdakı 4-6 xassələri tez-tez loqarifmasiya qaydaları adlanır: onlar bəzi ədədlərin loqarifmlərini bilməklə onların hasilinin loqarifmlərini, hər birinin dərəcəsini və dərəcəsini tapmağa imkan verir.
Xüsusiyyət 4 (məhsul loqarifmi qaydası). Bir neçə müsbət ədədin verilmiş bazaya hasilinin loqarifmi bu ədədlərin eyni bazaya olan loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.
Sübut. Verilən ədədlər müsbət olsun.
Onların hasilinin loqarifmi üçün loqarifmanı təyin edən bərabərliyi (26.1) yazırıq:
Buradan tapacağıq
Birinci və sonuncu ifadələrin eksponentlərini müqayisə edərək, tələb olunan bərabərliyi əldə edirik:
Qeyd edək ki, şərt vacibdir; iki mənfi ədədin hasilinin loqarifmi məna kəsb edir, lakin bu halda alırıq
Ümumiyyətlə, bir neçə amilin hasili müsbət olarsa, onun loqarifmi bu amillərin mütləq qiymətlərinin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.
5-ci xassə (hissələrin loqarifmlərinin götürülməsi qaydası). Müsbət ədədlərdən ibarət hissənin loqarifmi eyni bazaya götürülən dividend və bölən loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir. Sübut. Biz ardıcıl olaraq tapırıq
Q.E.D.
Xüsusiyyət 6 (güc loqarifmi qaydası). İstənilən müsbət ədədin gücünün loqarifmi həmin ədədin eksponentə vurulan loqarifminə bərabərdir.
Sübut. Nömrə üçün əsas eyniliyi (26.1) yenidən yazaq:
Q.E.D.
Nəticə. Müsbət ədədin kökünün loqarifmi kökün göstəricisinə bölünən radikalın loqarifmasına bərabərdir:
Bu nəticənin etibarlılığını 6-cı əmlakın necə və necə istifadə edildiyini təsəvvür etməklə sübut etmək olar.
Misal 4. a əsasında loqarifmi götürün:
a) (bütün b, c, d, e qiymətlərinin müsbət olduğu güman edilir);
b) ( güman edilir ki ).
Həlli, a) Bu ifadədə kəsr dərəcələrinə keçmək rahatdır:
(26.5)-(26.7) bərabərliklərinə əsasən indi yaza bilərik:
Diqqət edirik ki, ədədlərin loqarifmləri üzərində daha sadə əməliyyatlar yerinə yetirilir, nəinki ədədlər: ədədləri vurarkən onların loqarifmləri toplanır, böləndə çıxılır və s.
Məhz buna görə hesablama praktikasında loqarifmlərdən istifadə olunur (bax 29-cu paraqraf).
Loqarifmin tərs hərəkəti potensiasiya adlanır, yəni: potensiallaşdırma, ədədin verilmiş loqarifmindən ədədin özünün tapıldığı hərəkətdir. Prinsipcə, potensiasiya hər hansı xüsusi bir hərəkət deyil: bazanı gücə (ədədin loqarifminə bərabər) yüksəltməkdən ibarətdir. "Potensiasiya" termini "eksponentasiya" termini ilə sinonim hesab edilə bilər.
Gücləndirərkən loqarifmləşdirmə qaydalarına tərs qaydalardan istifadə etməlisiniz: loqarifmlərin cəmini məhsulun loqarifmi ilə, loqarifmlərin fərqini hissənin loqarifmi ilə əvəz edin və s.. Xüsusilə, qarşısında bir amil varsa. loqarifmin işarəsi, onda potensiasiya zamanı loqarifmin işarəsi altında eksponent dərəcələrə köçürülməlidir.
Misal 5. Əgər məlumdursa, N tapın
Həll. Sadəcə qeyd olunan potensiasiya qaydası ilə əlaqədar olaraq, biz bu bərabərliyin sağ tərəfindəki loqarifmlərin işarələrinin qarşısında duran 2/3 və 1/3 faktorlarını bu loqarifmlərin işarələri altında eksponentlərə köçürəcəyik; alırıq
İndi loqarifmlərin fərqini hissənin loqarifmi ilə əvəz edirik:
bu bərabərlik zəncirində sonuncu kəsri əldə etmək üçün əvvəlki kəsri məxrəcdəki irrasionallıqdan azad etdik (25-ci bənd).
Xüsusiyyət 7. Əgər əsas birdən böyükdürsə, onda böyük ədədin daha böyük loqarifması (kiçik olanın isə daha kiçikdir), əsas birdən kiçikdirsə, böyük ədədin daha kiçik loqarifması (və daha kiçik olanı) olur. birinin daha böyükü var).
Bu xassə həm də hər iki tərəfi müsbət olan bərabərsizliklərin loqarifmlərinin alınması üçün bir qayda olaraq tərtib edilmişdir:
Bərabərsizlikləri birdən böyük bazaya loqarifmləşdirərkən bərabərsizlik əlaməti qorunur, birdən kiçik əsasa loqarifm etdikdə isə bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişir (həmçinin 80-ci bəndə bax).
Sübut 5 və 3-cü xassələrə əsaslanır. Əgər , onda və loqarifmləri götürdükdə aldığımız halı nəzərdən keçirək.
(a və N/M birliyin eyni tərəfində yerləşir). Buradan
Aşağıdakı halda, oxucu bunu özü anlayacaq.
Bu video ilə mən loqarifmik tənliklər haqqında uzun dərslər silsiləsi başlayıram. İndi qarşınızda üç nümunə var, onların əsasında ən sadə problemləri həll etməyi öyrənəcəyik, bunlara - protozoa.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Xatırladım ki, ən sadə loqarifmik tənlik aşağıdakı kimidir:
log a f (x) = b
Bu zaman x dəyişəninin yalnız arqument daxilində, yəni yalnız f (x) funksiyasında olması vacibdir. Və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyalar deyil.
Əsas həll üsulları
Belə strukturları həll etməyin bir çox yolu var. Məsələn, məktəbdə əksər müəllimlər bu üsulu təklif edirlər: düsturdan istifadə edərək dərhal f (x) funksiyasını ifadə edin f ( x ) = a b . Yəni, ən sadə konstruksiya ilə qarşılaşdığınız zaman əlavə hərəkətlər və konstruksiyalar olmadan dərhal həll yoluna keçə bilərsiniz.
Bəli, əlbəttə ki, qərar düzgün olacaq. Ancaq bu formulun problemi tələbələrin əksəriyyətindədir başa düşməmək, haradan gəlir və niyə a hərfini b hərfinə qaldırırıq.
Nəticədə, məsələn, bu hərflər dəyişdirilərkən çox bezdirici səhvlər görürəm. Bu düstur ya başa düşülməlidir, ya da sıxılmalıdır, ikinci üsul isə ən uyğun olmayan və ən həlledici məqamlarda səhvlərə yol açır: imtahanlar, sınaqlar və s.
Buna görə bütün tələbələrimə standart məktəb düsturundan imtina etməyi və loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün ikinci yanaşmadan istifadə etməyi təklif edirəm, yəqin ki, adından da təxmin etdiyiniz kimi bu adlanır. kanonik forma.
Kanonik forma ideyası sadədir. Problemimizə bir daha baxaq: solda log a var, a hərfi ilə isə rəqəm nəzərdə tutulur və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiya nəzərdə tutulur. Nəticə etibarilə, bu məktub loqarifmin əsasında qoyulan bütün məhdudiyyətlərə tabedir. yəni:
1 ≠ a > 0
Digər tərəfdən, eyni tənlikdən görürük ki, loqarifm b rəqəminə bərabər olmalıdır və bu hərf üçün heç bir məhdudiyyət qoyulmur, çünki o, istənilən qiymət ala bilər - həm müsbət, həm də mənfi. Hamısı f(x) funksiyasının hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılıdır.
Və burada biz gözəl qaydamızı xatırlayırıq ki, istənilən b ədədi a-nın əsasına, b-nin gücünə loqarifm kimi təqdim edilə bilər:
b = log a a b
Bu formulu necə yadda saxlamaq olar? Bəli, çox sadə. Aşağıdakı konstruksiyanı yazaq:
b = b 1 = b log a a
Təbii ki, bu halda başlanğıcda yazdığımız bütün məhdudiyyətlər yaranır. İndi loqarifmin əsas xassəsindən istifadə edək və b çarpanını a-nın gücü kimi təqdim edək. Biz əldə edirik:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Nəticədə, orijinal tənlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Hamısı budur. Yeni funksiya artıq loqarifmi ehtiva etmir və standart cəbri üsullardan istifadə etməklə həll edilə bilər.
Əlbəttə, kimsə indi etiraz edəcək: ümumiyyətlə, bir növ kanonik düsturla çıxış etmək nəyə lazım idi, ilkin dizayndan son düstura dərhal keçmək mümkün idisə, nə üçün əlavə iki lazımsız addım atmalısınız? Bəli, yalnız ona görə ki, tələbələrin əksəriyyəti bu formulun haradan gəldiyini başa düşmürlər və nəticədə onu tətbiq edərkən müntəzəm olaraq səhvlər edirlər.
Ancaq üç addımdan ibarət olan bu hərəkət ardıcıllığı, son formulun haradan gəldiyini başa düşmədiyiniz halda, orijinal loqarifmik tənliyi həll etməyə imkan verir. Yeri gəlmişkən, bu giriş kanonik düstur adlanır:
log a f (x) = log a a b
Kanonik formanın rahatlığı həm də ondan ibarətdir ki, bu gün nəzərdən keçirdiyimiz ən sadələri deyil, çox geniş bir sinif loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.
Həll nümunələri
İndi real nümunələrə baxaq. Beləliklə, qərar verək:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Bunu belə yenidən yazaq:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Bir çox tələbə tələsir və dərhal 0,5 rəqəmini ilkin problemdən bizə gələn gücə qaldırmağa çalışır. Həqiqətən, bu cür problemlərin həllində artıq yaxşı təlim keçmişsinizsə, dərhal bu addımı yerinə yetirə bilərsiniz.
Ancaq indi bu mövzunu öyrənməyə başlayırsınızsa, təhqiramiz səhvlərə yol verməmək üçün heç yerə tələsməmək daha yaxşıdır. Beləliklə, kanonik formaya sahibik. Bizdə:
3x − 1 = 0,5 −3
Bu, artıq loqarifmik tənlik deyil, x dəyişəninə görə xəttidir. Bunu həll etmək üçün əvvəlcə 0,5 rəqəminin −3 dərəcəsinə baxaq. Qeyd edək ki, 0,5 1/2-dir.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Loqarifmik tənliyi həll edərkən bütün onluq kəsrləri adi kəsrlərə çevirin.
Yenidən yazırıq və alırıq:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Budur, cavabını aldıq. Birinci problem həll olundu.
İkinci tapşırıq
İkinci tapşırığa keçək:
Gördüyümüz kimi, bu tənlik artıq ən sadə deyil. Yalnız ona görə ki, solda fərq var və bir bazaya bir loqarifm deyil.
Ona görə də biz bu fərqdən birtəhər xilas olmalıyıq. Bu vəziyyətdə hər şey çox sadədir. Əsaslara daha yaxından nəzər salaq: solda kök altındakı rəqəm var:
Ümumi tövsiyə: bütün loqarifmik tənliklərdə radikallardan, yəni kökləri olan girişlərdən xilas olmağa çalışın və güc funksiyalarına keçin, sadəcə olaraq, bu güclərin eksponentləri loqarifmin işarəsindən asanlıqla çıxarılır və nəticədə belədir. bir giriş hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırır və sürətləndirir. Bunu belə yazaq:
İndi loqarifmin diqqətəlayiq xüsusiyyətini xatırlayaq: səlahiyyətlər həm arqumentdən, həm də əsasdan əldə edilə bilər. Əsaslar olduqda, aşağıdakılar baş verir:
log a k b = 1/k loqa b
Başqa sözlə, əsas qüvvədə olan ədəd irəli çəkilir və eyni zamanda tərs çevrilir, yəni qarşılıqlı rəqəmə çevrilir. Bizim vəziyyətimizdə baza dərəcəsi 1/2 idi. Buna görə də 2/1 olaraq çıxara bilərik. Biz əldə edirik:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Diqqət edin: bu addımda heç bir halda loqarifmlərdən qurtulmamalısınız. 4-5-ci sinif riyaziyyatını və əməliyyatların qaydasını xatırlayın: əvvəlcə vurma, sonra isə toplama və çıxma aparılır. Bu halda 10 elementdən eyni elementlərdən birini çıxarırıq:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
İndi tənliyimiz lazım olduğu kimi görünür. Bu ən sadə tikintidir və biz onu kanonik formadan istifadə edərək həll edirik:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Hamısı budur. İkinci problem həll olundu.
Üçüncü misal
Üçüncü tapşırığa keçək:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Aşağıdakı düsturu xatırlatmaq istəyirəm:
log b = log 10 b
Əgər nədənsə log qeydi ilə çaşıbsınızsa b , onda bütün hesablamaları yerinə yetirərkən sadəcə olaraq log 10 b yaza bilərsiniz. Onluq loqarifmlərlə digərləri ilə eyni şəkildə işləyə bilərsiniz: səlahiyyətləri götürün, lg 10 şəklində istənilən rəqəmləri əlavə edin və təmsil edin.
Problemi həll etmək üçün indi istifadə edəcəyimiz bu xüsusiyyətlərdir, çünki dərsimizin əvvəlində yazdığımız ən sadə deyil.
Əvvəlcə qeyd edək ki, lg 5-in qarşısındakı 2 faktoru əlavə oluna bilər və baza 5-in gücünə çevrilir. Bundan əlavə, sərbəst termin 3 də loqarifm kimi təqdim edilə bilər - bunu bizim qeydimizdən müşahidə etmək çox asandır.
Özünüz mühakimə edin: istənilən nömrə 10-cu bazaya log kimi təqdim edilə bilər:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Əldə edilmiş dəyişiklikləri nəzərə alaraq orijinal problemi yenidən yazaq:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000
Qarşımızda yenə kanonik forma var və biz onu transformasiya mərhələsindən keçmədən əldə etdik, yəni ən sadə loqarifmik tənlik heç yerdə görünmədi.
Mən dərsin əvvəlində məhz bu haqda danışmışdım. Kanonik forma, əksər məktəb müəllimlərinin verdiyi standart məktəb formulundan daha geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verir.
Bax, budur, ondalık loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və sadə xətti tikinti əldə edirik:
x + 3 = 25.000
x = 24,997
Hamısı! Problem həll olunur.
Əhatə dairəsi haqqında qeyd
Burada tərifin əhatə dairəsi ilə bağlı mühüm bir qeyd etmək istərdim. Şübhəsiz ki, indi deyəcək tələbələr və müəllimlər olacaq: “Biz loqarifmlərlə ifadələri həll edərkən yadda saxlamalıyıq ki, f (x) arqumenti sıfırdan böyük olmalıdır!” Bu baxımdan məntiqi sual yaranır: nə üçün nəzərdən keçirilən problemlərin heç birində bu bərabərsizliyin təmin olunmasını tələb etmədik?
Narahat olma. Bu hallarda əlavə köklər görünməyəcəkdir. Və bu, həlli sürətləndirməyə imkan verən başqa bir böyük hiylədir. Sadəcə bilin ki, əgər problemdə x dəyişəni yalnız bir yerdə (daha doğrusu, tək loqarifmin tək bir arqumentində) baş verirsə və bizim vəziyyətimizdə x dəyişəni başqa heç bir yerdə görünmürsə, onda tərif sahəsini yazın. ehtiyac yoxdur, çünki o, avtomatik icra olunacaq.
Özünüz mühakimə edin: birinci tənlikdə əldə etdik ki, 3x − 1, yəni arqument 8-ə bərabər olmalıdır. Bu avtomatik olaraq o deməkdir ki, 3x − 1 sıfırdan böyük olacaq.
Eyni müvəffəqiyyətlə yaza bilərik ki, ikinci halda x 5 2-yə bərabər olmalıdır, yəni. əlbəttə ki, sıfırdan böyükdür. Və üçüncü halda, burada x + 3 = 25,000, yəni, yenə, açıq-aydın sıfırdan böyükdür. Başqa sözlə desək, əhatə dairəsi avtomatik təmin edilir, ancaq x yalnız bir loqarifmin arqumentində baş verərsə.
Ən sadə problemləri həll etmək üçün bilməli olduğunuz hər şey budur. Təkcə bu qayda transformasiya qaydaları ilə birlikdə çox geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verəcəkdir.
Ancaq səmimi olaq: bu texnikanı nəhayət başa düşmək, loqarifmik tənliyin kanonik formasını tətbiq etməyi öyrənmək üçün sadəcə bir video dərsinə baxmaq kifayət deyil. Buna görə də, indi bu video dərsinə əlavə edilmiş müstəqil həllər üçün variantları yükləyin və bu iki müstəqil işdən ən azı birini həll etməyə başlayın.
Bu, sözün əsl mənasında bir neçə dəqiqənizi alacaq. Ancaq bu cür təlimin təsiri sadəcə bu video dərsinə baxdığınızdan daha yüksək olacaq.
Ümid edirəm ki, bu dərs sizə loqarifmik tənlikləri başa düşməyə kömək edəcək. Kanonik formadan istifadə edin, loqarifmlərlə işləmə qaydalarından istifadə edərək ifadələri sadələşdirin - və heç bir problemdən qorxmayacaqsınız. Bu gün üçün əlimdə olan şey budur.
Tərif sahəsini nəzərə alaraq
İndi isə loqarifmik funksiyanın təyin olunma oblastından və bunun loqarifmik tənliklərin həllinə necə təsir etməsindən danışaq. Formanın qurulmasını nəzərdən keçirin
log a f (x) = b
Belə bir ifadə ən sadə adlanır - o, yalnız bir funksiyanı ehtiva edir və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənindən asılı olan bir funksiyadır. Bunu çox sadə həll etmək olar. Yalnız formuladan istifadə etməlisiniz:
b = log a a b
Bu düstur loqarifmin əsas xassələrindən biridir və orijinal ifadəmizi əvəz edərkən aşağıdakıları əldə edirik:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Bu, məktəb dərsliklərindən tanış düsturdur. Yəqin ki, bir çox tələbələrin sualı olacaq: orijinal ifadədə f (x) funksiyası log işarəsi altında olduğu üçün ona aşağıdakı məhdudiyyətlər qoyulur:
f(x) > 0
Bu məhdudiyyət mənfi ədədlərin loqarifmi olmadığı üçün tətbiq edilir. Deməli, bəlkə bu məhdudiyyət nəticəsində cavabların yoxlanılması tətbiq edilməlidir? Bəlkə onları mənbəyə daxil etmək lazımdır?
Xeyr, ən sadə loqarifmik tənliklərdə əlavə yoxlamaya ehtiyac yoxdur. Və buna görə. Son düsturumuza nəzər salın:
f (x) = a b
Fakt budur ki, a sayı istənilən halda 0-dan böyükdür - bu tələb də loqarifm tərəfindən qoyulur. a sayı əsasdır. Bu halda b sayına heç bir məhdudiyyət qoyulmur. Ancaq bunun əhəmiyyəti yoxdur, çünki müsbət rəqəmi hansı gücə qaldırsaq da, çıxışda yenə də müsbət rəqəm alacağıq. Beləliklə, f (x) > 0 tələbi avtomatik olaraq ödənilir.
Həqiqətən yoxlamağa dəyər olan, log işarəsi altındakı funksiyanın domenidir. Kifayət qədər mürəkkəb strukturlar ola bilər və həll prosesində mütləq onlara diqqət yetirməlisiniz. Gəlin nəzər salaq.
Birinci tapşırıq:
Birinci addım: sağdakı kəsri çevirin. Biz əldə edirik:
Loqarifm işarəsindən qurtulub adi irrasional tənliyi alırıq:
Əldə edilən köklərdən yalnız birincisi bizə uyğun gəlir, çünki ikinci kök sıfırdan azdır. Yeganə cavab 9 rəqəmi olacaq. Budur, problem həll olundu. Loqarifm işarəsi altında ifadənin 0-dan böyük olmasını təmin etmək üçün əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki o, sadəcə 0-dan böyük deyil, tənliyin şərtinə görə 2-yə bərabərdir. Ona görə də “sıfırdan böyük” tələbi ” avtomatik olaraq təmin edilir.
İkinci tapşırığa keçək:
Burada hər şey eynidir. Üçlüyü əvəz edərək tikintini yenidən yazırıq:
Loqarifm işarələrindən qurtulub irrasional tənlik alırıq:
Məhdudiyyətləri nəzərə alaraq hər iki tərəfi kvadratlaşdırırıq və alırıq:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Yaranan tənliyi diskriminant vasitəsilə həll edirik:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Lakin x = −6 bizə uyğun gəlmir, çünki bu ədədi bərabərsizliyimizdə əvəz etsək, alırıq:
−6 + 4 = −2 < 0
Bizim vəziyyətimizdə onun 0-dan böyük və ya ekstremal hallarda bərabər olması tələb olunur. Lakin x = −1 bizə uyğundur:
−1 + 4 = 3 > 0
Bizim vəziyyətimizdə yeganə cavab x = −1 olacaqdır. Həll yolu budur. Gəlin hesablamalarımızın ən əvvəlinə qayıdaq.
Bu dərsdən əsas nəticə ondan ibarətdir ki, sadə loqarifmik tənliklərdə funksiya üzrə məhdudiyyətləri yoxlamağa ehtiyac yoxdur. Çünki həll prosesi zamanı bütün məhdudiyyətlər avtomatik olaraq ödənilir.
Ancaq bu, heç bir şəkildə yoxlamanı tamamilə unuta biləcəyiniz anlamına gəlmir. Loqarifmik tənlik üzərində işləmək prosesində, bu gün iki fərqli nümunədə gördüyümüz sağ tərəf üçün öz məhdudiyyətləri və tələbləri olan irrasional bir tənliyə çevrilə bilər.
Bu cür problemləri həll etməkdən çekinmeyin və mübahisədə bir kök varsa xüsusilə diqqətli olun.
Müxtəlif əsaslı loqarifmik tənliklər
Loqarifmik tənlikləri öyrənməyə davam edirik və daha mürəkkəb konstruksiyaları həll etmək üçün dəbdə olan daha iki maraqlı texnikaya baxırıq. Ancaq əvvəlcə ən sadə problemlərin necə həll olunduğunu xatırlayaq:
log a f (x) = b
Bu girişdə a və b ədədlərdir və f (x) funksiyasında x dəyişəni olmalıdır və yalnız orada, yəni x yalnız arqumentdə olmalıdır. Bu cür loqarifmik tənlikləri kanonik formadan istifadə edərək çevirəcəyik. Bunu etmək üçün qeyd edin
b = log a a b
Üstəlik, a b dəqiq bir arqumentdir. Bu ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yazaq:
log a f (x) = log a a b
Bu, bizim nail olmağa çalışdığımız şeydir ki, həm solda, həm də sağda a-nı əsaslandırmaq üçün loqarifm olsun. Bu halda, biz obrazlı desək, log işarələrini kəsə bilərik və riyazi nöqteyi-nəzərdən deyə bilərik ki, biz sadəcə olaraq arqumentləri bərabərləşdiririk:
f (x) = a b
Nəticədə, həlli çox asan olacaq yeni bir ifadə alacağıq. Gəlin bu qaydanı bugünkü problemlərimizə tətbiq edək.
Beləliklə, ilk dizayn:
Əvvəlcə qeyd edirəm ki, sağda məxrəci log olan kəsr var. Belə bir ifadə gördüyünüz zaman loqarifmlərin gözəl xüsusiyyətini xatırlamaq yaxşı olar:
Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu o deməkdir ki, istənilən loqarifm hər hansı c əsaslı iki loqarifmin bölünməsi kimi təqdim edilə bilər. Təbii ki 0< с ≠ 1.
Beləliklə: bu düsturda c dəyişəninin dəyişənə bərabər olduğu bir gözəl xüsusi hal var b. Bu vəziyyətdə belə bir tikinti alırıq:
Tənliyimizdə sağdakı işarədən gördüyümüz konstruksiya məhz budur. Bu konstruksiyanı log a b ilə əvəz edək, alırıq:
Başqa sözlə, ilkin tapşırıqla müqayisədə biz arqumenti və loqarifmin əsasını dəyişdirdik. Əvəzində kəsri tərsinə çevirməli olduq.
Xatırlayırıq ki, istənilən dərəcə aşağıdakı qaydaya əsasən bazadan əldə edilə bilər:
Başqa sözlə, əsasın gücü olan k əmsalı ters çevrilmiş kəsr kimi ifadə edilir. Onu tərs kəsr kimi təqdim edək:
Kəsr amilini qabağa qoymaq olmaz, çünki bu halda biz bu qeydi kanonik forma kimi təqdim edə bilməyəcəyik (axı, kanonik formada ikinci loqarifmadan əvvəl əlavə amil yoxdur). Buna görə də arqumentə güc kimi 1/4 kəsri əlavə edək:
İndi biz əsasları eyni olan arqumentləri bərabərləşdiririk (və bizim əsaslarımız həqiqətən eynidir) və yazırıq:
x + 5 = 1
x = −4
Hamısı budur. Birinci loqarifmik tənliyin cavabını aldıq. Diqqət edin: orijinal problemdə x dəyişəni yalnız bir jurnalda görünür və o, öz arqumentində görünür. Buna görə domeni yoxlamağa ehtiyac yoxdur və bizim x = −4 nömrəmiz həqiqətən cavabdır.
İndi ikinci ifadəyə keçək:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Burada adi loqarifmlərə əlavə olaraq log f (x) ilə işləməli olacağıq. Belə bir tənliyi necə həll etmək olar? Hazırlıqsız tələbə üçün bu, bir növ çətin iş kimi görünə bilər, amma əslində hər şeyi elementar şəkildə həll etmək olar.
lg 2 log 2 termininə yaxından nəzər salın. Bu barədə nə deyə bilərik? log və lg-nin əsasları və arqumentləri eynidir və bu, bəzi fikirlər verməlidir. Loqarifmin işarəsi altından güclərin necə çıxarıldığını bir daha xatırlayaq:
log a b n = nlog a b
Başqa sözlə desək, arqumentdə b-nin qüvvəsi olan şey logun özü qarşısında faktora çevrilir. Gəlin bu düsturu lg 2 log 2 7 ifadəsinə tətbiq edək. Lg 2-dən qorxmayın - bu, ən çox yayılmış ifadədir. Bunu aşağıdakı kimi yenidən yaza bilərsiniz:
Hər hansı digər loqarifmə tətbiq olunan bütün qaydalar onun üçün etibarlıdır. Xüsusən də arqumentin dərəcəsinə qarşıdakı amili də əlavə etmək olar. Onu yazaq:
Çox vaxt tələbələr bu hərəkəti birbaşa görmürlər, çünki bir log digərinin işarəsi altında daxil olmaq yaxşı deyil. Əslində bunda heç bir cinayət yoxdur. Bundan əlavə, vacib bir qaydanı xatırlayırsınızsa, hesablamaq asan olan bir düstur alırıq:
Bu düstur həm tərif kimi, həm də onun xüsusiyyətlərindən biri kimi qəbul edilə bilər. Hər halda, əgər siz loqarifmik tənliyi çevirirsinizsə, hər hansı bir ədədin log təqdimatını bildiyiniz kimi bu düsturu bilməlisiniz.
Gəlin vəzifəmizə qayıdaq. Bərabər işarənin sağındakı birinci həddin sadəcə olaraq lg 7-yə bərabər olacağını nəzərə alaraq onu yenidən yazırıq. Bizdə:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
lg 7-ni sola keçirək, əldə edirik:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Soldakı ifadələri çıxarırıq, çünki onların əsası eynidir:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
İndi əldə etdiyimiz tənliyə daha yaxından nəzər salaq. Bu praktik olaraq kanonik formadır, lakin sağda −3 amili var. Gəlin onu düzgün lg arqumentinə əlavə edək:
log 8 = log (x + 4) −3
Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, ona görə də lg işarələrini kəsirik və arqumentləri bərabərləşdiririk:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Hamısı budur! İkinci loqarifmik tənliyi həll etdik. Bu halda heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki orijinal məsələdə x yalnız bir arqumentdə mövcud idi.
İcazə verin, bu dərsin əsas məqamlarını bir daha sadalayım.
Loqarifmik tənliklərin həllinə həsr olunmuş bu səhifədəki bütün dərslərdə öyrədilən əsas düstur kanonik formadır. Və əksər məktəb dərsliklərinin sizə bu cür problemləri fərqli şəkildə həll etməyi öyrətdiyindən qorxmayın. Bu alət çox effektiv işləyir və dərsimizin əvvəlində öyrəndiyimiz ən sadə problemlərdən daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.
Bundan əlavə, loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əsas xüsusiyyətləri bilmək faydalı olacaqdır. Məhz:
- Bir bazaya keçmək üçün düstur və jurnalı tərs çevirdiyimiz zaman xüsusi hal (bu, birinci məsələdə bizim üçün çox faydalı oldu);
- Loqarifm işarəsindən dərəcələrin toplanması və çıxılması düsturu. Burada bir çox tələbələr ilişib qalır və görmürlər ki, çıxarılan və təqdim edilən dərəcənin özündə log f (x) ola bilər. Bununla səhv bir şey yoxdur. Bir jurnalı digərinin işarəsinə görə təqdim edə bilərik və eyni zamanda problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilərik, ikinci halda müşahidə etdiyimiz budur.
Sonda onu da əlavə etmək istərdim ki, bu halların hər birində tərif sahəsini yoxlamaq lazım deyil, çünki hər yerdə x dəyişəni logun yalnız bir işarəsində mövcuddur və eyni zamanda onun arqumentindədir. Nəticədə, əhatə dairəsinin bütün tələbləri avtomatik olaraq yerinə yetirilir.
Dəyişən baza ilə problemlər
Bu gün bir çox tələbələr üçün qeyri-standart görünən, tamamilə həll olunmayan loqarifmik tənliklərə baxacağıq. Söhbət rəqəmlərə deyil, dəyişənlərə və hətta funksiyalara əsaslanan ifadələrdən gedir. Biz bu cür konstruksiyaları standart texnikamızdan, yəni kanonik formadan istifadə edərək həll edəcəyik.
Əvvəlcə adi ədədlərə əsaslanaraq ən sadə məsələlərin necə həll edildiyini xatırlayaq. Beləliklə, ən sadə tikinti adlanır
log a f (x) = b
Belə problemləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərik:
b = log a a b
Orijinal ifadəmizi yenidən yazırıq və alırıq:
log a f (x) = log a a b
Sonra arqumentləri bərabərləşdiririk, yəni yazırıq:
f (x) = a b
Beləliklə, biz log işarəsindən xilas oluruq və adi problemi həll edirik. Bu halda məhluldan alınan köklər ilkin loqarifmik tənliyin kökləri olacaqdır. Bundan əlavə, həm solun, həm də sağın eyni baza ilə eyni loqarifmdə olduğu qeyd dəqiq olaraq kanonik forma adlanır. Biz bugünkü dizaynları azaltmağa çalışacağıq ki, belə bir rekorddur. Beləliklə, gedək.
Birinci tapşırıq:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
1-i log x − 2 (x − 2) 1 ilə əvəz edin. Arqumentdə müşahidə etdiyimiz dərəcə əslində bərabər işarəsinin sağında duran b ədədidir. Beləliklə, ifadəmizi yenidən yazaq. Biz əldə edirik:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Biz nə görürük? Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də arqumentləri etibarlı şəkildə bərabərləşdirə bilərik. Biz əldə edirik:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ancaq həll yolu bununla bitmir, çünki bu tənlik ilkin tənliyə bərabər deyil. Axı ortaya çıxan konstruksiya bütün say xəttində təyin olunan funksiyalardan ibarətdir və bizim ilkin loqarifmlərimiz hər yerdə və həmişə də müəyyən edilmir.
Buna görə də tərif sahəsini ayrıca yazmalıyıq. Saçları ayırmayaq və əvvəlcə bütün tələbləri yazaq:
Birincisi, loqarifmlərin hər birinin arqumenti 0-dan böyük olmalıdır:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
İkincisi, baza yalnız 0-dan böyük deyil, həm də 1-dən fərqli olmalıdır:
x − 2 ≠ 1
Nəticədə sistemi əldə edirik:
Ancaq narahat olmayın: loqarifmik tənlikləri işləyərkən belə bir sistem əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirilə bilər.
Özünüz mühakimə edin: bir tərəfdən bizdən kvadrat funksiyanın sıfırdan böyük olması tələb olunur, digər tərəfdən isə bu kvadrat funksiya müəyyən xətti ifadəyə bərabər tutulur ki, onun da sıfırdan böyük olması tələb olunur.
Bu halda x − 2 > 0 olmasını tələb etsək, onda 2x 2 − 13x + 18 > 0 tələbi avtomatik ödəniləcək.Ona görə də kvadrat funksiyanı ehtiva edən bərabərsizliyi təhlükəsiz şəkildə kəsə bilərik. Beləliklə, sistemimizdəki ifadələrin sayı üçə enəcək.
Təbii ki, eyni müvəffəqiyyətlə xətti bərabərsizliyi kəsə bilərdik, yəni x − 2 > 0-ın üstündən xətt çəkə və 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını tələb edə bilərik. Amma siz razılaşarsınız ki, ən sadə xətti bərabərsizliyin həlli daha sürətli olur. və kvadratdan daha sadə, hətta bu şərtlə ki, bütün bu sistemin həlli nəticəsində eyni kökləri əldə edək.
Ümumiyyətlə, mümkün olduqda hesablamaları optimallaşdırmağa çalışın. Loqarifmik tənliklər vəziyyətində isə ən çətin bərabərsizlikləri kəsin.
Sistemimizi yenidən yazaq:
Budur, üç ifadədən ibarət bir sistemdir, onlardan ikisi ilə əslində artıq məşğul olmuşuq. Kvadrat tənliyi ayrıca yazaq və həll edək:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Qarşımızda azaldılmış kvadrat üçbucaq var və buna görə də Vyeta düsturlarından istifadə edə bilərik. Biz əldə edirik:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
İndi sistemimizə qayıdırıq və tapırıq ki, x = 2 bizə uyğun deyil, çünki bizdən x-in 2-dən ciddi şəkildə böyük olması tələb olunur.
Ancaq x = 5 bizə mükəmməl uyğun gəlir: 5 rəqəmi 2-dən böyükdür və eyni zamanda 5 3-ə bərabər deyil. Ona görə də bu sistemin yeganə həlli x = 5 olacaqdır.
Budur, problem ODZ nəzərə alınmaqla həll edilir. İkinci tənliyə keçək. Bizi burada daha maraqlı və informativ hesablamalar gözləyir:
İlk addım: keçən dəfə olduğu kimi, biz bütün bu məsələni kanonik formaya gətiririk. Bunun üçün 9 rəqəmini aşağıdakı kimi yaza bilərik:
Köklə bazaya toxunmaq lazım deyil, amma arqumenti dəyişdirmək daha yaxşıdır. Rasional göstərici ilə kökdən gücə keçək. Gəlin yazaq:
İcazə verin, bütün böyük loqarifmik tənliyimizi yenidən yazmayaq, ancaq dərhal arqumentləri bərabərləşdirək:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Qarşımızda yeni azalmış kvadrat üçbucaq var, gəlin Vyeta düsturlarından istifadə edək və yazaq:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Beləliklə, biz kökləri aldıq, lakin heç kim bizə onların orijinal loqarifmik tənliyə uyğun olacağına zəmanət vermədi. Axı, log işarələri əlavə məhdudiyyətlər qoyur (burada sistemi yazmalı idik, lakin bütün strukturun çətin təbiətinə görə mən tərif sahəsini ayrıca hesablamaq qərarına gəldim).
Hər şeydən əvvəl, arqumentlərin 0-dan böyük olması lazım olduğunu unutmayın, yəni:
Bunlar tərifin əhatə dairəsi tərəfindən qoyulan tələblərdir.
Dərhal qeyd edək ki, sistemin ilk iki ifadəsini bir-birinə bərabərləşdirdiyimiz üçün onlardan hər hansı birinin üstündən xətt çəkə bilərik. Gəlin birincinin üstündən xətt çəkək, çünki ikincidən daha təhlükəli görünür.
Əlavə olaraq qeyd edək ki, ikinci və üçüncü bərabərsizliklərin həlli eyni çoxluqlar olacaq (bəzi ədədin kubu sıfırdan böyükdür, əgər bu ədədin özü sıfırdan böyükdürsə; eynilə üçüncü dərəcəli köklə - bu bərabərsizliklər tamamilə analojidir, ona görə də onun üstündən xətt çəkə bilərik).
Ancaq üçüncü bərabərsizliklə bu işləməyəcək. Hər iki hissəni bir kuba qaldıraraq, soldakı radikal işarədən xilas olaq. Biz əldə edirik:
Beləliklə, aşağıdakı tələbləri alırıq:
− 2 ≠ x > −3
Köklərimizdən hansı: x 1 = −3 və ya x 2 = −1 bu tələblərə cavab verir? Aydındır ki, yalnız x = −1, çünki x = −3 birinci bərabərsizliyi təmin etmir (çünki bərabərsizliyimiz sərtdir). Beləliklə, problemimizə qayıdaraq bir kök alırıq: x = −1. Budur, problem həll olundu.
Bir daha bu tapşırığın əsas məqamları:
- Kanonik formadan istifadə edərək loqarifmik tənlikləri tətbiq etmək və həll etməkdən çekinmeyin. İlkin məsələdən bilavasitə log a f (x) = b kimi konstruksiyaya keçməkdənsə, belə qeydi edən tələbələr, hesablamaların aralıq addımlarını atlayaraq, harasa tələsənlərə nisbətən daha az səhvə yol verirlər;
- Loqarifmdə dəyişən baza görünən kimi problem ən sadə olmaqdan çıxır. Buna görə də onu həll edərkən tərif sahəsini nəzərə almaq lazımdır: arqumentlər sıfırdan böyük olmalıdır və əsaslar nəinki 0-dan böyük olmalıdır, həm də 1-ə bərabər olmamalıdır.
Yekun tələblər yekun cavablara müxtəlif üsullarla tətbiq oluna bilər. Məsələn, tərif sahəsi üçün bütün tələbləri ehtiva edən bütöv bir sistemi həll edə bilərsiniz. Digər tərəfdən, əvvəlcə problemin özünü həll edə, sonra tərif sahəsini xatırlaya, onu ayrı-ayrılıqda sistem şəklində işləyə və əldə edilən köklərə tətbiq edə bilərsiniz.
Müəyyən bir loqarifmik tənliyi həll edərkən hansı üsulu seçmək sizin ixtiyarınızdadır. Hər halda cavab eyni olacaq.
Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b *a c = a b+c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplama ilə çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu məqaləni oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dildə.
Riyaziyyatda tərif
Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log a b=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” bazasına loqarifmi “c” qüvvəsi hesab olunur. ” nəticədə “b” dəyərini əldə etmək üçün “a” bazası qaldırılmalıdır. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir güc tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan gücə 8-ə çatasınız. Beyninizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və bu doğrudur, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi 8 kimi cavab verir.
Loqarifmlərin növləri
Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Loqarifmik ifadələrin üç ayrı növü var:
- Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
- Ondalık a, burada əsas 10-dur.
- a>1 əsası üçün istənilən b ədədinin loqarifmi.
Onların hər biri standart şəkildə həll edilir, o cümlədən loqarifmik teoremlərdən istifadə etməklə sadələşdirmə, reduksiya və sonradan tək loqarifmə endirmə. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və həlli zamanı hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamalısınız.
Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər
Riyaziyyatda bir neçə qayda-məhdudiyyət var ki, onlar aksioma kimi qəbul edilir, yəni müzakirə mövzusu deyil və həqiqətdir. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, mənfi ədədlərin cüt kökünü çıxarmaq da mümkün deyil. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:
- “a” bazası həmişə sıfırdan böyük və 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki “1” və “0” istənilən dərəcədə həmişə onların qiymətlərinə bərabərdir;
- a > 0 olarsa, a b >0 olarsa, belə çıxır ki, “c” də sıfırdan böyük olmalıdır.
Loqarifmləri necə həll etmək olar?
Məsələn, 10 x = 100 tənliyinin cavabını tapmaq tapşırığı verilir. Bu çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq güc seçmək lazımdır. Bu, təbii ki, 10 2 = 100.
İndi bu ifadəni loqarifmik formada təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən, verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasını daxil etmək lazım olan gücü tapmaq üçün bütün hərəkətlər praktiki olaraq birləşir.
Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:
Gördüyünüz kimi, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar, əgər texniki ağlınız və vurma cədvəli haqqında məlumatınız varsa. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər üçün bir güc masasına ehtiyacınız olacaq. Ondan hətta mürəkkəb riyazi mövzular haqqında heç nə bilməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Kəsişmədə xanalar cavab olan rəqəm dəyərlərini ehtiva edir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratını götürək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən həqiqi humanist belə başa düşəcək!
Tənliklər və bərabərsizliklər
Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik bərabərlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81, dördə bərabər olan 81-in 3 loqarifmi kimi yazıla bilər (log 3 81 = 4). Mənfi güclər üçün qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 onu loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Aşağıda onların xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra tənliklərin nümunələrinə və həllərinə baxacağıq. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə fərqləndirəcəyinə baxaq.
Aşağıdakı ifadə verilir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum “x” dəyəri loqarifmik işarənin altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: iki əsas üçün istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.
Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmli tənliklər (məsələn, loqarifm 2 x = √9) cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyəri nəzərdə tutur, bərabərsizliyi həll edərkən hər ikisi məqbul diapazonu əhatə edir. dəyərlər və nöqtələr bu funksiyanı pozaraq müəyyən edilir. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi fərdi ədədlərin sadə dəsti deyil, davamlı sıra və ya ədədlər toplusudur.
Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər
Loqarifmin dəyərlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xüsusiyyətləri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmin bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələrinə daha sonra baxacağıq, əvvəlcə hər bir xüsusiyyətə daha ətraflı baxaq.
- Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyük, birə bərabər deyil və B sıfırdan böyük olduqda tətbiq edilir.
- Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla göstərmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu halda məcburi şərt: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifmik düstur üçün misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. Log a s 1 = f 1 və log a s 2 = f 2, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (xassələr) dərəcə ) və sonra tərifinə görə: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, sübut edilməli olan şeydir.
- Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.
Bu düstur “loqarifm dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat təbii postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.
Log a b = t olsun, a t =b çıxır. Hər iki hissəni m qüvvəsinə qaldırsaq: a tn = b n ;
lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.
Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri
Loqarifmlər üzrə ən çox yayılmış problem növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və eyni zamanda riyaziyyat imtahanlarının tələb olunan hissəsidir. Universitetə daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür tapşırıqları necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.
Təəssüf ki, loqarifmin naməlum qiymətinin həlli və təyini üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq oluna bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya ümumi formaya salına biləcəyini öyrənməlisiniz. Uzun loqarifmik ifadələrin xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, onları sadələşdirə bilərsiniz. Gəlin onlarla tez tanış olaq.
Loqarifmik tənlikləri həll edərkən biz hansı növ loqarifmə malik olduğumuzu müəyyən etməliyik: nümunə ifadəsi təbii loqarifmi və ya onluqdan ibarət ola bilər.
Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli əsas 10-un müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağı gücü təyin etmələri lazım olduğuna qədər qaynar. Təbii loqarifmləri həll etmək üçün loqarifmik eynilikləri və ya onların xassələrini tətbiq etmək lazımdır. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.
Loqarifm düsturlarından necə istifadə etməli: Nümunələr və həllər ilə
Beləliklə, loqarifmlər haqqında əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.
- Məhsulun loqarifminin xassəsindən b ədədinin böyük qiymətini daha sadə amillərə parçalamaq lazım olan tapşırıqlarda istifadə oluna bilər. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi, loqarifmin gücünün dördüncü xassəsindən istifadə edərək, mürəkkəb və həll olunmayan zahirən bir ifadəni həll edə bildik. Sadəcə bazanı faktorlara ayırmalı və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmalısınız.
Vahid Dövlət İmtahanından tapşırıqlar
Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında, xüsusən də Vahid Dövlət İmtahanında (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı) bir çox logarifmik problemə rast gəlinir. Tipik olaraq, bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən mürəkkəb və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Təbii loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl bilik tələb edir.
Məsələnin nümunələri və həlli Vahid Dövlət İmtahanının rəsmi versiyalarından götürülmüşdür. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyini görək.
Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2, loqarifmin tərifindən alırıq ki, 2x-1 = 2 4, buna görə də 2x = 17; x = 8.5.
- Həll çətin və çaşdırıcı olmaması üçün bütün loqarifmləri eyni bazaya endirmək daha yaxşıdır.
- Loqarifm işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, buna görə də loqarifm işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisi çarpan kimi çıxarıldıqda, loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.
Yüklənir...