Düz xəttin və müstəvinin nisbi mövqeyinin halları hansılardır. Düz xəttin və müstəvi, iki təyyarənin nisbi mövqeyi. Prizma. Tərif. Elementlər. Prizmaların növləri
Düz xətt müstəviyə aid ola bilər, olmaya da bilər. Ən azı iki nöqtəsi müstəvidə yerləşirsə, o, təyyarəyə aiddir. Şəkil 93-də Sum müstəvisi göstərilir (axb). Düz l Onun 1 və 2-ci nöqtələri bu müstəviyə aid olduğu üçün Sum müstəvisinə aiddir.
Əgər xətt müstəviyə aid deyilsə, ona paralel ola və ya onu kəsə bilər.
Bir xətt müstəvidə yerləşən başqa bir xəttə paraleldirsə, müstəviyə paraleldir. Şəkil 93-də düz xətt var m || məbləğ xəttinə paralel olduğundan l bu təyyarəyə aiddir.
Düz xətt bir müstəvini müxtəlif bucaqlarda kəsə bilər və xüsusən də ona perpendikulyar ola bilər. Düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə xətlərinin qurulması §61-də verilmişdir.
Şəkil 93 - Müstəviyə aid düz xətt
Müstəviyə münasibətdə nöqtə aşağıdakı şəkildə yerləşə bilər: ona aid olmaq və ya ona aid olmamaq. Nöqtə bu müstəvidə yerləşən düz xətt üzərində yerləşirsə, müstəviyə aiddir. Şəkil 94-də iki paralel xətt ilə müəyyən edilmiş Sum müstəvisinin mürəkkəb çertyojı göstərilir l Və P. Təyyarədə bir xətt var m. A nöqtəsi xətt üzərində yerləşdiyi üçün Cəm müstəvisində yerləşir m. Nöqtə IN müstəviyə aid deyil, çünki onun ikinci proyeksiyası xəttin müvafiq proyeksiyalarına uyğun gəlmir.
Şəkil 94 - İki paralel xətt ilə müəyyən edilmiş müstəvinin mürəkkəb təsviri
Konusvari və silindrik səthlər
Konusvari səthlərə düzxətli generatrisin hərəkəti nəticəsində əmələ gələn səthlər daxildir ləyri bələdçi boyunca m. Konusvari səthin əmələ gəlməsinin özəlliyi ondan ibarətdir ki, bu halda generatrixin bir nöqtəsi həmişə hərəkətsizdir. Bu nöqtə konusvari səthin təpə nöqtəsidir (Şəkil 95, A). Konusvari səthin determinantına təpə nöqtəsi daxildir S və bələdçi m, harada l"~S; l"^ m.
Silindrik səthlər düz bir generatrix tərəfindən yaradılan / əyri bir bələdçi boyunca hərəkət edən səthlərdir T verilən istiqamətə paralel S(Şəkil 95, b). Silindrik səthi sonsuzluqda təpəsi olan konusvari səthin xüsusi halı kimi qəbul etmək olar. S.
Silindrik səthin təyinedicisi bələdçidən ibarətdir T və istiqamətləri S formalaşdırmaq l, isə l" || S; l"^m.
Əgər silindrik səthin generatorları proyeksiya müstəvisinə perpendikulyardırsa, belə bir səth adlanır. layihələndirilməsi.Şəkil 95-də, Vüfüqi proyeksiyalı silindrik səth göstərilir.
Silindrik və konusvari səthlərdə onlardan keçən generatrislərdən istifadə etməklə verilmiş nöqtələr qurulur. Səthlərdəki xətlər, məsələn, xətt A rəqəm 95, V və ya üfüqi hŞəkil 95, a, b, bu xətlərə aid ayrı-ayrı nöqtələrdən istifadə etməklə tikilir.
Şəkil 95 - Konik və silindrik səthlər
Torso səthləri
Torso səthi düzxətli generatrix tərəfindən əmələ gələn səthdir l, bütün mövqelərində hərəkəti zamanı bəzi məkan əyrisinə toxunur T,çağırdı qayıdış kənarı(Şəkil 96). Qayıdış kənarı gövdəni tamamilə müəyyən edir və səth determinantının həndəsi hissəsidir. Alqoritmik hissə generatorların zirvənin kənarına toxunmasının göstəricisidir.
Konusvari səth qayıdış kənarına malik olan gövdənin xüsusi halıdır T bir nöqtəyə çevrildi S- konusvari səthin yuxarı hissəsi. Silindrik səth qayıdış kənarı sonsuzluq nöqtəsi olan gövdənin xüsusi halıdır.
Şəkil 96 – Torso səthi
Üzlü səthlər
Üzlü səthlərə düzxətli generatrisin hərəkəti nəticəsində əmələ gələn səthlər daxildir l qırıq bələdçi boyunca m.Üstəlik, əgər bir nöqtə S generatrix hərəkətsizdir, piramidal səth yaranır (Şəkil 97), əgər generatrix hərəkət edərkən müəyyən bir istiqamətə paraleldirsə S, sonra prizmatik səth yaranır (Şəkil 98).
Fasetli səthlərin elementləri bunlardır: təpə S(prizmatik səthin yaxınlığında sonsuzluqdadır), üz (bələdçinin bir hissəsi ilə məhdudlaşan təyyarənin bir hissəsi) m və ona nisbətən generatrixin həddindən artıq mövqeləri l) və kənar (bitişik üzlərin kəsişmə xətti).
Piramidal səthin determinantına təpə nöqtəsi daxildir S, generatorların və bələdçilərin keçdiyi yer: l" ~ S; l^ T.
Bələdçidən başqa prizmatik səthin təyinedicisi T, istiqaməti ehtiva edir S, bütün generatorların paralel olduğu l səthlər: l||S; l^ t.
Şəkil 97 - Piramida səthi
Şəkil 98 - Prizmatik səth
Müəyyən sayda (ən azı dörd) üzdən əmələ gələn qapalı üzlü səthlərə çoxüzlü deyilir. Çoxüzlülər arasından bütün üzlərin düzgün və konqruent çoxbucaqlı olduğu, təpələrindəki çoxüzlü bucaqların qabarıq olduğu və eyni sayda üzlərin olduğu bir qrup müntəzəm çoxüzlülər fərqləndirilir. Məsələn: altıüzlü - kub (Şəkil 99, A), tetraedr - müntəzəm dördbucaqlı (Şəkil 99, 6) səkkizbucaqlı - çoxüzlü (Şəkil 99, V). Kristallar müxtəlif polihedraların formasına malikdir.
Şəkil 99 - Çoxüzlülər
piramida- bazası ixtiyari çoxbucaqlı, yan üzləri isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlar olan çoxüzlü S.
Mürəkkəb bir rəsmdə piramida, görmə qabiliyyətini nəzərə alaraq təpələri və kənarlarının proyeksiyaları ilə müəyyən edilir. Bir kənarın görünməsi rəqabət nöqtələrindən istifadə etməklə müəyyən edilir (Şəkil 100).
Şəkil 100 – Rəqabət nöqtələrindən istifadə edərək kənarın görünməsinin müəyyən edilməsi
Prizma- bazası iki eyni və qarşılıqlı paralel çoxbucaqlı, yan üzləri isə paraleloqram olan çoxüzlü. Prizmanın kənarları təməl müstəvisinə perpendikulyardırsa, belə prizma düz adlanır. Prizmanın kənarları hər hansı proyeksiya müstəvisinə perpendikulyardırsa, onda yanal səth buna proyeksiya deyilir. Şəkil 101-də üfüqi proyeksiyalı səthə malik düz dördbucaqlı prizmanın hərtərəfli təsviri göstərilir.
Şəkil 101 - Üfüqi proyeksiyalı səthi olan düz dördbucaqlı prizmanın mürəkkəb təsviri
Polihedronun mürəkkəb rəsmi ilə işləyərkən onun səthində xətlər çəkməlisən və xətt nöqtələr toplusu olduğundan, səthdə nöqtələr qurmağı bacarmaq lazımdır.
Fasetli səthdə hər hansı bir nöqtə bu nöqtədən keçən generatrixdən istifadə etməklə tikilə bilər. Şəkildə üzdə 100 var ACS nöqtə quruldu M generatrix istifadə edərək S-5.
Spiral səthlər
Sarmal səthlərə düzxətli generatrisin spiral hərəkəti nəticəsində yaranan səthlər daxildir. Qaydalı spiral səthlər adlanır helikoidlər.
Düz bir helikoid düzxətli generatrisin hərəkəti nəticəsində əmələ gəlir i iki bələdçi boyunca: spiral T və onun baltaları i; formalaşdırarkən l vida oxunu düz bir açı ilə kəsir (Şəkil 102, a). Düz helikoid dəzgahlarda spiral pilləkənlər, şneklər, eləcə də elektrik yivləri yaratmaq üçün istifadə olunur.
Generatoru bir vida bələdçisi boyunca hərəkət etdirməklə maili helikoid əmələ gəlir T və onun baltaları i belə ki, generator l oxu keçir i sabit bucaq altında φ, düz xəttdən fərqli, yəni generatrix istənilən vəziyyətdə l 2φ-ə bərabər olan zirvə bucağı ilə bələdçi konusunun generatrislərindən birinə paralel (Şəkil 102, b). Maili helikoidlər iplərin səthlərini məhdudlaşdırır.
Şəkil 102 - Helikoidlər
İnqilabın səthləri
İnqilab səthlərinə xəttin fırlanması ilə əmələ gələn səthlər daxildir l düz xətt ətrafında i , fırlanma oxu olan. Onlar inqilabın konusu və ya silindri kimi xətti və kürə kimi qeyri-xətti və ya əyri ola bilər. İnqilabın səthinin determinantına generatrix daxildir l və ox i . Fırlanma zamanı generatrixin hər bir nöqtəsi müstəvisi fırlanma oxuna perpendikulyar olan bir dairəni təsvir edir. İnqilab səthinin belə dairələrinə paralellər deyilir. Paralellərin ən böyüyü adlanır ekvator. Ekvator i _|_ P 1 olarsa, səthin üfüqi konturunu təyin edir . Bu halda paralellər bu səthin horizontallarıdır.
Səthin fırlanma oxundan keçən təyyarələrlə kəsişməsindən yaranan inqilab səthinin əyriləri deyilir. meridianlar. Bir səthin bütün meridianları uyğundur. Frontal meridian əsas meridian adlanır; fırlanma səthinin frontal konturunu müəyyən edir. Profil meridianı fırlanma səthinin profil konturunu təyin edir.
Səth paralellərindən istifadə edərək, inqilabın əyri səthlərində bir nöqtə qurmaq ən əlverişlidir. Şəkildə 103 nöqtə var M paralel h4 üzərində qurulmuşdur.
Şəkil 103 – Əyri səthdə nöqtənin qurulması
İnqilabın səthləri texnologiyada ən geniş tətbiq tapdı. Onlar əksər mühəndislik hissələrinin səthlərini məhdudlaşdırırlar.
Bir düz xəttin fırlanması ilə inqilabın konik səthi əmələ gəlir i onunla kəsişən düz xəttin ətrafında - ox i(Şəkil 104, A). Nöqtə M səthdə bir generatrix istifadə edərək qurulur l və paralellər h. Bu səthə inqilab konusu və ya sağ dairəvi konus da deyilir.
Bir düz xəttin fırlanması ilə silindrik bir inqilab səthi meydana gəlir l ona paralel bir ox ətrafında i(Şəkil 104, b). Bu səthə silindr və ya sağ dairəvi silindr də deyilir.
Bir kürənin diametri ətrafında bir dairənin fırlanması ilə əmələ gəlir (Şəkil 104, V). Kürənin səthindəki A nöqtəsi əsas meridiana aiddir f, nöqtə IN- ekvator h, bir nöqtə M köməkçi paralel üzərində qurulmuşdur h".
Şəkil 104 - İnqilab səthlərinin formalaşması
Torus bir dairənin və ya onun qövsünün dairənin müstəvisində yerləşən ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gəlir. Əgər ox yaranan dairənin içərisindədirsə, onda belə bir torus qapalı adlanır (Şəkil 105, a). Fırlanma oxu dairənin xaricindədirsə, belə bir torus açıq adlanır (Şəkil 105, b). Açıq torusa üzük də deyilir.
Şəkil 105 – Torusun əmələ gəlməsi
İnqilab səthləri digər ikinci dərəcəli əyrilərlə də formalaşa bilər. Fırlanma ellipsoidi (Şəkil 106, A) ellipsin oxlarından birinin ətrafında fırlanması ilə əmələ gəlir; İnqilab paraboloidi (Şəkil 106, b) - parabolanın öz oxu ətrafında fırlanması; tək vərəqli inqilab hiperboloidi (Şəkil 106, V) hiperbolanın xəyali ox və iki vərəq ətrafında fırlanması ilə əmələ gəlir (Şəkil 106, G) - hiperbolanın real ox ətrafında fırlanması.
Şəkil 106 – İkinci dərəcəli əyrilərlə çevrilmə səthlərinin formalaşması
Ümumi halda, səthlər yaradan xətlərin yayılma istiqamətində məhdud olmayan şəkildə təsvir olunur (bax Şəkil 97, 98). Həlllər üçün konkret vəzifələr və qəbul edir həndəsi fiqurlar kəsici təyyarələrlə məhdudlaşır. Məsələn, dairəvi silindr əldə etmək üçün silindrik səthin bir hissəsini kəsici təyyarələrlə məhdudlaşdırmaq lazımdır (bax Şəkil 104, b). Nəticədə onun yuxarı və aşağı əsaslarını alırıq. Kəsmə müstəviləri fırlanma oxuna perpendikulyar olarsa, silindr düz olacaq, yoxsa, silindr meylli olacaqdır.
Dairəvi konus əldə etmək üçün (bax Şəkil 104, A), yuxarı və kənar boyunca kəsmək lazımdır. Silindr əsasının kəsici müstəvisi fırlanma oxuna perpendikulyar olarsa, konus düz, yoxsa, meylli olacaqdır. Hər iki kəsici təyyarə təpədən keçməzsə, konus kəsiləcəkdir.
Kəsilmiş təyyarədən istifadə edərək bir prizma və bir piramida əldə edə bilərsiniz. Məsələn, altıbucaqlı piramidanın bütün kənarları kəsici müstəvi ilə eyni yamacda olarsa, düz olacaqdır. Digər hallarda maili olacaq. Əgər tamamlanarsa ilə kəsici təyyarələrdən istifadə edərək və onların heç biri təpədən keçmir - piramida kəsilir.
Prizma (bax Şəkil 101) prizmatik səthin bir hissəsini iki kəsici təyyarə ilə məhdudlaşdırmaqla əldə edilə bilər. Kəsmə müstəvisi, məsələn, səkkizbucaqlı prizmanın kənarlarına perpendikulyardırsa, düzdür, perpendikulyar deyilsə, meyllidir.
Kəsmə müstəvilərinin uyğun mövqeyini seçməklə, həll olunan məsələnin şərtlərindən asılı olaraq həndəsi fiqurların müxtəlif formalarını əldə etmək olar.
Uzaq element.
uzaq element.
- a) ümumi cəhətləri yoxdur;
Teorem.
Kəsiklərin təyin edilməsi
GOST 2.305-2008 bölmənin təyin edilməsi üçün aşağıdakı tələbləri təmin edir:
1. Kəsmə müstəvisinin mövqeyi rəsmdə kəsik xətti ilə göstərilir.
2. Bölmə xətti üçün açıq xətt istifadə edilməlidir (qalınlığı S-dən 1,5S-ə qədər, xəttin uzunluğu 8-20 mm).
3. Mürəkkəb bir kəsmə halında, kəsici təyyarələrin bir-biri ilə kəsişməsində vuruşlar da aparılır.
4. Baxış istiqamətini göstərən ilkin və son vuruşlarda oxlar yerləşdirilməlidir, oxlar vuruşun xarici ucundan 2-3 mm məsafədə yerləşdirilməlidir.
5. Oxların ölçüləri Şəkil 14-də göstərilənlərə uyğun olmalıdır.
6. Başlanğıc və son vuruşlar müvafiq təsvirin konturunu kəsməməlidir.
7. Bölmə xəttinin əvvəlində və sonunda, lazım olduqda, kəsici təyyarələrin kəsişməsində, eyni yerləşdirin. böyük hərf rus əlifbası. Hərflər baxış istiqamətini göstərən oxların yanında və kənar küncdən kəsişmə nöqtələrində yerləşdirilir (Şəkil 24).
Şəkil 24 - Bölmə təyinatının nümunələri
8. Kəsim “AA” kimi bir yazı ilə qeyd edilməlidir (həmişə tire ilə ayrılmış iki hərf).
9. Sekant müstəvisi bütövlükdə obyektin simmetriya müstəvisi ilə üst-üstə düşdükdə və müvafiq təsvirlər birbaşa proyeksiya əlaqəsində eyni vərəqdə yerləşdikdə və heç bir başqa təsvirlə ayrılmadıqda, üfüqi, frontal və profil kəsikləri üçün kəsici müstəvinin mövqeyi qeyd edilmir və kəsik bir yazı ilə müşayiət olunmur.
10. Frontal və profil bölmələrinə, bir qayda olaraq, rəsmin əsas təsvirində verilmiş bir maddə üçün qəbul edilənə uyğun mövqe verilir.
11. Horizontal, frontal və profil bölmələri müvafiq əsas görünüşlərin yerində yerləşdirilə bilər.
12. Bölmənin rəsm sahəsinin hər hansı bir yerində, həmçinin şərti qrafik təyinatının - “Döndürülmüş” işarəsinin əlavə edilməsi ilə fırlanma ilə yerləşdirilməsinə icazə verilir (Şəkil 25).
Şəkil 25 - Qrafik simvol – “Rotated” işarəsi
Bölmələrin təyinatı oxşardır kəsiklərin təyinatı və kəsik müstəvisinin izlərindən və baxış istiqamətini göstərən oxdan, həmçinin oxun kənarında yerləşdirilmiş hərfdən ibarətdir (Şəkil 1c, Şəkil 3). Əgər kəsik xətti kəsiyinin simmetriya oxu ilə üst-üstə düşürsə və kəsik özü kəsici müstəvinin izinin davamında və ya hissələri arasındakı boşluqda yerləşirsə, ofset bölməsi etiketlənmir və kəsici müstəvi göstərilmir. baxış. Simmetrik üst-üstə qoyulmuş bölmə üçün kəsici təyyarə də göstərilmir. Bölmə asimmetrikdirsə və boşluqda yerləşirsə və ya üst-üstə qoyulursa (Şəkil 2 b), bölmə xətti oxlarla çəkilir, lakin hərflərlə qeyd olunmur.
Bölmə fırlanma ilə yerləşdirilə bilər, bölmənin üstündəki yazı "fırlanan" sözü ilə təmin edilə bilər. Bir obyektə aid bir neçə eyni bölmə üçün bölmə xətləri eyni hərflə təyin olunur və bir bölmə çəkilir. Bölmənin ayrı hissələrdən ibarət olduğu ortaya çıxdıqda, kəsiklərdən istifadə edilməlidir.
Düz ümumi mövqe
Ümumi vəziyyətdə olan düz xətt (şək. 2.2) verilmiş proyeksiya müstəvilərinin heç birinə paralel olmayan düz xəttdir. Belə düz xəttin istənilən seqmenti verilmiş proyeksiya müstəviləri sistemində təhrif olunmuş şəkildə proyeksiya edilir. Bu düz xəttin proyeksiya müstəvilərinə meyl bucaqları da təhrif olunmuş şəkildə proyeksiya edilir.
düyü. 2.2.
Birbaşa özəl müddəalar
Xüsusi mövqe xətlərinə bir və ya iki proyeksiya müstəvisinə paralel xətlər daxildir.
Proyeksiya müstəvisinə paralel olan hər hansı bir xətt (düz və ya əyri) səviyyəli xətt adlanır. Mühəndislik qrafikasında üç əsas səviyyəli xətt var: üfüqi, frontal və profil xətləri.
düyü. 2.3-a
Üfüqi proyeksiyaların üfüqi müstəvisinə paralel olan istənilən xəttdir (şək. 2.3-a). Horizontalın frontal proyeksiyası həmişə kommunikasiya xətlərinə perpendikulyardır. Üfüqi proyeksiya müstəvisində istənilən üfüqi seqment öz həqiqi ölçüsünə proqnozlaşdırılır. Həqiqi böyüklük bu müstəviyə və proyeksiyaların frontal müstəvisinə üfüqi (düz xəttin) meyl bucağı üzərində proqnozlaşdırılır. Nümunə olaraq, Şəkil 2.3-a vizual təsviri və hərtərəfli üfüqi təsviri göstərir. h, təyyarəyə meylli P 2 bucaq altında b . 
düyü. 2.3-b
Frontal proyeksiyaların frontal müstəvisinə paralel olan xəttdir (şəkil 2.3-b). Cəbhənin üfüqi proyeksiyası həmişə kommunikasiya xətlərinə perpendikulyardır. Proyeksiyaların frontal müstəvisinə frontalın istənilən seqmenti onun həqiqi ölçüsünə proqnozlaşdırılır. Həqiqi böyüklük bu müstəviyə proqnozlaşdırılır və frontalın (düz xəttin) proyeksiyaların üfüqi müstəvisinə meyl bucağı (bucaq a). 
düyü. 2.3-v
Profil xətti proyeksiyaların profil müstəvisinə paralel olan xəttdir (şəkil 2.3-c). Profil xəttinin üfüqi və frontal proyeksiyaları bu proyeksiyaların birləşmə xətlərinə paraleldir. Profil xəttinin istənilən seqmenti (düz xətt) profil müstəvisinə həqiqi ölçüsünə qədər proqnozlaşdırılır. Profil düz xəttinin proyeksiya müstəvilərinə meyl bucaqları həqiqi böyüklükdə eyni müstəviyə proyeksiya edilir. P 1 və P 2. Mürəkkəb bir rəsmdə profil xəttini təyin edərkən, bu xəttin iki nöqtəsini göstərməlisiniz.
İki proyeksiya müstəvisinə paralel olan səviyyə xətləri üçüncü proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olacaq. Belə xətlərə proyeksiya xətləri deyilir. Üç əsas proyeksiya xətti var: üfüqi, frontal və profil proyeksiya xətləri. 
düyü. 2,3-q 
düyü. 2.3-d 
düyü. 2.3
Üfüqi proyeksiya edən düz xətt (şək. 2.3-d) müstəviyə perpendikulyar düz xəttdir. P 1 . Bu xəttin istənilən seqmenti təyyarəyə proyeksiya edilir P P 1 - nöqtəyə.
Cəbhədən proyeksiya edən düz xətt (şək. 2.H-e) müstəviyə perpendikulyar düz xətt adlanır. P 2. Bu xəttin istənilən seqmenti təyyarəyə proyeksiya edilir P 1 təhrif olmadan, lakin bir təyyarədə P 2 - nöqtəyə.
Düz xətt proyeksiya edən profil (şək. 2.3-f) müstəviyə perpendikulyar düz xəttdir. P 3, yəni. proyeksiya müstəvilərinə paralel düz xətt P 1 və P 2. Bu xəttin istənilən seqmenti təyyarəyə proyeksiya edilir P 1 və P 2 təhrif olmadan, lakin bir təyyarədə P 3 - nöqtəyə.
Təyyarədə əsas xətlər
Təyyarəyə aid düz xətlər arasında fəzada müəyyən mövqe tutan düz xətlər xüsusi yer tutur:
1. Horizontallar h - verilmiş müstəvidə uzanan və proyeksiyaların üfüqi müstəvisinə paralel olan düz xətlər (h//P1) (şək. 6.4).
Şəkil 6.4 Horizontal
2. Cəbhələr f - müstəvidə yerləşən və proyeksiyaların frontal müstəvisinə paralel olan düz xətlər (f//P2) (şək. 6.5).
Şəkil 6.5 Ön
3. Profil düz xətləri p - verilmiş müstəvidə və proyeksiyaların profil müstəvisinə paralel olan düz xətlər (p//P3) (Şəkil 6.6). Qeyd edək ki, təyyarənin izlərini ana xətlərə də aid etmək olar. Üfüqi iz təyyarənin üfüqi, frontal frontal və profil təyyarənin profil xəttidir.
Şəkil 6.6 Düz profil
4. Ən böyük yamacın xətti və onun üfüqi proyeksiyası bu müstəvinin əmələ gətirdiyi dihedral bucağı və proyeksiyaların üfüqi müstəvisini ölçən j xətti bucağı əmələ gətirir (şək. 6.7). Aydındır ki, düz xəttin müstəvi ilə iki ortaq nöqtəsi yoxdursa, o, ya müstəviyə paraleldir, ya da onu kəsir.
Şəkil 6.7 Ən böyük yamac xətti
Səthin formalaşmasının kinematik üsulu. Rəsmdə səthin təyin edilməsi.
Mühəndislik qrafikasında səth müəyyən qanuna uyğun olaraq fəzada hərəkət edən xəttin ardıcıl mövqelərinin məcmusu kimi qəbul edilir. Səthin formalaşması zamanı 1-ci xətt dəyişməz qala və ya formasını dəyişə bilər.
Mürəkkəb rəsmdə səth təsvirinin aydın olması üçün hərəkət qanununu qrafik olaraq xətlər ailəsi (a, b, c) şəklində göstərmək məqsədəuyğundur. 1-ci xəttin hərəkət qanunu iki (a və b) və ya bir (a) sətir və 1-ci hərəkət qanununu aydınlaşdıran əlavə şərtlərlə müəyyən edilə bilər.
Hərəkət edən xətt 1 generatrix adlanır, sabit xətlər a, b, c istiqamətləndiricilər adlanır.
Şəkil 3.1-də göstərilən nümunədən istifadə edərək səthin əmələ gəlməsi prosesini nəzərdən keçirək.
Burada generatrix kimi 1-ci düz xətt götürülür.Generatrixin hərəkət qanunu bələdçi a və düz xətt b ilə verilir. Bu o deməkdir ki, generatrix 1 həmişə b düz xəttinə paralel olaraq a istiqamətləndiricisi boyunca sürüşür.
Səthin formalaşmasının bu üsulu kinematik adlanır. Onun köməyi ilə siz rəsmdə müxtəlif səthlər yarada və müəyyən edə bilərsiniz. Xüsusilə, Şəkil 3.1 silindrik səthin ən ümumi halını göstərir.
düyü. 3.1.
Səthi formalaşdırmaq və onu rəsmdə təsvir etmək üçün başqa bir üsul səthi ona aid nöqtələr və ya xətlər dəsti ilə müəyyən etməkdir. Bu zaman nöqtələr və xətlər elə seçilir ki, onlar səthin formasını kifayət qədər dəqiqliklə müəyyən etməyə və onun üzərində müxtəlif məsələləri həll etməyə imkan versinlər.
Səthi müəyyən edən nöqtələr və ya xətlər toplusuna onun çərçivəsi deyilir.
Səth çərçivəsinin nöqtə və ya xətlərlə müəyyən edilməsindən asılı olaraq çərçivələr nöqtə və xətti bölünür.
Şəkil 3.2-də a1, a2, a3, ..., an və b1, b2, b3, ..., bn xətlərinin ortoqonal yerləşən iki ailəsindən ibarət səth çərçivəsi göstərilir.
düyü. 3.2.
Konik hissələr.
KONİK BÖLÜMƏLƏR, düz dairəvi konusun onun təpəsindən keçməyən müstəvi ilə kəsişməsindən alınan düz əyrilər (şək. 1). Analitik həndəsə nöqteyi-nəzərindən konik kəsik ikinci dərəcəli tənliyi təmin edən nöqtələrin yeridir. Son bölmədə müzakirə olunan degenerasiya halları istisna olmaqla, konus kəsikləri ellips, hiperbola və ya parabolalardır.
Konik kəsiklərə təbiətdə və texnologiyada tez-tez rast gəlinir. Məsələn, Günəş ətrafında fırlanan planetlərin orbitləri ellips şəklindədir. Dairə, böyük oxun kiçik oxuna bərabər olduğu bir ellipsin xüsusi halıdır. Parabolik güzgü, oxuna paralel olan bütün şüaların bir nöqtədə (fokus) birləşməsi xüsusiyyətinə malikdir. Bu, parabolik güzgülərdən istifadə edən əksər əks etdirən teleskoplarda, həmçinin radar antenalarında və parabolik reflektorlu xüsusi mikrofonlarda istifadə olunur. Parabolik reflektorun fokusunda yerləşdirilmiş işıq mənbəyindən paralel şüalar şüası çıxır. Buna görə də parabolik güzgülər yüksək güclü projektorlarda və avtomobil faralarında istifadə olunur. Hiperbola bir çox vacib fiziki əlaqələrin qrafikidir, məsələn, Boyl qanunu (təzyiq və həcmlə əlaqəli) ideal qaz) və sabit gərginlikdə elektrik cərəyanını müqavimət funksiyası kimi təyin edən Ohm qanunu.
İLK TARİX
Konik kəsikləri kəşf edənin Platonun tələbəsi və Makedoniyalı İskəndərin müəllimi Menexmus (e.ə. IV əsr) olduğu güman edilir. Meneechmus bir kubun ikiqat artırılması məsələsini həll etmək üçün parabola və bərabərtərəfli hiperboladan istifadə etdi.
4-cü əsrin sonunda Aristey və Evklid tərəfindən yazılmış konus kəsikləri haqqında traktatlar. eramızdan əvvəl, itdi, lakin onlardan əldə edilən materiallar Perqalı Apolloniusun (e.ə. 260-170-ci illər) bu günə qədər gəlib çatmış məşhur Konik bölmələrinə daxil edildi. Apollonius konusun generatrisinin kəsici müstəvisinin perpendikulyar olması tələbindən imtina etdi və onun meyl bucağını dəyişdirərək düz və ya meylli bir dairəvi konusdan bütün konus kəsiklərini əldə etdi. Əyrilərin müasir adlarını da Apolloniusa borcluyuq - ellips, parabola və hiperbola.
Apollonius konstruksiyalarında iki vərəqli dairəvi konusdan istifadə etmişdir (şəkil 1-də olduğu kimi), ona görə də ilk dəfə hiperbolanın iki budaqlı əyri olduğu aydın oldu. Apollonius dövründən bəri konus kəsikləri kəsici müstəvinin konusun generatriksinə meylindən asılı olaraq üç növə bölünür. Ellips (şəkil 1a) kəsici müstəvi konusun bütün generatrislərini onun boşluğundan birinin nöqtələrində kəsdikdə əmələ gəlir; parabola (şəkil 1,b) - kəsici müstəvi konusun toxunan müstəvilərindən birinə paralel olduqda; hiperbola (şəkil 1, c) - kəsici təyyarə konusun hər iki boşluğunu kəsdikdə.
KONİK BÖLÜMLƏRİN İNŞAATI
Konus kəsiklərini müstəvilərin və konusların kəsişmələri kimi öyrənən qədim yunan riyaziyyatçıları onları həm də müstəvidə nöqtələrin trayektoriyası hesab edirdilər. Müəyyən edilmişdir ki, ellipsi nöqtələrin yeri kimi təyin etmək olar, verilmiş iki nöqtəyə qədər olan məsafələrin cəmi sabitdir; parabola - bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeri kimi verilmiş nöqtə və verilmiş düz xətt; hiperbola - nöqtələrin lokusu kimi, verilmiş iki nöqtəyə olan məsafələr fərqi sabitdir.
Müstəvi əyrilər kimi konus kəsiklərinin bu tərifləri də onların uzanmış simdən istifadə etməklə qurulması üsulunu təklif edir.
Ellips.
Verilmiş uzunluqlu ipin ucları F1 və F2 nöqtələrində sabitlənmişdirsə (şəkil 2), o zaman möhkəm dartılmış iplik boyunca sürüşən qələmin nöqtəsi ilə təsvir olunan əyri ellips formasına malikdir. F1 və F2 nöqtələri ellipsin fokusları adlanır və ellipsin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri arasındakı V1V2 və v1v2 seqmentləri böyük və kiçik oxlardır. F1 və F2 nöqtələri üst-üstə düşürsə, ellips dairəyə çevrilir.
düyü. 2 Ellips
Hiperbola.
Hiperbolanı qurarkən, qələmin ucu olan P nöqtəsi, şəkildə göstərildiyi kimi, F1 və F2 nöqtələrində quraşdırılmış dirəklər boyunca sərbəst sürüşən bir sap üzərində sabitlənir. 3, a. Məsafələr elə seçilir ki, PF2 seqmenti PF1 seqmentindən sabit məbləğ F1F2 məsafəsindən daha uzun olsun. Bu halda, ipin bir ucu F1 sancağının altından keçir və ipin hər iki ucu F2 sancağının üstündən keçir. (Qələmin ucu iplik boyunca sürüşməməlidir, ona görə də ipin üzərində kiçik bir ilgək düzəldərək, nöqtəni onun içindən keçirərək sabitlənməlidir.) Hiperbolanın bir budağını (PV1Q) çəkirik, ipin ipin getdiyinə əmin oluruq. hər zaman dartılmış qalır və ipin hər iki ucunu F2 nöqtəsindən aşağı çəkərək və P nöqtəsi F1F2 seqmentinin altında olduqda, ipi hər iki ucundan tutub diqqətlə aşındırın (yəni buraxın). Əvvəllər F1 və F2 sancaqlarının rollarını dəyişdirərək hiperbolanın ikinci qolunu (PўV2Qў) çəkirik.
düyü. 3 hiperbola
Hiperbolanın budaqları budaqlar arasında kəsişən iki düz xəttə yaxınlaşır. Hiperbolanın asimptotları adlanan bu xətlər şəkildə göstərildiyi kimi qurulmuşdur. 3, b. Bu xətlərin bucaq əmsalları ± (v1v2)/(V1V2) bərabərdir, burada v1v2 asimptotlar arasındakı bucağın bisektor seqmentidir, F1F2 seqmentinə perpendikulyardır; v1v2 seqmenti hiperbolanın birləşmə oxu adlanır, V1V2 seqmenti isə onun eninə oxudur. Beləliklə, asimptotlar tərəfləri oxlara paralel dörd v1, v2, V1, V2 nöqtələrindən keçən düzbucaqlının diaqonallarıdır. Bu düzbucaqlı qurmaq üçün v1 və v2 nöqtələrinin yerini təyin etməlisiniz. Eyni məsafədədirlər, bərabərdirlər
O oxlarının kəsişmə nöqtəsindən.Bu düstur konstruksiyanı qəbul edir düz üçbucaq ayaqları Ov1 və V2O və hipotenuz F2O ilə.
Hiperbolanın asimptotları qarşılıqlı perpendikulyardırsa, hiperbola bərabərtərəfli adlanır. Ümumi asimptotlara malik olan, lakin eninə və konyuqa oxları yenidən təşkil edilmiş iki hiperbola qarşılıqlı konyuqa adlanır.
Parabola.
Ellips və hiperbolanın fokusları Apolloniusa məlum idi, lakin parabolanın fokusunu ilk dəfə Pappus (3-cü əsrin 2-ci yarısı) müəyyən etmişdir, o, bu əyrini verilmiş nöqtədən (fokus) bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeri kimi təyin etmişdir. və rejissor adlanan verilmiş düz xətt. Pappusun tərifinə əsaslanaraq, uzanan sapdan istifadə edərək parabolanın qurulması Miletli İsidor (VI əsr) tərəfindən təklif edilmişdir. Hökmdarı elə yerləşdirək ki, onun kənarı LLў direktrisası ilə üst-üstə düşsün (şəkil 4) və ABC üçbucağının AC ayağını bu kənara yapışdıraq. AB uzunluğunda olan ipin bir ucunu üçbucağın B təpəsində, digər ucunu isə F parabolanın fokusunda bağlayaq. İpi qələmin ucu ilə çəkərək, dəyişən P nöqtəsindəki ucunu dirsəklərə sıxırıq. rəsm üçbucağının sərbəst ayağı AB. Üçbucaq hökmdar boyunca hərəkət edərkən, P nöqtəsi F fokuslu və LLў direktrisası olan parabolun qövsünü təsvir edəcəkdir, çünki ipin ümumi uzunluğu AB-ə bərabərdir, ip parçası üçbucağın sərbəst ayağına bitişikdir, və buna görə də PF ipinin qalan hissəsi AB ayağının qalan hissələrinə bərabər olmalıdır, yəni. PA. Parabolanın V-nin oxu ilə kəsişmə nöqtəsi parabolanın təpəsi adlanır, F və V-dən keçən düz xətt parabolanın oxudur. Fokusdan oxa perpendikulyar düz xətt çəkilərsə, bu düz xəttin parabola ilə kəsilmiş seqmentinə fokus parametri deyilir. Ellips və hiperbola üçün fokus parametri eyni şəkildə müəyyən edilir.
BİLETLƏRİN CAVABLARI: №1 (tamamilə deyil), 2 (tamamilə deyil), 3 (tamamilə deyil), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (tamamilə deyil), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,
Uzaq element.
Rəsmlər hazırlayarkən, bəzi hallarda forma, ölçü və ya digər məlumatlar ilə bağlı izahat tələb edən obyektin hər hansı bir hissəsinin əlavə ayrıca təsvirini qurmaq zərurəti yaranır. Bu şəkil adlanır uzaq element. Adətən böyüdülmüş şəkildə həyata keçirilir. Detal bir görünüş və ya bölmə şəklində yerləşdirilə bilər.
Çağırış elementi qurarkən, əsas təsvirin müvafiq yeri qapalı möhkəm nazik xətt, adətən oval və ya dairə ilə qeyd olunur və lider xəttinin rəfində rus əlifbasının baş hərfi ilə təyin olunur. Uzaq element üçün A tipli (5:1) qeyd edilir. Şəkildə. 191 uzaq elementin həyata keçirilməsi nümunəsini göstərir. O, obyektin təsvirində müvafiq yerə mümkün qədər yaxın yerləşdirilir.
1. Düzbucaqlı (ortoqonal) proyeksiya üsulu. Düzbucaqlı proyeksiyanın əsas invariant xassələri. Epur Monge.
Ortoqonal (düzbucaqlı) proyeksiya, bütün proyeksiya edən şüalar proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olduqda, paralel proyeksiyanın xüsusi halıdır. Ortoqonal proyeksiyalar paralel proyeksiyaların bütün xüsusiyyətlərinə malikdir, lakin düzbucaqlı proyeksiya ilə seqmentin proyeksiyası, əgər proyeksiya müstəvisinə paralel deyilsə, həmişə seqmentin özündən kiçik olur (şək. 58). Bu, fəzadakı seqmentin özünün düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası, proyeksiyasının isə ayaq olması ilə izah olunur: А "В" = ABcos a.
Düzbucaqlı proyeksiya ilə düz bucaq onun hər iki tərəfi proyeksiya müstəvisinə paralel olduqda və onun yalnız bir tərəfi proyeksiya müstəvisinə paralel olduqda, ikinci tərəfi isə bu proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olmayanda tam ölçüdə proyeksiya edilir.
Düz xəttin və təyyarənin nisbi mövqeyi.
Kosmosda düz xətt və müstəvi ola bilər:
- a) ümumi cəhətləri yoxdur;
- b) tam bir ümumi nöqtəyə malikdir;
- c) ən azı iki ümumi nöqtəyə malik olmaq.
Şəkildə. 30 bütün bu imkanları təsvir edir.
a) b xətti müstəviyə paralel olduqda: b || .
b) halda l düz xətti müstəvini bir O nöqtəsində kəsir; l = O.
c) a düz xətti müstəviyə aiddir: a və ya a.
Teorem.Əgər b xətti müstəviyə aid ən azı bir a xəttinə paraleldirsə, onda xətt müstəviyə paraleldir.
Tutaq ki, m xətti müstəvini Q nöqtəsində kəsir. Əgər m müstəvi Q nöqtəsindən keçən müstəvinin hər bir xəttinə perpendikulyardırsa, m xəttinə müstəviyə perpendikulyar deyilir.
Tramvay relsləri düz xətlərin yer müstəvisinə aid olduğunu göstərir. Elektrik xətləri yerin müstəvisinə paraleldir və ağac gövdələri yerin səthini kəsən düz xətlərə misaldır, bəziləri yer müstəvisinə perpendikulyar, digərləri isə perpendikulyar deyil (oblik).
Məkan
İşarə:əgər verilmiş müstəvidə uzanmayan xətt bu müstəvidə yerləşən hansısa xəttə paraleldirsə, o, verilmiş müstəviyə paraleldir.
1. əgər müstəvi digər müstəviyə paralel verilmiş xəttdən keçirsə və bu müstəvi ilə kəsişirsə, müstəvilərin kəsişmə xətti verilmiş xəttə paraleldir.
2. əgər 2 xətdən biri verilmiş birinə paraleldirsə, o zaman digər xətt də ya verilmiş müstəviyə paraleldir, ya da bu müstəvidə yerləşir.
TƏYYARƏRLƏRİN QARŞILIQ MÖVQEYİ. Təyyarələrin Paralelliyi
Məkan
1. təyyarələrin ən azı 1 ümumi nöqtəsi var, yəni. düz xəttlə kəsişir
2. təyyarələr kəsişmir, yəni. 1 ümumi nöqtəsi yoxdur, bu halda onlar paralel adlanır.
işarəsi
1 müstəvinin kəsişən 2 düz xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin 2 düz xəttinə paraleldirsə, bu müstəvilər paraleldir.
müqəddəs
1. 2 paralel müstəvi 3 ilə kəsişirsə, onların kəsişmə xətləri paraleldir
2. paralel müstəvilər arasında yerləşən paralel xətlərin seqmentləri bərabərdir.
DÜZ VƏ MƏYSƏNİN PERPENDİKULYARLIĞI. DÜZ VƏ MƏYSƏNİN PERPENDİKULYARLIĞININ ƏLAMƏSİ.
Birbaşa adlar perpendikulyar, altında kəsişirlərsə<90.
Lemma: 2 paralel xətdən 1-i 3-cü xəttə perpendikulyardırsa, digər xətt bu xəttə perpendikulyardır.
Düz xəttin müstəviyə perpendikulyar olduğu deyilir,əgər bu müstəvidə hər hansı bir xəttə perpendikulyardırsa.
Teorem:Əgər 2 paralel xəttdən 1-i müstəviyə perpendikulyardırsa, digər xətt bu müstəviyə perpendikulyardır.
Teorem:Əgər 2 xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, onlar paraleldirlər.
İmza
Əgər bir xətt müstəvidə yerləşən kəsişən 2 xəttə perpendikulyardırsa, o zaman bu müstəviyə perpendikulyardır.
PERPENDİKULYAR VƏ OBLİK
Təyyarəyə aid olmayan bir təyyarə və s. Onların t.A biz müstəviyə perpendikulyar bir düz xətt çəkəcəyik. Düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi H olaraq təyin edilmişdir. AN seqmenti A nöqtəsindən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyardır. T.N – perpendikulyarın əsası. H ilə üst-üstə düşməyən t.M müstəvisini götürək. AM seqmenti meyllidir, t.A-dan müstəviyə çəkilir. M - meylli əsas. MH seqmenti maili müstəvinin təyyarəyə proyeksiyasıdır. Perpendikulyar AN - t.A-dan təyyarəyə qədər olan məsafə. İstənilən məsafə perpendikulyarın bir hissəsidir.
3 perpendikulyar teoremi:
Bu müstəviyə proyeksiyasına perpendikulyar olan maili müstəvinin əsasından müstəvidə çəkilmiş düz xətt də meylin özünə perpendikulyardır.
DÜZ VƏ MƏYSAR ARASINDAKİ BUÇAQ
Düz xətt arasındakı bucaq və Müstəvi bu xətt ilə onun müstəvidəki proyeksiyası arasındakı bucaqdır.
DİHDRAL BUÇAQ. TƏYYARƏRLƏR ARASINDAKİ BUÇ
Dihedral bucaq eyni müstəviyə aid olmayan ümumi sərhədi a olan düz xəttin və 2 yarımmüstəvidən əmələ gələn fiqur deyilir.
Sərhəd a - dihedral bucağın kənarı. Yarım təyyarələr - dihedral bucaq üzləri. Dihedral bucağı ölçmək üçün. Onun içərisində xətti bucaq qurmaq lazımdır. Dihedral bucağın kənarında hansısa nöqtəni qeyd edək və bu nöqtədən hər üzdə kənara perpendikulyar bir şüa çəkək. Bu şüaların əmələ gətirdiyi bucaq deyilir xətti dihedral bucaq. Dihedral bucaq daxilində onların sonsuz sayda ola bilər. Onların hamısı eyni ölçüyə malikdir.
İKİ MƏYSƏNİN PERPENDİKULYARLIĞI
İki kəsişən təyyarə deyilir perpendikulyar, aralarındakı bucaq 90 olarsa.
İşarə:
Əgər 2 müstəvidən 1-i digər müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, belə müstəvilər perpendikulyardır.
POLYHEdra
Çoxüzlü– çoxbucaqlılardan ibarət və müəyyən həndəsi cismi məhdudlaşdıran səth. Kənarları– çoxüzlülərin düzəldildiyi çoxbucaqlılar. Qabırğalar- üz tərəfləri. Zirvələr- qabırğaların ucları. Çoxüzlü diaqonalı 1 üzə aid olmayan 2 təpəni birləşdirən seqment adlanır. Hər iki tərəfində çoxüzlü nöqtələr olan müstəviyə deyilir . kəsici təyyarə. Polihedronun ümumi hissəsi və sekant sahəsi deyilir polihedronun en kəsiyi. Polihedra qabarıq və ya konkav ola bilər. Çoxüzlü adlanır qabarıq, əgər onun hər bir üzünün (tetraedr, paralelepiped, oktaedr) müstəvisinin bir tərəfində yerləşirsə. Qabarıq polihedronda hər təpəsindəki bütün müstəvi bucaqlarının cəmi 360-dan azdır.
PRİZMA
Paralel müstəvilərdə və n - paraleloqramlarda yerləşən 2 bərabər çoxbucaqlıdan ibarət çoxüzlüyə deyilir prizma.
A1A2..A(p) və B1B2..B(p) çoxbucaqlıları – prizma bazası. А1А2В2В1…- paraleloqramlar, A(p)A1B1B(p) – yan kənarları. A1B1, A2B2..A(p)B(p) seqmentləri – yan qabırğalar. Prizmanın altında yatan çoxbucaqlıdan asılı olaraq prizma p-kömür adlanır. Bir əsasın hər hansı bir nöqtəsindən digər əsasın müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar deyilir hündürlük. Prizmanın yan kənarları bazaya perpendikulyardırsa, o zaman prizma - düz və perpendikulyar deyilsə - meyllidir. Düz prizmanın hündürlüyü onun yan kənarının uzunluğuna bərabərdir. Birbaşa prizma düzgündür, əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa, bütün yan üzlər bərabər düzbucaqlıdır.
PARALEPİPED
ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (paralel müstəvilərin təbiətinə görə)
Paralelepiped 6 paraleloqramdan ibarətdir. Paraleloqramlar deyilir kənarları. ABCD və А1В1С1Д1 əsaslardır, qalan üzlər deyilir yanal. Nöqtələr A B C D A1 B1 C1 D1 – üstlər. Təpələri birləşdirən xətt seqmentləri - qabırğalar AA1, BB1, SS1, DD1 – yan qabırğalar.
Paralelepipedin diaqonalı 1 üzə aid olmayan 2 təpəni birləşdirən seqment adlanır.
müqəddəslər
1. Paralelepipedin əks üzləri paralel və bərabərdir. 2. Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtə ilə ikiyə bölünür.
PİRAMİDA
Bu çoxbucaqlının müstəvisində yerləşməyən P nöqtəsi olan A1A2..A(n) çoxbucaqlısını nəzərdən keçirək. P nöqtəsini çoxbucaqlının təpələri ilə birləşdirək və n üçbucaq alaq: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.
Çoxüzlü n-bucaqlı və n-üçbucaqdan ibarətdir piramida adlanır. Poliqon - təməl.Üçbucaqlar - yan kənarları. R - piramidanın üstü. Seqmentlər A1P, A2P..A(p)P – yan qabırğalar.Əsasında yerləşən çoxbucaqlıdan asılı olaraq piramida deyilir p-kömür. Piramida hündürlüyü yuxarıdan əsasın müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar adlanır. Piramida düzgün adlanır, əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdan ibarətdirsə və hündürlüyü təməlin mərkəzinə düşürsə. Apotem– müntəzəm piramidanın yan üzünün hündürlüyü.
KESİLMİŞ PİRAMİDA
PA1A2A3A(n) piramidasını nəzərdən keçirək. Baza paralel kəsici müstəvi çəkək. Bu müstəvi bizim piramidamızı 2 hissəyə bölür: yuxarısı buna bənzər bir piramida, aşağısı isə kəsilmiş piramidadır. Yan səthi trapezoiddən ibarətdir. Yanal qabırğalar əsasların zirvələrini birləşdirir.
Teorem: Müntəzəm kəsilmiş piramidanın yanal səthinin sahəsi əsasların və apotemlərin perimetrlərinin cəminin yarısının məhsuluna bərabərdir.
DAİMİ POLİHEDLƏR
Qabarıq çoxüzlüyə müntəzəm deyilir, əgər onun bütün üzləri bərabər müntəzəm çoxbucaqlıdırsa və hər bir təpəsində eyni sayda kənarlar birləşirsə. Müntəzəm çoxüzlüyə bir nümunə kubdur. Onun bütün üzləri bərabər kvadratlardır və hər təpəsində 3 kənar birləşir.
Adi tetraedr 4 bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarətdir. Hər təpə 3 üçbucağın təpəsidir. Hər təpədə müstəvi bucaqlarının cəmi 180-dir.
Adi oktaedr 8 bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarətdir. Hər bir təpə 4 üçbucağın təpəsidir. Hər təpədə müstəvi bucaqlarının cəmi = 240
Adi ikosahedr 20 bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarətdir. Hər təpə təpəsi 5 üçbucağından ibarətdir. Hər təpədə müstəvi bucaqlarının cəmi 300-dür.
kub 6 kvadratdan ibarətdir. Hər təpə 3 kvadratın təpəsidir. Hər təpədə müstəvi bucaqlarının cəmi = 270.
Adi dodekaedr 12 düzbucaqlı beşbucaqdan ibarətdir. Hər təpə 3 düzbucaqlının təpəsidir. Hər təpədə müstəvi bucaqlarının cəmi = 324.
Müntəzəm çoxüzlülərin başqa növləri yoxdur.
SİLİNDİR
Silindrik səthlə və sərhədləri L və L1 olan iki dairə ilə məhdudlaşan cismə deyilir silindr. L və L1 dairələri çağırılır silindrin əsasları. Seqmentlər MM1, AA1 – formalaşdıran. Silindirin silindrik və ya yanal səthinin formalaşması. O və O1 əsaslarının mərkəzlərini birləşdirən düz xətt silindrin oxu. Generator uzunluğu - silindr hündürlüyü. Baza radiusu (r) – silindrin radiusu.
Silindr hissələri
Ekseneləsasın oxundan və diametrindən keçir
Oxa perpendikulyar
Silindr fırlanma cismidir. Düzbucaqlının tərəflərindən birinin ətrafında fırlanması ilə əldə edilir.
KONUS
Bir dairəni (o;r) və bu dairənin müstəvisinə perpendikulyar olan OP düz xəttini nəzərdən keçirək. L dairəsinin hər bir nöqtəsi və s. vasitəsilə biz seqmentlər çəkəcəyik, onların sonsuz çoxu var. Onlar konusvari səth əmələ gətirir və deyilir formalaşdıran.
R- təpə, OR - konusvari səthin oxu.
Konusvari səth və L sərhədi olan bir dairə ilə məhdudlaşan cisim konus adlanır. Dairə - konusun əsası. Konusvari səthin yuxarı hissəsi - konusun yuxarı hissəsi. Konusvari bir səth yaratmaq - konus əmələ gətirir. Konusvari səth - konusun yan səthi. RO - konus oxu. P-dən O-ya qədər olan məsafə - konus hündürlüyü. Konus fırlanma cismidir. Düzbucaqlı üçbucağın bir ayağın ətrafında fırlanması ilə əldə edilir.
Konus bölməsi
Eksenel bölmə
Oxa perpendikulyar olan bölmə
SHER VƏ TOP
Kürə verilən nöqtədən müəyyən məsafədə yerləşən fəzanın bütün nöqtələrindən ibarət səth adlanır. Bu məqamdır kürənin mərkəzi. Bu məsafədir sferanın radiusu.
Kürənin 2 nöqtəsini birləşdirən və onun mərkəzindən keçən seqment sferanın diametri adlanır.
Bir kürə ilə məhdudlaşan cisim deyilir top. Kürənin mərkəzi, radiusu və diametri deyilir topun mərkəzi, radiusu və diametri.
Kürə və top fırlanma cisimləridir. Kürə diametri ətrafında yarımdairəni fırlatmaqla əldə edilir və top diametri ətrafında yarımdairəni fırlatmaqla əldə edilir.
düzbucaqlı koordinat sistemində mərkəzi C(x(0), y(0), Z(0) olan radiusu R olan sferanın tənliyi (x-x(0))(2)+(y-y(0)) formasına malikdir. )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)
Birbaşa bilər təyyarəyə aiddir, onun ol paralel və ya xaç təyyarə. Xəttə və müstəviyə aid iki nöqtə eyni yüksəkliklərə malikdirsə, xətt müstəviyə aiddir. Deyilənlərdən nəticə çıxır: nöqtə bu müstəvidə uzanan xəttə aiddirsə, müstəviyə aiddir.
Xət bu müstəvidə uzanan xəttə paraleldirsə, müstəviyə paraleldir.
Bir müstəvi ilə kəsişən düz xətt. Düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün lazımdır (şək. 3.28):
1) verilmiş m düz xətti ilə köməkçi müstəvi çəkin T;
2) xətt qurmaq n verilmiş müstəvinin Σ köməkçi müstəvisi ilə kəsişməsi T;
3) kəsişmə nöqtəsini qeyd edin R, düz xətt verilmişdir m kəsişmə xətti ilə n.
Məsələni nəzərdən keçirək (şək. 3.29) Düz xətt m planda nöqtə ilə müəyyən edilmişdir. A 6 və 35° meyl açısı. Bu xətt vasitəsilə köməkçi şaquli müstəvi çəkilir T, xətti boyunca Σ müstəvisini kəsən n (B 2 C 3). Beləliklə, bir düz xəttin və müstəvinin nisbi mövqeyindən eyni şaquli müstəvidə yerləşən iki düz xəttin nisbi mövqeyinə keçir. Bu problem bu düz xətlərin profillərinin qurulması ilə həll edilir. Xətlərin kəsişməsi m Və n profildə istədiyiniz nöqtəni təyin edir R. Nöqtə hündürlüyü Rşaquli miqyas şkalası ilə müəyyən edilir.
Müstəviyə perpendikulyar düz xətt. Düz xətt bu müstəvinin hər hansı iki kəsişən xəttinə perpendikulyardırsa, müstəviyə perpendikulyardır. Şəkil 3.30 düz xətt göstərir m, müstəvisinə perpendikulyar olan Σ və onu A nöqtəsində kəsən. Planda xəttin proyeksiyası m və üfüqi müstəvilər qarşılıqlı perpendikulyardır (bir tərəfi proyeksiya müstəvisinə paralel olan düz bucaq təhrif edilmədən proyeksiya edilir. Hər iki xətt eyni şaquli müstəvidə yerləşir, ona görə də belə xətlərin mövqeləri böyüklük baxımından bir-birinə tərsdir. : l m = l/l u. Amma l uΣ = lΣ, onda l m = l/lΣ, yəni m düz xəttinin mövqeyi təyyarənin mövqeyi ilə tərs mütənasibdir. Düz xəttin və təyyarənin düşmələri müxtəlif istiqamətlərə yönəldilir.
3.4. Rəqəmsal işarələri olan proqnozlar. Səthlər
3.4.1.Polyhedra və əyri səthlər. Topoqrafik səth
Təbiətdə bir çox maddələr polihedra şəklində kristal quruluşa malikdir. Çoxbucaqlı eyni müstəvidə yerləşməyən düz çoxbucaqlılar toplusudur, burada onlardan birinin hər tərəfi də digərinin tərəfidir. Çoxüzlü təsvir edilərkən, onun təpələrinin proyeksiyalarını göstərmək kifayətdir, onları müəyyən bir ardıcıllıqla düz xətlərlə - kənarların proyeksiyaları ilə birləşdirin. Bu halda, rəsmdə görünən və görünməyən kənarları göstərmək lazımdır. Şəkildə. Şəkil 3.31-də prizma və piramida, həmçinin bu səthlərə aid nöqtələrin işarələrinin tapılması göstərilir.
Qabarıq çoxbucaqlıların xüsusi qrupu bütün üzlərinin bərabər müntəzəm çoxbucaqlılar və bütün çoxbucaqlı bucaqlarının bərabər olduğu müntəzəm çoxbucaqlılar qrupudur. Normal çoxbucaqlıların beş növü var.
tetraedr- bərabərtərəfli üçbucaqlarla hüdudlanan düzgün dördbucaqlının 4 təpəsi və 6 kənarı var (şək. 3.32 a).
altıüzlü- müntəzəm altıbucaqlı (kub) - 8 təpə, 12 kənar (şəkil 3.32b).
oktaedr- səkkiz bərabərtərəfli üçbucaqla məhdudlaşan müntəzəm oktaedr - 6 təpə, 12 kənar (şəkil 3.32c).
Dodekaedr- hər bir təpənin yaxınlığında üç ilə birləşdirilmiş on iki müntəzəm beşbucaqlı ilə məhdudlaşan müntəzəm dodekaedr.
Onun 20 təpəsi və 30 kənarı var (şək. 3.32 d).
İkosaedr- iyirmi bərabərtərəfli üçbucaqla hüdudlanmış, hər təpənin yaxınlığında beşlə birləşdirilmiş müntəzəm iyirmi tərəfli üçbucaq 12 təpə və 30 kənar (şək. 3.32 d).
Çoxhərlinin üzündə uzanan nöqtəni qurarkən bu üzə aid olan düz xətti çəkmək və onun proyeksiyasında nöqtənin proyeksiyasını qeyd etmək lazımdır.
Konusvari səthlər düzxətli generatrisin əyri bələdçi boyunca hərəkət etdirilməsi ilə əmələ gəlir ki, bütün mövqelərdə generatrix sabit bir nöqtədən - səthin təpəsindən keçsin. Planda ümumi konusvari səthlər üfüqi xətt və təpə ilə təmsil olunur. Şəkildə. Şəkil 3.33 konusvari səthin səthində nöqtə işarəsinin yerini göstərir.
Düz dairəvi konus bərabər intervallarla çəkilmiş bir sıra konsentrik dairələrlə təmsil olunur (şəkil 3.34a). Dairəvi əsaslı elliptik konus - bir sıra ekssentrik dairələr (şəkil 3.34 b)
Sferik səthlər. Sferik səth inqilab səthi kimi təsnif edilir. Diametri ətrafında bir dairənin fırlanması ilə əmələ gəlir. Planda mərkəz tərəfindən sferik səth müəyyən edilmişdir TO və onun üfüqi xətlərindən birinin proyeksiyası (kürənin ekvatoru) (şək. 3.35).
Topoqrafik səth. Bir topoqrafik səth həndəsi nizamsız səth kimi təsnif edilir, çünki onun həndəsi əmələ gəlmə qanunu yoxdur. Səthi xarakterizə etmək üçün onun xarakterik nöqtələrinin proyeksiya müstəvisinə nisbətən mövqeyini müəyyənləşdirin. Şəkildə. 3.3 b a topoqrafik səthin ayrı-ayrı nöqtələrinin proyeksiyalarını göstərən kəsik nümunəsini verir. Belə bir plan təsvir olunan səthin forması haqqında fikir əldə etməyə imkan versə də, o qədər də aydın deyil. Rəsmə daha çox aydınlıq vermək və bununla da oxumağı asanlaşdırmaq üçün eyni işarələri olan nöqtələrin proyeksiyaları üfüqi (izoline) adlanan hamar əyri xətlərlə birləşdirilir (şək. 3.36 b).
Topoqrafik səthin üfüqi xətləri bəzən bir-birindən eyni məsafədə yerləşən üfüqi müstəvilərlə bu səthin kəsişmə xətləri kimi müəyyən edilir (şək. 3.37). İki bitişik üfüqi xətt arasındakı hündürlük fərqinə bölmə hündürlüyü deyilir.
İki bitişik üfüqi xətt arasındakı hündürlük fərqi nə qədər kiçik olarsa, topoqrafik səthin təsviri bir o qədər dəqiq olar. Planlarda kontur xətləri rəsm daxilində və ya onun xaricində bağlanır. Daha sıldırım yamaclarda kontur xətlərinin səth proyeksiyaları bir-birinə yaxınlaşır, düz yamaclarda onların proyeksiyaları ayrılır.
Planda iki bitişik üfüqi xəttin proqnozları arasındakı ən qısa məsafəyə lay adlanır. Şəkildə. 3.38 keçid nöqtəsi A topoqrafik səthdə bir neçə düz xətt seqmentləri çəkilmişdir VƏ SƏN Və AD. Onların hamısının müxtəlif düşmə bucaqları var. Seqment ən böyük düşmə bucağına malikdir AC, yeri minimal əhəmiyyət kəsb edir. Buna görə də, müəyyən bir yerdə səthin düşmə xəttinin proyeksiyası olacaqdır.
Şəkildə. 3.39 verilmiş nöqtədən keçmə xəttinin proyeksiyasının qurulması nümunəsini göstərir A. Nöqtədən A 100, sanki mərkəzdən, nöqtədə ən yaxın üfüqi xəttə toxunan bir dairənin qövsünü çəkin 90-da. Nöqtə 90 yaşında,üfüqi h 90, payız xəttinə aid olacaq. Nöqtədən 90-da nöqtədə növbəti üfüqi xəttə qövs tangensi çəkin 80-dən, s. cizgidən aydın olur ki, topoqrafik səthin düşmə xətti qırıq xəttdir, onun hər bir həlqəsi horizontala perpendikulyardır, daha aşağı hündürlüyə malik olan halqanın aşağı ucundan keçir.
3.4.2.Konik səthin müstəvi ilə kəsişməsi
Əgər kəsici müstəvi konusvari səthin təpəsindən keçirsə, o zaman onu səthi əmələ gətirən düz xətlər boyunca kəsir. Bütün digər hallarda bölmə xətti düz əyri olacaq: dairə, ellips və s. Bir müstəvi ilə kəsişən konusvari səthin işinə baxaq.
Misal 1. Dairəvi konusun kəsişmə xəttinin proyeksiyasını qurun Φ( h o , S 5) konusvari səthin generatrisinə paralel Ω müstəvisi ilə.
Verilmiş müstəvi yeri olan konusvari səth parabola boyunca kəsişir. Generatoru interpolyasiya edərək t dairəvi konusun üfüqi xətlərini - mərkəzi olan konsentrik dairələr qururuq S 5 . Sonra müstəvi və konusun eyni horizontallarının kəsişmə nöqtələrini təyin edirik (şək. 3.40).
3.4.3. Topoqrafik səthin müstəvi və düz xətt ilə kəsişməsi
Geoloji problemlərin həllində topoqrafik səthin müstəvi ilə kəsişməsi halına ən çox rast gəlinir. Şəkildə. 3.41 topoqrafik səthin Σ müstəvisi ilə kəsişməsinin qurulması nümunəsini verir. Axtardığım döngə m eyni üfüqi müstəvilərin kəsişmə nöqtələri və topoqrafik səthlə müəyyən edilir.
Şəkildə. 3.42 şaquli müstəvisi Σ olan topoqrafik səthin həqiqi görünüşünün qurulması nümunəsini verir. Lazım olan m xətti nöqtələrlə müəyyən edilir A, B, C... topoqrafik səthin horizontallarının kəsici müstəvi ilə kəsişməsi Σ. Planda əyrinin proyeksiyası təyyarənin proyeksiyası ilə üst-üstə düşən düz xəttə çevrilir: m≡ Σ. m əyrisinin profili onun nöqtələrinin planda proyeksiyalarının yerləşməsi, habelə onların hündürlükləri nəzərə alınmaqla qurulur.
3.4.4. Bərabər yamaclı səth
Bərabər yamaclı bir səth, bütün düz xətləri üfüqi müstəvi ilə sabit bir bucaq yaradan bir idarə olunan səthdir. Belə bir səth, planın müstəvisinə perpendikulyar bir oxu olan düz dairəvi konusun hərəkəti ilə əldə edilə bilər ki, onun yuxarı hissəsi müəyyən bir bələdçi boyunca sürüşür və ox istənilən vəziyyətdə şaquli qalır.
Şəkildə. Şəkil 3.43-də bələdçisi məkan əyrisi olan bərabər yamaclı (i=1/2) səthi göstərilir. A B C D.
Təyyarənin buraxılışı. Nümunələr olaraq, yolun yamac təyyarələrini nəzərdən keçirin.
Nümunə 1. Yolun uzununa mailliyi i=0, bəndin mailliyi i n =1:1,5, (şək. 3.44a). Hər 1 m-dən bir üfüqi xətlər çəkmək tələb olunur. Həll yolu aşağıdakılardan ibarətdir. Təyyarənin yamacının şkalasını yolun kənarına perpendikulyar çəkirik, xətti şkaladan götürülmüş 1,5 m intervala bərabər məsafədə nöqtələri qeyd edirik və 49, 48 və 47 işarələrini müəyyən edirik. Alınan nöqtələr vasitəsilə biz yolun kənarına paralel olaraq yamacın konturlarını çəkin.
Nümunə 2. Yolun uzununa mailliyi i≠0, bəndin mailliyi i n =1:1,5, (şək. 3.44b). Yolun müstəvisi dərəcəlidir. Yolun mailliyi aşağıdakı kimi qiymətləndirilir. 50.00 (və ya başqa bir nöqtə) təpəsi olan nöqtədə konusun təpəsini yerləşdiririk, bənd yamacının intervalına bərabər radiuslu bir dairəni təsvir edirik (bizim nümunəmizdə l= 1,5 m). Konusun bu üfüqi xəttinin hündürlüyü təpənin yüksəkliyindən bir az olacaq, yəni. 49 m. Bir sıra dairələr çəkirik, 48, 47 üfüqi işarələri alırıq, onlara toxunan kənar nöqtələrdən 49, 48, 47 işarələri ilə bənd yamacının üfüqi hissələrini çəkirik.
Səthlərin bitirilməsi.
Nümunə 3. Əgər yolun uzununa yamacı i = 0 və bəndin mailliyi i n = 1: 1,5 olarsa, yamacların kontur xətləri aralığı bərabər olan yamac şkalasının nöqtələri vasitəsilə çəkilir. bənd yamaclarının intervalına (şək. 3.45a). Ümumi norma (mail şkalası) istiqamətində bitişik üfüqi xətlərin iki proyeksiyası arasındakı məsafə hər yerdə eynidir.
Nümunə 4. Əgər yolun uzununa mailliyi i≠0, bəndin mailliyi isə i n =1:1,5, (şək. 3.45b) olarsa, kontur xətləri yamacdan başqa, eyni şəkildə qurulur. konturlar düz xətlərlə deyil, əyrilərlə çəkilir.
3.4.5. Qazıntının həddi xəttinin müəyyən edilməsi
Torpaqların əksəriyyəti şaquli divarları saxlaya bilmədiyi üçün yamaclar (süni strukturlar) tikilməlidir. Yamacın verdiyi yamac torpaqdan asılıdır.
Yer səthinin bir hissəsinə müəyyən bir yamaclı bir təyyarə görünüşü vermək üçün qazıntı və qazıntı işlərinin sərhəd xəttini bilmək lazımdır. Planlaşdırılan ərazini məhdudlaşdıran bu xətt, verilmiş topoqrafik səthlə bəndlərin və qazıntıların yamaclarının kəsişmə xətləri ilə təmsil olunur.
Hər bir səth (düz olanlar da daxil olmaqla) konturlardan istifadə edilərək təsvir edildiyi üçün səthlərin kəsişmə xətti eyni işarələri olan konturların kəsişmə nöqtələrinin dəsti kimi qurulur. Nümunələrə baxaq.
Misal 1. Şek. 3.46, bir müstəvidə dayanan, kəsilmiş dördbucaqlı piramida şəklində bir torpaq quruluşunu göstərir N. Üst baza A B C D piramidanın işarəsi var 4m və yan ölçülər 2×2,5 m. Yan üzlər (bəndin yamacları) 2:1 və 1:1 yamacına malikdir, istiqaməti oxlarla göstərilir.
Quruluşun yamaclarının təyyarə ilə kəsişmə xəttini qurmaq lazımdır N və öz aralarında, həmçinin simmetriya oxu boyunca uzununa profil qururlar.
Əvvəlcə yamacların, intervalların və çöküntülərin miqyasının və verilmiş yamacların diaqramı qurulur. Sahənin hər tərəfinə perpendikulyar olaraq, yamacların şkalaları müəyyən edilmiş fasilələrlə çəkilir, bundan sonra bitişik üzlərin eyni işarələri olan kontur xətlərinin proyeksiyaları yamacların yan kənarlarının proyeksiyaları olan yamacların kəsişmə xətləridir. bu piramida.
Piramidanın aşağı bazası sıfır üfüqi yamaclarla üst-üstə düşür. Əgər bu torpaq konstruksiya şaquli müstəvi ilə kəsişirsə Q, kəsişmədə qırıq bir xətt alacaqsınız - strukturun uzununa profili.
Misal 2. Çuxurun yamaclarının düz bir yamac ilə və bir-biri ilə kəsişmə xəttini qurun. Aşağı ( A B C D) çuxur hündürlüyü 10 m, ölçüləri 3x4 m olan düzbucaqlı sahədir. Sahənin oxu cənub-şimal xətti ilə 5° bucaq yaradır. Qazıntıların yamacları 2:1 nisbətində eyni yamaclara malikdir (şək. 3.47).
Sıfır işlərin xətti sahə planına uyğun olaraq qurulur. Baxılan səthlərin üfüqi xətlərinin eyniadlı proyeksiyalarının kəsişmə nöqtələrində qurulur. Yamacların konturlarının və topoqrafik səthin eyni işarələrlə kəsişmə nöqtələrində, verilmiş çuxurun yan kənarlarının proyeksiyaları olan yamacların kəsişmə xətti tapılır.
Bu zaman qazıntıların yan yamacları çuxurun dibinə bitişik olur. Xətt a B C D– istədiyiniz kəsişmə xətti. Aa, Bb, Cs, Dd– çuxurun kənarları, yamacların bir-biri ilə kəsişmə xətləri.
4. Özünə nəzarət üçün suallar və “Düzbucaqlı proyeksiyalar” mövzusunda müstəqil iş üçün tapşırıqlar
Nöqtə
4.1.1. Proyeksiya metodunun mahiyyəti.
4.1.2. Nöqtə proyeksiyası nədir?
4.1.3. Proyeksiya müstəviləri nə adlanır və təyin olunur?
4.1.4. Rəsmdə proyeksiya birləşmə xətləri nədir və onlar proyeksiya oxlarına münasibətdə çertyojda necə yerləşir?
4.1.5. Nöqtənin üçüncü (profil) proyeksiyasını necə qurmaq olar?
4.1.6. Üç şəkilli rəsmdə A, B, C nöqtələrinin üç proyeksiyasını qurun, onların koordinatlarını yazın və cədvəli doldurun.
4.1.7. Çatışmayan proyeksiya oxlarını qurun, x A =25, y A =20. A nöqtəsinin profil proyeksiyasını qurun.
4.1.8. Nöqtələrin koordinatlarına görə üç proyeksiyasını qurun: A(25,20,15), B(20,25,0) və C(35,0,10). Proyeksiyaların müstəvilərinə və oxlarına münasibətdə nöqtələrin mövqeyini göstərin. Hansı nöqtə P3 müstəvisinə daha yaxındır?
4.1.9. A və B maddi nöqtələri eyni vaxtda düşməyə başlayır. A nöqtəsi yerə toxunduqda B nöqtəsi hansı vəziyyətdə olacaq? Nöqtələrin görünmə qabiliyyətini müəyyənləşdirin. Nöqtələri yeni vəziyyətdə tərtib edin.
4.1.10. A nöqtəsinin üç proyeksiyasını qurun, əgər nöqtə P 3 müstəvisində yerləşirsə və ondan P 1 müstəvisinə qədər olan məsafə 20 mm, P 2 müstəvisinə qədər - 30 mm-dir. Nöqtənin koordinatlarını yazın.
Düz
4.2.1. Rəsmdə düz xətti necə təyin etmək olar?
4.2.2. Hansı xətt ümumi vəziyyətdə olan xətt adlanır?
4.2.3. Düz xətt proyeksiya müstəvilərinə nisbətən hansı mövqeyi tuta bilər?
4.2.4. Düz xəttin proyeksiyası hansı halda nöqtəyə çevrilir?
4.2.5. Mürəkkəb düz səviyyəli rəsm üçün xarakterik olan nədir?
4.2.6. Bu xətlərin nisbi mövqeyini müəyyənləşdirin.
a…b a…b a…b
4.2.7. Müstəvilərə paralel uzunluğu 20 mm olan AB düz xətti seqmentinin proyeksiyalarını qurun: a) P 2; b) P 1; c) Öküz oxu. Seqmentin proyeksiya müstəvilərinə meyl bucaqlarını göstərin.
4.2.8. AB seqmentinin uclarının koordinatlarından istifadə edərək proyeksiyalarını qurun: A(30,10,10), B(10,15,30). Seqmenti AC:CB = 1:2 nisbətində bölən C nöqtəsinin proyeksiyalarını qurun.
4.2.9. Bu polihedronun kənarlarının sayını və onların proyeksiya müstəvilərinə nisbətən mövqeyini müəyyənləşdirin və qeyd edin.
4.2.10. A nöqtəsi vasitəsilə m düz xəttini kəsən üfüqi və cəbhə xətti çəkin.
4.2.11. b xətti ilə A nöqtəsi arasındakı məsafəni təyin edin
4.2.12. A nöqtəsindən keçən və a) P 2 müstəvisinə perpendikulyar olan AB seqmentinin uzunluğu 20 mm olan proyeksiyalarını qurun; b) P 1; c) S 3.
Stereometriya
Düz xətlərin və müstəvilərin qarşılıqlı düzülüşü
Kosmosda
Xətlərin və müstəvilərin paralelliyi
Kosmosda iki xətt deyilir paralel , əgər onlar eyni müstəvidə yatırlarsa və kəsişmirlərsə.
Düz xətt və müstəvi adlanır paralel , kəsişməsələr.
İki təyyarə çağırılır paralel , kəsişməsələr.
Eyni müstəvidə kəsişməyən və yatmayan xətlərə deyilir çarpazlaşma .
Xəttlə müstəvi arasında paralellik əlaməti. Əgər müstəviyə aid olmayan xətt bu müstəvidə hansısa xəttə paraleldirsə, o, müstəvinin özünə paraleldir.
Paralel təyyarələrin işarəsi. Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir.
Keçid xətlərinin işarəsi. Əgər iki xəttdən biri müstəvidə yerləşirsə, digəri isə bu müstəvini birinci xəttə aid olmayan nöqtədə kəsirsə, bu xətlər kəsişir.
Paralel xətlər və paralel müstəvilər haqqında teoremlər.
1. Üçüncü xəttə paralel iki xətt paraleldir.
2. Əgər iki paralel xəttdən biri müstəvi ilə kəsişirsə, digər xətt də bu müstəvi ilə kəsişir.
3. Verilmiş xəttdən kənar nöqtə vasitəsilə verilənə paralel və yalnız bir xətt çəkə bilərsiniz.
4. Əgər bir xətt kəsişən iki müstəvidən hər birinə paraleldirsə, o zaman onların kəsişmə xəttinə paraleldir.
5. Əgər iki paralel müstəvi üçüncü müstəvi ilə kəsişirsə, onda kəsişmə xətləri paraleldir.
6. Verilmiş müstəvidə uzanmayan nöqtə vasitəsilə verilənə paralel və yalnız bir müstəvi çəkmək olar.
7. Üçüncüyə paralel olan iki müstəvi bir-birinə paraleldir.
8. Paralel müstəvilər arasında yerləşən paralel xətlərin seqmentləri bərabərdir.
Düz xətlər və müstəvilər arasındakı bucaqlar
Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaq düz xətt ilə onun müstəviyə proyeksiyası arasındakı bucaq deyilir (şəkil 1-dəki bucaq).
Kesişən xətlər arasındakı bucaq verilmiş kəsişən xətlərə paralel kəsişən xətlər arasındakı bucaqdır.
Dihedral bucaqümumi xətti olan iki yarım müstəvidən əmələ gələn fiqurdur. Yarım təyyarələr deyilir kənarları , düz - kənar dihedral bucaq.
Xətti bucaq dihedral bucaq dihedral bucağın üzlərinə aid olan, kənarın bir nöqtəsindən çıxan və kənara perpendikulyar olan yarım xətlər arasındakı bucaqdır (şəkil 2-dəki bucaq).
Dihedral bucağın dərəcə (radian) ölçüsü onun xətti bucağının dərəcə (radian) ölçüsünə bərabərdir.
Xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığı
İki düz xətt deyilir perpendikulyar düz bucaq altında kəsişirlərsə.
Bir müstəvini kəsən düz xətt deyilir perpendikulyar bu müstəvi, əgər bu xəttlə müstəvinin kəsişmə nöqtəsindən keçən müstəvidə hər hansı bir xəttə perpendikulyardırsa.
İki təyyarə çağırılır perpendikulyar , kəsişirsə, düz dihedral bucaqlar əmələ gətirirlər.
Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığının işarəsi. Əgər müstəvi ilə kəsişən xətt bu müstəvidə kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, o, müstəviyə perpendikulyardır.
İki təyyarənin perpendikulyarlığının işarəsi. Əgər müstəvi başqa müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, bu təyyarələr perpendikulyardır.
Perpendikulyar xətlər və müstəvilər haqqında teoremlər.
1. Əgər müstəvi iki paralel xəttdən birinə perpendikulyardırsa, o, digərinə də perpendikulyardır.
2. Əgər iki xətt eyni müstəviyə perpendikulyardırsa, onda onlar paraleldirlər.
3. Əgər xətt iki paralel müstəvidən birinə perpendikulyardırsa, o, digərinə də perpendikulyardır.
4. Əgər iki müstəvi eyni xəttə perpendikulyardırsa, onda onlar paraleldirlər.
Perpendikulyar və əyri
Teorem. Müstəvidən kənar bir nöqtədən perpendikulyar və meylli xətlər çəkilərsə, onda:
1) proyeksiyaları bərabər olan əyrilər bərabərdir;
2) iki meylli olanın proyeksiyası daha böyük olanı daha böyükdür;
3) bərabər obliklər bərabər proyeksiyalara malikdir;
4) iki proyeksiyadan daha böyük əyriyə uyğun gələn daha böyükdür.
Üç perpendikulyar teorem. Müstəvidə uzanan düz xəttin maili olana perpendikulyar olması üçün bu düz xəttin maili olanın proyeksiyasına perpendikulyar olması zəruri və kifayətdir (şək. 3).
Çoxbucaqlının müstəviyə ortoqonal proyeksiyasının sahəsi haqqında teorem.Çoxbucaqlının müstəviyə ortoqonal proyeksiyasının sahəsi çoxbucaqlının sahəsi ilə çoxbucaqlının müstəvisi ilə proyeksiya müstəvisi arasındakı bucağın kosinusunun məhsuluna bərabərdir.
Tikinti.
1. Təyyarədə a birbaşa aparırıq A.
3. Təyyarədə b nöqtəsi vasitəsilə A birbaşa edək b, xəttinə paralel A.
4. Düz xətt çəkilmişdir b təyyarəyə paralel a.
Sübut. Düz xətt və müstəvi, düz xəttin paralelliyinə əsaslanaraq b təyyarəyə paralel a xəttinə paralel olduğundan A, təyyarəyə aiddir a.
Öyrənmək. Problemin sonsuz sayda həlli var, çünki düz xətt A təyyarədə a təsadüfi seçilir.
Misal 2. Nöqtənin müstəvidən hansı məsafədə yerləşdiyini müəyyənləşdirin A, düzdürsə AB müstəvini nöqtədən məsafə olan 45º bucaq altında kəsir A nöqtəsinə IN müstəviyə aid olan sm-ə bərabərdir?
Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5):
AC- təyyarəyə perpendikulyar a, AB– meylli, bucaqlı ABC– düz xətt arasındakı bucaq AB və təyyarə a. Üçbucaq ABC– düzbucaqlı, çünki AC- perpendikulyar. Nöqtədən tələb olunan məsafə A təyyarəyə - bu ayaqdır AC düz üçbucaq. Bucağı və hipotenuz sm-ni bilməklə ayağı tapacağıq AC:
Cavab: 3 sm.
Misal 3. Müəyyən edin ki, üçbucağın bazası və hündürlüyü 8 sm-ə bərabərdirsə, üçbucağın təpələrinin hər birindən 13 sm məsafədə yerləşən nöqtə ikitərəfli üçbucağın müstəvisindən hansı məsafədə yerləşir?
Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 6). Nöqtə S nöqtələrdən uzaqdır A, IN Və İLƏ eyni məsafədə. Beləliklə, meylli S.A., S.B. Və S.C. bərabər, BELƏ Kİ– bu meyllilərin ümumi perpendikulyarıdır. Çap və proyeksiyalar teoremi ilə AO = VO = CO.
Nöqtə HAQQINDA– üçbucaq ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzi ABC. Onun radiusunu tapaq:
Harada Günəş- əsas;
AD– verilmiş ikitərəfli üçbucağın hündürlüyü.
Üçbucağın tərəflərinin tapılması ABC düz üçbucaqdan ABD Pifaqor teoreminə görə:
İndi tapırıq OB:
Üçbucağı nəzərdən keçirək HÖNKÜRTÜ: S.B.= 13 sm, OB= = 5 sm.Perpendikulyarın uzunluğunu tapın BELƏ Kİ Pifaqor teoreminə görə:
Cavab: 12 sm.
Misal 4. Paralel təyyarələr verilmişdir a Və b. Nöqtə vasitəsilə M, heç birinə aid olmayan düz xətlər çəkilir A Və b o xaç a nöqtələrdə A 1 və IN 1 və təyyarə b- nöqtələrdə A 2 və IN 2. Tapın A 1 IN 1 əgər məlumdursa MA 1 = 8 sm, A 1 A 2 = 12 sm, A 2 IN 2 = 25 sm.
Həll.Şərt nöqtənin hər iki müstəviyə nisbətən necə yerləşdiyini söyləmədiyi üçün M, onda iki variant mümkündür: (Şəkil 7, a) və (Şəkil 7, b). Gəlin onların hər birinə nəzər salaq. İki kəsişən xətt A Və b müstəvini müəyyənləşdirin. Bu müstəvi iki paralel müstəvi ilə kəsişir a Və b paralel xətlər boyunca A 1 IN 1 və A 2 IN Paralel xətlər və paralel müstəvilər haqqında 5-ci teoremə görə 2.
Üçbucaqlar MA 1 IN 1 və MA 2 IN 2 oxşardır (bucaqlar A 2 MV 2 və A 1 MV 1 - şaquli, künclər MA 1 IN 1 və MA 2 IN 2 - paralel xətlərlə daxili çarpaz uzanan A 1 IN 1 və A 2 IN 2 və sekant A 1 A 2). Üçbucaqların oxşarlığından tərəflərin mütənasibliyi əmələ gəlir:
Variant a):
Variant b):
Cavab: 10 sm və 50 sm.
Misal 5. Nöqtə vasitəsilə A təyyarə g birbaşa xətt çəkildi AB, təyyarə ilə bucaq əmələ gətirir a. Birbaşa vasitəsilə AB təyyarə çəkilir r, təyyarə ilə formalaşır g künc b. Düz xəttin proyeksiyası arasındakı bucağı tapın AB təyyarəyə g və təyyarə r.
Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 8). Nöqtədən IN təyyarəyə perpendikulyar düşür g. Təyyarələr arasında xətti dihedral bucaq g Və r- bu düz bucaqdır AD DBC, xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığına, eləcə də müstəvilərin perpendikulyarlığına əsaslanaraq, bir müstəvi rüçbucağın müstəvisinə perpendikulyar DBC, xəttdən keçdiyi üçün AD. Nöqtədən perpendikulyar ataraq istədiyiniz bucağı qururuq İLƏ təyyarəyə r, onu işarə edək Düzbucaqlı üçbucağın bu bucağının sinusunu tapın ÖZÜM. Köməkçi seqmenti təqdim edək a = BC. Üçbucaqdan ABC: Üçbucaqdan Dəniz tapacağıq
Sonra tələb olunan bucaq
Cavab:
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar
səviyyəli
1.1. Bir nöqtədən keçərək, verilmiş iki kəsişən xəttə perpendikulyar bir xətt çəkin.
1.2. Neçə müxtəlif təyyarənin çəkilə biləcəyini müəyyənləşdirin:
1) üç fərqli nöqtə vasitəsilə;
2) üçü eyni müstəvidə olmayan dörd fərqli nöqtə vasitəsilə?
1.3. Üçbucağın təpələri vasitəsilə ABC iki paralel müstəvidən birində uzanaraq, ikinci müstəvi ilə nöqtələrdə kəsişən paralel xətlər çəkilir A 1 , IN 1 , İLƏ 1 . Üçbucaqların bərabərliyini sübut edin ABC Və A 1 IN 1 İLƏ 1 .
1.4. Yuxarıdan A düzbucaqlı A B C D perpendikulyar bərpa edilmişdir AM onun müstəvisinə.
1) üçbucaqların olduğunu sübut edin MBC Və MDC- düzbucaqlı;
2) seqmentlər arasında göstərin M.B., M.C., M.D. Və M.A.ən böyük və ən qısa uzunluqlu seqment.
1.5. Bir dihedral bucağın üzləri müvafiq olaraq digərinin üzlərinə paraleldir. Bu dihedral bucaqların dəyərləri arasındakı əlaqəni müəyyənləşdirin.
1.6. Bir üzdən götürülən nöqtədən kənara qədər olan məsafə nöqtədən ikinci üzün müstəvisinə qədər olan məsafədən 2 dəfə böyük olarsa, dihedral bucağın qiymətini tapın.
1.7. Təyyarədən bir məsafə ilə ayrılmış bir nöqtədən 60º bucaq meydana gətirən iki bərabər meylli yamac çəkilir. Oblik proyeksiyalar qarşılıqlı perpendikulyardır. Maili olanların uzunluqlarını tapın.
1.8. Yuxarıdan IN kvadrat A B C D perpendikulyar bərpa edilmişdir OLUN meydanın müstəvisinə. Üçbucaq müstəvisinin meyl bucağı ACE kvadratın müstəvisinə bərabərdir j, kvadratın tərəfi A ACE.
II səviyyə
2.1. İki kəsişən xəttdən birinə aid olmayan nöqtə vasitəsilə verilmiş hər iki xətti kəsən xətt çəkin.
2.2. Paralel xətlər A, b Və ilə eyni müstəvidə yatmayın. Nöqtə vasitəsilə A düz xətt üzərində A düz xətlərə perpendikulyarlar çəkilir b Və ilə, onları müvafiq olaraq nöqtələrdə kəsir IN Və İLƏ. Xətti sübut edin Günəş düz xətlərə perpendikulyar b Və ilə.
2.3. Üst vasitəsilə A düz üçbucaq ABC-ə paralel bir müstəvi çəkilir Günəş. Üçbucağın ayaqları AC= 20 sm, Günəş= 15 sm.Ayaqlardan birinin müstəviyə proyeksiyası 12 sm-dir.Hipotenuzanın proyeksiyasını tapın.
2.4. Dihedral bucağın üzlərindən birində 30º-ə bərabər bir nöqtə var M. Ondan küncün kənarına qədər olan məsafə 18 sm-dir.Nöqtənin proyeksiyasından məsafəni tapın M ikinci üzə birinci üzə.
2.5. Seqmentin sonları AB 90º-ə bərabər olan dihedral bucağın üzlərinə aiddir. Nöqtələrdən məsafə A Və IN kənarları müvafiq olaraq bərabərdir AA 1 = 3 sm, BB 1 = 6 sm, kənarındakı nöqtələr arasındakı məsafə Seqmentin uzunluğunu tapın AB.
2.6. Təyyarədən uzaqda yerləşən bir nöqtədən A müstəvi ilə 45º və 30º bucaqlar və öz aralarında 90º bucaq meydana gətirən iki maili çəkilir. Maili olanların əsasları arasındakı məsafəni tapın.
2.7. Üçbucağın tərəfləri 15 sm, 21 sm və 24 sm.Nöqtədir Müçbucağın müstəvisindən 73 sm uzaqlaşdırılıb və onun təpələrindən eyni məsafədə yerləşir. Bu məsafəni tapın.
2.8. Mərkəzdən HAQQINDA dairə üçbucaqda yazılmışdır ABC, üçbucağın müstəvisinə perpendikulyar bərpa olunur OM. Nöqtədən məsafəni tapın Müçbucağın tərəflərinə, əgər AB = BC = 10 sm, AC= 12 sm, OM= 4 sm.
2.9. Nöqtədən məsafələr M düzgün bucağın tərəflərinə və təpəsinə uyğun olaraq 4 sm, 7 sm və 8 sm-dir.Nöqtədən məsafəni tapın. M düz bucaq müstəvisinə.
2.10. Baza vasitəsilə AB ikitərəfli üçbucaq ABC təyyarə bucaq altında çəkilir büçbucağın müstəvisinə. Vertex İLƏ məsafədən təyyarədən uzaqlaşdırıldı A. Üçbucağın sahəsini tapın ABC, əgər baza AB ikitərəfli üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir.
III səviyyə
3.1. Düzbucaqlı Layout A B C D tərəflərlə A Və b diaqonal olaraq əyilmiş BD belə ki, üçbucaqların müstəviləri PİS Və BCD qarşılıqlı perpendikulyar oldu. Seqmentin uzunluğunu tapın AC.
3.2. Bucaqları 60º olan iki düzbucaqlı trapesiya perpendikulyar müstəvilərdə yerləşir və daha böyük ümumi bazaya malikdir. Böyük tərəfləri 4 sm və 8 sm-dir.Trapezoidlərin iti bucaqlarının təpələri üst-üstə düşürsə, düz xətlərin təpələri ilə trapesiyaların küt bucaqlarının təpələri arasındakı məsafəni tapın.
3.3.Kub verilmişdir ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Düz xətt arasındakı bucağı tapın CD 1 və təyyarə BDC 1 .
3.4. Kənarında AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 xal alındı R- bu qabırğanın ortası. Nöqtələrdən keçən bir təyyarə ilə kubun bir hissəsini qurun C 1 P.D. və kubun kənarı bərabərdirsə, bu hissənin sahəsini tapın A.
3.5. Yan tərəfdən AD düzbucaqlı A B C D təyyarə çəkilir a belə ki, diaqonal BD bu müstəvi ilə 30º bucaq yaradır. Düzbucaqlının müstəvisi ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın a, Əgər AB = A, AD = b. Hansı nisbətdə olduğunu müəyyənləşdirin A Və b problemin həlli var.
3.6. Üçbucağın tərəfləri ilə müəyyən edilmiş xətlərdən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yerini tapın.
Prizma. Paralelepiped
Prizma iki üzü bərabər n-qonşulu olan çoxüzlüdür (əsaslar) , paralel müstəvilərdə uzanır və qalan n üz paraleloqramdır (yan üzlər) . Yanal qabırğa Prizmanın əsasına aid olmayan tərəfi prizmanın tərəfi adlanır.
Yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar olan prizma deyilir düz prizma (şək. 1). Yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar deyilsə, prizma adlanır meylli . Düzgün Prizma, əsasları düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmadır.
Hündürlük prizma əsasların müstəviləri arasındakı məsafədir. Diaqonal Prizma eyni üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirən seqmentdir. Diaqonal bölmə eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi prizmanın kəsiyi adlanır. Perpendikulyar hissə prizmanın yan kənarına perpendikulyar olan müstəvi ilə prizmanın kəsişməsi adlanır.
Yan səth sahəsi prizmanın bütün yanal üzlərinin sahələrinin cəmidir. Ümumi səth sahəsi prizmanın bütün üzlərinin sahələrinin cəmi adlanır (yəni yan üzlərin sahələrinin və əsasların sahələrinin cəmi).
İxtiyari prizma üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur::
Harada l- yan qabırğanın uzunluğu;
H- hündürlük;
P
Q
S tərəfi
S dolu
S bazası- əsasların sahəsi;
V- prizmanın həcmi.
Düz prizma üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:
Harada səh- baza perimetri;
l- yan qabırğanın uzunluğu;
H- hündürlük.
paralelepiped bazası paraleloqram olan prizma adlanır. Yan kənarları əsaslara perpendikulyar olan paralelepiped deyilir birbaşa (Şəkil 2). Yan kənarları əsaslara perpendikulyar deyilsə, paralelepiped deyilir meylli . Əsası düzbucaqlı olan düz paralelepiped deyilir düzbucaqlı. Bütün kənarları bərabər olan düzbucaqlı paralelepiped adlanır kub
Ümumi təpələri olmayan paralelepipedin üzlərinə deyilir əks . Bir təpədən çıxan kənarların uzunluqlarına deyilir ölçmələr paralelepiped. Paralelepiped prizma olduğundan, onun əsas elementləri prizmalar üçün təyin olunduğu kimi müəyyən edilir.
Teoremlər.
1. Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və onu ikiyə bölür.
2. Düzbucaqlı paralelepipeddə diaqonalın uzunluğunun kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratlarının cəminə bərabərdir:
3. Düzbucaqlı paralelepipedin dörd diaqonalının hamısı bir-birinə bərabərdir.
İxtiyari paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:
Harada l- yan qabırğanın uzunluğu;
H- hündürlük;
P- perpendikulyar hissənin perimetri;
Q– Perpendikulyar en kəsiyinin sahəsi;
S tərəfi- yanal səth sahəsi;
S dolu- ümumi səth sahəsi;
S bazası- əsasların sahəsi;
V- prizmanın həcmi.
Düzgün paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:
Harada səh- baza perimetri;
l- yan qabırğanın uzunluğu;
H– sağ paralelepipedin hündürlüyü.
Düzbucaqlı paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:
Harada səh- baza perimetri;
H- hündürlük;
d- diaqonal;
a,b,c– paralelepipedin ölçüləri.
Aşağıdakı düsturlar bir kub üçün düzgündür:
Harada a- qabırğa uzunluğu;
d- kubun diaqonalı.
Misal 1. Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalı 33 dm, ölçüləri isə 2: 6: 9 nisbətindədir. Paralelepipedin ölçülərini tapın.
Həll. Paralelepipedin ölçülərini tapmaq üçün (3) düsturundan istifadə edirik, yəni. kuboidin hipotenuzasının kvadratının onun ölçülərinin kvadratlarının cəminə bərabər olması ilə. ilə işarə edək k mütənasiblik amili. Sonra paralelepipedin ölçüləri 2-yə bərabər olacaqdır k, 6k və 9 k. Problem məlumatları üçün düstur (3) yazaq:
üçün bu tənliyin həlli k, alırıq:
Bu o deməkdir ki, paralelepipedin ölçüləri 6 dm, 18 dm və 27 dm-dir.
Cavab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Misal 2. Yan kənarı təməlin yan tərəfinə bərabərdirsə və bazaya 60º bucaq altında meyllidirsə, əsası tərəfi 8 sm olan bərabərtərəfli üçbucaq olan maili üçbucaqlı prizmanın həcmini tapın.
Həll . Bir rəsm çəkək (şək. 3).
Maili prizmanın həcmini tapmaq üçün onun əsasının sahəsini və hündürlüyünü bilmək lazımdır. Bu prizmanın əsasının sahəsi tərəfi 8 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsidir, onu hesablayaq:
Prizmanın hündürlüyü onun əsasları arasındakı məsafədir. Yuxarıdan A yuxarı bazanın 1-i, aşağı bazanın müstəvisinə perpendikulyar aşağı salın A 1 D. Onun uzunluğu prizmanın hündürlüyünə bərabər olacaq. Nəzərə alın ki, D A 1 AD: çünki bu, yan kənarın meyl bucağıdır A 1 A baza müstəvisinə, A 1 A= 8 sm.Bu üçbucaqdan tapırıq A 1 D:
İndi (1) düsturundan istifadə edərək həcmi hesablayırıq:
Cavab: 192 sm 3.
Misal 3. Düzgün altıbucaqlı prizmanın yan kənarı 14 sm, ən böyük diaqonal kəsiyinin sahəsi 168 sm 2-dir. Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın.
Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 4)
Ən böyük diaqonal hissə düzbucaqlıdır A.A. 1 DD Diaqonaldan bəri 1 AD müntəzəm altıbucaqlı ABCDEFən böyüyüdür. Prizmanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün əsasın tərəfini və yan kənarın uzunluğunu bilmək lazımdır.
Diaqonal hissənin (düzbucaqlı) sahəsini bilməklə, təməlin diaqonalını tapırıq.
O vaxtdan bəri
O vaxtdan bəri AB= 6 sm.
Sonra təməlin perimetri belədir:
Prizmanın yan səthinin sahəsini tapaq:
Yanı 6 sm olan müntəzəm altıbucağın sahəsi:
Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın:
Cavab:
Misal 4. Sağ paralelepipedin əsası rombdur. Diaqonal en kəsiyinin sahələri 300 sm2 və 875 sm2-dir. Paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapın.
Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5).
Rombun tərəfini ilə işarə edək A, rombun diaqonalları d 1 və d 2, paralelepiped hündürlüyü h. Düzgün paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapmaq üçün təməlin perimetrini hündürlüyə vurmaq lazımdır: (formula (2)). Baza perimetri p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, çünki A B C D- romb H = AA 1 = h. Bu. Tapmaq lazımdır A Və h.
Diaqonal hissələrə nəzər salaq. AA 1 SS 1 – bir tərəfi rombun diaqonalı olan düzbucaqlı AC = d 1, ikinci - yan kənar AA 1 = h, Sonra
Eynilə bölmə üçün BB 1 DD 1 alırıq:
Diaqonalların kvadratlarının cəmi onun bütün tərəflərinin kvadratlarının cəminə bərabər olan paraleloqramın xassəsindən istifadə edərək bərabərliyi əldə edirik: Aşağıdakıları əldə edirik:
İlk iki bərabərlikdən ifadə edək və onları üçüncü ilə əvəz edək. Alırıq: onda
1.3. Maili üçbucaqlı prizmada yan kənarına 12 sm-ə bərabər olan bir kəsik çəkilir.Həmin üçbucaqda uzunluğu sm və 8 sm olan iki tərəf 45° bucaq əmələ gətirir. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.
1.4. Düz paralelepipedin əsası tərəfi 4 sm, iti bucağı 60° olan rombdur. Yan kənarının uzunluğu 10 sm olarsa, paralelepipedin diaqonallarını tapın.
1.5. Düzgün paralelepipedin əsası diaqonalı sm-ə bərabər olan kvadratdır.Parallelepipedin yan kənarı 5 sm-dir.Parallepipedin ümumi səth sahəsini tapın.
1.6. Maili paralelepipedin əsası tərəfləri 3 sm və 4 sm olan düzbucaqlıdır.Sm-ə bərabər olan yan kənarı əsasın müstəvisinə 60° bucaq altında meyllidir. Paralelepipedin həcmini tapın.
1.7. İki kənar və bir təpədən çıxan diaqonal müvafiq olaraq 11 sm, sm və 13 sm olarsa, düzbucaqlı paralelepipedin səth sahəsini hesablayın.
1.8. Materialın xüsusi çəkisi 2,2 q/sm 3 olarsa, ölçüləri 0,3 m, 0,3 m və 2,5 m olan düzbucaqlı paralelepiped şəklində olan daş sütunun çəkisini təyin edin.
1.9. Kubun üzünün diaqonalı dm-ə bərabərdirsə, onun diaqonal en kəsiyinin sahəsini tapın.
1.10. Kubun eyni üzdə olmayan iki təpəsi arasındakı məsafə sm-ə bərabər olarsa, onun həcmini tapın.
II səviyyə
2.1. Maili prizmanın əsası tərəfi sm olan bərabərtərəfli üçbucaqdır.Yan kənarı əsasın müstəvisinə 30° bucaq altında meyllidir. Prizmanın yan kənarından keçən en kəsiyinin sahəsini və yuxarı əsasın təpələrindən birinin aşağı əsasın kənarının ortasına proyeksiya edildiyi məlumdursa, prizmanın hündürlüyünü tapın.
2.2. Maili prizmanın əsası tərəfi 3 sm-ə bərabər olan bərabərtərəfli ABC üçbucağıdır.A 1 təpəsi ABC üçbucağının mərkəzinə proyeksiya edilmişdir. AA 1 qabırğası əsas müstəvi ilə 45° bucaq yaradır. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.
2.3. Maili üçbucaqlı prizmanın həcmini hesablayın, əgər bünövrənin tərəfləri 7 sm, 5 sm və 8 sm, prizmanın hündürlüyü isə əsas üçbucağın kiçik hündürlüyünə bərabərdir.
2.4. Düzgün dördbucaqlı prizmanın diaqonalı 30° bucaq altında yan üzünə meyllidir. Baza müstəvisinə meyl bucağını tapın.
2.5. Düz prizmanın əsası ikitərəfli trapesiyadır, əsasları 4 sm və 14 sm, diaqonalı isə 15 sm prizmanın iki yan üzü kvadratlardır. Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın.
2.6. Düzgün altıbucaqlı prizmanın diaqonalları 19 sm və 21 sm-dir.Onun həcmini tapın.
2.7. Diaqonalı 8 dm olan və yan üzləri ilə 30° və 40° bucaq əmələ gətirən düzbucaqlı paralelepipedin ölçülərini tapın.
2.8. Düzgün paralelepipedin əsasının diaqonalları 34 sm və 38 sm, yan üzlərinin sahələri isə 800 sm 2 və 1200 sm 2-dir. Paralelepipedin həcmini tapın.
2.9. Bir təpədən çıxan yan üzlərinin diaqonallarının 4 sm və 5 sm olduğu və 60° bucaq əmələ gətirdiyi düzbucaqlı paralelepipedin həcmini təyin edin.
2.10. Əgər kubun diaqonalından onunla kəsişməyən kənara qədər olan məsafə mm olarsa, onun həcmini tapın.
III səviyyə
3.1. Müntəzəm üçbucaqlı prizmada, əsasın kənarından və əks yan kənarın ortasından bir kəsik çəkilir. Əsas sahəsi 18 sm 2, yan üzün diaqonalı isə 60 ° bucaq altında bazaya meyllidir. Kesiti sahəsini tapın.
3.2. Prizmanın təməlində ABCD kvadratı yerləşir, onun bütün təpələri yuxarı əsasın A 1 təpəsindən bərabər məsafədə yerləşir. Yan kənar ilə baza müstəvisi arasındakı bucaq 60°-dir. Əsasın tərəfi 12 sm-dir Prizmanın AA 1 kənarına perpendikulyar, C təpəsindən keçən müstəvi ilə kəsiyini qurun və onun sahəsini tapın.
3.3. Düz prizmanın əsası ikitərəfli trapesiyadır. Diaqonal en kəsiyinin sahəsi və paralel yan üzlərin sahəsi müvafiq olaraq 320 sm 2, 176 sm 2 və 336 sm 2-dir. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.
3.4. Düzgün üçbucaqlı prizmanın təməlinin sahəsi 9 sm 2, yan üzlərinin sahəsi 18 sm 2, 20 sm 2 və 34 sm 2-dir. Prizmanın həcmini tapın.
3.5. Düzbucaqlı paralelepipedin üzlərinin diaqonallarının 11 sm, 19 sm və 20 sm olduğunu bilərək onun diaqonallarını tapın.
3.6. Düzbucaqlı paralelepipedin bünövrəsinin əsas tərəfi ilə diaqonalının və paralelepipedin diaqonalının yaratdığı bucaqlar müvafiq olaraq a və b-yə bərabərdir. Diaqonalı d olarsa, paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapın.
3.7. Düz altıbucaqlı olan kubun sahəsi sm 2-ə bərabərdir. Kubun səthinin sahəsini tapın.
Yüklənir...