Kvadrat funksiya

Funksiya f(x)=ax2+bx2+c, Harada a, b, c- bəzi real rəqəmlər ( a 0) çağırılır kvadrat funksiya. Kvadrat funksiyanın qrafiki adlanır parabola.

Kvadrat funksiyanı formaya endirmək olar

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

ifadə b2-4acçağırdı diskriminant kvadrat trinomial. Kvadrat funksiyanın (1) şəklində göstərilməsi seçim adlanır tam kvadrat.

Kvadrat funksiyanın xassələri və onun qrafiki

Kvadrat funksiyanın tərif sahəsi bütün ədəd xəttidir.

At b 0 funksiyası nə cüt, nə də tək deyil. At b=0 kvadrat funksiya - cüt.

Kvadrat funksiya bütün tərif sahəsi boyunca davamlıdır və diferensiallana bilir.

Funksiya tək kritik nöqtəyə malikdir

x=-b/(2a). Əgər a>0, sonra nöqtədə x=-b/(2a) funksiyasının minimumu var. At x<-b/(2a) ilə funksiya monoton şəkildə azalır x>-b/(2a) monoton şəkildə artır.

Əgər A<0, то в точке x=-b/(2a) funksiyanın maksimumu var. At x<-b/(2a) ilə funksiya monoton şəkildə artır x>-b/(2a) monoton şəkildə azalır.

Absisli kvadrat funksiyanın nöqtə qrafiki x=-b/(2a) və təyin etmək y= -((b2-4ac)/4a)çağırdı parabolanın təpəsi.

Funksiya dəyişdirmə sahəsi: nə vaxt a>0 - funksiya qiymətlərinin çoxluğu [-((b2-4ac)/4a); +); saat a<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Kvadrat funksiyanın qrafiki oxu kəsir 0y nöqtədə y=c. Əgər b2-4ac>0, kvadrat funksiyanın qrafiki oxu kəsir 0x iki nöqtədə (kvadrat tənliyin müxtəlif həqiqi kökləri); Əgər b2-4ac=0 (kvadrat tənlikçoxluğun bir kökü var 2), kvadrat funksiyanın qrafiki oxa toxunur 0x nöqtədə x=-b/(2a); Əgər b2-4ac<0 , ox ilə kəsişmələr 0x Yox.

Kvadrat funksiyanın (1) şəklində təqdim edilməsindən də belə nəticə çıxır ki, funksiyanın qrafiki düz xəttə nisbətən simmetrikdir. x=-b/(2a)- paralel tərcümə zamanı ordinat oxunun təsviri r=(-b/(2a); 0).

Funksiya qrafiki

f(x)=ax2+bx+c

• (və ya f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) funksiyanın qrafikindən əldə etmək olar f(x)=x2 aşağıdakı çevrilmələrlə:
  • a) paralel köçürmə r=(-b/(2a); 0);
  • b) x oxuna sıxılma (və ya uzanma) c A bir dəfə;
  • c) paralel köçürmə

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Eksponensial funksiya

Eksponensial funksiya formanın funksiyası adlanır f(x)=ax, Harada A- çağırılan bəzi müsbət real ədəd dərəcəsinin əsasını təşkil edir. At a=1 arqumentin hər hansı qiyməti üçün eksponensial funksiyanın qiyməti birə bərabərdir və hal A=1 daha sonra nəzərə alınmayacaq.

Eksponensial funksiyanın xassələri.

Funksiyanın tərif sahəsi bütün ədəd xəttidir.

Funksiya sahəsi bütün müsbət ədədlərin çoxluğudur.

Funksiya bütün tərif sahəsi boyunca davamlıdır və diferensiallaşdırıla bilər. Düsturdan istifadə etməklə eksponensial funksiyanın törəməsi hesablanır

(a x) = a xln a

At A>1 funksiyası ilə monoton artır A<1 монотонно убывает.

Eksponensial funksiya loqarifmik funksiya adlanan tərs funksiyaya malikdir.

İstənilən eksponensial funksiyanın qrafiki oxu kəsir 0y nöqtədə y=1.

Eksponensial funksiyanın qrafiki konkav olaraq yuxarıya doğru yönəldilmiş əyridir.

Qiymətdə eksponensial funksiyanın qrafiki A=2 şəkildə göstərilmişdir. 5

Loqarifmik funksiya

y= eksponensial funksiyasının tərs funksiyası a x adlanır loqarifmik və işarə edir

y=loqa x.

Nömrə Açağırdı əsas loqarifmik funksiya. Əsası 10 olan loqarifmik funksiya ilə işarələnir

və əsaslı loqarifmik funksiya e işarələmək

Loqarifmik funksiyanın xassələri

Loqarifmik funksiyanın təyin olunma sahəsi (0; +) intervalıdır.

Loqarifmik funksiyanın diapazonu bütün ədədi diapazondur.

Loqarifmik funksiya bütün tərif dairəsi boyunca davamlıdır və diferensiallana bilir. Düsturdan istifadə etməklə loqarifmik funksiyanın törəməsi hesablanır

(loqa x) = 1/(x ln a).

Əgər loqarifmik funksiya monoton şəkildə artırsa A>1. 0-da<a<1 логарифмическая функция с основанием A monoton şəkildə azalır. Hər hansı səbəbdən a>0, a 1, bərabərliklər saxlanılır

loqa 1 = 0, loqa =1.

At A>1 loqarifmik funksiyanın qrafiki - aşağıya doğru aşağıya doğru yönəldilmiş əyri; 0-da<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki A=2 şəkildə göstərilmişdir. 6.

Əsas loqarifmik eynilik

y= eksponensial funksiyası üçün tərs funksiya a x loqarifmik funksiya olacaq x =log a y. Hamı üçün f və f-I qarşılıqlı tərs funksiyaların xassələrinə görə x f-I(x) funksiyasının təyin oblastından. Xüsusilə, eksponensial və loqarifmik funksiya üçün bərabərlik (1) formasını alır

a log a y=y.

Bərabərlik (2) tez-tez deyilir əsas loqarifmik eynilik. İstənilən müsbət üçün x, y loqarifmik funksiya üçün əsas loqarifmik eyniliyin (2) və eksponensial funksiyanın xassələrinin nəticəsi kimi əldə edilə bilən aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga(x)= logax(- istənilən real ədəd);

loga=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b- həqiqi ədəd, b>0, b 1).

Xüsusilə, son formuldan a=e, b=10 bərabərliyini alırıq

ln x = (1/(ln e))lg x.(3)

lg nömrəsi e natural loqarifmlərdən onluqlara keçid modulu adlanır və M hərfi ilə işarələnir və düstur (3) adətən formada yazılır.

lg x =M ln x.

Tərs mütənasib əlaqə

Dəyişən yçağırdı tərs mütənasibdir dəyişən x, əgər bu dəyişənlərin dəyərləri bərabərliklə bağlıdırsa y = k/x, Harada k- sıfırdan fərqli bəzi real ədəd. Nömrə k tərs mütənasiblik əmsalı adlanır.

y = k/x funksiyasının xassələri

Funksiya sahəsi 0-dan başqa bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur.

Funksiya sahəsi 0-dan başqa bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur.

Funksiya f(x) = k/x- təkdir və onun qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir. Funksiya f(x) = k/x bütün tərif sahəsi boyunca davamlı və diferensiallana bilir. f(x) = -k/x2. Funksiyanın kritik nöqtələri yoxdur.

Funksiya f(x) = k/x k>0 üçün (-, 0) və (0, +), k üçün isə monoton şəkildə azalır<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Funksiya qrafiki f(x) = k/x k>0 üçün (0, +) intervalında içbükey yuxarıya, (-, 0) intervalında isə aşağıya doğru yönəlir. k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Funksiya qrafiki f(x) = k/x dəyər üçün k=1 şəkildə göstərilmişdir. 7.

triqonometrik funksiyalar

Sin, cos, tg, ctg funksiyaları adlandırılır triqonometrik funksiyalar künc. Əsas triqonometrik funksiyalara əlavə olaraq sin, cos, tg, ctg, bucağın daha iki triqonometrik funksiyası var - sekant Və kosekant, işarələnmişdir san Və kosek müvafiq olaraq.

Sinus nömrələri X radyanla bucağın sinusuna bərabər olan ədəddir.

sin x funksiyasının xassələri.

sin x funksiyası təkdir: sin (-x)=- sin x.

sin x funksiyası dövridir. Ən kiçik müsbət dövr 2-dir:

sin (x+2)= sin x.

Funksiyanın sıfırları: sin x=0, x= n, n Z.

İşarənin sabitlik intervalları:

sin x>0 at x (2 n; +2n), n Z,

günah x<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

sin x funksiyası davamlıdır və arqumentin istənilən dəyəri üçün törəmə var:

(günah x) = cos x.

sin x funksiyası x ((-/2)+2 kimi artır n;(/2)+2n), n Z və x ((/2)+2 kimi azalır n; ((3)/2)+ 2n),n Z.

sin x funksiyası x=(-/2)+2 nöqtəsində -1-ə bərabər olan minimum qiymətlərə malikdir n, n Z və maksimum dəyərlər x=(/2)+2 nöqtəsində 1-ə bərabərdir n, n Z.

y=sin x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 8. sin x funksiyasının qrafiki adlanır sinusoid.

cos x funksiyasının xassələri

Tərif sahəsi bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur.

Dəyərlər diapazonu [-1; 1].

Funksiya cos x - hətta: cos (-x)=cos x.

cos x funksiyası dövridir. Ən kiçik müsbət dövr 2-dir:

cos (x+2)= cos x.

Funksiyanın sıfırları: x=(/2)+2 nöqtəsində cos x=0 n, n Z.

İşarənin sabitlik intervalları:

cos x>0, x ((-/2)+2 n;(/2)+2n)), n Z,

cos x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

cos x funksiyası davamlıdır və arqumentin istənilən dəyəri üçün diferensiallana bilir:

(cos x) = -sin x.

cos x funksiyası x (-+2) kimi artır n; 2n), n Z,

və x kimi azalır (2 n; + 2n),n Z.

cos x funksiyası x=+2-də -1-ə bərabər olan minimum qiymətlərə malikdir n, n Z və maksimum dəyərlər x=2-də 1-ə bərabərdir n, n Z.

y=cos x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 9.

tg x funksiyasının xassələri

Funksiya sahəsi x=/2+ istisna olmaqla bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur n, n Z.

Funksiya tg x - tək: tg (-x)=- tg x.

tg x funksiyası dövridir. Funksiyanın ən kiçik müsbət dövrü:

tg (x+)= tg x.

Funksiyanın sıfırları: x=-də tg x=0 n, n Z.

İşarənin sabitlik intervalları:

x-də x>0 ( n; (/2)+n), n Z,

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

tg x funksiyası fasiləsizdir və tərif sahəsindən arqumentin istənilən dəyəri üçün diferensiallana bilir:

(tg x) =1/cos2 x.

tg x funksiyası intervalların hər birində artır

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

y=tg x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 10. tg x funksiyasının qrafiki adlanır tangentoid.

сtg x funksiyasının xassələri.

n, n Z.

Aralıq bütün real ədədlərin çoxluğudur.

Funksiya сtg x - tək: сtg (-х)=- сtg x.

сtg x funksiyası dövri xarakter daşıyır. Funksiyanın ən kiçik müsbət dövrü:

ctg (x+) = ctg x.

Funksiyanın sıfırları: x=(/2)+ nöqtəsində ctg x=0 n, n Z.

İşarənin sabitlik intervalları:

çarpayı x>0 at x ( n; (/2)+n), n Z,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

ctg x funksiyası fasiləsizdir və tərif sahəsindən arqumentin istənilən dəyəri üçün diferensiallana bilir:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

ctg x funksiyası intervalların hər birində azalır ( n;(n+1)), n Z.

y=сtg x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. on bir.

Saniyə x funksiyasının xassələri.

Funksiya sahəsi formanın nömrələri istisna olmaqla, bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur

x=(/2)+ n, n Z.

Əhatə dairəsi:

Funksiya sec x - hətta: san (-x)= san x.

x funksiyası dövridir. Funksiyanın ən kiçik müsbət dövrü 2-dir:

san (x+2)= san x.

Arqumentin heç bir dəyəri üçün sec x funksiyası sıfıra getmir.

İşarənin sabitlik intervalları:

san x>0 at x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

san x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

sec x funksiyası fasiləsizdir və arqumentin istənilən dəyəri üçün funksiyanın təyini sahəsindən diferensiallana bilir:

(san x) = sin x/cos2 x.

sek x funksiyası fasilələrlə artır

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],n Z,

və arasında azalır

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

y=san x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 12.

cosec x funksiyasının xassələri

Funksiya sahəsi x= formalı ədədlərdən başqa bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur n, n Z.

Əhatə dairəsi:

Funksiya kosek x - tək: kosek (-x)= -kosek x.

kosek x funksiyası dövridir. Funksiyanın ən kiçik müsbət dövrü 2-dir:

kosek (x+2)= kosek x.

cosec x funksiyası arqumentin heç bir dəyəri üçün sıfıra getmir.

İşarənin sabitlik intervalları:

x-də kosek x>0 (2 n; +2n), n Z,

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

cosec x funksiyası fasiləsizdir və arqumentin istənilən dəyəri üçün funksiyanın oblastından diferensiallana bilir:

(kosek x) =-(cos x/sin2 x).

cosec x funksiyası fasilələrlə artır

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],n Z,

və arasında azalır

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

y=kosek x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 13.

a,b,c bəzi həqiqi ədədlər, a sıfırdan fərqli, x,y dəyişənlər olduğu y =a*x^2+b*x+c formalı funksiya kvadrat funksiya adlanır. y =a*x^2+b*x+c kvadrat funksiyasının qrafiki riyaziyyatda adlanan xəttdir. parabola. Parabolanın ümumi görünüşü aşağıdakı şəkildə təqdim olunur.

Qeyd etmək lazımdır ki, funksiyanın a>0 əmsalı varsa, onda parabola budaqları ilə yuxarıya doğru yönəldilir və əgər a kvadrat funksiyanın qrafiki simmetriya oxuna nisbətən simmetrik olarsa. Parabolanın simmetriya oxu x=(-b)/(2*a) nöqtəsindən Oy oxuna paralel çəkilmiş düz xəttdir.

Parabolanın təpəsinin koordinatları aşağıdakı düsturlarla müəyyən edilir:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Aşağıdakı şəkildə ixtiyari kvadrat funksiyanın qrafiki göstərilir. Kvadrat funksiyanın qrafikinin çəkilməsi. Şəkildə parabolanın təpə nöqtəsi və simmetriya oxu da qeyd olunub.

a əmsalının qiymətindən asılı olaraq parabolanın yuxarı hissəsi kvadratik funksiyanın minimum və ya maksimum qiyməti olacaqdır. a>0 olduqda, təpə kvadrat funksiyanın minimum qiymətidir və maksimum qiymət yoxdur. a olduqda, simmetriya oxu parabolanın təpəsindən keçir. Kvadrat funksiyanın tərif sahəsi R həqiqi ədədlərinin bütün çoxluğudur.

y =a*x^2+b*x+c kvadrat funksiyası həmişə y=a*(x+k)^2+p formasına çevrilə bilər, burada k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Bunu etmək üçün tam bir kvadrat seçməlisiniz.

Nəzərə alın ki, koordinatları (-k;p) olan nöqtə parabolanın təpəsi olacaqdır. y=a*(x+k)^2+p kvadrat funksiyasının qrafikini y=a*x^2 funksiyasının qrafikindən paralel tərcümədən istifadə etməklə almaq olar.

Təhsilinizlə bağlı köməyə ehtiyacınız var?