Bu təlimat sizə necə yerinə yetirməyi öyrənməyə kömək edəcək matrislərlə əməliyyatlar: matrislərin toplanması (çıxılması), matrisin köçürülməsi, matrislərin vurulması, tərs matrisin tapılması. Bütün materiallar sadə və əlçatan formada təqdim olunur, müvafiq nümunələr verilir, belə ki, hətta hazırlıqsız bir şəxs matrislərlə hərəkətləri necə yerinə yetirəcəyini öyrənə bilər. Özünə nəzarət və özünü sınamaq üçün matris kalkulyatorunu pulsuz yükləyə bilərsiniz >>>.

Nəzəri hesablamaları minimuma endirməyə çalışacağam, bəzi yerlərdə “barmaqlarda” izahlar və qeyri-elmi terminlərdən istifadə etmək mümkündür. Möhkəm nəzəriyyə həvəskarları, lütfən tənqidlə məşğul olmayın, bizim vəzifəmiz budur matrislərlə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrənin.

Mövzu üzrə SUPER FAST hazırlığı üçün ("yandıran") intensiv pdf kursu var Matris, determinant və test!

Matris bəzilərinin düzbucaqlı cədvəlidir elementləri. kimi elementləriədədləri, yəni ədədi matrisləri nəzərdən keçirəcəyik. ELEMENT termindir. Termini xatırlamaq məsləhətdir, tez-tez görünəcək, onu vurğulamaq üçün qalın şriftdən istifadə etməyim təsadüfi deyil.

Təyinat: matrislər adətən böyük latın hərfləri ilə işarələnir

Misal:İki-üç matrisi nəzərdən keçirin:

Bu matris altıdan ibarətdir elementləri:

Matrisdəki bütün ədədlər (elementlər) öz-özünə mövcuddur, yəni hər hansı bir çıxmadan söhbət gedə bilməz:

Bu, sadəcə nömrələr cədvəlidir (dəsti)!

Biz də razılaşacağıq yenidən təşkil etməyin izahatlarda başqa hal nəzərdə tutulmayıbsa, nömrələr. Hər nömrənin öz yeri var və qarışdırıla bilməz!

Sözügedən matrisin iki sırası var:

və üç sütun:

STANDART: matris ölçüləri haqqında danışarkən, onda əvvəlcə sətirlərin sayını və yalnız bundan sonra sütunların sayını göstərin. Biz indicə iki-üç matrisi parçaladıq.

Əgər matrisin sətir və sütunlarının sayı eynidirsə, matris adlanır. kvadrat, Misal üçün: – üçə üç matris.

Əgər matrisin bir sütunu və ya bir sırası varsa, belə matrislər də adlanır vektorlar.

Əslində, matris anlayışını məktəbdən bəri bilirik; məsələn, “x” və “y” koordinatları olan bir nöqtəni nəzərdən keçirək: . Əsasən, bir nöqtənin koordinatları bir-iki matrisə yazılır. Yeri gəlmişkən, burada nömrələrin sırasının niyə vacib olduğuna dair bir nümunə var: və təyyarədə tamamilə fərqli iki nöqtədir.

İndi keçək öyrənməyə matrislərlə əməliyyatlar:

1) Birinci hərəkət. Matrisdən minusun çıxarılması (matrisəyə mənfi daxil edilməsi).

Matrisimizə qayıdaq . Yəqin ki, fikir verdiyiniz kimi, bu matrisdə çoxlu mənfi ədədlər var. Bu, matrislə müxtəlif hərəkətlərin yerinə yetirilməsi baxımından çox əlverişsizdir, bu qədər mənfi cəhətləri yazmaq əlverişsizdir və dizaynda sadəcə çirkin görünür.

Matrisin HƏR elementinin işarəsini dəyişdirərək mənfini matrisdən kənara çıxaraq:

Sıfırda, başa düşdüyünüz kimi, işarə dəyişmir; sıfır Afrikada da sıfırdır.

Əks nümunə: . Çirkin görünür.

Matrisin HƏR elementinin işarəsini dəyişdirərək matrisə mənfi daxil edək:

Yaxşı, daha gözəl çıxdı. Və ən əsası, matrislə istənilən hərəkəti yerinə yetirmək DAHA ASAN olacaq. Çünki belə bir riyazi xalq işarəsi var: daha çox mənfi, daha çox qarışıqlıq və səhvlər.

2) İkinci hərəkət. Bir matrisin ədədə vurulması.

Misal:

Bu sadədir, bir matrisi ədədə vurmaq üçün sizə lazımdır hər matris elementi verilmiş ədədə vurulur. Bu vəziyyətdə - üç.

Başqa bir faydalı nümunə:

– matrisi kəsrə vurmaq

Əvvəlcə nə edəcəyimizə baxaq EHTİYAC YOXDUR:

Matrisə kəsr daxil etməyə ehtiyac yoxdur, birincisi, bu, yalnız matrislə sonrakı hərəkətləri çətinləşdirir, ikincisi, müəllimin həlli yoxlamasını çətinləşdirir (xüsusilə əgər – tapşırığın yekun cavabı).

Və xüsusilə, EHTİYAC YOXDUR matrisin hər bir elementini mənfi yeddiyə bölün:

Məqalədən Dummies üçün riyaziyyat və ya haradan başlamaq lazımdır, xatırlayırıq ki, ali riyaziyyatda onlar hər cür şəkildə vergüllə onluq kəsrlərdən qaçmağa çalışırlar.

Tək şey budur tercihen Bu nümunədə nə etməli, matrisə mənfi əlavə etməkdir:

Amma kaş ki HAMISI matrisin elementləri 7-yə bölünür izsiz, onda bölmək mümkün (və lazımlı!) olardı.

Misal:

Bu vəziyyətdə, edə bilərsiniz LAZIMDIR matrisin bütün elementlərini 2-ə vurmaq lazımdır, çünki bütün matris nömrələri 2-yə bölünür izsiz.

Qeyd: ali məktəb riyaziyyatı nəzəriyyəsində “bölmə” anlayışı yoxdur. “Bu, buna bölünür” demək əvəzinə, həmişə “bunu kəsrə vurdu” deyə bilərsiniz. Yəni bölmə çoxalmanın xüsusi halıdır.

3) Üçüncü akt. Matrisin dəyişdirilməsi.

Matrisi köçürmək üçün onun sətirlərini köçürülmüş matrisin sütunlarına yazmaq lazımdır.

Misal:

Transpoze matrisi

Burada yalnız bir sətir var və qaydaya görə, onu bir sütunda yazmaq lazımdır:

– köçürülmüş matris.

Köçürülmüş matris adətən yuxarı sağda yuxarı və ya əsas işarə ilə göstərilir.

Addım-addım nümunə:

Transpoze matrisi

Əvvəlcə birinci sətri birinci sütuna yenidən yazırıq:

Sonra ikinci sətri ikinci sütuna yenidən yazırıq:

Və nəhayət, üçüncü sətri üçüncü sütuna yenidən yazırıq:

Hazır. Kobud desək, transpozisiya matrisi yan tərəfə çevirmək deməkdir.

4) dördüncü akt. Matrislərin cəmi (fərqi)..

Matrislərin cəmi sadə bir əməliyyatdır.
BÜTÜN MATRİSALARI QATLAMAQ OLMAZ. Matrisləri toplamaq (çıxmaq) üçün onların EYNİ ÖLÇÜDƏ olması lazımdır.

Məsələn, iki-iki matris verilirsə, o, yalnız iki-iki matrislə əlavə edilə bilər, başqa heç bir şey yoxdur!

Misal:

Matrislər əlavə edin Və

Matrisləri əlavə etmək üçün onlara uyğun elementləri əlavə etməlisiniz:

Matrislərin fərqi üçün qayda oxşardır, uyğun elementlərin fərqini tapmaq lazımdır.

Misal:

Matris fərqini tapın ,

Qarışıq olmamaq üçün bu nümunəni necə daha asan həll edə bilərsiniz? Lazımsız mənfi cəhətlərdən qurtulmaq məsləhətdir, bunu etmək üçün matrisə mənfi əlavə edin:

Qeyd: ali məktəb riyaziyyatı nəzəriyyəsində “çıxma” anlayışı yoxdur. “Bunu buradan çıxarın” demək əvəzinə, həmişə “buna mənfi ədəd əlavə et” deyə bilərsiniz. Yəni, çıxma toplamanın xüsusi halıdır.

5) Beşinci hərəkət. Matrisin vurulması.

Hansı matrisləri çoxaltmaq olar?

Bir matrisin bir matrislə çarpılması üçün bu lazımdır belə ki, matrisin sütunlarının sayı matrisin sətirlərinin sayına bərabər olsun.

Misal:
Bir matrisi matrisə vurmaq mümkündürmü?

Bu o deməkdir ki, matris verilənləri çoxalda bilər.

Ancaq matrislər yenidən qurulursa, bu halda vurma artıq mümkün deyil!

Buna görə vurma mümkün deyil:

Tələbədən çoxalması mümkün olmayan matrisləri çoxaltmaq istənildikdə, hiylə ilə tapşırıqlarla qarşılaşmaq o qədər də nadir deyil.

Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi hallarda matrisləri hər iki yolla çoxaltmaq mümkündür.
Məsələn, matrislər üçün həm vurma, həm də vurma mümkündür

>> Matrislər

4.1.Matrisalar. Matrislər üzərində əməliyyatlar

mxn ölçülü düzbucaqlı matris m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı cədvəl şəklində düzülmüş mxn ədədlərinin toplusudur. Onu formada yazacağıq

və ya qısaldılmış A = (a i j) (i = ; j = ), a i j ədədləri onun elementləri adlanır; Birinci indeks satır nömrəsini, ikincisi isə sütun nömrəsini göstərir. Eyni ölçülü A = (a i j) və B = (b i j) eyni yerlərdə duran elementləri cüt-cüt bərabər olduqda bərabər adlanır, yəni a i j = b i j olduqda A = B.

Bir sətir və ya bir sütundan ibarət olan matrisə müvafiq olaraq sıra vektoru və ya sütun vektoru deyilir. Sütun vektorlarına və cərgə vektorlarına sadəcə vektorlar deyilir.

Bu ədədlə bir ədəddən ibarət matris eyniləşdirilir. Bütün elementləri sıfıra bərabər olan mxn ölçülü A sıfır adlanır və 0 ilə işarələnir. Eyni indeksli elementlər baş diaqonalın elementləri adlanır. Əgər sətirlərin sayı sütunların sayına bərabərdirsə, yəni m = n, onda matris n sıralı kvadrat matris adlanır. Yalnız əsas diaqonalın elementləri sıfırdan fərqli olan kvadrat matrislər diaqonal adlanır və aşağıdakı kimi yazılır:

.

Əgər diaqonalın bütün a i i elementləri 1-ə bərabərdirsə, o zaman vahid adlanır və E hərfi ilə işarələnir:

.

Əsas diaqonalın üstündəki (və ya altındakı) bütün elementlər sıfıra bərabərdirsə, kvadrat matris üçbucaqlı adlanır. Transpozisiya sətirlərin və sütunların nömrələrini saxlayaraq dəyişdirildiyi bir çevrilmədir. Transpozisiya yuxarıda T hərfi ilə göstərilir.

(4.1)-də sətir və sütunları yenidən təşkil etsək, alarıq

,

A-ya münasibətdə köçürüləcək. Xüsusilə, sütun vektorunu köçürərkən sətir vektoru alınır və əksinə.

A və b ədədinin hasili, elementləri A-nın müvafiq elementlərindən b ədədinə vurulmaqla alınan matrisdir: b A = (b a i j).

Eyni ölçülü A = (a i j) və B = (b i j) cəminə eyni ölçülü C = (c i j) deyilir, elementləri c i j = a i j + b i j düsturu ilə müəyyən edilir.

AB məhsulu A sütununun sayının B-nin sətirlərinin sayına bərabər olduğu fərziyyəsi ilə müəyyən edilir.

Müəyyən AB qaydasında verilmiş A = (a i j) və B = (b j k), burada i = , j= , k= olan AB hasilinə C = (c i k) deyilir ki, onun elementləri aşağıdakılarla müəyyən edilir. aşağıdakı qayda:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Başqa sözlə, AB hasilinin elementi aşağıdakı kimi müəyyən edilir: i-ci sətirin və k-ci sütunun C elementi i-ci sətirin A və elementlərinin hasillərinin cəminə bərabərdir. k-ci sütunun müvafiq elementləri B.

Misal 2.1. AB və -nin hasilini tapın.

Həll. Bizdə: A ölçüsü 2x3, B ölçüsü 3x3, onda AB = C hasilatı mövcuddur və C elementləri bərabərdir.

11-dən = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, 21-dən = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, 12-dən = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, və BA məhsulu mövcud deyil.

Misal 2.2. Cədvəldə sutkalıq 1 və 2 nömrəli süd zavodlarından M 1, M 2 və M 3 mağazalara göndərilən məhsul vahidlərinin sayı göstərilir və hər bir süd müəssisəsindən M 1 anbarına məhsul vahidinin çatdırılması 50 den başa gəlir. ədəd, M 2 mağazasına - 70, M 3-ə - 130 den. vahidlər Hər bir zavodun gündəlik nəqliyyat xərclərini hesablayın.

Süd zavodu

Həll. Şərtdə bizə verilmiş matrisi A ilə və ilə işarə edək
B - məhsul vahidinin mağazalara çatdırılması xərclərini xarakterizə edən matris, yəni.

,

Sonra nəqliyyat xərcləri matrisi belə görünəcək:

.

Belə ki, birinci zavod gündəlik daşımalara 4750 dener xərcləyir. vahid, ikinci - 3680 pul vahidi.

Misal 2.3. Tikiş şirkəti qış paltoları, demi-sezon paltoları və yağış paltarları istehsal edir. Onillik üçün planlaşdırılan məhsul X = (10, 15, 23) vektoru ilə xarakterizə olunur. Dörd növ parça istifadə olunur: T 1, T 2, T 3, T 4. Cədvəldə hər bir məhsul üçün parça sərfi dərəcələri (metrlə) göstərilir. Vektor C = (40, 35, 24, 16) hər növ parçanın bir metrinin qiymətini, P = (5, 3, 2, 2) vektoru isə hər növdən bir metr parçanın daşınması xərclərini müəyyən edir.

	Parça istehlakı
Qış paltosu
Demi-sezon palto

1. Planı tamamlamaq üçün hər növ parçadan neçə metr lazım olacaq?

2. Hər bir məhsul növünün tikilməsi üçün sərf olunan parçanın dəyərini tapın.

3. Planı tamamlamaq üçün lazım olan bütün parçaların dəyərini müəyyənləşdirin.

Həll. Şərtdə bizə verilən matrisi A ilə işarə edək, yəni.

,

sonra planı tamamlamaq üçün lazım olan parça metr sayını tapmaq üçün X vektorunu A matrisinə vurmaq lazımdır:

A matrisini və C T vektorunu vurmaqla hər növdən tikiş məmulatlarına sərf olunan parça dəyərini tapırıq:

.

Planı tamamlamaq üçün lazım olan bütün parçaların dəyəri düsturla müəyyən ediləcək:

Nəhayət, nəqliyyat xərclərini nəzərə alaraq, bütün məbləğ parçanın dəyərinə bərabər olacaqdır, yəni. 9472 den. vahidlər, üstəgəl dəyər

X A P T =
.

Beləliklə, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (pul vahidləri).

Matrislərin həlli– matrislər üzərində əməliyyatları ümumiləşdirən konsepsiya. Riyazi matris elementlər cədvəlidir. m sətir və n sütundan ibarət oxşar cədvələ m x n matrisi deyilir.
Matrisin ümumi görünüşü

Matrisin əsas elementləri:
Əsas diaqonal. a 11, a 22.....a mn elementlərindən ibarətdir
Yan diaqonal. a 1n və 2n-1.....a m1 elementlərindən ibarətdir.
Matrislərin həllinə keçməzdən əvvəl matrislərin əsas növlərini nəzərdən keçirək:
Kvadrat– burada sətirlərin sayı sütunların sayına bərabərdir (m=n)
Sıfır – bu matrisin bütün elementləri 0-a bərabərdir.
Köçürülən matris- sətirləri sütunlarla əvəz etməklə orijinal A matrisindən alınmış B matrisi.
Subay– əsas diaqonalın bütün elementləri 1-ə bərabərdir, qalanları isə 0-dır.
tərs matris- matris, vurulduqda orijinal matris eynilik matrisi ilə nəticələnir.
Matris əsas və ikinci dərəcəli diaqonallara görə simmetrik ola bilər. Yəni, əgər a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. onda matris əsas diaqonala görə simmetrikdir. Yalnız kvadrat matrislər simmetrikdir.
İndi gəlin birbaşa matrisləri necə həll etmək sualına keçək.

Matris əlavəsi.

Matrislər eyni ölçüyə malikdirsə, cəbri olaraq əlavə edilə bilər. A matrisini B matrisi ilə əlavə etmək üçün A matrisinin birinci sütununun birinci sətirinin elementini B matrisinin birinci sətirinin birinci elementi ilə, A matrisinin birinci sətirinin ikinci sütununun elementini əlavə etmək lazımdır. B matrisinin birinci cərgəsinin ikinci sütununun elementi ilə və s.
Əlavənin xüsusiyyətləri
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Matrisin vurulması.

Matrislər ardıcıl olarsa, onları çoxaltmaq olar. A matrisinin sütunlarının sayı B matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olarsa, A və B matrisləri ardıcıl hesab olunur.
Əgər A m-dən n, B n-dən k ölçüsündədirsə, C=A*B matrisi m-dən k ölçüsündə olacaq və elementlərdən ibarət olacaqdır.

Burada C 11 bir sıra A matrisinin və B matrisinin sütununun elementlərinin qoşa hasillərinin cəmidir, yəni element A matrisinin birinci sətirinin birinci sütununun elementinin hasilinin cəmidir. B matrisinin birinci cərgəsinin birinci sütununun elementi ilə, A matrisinin birinci sətirinin ikinci sütununun elementi ilə B matrislərinin ikinci sırasının birinci sütununun elementi ilə və s.
Çarpma zamanı vurma qaydası vacibdir. A*B B*A-ya bərabər deyil.

Determinantın tapılması.

İstənilən kvadrat matris müəyyənedici və ya determinant yarada bilər. det yazır. Və ya | matris elementləri |
2-dən 2-ə qədər olan matrislər üçün. Əsas və ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasili arasında fərq olduğunu müəyyən edin.

Ölçüləri 3 ilə 3 və ya daha çox olan matrislər üçün. Determinantın tapılması əməliyyatı daha mürəkkəbdir.
Konseptləri təqdim edək:
Kiçik element– bu elementin yerləşdiyi ilk matrisin sətir və sütununun üstündən xətt çəkməklə ilkin matrisdən alınan matrisin təyinedicisidir.
Cəbri tamamlayıcı matrisin elementi, bu elementin kiçik hissəsinin bu elementin yerləşdiyi orijinal matrisin sətir və sütununun cəminin gücünə -1 ilə hasilidir.
İstənilən kvadrat matrisin determinantı matrisin istənilən cərgəsinin elementlərinin müvafiq cəbri tamamlamaları ilə hasilinin cəminə bərabərdir.

Matrisin çevrilməsi

Matrisin inversiyası əvvəlində tərifini verdiyimiz matrisin tərsini tapmaq prosesidir. Tərs matris orijinal ilə eyni şəkildə -1 dərəcəsi əlavə edilməklə qeyd olunur.
Düsturdan istifadə edərək tərs matrisi tapın.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Burada A * T cəbri tamamlamaların köçürülmüş matrisidir.

Matrislərin həllinə dair nümunələri video dərslik şəklində etdik

:

Bunu anlamaq istəyirsinizsə, mütləq izləyin.

Bunlar matrislərin həlli üçün əsas əməliyyatlardır. Haqqında əlavə sualınız varsa matrisləri necə həll etmək olar, şərhlərdə yazmaqdan çekinmeyin.

Hələ də başa düşə bilmirsinizsə, bir mütəxəssislə əlaqə saxlamağa çalışın.

Xidmətin məqsədi. Matris kalkulyatoru 3A-CB 2 və ya A -1 +B T kimi matris ifadələrinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Təlimatlar. Onlayn həll üçün matris ifadəsini təyin etməlisiniz. İkinci mərhələdə matrislərin ölçüsünü aydınlaşdırmaq lazım gələcək.

Matrislər üzrə hərəkətlər

Etibarlı əməliyyatlar: vurma (*), toplama (+), çıxma (-), tərs matris A^(-1), eksponentasiya (A^2, B^3), matrisin köçürülməsi (A^T).

Etibarlı əməliyyatlar: vurma (*), toplama (+), çıxma (-), tərs matris A^(-1), eksponentasiya (A^2, B^3), matrisin köçürülməsi (A^T).
Əməliyyatların siyahısını yerinə yetirmək üçün nöqtəli vergül (;) ayırıcısından istifadə edin. Məsələn, üç əməliyyatı yerinə yetirmək üçün:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bunu belə yazmalısınız: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matris m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı ədədi cədvəldir, ona görə də matris sxematik olaraq düzbucaqlı kimi təqdim edilə bilər.
Sıfır matris (null matris) bütün elementləri sıfıra bərabər olan və 0 ilə işarələnən matrisdir.
Şəxsiyyət matrisi formanın kvadrat matrisi adlanır

İki A və B matrisləri bərabərdir, əgər onlar eyni ölçüdədirsə və onlara uyğun elementlər bərabərdirsə.
Tək matris müəyyənedicisi sıfıra bərabər olan matrisdir (Δ = 0).

müəyyən edək matrislər üzərində əsas əməliyyatlar.

Matris əlavəsi

Tərif. Eyni ölçülü iki matrisin cəmi, elementləri düstura görə tapılan eyni ölçülü matrisdir. . C = A+B ilə işarələnir.

Misal 6. .
Matrislərin toplanması əməliyyatı istənilən sayda şərtlərə şamil edilir. Aydındır ki, A+0=A.
Bir daha vurğulayaq ki, yalnız eyni ölçülü matrislər əlavə edilə bilər; Müxtəlif ölçülü matrislər üçün toplama əməliyyatı müəyyən edilmir.

Matrislərin çıxılması

Tərif. Eyni ölçülü B və A matrislərinin B-A fərqi C matrisidir ki, A+ C = B olsun.

Matrisin vurulması

Tərif. Bir matrisin α ədədinə hasilatı onun bütün elementlərini α, ilə vurmaqla A-dan alınan matrisdir.
Tərif. İki matris verilsin və , və A sütunlarının sayı B sətirlərinin sayına bərabərdir. A-nın B-yə hasili elementləri düstura görə tapılan matrisdir. .
C = A·B ilə işarələnir.
Sxematik olaraq, matrisin çoxaldılması əməliyyatı aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər:

və məhsuldakı elementin hesablanması qaydası:

Bir daha vurğulayaq ki, A·B məhsulu o zaman məna kəsb edir ki, birinci amilin sütunlarının sayı ikincinin sətirlərinin sayına bərabər olsun və məhsul sətirlərin sayı bərabər olan matris çıxarsın. birinci amilin sıralarının sayı, sütunların sayı isə ikincinin sütunlarının sayına bərabərdir. Xüsusi onlayn kalkulyatordan istifadə edərək çarpmanın nəticəsini yoxlaya bilərsiniz.

Misal 7. Verilmiş matrislər Və . C = A·B və D = B·A matrislərini tapın.
Həll. Hər şeydən əvvəl qeyd edək ki, A·B məhsulu A-nın sütunlarının sayı B-nin sətirlərinin sayına bərabər olduğu üçün mövcuddur.

Qeyd edək ki, ümumi halda A·B≠B·A, yəni. matrislərin məhsulu antikommutativdir.
B·A (vurma mümkündür) tapaq.

Misal 8. Bir matris verilmişdir . 3A 2 - 2A tapın.
Həll.

.
; .
.
Aşağıdakı maraqlı faktı qeyd edək.
Bildiyiniz kimi, sıfırdan fərqli iki ədədin hasili sıfıra bərabər deyil. Matrislər üçün oxşar hal baş verə bilməz, yəni sıfırdan fərqli matrislərin məhsulu sıfır matrisə bərabər ola bilər.

Xətti cəbr 1

Matrislər 1

Matrislər üzərində əməliyyatlar 2

Matris təyinediciləri 6

Tərs matris 13

Matris dərəcəsi 16

Xətti müstəqillik 21

Xətti tənliklər sistemləri 24

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üsulları 27

Tərs matris metodu 27

Kramer düsturlarından istifadə edərək kvadrat matrisli xətti tənliklər sistemlərinin həlli üsulu 29

Qauss metodu (dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsulu) 31

Xətti Cəbr Matrisləri

Matris mxn ölçüsü m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi təşkil edən ədədlərə matris elementləri deyilir.

Matrislər adətən böyük Latın hərfləri ilə, elementlər isə eyni, lakin ikiqat indeksləşdirmə ilə kiçik hərflərlə işarələnir.

Məsələn, 2 x 3 A matrisini nəzərdən keçirək:

Bu matrisin iki cərgəsi (m= 2) və üç sütunu (n= 3), yəni. altı elementdən ibarətdir a ij, burada i sətir nömrəsi, j sütun nömrəsidir. Bu vəziyyətdə, 1-dən 2-yə qədər və birdən üçə qədər (yazılı
). Yəni, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Eyni ölçülü (mxn) A və B matrisləri adlanır bərabərdir, əgər onlar element-element üst-üstə düşürsə, yəni a ij =b ij üçün
, yəni. hər hansı i və j üçün (i, j yazıla bilər).

Matris sıra bir sətirdən ibarət matrisdir və matris-sütun bir sütundan ibarət matrisdir.

Misal üçün,
sıra matrisidir və
.

Kvadrat matris n-ci sıra matrisdir, sətirlərin sayı sütunların sayına və n-ə bərabərdir.

Misal üçün,
- ikinci dərəcəli kvadrat matrisa.

Diaqonal matris elementləri sıra nömrəsi sütun nömrəsinə bərabər olan elementlərdir (a ij ,i=j). Bu elementlər əmələ gəlir əsas diaqonal matrislər. Əvvəlki misalda əsas diaqonal a 11 = 3 və 22 = 5 elementləri ilə formalaşır.

Diaqonal matris bütün diaqonal olmayan elementlərin sıfır olduğu kvadrat matrisdir. Misal üçün,
- üçüncü dərəcəli diaqonal matris. Bütün diaqonal elementlər birinə bərabərdirsə, matris adlanır subay(adətən E hərfi ilə işarələnir). Misal üçün,
üçüncü dərəcəli eynilik matrisidir.

Matris deyilir sıfır, əgər onun bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə.

Kvadrat matrisa deyilir üçbucaqlı, əgər onun bütün elementləri aşağıda (və ya yuxarıda) əsas diaqonal sıfıra bərabərdirsə. Misal üçün,
- üçüncü dərəcəli üçbucaqlı matris.

Matrislər üzərində əməliyyatlar

Matrislər üzərində aşağıdakı əməliyyatlar yerinə yetirilə bilər:

1. Bir matrisin ədədə vurulması. A matrisinin və  ədədinin hasili istənilən i və j üçün elementləri b ij =a ij olan B =A matrisidir.

Məsələn, əgər
, Bu
.

2. Matris əlavəsi. Eyni ölçülü m x n iki A və B matrisinin cəmi elementləri ij ​​=a ij +b ij fori,j olan C = A + B matrisidir.

Məsələn, əgər
Bu

.

Qeyd edək ki, əvvəlki əməliyyatlar vasitəsilə müəyyən etmək olar matrisin çıxılması eyni ölçülü: fərq A-B = A + (-1)*B.

3. Matrisin vurulması. mxn ölçülü A matrisinin nxp ölçülü B matrisinə hasili C matrisidir ki, onun hər bir elementi ij ilə A matrisinin i-ci cərgəsinin elementlərinin hasillərinin müvafiq ilə cəminə bərabərdir. B matrisinin j-ci sütununun elementləri, yəni.
.

Məsələn, əgər

, onda məhsul matrisinin ölçüsü 2 x 3 olacaq və belə görünəcək:

Bu halda A matrisinin B matrisinə uyğun olduğu deyilir.

Kvadrat matrislər üçün vurma əməliyyatına əsasən əməliyyat müəyyən edilir eksponentasiya. A kvadrat matrisinin müsbət tam ədədi A m (m > 1) A-ya bərabər olan m matrislərin məhsuludur, yəni.

Biz vurğulayırıq ki, matrislərin toplanması (çıxılması) və vurulması hər hansı iki matris üçün deyil, yalnız onların ölçüsü üçün müəyyən tələbləri ödəyənlər üçün müəyyən edilir. Matrislərin cəmini və ya fərqini tapmaq üçün onların ölçüsü eyni olmalıdır. Matrislərin hasilini tapmaq üçün birincinin sütunlarının sayı ikincinin sətirlərinin sayı ilə üst-üstə düşməlidir (belə matrislər adlanır). razılaşdırılmış).

Rəqəmlər üzərində əməllərin xassələrinə bənzər, nəzərdən keçirilən əməliyyatların bəzi xassələrini nəzərdən keçirək.

1) Kommutativ (kommutativ) toplama qanunu:

A + B = B + A

2) toplamanın assosiativ (kombinativ) qanunu:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Toplamaya nisbətən paylama (paylayıcı) vurma qanunu:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) vurmanın assosiativ (kombinativ) qanunu:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Biz vurğulayırıq ki, matrislər üçün çoxalmanın kommutativ qanunu ümumi vəziyyətdə təmin olunmur, yəni. AB BA. Üstəlik, AB-nin mövcudluğu mütləq BA-nın mövcudluğunu nəzərdə tutmur (matrislər ardıcıl olmaya bilər, sonra isə onların məhsulu, matrislərin vurulmasının yuxarıdakı misalında olduğu kimi, ümumiyyətlə müəyyən edilmir). Amma hər iki əsər mövcud olsa da, adətən fərqli olur.

Müəyyən bir halda, hər hansı bir kvadrat matrisin A və eyni düzənli eynilik matrisinin məhsulu kommutativ qanuna malikdir və bu hasil A-ya bərabərdir (burada eynilik matrisi ilə vurma ədədləri vurarkən birə vurmağa bənzəyir):

AE = EA = A

Həqiqətən,

Matris vurma və ədəd vurma arasındakı bir fərqi daha vurğulayaq. Ədədlərin hasili sıfıra bərabər ola bilər, o halda və yalnız onlardan ən azı biri sıfıra bərabərdir. Bu matrislər haqqında deyilə bilməz, yəni. sıfır olmayan matrislərin məhsulu sıfır matrisə bərabər ola bilər. Misal üçün,

Matrislər üzərində əməliyyatları nəzərdən keçirməyə davam edək.

4. Matrisin dəyişdirilməsi mxn ölçülü A matrisindən nxm ölçülü A T matrisinə keçid əməliyyatını təmsil edir, burada sətir və sütunlar dəyişdirilir:

%.

Transpozisiya əməliyyatının xüsusiyyətləri:

1) Tərifdən belə çıxır ki, matris iki dəfə köçürülsə, orijinal matrisə qayıdırıq: (A T) T = A.

2) Sabit əmsalı köçürmə işarəsindən çıxarmaq olar: (A) ​​T =A T .

3) Transpozisiya matrisin vurulması və toplanması ilə bağlı paylayıcıdır: (AB) T =B T A T və (A+B) T =B T +A T .