Paylanma cədvəlinin riyazi gözləntiləri. Riyazi gözləmənin xassələri. Diskret təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası
Artıq məlum olduğu kimi, paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt paylama qanunu bilinmir və daha az məlumatla məhdudlaşmaq məcburiyyətində qalır. Bəzən təsadüfi dəyişəni cəmi təsvir edən rəqəmlərdən istifadə etmək daha sərfəlidir; belə nömrələr deyilir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən .
Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərdən biri riyazi gözləntidir.
Gözlənilən dəyər təsadüfi dəyişənin orta qiymətinə təxminən bərabərdir.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.
Əgər təsadüfi dəyişən sonlu paylanma seriyası ilə xarakterizə olunursa:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | səh 1 | səh 2 | səh 3 | … | r s |
sonra riyazi gözlənti M(X) düsturla müəyyən edilir:
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərliklə müəyyən edilir:
təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı haradadır X.
Misal 4.7. Zər atarkən görünən xalların sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll:
Təsadüfi dəyər X 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymətlərini alır. Onun paylanma qanununu yaradaq:
| X | ||||||
| R |
Sonra riyazi gözlənti belədir:
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
1. Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:
M (S) = S.
2. Sabit amil riyazi gözləmə işarəsindən çıxarıla bilər:
M (CX) = CM (X).
3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X)M(Y).
Misal 4.8. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
XY təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın.
Həll.
Bu kəmiyyətlərin hər birinin riyazi gözləntilərini tapaq:
Təsadüfi dəyişənlər X Və Y müstəqildir, buna görə də tələb olunan riyazi gözlənti:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
4. İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Nəticə. Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Misal 4.9. Hədəfi vurma ehtimalı ilə 3 atış atılır səh 1 = 0,4; səh2= 0,3 və səh 3= 0,6. Xitlərin ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll.
İlk atışdakı vuruşların sayı təsadüfi dəyişəndir X 1, yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: 1 (vurma) ehtimalı ilə səh 1= 0,4 və 0 (qaçır) ehtimalı ilə q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
İlk atışdakı vuruşların sayının riyazi gözləntiləri vuruş ehtimalına bərabərdir:
Eynilə, ikinci və üçüncü atışlar üçün vuruşların sayının riyazi gözləntilərini tapırıq:
M(X 2)= 0,3 və M(X 3)= 0,6.
Xitlərin ümumi sayı da üç atışın hər birindəki vuruşların cəmindən ibarət təsadüfi dəyişəndir:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Tələb olunan riyazi gözlənti X Biz bunu cəminin riyazi gözləntisinə dair teoremdən istifadə edərək tapırıq.
Böyüklük
Təsadüfi elementlərin əsas ədədi xarakteristikaları
Sıxlığın paylanması qanunu təsadüfi dəyişəni xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt bu bilinmir və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalı olur. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir. Belə nömrələr deyilir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən. Əsas olanlara baxaq.
Tərif:Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi M(X) bu kəmiyyətin bütün mümkün qiymətlərinin məhsullarının və onların ehtimallarının cəmidir:
Diskret təsadüfi dəyişən olarsa X sayıla biləcək çoxlu mümkün qiymətlər alır, onda
Üstəlik, riyazi gözlənti, əgər bu seriya tamamilə yaxınlaşsa, mövcuddur.
Tərifdən belə çıxır M(X) diskret təsadüfi dəyişən təsadüfi olmayan (sabit) dəyişəndir.
Misal: Qoy X- hadisənin baş vermə sayı A bir imtahanda, P(A) = p. Riyazi gözləntiləri tapmaq lazımdır X.
Həll: Cədvəl paylama qanunu yaradaq X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - səh | səh |
Riyazi gözləntiləri tapaq:
Beləliklə, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.
Termin mənşəyi gözlənilən dəyər ehtimal nəzəriyyəsinin yaranmasının ilkin dövrü (XVI-XVII əsrlər) ilə əlaqədardır ki, onun tətbiq dairəsi qumar oyunları ilə məhdudlaşır. Oyunçu gözlənilən qələbənin orta dəyəri ilə maraqlandı, yəni. qələbənin riyazi gözləntisi.
Gəlin nəzərdən keçirək riyazi gözləmənin ehtimal mənası.
Qoy istehsal olunsun n təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi m 1 dəfə dəyəri x 1, m 2 dəfə dəyəri x 2 və s. və nəhayət, o, qəbul etdi m k dəfə dəyəri x k, və m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Sonra təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin cəmi X, bərabərdir x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin arifmetik ortası X, bərabərdir:
çünki hər hansı bir dəyər üçün dəyərin nisbi tezliyidir i = 1, …, k.
Məlum olduğu kimi, əgər testlərin sayı n kifayət qədər böyükdür, onda nisbi tezlik təxminən hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir, buna görə də,
Beləliklə, .
Nəticə:Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir (nə qədər dəqiq olsa, testlərin sayı bir o qədər çox olar).
Riyazi gözləmənin əsas xassələrini nəzərdən keçirək.
Mülk 1:Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabit dəyərin özünə bərabərdir:
M(C) = C.
Sübut: Sabit İLƏ hesab edilə bilər ki, bunun bir mümkün mənası var İLƏ və bunu ehtimalla qəbul edir p = 1. Beləliklə, M(C) =C 1= S.
müəyyən edək sabit dəyişən C və diskret təsadüfi dəyişən X məhsulu diskret təsadüfi dəyişən kimi CX, mümkün dəyərləri sabitin məhsullarına bərabərdir İLƏ mümkün dəyərlərə X CX uyğun mümkün qiymətlərin ehtimallarına bərabərdir X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Mülk 2:Sabit amil riyazi gözləmə işarəsindən çıxarıla bilər:
M(CX) = CM(X).
Sübut: Təsadüfi dəyişən olsun X ehtimal paylanması qanunu ilə verilir:
| X | … | |||
| P | … |
Təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması qanununu yazaq CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Tərif:İki təsadüfi dəyişən müstəqil adlanır, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər dəyişənin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyildir. Əks halda, təsadüfi dəyişənlər asılıdır.
Tərif:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin bir-birindən müstəqil olduğu deyilir, əgər onlardan hər hansı birinin paylanma qanunları qalan dəyişənlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyildir.
müəyyən edək müstəqil diskret təsadüfi dəyişənlərin hasili X və Y diskret təsadüfi dəyişən kimi XY, mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin məhsullarına bərabərdir X hər mümkün dəyər üçün Y. Mümkün dəyərlərin ehtimalları XY amillərin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının məhsullarına bərabərdir.
Təsadüfi dəyişənlərin paylanmaları verilsin X Və Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Sonra təsadüfi dəyişənin paylanması XY formaya malikdir:
| XY | … | |||
| P | … |
Bəzi əsərlər bərabər ola bilər. Bu halda məhsulun mümkün dəyərinin ehtimalı müvafiq ehtimalların cəminə bərabərdir. Məsələn, = olarsa, dəyərin ehtimalı belədir
Mülk 3:İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X) M(Y).
Sübut: Müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun X Və Yöz ehtimal paylama qanunları ilə müəyyən edilir:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Hesablamaları sadələşdirmək üçün biz özümüzü az sayda mümkün dəyərlərlə məhdudlaşdıracağıq. Ümumi halda sübut oxşardır.
Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu yaradaq XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Nəticə:Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Sübut: Qarşılıqlı müstəqil üç təsadüfi dəyişən üçün sübut edək X,Y,Z. Təsadüfi dəyişənlər XY Və Z müstəqildir, onda alırıq:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin ixtiyari sayı üçün sübut riyazi induksiya üsulu ilə həyata keçirilir.
Misal: Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Tapmaq lazımdır M(XY).
Həll: Təsadüfi dəyişənlərdən bəri X Və Y deməli müstəqildirlər M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
müəyyən edək diskret təsadüfi dəyişənlərin cəmi X və Y diskret təsadüfi dəyişən kimi X+Y, mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin cəminə bərabərdir X hər mümkün dəyərlə Y. Mümkün dəyərlərin ehtimalları X+Y müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün X Və Yşərtlərin ehtimallarının hasillərinə, asılı təsadüfi dəyişənlər üçün isə bir müddətin ehtimalının ikincinin şərti ehtimalına hasilinə bərabərdir.
Əgər = və bu dəyərlərin ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdirsə, ehtimal (kimi ilə eyni) bərabərdir.
Mülk 4:İki təsadüfi dəyişənin (asılı və ya müstəqil) cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Sübut:İki təsadüfi dəyişən olsun X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Nəticəni sadələşdirmək üçün özümüzü hər bir kəmiyyətin iki mümkün dəyəri ilə məhdudlaşdıracağıq. Ümumi halda sübut oxşardır.
Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərini tərtib edək X+Y(sadəlik üçün fərz edək ki, bu dəyərlər fərqlidir; yoxsa, sübut oxşardır):
| X+Y | ||||
| P |
Bu dəyərin riyazi gözləntisini tapaq.
M(X+Y) = + + + +
+ = olduğunu sübut edək.
Hadisə X = ( onun ehtimalı P(X = ) təsadüfi dəyişən hadisəsini ehtiva edir X+Y dəyərini alacaq və ya (bu hadisənin ehtimalı, toplama teoreminə görə, bərabərdir) və əksinə. Sonra =.
= = = bərabərlikləri də oxşar şəkildə isbat edilir
Bu bərabərliklərin sağ tərəflərini riyazi gözlənti üçün yaranan düsturla əvəz edərək əldə edirik:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Nəticə:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Sübut:Üç təsadüfi dəyişən üçün sübut edək X,Y,Z. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntisini tapaq X+Y Və Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
İxtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün sübut riyazi induksiya üsulu ilə həyata keçirilir.
Misal:İki zər atarkən əldə edilə bilən xalların cəminin ortasını tapın.
Həll: Qoy X– ilk zarda görünə biləcək xalların sayı, Y- İkincidə. Aydındır ki, təsadüfi dəyişənlər X Və Y eyni paylamalara malikdir. Dağıtım məlumatlarını yazaq X Və Y bir cədvəldə:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Beləliklə, iki zər atarkən görünə biləcək xalların cəminin orta qiymətidir 7 .
Teorem:n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir: M(X) = np.
Sübut: Qoy X- hadisənin baş vermə sayı A V n müstəqil testlər. Aydındır ki, ümumi sayı X hadisənin baş vermələri A bu sınaqlarda fərdi sınaqlarda hadisənin baş vermə sayının cəmidir. Sonra, əgər birinci məhkəmədə bir hadisənin baş vermə sayı, ikincidə və s., nəhayət, hadisənin baş vermə sayıdırsa. n-ci testdən sonra hadisənin baş vermələrinin ümumi sayı düsturla hesablanır:
By riyazi gözləntinin 4-cü xassəsi bizdə:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi hadisənin baş vermə ehtimalına bərabər olduğundan, onda
M( ) = M( )= … = M( ) = səh.
Beləliklə, M(X) = np.
Misal: Silahdan atəş açarkən hədəfə dəymə ehtimalı p = 0,6. Əgər edilmişsə, orta vuruş sayını tapın 10 atışlar.
Həll: Hər atış üçün vuruş digər atışların nəticələrindən asılı deyil, buna görə də nəzərdən keçirilən hadisələr müstəqildir və buna görə də tələb olunan riyazi gözləntiyə bərabərdir:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Beləliklə, ortalama hit sayı 6-dır.
İndi fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini nəzərdən keçirin.
Tərif:Mümkün dəyərləri intervala aid olan fasiləsiz təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisi,çağırdı müəyyən inteqral:
burada f(x) ehtimalın paylanma sıxlığıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişən X-in mümkün dəyərləri bütün Ox oxuna aiddirsə, onda
Ehtimal olunur ki, bu düzgün olmayan inteqral mütləq birləşir, yəni. inteqral yaxınlaşır Əgər bu tələb yerinə yetirilməsəydi, onda inteqralın dəyəri (ayrıca) aşağı həddin -∞, yuxarı həddin isə +∞-ə meyl etmə sürətindən asılı olardı.
Bunu sübut etmək olar diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisinin bütün xassələri davamlı təsadüfi dəyişən üçün qorunur.. Sübut müəyyən və uyğun olmayan inteqralların xassələrinə əsaslanır.
Aydındır ki, riyazi gözlənti M(X) təsadüfi dəyişənin ən kiçikindən böyük və mümkün olan ən böyük dəyərindən kiçik X. Bunlar. ədəd oxunda təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri onun riyazi gözləntisinin solunda və sağında yerləşir. Bu mənada riyazi gözlənti M(X) paylanma yerini xarakterizə edir və buna görə də tez-tez adlanır paylama mərkəzi.
1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir M(S)=C
.
2. Sabit amili riyazi gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar: M(CX)=CM(X)
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: M(XY)=M(X) M(Y).
4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorem. n müstəqil sınaqda A hadisələrinin baş vermə sayının M(x) riyazi gözləntisi hər sınaqda hadisələrin baş vermə ehtimalı ilə bu sınaqların hasilinə bərabərdir: M(x) = np.
Qoy X - təsadüfi dəyişən və M(X) – onun riyazi gözləntisi. Fərqi yeni təsadüfi dəyişən kimi nəzərdən keçirək X - M(X).
Sapma təsadüfi dəyişən ilə onun riyazi gözləntiləri arasındakı fərqdir.
Sapma aşağıdakı paylama qanununa malikdir:
Həlli: Riyazi gözləntiləri tapaq:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Kvadrat sapmanın paylanma qanununu yazaq:
Həlli: M(x)-in riyazi gözləntisini tapaq: M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
X 2 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu yazaq
| X 2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Riyazi gözləntiləri tapaq M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Tələb olunan dispersiya D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05
Dispersiya xüsusiyyətləri:
1. Sabit qiymətin dəyişməsi İLƏ
sıfıra bərabərdir: D(C)=0
2. Daimi əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Fərqlilik binomial paylanma sınaqların sayının hasilinə və bir sınaqda hadisənin baş verməsi və baş verməməsi ehtimalına bərabərdir D(X)=npq
Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin orta dəyəri ətrafında dispersiyasını qiymətləndirmək üçün dispersiyadan əlavə bəzi digər xüsusiyyətlərdən də istifadə olunur. Bunlara standart sapma daxildir.
Təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşması X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır:
σ(X) = √D(X) (4)
Misal. X təsadüfi kəmiyyət paylanma qanunu ilə verilir
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Standart kənarlaşmanı tapın σ(x)
Həlli: X-in riyazi gözləntisini tapaq: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
X 2-nin riyazi gözləntisini tapaq: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Dispersiyanı tapaq: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Tələb olunan standart kənarlaşma σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
Teorem. Sonlu sayda qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin standart sapması bərabərdir kvadrat kök bu kəmiyyətlərin standart kənarlaşmalarının kvadratlarının cəmindən:
Misal. Rəfdə 6 kitab, 3 riyaziyyat və 3 fizika kitabı var. Üç kitab təsadüfi seçilir. Seçilmiş kitablar arasında riyaziyyat üzrə kitabların sayının paylanması qanununu tapın. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.
D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Həll:
6.1.2 Riyazi gözləmənin xassələri
1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir.
2. Riyazi gözləntinin əlaməti kimi sabit amil çıxarıla bilər. 
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Bu xassə ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün doğrudur.
4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Bu xassə ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün də doğrudur.
Misal: M(X) = 5, M(Y)= 2. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın Z, riyazi gözləntilərin xassələrinin tətbiqi, əgər məlumdursa Z=2X+3Y.
Həll: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) cəminin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərin cəminə bərabərdir
2) sabit amili riyazi gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar
n müstəqil sınaq aparılsın, A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p-ə bərabərdir. Onda aşağıdakı teorem yerinə yetirilir:
Teorem. n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir.
6.1.3 Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası
Riyazi gözlənti təsadüfi prosesi tam xarakterizə edə bilməz. Riyazi gözləntiyə əlavə olaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin riyazi gözləntidən sapmasını xarakterizə edən bir dəyər daxil etmək lazımdır.
Bu sapma təsadüfi dəyişən ilə onun riyazi gözləntiləri arasındakı fərqə bərabərdir. Bu halda, kənarlaşmanın riyazi gözləntiləri sıfırdır. Bu, bəzi mümkün kənarlaşmaların müsbət, digərlərinin mənfi olması və onların qarşılıqlı ləğvi nəticəsində sıfırın əldə edilməsi ilə izah olunur.
Dağılma (səpilmə) diskret təsadüfi kəmənin riyazi gözləntisindən təsadüfi dəyişənin kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir.
Praktikada dispersiyanı hesablamaq üçün bu üsul əlverişsizdir, çünki çoxlu sayda təsadüfi dəyişən qiymətləri üçün çətin hesablamalara gətirib çıxarır.
Buna görə də başqa üsuldan istifadə olunur.
Teorem. Dispersiya X təsadüfi kəmiyyətinin kvadratının riyazi gözləntisi ilə onun riyazi gözləntisinin kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir..
Sübut. M(X) riyazi gözləntinin və M2(X) riyazi gözləntinin kvadratının sabit kəmiyyətlər olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
Misal. Paylanma qanunu ilə verilən diskret təsadüfi kəmənin dispersiyasını tapın.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Həll: .
6.1.4 Dispersiya xassələri
1. Sabit qiymətin dispersiyası sıfırdır. .
2. Daimi əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. 
.
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .
4. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyət arasındakı fərqin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .
Teorem. Hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı p sabit olan n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının dəyişməsi sınaqların sayının baş vermə ehtimalı və baş vermə ehtimalı ilə hasilinə bərabərdir. hər sınaqda hadisənin baş verməsi.
Nümunə: DSV X dispersiyasını tapın - 2 müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını, əgər bu sınaqlarda hadisənin baş vermə ehtimalı eyni olarsa və M(X) = 1,2 olduğu məlumdursa.
6.1.2-ci bölmədəki teoremi tətbiq edək:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Gəlin tapaq səh:
1,2 = 2∙səh
səh = 1,2/2
q = 1 – səh = 1 – 0,6 = 0,4
Düsturdan istifadə edərək fərqi tapaq:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Diskret təsadüfi kəmiyyətin standart kənarlaşması
Standart sapma təsadüfi dəyişən X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır.
(25)
Teorem. Sonlu sayda qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin standart kənarlaşması bu dəyişənlərin standart kənarlaşmalarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir.
6.1.6 Diskret təsadüfi kəmiyyətin rejimi və medianı
Moda M və ya DSV təsadüfi dəyişənin ən çox ehtimal olunan dəyəri deyilir (yəni ən yüksək ehtimala malik olan dəyər)
Median M e DSV paylama seriyasını yarıya bölən təsadüfi dəyişənin qiymətidir. Təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin sayı cütdürsə, median iki orta dəyərin arifmetik ortası kimi tapılır.
Nümunə: DSV-nin rejimini və medianı tapın X:
| X | ||||
| səh | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
M e = = 5,5
Tərəqqi
1. Bu işin nəzəri hissəsi ilə (mühazirələr, dərslik) tanış olun.
2. Tapşırığı öz versiyanıza uyğun yerinə yetirin.
3. İşlə bağlı hesabat hazırlayın.
4. İşinizi qoruyun.
2. İşin məqsədi.
3. İşin inkişafı.
4. Öz seçiminizin həlli.
6.4 Tapşırıq seçimləri müstəqil iş
Seçim №1
1. Paylanma qanunu ilə verilmiş DSV X-nin riyazi gözləntisini, dispersiyasını, standart kənarlaşmasını, rejimini və medianı tapın.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. DSV X dispersiyasını - iki müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını tapın, əgər bu sınaqlarda hadisələrin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və M (X) = 1 olduğu məlumdur.
4. Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin siyahısı verilmişdir X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5 və bu qiymətin və onun kvadratının riyazi gözləntiləri də məlumdur: , . , -nin mümkün qiymətlərinə uyğun olan , , , ehtimallarını tapın və DSV paylama qanununu tərtib edin.
Seçim № 2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. DSV X dispersiyasını - üç müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını tapın, əgər bu sınaqlarda hadisələrin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və M (X) = 0,9 olduğu məlumdur.
4. Diskret təsadüfi dəyişən X-in mümkün qiymətlərinin siyahısı verilmişdir: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10 və bu qiymətin və onun kvadratının riyazi gözləntiləri də məlumdur: , . , -nin mümkün qiymətlərinə uyğun olan , , , ehtimallarını tapın və DSV paylama qanununu tərtib edin.
Seçim №3
1. Paylanma qanunu ilə verilmiş DSV X-nin riyazi gözləntisini, dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. DSV X dispersiyasını - dörd müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını tapın, əgər bu sınaqlarda hadisələrin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və M (x) = 1,2 olduğu məlumdur.
Riyazi gözlənti anlayışı zərb atma nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirilə bilər. Hər atışda atılan xallar qeydə alınır. Onları ifadə etmək üçün 1-6 aralığında təbii dəyərlər istifadə olunur.
Müəyyən sayda atışdan sonra sadə hesablamalardan istifadə edərək yuvarlanan xalların arifmetik ortalamasını tapa bilərsiniz.
Aralıqdakı dəyərlərdən hər hansı birinin meydana çıxması kimi, bu dəyər də təsadüfi olacaqdır.
Əgər atışların sayını bir neçə dəfə artırsan? Çox sayda atışla, balların arifmetik ortalaması, ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözlənti adlanan müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşacaq.
Beləliklə, riyazi gözləmə dedikdə təsadüfi dəyişənin orta qiymətini nəzərdə tuturuq. Bu göstərici həm də ehtimal olunan dəyər dəyərlərinin çəkili cəmi kimi təqdim edilə bilər.
Bu anlayışın bir neçə sinonimi var:
- orta dəyər;
- orta dəyər;
- mərkəzi tendensiya göstəricisi;
- ilk an.
Başqa sözlə, bu, təsadüfi bir dəyişənin dəyərlərinin paylandığı bir nömrədən başqa bir şey deyil.
İnsan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində riyazi gözləntilərin dərk edilməsinə yanaşmalar bir qədər fərqli olacaqdır.
Bunu belə hesab etmək olar:
- böyük ədədlər nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən belə bir qərar qəbul edildikdə, qərarın qəbul edilməsindən əldə edilən orta mənfəət;
- hər mərc üçün orta hesabla hesablanmış uduş və ya uduzmanın mümkün məbləği (qumar nəzəriyyəsi). Arqonda onlar “oyunçu üstünlüyü” (oyunçu üçün müsbət) və ya “kazino üstünlüyü” (oyunçu üçün mənfi) kimi səslənir;
- uduşlardan əldə edilən mənfəətin faizi.
Gözləmə tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün məcburi deyil. Müvafiq cəmdə və ya inteqralda uyğunsuzluq olanlar üçün yoxdur.
Riyazi gözləmənin xassələri
Hər hansı bir statistik parametr kimi, riyazi gözlənti də aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar
Riyazi gözləntinin hesablanması həm davamlılıqla (formula A), həm də diskretliklə (formula B) xarakterizə olunan təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi təsadüfi dəyişənin qiymətləridir, pi isə ehtimallardır:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilmiş ehtimal sıxlığıdır.
Riyazi gözləntilərin hesablanması nümunələri
Misal A.
Snow White haqqında nağılda cırtdanların orta boyunu öyrənmək mümkündürmü? Məlumdur ki, 7 cırtdanın hər birinin müəyyən hündürlüyü var idi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 və 0,81 m.
Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:
- artım göstəricisinin bütün dəyərlərinin cəmini tapırıq (təsadüfi dəyişən):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Yaranan məbləği gnomların sayına bölün:
6,31:7=0,90.
Belə ki, nağıldakı gnomların orta boyu 90 sm-dir.Yəni gnomların böyüməsinin riyazi gözləntisi budur.
İş düsturu - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Riyazi gözləmənin praktiki həyata keçirilməsi
Riyazi gözləmənin statistik göstəricisinin hesablanmasına praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrində müraciət edilir. Söhbət ilk növbədə kommersiya sahəsindən gedir. Axı Huygensin bu göstəricini təqdim etməsi hansısa hadisə üçün əlverişli və ya əksinə, əlverişsiz ola biləcək şansların müəyyən edilməsi ilə bağlıdır.
Bu parametr riskləri qiymətləndirmək üçün, xüsusən də maliyyə investisiyalarına gəldikdə geniş istifadə olunur.
Beləliklə, biznesdə riyazi gözləntilərin hesablanması qiymətlərin hesablanması zamanı riskin qiymətləndirilməsi metodu kimi çıxış edir.
Bu göstərici müəyyən tədbirlərin, məsələn, əməyin mühafizəsinin effektivliyini hesablamaq üçün də istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablaya bilərsiniz.
Bu parametrin başqa bir tətbiq sahəsi idarəetmədir. Məhsulun keyfiyyətinə nəzarət zamanı da hesablana bilər. Məsələn, mat istifadə edərək. gözləntilər, istehsal qüsurlu hissələrin mümkün sayını hesablaya bilərsiniz.
Riyazi gözlənti də, əldə edilən nəticələrin statistik emalı zamanı əvəzolunmaz olur. elmi araşdırma nəticələr. O, məqsədə nail olmaq səviyyəsindən asılı olaraq eksperimentin və ya tədqiqatın istənilən və ya arzuolunmaz nəticəsinin olma ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı onun nailiyyəti qazanc və fayda ilə, uğursuzluğu isə itki və ya itki ilə əlaqələndirilə bilər.
Forex-də riyazi gözləntidən istifadə
Praktik istifadə bu statistik parametr valyuta bazarında əməliyyatlar aparılarkən mümkündür. Onun köməyi ilə siz ticarət əməliyyatlarının uğurunu təhlil edə bilərsiniz. Üstəlik, gözlənti dəyərindəki artım onların uğurlarının artdığını göstərir.
Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, riyazi gözlənti treyderin fəaliyyətini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməlidir. Orta qiymətlə birlikdə bir neçə statistik parametrdən istifadə təhlilin dəqiqliyini əhəmiyyətli dərəcədə artırır.
Bu parametr ticarət hesablarının müşahidələrinin monitorinqində özünü yaxşı tərəfdən göstərmişdir. Onun sayəsində depozit hesabı üzrə aparılan işlərin operativ qiymətləndirilməsi həyata keçirilir. Treyderin fəaliyyəti uğurlu olduğu və itkilərdən qaçdığı hallarda, yalnız riyazi gözləntilərin hesablanmasından istifadə etmək tövsiyə edilmir. Bu hallarda risklər nəzərə alınmır ki, bu da təhlilin effektivliyini azaldır.
Treyderlərin taktikasına dair aparılan araşdırmalar göstərir ki:
- Ən təsirli taktikalar təsadüfi girişə əsaslanan taktikalardır;
- Ən az təsirli olanlar strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan taktikalardır.
Müsbət nəticələr əldə etmək üçün daha az əhəmiyyət kəsb etməyənlər:
- pul idarəetmə taktikası;
- çıxış strategiyaları.
Riyazi gözlənti kimi bir göstəricidən istifadə edərək, 1 dollar investisiya edərkən mənfəət və ya zərərin nə olacağını təxmin edə bilərsiniz. Məlumdur ki, kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanan bu göstərici qurumun xeyrinədir. Bu sizə pul qazanmağa imkan verir. Uzun bir oyun seriyası vəziyyətində, müştərinin pul itirmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə artır.
Peşəkar oyunçuların oynadığı oyunlar qısa müddətlərlə məhdudlaşır ki, bu da qalib gəlmə ehtimalını artırır və uduzma riskini azaldır. İnvestisiya əməliyyatlarını həyata keçirərkən də eyni mənzərə müşahidə olunur.
İnvestor müsbət gözləntilərə sahib olmaqla və qısa müddət ərzində çoxlu sayda əməliyyatlar həyata keçirərək əhəmiyyətli məbləğdə qazana bilər.
Gözləmə, mənfəət faizi (PW) ilə orta mənfəətə (AW) vurulan zərər ehtimalının (PL) orta itkiyə (AL) vurulması arasındakı fərq kimi düşünülə bilər.
Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirə bilərik: mövqe – 12,5 min dollar, portfel – 100 min dollar, depozit riski – 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi orta mənfəət 20% olan halların 40% -ni təşkil edir. Zərər halında orta itki 5% təşkil edir. Əməliyyat üçün riyazi gözləntilərin hesablanması $625 dəyər verir.
Yüklənir...