Matrislər, onların təsnifatı, matrislər üzərində hesab əməliyyatları. Matrislər. Matrislərin əsas tərifləri və növləri. Matrislər üzrə hərəkətlər. Matris dərəcəsi anlayışı. Matrislər üzərində əməliyyatlar. Tərs matrisin anlayışı və tapılması Matrislərin xüsusi növləri

Matris riyaziyyatda xüsusi bir obyektdir. O, müəyyən sayda sətir və sütundan ibarət düzbucaqlı və ya kvadrat cədvəl şəklində təsvir edilmişdir. Riyaziyyatda ölçüsü və ya məzmunu ilə fərqlənən müxtəlif növ matrislər mövcuddur. Onun sətir və sütunlarının nömrələrinə sifarişlər deyilir. Bu obyektlər riyaziyyatda sistemlərin qeydini təşkil etmək üçün istifadə olunur xətti tənliklər və onların nəticələri üçün rahat axtarış. Matrisdən istifadə edən tənliklər Carl Gauss, Gabriel Cramer metodu, minorlar və cəbri əlavələr, eləcə də bir çox başqa üsullarla həll edilir. Matrislərlə işləyərkən əsas bacarıq azalmadır. Bununla belə, əvvəlcə riyaziyyatçılar tərəfindən hansı növ matrisləri fərqləndirdiyini anlayaq.

Null növü

Bu tip matrisin bütün komponentləri sıfırdır. Bu arada, onun satır və sütunlarının sayı tamamilə fərqlidir.

Kvadrat növü

Bu tip matrisin sütun və cərgələrinin sayı eynidir. Başqa sözlə, bu, “kvadrat” formalı masadır. Onun sütunlarının (və ya sətirlərinin) sayı sıra adlanır. İkinci dərəcəli (2x2 matris), dördüncü (4x4), onuncu (10x10), on yeddinci (17x17) və s. matrisin mövcudluğu xüsusi hallar hesab olunur.

Sütun vektoru

Bu, üç ədədi dəyərdən ibarət yalnız bir sütundan ibarət ən sadə matris növlərindən biridir. O, xətti tənliklər sistemlərində bir sıra sərbəst terminləri (dəyişənlərdən asılı olmayan ədədlər) təmsil edir.

Əvvəlki ilə oxşar görünüş. Üç ədədi elementdən ibarətdir, öz növbəsində bir sətirdə təşkil edilir.

Diaqonal tip

Matrisin diaqonal şəklindəki ədədi dəyərlər yalnız əsas diaqonalın komponentlərini götürür (yaşıl rənglə vurğulanır). Əsas diaqonal yuxarı sol küncdə yerləşən elementdən başlayır və müvafiq olaraq aşağı sağdakı elementlə bitir. Qalan komponentlər sıfıra bərabərdir. Diaqonal tip yalnız hansısa nizamlı kvadrat matrisidir. Diaqonal matrislər arasında skalyar olanı ayırd etmək olar. Onun bütün komponentləri eyni dəyərləri alır.

Diaqonal matrisin alt növü. Onun hamısı rəqəmli dəyərlər vahidlərdir. Bir növ matris cədvəlindən istifadə edərək, onun əsas çevrilmələrini yerinə yetirir və ya orijinalına əks olan bir matrisi tapır.

Kanonik tip

Matrisin kanonik forması əsas olanlardan biri hesab olunur; Onun azaldılması çox vaxt iş üçün lazımdır. Kanonik matrisdə sətir və sütunların sayı dəyişir və o, mütləq kvadrat tipinə aid deyil. O, eynilik matrisinə bir qədər bənzəyir, lakin onun vəziyyətində əsas diaqonalın bütün komponentləri birə bərabər qiymət almır. İki və ya dörd əsas diaqonal vahid ola bilər (hamısı matrisin uzunluğu və enindən asılıdır). Və ya ümumiyyətlə vahidlər olmaya bilər (onda sıfır hesab olunur). Kanonik tipin qalan komponentləri, həmçinin diaqonal və vahid elementləri sıfıra bərabərdir.

Üçbucaqlı tip

Onun determinantını axtararkən və sadə əməliyyatları yerinə yetirərkən istifadə olunan ən vacib matris növlərindən biri. Üçbucaqlı tip diaqonal tipdən gəlir, buna görə matris də kvadratdır. Üçbucaqlı matris növü yuxarı üçbucaqlı və aşağı üçbucaqlıya bölünür.

Üst üçbucaqlı matrisdə (şək. 1) yalnız əsas diaqonaldan yuxarı olan elementlər sıfıra bərabər qiymət alır. Diaqonalın özünün komponentləri və onun altında yerləşən matrisin hissəsi ədədi dəyərləri ehtiva edir.

Aşağı üçbucaqlı matrisdə (şəkil 2), əksinə, matrisin aşağı hissəsində yerləşən elementlər sıfıra bərabərdir.

Növ matrisin rütbəsini tapmaq üçün, eləcə də onlar üzərində elementar əməliyyatlar üçün (üçbucaqlı tiplə birlikdə) lazımdır. Addım matrisi belə adlandırılmışdır, çünki o, sıfırların xarakterik "addımlarını" ehtiva edir (şəkildə göstərildiyi kimi). Addım tipində sıfırların diaqonalı formalaşır (mütləq əsas deyil) və bu diaqonalın altındakı bütün elementlər də sıfıra bərabər dəyərlərə malikdir. İlkin şərt aşağıdakılardır: addım matrisində sıfır cərgə varsa, onun altında qalan sətirlərdə də ədədi dəyərlər yoxdur.

Beləliklə, onlarla işləmək üçün lazım olan ən vacib matris növlərini araşdırdıq. İndi matrisin tələb olunan formaya çevrilməsi məsələsinə baxaq.

Üçbucaqlı formaya endirilməsi

Matrisi üçbucaqlı formaya necə gətirmək olar? Çox vaxt tapşırıqlarda determinantını tapmaq üçün matrisi üçbucaqlı formaya çevirməlisiniz, əks halda determinant deyilir. Bu proseduru yerinə yetirərkən, matrisin əsas diaqonalını "qorumaq" son dərəcə vacibdir, çünki üçbucaqlı matrisin təyinedicisi onun əsas diaqonalının komponentlərinin məhsuluna bərabərdir. İcazə verin, determinantı tapmaq üçün alternativ üsulları da xatırlayım. Kvadrat tipinin determinantı xüsusi düsturlardan istifadə etməklə tapılır. Məsələn, üçbucaq metodundan istifadə edə bilərsiniz. Digər matrislər üçün sətir, sütun və ya onların elementləri üzrə parçalanma üsulundan istifadə edilir. Kiçiklər və cəbri matris əlavələri metodundan da istifadə edə bilərsiniz.

Bəzi tapşırıqların nümunələrindən istifadə edərək, matrisin üçbucaqlı formaya endirilməsi prosesini ətraflı təhlil edək.

Məşq 1

Təqdim olunan matrisin determinantını üçbucaq formaya endirmə üsulundan istifadə etməklə tapmaq lazımdır.

Bizə verilən matris üçüncü dərəcəli kvadrat matrisdir. Buna görə də, onu üçbucaqlı bir forma çevirmək üçün birinci sütunun iki komponentini və ikincinin bir komponentini sıfırlamalıyıq.

Onu üçbucaqlı formaya gətirmək üçün matrisin aşağı sol küncündən - 6 rəqəmindən transformasiyaya başlayırıq. Onu sıfıra çevirmək üçün birinci sıranı üçə vurub sonuncu cərgədən çıxarırıq.

Vacibdir! Üst sıra dəyişmir, lakin orijinal matrisdə olduğu kimi qalır. Orijinaldan dörd dəfə böyük bir sətir yazmağa ehtiyac yoxdur. Lakin komponentləri sıfıra təyin edilməli olan sətirlərin dəyərləri daim dəyişir.

Yalnız sonuncu dəyər qalır - ikinci sütunun üçüncü sırasının elementi. Bu rəqəmdir (-1). Onu sıfıra çevirmək üçün birinci sətirdən ikincini çıxarın.

yoxlayaq:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Bu o deməkdir ki, tapşırığın cavabı -22-dir.

Tapşırıq 2

Matrisin təyinedicisini üçbucaqlı formaya endirməklə tapmaq lazımdır.

Təqdim olunan matris kvadrat tipə aiddir və dördüncü dərəcəli matrisdir. Bu o deməkdir ki, birinci sütunun üç komponentini, ikinci sütunun iki komponentini və üçüncü sütunun bir komponentini sıfıra çevirmək lazımdır.

Onu aşağı sol küncdə yerləşən elementlə - 4 rəqəmi ilə azaltmağa başlayaq. Bu rəqəmi sıfıra çevirməliyik. Bunu etmək üçün ən asan yol yuxarı xətti dördə vurmaq və sonra dördüncüdən çıxmaqdır. Transformasiyanın birinci mərhələsinin nəticəsini yazaq.

Beləliklə, dördüncü sıra komponenti sıfıra təyin olunur. Üçüncü sətrin birinci elementinə, 3 rəqəminə keçək. Oxşar əməliyyatı yerinə yetiririk. Birinci sətri üçə vurub üçüncü sətirdən çıxarırıq və nəticəni yazırıq.

Transformasiya tələb etməyən əsas diaqonalın elementi olan 1 rəqəmi istisna olmaqla, bu kvadrat matrisin birinci sütununun bütün komponentlərini sıfıra çevirə bildik. İndi ortaya çıxan sıfırları qorumaq vacibdir, ona görə də biz çevrilmələri sütunlarla deyil, sətirlərlə həyata keçirəcəyik. Təqdim olunan matrisin ikinci sütununa keçək.

Yenidən aşağıdan başlayaq - sonuncu cərgənin ikinci sütununun elementi ilə. Bu rəqəm (-7) təşkil edir. Bununla belə, in bu haldaÜçüncü sıranın ikinci sütununun elementi olan (-1) rəqəmi ilə başlamaq daha rahatdır. Onu sıfıra çevirmək üçün üçüncü sətirdən ikincini çıxarın. Sonra ikinci sətri yeddiyə vurub dördüncüdən çıxarırıq. İkinci sütunun dördüncü sətirində yerləşən elementin əvəzinə sıfır aldıq. İndi üçüncü sütuna keçək.

Bu sütunda yalnız bir ədədi sıfıra çevirməliyik - 4. Bunu etmək çətin deyil: sadəcə olaraq sonuncu sətirə üçüncü əlavə edirik və bizə lazım olan sıfırı görürük.

Bütün çevrilmələrdən sonra təklif olunan matrisi üçbucaqlı formaya gətirdik. İndi onun determinantını tapmaq üçün yalnız əsas diaqonalın yaranan elementlərini çoxaltmaq lazımdır. Biz əldə edirik: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Beləliklə, həll 160-dır.

Beləliklə, indi matrisin üçbucaqlı formaya endirilməsi məsələsi sizi narahat etməyəcək.

Mərhələli formaya endirilməsi

Matrislər üzərində elementar əməliyyatlar üçün pilləli forma üçbucaqdan daha az "tələb olunur". Ən tez-tez matrisin dərəcəsini (yəni, onun sıfırdan fərqli cərgələrinin sayı) tapmaq və ya xətti asılı və müstəqil cərgələri müəyyən etmək üçün istifadə olunur. Bununla belə, pilləli matris növü daha universaldır, çünki o, yalnız kvadrat tip üçün deyil, həm də bütün digərləri üçün uyğundur.

Matrisi mərhələli formaya endirmək üçün əvvəlcə onun determinantını tapmaq lazımdır. Yuxarıda göstərilən üsullar bunun üçün uyğundur. Determinantı tapmaqda məqsəd onun pilləli matrisə çevrilib-çevrilmədiyini öyrənməkdir. Determinant sıfırdan böyük və ya kiçikdirsə, o zaman tapşırığa etibarlı şəkildə davam edə bilərsiniz. Sıfıra bərabər olarsa, matrisi pilləli formaya endirmək mümkün olmayacaq. Bu halda, qeyddə və ya matris çevrilmələrində hər hansı bir səhv olub olmadığını yoxlamaq lazımdır. Belə qeyri-dəqiqliklər yoxdursa, tapşırıq həll edilə bilməz.

Bir neçə tapşırığın nümunələrindən istifadə edərək, matrisin mərhələli formaya necə endirilməsinə baxaq.

Məşq 1. Verilmiş matris cədvəlinin dərəcəsini tapın.

Qarşımızda üçüncü dərəcəli kvadrat matris (3x3) var. Biz bilirik ki, rütbəni tapmaq üçün onu mərhələli formada azaltmaq lazımdır. Buna görə də əvvəlcə matrisin determinantını tapmalıyıq. Üçbucaq metodundan istifadə edək: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant = 12. Sıfırdan böyükdür, yəni matrisin pilləli formaya endirilməsi mümkündür. Onu çevirməyə başlayaq.

Üçüncü sətrin sol sütununun elementi ilə başlayaq - rəqəm 2. Üst sətri ikiyə vurun və üçüncüdən çıxarın. Bu əməliyyat sayəsində həm bizə lazım olan element, həm də 4 rəqəmi - üçüncü sıranın ikinci sütununun elementi sıfıra çevrildi.

Baxırıq ki, reduksiya nəticəsində üçbucaqlı matris əmələ gəlib. Bizim vəziyyətimizdə biz çevrilməni davam etdirə bilmərik, çünki qalan komponentlər sıfıra endirilə bilməz.

Bu o deməkdir ki, bu matrisdə (və ya onun dərəcəsində) ədədi dəyərləri ehtiva edən cərgələrin sayı 3-dür. Tapşırığın cavabı: 3.

Tapşırıq 2. Bu matrisin xətti müstəqil cərgələrinin sayını təyin edin.

Biz heç bir transformasiya ilə sıfıra çevrilə bilməyən sətirləri tapmalıyıq. Əslində, sıfırdan fərqli cərgələrin sayını və ya təqdim olunan matrisin dərəcəsini tapmalıyıq. Bunu etmək üçün gəlin bunu sadələşdirək.

Kvadrat tipə aid olmayan bir matris görürük. Ölçüsü 3x4. Aşağı sol küncün elementi - rəqəm (-1) ilə də azalmaya başlayaq.

Onun sonrakı çevrilməsi mümkün deyil. Bu o deməkdir ki, onda xətti müstəqil xətlərin sayı və tapşırığın cavabı 3-dür.

İndi matrisin pilləli formaya endirilməsi sizin üçün qeyri-mümkün bir iş deyil.

Bu tapşırıqların nümunələrindən istifadə edərək, matrisin üçbucaqlı formaya və pilləli formaya endirilməsini araşdırdıq. Matris cədvəllərinin istədiyiniz dəyərlərini sıfıra çevirmək üçün bəzi hallarda təxəyyülünüzü istifadə etməli və onların sütun və ya sətirlərini düzgün çevirməlisiniz. Riyaziyyatda və matrislərlə işləməkdə uğurlar!

Matris anlayışı/tərifi. Matrislərin növləri

Matrisin tərifi. Matris müəyyən sayda m sətir və müəyyən sayda n sütundan ibarət düzbucaqlı rəqəmlər cədvəlidir.

Əsas matris anlayışları: m və n ədədləri matrisin sıraları adlanır. Əgər m=n olarsa, matris çağırılır kvadrat, m=n isə onun sırasıdır.

Matris yazmaq üçün aşağıdakı qeydlərdən istifadə olunacaq: Baxmayaraq ki, bəzən ədəbiyyatda qeyd tapılır: Bununla belə, matrisi qısaca ifadə etmək üçün latın əlifbasının böyük bir hərfi tez-tez (məsələn, A) və ya ||aij|| simvolu və bəzən izahatla istifadə olunur: A=||aij||=(aij) ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

Bu matrisə daxil olan aij ədədləri onun elementləri adlanır. aij girişində birinci indeks i sətir nömrəsi, ikinci indeks j isə sütun nömrəsidir.

Məsələn, matris bu 2×3 tərtibli matrisdir, onun elementləri a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...

Beləliklə, biz matrisin tərifini təqdim etdik. Matrislərin növlərini nəzərdən keçirək və müvafiq tərifləri verək.

Matrislərin növləri

Matrislər anlayışını təqdim edək: kvadrat, diaqonal, vahid və sıfır.

Kvadrat matrisin tərifi: Kvadrat matris N-ci dərəcəli matrisə n×n matris deyilir.

Kvadrat matris vəziyyətində Əsas və ikinci dərəcəli diaqonallar anlayışı təqdim olunur. Matrisin əsas diaqonalı matrisin yuxarı sol küncündən onun aşağı sağ küncünə gedən diaqonal adlanır. Yan diaqonal eyni matrisin aşağı sol küncdən yuxarı sağ küncə gedən diaqonalı deyilir. Diaqonal matris anlayışı: Diaqonaləsas diaqonaldan kənar bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu kvadrat matrisdir. Şəxsiyyət matrisi anlayışı: subay(bəzən E ilə işarələnir) əsas diaqonalda birləri olan diaqonal matris adlanır. Sıfır matris anlayışı: Sıfır elementlərinin hamısı sıfır olan matrisdir. İki A və B matrisləri eyni ölçüdə olduqda (yəni, eyni sayda sətir və eyni sayda sütuna malikdirlər və onlara uyğun elementləri bərabərdirlər) bərabərdirlər (A=B). Beləliklə əgər onda A=B, əgər a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Bu material saytdan götürülüb highmath.ru

FEDERAL DÖVLƏT BÜDCƏLİ ALİ TƏHSİL TƏHSİL MÜƏSSİSƏSİ

"ORENBURQ DÖVLƏT KƏND TƏSƏRRÜFAT UNİVERSİTETİ"

şöbəsi" Kompüter Elmləri və Tətbiqi Riyaziyyat»

TƏLƏBƏLƏR ÜÇÜN METODOLOJİ TƏLİMATLAR

FƏRZİNƏ MƏNZƏLƏMƏ ÜZRƏ

Riyaziyyat

Təlimin istiqaməti (ixtisas): 040400 Sosial iş (bakalavr səviyyəsi)

Təhsil proqramı profili Sosial iş

Təhsil forması: yazışma

Orenburq 2016

1. Mühazirə qeydləri……………………………………………………...

1.1 Mühazirə №1……………………....................................

1.2 2 nömrəli mühazirə…………………………………….

1.3 3 nömrəli mühazirə………………………………………

1.4 4 nömrəli mühazirə………………………………………………….

1.5 5 nömrəli mühazirə……………………

1.6 6 nömrəli mühazirə………………………………………..

1.7 7 nömrəli mühazirə ……………………………………………………………………..….

1.8Mühazirə № 8.……………………...…………………………….

9 nömrəli mühazirə

2. Təlimatlar praktiki təlim üçün………

2.1 Praktiki məşğələ No PZ -1………………….

2.2 Praktiki məşğələ No PZ -2 ……………………

2.3 Praktiki məşğələ No PZ -3……………………...

2.4 Praktiki məşğələ No PZ -4……………………...

2.5 Praktiki məşğələ No PZ -5……………………..

2.6 Praktiki məşğələ No PZ -6 ………………………………………………….

2.7 Praktiki məşğələ No PZ -7…………………………………………………….

2.8 Praktiki məşğələ No PZ -8…………………………………………………...

2.9 Praktiki dərs № PZ -9……………………………………………………...

2.10 Praktiki məşğələ No PZ -10…………………..

2.11 Praktiki dərs No PZ -11……………………..

2.12 Praktiki məşğələ No PZ -12………………………………………………..

2.13 Praktiki məşğələ No PZ -13………………………………………………….

2.14 Praktiki dərs No PZ -14-15………………………………………………

2.15 Praktiki dərs No PZ - 16………………

2.16 Praktiki dərs No PZ - 17………………

2.17 Praktiki dərs No PZ - 18 ………………

MÜHAZİRƏ QEYDLƏRİ

1.1 Mühazirə 1(2 saat)

Mövzu: Matrislər və determinantlar nəzəriyyəsinin elementləri. Xətti cəbrin elementləri. Analitik həndəsə elementləri

1.1.1 Mühazirə sualları:

1.Matrisalar, onların təsnifatı, matrislər üzərində hesab əməliyyatları.

2. 2-ci və 3-cü dərəcəli təyinedicilər, hesablama üsulları.

3. Xətti tənliklər sistemləri, həll üsulları.

4. Müstəvidə düz xəttin tənliyi, müstəvidə düz xəttin təyin edilməsi üsulları.

1.1.2. Sualların xülasəsi:

Matrislər, onların təsnifatı, matrislər üzərində hesab əməliyyatları.

Matris n sətir və m sütundan ibarət cədvəldir. Matris elementləri rəqəmlər və ya digər riyazi obyektlər ola bilər.

A= B= C=

olan düzbucaqlı masa T xətlər P həqiqi ədədlərin sütunları adlanır ədədi matris.

Və m ´ n =
.

Matrisi təşkil edən a ij ədədləri onun adlanır elementləri, burada i=1,2,…m sətir nömrəsi, j=1,2,…n sütun nömrəsidir.

Matrislər latın əlifbasının böyük hərfləri ilə A, B, C..., elementlər kiçik hərflərlə işarələnir.

Bir matrisin sətir və sütunlarının sayı digər matrisin sətir və sütunlarının sayına bərabərdirsə, onlar adlanır. birölçülü matrislər.

Satırların sayı sütunların sayına bərabər olan matris adlanır kvadrat matris. n´n ölçülü kvadrat matrisa matris deyilir n-ci sifariş.

A 2 ´ 2 = - 2-ci dərəcəli kvadrat matrisa

əsas diaqonalın 11 və 22 elementi

a 12, a 21 ikinci diaqonal elementi

A 3 ´ 3 = 3-cü dərəcəli kvadrat matrisa

11, 22 və 33 əsas diaqonalın elementləridir

a 13, a 22, a 31 ikinci diaqonal elementləri

Əsas diaqonaldan yuxarıda (aşağıda) bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu kvadrat matrisə deyilir. üçbucaqlı matris.

Əsas diaqonalda olanlardan başqa bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu kvadrat matrisa deyilir diaqonal matris.

Bütün sıfırdan fərqli elementlərin bərabər olduğu diaqonal matris deyilir skalyar matris.

Sıfırdan fərqli elementlərinin hamısı 1 olan diaqonal matrisə deyilir vahid matrisi.

E= 3-cü dərəcəli şəxsiyyət matrisi

Bütün elementləri sıfır olan matrisə deyilir sıfır matris (0).

A= ; B=

Bir ədəddən ibarət olan 1´1 ölçülü matris bu ədədlə eyniləşdirilir, yəni (5) 1 ´ 1 5-dir.

Birölçülü matrislər bir-birinə bərabərdir, əgər bu matrislərin bütün uyğun elementləri bərabərdirsə.

A -1 kvadrat matrisi adlanır tərs A matrisinə münasibətdə. yalnız və yalnız A*A -1 =A -1 *A=E olduqda

Bu mövzuda biz matris anlayışını, eləcə də matrislərin növlərini nəzərdən keçirəcəyik. Bu mövzuda çoxlu terminlər olduğu üçün əlavə edəcəm xülasə materialda naviqasiyanı asanlaşdırmaq üçün.

Matris və onun elementinin tərifi. Qeyd.

Matris$m$ sətirləri və $n$ sütunlarından ibarət cədvəldir. Matrisin elementləri tamamilə fərqli təbiətli obyektlər ola bilər: ədədlər, dəyişənlər və ya məsələn, digər matrislər. Məsələn, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ matrisi 3 sətir və 2 sütundan ibarətdir; onun elementləri tam ədədlərdir. $\left(\begin(massiv) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(massiv) \sağ)$ matrisi 2 sətir və 4 sütundan ibarətdir.

Matrisləri yazmağın müxtəlif yolları: göstər\gizlət

Matris təkcə dəyirmi deyil, həm də kvadrat və ya ikiqat düz mötərizədə yazıla bilər. Aşağıda müxtəlif notasiya formalarında eyni matris verilmişdir:

$$ \left(\begin(massiv) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \sağ);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right]; \;\; \left \Vert \begin(massiv) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right \Vert $$

$m\times n$ məhsulu adlanır matrisin ölçüsü. Məsələn, əgər matrisdə 5 sətir və 3 sütun varsa, onda biz $5\x3$ ölçüsündə matrisdən danışırıq. $\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matrisinin ölçüsü $3 \x2$-dır.

Tipik olaraq, matrislər latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarələnir: $A$, $B$, $C$ və s. Məsələn, $B=\left(\begin(massiv) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right)$. Sətirlərin nömrələnməsi yuxarıdan aşağıya doğru gedir; sütunlar - soldan sağa. Məsələn, $B$ matrisinin birinci cərgəsində 5 və 3 elementləri, ikinci sütunda isə 3, -87, 0 elementləri var.

Matrislərin elementləri adətən kiçik hərflərlə işarələnir. Məsələn, $A$ matrisinin elementləri $a_(ij)$ ilə işarələnir. $ij$ ikiqat indeksi elementin matrisdəki mövqeyi haqqında məlumatı ehtiva edir. $i$ rəqəmi sıra nömrəsi, $j$ rəqəmi isə sütun nömrəsidir, kəsişməsində $a_(ij)$ elementi yerləşir. Məsələn, matrisin ikinci sıra ilə beşinci sütununun kəsişməsində $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(massiv) \sağ)$ elementi $a_(25)= $59:

Eyni şəkildə birinci sətirlə birinci sütunun kəsişməsində $a_(11)=51$ elementi var; üçüncü sıra ilə ikinci sütunun kəsişməsində - element $a_(32)=-15$ və s. Qeyd edək ki, $a_(32)$ girişində "üç iki" oxunur, lakin "otuz iki" deyil.

Ölçüsü $m\times n$ olan $A$ matrisini ixtisar etmək üçün $A_(m\times n)$ qeydindən istifadə olunur. Aşağıdakı qeydlər tez-tez istifadə olunur:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Burada $(a_(ij))$ $A$ matrisinin elementlərinin təyinatını göstərir, yəni. $A$ matrisinin elementlərinin $a_(ij)$ kimi işarələndiyini deyir. Genişləndirilmiş formada $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(massiv)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(massiv) \sağ) $$

Başqa bir termin təqdim edək - bərabər matrislər.

Eyni ölçülü iki matris $A_(m\times n)=(a_(ij))$ və $B_(m\times n)=(b_(ij))$ adlanır. bərabərdir, əgər onların müvafiq elementləri bərabərdirsə, yəni. Bütün $i=\overline(1,m)$ və $j=\overline(1,n)$ üçün $a_(ij)=b_(ij)$.

$i=\overline(1,m)$ girişi üçün izahat: göstər\gizlət

"$i=\overline(1,m)$" qeydi $i$ parametrinin 1 ilə m arasında dəyişdiyini bildirir. Məsələn, $i=\overline(1,5)$ qeydi $i$ parametrinin 1, 2, 3, 4, 5 dəyərlərini qəbul etdiyini göstərir.

Beləliklə, matrislərin bərabər olması üçün iki şərt yerinə yetirilməlidir: ölçülərin üst-üstə düşməsi və uyğun elementlərin bərabərliyi. Məsələn, $A=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matrisi matrisə bərabər deyil $B=\left(\ begin(massiv)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(massiv)\right)$ çünki $A$ matrisinin ölçüsü $3\qat 2$ və $B$ matrisinə malikdir ölçüsü var $2\x2$. Həmçinin, $A$ matrisi $C=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matrisinə bərabər deyil , çünki $a_( 21)\neq c_(21)$ (yəni $0\neq 98$). Lakin $F=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matrisi üçün təhlükəsiz şəkildə $A= yaza bilərik. F$ çünki $A$ və $F$ matrislərinin həm ölçüləri, həm də müvafiq elementləri üst-üstə düşür.

Nümunə №1

$A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & matrisinin ölçüsünü müəyyən edin. -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(massiv) \sağ)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ elementlərinin nəyə bərabər olduğunu göstərin.

Bu matrisa 5 sətir və 3 sütundan ibarətdir, ona görə də onun ölçüsü $5\x3$-dır. Siz bu matris üçün $A_(5\x3)$ qeydindən də istifadə edə bilərsiniz.

$a_(12)$ elementi birinci sətir və ikinci sütunun kəsişməsində yerləşir, ona görə də $a_(12)=-2$. $a_(33)$ elementi üçüncü sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsində yerləşir, ona görə də $a_(33)=23$. $a_(43)$ elementi dördüncü sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsində yerləşir, ona görə də $a_(43)=-5$.

Cavab verin: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Ölçülərindən asılı olaraq matrislərin növləri. Əsas və ikinci dərəcəli diaqonallar. Matris izi.

Müəyyən $A_(m\times n)$ matrisi verilsin. Əgər $m=1$ (matris bir cərgədən ibarətdir), onda verilmiş matris deyilir. matris-sətir. Əgər $n=1$ (matris bir sütundan ibarətdir), onda belə bir matris deyilir matris-sütun. Məsələn, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ sətir matrisidir və $\left(\begin(massiv) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(massiv) \right)$ sütun matrisidir.

Əgər $A_(m\times n)$ matrisi $m\neq n$ şərtini ödəyirsə (yəni sətirlərin sayı sütunların sayına bərabər deyil), onda çox vaxt $A$-nın düzbucaqlı olduğu deyilir. matris. Məsələn, $\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(massiv) \right)$ matrisinin ölçüsü $2\ dəfə 4-ə bərabərdir. $, bunlar. 2 sətir və 4 sütundan ibarətdir. Satırların sayı sütunların sayına bərabər olmadığı üçün bu matris düzbucaqlıdır.

Əgər $A_(m\times n)$ matrisi $m=n$ şərtini ödəyirsə (yəni sətirlərin sayı sütunların sayına bərabərdir), onda $A$-a $ düzənli kvadrat matris deyilir. n$. Məsələn, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ikinci dərəcəli kvadrat matrisdir; $\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(massiv) \right)$ üçüncü dərəcəli kvadrat matrisdir. Ümumilikdə $A_(n\times n)$ kvadrat matrisini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

$$ A_(n\times n)=\sol(\begin(massiv)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(massiv) \sağ) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ elementlərinin aktiv olduğu deyilir. əsas diaqonal matrislər $A_(n\dəfə n)$. Bu elementlər adlanır əsas diaqonal elementlər(və ya sadəcə diaqonal elementlər). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ elementləri aktivdir yan (kiçik) diaqonal; çağırırlar yan diaqonal elementlər. Məsələn, $C=\left(\begin(massiv)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end() matrisi üçün massiv) \right)$ bizdə:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elementləri əsas diaqonal elementlərdir; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elementləri yan diaqonal elementlərdir.

Əsas diaqonal elementlərin cəminə deyilir ardınca matris gəlir və $\Tr A$ (və ya $\Sp A$) ilə işarələnir:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Məsələn, $C=\left(\begin(massiv) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- matrisi üçün 4 & -9 & 5 & 6 \end(massiv)\sağ)$ bizdə:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diaqonal elementlər anlayışı kvadrat olmayan matrislər üçün də istifadə olunur. Məsələn, $B=\left(\begin(massiv) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 matrisi üçün & - 7 & -6 \end(massiv) \right)$ əsas diaqonal elementlər $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ olacaq.

Elementlərinin dəyərlərindən asılı olaraq matrislərin növləri.

Əgər $A_(m\times n)$ matrisinin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, belə bir matris adlanır. sıfır və adətən $O$ hərfi ilə işarələnir. Məsələn, $\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(massiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(massiv) \right)$ - sıfır matrislər.

$A$ matrisinin sıfırdan fərqli bəzi cərgələrini nəzərdən keçirək, yəni. sıfırdan başqa ən azı bir elementi ehtiva edən sətir. Aparıcı element sıfırdan fərqli bir sətirin birinci (soldan sağa saymaqla) sıfırdan fərqli elementi adlandırırıq. Məsələn, aşağıdakı matrisi nəzərdən keçirin:

$$W=\left(\begin(massiv)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(massiv)\sağ)$ $

İkinci sətirdə aparıcı element dördüncü element olacaq, yəni. $w_(24)=12$, üçüncü sətirdə isə aparıcı element ikinci element olacaq, yəni. $w_(32)=-9$.

$A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ matrisi adlanır. addımladı, iki şərtə cavab verərsə:

Əgər varsa, null sətirlər bütün qeyri-null sətirlərin altında yerləşir.
Sıfırdan fərqli cərgələrin aparıcı elementlərinin nömrələri ciddi şəkildə artan ardıcıllıq təşkil edir, yəni. əgər $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $A$ matrisinin sıfırdan fərqli cərgələrinin aparıcı elementləridirsə, onda $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$.

Addım matrislərinin nümunələri:

$$ \left(\begin(massiv)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv)\sağ);\; \left(\begin(massiv)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(massiv)\sağ). $$

Müqayisə üçün: matris $Q=\left(\begin(massiv)(cccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(massiv)\right)$ addım matrisi deyil, çünki pilləli matrisin tərifində ikinci şərt pozulur. $q_(24)=7$ və $q_(32)=10$ ikinci və üçüncü sətirlərin aparıcı elementlərində $k_2=4$ və $k_3=2$ rəqəmləri var. Addım matrisi üçün $k_2\lt(k_3)$ şərti yerinə yetirilməlidir, bu halda pozulur. Qeyd edim ki, ikinci və üçüncü sətirləri dəyişdirsək, addım-addım matris əldə edirik: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(massiv)\sağ)$.

Addım matrisi adlanır trapezoidal və ya trapezoidal, əgər $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r şərtlərini ödəyirsə = r$, yəni. aparıcı olanlar diaqonal elementlərdir. Ümumiyyətlə, trapezoidal matris aşağıdakı kimi yazıla bilər:

$$ A_(m\times(n)) =\sol(\begin(massiv) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(massiv)\sağ) $$

Trapezoidal matrislərə nümunələr:

$$ \left(\begin(massiv)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv)\sağ);\; \left(\begin(massiv)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(massiv)\sağ). $$

Kvadrat matrislər üçün daha bir neçə tərif verək. Əsas diaqonalın altında yerləşən kvadrat matrisin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, belə bir matris deyilir. yuxarı üçbucaqlı matris. Məsələn, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(massiv) \right)$ yuxarı üçbucaqlı matrisdir. Qeyd edək ki, yuxarı üçbucaqlı matrisin tərifi əsas diaqonalın üstündə və ya əsas diaqonalda yerləşən elementlərin dəyərləri haqqında heç nə demir. Onlar sıfır ola bilər və ya olmaya bilər - fərqi yoxdur. Məsələn, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ həm də yuxarı üçbucaqlı matrisdir.

Əsas diaqonalın üstündə yerləşən kvadrat matrisin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, belə bir matris adlanır. aşağı üçbucaqlı matris. Məsələn, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(massiv) \right)$ - aşağı üçbucaqlı matris. Qeyd edək ki, aşağı üçbucaqlı matrisin tərifi əsas diaqonalın altında və ya üzərində yerləşən elementlərin dəyərləri haqqında heç nə demir. Onlar sıfır ola bilər və ya olmaya bilər - fərqi yoxdur. Məsələn, $\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(massiv) \right)$ və $\left(\ start (massiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ həm də aşağı üçbucaqlı matrislərdir.

Kvadrat matrisa deyilir diaqonal, əgər bu matrisin əsas diaqonalda yatmayan bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə. Misal: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(massiv)\sağ)$. Əsas diaqonaldakı elementlər hər hansı bir şey ola bilər (sıfıra bərabər və ya yox) - fərqi yoxdur.

Diaqonal matris deyilir subay, əgər bu matrisin əsas diaqonalda yerləşən bütün elementləri 1-ə bərabərdirsə. Məsələn, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)\right)$ - dördüncü dərəcəli eyniləşdirmə matrisi; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv)\right)$ ikinci dərəcəli eynilik matrisidir.

Qeyd edək ki, matrisin elementləri təkcə rəqəmlər ola bilməz. Təsəvvür edək ki, siz kitab rəfinizdə olan kitabları təsvir edirsiniz. Rəfiniz qaydasında olsun və bütün kitablar ciddi şəkildə müəyyən edilmiş yerlərdə olsun. Kitabxananızın təsvirini (rəflər və rəflərdəki kitabların sırasına görə) ehtiva edən cədvəl də matris olacaq. Lakin belə bir matris rəqəmsal olmayacaq. Başqa bir misal. Rəqəmlərin əvəzinə bəzi asılılıqlarla birləşən müxtəlif funksiyalar var. Alınan cədvəl də matris adlanacaq. Başqa sözlə, matris ondan ibarət olan hər hansı düzbucaqlı cədvəldir homojen elementləri. Burada və daha sonra rəqəmlərdən ibarət matrislər haqqında danışacağıq.

Matrisləri yazmaq üçün mötərizə əvəzinə kvadrat mötərizələr və ya düz ikiqat şaquli xətlər istifadə olunur.

(2.1*)

Tərif 2. Əgər ifadədə(1) m = n, sonra danışırlar kvadrat matris, və əgər , sonra oh düzbucaqlı.

M və n dəyərlərindən asılı olaraq bəzi xüsusi matris növləri fərqləndirilir:

Ən vacib xüsusiyyət kvadrat matris onundur təyinedici və ya təyinedici, matris elementlərindən ibarət olan və işarələnmişdir

Aydındır ki, D E =1; .

Tərif 3. Əgər , sonra matris A çağırdı degenerativ olmayan və ya xüsusi deyil.

Tərif 4. Əgər detA = 0, sonra matris A çağırdı degenerasiya etmək və ya xüsusi.

Tərif 5. İki matris A Və B adlandırılır bərabərdir və yaz A = B əgər onlar eyni ölçülərə malikdirlərsə və onların müvafiq elementləri bərabərdirsə, yəni..

Məsələn, matrislər və bərabərdir, çünki ölçülərinə görə bərabərdirlər və bir matrisin hər bir elementi digər matrisin müvafiq elementinə bərabərdir. Lakin matrisləri bərabər adlandırmaq olmaz, baxmayaraq ki, hər iki matrisin təyinediciləri bərabərdir və matrislərin ölçüləri eynidir, lakin eyni yerlərdə yerləşən bütün elementlər bərabər deyil. Matrislər fərqlidir, çünki onların ölçüləri fərqlidir. Birinci matrisin ölçüsü 2x3, ikincisi isə 3x2-dir. Elementlərin sayı eyni olsa da - 6 və elementlərin özləri eyni 1, 2, 3, 4, 5, 6 olsa da, hər bir matrisdə fərqli yerlərdədirlər. Lakin 5-ci tərifə görə matrislər bərabərdir.

Tərif 6. Əgər müəyyən sayda matris sütununu düzəltsəniz A və eyni sayda sıra, sonra göstərilən sütunların və sətirlərin kəsişməsindəki elementlər kvadrat matris təşkil edir n- ci sıra, hansının müəyyənedicisi çağırdı azyaşlı k – ci sıra matrisi A.

Misal. Matrisin üç ikinci dərəcəli kiçikliyini yazın