Polinomlar. Polinomun faktorinqi: üsullar, nümunələr. Cəbr dərsi “Faktorinqin müxtəlif yolları” Kvadrat üçhəcmli faktorinq

DƏRS PLANI 7-ci sinifdə cəbr dərsi

Müəllim Prilepova O.A.

Dərsin məqsədləri:

Çoxhədli faktorlara ayırmaq üçün müxtəlif üsullardan istifadəni göstərin

Məşqlər zamanı faktorlara ayırma üsullarını təkrarlayın və biliklərini möhkəmləndirin

Şagirdlərin qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etmək bacarıq və bacarıqlarını inkişaf etdirin.

Şagirdlərin məntiqi təfəkkürünü və mövzuya marağını inkişaf etdirmək.

Tapşırıqlar:

istiqamətində Fərdi inkişaf:

Riyazi yaradıcılığa marağı və riyazi bacarıqları inkişaf etdirmək;

Riyazi məsələlərin həllində təşəbbüskarlığın və fəallığın inkişafı;

Müstəqil qərar qəbul etmək bacarığının inkişafı.

meta-mövzu istiqamətində :

formalaşması ümumi üsullar riyaziyyata xas olan və idrak mədəniyyətinin əsasını təşkil edən intellektual fəaliyyət;

İKT texnologiyasından istifadə;

mövzu sahəsində:

Davamlı təhsil üçün zəruri olan riyazi bilik və bacarıqlara yiyələnmək;

Şagirdlərdə çoxhədli faktorlara ayırma yollarını axtarmaq və onları faktorlara bölünə bilən çoxhədli tapmaq bacarığını inkişaf etdirmək.

Avadanlıq:paylama materialları, qiymətləndirmə meyarları olan marşrut vərəqləri,multimedia proyektoru, təqdimat.

Dərsin növü:keçilən materialın təkrarı, ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi

İş formaları:cütlük və qruplarla, fərdi, kollektiv,müstəqil, frontal iş.

Dərslər zamanı:

Çoxhədlilərin faktorinqi şəxsiyyət çevrilməsidir, bunun nəticəsində çoxhədli bir neçə amilin - çoxhədlilərin və ya monohəminlərin məhsuluna çevrilir.

Çoxhədli faktorların bir neçə yolu var.

Metod 1. Mötərizədə ümumi amilin çıxarılması.

Bu çevrilmə vurmanın distributiv qanununa əsaslanır: ac + bc = c(a + b). Transformasiyanın mahiyyəti nəzərdən keçirilən iki komponentdə ümumi faktoru təcrid etmək və onu mötərizədə “çıxarmaq”dır.

28x 3 – 35x 4 çoxhədlini faktorlara ayıraq.

Həll.

1. 28x 3 və 35x 4 elementlərini tapın ortaq bölən. 28 və 35 üçün 7 olacaq; x 3 və x 4 - x 3 üçün. Başqa sözlə, bizim ümumi əmsalımız 7x3-dür.

2. Elementlərin hər birini amillərin məhsulu kimi təqdim edirik, onlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Mötərizədə ümumi faktoru çıxarırıq
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metod 2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə. Bu metoddan istifadənin “ustalığı” ifadədə qısaldılmış vurma düsturlarından birinə diqqət yetirməkdir.

x 6 – 1 çoxhədlini amil edək.

Həll.

1. Bu ifadəyə kvadratlar fərqi düsturunu tətbiq edə bilərik. Bunu etmək üçün x 6-nı (x 3) 2, 1-i isə 1 2 kimi təsəvvür edin, yəni. 1. İfadə aşağıdakı formanı alacaq:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Əldə edilən ifadəyə kubların cəmi və fərqi düsturu tətbiq edə bilərik:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Belə ki,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x) 2 + x + 1).

Metod 3. Qruplaşdırma. Qruplaşdırma üsulu çoxhədlinin komponentlərini elə birləşdirməkdir ki, onlar üzərində əməliyyatları (ümumi amilin toplanması, çıxılması, çıxılması) yerinə yetirmək asan olsun.

x 3 – 3x 2 + 5x – 15 çoxhədlini faktorlara ayıraq.

Həll.

1. Komponentləri bu şəkildə qruplaşdıraq: 1-ci 2-ci, 3-cü isə 4-cü
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Alınan ifadədə mötərizədə ümumi amilləri çıxarırıq: birinci halda x 2, ikinci halda isə 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Mötərizədə ümumi x – 3 amilini çıxarırıq və alırıq:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Belə ki,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Materialı qoruyaq.

a 2 – 7ab + 12b 2 çoxhədlini faktor edin.

Həll.

1. 7ab monomialını 3ab + 4ab cəmi kimi təqdim edək. İfadə aşağıdakı formanı alacaq:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mötərizələri açıb əldə edək:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Çoxhədlinin komponentlərini bu şəkildə qruplaşdıraq: 1-ci 2-ci və 3-cü 4-cü ilə. Biz əldə edirik:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Mötərizədə ümumi amilləri çıxaraq:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Mötərizədə ümumi əmsalı (a – 3b) çıxaraq:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Belə ki,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

İctimai dərs

riyaziyyat

7-ci sinifdə

"Çoxhədli faktorlar üçün müxtəlif üsullardan istifadə."

Prokofyeva Natalya Viktorovna,

Riyaziyyat müəllimi

Dərsin Məqsədləri

Təhsil:

1. qısaldılmış vurma düsturlarını təkrarlayın
2. çoxhədliləri müxtəlif üsullarla faktorla əlaqələndirmək qabiliyyətinin formalaşması və ilkin konsolidasiyası.

Təhsil:

1. zehinliliyin inkişafı, məntiqi təfəkkür, diqqət, əldə edilmiş bilikləri sistemləşdirmək və tətbiq etmək bacarığı, riyazi savadlı nitq.

Təhsil:

1. nümunələrin həllinə marağı inkişaf etdirmək;
2. qarşılıqlı yardım, özünə nəzarət və riyazi mədəniyyət hissini tərbiyə etmək.

Dərsin növü: birləşdirilmiş dərs

Avadanlıq: proyektor, təqdimat, lövhə, dərslik.

Dərs üçün ilkin hazırlıq:

1. Şagirdlər aşağıdakı mövzuları bilməlidirlər:

1. İki ifadənin cəmi və fərqinin kvadratı
2. Kvadrat cəmi və kvadrat fərq düsturlarından istifadə etməklə faktorinq
3. İki ifadənin fərqinin cəminə vurulması
4. Kvadratlar fərqinin faktorinqi
5. Kubların cəmi və fərqinin faktorinqi

1. Qısaldılmış vurma düsturları ilə işləmək bacarığına malik olmaq.

Dərs planı

1. Təşkilati məqam (şagirdlərin diqqətini dərsə yönəldin)
2. Ev tapşırıqlarının yoxlanılması (səhvlərin düzəldilməsi)
3. Şifahi məşqlər
4. Yeni materialın öyrənilməsi
5. Təlim məşqləri
6. Təkrarlama məşqləri
7. Dərsi yekunlaşdırmaq
8. Ev tapşırığı mesajı

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

Dərs sizdən qısaldılmış vurma düsturlarını bilmək, onları tətbiq etməyi bacarmaq və təbii ki, diqqət yetirməyi tələb edəcək.

II. Ev tapşırığını yoxlamaq.

Ev tapşırığına dair suallar.

Lövhədə həllin təhlili.

II. Şifahi məşqlər.

Riyaziyyat lazımdır
Onsuz mümkün deyil
Biz öyrədirik, öyrədirik, dostlar,
Səhər nəyi xatırlayırıq?

Gəlin isinmə hərəkətləri edək.

Faktorlara ayırın (Slayd 3)

8a – 16b

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (Slayd 4)

1 - y³

balta + ay + 4x + 4y Slayd 5)

III. Müstəqil iş.

Hər birinizin masasında bir masa var. İşinizi yuxarı sağda imzalayın. Cədvəli doldurun. İş vaxtı 5 dəqiqədir. Gəlin başlayaq.

Bitirdik.

Zəhmət olmasa qonşunuzla iş dəyişdirin.

Qələmlərini yerə qoyub, qələmlərini götürdülər.

İşi yoxlayırıq - slayda diqqət yetirin. (Slayd 6)

Bir işarə qoyduq - (Slayd 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Düsturları cədvəlin ortasına qoyun. Gəlin yeni material öyrənməyə başlayaq.

IV. Yeni materialın öyrənilməsi

Dəftərlərə bugünkü dərsin tarixini, sinif işini və mövzunu yazırıq.

Müəllim.

1. Çoxhədlilərin faktorinqi zamanı bəzən bir deyil, bir neçə üsuldan istifadə edərək, onları ardıcıl tətbiq edirlər.
2. Nümunələr:

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2)(a+2). (Slayd 8)

Mötərizədə ortaq amildən və kvadratların fərqindən istifadə edirik.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (Slayd 9)

İfadə ilə nə edə bilərsiniz? Faktorlara ayırmaq üçün hansı üsuldan istifadə edəcəyik?

Burada mötərizədə ümumi amil və kvadrat cəmi düsturundan istifadə edirik.

1. ab³ – 3b³ + ab²у – 3b²у = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3)(b +y). (Slayd 10)

İfadə ilə nə edə bilərsiniz? Faktorlara ayırmaq üçün hansı üsuldan istifadə edəcəyik?

Burada ümumi faktor mötərizədən çıxarılaraq qruplaşdırma üsulu tətbiq edilmişdir.

1. Faktorlara ayırma qaydası: (Slayd 11)

1. Hər çoxhədli faktorlara bölünə bilməz. Məsələn: x² + 1; 5x² + x + 2 və s. (Slayd 12)

V. Təlim məşqləri

Başlamazdan əvvəl fiziki məşq edirik (Slayd 13)

Tez ayağa qalxıb gülümsədilər.

Onlar daha yüksək və daha yüksək uzanırdılar.

Gəl, çiyinlərini düzəlt,

Qaldırmaq, aşağı salmaq.

Sağa dönün, sola dönün,

Onlar oturub ayağa qalxdılar. Onlar oturub ayağa qalxdılar.

Və yerindəcə qaçdılar.

Və gözlər üçün daha bir neçə gimnastika:

1. Gözlərinizi 3-5 saniyə möhkəm bağlayın və sonra 3-5 saniyə açın. 6 dəfə təkrarlayın.
2. Baş barmağınızı gözlərinizdən 20-25 sm məsafədə yerləşdirin, hər iki gözlə barmağın ucuna 3-5c baxın və sonra hər iki gözlə boruya baxın. 10 dəfə təkrarlayın.

Əla, əyləş.

Dərs tapşırığı:

№ 934 avd

№935 av

№937

№ 939 avd

№ 1007 avd

VI.Təkrar məşqləri.

№ 933

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq

Müəllim suallar verir, şagirdlər isə istədikləri kimi cavablandırırlar.

1. ad məlum üsullarçoxhədli faktorinq.

1. Mötərizədə ümumi faktoru çıxarın
2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək polinomun faktorlanması.
3. qruplaşdırma üsulu

1. Faktorlara ayırma qaydası:

1. Mötərizədə ümumi faktoru yerləşdirin (əgər varsa).
2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək çoxhədli faktorlara ayırmağa çalışın.
3. Əvvəlki üsullar məqsədə gətirib çıxarmadısa, qruplaşdırma metodundan istifadə etməyə çalışın.

Əlini qaldır:

1. Əgər dərsə münasibətiniz “Mən heç nə başa düşmədim və heç bacarmadım”dırsa
2. Əgər dərsə münasibətiniz “Çətinliklər oldu, amma bacardım”dırsa
3. Əgər dərsə münasibətiniz “Mən demək olar ki, hər şeyə nail oldum”

Faktor 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y ²) Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək çoxhədlini faktorlara ayırmaq

ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) Qruplaşdırma üsulu

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² cəminin kvadratı a² - b² (a – b)(a + b) Kvadratların fərqi (a – b)² a² - 2ab + b² Fərqin kvadratı a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Kubların cəmi (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Cəmi kub (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Fərq kubu a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Kubların fərqi

İŞARƏLƏRİ QAYDIRIN 7 (+) = 5 6 və ya 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Nümunə №1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a – 2) (a+2) Mötərizədə ümumi əmsalı çıxarmaq Kvadratlar fərqi üçün düstur

Nümunə № 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Mötərizədə ümumi əmsalı çıxarmaq Kvadrat cəmi üçün düstur

Nümunə № 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a) -3))= =b²(a-3)(b+y) Amili mötərizənin xaricinə qoyun Şərtləri mötərizədə qruplaşdırın Amili mötərizənin xaricinə qoyun Ümumi amili mötərizənin xaricinə qoyun

Faktorlara ayırma qaydası: Ümumi amili mötərizədən kənara qoyun (əgər varsa). Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək çoxhədli faktorlara ayırmağa çalışın. 3. Əgər əvvəlki üsullar məqsədə gətirib çıxarmayıbsa, onda qruplaşdırma metodunu tətbiq etməyə çalışın.

Hər çoxhədli faktorlara bölünə bilməz. Məsələn: x² +1 5x² + x + 2

FİZİKİ DƏQİQƏ

Dərs tapşırığı No 934 avd No 935 avd No 937 № 939 avd No 1007 avd

Əlinizi qaldırın: Əgər dərsə münasibətiniz “Mən heç nə başa düşmədim və heç bacarmadım”dırsa, dərsə münasibətiniz “Çətinliklər var idi, amma mən bacardım” Əgər dərsə münasibətiniz. “Demək olar ki, hər şeyə nail oldum”

Ev tapşırığı: səh 38 No 936 No 938 No 954

Cəbrdə “polinom” və “polinomun faktorlaşdırılması” anlayışlarına çox rast gəlinir, çünki böyük çoxrəqəmli ədədlərlə asanlıqla hesablamalar aparmaq üçün onları bilmək lazımdır. Bu məqalə bir neçə parçalanma üsulunu təsvir edəcəkdir. Onların hamısından istifadə etmək olduqca asandır, sadəcə hər bir konkret hal üçün düzgün birini seçməlisiniz.

Polinom anlayışı

Çoxhədli monohədlərin cəmidir, yəni yalnız vurma əməliyyatını ehtiva edən ifadələrdir.

Məsələn, 2 * x * y monohəddir, lakin 2 * x * y + 25 2 monohəddən ibarət çoxhədlidir: 2 * x * y və 25. Belə çoxhədlilərə binomlar deyilir.

Bəzən çoxqiymətli dəyərləri olan nümunələrin həllinin rahatlığı üçün bir ifadəni çevirmək lazımdır, məsələn, müəyyən sayda amillərə, yəni vurma hərəkətinin yerinə yetirildiyi nömrələrə və ya ifadələrə parçalanmalıdır. Çoxhədli faktorların bir neçə yolu var. İbtidai məktəbdə istifadə olunan ən ibtidai sinifdən başlayaraq onları nəzərdən keçirməyə dəyər.

Qruplaşdırma (ümumi formada qeyd)

Ümumiyyətlə qruplaşdırma metodundan istifadə edərək çoxhədli faktorlara ayırma düsturu belə görünür:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Monomialları elə qruplaşdırmaq lazımdır ki, hər qrupun ümumi faktoru olsun. Birinci mötərizədə bu c faktoru, ikincidə isə d. Bu, onu mötərizədən çıxarmaq və bununla da hesablamaları sadələşdirmək üçün edilməlidir.

Xüsusi bir nümunədən istifadə edərək parçalanma alqoritmi

Qruplaşdırma metodundan istifadə edərək çoxhədli faktorlara ayırmanın ən sadə nümunəsi aşağıda verilmişdir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Birinci mötərizədə ümumi olacaq a amili, ikincisində isə b faktoru ilə şərtləri götürməlisiniz. Bitmiş ifadədəki + və - işarələrinə diqqət yetirin. Monomialın qarşısına ilkin ifadədə olan işarəni qoyuruq. Yəni 25a ifadəsi ilə deyil, -25 ifadəsi ilə işləmək lazımdır. Mənfi işarəsi arxasındakı ifadəyə "yapışdırılmış" görünür və hesablama zamanı həmişə nəzərə alınır.

Növbəti addımda mötərizədə ümumi olan çarpanı çıxarmaq lazımdır. Qruplaşma məhz bunun üçündür. Mötərizənin kənarına qoymaq, mötərizədə olan bütün şərtlərdə tam olaraq təkrarlanan bütün amilləri mötərizədən əvvəl yazmaq (vurma işarəsini buraxmaq) deməkdir. Mötərizədə 2 deyil, 3 və ya daha çox termin varsa, onların hər birində ümumi amil olmalıdır, əks halda mötərizədən çıxarıla bilməz.

Bizdə isə mötərizədə cəmi 2 termin var. Ümumi çarpan dərhal görünür. Birinci mötərizədə a, ikincidə b. Burada rəqəmsal əmsallara diqqət yetirmək lazımdır. Birinci mötərizədə hər iki əmsal (10 və 25) 5-in qatıdır. Bu o deməkdir ki, mötərizədən təkcə a deyil, 5a da çıxarıla bilər. Mötərizədən əvvəl 5a yazın və sonra mötərizədəki şərtlərin hər birini çıxarılan ümumi əmsala bölün, həmçinin + və - işarələrini unutmadan mötərizəni mötərizədə yazın. İkinci mötərizə ilə də eyni şeyi edin, 7b-ni, həmçinin 14 və 35-i 7-yə qatlayın.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

2 şərtimiz var: 5a(2c - 5) və 7b(2c - 5). Onların hər birində ümumi bir amil var (mötərizədə bütün ifadə burada eynidir, yəni ümumi faktordur): 2c - 5. Onu da mötərizədə çıxarmaq lazımdır, yəni 5a və 7b terminləri qalır. ikinci mötərizədə:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Beləliklə, tam ifadə belədir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Beləliklə, 10ac + 14bc - 25a - 35b çoxhədli 2 amilə parçalanır: (2c - 5) və (5a + 7b). Yazarkən onların arasında vurma işarəsi buraxıla bilər

Bəzən bu tip ifadələr var: 5a 2 + 50a 3, burada mötərizədə yalnız a və ya 5a deyil, hətta 5a 2 də qoya bilərsiniz. Siz həmişə ən böyük ümumi faktoru mötərizədən çıxarmağa çalışmalısınız. Bizim vəziyyətimizdə, hər bir termini ümumi faktora bölsək, alırıq:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(əsasları bərabər olan bir neçə qüdrətin hissəsinin hesablanması zamanı əsas saxlanılır və göstərici çıxarılır). Beləliklə, vahid mötərizədə qalır (heç bir halda mötərizədə şərtlərdən birini götürsəniz, birini yazmağı unutmursunuz) və bölgü nisbəti: 10a. Belə çıxır ki:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadrat düsturlar

Hesablama asanlığı üçün bir neçə düstur əldə edilmişdir. Bunlara qısaldılmış vurma düsturları deyilir və olduqca tez-tez istifadə olunur. Bu düsturlar səlahiyyətləri ehtiva edən çoxhədli faktorlara kömək edir. Bu faktorizasiyanın başqa bir təsirli yoludur. Beləliklə, onlar burada:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“cəmin kvadratı” adlanan düstur, çünki kvadrata parçalanma nəticəsində mötərizədə göstərilən ədədlərin cəmi alınır, yəni bu cəmin dəyəri özünə 2 dəfə vurulur və buna görə də çarpan.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - fərqin kvadratının düsturu, əvvəlkinə bənzəyir. Nəticə, mötərizə içərisində olan, kvadrat gücündə olan fərqdir.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- bu, kvadratlar fərqi üçün bir düsturdur, çünki əvvəlcə polinom 2 kvadrat ədəddən və ya ifadədən ibarətdir, onların arasında çıxma aparılır. Ola bilsin ki, qeyd olunan üç addan ən çox istifadə olunur.

Kvadrat düsturlardan istifadə edərək hesablamalar üçün nümunələr

Onlar üçün hesablamalar olduqca sadədir. Misal üçün:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - “cəmin kvadratı” düsturundan istifadə edin.
2. 25x 2 5x-in kvadratıdır. 20xy 2*(5x*2y), 4y 2 isə 2y-nin kvadratıdır.
3. Beləliklə, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Bu çoxhədli 2 amilə parçalanır (amillər eynidir, ona görə də kvadrat gücü olan ifadə kimi yazılır).

Kvadrat fərq düsturundan istifadə edilən hərəkətlər bunlara bənzər şəkildə həyata keçirilir. Qalan düstur kvadratlar fərqidir. Bu düsturun nümunələrini digər ifadələr arasında müəyyən etmək və tapmaq çox asandır. Misal üçün:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 və 400 = 20 2 olduğundan
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2 və 25y 2 = (5y 2) olduğundan
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 olduğundan

Terminlərin hər birinin hansısa ifadənin kvadratı olması vacibdir. Sonra bu çoxhədli kvadratlar fərqi düsturundan istifadə edərək faktorlara bölünməlidir. Bunun üçün ikinci dərəcənin saydan yuxarı olması vacib deyil. Böyük dərəcələri ehtiva edən çoxhədlilər var, lakin yenə də bu düsturlara uyğun gəlir.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Bu misalda 8 (a 4) 2, yəni müəyyən ifadənin kvadratı kimi göstərilə bilər. 25 5 2, 10a isə 4-dür - bu 2 * a 4 * 5 şərtlərinin ikiqat hasilidir. Yəni bu ifadə, böyük eksponentləri olan dərəcələrin olmasına baxmayaraq, sonradan onlarla işləmək üçün 2 amilə parçalana bilər.

Kub formulları

Tərkibində kublar olan polinomların faktorinqi üçün də eyni düsturlar mövcuddur. Onlar kvadratlarla müqayisədə bir az daha mürəkkəbdirlər:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- bu düstur kubların cəmi adlanır, çünki ilkin formada çoxhədli bir kuba daxil edilmiş iki ifadənin və ya ədədin cəmidir.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -əvvəlki ilə eyni düstur kubların fərqi kimi təyin olunur.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cəminin kubu, hesablamalar nəticəsində rəqəmlərin və ya ifadələrin cəmi mötərizədə alınır və özünə 3 dəfə vurulur, yəni kubda yerləşir
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - riyazi əməliyyatların yalnız bəzi əlamətlərini (artı və mənfi) dəyişdirərək əvvəlki ilə bənzətmə yolu ilə tərtib edilmiş düstur “fərq kubu” adlanır.

Son iki düstur çoxhədli faktorlara ayırmaq üçün praktiki olaraq istifadə edilmir, çünki onlar mürəkkəbdirlər və bu düsturlardan istifadə edərək faktorlara bölünə bilməsi üçün məhz bu struktura tam uyğun gələn çoxhədliləri tapmaq kifayət qədər nadirdir. Ancaq yenə də onları bilməlisiniz, çünki əks istiqamətdə işləyərkən - mötərizələri açarkən tələb olunacaq.

Kub düsturlarına dair nümunələr

Bir misala baxaq: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Burada olduqca sadə ədədlər götürülüb, ona görə də dərhal görə bilərsiniz ki, 64a 3 (4a) 3, 8b 3 isə (2b) 3-dür. Beləliklə, bu çoxhədli kubların düstur fərqinə görə 2 amilə genişlənir. Kubların cəmi üçün düsturdan istifadə edən hərəkətlər analogiya ilə həyata keçirilir.

Bütün polinomların ən azı bir şəkildə genişləndirilə bilməyəcəyini başa düşmək vacibdir. Ancaq kvadrat və ya kubdan daha böyük güclərə malik ifadələr var, lakin onlar qısaldılmış vurma formalarına da genişləndirilə bilər. Məsələn: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Bu nümunə 12-ci dərəcə qədərdir. Ancaq hətta kubların cəmi düsturundan istifadə edərək faktorlara bölünə bilər. Bunun üçün x 12-ni (x 4) 3, yəni hansısa ifadənin kubu kimi təsəvvür etmək lazımdır. İndi düsturda a əvəzinə onu əvəz etməlisiniz. Yaxşı, 125y 3 ifadəsi 5y-lik bir kubdur. Sonra, formuladan istifadə edərək məhsulu tərtib etməli və hesablamalar aparmalısınız.

Əvvəlcə və ya şübhə halında, həmişə tərs vurma ilə yoxlaya bilərsiniz. Siz sadəcə ortaya çıxan ifadədə mötərizələri açıb oxşar terminlərlə hərəkətlər etməlisiniz. Bu üsul sadalanan bütün azaltma üsullarına aiddir: həm ümumi amil və qruplaşdırma ilə işləməyə, həm də kublar və kvadrat güclərin düsturları ilə işləməyə.

Bölmələr: Riyaziyyat

Dərsin növü:

• çatdırılma üsuluna görə - emalatxana dərsi;
• By didaktik məqsəd– bilik və bacarıqların tətbiqi dərsi.

Hədəf:çoxhədli faktorlara ayırma bacarığını inkişaf etdirin.

Tapşırıqlar:

• Didaktik: tələbələrin bilik və bacarıqlarını sistemləşdirmək, genişləndirmək və dərinləşdirmək, çoxhədli faktorlara ayırmaq üçün müxtəlif üsulları tətbiq etmək. Kombinasiya vasitəsilə çoxhədli faktorlara ayırma bacarığını inkişaf etdirin müxtəlif texnikalar. Mövzu üzrə bilik və bacarıqları həyata keçirin: Həm əsas səviyyədəki tapşırıqları, həm də artan mürəkkəblik tapşırıqlarını yerinə yetirmək üçün “Çoxhədli faktorların hesablanması”.
• İnkişaf: müxtəlif tipli problemləri həll etməklə zehni fəaliyyəti inkişaf etdirmək, həllin ən rasional üsullarını tapmağı və təhlil etməyi öyrənmək, öyrənilən faktları ümumiləşdirmək, fikirlərini aydın və aydın ifadə etmək bacarığının formalaşmasına töhfə vermək.
• Maarifləndirici: müstəqil və komandada işləmək, özünə nəzarət bacarıqlarını inkişaf etdirmək.

İş üsulları:

• şifahi;
• vizual;
• praktik.

Dərs avadanlığı: interaktiv lövhə və ya proyektor, qısaldılmış vurma düsturları olan cədvəllər, təlimatlar, qruplarda işləmək üçün paylama materialları.

Dərsin strukturu:

1. Təşkilat vaxtı. 1 dəqiqə
2. Praktik dərsin mövzusunun, məqsəd və vəzifələrinin formalaşdırılması. 2 dəqiqə
3. Ev tapşırığını yoxlamaq. 4 dəqiqə
4. Tələbələrin əsas bilik və bacarıqlarının yenilənməsi. 12 dəqiqə
5. Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi. 2 dəqiqə
6. Seminarın tapşırıqlarını yerinə yetirmək üçün təlimat. 2 dəqiqə
7. Qruplarda tapşırıqların yerinə yetirilməsi. 15 dəqiqə
8. Tapşırıqların yoxlanılması və müzakirəsi. İş təhlili. 3 dəqiqə
9. Ev tapşırığını təyin etmək. 1 dəqiqə
10. Ehtiyat iş yerləri. 3 dəqiqə

Dərslər zamanı

1. Təşkilati məqam

Müəllim sinifin və şagirdlərin dərsə hazırlığını yoxlayır.

2. Seminar dərsinin mövzusunun, məqsəd və vəzifələrinin formalaşdırılması

• Mövzu üzrə yekun dərs haqqında mesaj.
• Şagirdlərin öyrənmə fəaliyyəti üçün motivasiya.
• Dərs üçün məqsəd və vəzifələrin formalaşdırılması (şagirdlərlə birlikdə).

3. Ev tapşırığını yoxlamaq

Lövhədə 943 (a, c) nömrəli ev tapşırıqlarının həlli nümunələri; № 945 (c, d). Nümunələr sinif şagirdləri tərəfindən hazırlanmışdır. (Bu qrup tələbələr əvvəlki dərsdə müəyyən edilmişdi; onlar qərarlarını tənəffüs zamanı rəsmiləşdirdilər). Tələbələr həll yollarını “müdafiə etməyə” hazırlaşırlar.

Müəllim:

Şagirdlərin dəftərlərində ev tapşırıqlarının olmasını yoxlayır.

Sinif şagirdlərini suala cavab verməyə dəvət edir: "Tapşırığın yerinə yetirilməsi hansı çətinliklərə səbəb oldu?"

Həllinizi lövhədəki məhlulla yoxlamağı təklif edir.

Nümunələrdən istifadə edərək yoxlanarkən tələbələrin yerində olan suallarını cavablandırmaq üçün lövhədəki tələbələri dəvət edir.

Şagirdlərin cavablarını şərh edir, cavabları əlavə edir və aydınlaşdırır (lazım olduqda).

Ev tapşırığını yekunlaşdırır.

Tələbələr:

İndiki ev tapşırığı müəllimə.

Dəftərləri dəyişdirirlər (cüt-cüt) və bir-birlərini yoxlayırlar.

Müəllimin suallarına cavab verin.

Həllinizi nümunələrlə yoxlayın.

Onlar rəqib kimi çıxış edir, əlavələr, düzəlişlər edir, dəftərdəki həll üsulu lövhədəki üsuldan fərqlənirsə, başqa üsul yazır.

Tələbələrdən və müəllimdən lazımi izahatları soruşun.

Əldə edilmiş nəticələri yoxlamaq yollarını tapın.

Şurada yerinə yetirilən tapşırıqların keyfiyyətinin qiymətləndirilməsində iştirak edin.

4. Şagirdlərin əsas bilik və bacarıqlarının yenilənməsi

1. Şifahi iş

Müəllim:

Suallara cavab verin:

1. Çoxhədli faktorlara aid etmək nə deməkdir?
2. Neçə parçalanma üsulunu bilirsiniz?
3. Onların adı nədir?
4. Hansı ən çox yayılmışdır?

2. Çoxhədlilər lövhədə yazılır:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

Müəllim tələbələri 1-3 nömrəli çoxhədli faktorlara dəvət edir:

• I variant – ümumi faktorun tətbiqi ilə;
• II variant – qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə;
• III variant - qruplaşdırma üsulu ilə.

Bir şagirddən 4 nömrəli çoxhədlini faktorla vurmaq xahiş olunur (artıq çətinliyə malik fərdi tapşırıq, tapşırıq A 4 formatında yerinə yetirilir). Sonra lövhədə 1-3 nömrəli tapşırıqların nümunə həlli (müəllim tərəfindən yerinə yetirilir), 4 nömrəli tapşırığın nümunə həlli (şagird tərəfindən yerinə yetirilir) görünür.

3. İstiləşmə

Müəllim düzgün cavabla əlaqəli hərfi faktorla seçmək və seçmək üçün göstərişlər verir. Hərfləri əlavə etməklə siz tənliklərin həlli nəzəriyyəsinin inkişafına böyük töhfə vermiş 17-ci əsrin ən böyük riyaziyyatçısının adını alırsınız. (Dekart)

5. Bədən tərbiyəsi dərsi Şagirdlərə bəyanatlar oxunur. Əgər ifadə doğrudursa, şagirdlər əllərini yuxarı qaldırmalı, yalan olarsa, öz partalarında əyləşməlidirlər. (Əlavə 2)

6. Seminarın tapşırıqlarını yerinə yetirmək üçün təlimat.

Aktiv interaktiv lövhə və ya təlimatları olan bir masa ilə ayrıca plakat.

Çoxhədli faktorlara ayırarkən aşağıdakı ardıcıllığa əməl edilməlidir:

1. ümumi amili mötərizədən çıxarın (əgər varsa);

2. qısaldılmış vurma düsturlarını tətbiq etmək (mümkünsə);

3. qruplaşdırma metodunu tətbiq etmək;

4. vurma ilə alınan nəticəni yoxlayın.

Müəllim:

Təlimatları tələbələrə təqdim edir (4-cü addıma diqqət yetirir).

Seminar tapşırıqlarının qruplarda yerinə yetirilməsini təklif edir.

Qruplara iş vərəqi, dəftərlərdə tapşırıqların hazırlanması və sonradan yoxlanılması üçün karbon kağızı olan vərəqlər paylayır.

Qruplarda işləmək və dəftərlərdə işləmək üçün vaxt təyin edir.

Tələbələr:

Təlimatları oxuyun.

Müəllimlər diqqətlə dinləyirlər.

Qruplarda oturmaq (4-5 nəfər).

Praktik iş görməyə hazırlaşır.

7. Qruplarda tapşırıqların yerinə yetirilməsi

Qruplar üçün tapşırıqları olan iş vərəqləri. (Əlavə 3)

Müəllim:

İdarə edir müstəqil iş qruplarda.

Şagirdlərin müstəqil işləmək bacarığını, qrupda işləmək bacarığını, iş vərəqlərinin tərtibinin keyfiyyətini qiymətləndirir.

Tələbələr:

İş dəftərinə daxil edilmiş karbon kağızı vərəqlərində tapşırıqları tamamlayın.

Rasional qərarlar qəbul etməyin yollarını müzakirə edin.

Qrupdan bir iş vərəqi hazırlayın.

Tamamlanmış işi müdafiə etməyə hazırlaşın.

8. Tapşırığın yerinə yetirilməsinin yoxlanılması və müzakirəsi

İnteraktiv lövhədə cavablar.

Müəllim:

Qərarların surətlərini toplayır.

İş vərəqlərində tələbə hesabatlarını idarə edir.

Dəftərlərdən, iş vərəqlərindən və lövhədəki nümunələrdən cavabları müqayisə edərək işinizin özünü qiymətləndirməsini təklif edir.

İş üçün qiymətlərin təyin edilməsi və onun həyata keçirilməsində iştirak üçün meyarları xatırladır.

Yaranan qərar və ya özünüqiymətləndirmə məsələlərinə aydınlıq gətirir.

Praktiki işin və mülahizənin ilk nəticələrini ümumiləşdirir.

Dərsi yekunlaşdırır (şagirdlərlə birlikdə).

Orada bildirilir ki, yekun nəticələr tələbələrin yerinə yetirdikləri işlərin surətləri yoxlanıldıqdan sonra yekunlaşdırılacaq.

Tələbələr:

Nüsxələri müəllimə verin.

İş vərəqləri lövhəyə əlavə olunur.

İşin başa çatması haqqında hesabat.

Özünü yoxlama və iş performansının özünü qiymətləndirməsini həyata keçirin.

9. Ev tapşırığını təyin etmək

Ev tapşırığı lövhədə yazılır: No 1016 (a, b); 1017 (c,d); № 1021 (g,d,f)*

Müəllim:

Ev üçün tapşırığın məcburi hissəsini yazmağı təklif edir.

Onun həyata keçirilməsinə dair şərh verir.

Daha hazırlıqlı tələbələri №1021 (g, e, f) * yazmağa dəvət edir.

Növbəti baxış dərsinə hazırlaşmağınızı bildirir