Kürəyə yazılmış çoxüzlü. Riyaziyyat. Tam kurs təkrarlanır. Açıq dərs həndəsə

Təqdimatın fərdi slaydlarla təsviri:

1 slayd

Slayd təsviri:

bələdiyyə muxtariyyəti Təhsil müəssisəsi orta hərtərəfli məktəb № 45 Alət dəsti 11-ci sinif şagirdləri üçün Yüksək kateqoriyalı riyaziyyat müəllimi Elena Vyaçeslavovna Gavinskaya tərəfindən tərtib edilmişdir. Kalininqrad 2016-2017 tədris ili

2 slayd

Slayd təsviri:

Kürəyə yazılmış çoxüzlülər. Mövzu planimetriya kursuna bənzəyir, burada deyilirdi ki, dairələr üçbucaqlar və müntəzəm n-bucaqları ətrafında təsvir edilə bilər. Kosmosda çevrənin analoqu kürə, çoxbucaqlı isə çoxüzlüdür. Bu halda üçbucağın analoqu üçbucaqlı prizma, müntəzəm çoxbucaqlıların analoqu isə müntəzəm çoxüzlüdür. Tərif. Bütün təpələri bu sferaya aiddirsə, çoxüzlü sferaya daxil edilmiş deyilir. Sferanın özünün çoxüzlü ilə əhatə olunduğu deyilir.

3 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

"Bir kürə düz prizmanın ətrafında təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız bu prizmanın təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər." Sübut: Əgər kürə düz prizmanın ətrafına çəkilibsə, onda prizmanın əsasının bütün təpələri kürəyə və deməli, kürə ilə təməlin müstəvisinin kəsişmə xətti olan dairəyə aiddir. Əksinə, düz prizmanın əsasının yaxınlığında mərkəzi O1 nöqtəsində və radiusu r olan çevrə təsvir edilsin. Sonra prizmanın ikinci əsasının ətrafında mərkəzi O2 nöqtəsində olan və eyni radiuslu dairə təsvir edilə bilər. O1O2=d, O – O1O2-nin ortası olsun. Onda mərkəzi O və radiusu R= olan sfera istədiyiniz dairəvi sfera olacaqdır. Teorem 1.

4 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

"İstənilən üçbucaqlı piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər və yalnız bir." Sübut. Planimetriya kursundan buna bənzər bir sübuta müraciət edək. Hər şeydən əvvəl, üçbucağın iki təpəsindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yerini tapmalıyıq. Məsələn, A və B. Belə həndəsi yer AB seqmentinə çəkilmiş perpendikulyar bisektordur. Sonra A və C-dən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yerini tapırıq. Bu, AC seqmentinə perpendikulyar bisektordur. Bu biseksektoral perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi ABC üçbucağının ətrafına çəkilmiş çevrənin istənilən O mərkəzi olacaqdır. Teorem 2.

5 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

İndi məkan vəziyyətini nəzərdən keçirək və oxşar konstruksiyalar aparaq. Üçbucaqlı DABC piramidası verilsin və A, B və C nöqtələri α müstəvisini təyin etsin. A, B və C nöqtələrindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin həndəsi yeri α müstəvisinə perpendikulyar olan və ABC üçbucağı ətrafında çevrələnmiş dairənin O1 mərkəzindən keçən a düz xəttidir. A və D nöqtələrindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin həndəsi yeri AD seqmentinə perpendikulyar olan və onun təpə nöqtəsindən - E nöqtəsindən keçən β müstəvisidir. β müstəvisi və a düz xətti O nöqtəsində kəsişir. DABC üçbucaqlı piramidası ilə əhatə olunmuş sfera. Həqiqətən, konstruksiyaya görə O nöqtəsi DABC piramidasının bütün təpələrindən eyni dərəcədə uzaqdır. Üstəlik, belə bir nöqtə unikal olacaqdır, çünki kəsişən düz xətt və müstəvi vahid ortaq nöqtəyə malikdir.

6 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

Top haqqında təsvir edilmişdir müntəzəm piramida. Topu istənilən adi piramidanın ətrafında təsvir etmək olar. Topun mərkəzi piramidanın hündürlüyündən keçən düz xətt üzərində yerləşir və yan tərəfi piramidanın yan kənarı, hündürlüyü isə piramidanın hündürlüyü olan ikitərəfli üçbucağın ətrafında dövrələnmiş dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. piramida. Topun radiusu bu dairənin radiusuna bərabərdir. Topun R radiusu, H piramidasının hündürlüyü və piramidanın əsasının yaxınlığında təsvir edilən r çevrəsinin radiusu aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir: R2=(H-R)2+r2 Bu münasibət də o halda etibarlıdır. H< R.

7 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

Problem adi bir piramida ilə əhatə olunmuş top haqqındadır. “Mərkəzi O nöqtəsində və radiusu 9√3 m olan kürə müntəzəm PABC piramidasının yaxınlığında təsvir edilmişdir. Piramidanın hündürlüyünü ehtiva edən PO düz xətti piramidanın əsasını H nöqtəsində kəsir ki, PH:OH = 2:1 olsun. Əgər piramidanın hər bir kənarı təməl müstəvisi ilə 45 dərəcə bucaq yaradırsa, onun həcmini tapın.”

8 slayd

Slayd təsviri:

Verilmişdir: PABC – müntəzəm piramida; piramidanın yanında top (O;R=9√3 m) təsvir edilmişdir; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Tapın: Vpir. Həlli: RN:OH=2:1 olduğundan (şərtlə), onda RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (hündürlük kimi) piramidanın) => => RN _ AN (tərifinə görə) => RAS - düzbucaqlı. 3. RAS-da:

Slayd 9

Slayd təsviri:

4. Şərtə görə RABC nizamlı piramida, PH isə onun hündürlüyü olduğundan, tərifinə görə ABC düzgündür; H ABC ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzidir ki, bu da 5 deməkdir. Cavab: 486 m3.

10 slayd

Slayd təsviri:

Prizmanın ətrafında dövrələnmiş kürə. Kürə prizmanın ətrafında təsvir edilə bilər, əgər o, düzdürsə və onun əsasları dairəyə daxil edilmiş çoxbucaqlıdır. Topun mərkəzi prizmanın əsasları ətrafında təsvir edilən dairələrin mərkəzlərini birləşdirən prizmanın hündürlüyünün orta nöqtəsində yerləşir. Topun radiusu R, prizmanın hündürlüyü H və prizmanın əsası ətrafında təsvir olunan dairənin r radiusu aşağıdakı əlaqə ilə bağlıdır:

11 slayd

Slayd təsviri:

Problem prizmanın ətrafında dövrələnmiş kürə ilə bağlıdır. “Hündürlüyü 6 sm olan müntəzəm ABCDA1B1C1D1 prizması kürə içərisinə daxil edilmişdir (beləliklə; R = 5 sm). Prizmanın kəsik sahəsini bazanın müstəvilərinə paralel olan və O nöqtəsindən - topun mərkəzindən keçən bir müstəvi ilə tapın.

12 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

Verilmişdir: ABCDA1B1C1D1 – nizamlı prizma; prizmanın ətrafında top (O;R=5 sm) təsvir edilmişdir; prizmanın hündürlüyü h 6 sm; α║(ABC); α ilə O. Tapın: Ssec α, Həlli: Şərtə görə prizma kürəyə yazıldığı üçün (r prizmanın əsası ətrafında çevrələnmiş çevrənin radiusudur) Lakin şərtlə nizamlı prizma verilir, yəni

Slayd 13

Slayd təsviri:

a) (АВВ1) ║(СС1D1) (düz prizma xassəsinə görə) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (paralel müstəvilərin xassəsinə görə) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (düz prizmanın xassəsinə görə) => KM=NR (paralel müstəvilərin xassəsinə görə). Bu o deməkdir ki, KMNR paraleloqramdır (atributuna görə) => MN=KR və MN ║ KR b) α ║ (ABC) (konstruksiyasına görə) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (paralel müstəvilərin xassəsinə görə) 2. 3. ABCDA1B1C1D1 şərtinə görə nizamlı prizma, α müstəvisi ilə kəsişmə isə əsaslara paralel olduğundan kəsiyinin yaratdığı fiqur kvadratdır. Gəlin bunu sübut edək: => => =>

Slayd 14

Slayd təsviri:

KMH= ABC=90o (müvafiq olaraq düzlənmiş tərəfləri olan bucaqlar kimi) Bu o deməkdir ki, KMNR romb kvadratdır (tərifinə görə), bunun sübut edilməsi lazım olan şeydir. Üstəlik, KMNR və ABCD kvadratları bərabərdir. Deməli, xassə görə onların sahələri bərabərdir və deməli, Bölmə α.=SABCD=32 (sm2) Cavab: 32 sm2. c) KM ║ AB (sübut olunub) (BCC1) ║(ADD1) (düz prizmanın xassəsinə görə) => KM=AB=4√2 sm (paralel müstəvilərin xassəsinə görə). d) Eynilə MN ║ BC və MN = BC = 4√2 sm olduğu sübut edilmişdir.Bu o deməkdir ki, MN = KM => paraleloqram MNRK rombdur (tərifinə görə). e) MN ║ BC (sübut edilmişdir) KM ║ AB (sübut edilmişdir) => =>

15 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

Prizmanın ətrafında dövrələnmiş silindr. Silindr düz prizmanın ətrafında təsvir edilə bilər, əgər onun bazası bir dairəyə yazılmış çoxbucaqlıdır. R silindrinin radiusu bu dairənin radiusuna bərabərdir. Silindr oxu prizmanın H hündürlüyü ilə eyni düz xətt üzərində yerləşir və prizmanın əsaslarının yaxınlığında təsvir edilən dairələrin mərkəzlərini birləşdirir. Dördbucaqlı prizma vəziyyətində (əgər baza düzbucaqlıdırsa) silindrin oxu prizmanın əsaslarının diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçir.

16 sürüşdürmə

Slayd təsviri:

Problem prizmanın ətrafında dövrələnmiş silindrlə bağlıdır. Əsası düzbucaqlı olan ABCDA1B1C1D1 düz prizması generatrisi 7 sm, radiusu 3 sm olan silindrin içinə daxil edilmişdir.Diaqonallar arasındakı bucaq varsa prizmanın yan səthinin sahəsini tapın. ABCD 60 dərəcədir. ОО1 – silindr oxu.

Slayd 17

Slayd təsviri:

Verilmişdir: ABCDA1B1C1D1 – düz prizma; silindr prizmanın yaxınlığında təsvir edilmişdir; silindrin generatrisi AA1=7 sm; silindrin əsasının radiusu 3 sm-dir; ABCD diaqonalları arasındakı bucaq 60°-dir; ОО1 – silindr oxu. Tapın: yan prizma. Həlli: Şərtə görə, təməlində düzbucaqlı olan dördbucaqlı prizma topun içinə yazılmış olduğundan, onda AC∩ВD=O xassəsinə görə. Bu AOB=60o və AO=OB=3sm deməkdir. 2. AOB-də kosinus teoremindən istifadə etməklə.

Sferanın içinə yazılmış çoxüzlülər Qabarıq çoxüzlü, bütün təpələri hansısa kürənin üzərində yerləşirsə, ona yazılı deyilir. Bu sfera verilmiş çoxbucaqlı üçün təsvir adlanır. Bu sferanın mərkəzi çoxüzlülərin təpələrindən bərabər məsafədə olan bir nöqtədir. Bu, hər biri ona perpendikulyar olan çoxbucaqlının kənarının ortasından keçən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsidir.

Sərhədlənmiş sferanın radiusunu tapmaq üçün düstur SABC yan kənarları bərabər olan piramida olsun, h onun hündürlüyü, R əsas ətrafında dairəvi dairənin radiusu olsun. Ətrafa çəkilmiş sferanın radiusunu tapaq. SKO1 və SAO düzbucaqlı üçbucaqlarının oxşarlığına diqqət yetirin. Onda SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Lakin KS = SA/2. Onda R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (h 2 + R 2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), burada b yan kənardır.

Sferaya yazılmış paralelepiped Teorem: Sfera paralelepiped ətrafında o zaman təsvir edilə bilər ki, paralelepiped düzbucaqlı olsun, çünki bu halda düzdür və onun əsasının ətrafında - paraleloqram - bir dairə təsvir edilə bilər (əsas düzbucaqlı olduğu üçün).

Məsələ 1 kənarı a olan düzgün tetraedr ətrafında çevrələnmiş sferanın radiusunu tapın. Həlli: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Cavab: SO 1 = a /4. Gəlin əvvəlcə müntəzəm SABC tetraedrinin təsvirindən istifadə edərək, dairəvi topun mərkəzinin təsvirini yaradaq. SD və AD apotemlərini çəkək (SD = AD). ASD ikitərəfli üçbucağında DN medianın hər bir nöqtəsi AS seqmentinin uclarından bərabər məsafədədir. Buna görə də O 1 nöqtəsi SO hündürlüyünün və DN seqmentinin kəsişməsidir. R 1 = b 2 / (2h) düsturundan istifadə edərək, alırıq:

Məsələ 2 Həlli: R 1 =b 2 /(2h) düsturundan istifadə edərək dairəvi topun radiusunu tapmaq üçün SC və SO-nu tapırıq. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 () α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Düzgün dördbucaqlı piramidada təməlin tərəfi a-ya bərabərdir, və zirvəsindəki müstəvi bucağı α-ya bərabərdir.Sərhədlənmiş topun radiusunu tapın.R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2)))) =a/(4sin(α /2) ·).Cavab : R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Sfera ətrafında çevrələnmiş çoxüzlülər Qabarıq çoxüzlülərin bütün üzləri hər hansı bir sferaya toxunarsa, o, dairəvi adlanır. Bu sfera verilmiş polihedron üçün yazılmış adlanır. Yazılı sferanın mərkəzi çoxbucaqlının bütün üzlərindən bərabər məsafədə olan nöqtədir.

Yazılı sferanın mərkəzinin mövqeyi Dihedral bucağın bisektor müstəvisi anlayışı. Bisektor müstəvisi dihedral bucağı iki bərabər dihedral bucağa bölən müstəvidir. Bu müstəvinin hər bir nöqtəsi dihedral bucağın üzlərindən bərabər məsafədədir. Ümumi halda çoxüzlüyə həkk olunmuş sferanın mərkəzi polihedrin bütün dihedral bucaqlarının bisektor müstəvilərinin kəsişmə nöqtəsidir. Həmişə polihedronun içərisindədir.

Topun ətrafına çəkilmiş piramida Topun piramidanın bütün üzlərinə (həm yanal, həm də əsas) toxunduğu halda onun (ixtiyari) piramidaya daxil olduğu deyilir. Teorem: Yan üzlər bazaya bərabər meyllidirsə, belə bir piramidaya bir top daxil edilə bilər. Bazadakı dihedral bucaqlar bərabər olduğundan onların yarıları da bərabərdir və bissektrisalar piramidanın hündürlüyündə bir nöqtədə kəsişir. Bu nöqtə piramidanın altındakı bütün bisektor müstəvilərinə aiddir və piramidanın bütün üzlərindən bərabər məsafədə yerləşir - yazısı olan topun mərkəzindən.

Yazılı sferanın radiusunu tapmaq üçün düstur SABC yan kənarları bərabər olan piramida olsun, h onun hündürlüyü, r daxili dairənin radiusu olsun. Ətrafa çəkilmiş sferanın radiusunu tapaq. SO = h, OH = r, O 1 O = r 1 olsun. Onda üçbucağın daxili bucağının bissektrisasının xassəsinə görə O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Cavab: r 1 = rh/(+ r).

Sferanın ətrafında təsvir olunan paralelepiped və kub Teorem: Kürə paralelepipedin içinə o halda daxil edilə bilər ki, paralelepiped düz olsun və onun əsası romb olsun və bu rombun hündürlüyü onun üzərində olan kürənin diametrinə bərabər olsun. öz növbəsində paralelepipedin hündürlüyünə bərabərdir. (Bütün paraleloqramlardan yalnız çevrə rombun içinə yazıla bilər) Teorem: Kürə həmişə kubun içinə yazıla bilər. Bu sferanın mərkəzi kubun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsidir və radius kubun kənarının uzunluğunun yarısına bərabərdir.

Fiqurların birləşmələri Yazılı və dairəvi prizmalar Silindr ətrafında çevrələnmiş prizma, əsas müstəviləri silindrin əsaslarının müstəviləri olan və yan üzləri silindrə toxunan prizmadır. Silindr içinə yazılmış prizma, əsas müstəviləri silindrin əsaslarının müstəviləri, yan kənarları isə silindrin generatorları olan prizmadır. Silindrə toxunan müstəvi silindrin generatrixindən keçən və bu generatrisi ehtiva edən eksenel bölmənin müstəvisinə perpendikulyar olan müstəvidir.

Yazılı və hüdudlu piramidalar Konusda yazılmış piramida, əsası konusun əsasının dairəsinə yazılmış çoxbucaqlı, zirvəsi isə konusun təpə nöqtəsi olan piramidadır. Konusda yazılmış piramidanın yan kənarları konusunu təşkil edir. Konus ətrafında çevrələnmiş piramida, əsası konusun əsası ətrafında çevrələnmiş çoxbucaqlı olan və zirvəsi konusun zirvəsi ilə üst-üstə düşən piramidadır. Təsvir edilən piramidanın yan üzlərinin müstəviləri konusun müstəvisinə toxunur. Konusa toxunan müstəvi generatrixdən keçən və bu generatrisi ehtiva edən eksenel bölmənin müstəvisinə perpendikulyar olan müstəvidir.

Konfiqurasiyaların digər növləri Silindr piramidaya daxil edilirsə, onun əsaslarından birinin dairəsi piramidanın bütün yanal üzlərinə toxunur, digər əsası isə piramidanın əsasında yerləşir. Konus prizmanın yuxarı hissəsinə, əsası isə çoxbucaqlıya - prizmanın aşağı əsasına həkk olunmuş çevrədirsə, prizmaya konus yazılır. Prizmanın yuxarı əsasının bütün təpələri konusun yan səthində, aşağı əsası isə konusun əsasında yerləşirsə, prizma konus içərisinə yazılmışdır.

Məsələ 1 Düzgün dördbucaqlı piramidada bünövrənin tərəfi a-ya, zirvədəki müstəvi bucağı isə α-ya bərabərdir. Piramidaya yazılmış topun radiusunu tapın. Həlli: SOK-un tərəflərini a və α ilə ifadə edək. OK = a/2. SK = KC çarpayısı(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) r 1 = rh/(+ r) düsturundan istifadə edərək, yazılan topun radiusunu tapırıq: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Cavab: r 1 = (a/2)

Nəticə “Polyhedra” mövzusu 10 və 11-ci sinif şagirdləri tərəfindən öyrənilir, lakin kurikulum“Yazılı və hüdudlu çoxüzlülər” mövzusunda çox az material var, baxmayaraq ki, çox böyük maraq tələbələr, çoxüzlülərin xüsusiyyətlərini öyrənmək mücərrəd və inkişafına töhfə verdiyi üçün məntiqi təfəkkür, sonradan təhsildə, işdə, həyatda bizə faydalı olacaq. Bu esse üzərində işləyərkən biz “Yazılı və sərhədlənmiş çoxüzlülər” mövzusundakı bütün nəzəri materialı öyrəndik, fiqurların mümkün birləşmələrini araşdırdıq və bütün öyrənilən materialı praktikada tətbiq etməyi öyrəndik. Cismlərin birləşməsinə aid məsələlər 11-ci sinif stereometriya kursunda ən çətin sualdır. Amma indi əminliklə deyə bilərik ki, bizim dövrümüzdən bəri belə problemlərin həllində problemimiz olmayacaq tədqiqat işi yazılı və sərhədli çoxüzlülərin xassələrini qurduq və sübut etdik. Çox vaxt tələbələr problem üçün rəsm qurarkən çətinlik çəkirlər bu mövzu. Ancaq top və çoxbucaqlı birləşməsi ilə bağlı problemləri həll etmək üçün topun təsvirinin bəzən lazımsız olduğunu və onun mərkəzini və radiusunu göstərmək kifayət olduğunu öyrəndikdən sonra bu çətinliklərlə qarşılaşmayacağımıza əmin ola bilərik. Bu esse sayəsində biz bu çətin, lakin çox maraqlı mövzunu başa düşə bildik. Ümid edirik ki, indi öyrənilən materialı praktikada tətbiq etməkdə çətinlik çəkməyəcəyik.

Kürənin içinə yazılmış çoxüzlülər Əgər onun bütün təpələri bu sferaya aiddirsə, çoxüzlü kürənin içinə yazılmışdır. Sferanın özünün çoxüzlü ilə əhatə olunduğu deyilir. Teorem. Bir piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız bu piramidanın təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər.

Sferaya yazılmış çoxüzlülər Teorem. Düz prizmanın yaxınlığında bir kürə təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız bu prizmanın əsasının yaxınlığında bir dairə təsvir edilə bilər. Onun mərkəzi prizmanın əsaslarının yaxınlığında təsvir edilən dairələrin mərkəzlərini birləşdirən seqmentin orta nöqtəsi olan O nöqtəsi olacaqdır. R sferasının radiusu düsturla hesablanır ki, burada h prizmanın hündürlüyü, r prizmanın əsası ətrafında dövrələnmiş dairənin radiusudur.

Çalışma 3 Piramidanın əsası düzgün üçbucaqdır, onun tərəfi 3-ə bərabərdir. Yan kənarlarından biri 2-yə bərabərdir və təməl müstəvisinə perpendikulyardır. Daxil edilmiş sferanın radiusunu tapın. Həll. O, çevrilmiş sferanın mərkəzi, Q əsas ətrafında dairəvi dairənin mərkəzi, E SC-nin orta nöqtəsi olsun. Dördbucaqlı CEOQ düzbucaqlıdır ki, CE = 1, CQ = Buna görə də, R=OC=2. Cavab: R = 2.

Çalışma 4 Şəkildə SC kənarı 2-yə bərabər olan və ABC əsasının müstəvisinə perpendikulyar olan SABC piramidası göstərilir, ACB bucağı 90 o-ya bərabərdir, AC = BC = 1. Kürənin mərkəzini qurun. Bu piramidanın ətrafını əhatə edin və onun radiusunu tapın. Həll. AB kənarının orta D vasitəsilə SC-yə paralel bir xətt çəkirik. SC kənarının orta E vasitəsilə CD-yə paralel düz xətt çəkirik. Onların kəsişmə nöqtəsi O, əhatə olunmuş sferanın istənilən mərkəzi olacaqdır. Düzgün OKB üçbucağında bizdə var: OD = CD = Pifaqor teoremi ilə biz tapırıq

Məşq 5 Yan kənarları 1-ə bərabər, zirvədəki müstəvi bucaqları isə 90 dərəcəyə bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı piramidanın ətrafında dövrələnmiş kürənin radiusunu tapın. Həll. SABC tetraedrində biz var: AB = AE = SE = OAE düz üçbucağında bizdə var: R üçün bu tənliyi həll edərək tapırıq.

4-cü məşq Bazasında olan düz üçbucaqlı prizma ətrafında çevrələnmiş kürənin radiusunu tapın. düz üçbucaq ayaqları 1-ə və prizmanın hündürlüyü 2-yə bərabərdir.Cavab: Həlli. Sferanın radiusu ACC 1 A 1 düzbucaqlının A 1 C diaqonalının yarısına bərabərdir. Bizdə: AA 1 = 2, AC = Buna görə də, R =

Məşq Kənarları 1-ə, yan kənarları isə 2-yə bərabər olan nizami 6bucaqlı piramidanın ətrafına çəkilmiş kürənin radiusunu tapın. Həlli. SAD üçbucağı 2-ci tərəfi ilə bərabərtərəflidir. Daxil edilmiş sferanın R radiusu SAD üçbucağına aid dairənin radiusuna bərabərdir. Beləliklə,

Məşq İkosaedr vahidi ilə əhatə olunmuş sferanın radiusunu tapın. Həll. ABCD düzbucağında AB = CD = 1, BC və AD tərəfləri 1 olan düzgün beşbucaqlıların diaqonallarıdır. Buna görə də BC = AD = Pifaqor teoreminə görə AC = Tələb olunan radius bu diaqonalın yarısına bərabərdir, yəni.

Məşq Vahid dodekaedr ətrafında əhatə olunmuş sferanın radiusunu tapın. Həll. ABCDE tərəfi olan düzgün beşbucaqlıdır ACGF AF = CG = 1 düzbucaqlıda AC və FG ABCDE beşbucağının diaqonallarıdır və buna görə də AC = FG = Pifaqor teoremi ilə FC = Tələb olunan radius bunun yarısına bərabərdir. diaqonal, yəni.

Məşq Şəkildə üzləri olan üçbucaqlı piramidaların müntəzəm tetraedrinin künclərini kəsməklə əldə edilən kəsilmiş tetraedr göstərilir. müntəzəm altıbucaqlılar və üçbucaqlar. Kənarları 1-ə bərabər olan kəsilmiş tetraedr ətrafında çevrələnmiş kürənin radiusunu tapın.

Məşq Şəkildə səkkizbucaqlı piramidaların oktaedrin künclərindən kəsilməsi ilə əldə edilmiş, üzləri düz altıbucaqlı və üçbucaqlı olan kəsilmiş oktaedr göstərilir. Kənarları 1-ə bərabər olan kəsilmiş səkkizbucaqlı ətrafında əhatə olunmuş sferanın radiusunu tapın. Məşq Şəkildə üzləri düz altıbucaqlı və beşbucaqlı olan beşbucaqlı piramidaların ikosahedrinin künclərinin kəsilməsi nəticəsində alınmış kəsilmiş ikosahedr göstərilir. Kənarları 1-ə bərabər olan kəsilmiş ikosahedrlə əhatə olunmuş kürənin radiusunu tapın.
Məşq Şəkildə üçbucaqlı piramidaları dodekaedrin künclərindən kəsməklə əldə edilmiş, üzləri nizami onbucaqlar və üçbucaqlar olan kəsilmiş dodekaedr göstərilir. Kənarları 1-ə bərabər olan kəsilmiş dodekaedr ətrafında çevrələnmiş kürənin radiusunu tapın.
Məşq Vahid kuboktahedrlə əhatə olunmuş sferanın radiusunu tapın. Həll. Xatırladaq ki, kubun təpələrində və yan kənarlarında kubun kənarının yarısına bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı piramidaları kəsməklə kubdan kuboktaedr əldə edilir. Əgər oktaedrin kənarı 1-ə bərabərdirsə, onda müvafiq kubun kənarı bərabərdir Sərtləşdirilmiş sferanın radiusu kubun mərkəzindən kənarının ortasına qədər olan məsafəyə bərabərdir, yəni. 1-ə bərabərdir. Cavab: R = 1.

Riyaziyyat müəllimi Ali məktəb №2,

Taldıkorqan şəhəri N.Yu.Lozoviç

İctimai dərs həndəsədə

Dərsin mövzusu: “Top. YazılıVəçoxüzlü təsvir edilmişdir"

Dərsin məqsədləri:

- təhsil - dərs zamanı tələbələrin tərifləri mənimsəmələrinin təkrarlanmasını, möhkəmləndirilməsini və yoxlanılmasını təmin etmək top Və kürələr, və əlaqəli anlayışlar ( mərkəz, radius, diametrlər,diametral əks nöqtələr, tangens təyyarələr Və düz); yazılı və dairəvi çoxüzlülər anlayışları, topun müstəvi ilə kəsilməsi (20.3), topun simmetriyası (20.4), topa toxunan müstəvi (20.5), iki kürənin kəsişməsi haqqında teoremlər haqqında biliklər (20.6), dairəvi (yazılı) kürənin mərkəzinin piramidanın qurulması və nizamlı prizma ətrafında təsvir olunan kürənin mərkəzinin qurulması haqqında;

yaradıcı fəaliyyət tələb edən model və qeyri-standartlara əsaslanaraq dəyişən situasiyalarda bu biliklərin bütün məcmunu müstəqil şəkildə tətbiq etmək bacarıqlarını inkişaf etdirməyə davam etmək;

təhsil -şagirdlərdə təhsilin nəticələrinə görə məsuliyyət, məqsədə çatmaqda əzmkarlıq, özünəinam, böyük nəticələr əldə etmək istəyi, gözəllik hissi (həndəsi fiqurların gözəlliyi, problemin zərif, gözəl həlli) aşılamaq.

inkişaf edən - tələbələrdə inkişaf etdirmək: xüsusi və ümumiləşdirilmiş düşüncə, yaradıcı və məkan təxəyyülü bacarığı; assosiativlik (müxtəlif əlaqələrə etibar etmək bacarığı: oxşarlıq, bənzətmə, təzad, səbəb-nəticə yolu ilə), öz fikirlərini məntiqi və ardıcıl ifadə etmək bacarığı, öyrənmə və inkişaf ehtiyacı, dərsdə təzahür üçün şərait yaratmaq. tələbələrin idrak fəaliyyəti.

Dərs növü

bilik və bacarıqların yoxlanılması və korreksiyası dərsi.

Tədris metodları

Giriş söhbəti (dərsin məqsədinin müəyyən edilməsi, şagirdlərin öyrənmə fəaliyyətinin həvəsləndirilməsi, zəruri emosional-mənəvi mühitin yaradılması, dərsdə işin təşkili üzrə şagirdlərə göstərişlərin verilməsi).

Frontal sorğu (şagirdlərin əsas anlayışlar, teoremlər haqqında biliklərinin şifahi yoxlanılması, onların mahiyyətini izah etmək və əsaslandırmalarını əsaslandırmaq bacarığı).

Bilik və bacarıq səviyyəsinin tədricən artırılması prinsipinə əsaslanan səviyyəli müstəqil iş, yəni. reproduktiv səviyyədən məhsuldar və yaradıcı səviyyəyə qədər. Metodun mahiyyəti müəllim tərəfindən daim nəzarət edilən və həvəsləndirilən tələbələrin fərdi müstəqil işidir.

Maarifləndirici əyani vəsaitlər

Stereometrik modellər həndəsi cisimlər, plakatlar, rəsmlər, fərdi kartlar müstəqil iş.

Yeniləyin

a) Əsas biliklər.

Anlayışları aktivləşdirmək lazımdır: çevrəyə tangens, çevrəyə daxil edilmiş və çevrə ətrafında çevrələnmiş qabarıq çoxbucaqlılar, planimetriyadan nizamlı çoxbucaqlılar üçün daxilə yazılmış və dairəvi dairələrin radiuslarının hesablanması; 10-cu sinif kursundan müstəviyə nisbətən simmetriyanın tərifi, nöqtəyə, oxa (düz xəttə) və müstəviyə görə simmetrik olan fiqurlar anlayışı.

b) Motivlərin formalaşdırılması və maraq oyatma yolları.

In giriş söhbəti tələbələrin məqsədi dərk etmələrini təmin etmək, ona nail olmaqda şəxsi maraqlarını dərk etmək, məqsədin şagirdlərin özləri üçün mənasını açmaq, bu mövzunun təkcə özlüyündə deyil, həm də növbəti mövzunun öyrənilməsi üçün propedevtik əhəmiyyətini vurğulamaq; emosional xarakterli materialla dərs (həndəsi fiqurların gözəlliyi, sabun köpüyü, Yer və Ay); müstəqil işin səviyyəli xarakterini vurğulamaq: bir tərəfdən, bu, öyrənilən materialın yüksək elmi səviyyəsini təmin edəcək, digər tərəfdən, əlçatanlıq, tələbələrin fikri budur ki, onların hər birinin pedaqoji dəstək hüququ var ( “sığorta”) uşağın real və ya potensial problemlərinin müəyyən edilməsi, təhlili, onlardan mümkün çıxış yolunun birgə işlənməsi; reytinq sistemi biliyin qiymətləndirilməsi uşaqlar üçün əlavə stimuldur.

c) İşin gedişatına nəzarət, qarşılıqlı nəzarət formaları. Qarşılıqlı nəzarət (dəftərlərin mübadiləsi) tələbələr müstəqil işin 1-ci (şagird) səviyyəsinin birinci hissəsini - tələbələrin müəllimin şifahi suallarına yazılı cavablarını (riyazi diktant) yerinə yetirdikdən sonra həyata keçirilir.

Noutbuklar mübadiləsindən sonra bütün düzgün cavablar yüksək səslə deyilir (mümkünsə, əyani vasitələrdən istifadə olunur: stereometrik cisimlərin maketləri, rəsmlər, plakatlar). Sonra uşaqlar müstəqil işin birinci hissəsinin reytinq qiymətləndirməsinə keçirlər: düzgün tam cavab 1 bal, kiçik şərhlər varsa, o zaman - 0,5 bal, əks halda - 0 bal verilir. Hər bir şagirdin topladığı balların sayı müəllim tərəfindən lövhədə qeyd olunur. Bundan sonra uşaqlar fərdi kartlar üzərində işləməyə başlayırlar. 1-ci səviyyənin tapşırıqlarını yerinə yetirmiş və müəllimdən icazə almış şəxslər növbəti səviyyənin tapşırığını yerinə yetirməyə keçirlər. Problemin həllinin uğuru diqqətdən, təşviqdən və tərifdən kənarda qalmamalıdır. Eyni zamanda, müəllim islah işləri aparır: şagirdin güclü və zəif tərəflərini başa düşərək, ona öz güclü tərəflərinə güvənməyə kömək edir və şagird nə qədər çalışsa da, obyektiv olaraq bir şeyin öhdəsindən gələ bilmədiyi yerdə onu tamamlayır.

Əməliyyatı yoxlayarkən aşağıdakı qeyd sistemindən istifadə olunur:

Problem həll edilmir;

Problem həll olunmayıb, amma işdə bəzi ağlabatan mülahizələr var;

Bir cavabın aydın şəkildə kifayət etmədiyi problemə yalnız cavab verilir;

± - problem həll edildi, lakin həllində kiçik nöqsanlar və qeyri-dəqiqliklər var;

Problem tamamilə həll olunur;

+! – problemin həllində gözlənilməz parlaq ideyalar var.

Böyük əhəmiyyət müstəqil iş başa çatdıqdan sonra doldurulan uşaqların fəaliyyətinin açıq uçotu vərəqinə əlavə olunur.

Bu, şagirdlərin sinifdə biliyinin qiymətləndirilməsi üçün əvəzsiz şərtləri - obyektivliyi, səmərəliliyi, xoş niyyəti və şəffaflığı təmin edir.

səviyyəli

Riyazi diktant.

1) I seçim. Sferaya daxil edilmiş çoxbucaqlının bütün təpələri hansı xüsusiyyətə malikdir?

II seçim. Kürəyə yazılmış çoxbucaqlının hər bir üzü hansı xüsusiyyətə malikdir?

2) I seçim.Əgər sferanı hansısa çoxüzlü ətrafında təsvir etmək olarsa, onda onun mərkəzini necə qurmaq olar?

II seçim. HAQQINDA Sferanı təsvir etmək üçün neçə paralelepipeddən istifadə etmək olar? Cavabınızı izah edin.

3) I seçim. Düzgün haqqında təsvir kürəsinin mərkəzi yerləşir P- karbon prizması?

II seçim. Müntəzəm piramidanın ətrafında təsvir olunan sferanın mərkəzi haradadır?

4) I seçim. Müntəzəm n-bucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin mərkəzini necə qurmaq olar?

// seçim. Bir kürəni hər hansı bir nizamlı prizmaya yerləşdirmək mümkündürmü?

Variant I

səviyyəli

Topun radiusu 6 sm-dir, radiusun ucundan ona 60° bucaq altında bir təyyarə çəkilir. Kesiti sahəsini tapın.

II səviyyə

Radiusu 5 sm olan kürəyə nizami dördbucaqlı prizma daxil edilmişdir.Prizmanın əsasının kənarı 4 sm-dir.Prizmanın hündürlüyünü tapın.

III səviyyə

Kənarı 4 sm olan müntəzəm tetraedrə daxil edilmiş kürənin radiusunu hesablayın.

IV səviyyə

Kəsilmiş konusda R radiuslu bir top yazılmışdır. Generatorun konusun alt əsasının müstəvisinə meyl açısı bərabərdir. A. Kəsilmiş konusun əsaslarının radiusunu və generatrisini tapın.

Seçim II

səviyyəli

Radiusu 10 sm olan kürə mərkəzdən 6 sm məsafədə olan müstəvi ilə kəsişir. Kesiti sahəsini tapın.

II səviyyə

Bir tərəfi 4 sm olan bir kubun ətrafına çəkilmiş kürənin radiusunu tapın.

III səviyyə.

A. Daxil edilmiş sferanın radiusunu tapın.

IV səviyyə

Kəsilmiş konusda R radiuslu bir top yazılmışdır. Generatorun konusun alt əsasının müstəvisinə meyl açısı a-a bərabərdir. Kəsilmiş konusun əsaslarının radiusunu və generatrisini tapın.

Ш variantı

səviyyəli

Topun radiusunun ortasından ona perpendikulyar bir müstəvi çəkilir. Böyük dairənin sahəsi yaranan kəsişmənin sahəsi ilə necə əlaqəlidir?

II səviyyə

Radiusu 4 sm olan kürəyə nizami üçbucaqlı prizma daxil edilmişdir.Prizmanın əsasının kənarı 3 sm-dir.Prizmanın hündürlüyünü tapın.

III səviyyə

Müntəzəm dördbucaqlı piramidada təməlin tərəfi 4 sm, zirvədəki müstəvi bucağı isə A. Yazılı sferanın radiusunu tapın.

IV səviyyə

Müstəvi küncləri olan müntəzəm üçbucaqlı piramida R radiuslu bir topun içinə yazılmışdır A onun zirvəsində. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

IV seçim

I səviyyə

Topun səthində üç xal verilir. Aralarındakı düz xətt məsafələri 6 sm, 8 sm, 10 sm-dir.Topun radiusu 11 sm-dir.Topun mərkəzindən bu nöqtələrdən keçən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın.

II səviyyə

Radiusu 5 sm olan kürəyə müntəzəm altıbucaqlı prizma daxil edilmişdir.Prizmanın əsasının kənarı 3 sm-dir.Texnikanın hündürlüyünü tapın.

Ш səviyyəsi

Bazanın tərəfi 4 sm və yan kənarı əsasın müstəvisinə bucaq altında meyllidirsə, düzgün n-bucaqlı piramidanın ətrafında çəkilmiş sferanın radiusunu tapın. A.

IV səviyyə

Təpəsində düz bucaqlı a olan müntəzəm üçbucaqlı piramida R radiuslu topa daxil edilmişdir. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

Dərsin xülasəsi

Müstəqil işin nəticələri elan edilir və təhlil edilir. Ehtiyacı olan tələbələr islah işləri, düzəliş dərslərinə dəvət olunur.

Set ev tapşırığı(zəruri şərhlərlə), məcburi və dəyişən hissələrdən ibarət.

Məcburi hissə: 187 - 193-cü bəndlər - təkrar; № 44,45,39

Dəyişən hissə № 35