Çoxlu nömrələr. Müxtəlif ədədlər üzərində hərəkət qanunları. Açıq və qapalı çoxluqların tamamlayıcıları arasında əlaqə əməliyyatı altında çoxluq bağlanır

İndi qapalı və açıq çoxluqların bəzi xüsusi xassələrini sübut edək.

Teorem 1. Sonlu və ya hesablana bilən açıq çoxluqların cəmi açıq çoxluqdur. Sonlu sayda açıq çoxluğun məhsulu açıq çoxluqdur,

Sonlu və ya hesablana bilən açıq çoxluqların cəmini nəzərdən keçirin:

Əgər , onda P ən azı birinə mənsubdur Let since açıq çoxluqdur, onda P-nin bəzi -qonşuluğu da mənsubdur.P-nin eyni -qonşuluğu da g cəminə aiddir, buradan g açıq çoxluq olduğu nəticələnir. İndi son məhsulu nəzərdən keçirək

və P g-ə aid olsun. Yuxarıdakı kimi sübut edək ki, P-nin bəzi -qonşuluğu da g-ə aiddir. P g-ə aid olduğundan, P hər kəsə aiddir. - açıq çoxluqlar olduğundan, hər hansı biri üçün -ə aid olan nöqtənin qonşuluğu var. Əgər ədəd sonlu olan ən kiçiyinə bərabər götürülərsə, onda P nöqtəsinin -qonşuluğu hamıya və deməli, g-ə aid olacaqdır. Qeyd edək ki, hesablana bilən sayda açıq çoxluq məhsulunun açıq çoxluq olduğunu iddia edə bilmərik.

Teorem 2. CF çoxluğu açıq, CO çoxluğu isə bağlıdır.

Birinci ifadəni sübut edək. P CF-yə aid olsun. Bəzi P məhəlləsinin CF-yə aid olduğunu sübut etmək lazımdır. Bu ondan irəli gəlir ki, əgər P-nin hər hansı qonşuluğunda F nöqtələri olsaydı, şərtlə aid olmayan P nöqtəsi F üçün həddi nöqtə olardı və qapalı olduğuna görə aid olmalıdır ki, bu da ziddiyyət.

Teorem 3. Sonlu və ya hesablana bilən qapalı çoxluqların hasili qapalı çoxluqdur. Sonlu sayda qapalı çoxluqların cəmi qapalı çoxluqdur.

Məsələn, dəsti sübut edək

Bağlı. Əlavə dəstlərə keçərək yaza bilərik

Teoremə görə çoxluqlar açıqdır və 1-ci teoremlə çoxluq da açıqdır və beləliklə əlavə g çoxluğu bağlıdır. Nəzərə alın ki, saya bilən qapalı çoxluqların cəmi də açıq çoxluq ola bilər.

Teorem 4. Çoxluq açıq çoxluq və qapalı çoxluqdur.

Aşağıdakı bərabərlikləri yoxlamaq asandır:

Bunlardan əvvəlki teoremlərin köməyi ilə 4-cü teorem əmələ gəlir.

Deyəcəyik ki, hər bir g nöqtəsi M sisteminin çoxluqlarından ən azı birinə daxil olarsa, g çoxluğu müəyyən çoxluqların M sistemi ilə əhatə olunur.

Teorem 5 (Borel). Əgər qapalı məhdudlu F çoxluğu açıq O çoxluqlarının sonsuz a sistemi ilə əhatə olunursa, bu sonsuz sistemdən F-i də əhatə edən sonlu sayda açıq çoxluqları çıxarmaq olar.

Bu teoremi tərsinə isbat edirik. Fərz edək ki, a sistemindən heç bir sonlu sayda açıq çoxluq yoxdur və biz bunu ziddiyyətə gətiririk. F məhdud çoxluq olduğundan, F-nin bütün nöqtələri hansısa sonlu iki ölçülü intervala aiddir. Bu qapalı intervalı dörd bərabər hissəyə bölək, aralıqları yarıya bölək. Yaranan dörd intervalın hər birini bağlamaq üçün götürəcəyik. Bu dörd qapalı intervaldan birinə düşən F nöqtələri 2-ci teorem əsasında qapalı çoxluğu təmsil edəcək və bu qapalı çoxluqlardan ən azı biri a sistemindən məhdud sayda açıq çoxluqlarla əhatə oluna bilməz. Bu vəziyyətin baş verdiyi yerdə yuxarıda göstərilən dörd qapalı intervaldan birini götürürük. Yenə də bu intervalı dörd bərabər hissəyə bölürük və yuxarıdakı kimi əsaslandırırıq. Beləliklə, hər biri əvvəlkinin dördüncü hissəsini təmsil edən iç-içə intervallar sistemini əldə edirik və aşağıdakı vəziyyət mövcuddur: hər hansı k-yə aid olan F nöqtələri çoxluğu sistemdən sonlu sayda açıq çoxluqlarla əhatə oluna bilməz. a. Sonsuz k artımı ilə intervallar bütün intervallara aid olan müəyyən bir P nöqtəsinə qədər sonsuz olaraq daralacaq. İstənilən k üçün onlarda sonsuz sayda nöqtə olduğundan, P nöqtəsi F üçün məhdudlaşdırıcı nöqtədir və buna görə də F-ə aiddir, çünki F qapalı çoxluqdur. Beləliklə, P nöqtəsi a sisteminə aid bəzi açıq çoxluqla əhatə olunur. P nöqtəsinin bəzi qonşuluqları da açıq O çoxluğuna aid olacaq. K-nin kifayət qədər böyük qiymətləri üçün D intervalları P nöqtəsinin yuxarıdakı qonşuluğuna düşəcək. Beləliklə, bunlar tamamilə yalnız biri ilə əhatə olunacaq. a sisteminin açıq O çoxluğudur və bu, hər hansı k üçün aid olan nöqtələrin a-ya aid sonlu sayda açıq çoxluqlarla əhatə oluna bilməyəcəyi faktına ziddir. Beləliklə, teorem sübuta yetirilir.

Teorem 6. Açıq çoxluq ümumi nöqtələri olmayan cütlər halında hesablana bilən yarıaçıq intervalların cəmi kimi təqdim edilə bilər.

Yada salaq ki, müstəvidə yarımaçıq intervalı formanın bərabərsizlikləri ilə müəyyən edilən sonlu interval adlandırırıq.

Müstəvidə tərəfləri oxlara paralel və yan uzunluğu birə bərabər olan kvadratlardan ibarət bir şəbəkə çəkək. Bu kvadratların çoxluğu hesablana bilən çoxluqdur. Bu kvadratlardan bütün nöqtələri verilmiş açıq O çoxluğuna aid olan kvadratları seçək. Belə kvadratların sayı sonlu və ya sayıla bilən ola bilər və ya bəlkə də heç belə kvadratlar olmayacaq. Şəbəkənin qalan kvadratlarının hər birini dörd eyni kvadrata bölürük və yeni əldə edilmiş kvadratlardan nöqtələri hamısı O-ya aid olanları yenidən seçirik. Qalan kvadratların hər birini yenidən dörd bərabər hissəyə bölürük və bütün nöqtələri olan kvadratları seçirik. O-ya aiddir və s.Göstərək ki, O çoxluğunun hər bir P nöqtəsi seçilmiş kvadratlardan birinə düşəcək, onların bütün nöqtələri O-ya aiddir. Həqiqətən də, P-dən O-nun sərhəddinə qədər olan müsbət məsafə d olsun. Diaqonalı -dən kiçik olan kvadratlara çatdıqda, açıq-aydın deyə bilərik ki, P nöqtəsi artıq bütün həcmləri O-ya aid olan kvadrata düşmüşdür. Əgər seçilmiş kvadratlar yarıaçıq hesab edilərsə, onlar olmayacaq cütlərdə ortaq nöqtələr var və teorem isbat olunur. Seçilmiş kvadratların sayı mütləq sayıla bilər, çünki yarı açıq intervalların sonlu cəmi açıq çoxluq deyil. Yuxarıdakı konstruksiya nəticəsində əldə etdiyimiz yarıaçıq kvadratları DL ilə işarə edərək yaza bilərik.

Sayılan çoxluq, elementləri natural ədədlərlə nömrələnə bilən və ya natural ədədlər çoxluğuna ekvivalent olan sonsuz çoxluqdur.

Bəzən natural ədədlər çoxluğunun hər hansı alt çoxluğuna bərabər kardinal çoxluqlar hesablana bilən adlanır, yəni bütün sonlu çoxluqlar da hesablana bilən sayılır.

Sayılan çoxluq "ən kiçik" sonsuz çoxluqdur, yəni istənilən sonsuz çoxluqda hesablana bilən alt çoxluq var.

Xüsusiyyətlər:

1. Sayılan çoxluğun istənilən alt çoxluğu ən çox hesablana biləndir.

2. Sonlu və ya sayıla bilən sayıla bilən çoxluqların birliyi hesablana biləndir.

3. Sonlu sayda hesablana bilən çoxluqların birbaşa hasilatı hesablana biləndir.

4. Sayılan çoxluğun bütün sonlu alt çoxluqlarının çoxluğu hesablana biləndir.

5. Hesablana bilən çoxluğun bütün alt çoxluqlarının çoxluğu davamlıdır və xüsusilə də, sayıla bilməz.

Sayılan çoxluq nümunələri:

Sadə ədədlər Natural ədədlər, Tam ədədlər, Rasional ədədlər, Cəbri ədədlər, Dövr halqası, Hesablana bilən ədədlər, Arifmetik ədədlər.

Həqiqi ədədlər nəzəriyyəsi.

(Real = real - bizim uşaqlar üçün xatırlatma.)

R çoxluğu rasional və irrasional ədədlərdən ibarətdir.

Rasional olmayan həqiqi ədədlərə irrasional ədədlər deyilir

Teorem: Kvadratı 2 ədədinə bərabər olan rasional ədəd yoxdur

Rasional ədədlər: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

İrrasional ədədlər: 2-nin kökü=1,4142356…, π=3,1415926…

Həqiqi ədədlərin R çoxluğu aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1. Sifariş olunur: istənilən iki müxtəlif nömrə üçün a və b iki münasibətdən biri var a və ya a>b

2. R çoxluğu sıxdır: iki müxtəlif ədəd arasında a və b sonsuz sayda həqiqi ədədləri ehtiva edir X, yəni bərabərsizliyi ödəyən ədədlər a

3-cü mülk də var, amma çox böyükdür, bağışlayın

Sərhədli dəstlər. Yuxarı və aşağı sərhədlərin xassələri.

Məhdud dəst- müəyyən mənada sonlu ölçüyə malik olan çoxluq.

yuxarıda məhdudlaşdırılır bütün elementləri aşmayan bir ədəd varsa:

Həqiqi ədədlər çoxluğu adlanır aşağıda məhdudlaşdırılır, əgər nömrə varsa,

belə ki, bütün elementlər ən azı:

Yuxarıda və aşağıda məhdud olan çoxluğa deyilir məhduddur.

Sərhədsiz çoxluğa deyilir limitsiz. Tərifdən göründüyü kimi, çoxluq yalnız və yalnız o halda qeyri-məhduddur yuxarıdan məhdudlaşmır və ya aşağıda məhdud deyil.

Nömrə ardıcıllığı. Ardıcıllıq həddi. Lemma iki polis haqqında.

Nömrə ardıcıllığıədəd fəzasının elementlərinin ardıcıllığıdır.

Ya həqiqi ədədlər çoxluğu, ya da kompleks ədədlər çoxluğu olsun. Sonra çoxluğun elementlərinin ardıcıllığı çağırılır ədədi ardıcıllıq.

Misal.

Funksiya rasional ədədlərin sonsuz ardıcıllığıdır. Bu ardıcıllığın elementləri birincidən başlayaraq formaya malikdir.

Ardıcıllıq limiti- bu, say artdıqca ardıcıllığın üzvlərinin yaxınlaşdığı obyektdir. Xüsusilə, nömrə ardıcıllığı üçün limit, müəyyən bir nöqtədən başlayaraq ardıcıllığın bütün şərtlərinin yerləşdiyi hər hansı bir qonşuluqdakı ədəddir.

İki polis haqqında teorem...

Funksiya elədirsə ki, nöqtənin hər hansı bir qonşuluğunda olan hər kəs üçün funksiyalar və funksiyalar -da eyni limitə malikdirlər, onda funksiyanın eyni dəyərə bərabər limiti var, yəni.

Üst-üstə düşsə də, olmasa da, iki X və Y çoxluğu verilsin.
Tərif. Birincisi X-ə, ikincisi isə Y-ə aid olan sıralı cüt elementlər toplusu adlanır. Dəstlərin kartezian məhsulu və təyin olunur.
Misal. Qoy
,
, Sonra
.
Əgər
,
, Sonra
.
Misal. Qoy
, burada R bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur. Sonra
müstəvidəki nöqtələrin bütün Dekart koordinatlarının çoxluğudur.
Misal. Qoy
müəyyən çoxluq ailəsidir, onda bu çoxluqların Dekart hasili n uzunluğunda bütün sifarişli sətirlərin çoxluğudur:
Əgər, onda. Elementlər
uzunluğu n olan sıra vektorlarıdır.
Bir binar əməliyyatı olan cəbri strukturlar
1 Binar cəbri əməliyyatlar
Qoy
– ixtiyari sonlu və ya sonsuz çoxluq.
Tərif. İkili cəbriəməliyyat ( tərkibin daxili qanunu) açıqdır
Kartezian kvadratının ixtiyari, lakin sabit xəritəsidir
V
, yəni.
(1)
(2)
Beləliklə, istənilən sifarişli cüt

. Bu faktdır ki
, şəklində simvolik olaraq yazılır
.
Tipik olaraq, ikili əməliyyatlar simvollarla işarələnir
və s. Əvvəlki kimi əməliyyat
“əlavə”, “” əməliyyatı isə “vurma” deməkdir. Onlar notasiya şəklində və ola bilsin ki, kontekstdən aydın olacaq aksiomalarda fərqlənirlər. İfadə
biz onu məhsul adlandıracağıq və
- elementlərin cəmi Və .
Tərif. Bir dəstə
əməliyyat altında qapalı adlanır  varsa .
Misal. Mənfi olmayan tam ədədlər toplusunu nəzərdən keçirək
. İkili əməliyyatlar kimi
adi toplama əməliyyatlarını nəzərdən keçirəcəyik
və vurma. Sonra dəstlər
,
bu əməliyyatlarla əlaqədar bağlanacaq.
Şərh. Tərifdən aşağıdakı kimi, cəbri əməliyyatın təyin edilməsi * üzrə
, çoxluğun qapalılığına bərabərdir
bu əməliyyatla bağlı. Çox çıxsa
verilmiş * əməliyyatı altında bağlanmır, onda bu halda * əməliyyatının cəbri olmadığını deyirlər. Məsələn, natural ədədlər toplusunda çıxma əməliyyatı cəbri deyil.
Qoy
Və
iki dəst.
Tərif. Xarici qanunla kompozisiyalar dəstdə Xəritəçəkmə adlanır
, (3)
olanlar. hər hansı bir elementin hansı qanunla
və hər hansı bir element
element uyğun gəlir
. Bu faktdır ki
, simvolu ilə işarələnir
və ya
.
Misal. Matrisin vurulması
nömrə başına
çoxluqda xarici kompozisiya qanunudur
. Rəqəmlərin vurulması
həm tərkibin daxili qanunu, həm də xarici qanun kimi qəbul edilə bilər.
paylayıcı tərkibin daxili qanunu ilə əlaqədar * in
, Əgər
Tərkibinin xarici qanunu deyilir paylayıcı tərkibin daxili qanununa nisbətən Y-də *, əgər
Misal. Matrisin vurulması
nömrə başına
həm matrislərin toplanmasına, həm də ədədlərin toplanmasına görə paylayıcıdır, çünki,.
Binar əməliyyatların xassələri

Çoxluqda ikili cəbr əməliyyatı 
çağırdı:
Şərh. Kommutativlik və assosiativlik xassələri müstəqildir.
Misal. Tam ədədlər toplusunu nəzərdən keçirək. Əməliyyat aktivdir qaydaya uyğun olaraq müəyyən ediləcək
. Nömrələri seçək
və bu nömrələr üzərində əməliyyat yerinə yetirin:
olanlar.  əməliyyatı kommutativdir, lakin assosiativ deyil.
Misal. Seti nəzərdən keçirin
– ölçünün kvadrat matrisləri
real əmsallarla. İkili əməliyyat olaraq * üzərində
Matris vurma əməliyyatlarını nəzərdən keçirəcəyik. Qoy
, Sonra
, lakin
, yəni. kvadrat matrislər toplusunda vurma əməliyyatı assosiativdir, lakin kommutativ deyil.
Tərif. Element
çağırdı subay və ya neytral sözügedən əməliyyatla bağlı  haqqında
, Əgər
Lemma. Əgər – çoxluğun vahid elementi
, əməliyyat altında bağlandı *, sonra unikaldır.
Sübut . Qoy – çoxluğun vahid elementi
, əməliyyat altında bağlandı *. Fərz edək ki, daxil
daha bir vahid element var
, Sonra
, çünki tək elementdir və
, çünki - tək element. Beləliklə,
– çoxluğun yeganə vahid elementi
.
Tərif. Element
çağırdı tərs və ya simmetrik elementə
, Əgər
Misal. Tam ədədlər toplusunu nəzərdən keçirək əlavə əməliyyatı ilə
. Element
, sonra simmetrik element
elementi olacaq
. Həqiqətən,.

Natural ədədlər çoxluğu cisimlərin sayılması üçün istifadə olunan 1, 2, 3, 4, ... ədədlərindən ibarətdir. Bütün natural ədədlərin çoxluğu adətən hərflə işarələnir N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Natural ədədlərin toplanması qanunları

1. İstənilən natural ədədlər üçün a Və b bərabərlik doğrudur a + b = b + a . Bu xassə toplamanın kommutativ qanunu adlanır.

2. İstənilən natural ədədlər üçün a, b, c bərabərlik doğrudur (a + b) + c = a + (b + c) . Bu xassə birləşmiş (assosiativ) toplama qanunu adlanır.

Natural ədədlərin vurulması qanunları

3. İstənilən natural ədədlər üçün a Və b bərabərlik doğrudur ab = ba. Bu xassə vurmanın kommutativ qanunu adlanır.

4. İstənilən natural ədədlər üçün a, b, c bərabərlik doğrudur (ab)c = a(bc) . Bu xassə vurmanın birləşmiş (assosiativ) qanunu adlanır.

5. İstənilən dəyərlər üçün a, b, c bərabərlik doğrudur (a + b)c = ac + e.ə . Bu xassə vurmanın paylayıcı qanunu adlanır (toplamaya nisbətən).

6. İstənilən dəyərlər üçün a bərabərlik doğrudur a*1 = a. Bu xassə birə vurma qanunu adlanır.

İki natural ədədin toplanması və ya vurulmasının nəticəsi həmişə natural ədəd olur. Yaxud başqa cür desək, bu əməliyyatlar natural ədədlər çoxluğunda qalaraq yerinə yetirilə bilər. Bunu çıxma və bölmə ilə bağlı demək olmaz: məsələn, 3 rəqəmindən natural ədədlər çoxluğunda qalaraq 7 rəqəmini çıxmaq mümkün deyil; 15 rəqəmini 4-ə tam bölmək olmaz.

Natural ədədlərin bölünmə əlamətləri

Cəmin bölünmə qabiliyyəti.Əgər hər bir hədd bir ədədə bölünürsə, cəmi həmin ədədə bölünür.

Məhsulun bölünmə qabiliyyəti.Əgər məhsulda amillərdən ən azı biri müəyyən ədədə bölünürsə, hasil də bu ədədə bölünür.

Bu şərtlər həm məbləğ, həm də məhsul üçün kifayətdir, lakin zəruri deyil. Məsələn, 12*18 hasili 36-ya bölünür, baxmayaraq ki, nə 12, nə də 18 36-ya bölünür.

2-yə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 2-yə bölünməsi üçün onun son rəqəminin cüt olması zəruri və kifayətdir.

5-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 5-ə bölünməsi üçün onun son rəqəminin 0 və ya 5 olması zəruri və kifayətdir.

10-a bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 10-a bölünməsi üçün vahidlərin rəqəminin 0 olması zəruri və kifayətdir.

4-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın.Ən azı üç rəqəmi olan natural ədədin 4-ə bölünməsi üçün son rəqəmlərin 00, 04, 08 olması və ya bu ədədin son iki rəqəmindən əmələ gələn ikirəqəmli ədədin aşağıdakılara bölünməsi zəruri və kifayətdir. 4.

2-yə (9-a) bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 3-ə (9-a) bölünməsi üçün onun rəqəmlərinin cəminin 3-ə (9-a) bölünməsi zəruri və kifayətdir.

Tam ədədlər dəsti

Mənşəyi nöqtədə olan ədəd xəttini nəzərdən keçirək O. Üzərindəki sıfır rəqəminin koordinatı nöqtə olacaq O. Verilmiş istiqamətdə say xəttində yerləşən ədədlərə müsbət ədədlər deyilir. Say xəttində bir nöqtə verilsin A koordinatı 3 ilə. O, müsbət rəqəm 3-ə uyğundur. İndi isə vahid seqmenti nöqtədən üç dəfə çəkək. O, verilənə əks istiqamətdə. Sonra mətləbi anlayırıq A", nöqtəyə simmetrikdir A mənşəyinə nisbətən O. Nöqtə koordinatı A"ədədi olacaq - 3. Bu ədəd 3 ədədinin əksidir. Verilənə əks istiqamətdə say xəttində yerləşən ədədlərə mənfi ədədlər deyilir.

Natural ədədlərə əks olan ədədlər ədədlər toplusunu təşkil edir N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Dəstləri birləşdirsək N , N" və singleton dəsti {0} , sonra bir dəst alırıq Z bütün tam ədədlər:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Tam ədədlər üçün yuxarıdakı toplama və vurma qanunlarının hamısı doğrudur, natural ədədlər üçün də doğrudur. Bundan əlavə, aşağıdakı çıxma qanunları əlavə olunur:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Rasional ədədlər toplusu

Tam ədədləri sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədə bölmə əməliyyatını mümkün etmək üçün kəsrlər təqdim olunur:

Harada a Və b- tam ədədlər və b sıfıra bərabər deyil.

Bütün müsbət və mənfi kəsrlərin çoxluğunu tam ədədlər çoxluğuna əlavə etsək, rasional ədədlər çoxluğunu alırıq. Q :

.

Üstəlik, hər bir tam ədəd də rasional ədəddir, çünki məsələn, 5 rəqəmi pay və məxrəcin tam ədəd olduğu formada göstərilə bilər. Bu, biri tam ədəd ola bilən rasional ədədlər üzərində əməliyyatlar yerinə yetirərkən vacibdir.

Rasional ədədlər üzərində arifmetik əməllərin qanunları

Kəsrin əsas xüsusiyyəti. Verilmiş kəsrin payı və məxrəci eyni natural ədədə vurularsa və ya bölünərsə, verilənə bərabər kəsr alırsınız:

Bu xassə fraksiyaların azaldılması zamanı istifadə olunur.

Kəsrlərin əlavə edilməsi. Adi fraksiyaların əlavə edilməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

.

Yəni müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün kəsrlər ortaq məxrəcə endirilir. Təcrübədə müxtəlif məxrəcli kəsrlər toplanarkən (çıxıldıqda) kəsrlər ən aşağı ortaq məxrəcə qədər azaldılır. Məsələn, bu kimi:

Eyni sayları olan kəsrləri əlavə etmək üçün, sadəcə olaraq, sayları əlavə edin və məxrəci eyni şəkildə buraxın.

Fraksiyaların vurulması. Adi fraksiyaların vurulması aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Yəni kəsri kəsrə vurmaq üçün birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurmaq və hasilini yeni kəsrin payına yazmaq, birinci kəsrin məxrəcini isə kəsrə vurmaq lazımdır. ikinci kəsrin məxrəcini yazın və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazın.

Bölmə fraksiyaları. Adi kəsrlərin bölünməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Yəni kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikinci kəsrin məxrəcinə vurub hasilini yeni kəsrin payına yazmaq, birinci kəsrin məxrəcini isə kəsrə vurmaq lazımdır. ikinci kəsrin payını və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazın.

Kəsirin təbii göstəricisi olan qüvvəyə yüksəldilməsi. Bu əməliyyat aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Yəni kəsri qüvvəyə qaldırmaq üçün pay o dərəcəyə, məxrəc isə o dərəcəyə qaldırılır.

Dövri onluq ədədlər

Teorem.İstənilən rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri kəsr kimi təqdim edilə bilər.

Misal üçün,

.

Ədədin onluq işarəsində onluq nöqtədən sonra ardıcıl təkrarlanan rəqəmlər qrupu dövr, qeydində belə dövr olan sonlu və ya sonsuz onluq kəsr isə dövri adlanır.

Bu halda, istənilən sonlu onluq kəsr dövrdə sıfır olan sonsuz dövri kəsr hesab olunur, məsələn:

İki rasional ədədin toplanması, çıxması, vurulması və bölünməsinin (sıfıra bölmədən başqa) nəticəsi də rasional ədəddir.

Həqiqi ədədlər toplusu

Tam ədədlər çoxluğu ilə əlaqədar nəzərdən keçirdiyimiz say xəttində rasional ədəd şəklində koordinatları olmayan nöqtələr ola bilər. Beləliklə, kvadratı 2 olan rasional ədəd yoxdur. Buna görə də ədəd rasional ədəd deyil. Kvadratları 5, 7, 9 olan rasional ədədlər də yoxdur. Buna görə də , , ədədləri irrasionaldır. Rəqəm də məntiqsizdir.

Heç bir irrasional ədəd dövri kəsr kimi təqdim edilə bilməz. Onlar dövri olmayan fraksiyalar kimi təmsil olunur.

Rasional və irrasional ədədlər çoxluğunun birliyi həqiqi ədədlər çoxluğudur R .

TƏRİF 5. X metrik fəza olsun, ММ Х, аОХ. Əgər a-nın hər hansı qonşuluğunda M\(a) çoxluğunun nöqtələri varsa, a nöqtəsi M-nin həddi nöqtəsi adlanır. Sonuncu o deməkdir ki, a-nın hər hansı qonşuluğunda M çoxluğunun a-dan fərqli nöqtələri var.

Qeydlər. 1. Məhdud nöqtə çoxluğa aid ola bilər və ya olmaya da bilər. Məsələn, 0 və 1 çoxluğun limit nöqtələridir (0,2), lakin birincisi ona aid deyil, ikincisi isə aiddir.
2. M çoxluğunun nöqtəsi onun həddi nöqtəsi olmaya bilər. Bu halda o, təcrid olunmuş M nöqtəsi adlanır. Məsələn, 1 çoxluğun (-1,0)È(1) təcrid olunmuş nöqtəsidir.
3. Əgər a həddi nöqtəsi M çoxluğuna aid deyilsə, onda bu metrik fəzada a nöqtəsinə yaxınlaşan x n ОM nöqtələrinin ardıcıllığı var. Bunu sübut etmək üçün radiusları 1/n olan bu nöqtədə açıq toplar götürmək və hər topdan M-ə aid bir nöqtə seçmək kifayətdir. Bunun əksi də doğrudur, əgər a üçün belə bir ardıcıllıq varsa, onda nöqtə a-dır. limit nöqtəsi.
TƏRİF 6. M çoxluğunun bağlanması onun həddi nöqtələrinin çoxluğu ilə M-in birləşməsidir. Təyinat
Qeyd edək ki, topun bağlanması eyni radiuslu qapalı topla üst-üstə düşməməlidir. Məsələn, diskret fəzada B(a,1) topunun bağlanması topun özünə bərabərdir (bir a nöqtəsindən ibarətdir), qapalı top (a,1) isə bütün fəza ilə üst-üstə düşür.
Çoxluqların bağlanmasının bəzi xüsusiyyətlərini təsvir edək.
1. MÌ. Bu, birbaşa bağlanmanın tərifindən irəli gəlir.
2. M M N olarsa, M . Həqiqətən də, əgər a О , a ПМ, onda a-nın hər hansı qonşuluğunda M çoxluğunun nöqtələri var. Onlar da N nöqtələridir. Buna görə də aО . M nöqtələri üçün bu tərifə görə aydındır.
4. .
5. Boş dəstənin bağlanması boşdur. Bu razılaşma ümumi tərifdən irəli gəlmir, lakin təbiidir.
TƏRİF 7. M М X çoxluğu = M olduqda qapalı adlanır.
M M X çoxluğu açıq adlanır, əgər X\M çoxluğu bağlıdırsa.
M M X çoxluğu əgər = X olarsa, X-də hər yerdə sıx olduğu deyilir.
TƏRİF 8. Bəzi müsbət r üçün B(a,r)MM olarsa, yəni daxili nöqtə hansısa qonşuluqla birlikdə çoxluğa daxil olarsa, a nöqtəsi M çoxluğunun daxili nöqtəsi adlanır. Bəzi müsbət r üçün top B(a,r)МХ/M, yəni daxili nöqtə bəzi qonşuluqla birlikdə çoxluğa daxil deyilsə, a nöqtəsi M çoxluğunun xarici nöqtəsi adlanır. M çoxluğunun nə daxili, nə də xarici nöqtələri olmayan nöqtələrə sərhəd nöqtələri deyilir.
Beləliklə, sərhəd nöqtələri onunla xarakterizə olunur ki, onların hər bir məhəlləsində M-ə həm daxil olan, həm də daxil olmayan nöqtələr var.
TƏKLİF 4. Çoxluğun açıq olması üçün onun bütün nöqtələrinin daxili olması zəruri və kifayətdir.
Xəttdəki qapalı çoxluq nümunələri , )