Kiryanov D.V., Kiryanova E.N., Kozlov N.İ., Kuznetsov V.İ.
(D.V.Kiriyanov, E.N.Kiriyanova, N.İ.Kozlov, V.İ.Kuznetsov)

IPM im. M.V.Keldış RAS

Moskva, 2005

annotasiya

İşdə ekoloji əhalinin yaş tərkibinin onun inkişafına təsirinin bir neçə riyazi modeli araşdırılır. Modelləşdirmə dinamik sistemin ədədi həlli yolu ilə həyata keçirilir diferensial tənliklər(adi və qismən törəmələr), Volterra sistemləri və Lesli matrisləri sinfinə aiddir.

mücərrəd

Ekoloji populyasiya dinamikasına yaş strukturunun təsir modellərinin icmalı təqdim olunur. Biz klassik Volterra modeli və Lesli matrisləri yanaşmasına əsaslanan bir sıra adi və PDE diferensial tənliklərin dinamik sistemlərini nəzərdən keçiririk.

§ 1. Əsas model

Son vaxtlar bir həll üçün praktik problemlər Diferensial və inteqro-diferensial tənliklər əsasında ekosistemin inkişaf dinamikasının modelləşdirilməsi getdikcə daha çox istifadə olunur. Bu yanaşma müxtəlif bioloji icmaları və xüsusən də meşələri modelləşdirmək üçün geniş istifadə olunur. Ən böyük çətinlik iki nöqtə ilə təqdim olunur:

· tənliklərin, xüsusən də ekosistemin müəyyən bir sahəsinin vəziyyətinə müəyyən parametrlərin təsirinin miqyasını təsvir edən parametrlərin düzgün seçilməsi;

· yaş təsirlərinin adekvat modelləşdirilməsi, eləcə də heterojen ekosistemlərin məkan paylanması.

Bu işdə adi diferensial və diferensial-diferensial tənliklərin, eləcə də qismən diferensial tənliklərin ədədi modelləşdirilməsi əsasında meşə biosenozlarında müxtəlif yaş təsirlərini nəzərdən keçiririk. İlk növbədə, nə məkan paylanması, nə də yaş təsirləri nəzərə alınmadan bütövlükdə əhalinin təkamülünü təsvir edən iki növ meşənin inkişafının sadələşdirilmiş modelini təqdim edək. Qlobal ekoloji tələbləri mahiyyətcə ifadə edən bu mərhələdə əsas qarşılıqlı əlaqələrin xarakterini adekvat müəyyən etmək lazımdır.

Biz populyasiyanı biokütlə sıxlığı vektoru ilə xarakterizə edəcəyik, i=l (yarpaqlı növlər), x (iynəyarpaqlar). Gəlin özümüzü "resurs-istehlakçı" tipli iki səviyyəli trofik qarşılıqlı əlaqə sistemi ilə məhdudlaşdıraq: torpaq - bir-biri ilə rəqabət aparan iki növ meşə. Torpağın vəziyyəti üçüncü dəyişən - münbitliyin ümumiləşdirilmiş göstəricisi P(t) ilə xarakterizə olunur. Bu yığılmış modeli təsvir etmək üçün istifadə etdiyimiz dinamik sistem aşağıdakı kimidir:

i = (x, l)(1)

· P – məhsuldarlığın ümumiləşdirilmiş göstəricisi – resurs sıxlığı (kq/m 2 );

· u l – yarpaqlı növlərin biokütlə sıxlığı (kq/m 2 );

· u x – iynəyarpaqlı biokütlənin sıxlığı (kq/m 2 );

· A i - i-ci növün düşməsi ilə əlaqədar torpağın bərpası əmsalı (1/il);

· B – torpağın özünü sağaltma əmsalı (1/il);

· P 0 – meşə olmadıqda məhsuldarlığın asimptotik dəyəri (kq/m 2 );

· Vi – resurs sərfiyyatının dərəcəsi (trofik funksiya) (1/il);

· с i – rəqabəti təsvir edən korreksiya əmsalı;

· k i – i-ci cinsin böyümə əmsalı;

· D i – ağacların təbii ölüm əmsalı (1/il);

· W - xarici amillərin təsiri, çox vaxt zərərli, buna görə də mənfi əlamətlə, (kq/(il× m 2))

· t 0 – gənc meşənin orta yetişmə vaxtı (il)

Bu sistem, asan göründüyü kimi, klassik Volterra modelinin ümumiləşdirilməsidir. Əmsallar eksperimental olaraq müəyyən edilmiş sabitin (normal şəraitdə əhalinin inkişafını təyin edən) və bəzi korreksiya funksiyasının birləşməsidir. Əsərdə əmsalların açıq formasını müzakirə etdik və orada (1) sisteminin həllinin tipik qrafikləri də verildi.

Normal şəraitdə (kifayət qədər rütubətlə) meşələrin inkişafına uyğun həllərdən biri Şəkildə təqdim olunur. 1. Populyasiyanın inkişafı zamanı yarpaqlı meşələrin iynəyarpaqlılarla əvəzlənməsinin məlum hadisəsini təsvir edir.

Şəkil 1. Sistemin tipik həlli (1).

Dərhal qeyd etmək lazımdır ki, konsentrasiya edilmiş model (1) yalnız yaş təsirlərini ən kobud şəkildə nəzərdən keçirməyə imkan verir, çünki tənliklərə ümumi biokütlə sıxlıqları daxildir (yaş qruplarına bölünmədən). Məsələn, Şəkildə göstərilən hesablamalarda. 1, biz (müvafiq düzəliş funksiyası vasitəsilə) təbii ölüm səviyyəsinin D i əhəmiyyətli dərəcədə əhalinin orta yaşından asılı olduğunu nəzərə aldıq.

Bu ilkin qeydləri etdikdən sonra biz bu işin əsas mövzusuna - heterojen yaş tərkibinə malik meşə populyasiyalarının müxtəlif modellərinə keçə bilərik.

§ 2. Lesli matris modeli

Mürəkkəb çoxnöv populyasiyalarının inkişafını təsvir etmək üçün matris hesablaması (toplu modellərə tətbiq olunur) əsrin ortalarında Leslie tərəfindən təklif edilmişdir. İndiyə qədər qeyd olunan ekoloji modellər diferensial hesablama metodlarına əsaslanırdı. Bu özlüyündə müəyyən təxmindir. Praktik hesablamalara keçərkən, məsələn, demoqrafik cədvəllərə görə, diskret kəmiyyətlərlə məşğul olmaq lazımdır. Məsələn, insan demoqrafiyasında adətən beş illik vaxt intervalları istifadə olunur. Bundan əlavə, bir çox populyasiyanın inkişafı (meşələr də daxil olmaqla) açıq mövsümi xarakter daşıyır. Buna görə də əhalinin düzgün təsviri və praktiki hesablamalar üçün diferensial və inteqral hesablama metodlarının deyil, diskret riyaziyyatın (matris və s.) üsullarının tətbiq olunma ehtimalı daha yüksəkdir.

Lesli mürəkkəb çoxyaşlı populyasiyanı təsvir etmək üçün sözdə keçid matrisindən istifadə etməyi təklif etdi.

,(2)

müxtəlif yaş siniflərinin fərdlərinin sayının sütun vektoru ilə vurulduqda (sıfırdan - yeni doğulmuş fərdlərə, k - ən yaşlı fərdlərə qədər) müəyyən bir vaxt vahidindən sonra yaş qruplarındakı fərdlərin sayını verir (çox vaxt bir il). Beləliklə, in keçid matrisi Leslie p i sağ qalma nisbətidir (yəni i-ci sinifdən olan şəxsin gələn il (i+1)-ci yerə keçməsi ehtimalı),a i – fərdlərin orta məhsuldarlığı i-ci yaş qruplar.

Beləliklə, keçid matrisi (k+1) ölçülü kvadrat matrisdir.´ (k+1) və yaş qruplarının ədədlərinin sütun vektoru matrisdir (k+1)´ 1. Əgər matrisin elementləri sabitdirsə, yəni. zamanla dəyişmir, onda onların qeyri-mənfi olmasından belə nəticə çıxır ki, matrisin xüsusi dəyərinin maksimum mütləq qiyməti həqiqi və müsbətdir. Maksimum öz dəyər birdən azdırsa, populyasiya yox olmağa məhkumdur, daha böyükdürsə, qeyri-məhdud əhali artımı var. İbtidai Lesli matrislərinin maksimum öz dəyəri birdir. Bu o deməkdir ki, əhali zaman keçdikcə maksimum xüsusi dəyərə uyğun olan xüsusi vektor tərəfindən verilən müəyyən sabit yaş bölgüsünə meyl edəcək və əhalinin artım tempi bu xüsusi dəyərlə müəyyən ediləcək.

Populyasiyanın dinamik təsvirində ilk növbədə fərdlərin çoxalma qabiliyyətinin fərqini nəzərə almaq lazımdır. Bu məqsədlə adətən üç qrup fərqləndirilir: pregenerativ (gənc, hələ çoxalmağa qadir deyil), generativ (çoxalmağa qadirdir, lakin hazırda çoxalması mütləq deyil) və postgenerativ (qocalıq, çoxalma qabiliyyətini artıq itirmiş). Müəyyən bir növün həyat dövrünün xüsusiyyətlərindən asılı olaraq və etibarlı diaqnostik simvolların olması halında, bu böyük qrupların hər biri daha kiçik yaş kateqoriyalarına bölünür.

Qeyd etmək lazımdır ki, populyasiyanın yaş qruplarına bölünməsi praktiki baxımdan, müəyyən bir növün orqanizmlərinin fərdin yaşını dəqiq müəyyən etməyə imkan verən xüsusiyyətlərə malik olduğu hallarda əsaslandırılır. Bizim modellərimizdə, meşə populyasiyası vəziyyətində, ağac halqalarından istifadə edərək fərdi ağacın yaşı dəqiq müəyyən edilə bilər.

İndi təqdim olunan modelə Lesli matrislərinin tətbiqini nəzərdən keçirək§ 1. Yada salaq ki, bu əsas model meşəni yaş nəzərə alınmadan təsvir etmişdir.Bitkilərin quraqlığa, bataqlığa, kölgəyə, çirklənməyə, torpaq yanğınlarına, xəstəliklərə və digər amillərə davamlılığı əsasən yaşdan asılıdır.

Aşağıda hesablamalar ondan asılı olmadığı üçün görünüş indeksini buraxırıq. Baxış indeksi yalnız son nəticədə görünəcək. Onu da nəzərə almaq lazımdır ki, yaş qruplarının intervalları zaman baxımından xeyli böyükdürsə, o zaman qrupun öz daxilində yaş bölgüsünü də nəzərə almaq lazımdır.Yaş qruplarının sayı kiçik, məsələn, 4 qrup ola bilər. hər tipik yaş intervalı üçün: gənc meşə, reproduktiv yaş meşəsi və yetişmiş meşə (toxum vermir). Yəni cəmi 12 qrup var. Lakin hesablama başlamazdan əvvəl bu paylama məlum deyil. Mümkündür ki, hər zaman addımında qrup daxilində paylanma, məsələn, zaman addımı üçün qrup dəyişənlərinin dəyərlərinə görə interpolyasiya yolu ilə aydınlaşdırılır. Sonra qrup sabitləri dəqiqləşdirilir. Biz daha sadə bir yol seçirik: apriori yaş bölgüsü haqqında fərziyyə edilir və sonra qrup sabitləri tapılır. Əslində, bu "sabitlər" qrup dəyişənlərindən asılı ola bilər. Bu, qrup sabitlərinin qrup dəyişənlərinin dəyərlərinə uyğun olaraq tənzimlənməsini təmin edir.

Qrupdan qrupa keçid əmsallarını müəyyən etmək üçün biz diskret sxemə müraciət edəcəyik (şək. 2). Yaş qrupuna rlet daxil edilsin və qrupun girişində eyni biokütlə dəyəri alındıqda sabit vəziyyət hesab edirik.

123 4

Şəkil 2. Leslie modelini izah edən diaqram

Sonra yaşa görə hər il üçün aşağıdakı biokütlə sıxlığına sahib olacağıq:

1 il=,2 il=,3 il=,...r il=

Burada C ilkin biokütlə sıxlığının ildə nə qədər artdığını göstərən əmsaldır.Bu qiymət adətən 0,1-0,18 olur və qrupdan, biokütlənin sıxlığından, məhsuldarlıqdan və s.-dən asılıdır.Lakin qrup daxilində az dəyişir. Qrupları 10 il ardıcıllığı ilə götürsək, o zaman qrupda qəbul etdiyimiz xətti artım qanunu tamamilə özünü doğrultmuş olur.

Hər il başqa bir qrupa gələn qrupun kütləsindən biokütlənin nisbəti nisbətlə müəyyən edilə bilər:

(3)

Bu, qrupdakı biokütlənin ümumi həcminin il üzrə bütün həcmlərin cəminə bərabər olmasından irəli gəlir: . Bu qeydləri nəzərə alsaq, bunu əldə edə bilərik

(4)

Gördüyümüz kimi u i [j] funksiyalarının təkamülü (1) sisteminə oxşar tənliklərlə təsvir edilir, lakin C i0 və D i0 əmsallarının əvəzinə C i0 [j] və D i0 [j] artım və ölüm massivləri verilir. müvafiq olaraq təqdim edilir.

Gənc və yaşlı ağacların quraqlığa, bataqlığa və s.-yə fərqli münasibətini nəzərə alaraq, açıq şəkildə yaş nəzərə alınmalıdır. Bunun üçün əsas model (1) ilə analoji olaraq müvafiq korreksiya funksiyaları tətbiq edilir. Bu halda, təbii ki, onlar naməlum funksiyalar kimi vektor funksiyalarına çevrilirlər, çünki quraqlıq, bataqlıq, kölgəlik, çirklənmə və digər amillərlə bağlı yaşa bağlı xüsusiyyətləri təmsil edir. Məsələn, nəzərə alırlar ki, gənc ağaclar su çatışmazlığından ən çox əziyyət çəkir, yetkin ağaclar isə daha dərin kök sisteminə malik olduqları üçün bataqlığa daha davamlıdırlar. Modelin (4) tənliklər sistemini yazmaq üçün aşağıdakı reduksiya texnikasından istifadə edirik: eyni strukturun funksiyalarının hasilində yalnız düzgün əmsalın göstəricilərini göstərəcəyik: qeydi -ə bərabərdir.

Diferensial tənliklərin ümumi sayı: . Budur, ci tip qrupların maksimum sayı, torpağın məhsuldarlığı və nəmlənmiş təbəqənin qalınlığı üçün daha iki tənlik). Yaş qrupu ölçüsü p il.

İndi meşə əhalisinin yaş tərkibini nəzərə almaqla (4) tənliklər sisteminə əsaslanan bəzi modelləşdirmə nəticələrini təqdim edək. Hər yaş qrupunun eni 10 il idi. Şəkildə. 3 ümumiləşdirilmiş modeldə meşə inkişafı: normal nəmlik şəraitində (şəkil 1-də əsas modeldə olduğu kimi qarışıq meşədən iynəyarpaqlı meşəyə davamlı dəyişiklik). Bununla belə, orta yaşdakı dalğalanmalarla əlaqəli biokütlə sıxlığında dalğalanmalar var (Şəkil 4.). Ümumiyyətlə, etiraf etmək olar ki, Leslie matrislərinə əsaslanan yaşa əsaslanan model daha realdır və əsas modellə eyni əsas xassələri saxlayır.

Şəkil 3. .Dayanıqlı ağac populyasiyası

Şəkil 4. Ağacların orta yaş fərqləri

§ 3. Bir yaşlı əkin modeli

İndi toxumla illik çoxalma, çoxalmanın başlanması üçün yaş həddi, həmçinin növdaxili rəqabət və "ekoloji" şlamlar (yalnız müəyyən edilir) nəzərə alınmaqla, eyni yaşda olan bir sıra fidanların təkamülünü təsvir edən başqa bir modeli nəzərdən keçirək. massivin vəziyyəti ilə), muxtariyyəti qoruyaraq.

Aşağıdakı diskret koordinat sistemindən istifadə edirik. Biz nəsil nömrəsini ordinat oxu boyunca tərtib edəcəyik. Zamanı absis oxu boyunca çəkəcəyik.Qeyd etmək asanlığı üçün şitillərin yaşını sıfır hesab etsək, tonlar koordinat müstəvisiİlkin anda yalnız bir nöqtə olacaq, çoxalma həddini nəzərə alaraq yeni nəsillər meydana çıxacaq və onlar meydana çıxdıqdan sonra "sinxron yaşlanma" zaman oxu boyunca hərəkət etməyə başlayırlar.

Sonra hər nəsil üçün öz təkamül tarazlığımızı yaza bilərik:

,(5)

burada nəsil nömrəsi, müəyyən bir zamanda nəslin yaşı t, k-ci nəslin biokütlə sıxlığı, təbii artım və təbii ölüm əmsalları arasındakı fərqdir, bütün nəsil vektorundan asılı olan müəyyən bir funksiyadır. sıxlıq (vektorun uzunluğu sistemimizi nəzərdən keçirəcəyimiz vaxtdan asılıdır, yəni sabit deyil).

Bu funksiya spesifik rəqabəti ifadə edə bilər:

, (6)

burada m reproduktiv yaşdır, t-m+1 t zamanında nəsillərin ümumi sayını, k və j nəsillərinin rəqabətli qarşılıqlı əlaqə əmsallarını verir, yəni bunlar rəqabətin kvadratik şərtləridir.

Biz k() və nəsil nömrəsinin bəzi məlum funksiyalarını nəzərə alaraq bir il müddətində nəsil üçün tənliyi həll edəcəyik.Sonra yaza bilərik:

(7)

Bu girişdə kəmiyyətlə müqayisədə kiçik olduğunu nəzərə aldıq və buna görə də özümüzü genişləndirmənin birinci şərti ilə məhdudlaşdıraraq, ardıcıl olaraq genişləndirilə bilər.İndi sonuncu məhsulda ikinci amil üçün notasiya təqdim etsək:

,(8)

onda yeni yaradılmış nəslin itkin dəyərini t qatına əlavə etsəniz, t-1 zaman qatından t qatına keçid üçün hesablama sxemini əldə edə bilərsiniz:

(9)

Görürük ki, müəyyən zaman təbəqəsində t-də yenicə doğulan nəslin qiymətləri t qatında da nəsillərin qiymətlərindən alınır.Rəqabət nəzərə alındığı halda, inteqralın məlumatlarından istifadə etməklə hesablanmalıdır. əvvəlki zaman təbəqəsi.

Əgər nəsillər üçün tənliklər sisteminə dinamik sistem kimi yanaşsanız, onda siz sxemin sabitliyini və yaxınlaşmasını əsaslandıra və bununla da sxemin yaxınlaşmasını əsaslandıra bilərsiniz.

Təklif olunan tənliklər sistemi (rəqabət və seçmə olmadan) xətti olduğundan, Volterra rəqabət termini olmadan logistik model kimi davranacaqdır. Bu o deməkdir ki, ya qeyri-sabitdir, ya da yalnız bir sabit tarazlıq vəziyyətinə malikdir, sıfırdır.Bu arada, meşənin müəyyən variantı üzrə hesablamalar (şək. 5) göstərir ki, divergensiya çox ləng gedir.Yalnız 320-ci ilə qədər nəzərəçarpacaq artım müşahidə olunur. ümumi əkin sıxlığında. Diaqram həm də yaş bölgüsü profilinin qurulmasının hələ baş vermədiyi ilkin dövrü düzgün əks etdirir.

Şəkil 5.

(100, 200 və 300 yaşlı əhali üçün)

Eyni problemin ədədi həlli, lakin rəqabətlə, enişin mövcudluğunun 120-ci ilində stasionar profilin qurulması baş verdikdə nəticələrə gətirib çıxarır. Biokütlənin mütləq dəyərlərinə gəldikdə, onlar daha sonra müəyyən edilir (təxminən 200).

Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, biryaşlı əkinlər meşə sahəsinin yaşa görə təbii paylanmasını təmin etmir. Yaxın vaxtda biz praktikada müşahidə olunan keçid dövrünü yaşayırıq.

“Ekoloji” kəsmə stasionar profilə və biokütlənin stasionar dəyərinə çatmaq üçün vaxt baxımından daha effektiv olur. Şəkil 6 eyni sxemə görə hesablama məlumatları göstərir, lakin rəqabət əvəzinə kəsmə tətbiq edilir.Kəsmə ümumi biokütlə müəyyən kritik dəyərə qədər azalana qədər aparılır. Kəsilən ağacların yaşı 40-45 ildir, 5 faizi kəsilir. Biokütlənin təbii profili və asimptotik dəyərləri rəqabətdən daha sürətli qurulur.

Şəkil 6. Mono yaş əkilməsinin yaş spektrinin təkamülü

(150 və 200 yaşlı əhali üçün): kəsmə ilə model

§ 4 Davamlı diffuziya modeli

Aşağıda reproduktiv həddinin təsirini təsvir etməyə imkan verən davamlı yaş modelini nəzərdən keçiririk. Burada bioloji dəyişən iki dəyişənin funksiyası olacaq: vaxt və yaş T. Bu halda u(t, T) dT yaş dəyişəninin (T, T + dT) intervalında olan biokütlənin miqdarıdır.

t vaxtı üçün T, T + dT intervalında yaş qrupu üçün balansı hesablayaq:

· u(t, T) T sol ucdan zamana daxil olan biokütlənin miqdarıdır (burada eyni dəyər yaş intervalı kimi qəbul edilir),

· u(t,T+dT) Bu qədər biokütlənin miqdarı qrupun sağ kənarından vaxtında qrupu tərk edir,

· u(t,T) təbii ölüm, böyümə və növdaxili mübarizə prosesləri nəticəsində biokütlənin dəyişməsi:

Sol sərhəd Sağ sərhəd

Şəkil 7.

Sonuncu hallarda, bütün yaşların biokütləsi üzərində inteqral daxil edilir.

Nəzərə alaq ki, dT qrupunun biokütləsi u(t,T)dT-ə bərabərdir:

Həddinə gedərək məhsula görə azaldaraq tənliyin tam formasını tapırıq:

(10)

sərhəd şərti (11)

İlkin vəziyyət haradadır

Yaş intervalının sol sonundakı sərhəd vəziyyətində inteqral bütün reproduktiv dövr ərzində hesablanır. Funksiya toxumlarla yetkin biokütlənin məhsuldarlığını verir.

Budur reproduktiv yaş, reproduktiv yaşın sağ sərhədi.

Sabitliklə bağlı problemləri həll etmək üçün bu məsələnin yaxşı işlənmiş olduğu gecikmə tənliklərinə bu tənliyi azaldırıq. Bunu etmək üçün tələb olunan funksiyanı dəyişdirməyi düşünün (şək. 8):

(12)

Şəkil 8. Zaman şəbəkəsinin qurulmasına doğru

Hər iki əvəzetməni ilkin tənliyə əvəz edərək, v(t,T) üçün iki hələ naməlum funksiya vasitəsilə yazıla bilən həlləri olan homojen tənlik əldə edirik:

(13)

Bu düsturların etibarlılığı birbaşa yoxlama ilə yoxlana bilər.Qaldı ki, təqdim olunan funksiyaları tapmaq.

İlkin və sərhəd şərtləri verir:

(14)

Bu tənliklərdən t üçün artıq u(t,T) əldə edə bilərik

(15)

Həll yollarını tapmaq üçün T

(16)

Bu ifadələri u(t,T`) inteqralı altında təqdim etdiyimiz funksiyaları əvəz etdikdən sonra əldə etmək olar. İndi nəzərə alsaq ki, birinci sətirdəki dəyərlər çoxalma dövrünün intervalında müəyyən edilmiş məlum ilkin vəziyyətdən başqa bir şey deyildir, onda fərqləndirmədən sonra gecikmiş arqumentlə diferensial tənlik əldə edirik, ancaq yalnız əgər arqumentdən q(lar) asılılığı yoxdur və ya xüsusi formaya malikdir - exp(lər):

(17)

Bu tənliklər zaman intervalında müəyyən edilmiş ilkin şərtlə tamamlanmalıdır. Bundan sonra tənliklər ardıcıllıqla həll edilə bilər.

Biz bu tənlikləri həll etməyəcəyik, çünki aşağıda bu tip tənliklər üçün ədədi həlli daha ümumi formada həyata keçiririk.Aparılan hesablamaların faydalılığı ondan ibarətdir ki, onlar belə tənliklər üçün sabitlik məsələsinin həlli ilə bağlı ipucu verirlər. .

Gecikmiş arqumentli tənliklər nəzəriyyəsindən xarakterik tənlik qurulur.Lakin əvvəllər müzakirə olunan xarakterik tənliklərdən fərqli olaraq, sonsuz çoxlu köklərə malik transsendental tənlikdir. Bu tip xarakterik tənliklərin həlli ilə bağlı nəzəriyyə ətraflı təhlil edilir. Bu nəzəriyyədən belə nəticə çıxır ki, xətti hallar üçün geridə qalan arqumentlər olmadan xətti tənliklər üçün teoremə oxşar teoremi formalaşdırmaq olar.

Adi tipli demək olar ki, xətti tənliklər üçün müvafiq düstur verilmişdir. Bizim vəziyyətimiz üçün, -dən aşağıdakı kimi, biz onu sözbəsöz təkrarlaya bilərik: əgər xarakterik tənliyin həqiqi kökləri mənfidirsə və bütün mürəkkəb olanlar mənfi həqiqi hissələrə malikdirsə, Lyapunova görə tənliklər asimptotik sabitdir, əks halda ya yoxdur. sabitlik (köklər və ya onların real hissələri müsbətdir) və ya asimptotik deyil (köklərin sıfır real hissəsinin bərabərliyi var).

Bizim vəziyyətimizdə xarakterik tənliyi tapmaq üçün diferensial tənliklərə keçməyə ehtiyac yoxdur, xüsusən bu, praktiki olaraq maraqlı halların sahəsini daraltdığına görə.Müzakirə etdiyimiz belə bir azalmanın mümkünlüyü bizə etibar etmək hüququ verir. gecikmiş arqumentli tənliklər üçün əldə edilən güclü nəticələr haqqında.Bütün bunlardır.Bu, transsendental xarakterik tənliyin kökləri və həlli eksponensial silsilədə genişləndirmək imkanı haqqında teoremlərə də aiddir. Tənliyin özünün alınmasına gəlincə, biz fərqli bir texnikadan istifadə edəcəyik.Fərz edək ki, ilkin tənliyin həlli həllərin superpozisiyası kimi aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər: .

Bu ifadəni orijinal tənliyə əvəz edərək tapırıq:

(18)

Bu texnika riyazi fizikada xətti məsələlər üçün geniş istifadə olunur.

üçün xarakterik tənliyi tapmaq üçün qəbul etdiyimiz həll təsvirini sərhəd şərti ilə əvəz etməliyik. Bərabərliklərin hər iki tərəfini vaxtı ehtiva edən funksiyaya endirdikdən sonra xarakterik tənliyi əldə edirik:

(19)

Son bərabərlik xarakterik tənlikdir.Maraqlıdır ki, onu çox ixtiyari funksiyalar üçün qapalı formada almaq olar, çünki birinci dərəcəli G(T) üçün xətti tənlik kvadratlarda həll olunur.Lakin sadə eksponensial çoxhədli olmaya bilər. əldə olunsun. Lakin köklərin xassəsi böyük ölçüdə qorunub saxlanılır.Mürəkkəb halları ədədi olaraq tədqiq edəcəyimiz üçün bu barədə çox danışmayacağıq.

Ən sadə halda, funksiyalar T-dən asılı olmadıqda, xarakterik tənliyin ifadəsi xüsusilə sadə görünür:

(20)

Belə tənliklərə eksponensial polinomlar deyilir. Belə çoxhədlinin köklərinin yeri yaxşı öyrənilmişdir. Əgər yeganə həqiqi kökün mənfi olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün mürəkkəb köklərin mənfi real hissələri var. Bu zaman diskret variantda sistemin dayanıqlılığı, rəqabətin əlavə edilməsi meşə sahəsinin sabitləşməsinə səbəb olmuşdur. Əgər rəqabətə daxil olana qədər meşə zamanla azalıbsa, rəqabət bu prosesi daha da gücləndirəcək. Amma qeyri-sabit vəziyyətdə rəqabətin daxil edilməsi qeyri-trivial sabitləşməyə gətirib çıxarır.

Qeyd edək ki, yalnız rəqabət münasibətləri nəzərə alınsa belə, sabitliyin öyrənilməsi nəzəri cəhətdən qeyri-mümkündür (lakin adi qeyri-xətti sistemlər üçün vəziyyət oxşardır). Bu, analitik dəyərin olduğunu göstərir

əvvəlki addımdan yaşa görə sıfır nöqtəsini seçməklə eyni vaxt və yaş addımları ilə:

(21)

Yaşa görə sərhəd şəraitində inteqralı təsvir etmək üçün Simpson düsturu istifadə olunur.Tənliklərin sağ tərəfini orta nöqtədə götürürük.

Yaş və zamandan bütün asılılıqları hissə-hissə hamar funksiyalar şəklində təyin edirik (aşağıdakı hesablamalarda bunlar düz xətt seqmentləridir). İstifadə olunan asılılıqlar heç bir şəkildə tədqiqat proqramlarına təsir göstərmir və dəyişdirilə bilər.

Proqramlar elə qurulub ki, müəyyən sayda vaxt addımlarını hesablamaq və nəticəni qrafikdə göstərmək mümkün olsun. Bu yolla profilin yaradılması prosesini izləyə bilərsiniz.

Şek. Şəkil 10-da xətti modeldən istifadə etməklə yaş spektrinin hesablamalarının nəticələri göstərilir.İlk yaş paylanması U0 və zamanın ardıcıl anlarında üç paylanma göstərilir. Qurulma prosesini rəqabət olmadığı zaman müşahidə edə bilərik (meşə cavandır) Aydındır ki, yaş spektri profilinin sağa sürüşməsi ilə müşayiət olunan biokütlə sıxlığının artması müşahidə olunur.

Şəkil 10. Bir yaşlı populyasiyanın yaş spektrinin təkamülü

Rəqabətlə hesablama apararkən rəqabət inteqralını ümumi əmsala daxil edirik. Əvvəlki addımda hesablanır. Demək lazımdır ki, hesablamanın belə təşkili meşənin təkamülü üçün olduqca təbiidir: əvvəlcə dəyişikliklər baş verir, sonra isə rəqabət şəklində effekt verir.

Görünür ki, rəqabət şəraitində biz stasionar rejimə çatırıq: gənc meşə yetkin bir meşəyə çevrilir (şək. 11).

Şəkil 11. Yaş spektrinin təkamülü

monoyaşlı əhali (rəqabətlə)

Nəticə

Bu yazıda biz müxtəlif üsullar əsasında qurulmuş yaş nəzərə alınmaqla meşələrin təkamülünün üç modelini təqdim etdik. ilk (§ 2) əhalinin sonlu yaş qrupları üzrə paylanmasını nəzərə alaraq Lesli matrislərinə əsaslanan diskret modeldir. Digər iki model davamlıdır və onlardan birincisi (§ 3) adi diferensial tənliklərə aiddir və sonuncu (§ 4) - qismən diferensial tənliklərə.

Biblioqrafiya

Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Bioloji icmaların sabitliyi. M., Nauka, 1978.

Fedorov V.D., Gilmanov T.G. Ekologiya. M., Ed. Moskva Dövlət Universiteti, 1980.

Williamson M. Bioloji populyasiyaların təhlili. M.: Mir, 1975.

Volterra V. Varlıq uğrunda mübarizənin riyazi nəzəriyyəsi. M.: Nauka, 1976.

V.İ.Kuznetsov “Meşə təkamülünün riyazi modeli”, fizika-riyaziyyat elmləri namizədi alimlik dərəcəsi almaq üçün dissertasiya, M, 1998

Kozlov N.İ., Kuznetsov V.İ., Kiryanov D.V., Kiryanova E.N. Orta enlik meşələrinin inkişafının dinamik modelləri. Çapdan əvvəl IAM RAS M., 2005.

Leslie P.H. Müəyyən əhali riyaziyyatında matrislərin istifadəsi haqqında. Biometrika, c.33(1945), N3, s.183

Godunov S.K., Ryabenkiy V.S. Fərqli sxemlər.“Elm”, M. 1973.

Bellman R., Cook K.L. Diferensial-diferensial tənliklər. "Mir", M., 1967.

Godunov S.K. Sabit əmsallı adi diferensial tənliklər 1-ci cild. Ed. NDU, 1994.

Kalitkin N.N. Ədədi üsullar."Mir", M., 1978.

UDK577.4:517.9

MƏNFİ DOĞULLUK MƏRƏFLƏRİ ÜÇÜN HETEROGEN LESLİ MODELİNİN DƏYİŞMƏSİ

BALAKIREVA A.G.

zamanın hər bir sabit nöqtəsində (məsələn, t0) populyasiyanı sütun vektorundan istifadə etməklə xarakterizə etmək olar

Mənfi məhsuldarlıq əmsallarına malik heterojen Lesli modeli təhlil edilir. Konkret universitet daxilində professor-müəllim heyətinin yaş dinamikası bu model əsasında öyrənilir və proqnozlaşdırılır.

1. Giriş

burada xi(tj) tj vaxtında i-ci yaş qrupunun sayıdır, i = 1,...,n.

Populyasiyanı zamanın növbəti nöqtəsində, məsələn, bir ildə xarakterizə edən X(ti) vektoru L keçid matrisi vasitəsilə X(to) vektoru ilə əlaqələndirilir:

Əhalinin sayının yaş bölgüsü nəzərə alınmaqla proqnozlaşdırılması və hesablanması təcili və çətin məsələdir. Onun modifikasiyalarından biri bütövlükdə konkret müəssisə və ya sənaye daxilində homojen peşəkar qrupun yaş strukturunu proqnozlaşdırmaqdır. Yaş paylanmasının struktur modelindən istifadə edərək bu sinif problemlərinin həllinə yanaşmanı nəzərdən keçirək. Bu yanaşmanın formalizmi populyasiya dinamikasında yaxşı tanınan Lesli modelinə əsaslanır.

Bu işin məqsədi populyasiya dinamikasının inkişafını proqnozlaşdırmaq üçün mənfi doğum nisbətləri halında heterojen Leslie modelindən istifadənin mümkünlüyünü göstərməkdir.

2. Yaş tərkibi nəzərə alınmaqla əhalinin dinamikasının modelinin qurulması (Leslie modeli)

Leslie modelini qurmaq üçün əhalini bir müddətlik məhdud sayda yaş siniflərinə (məsələn, n yaş sinfi) bölmək lazımdır və bütün siniflərin sayı vahid bir addımla (məsələn,) diskret vaxtda tənzimlənir. , 1 il).

Yuxarıdakı fərziyyələr və qida ehtiyatlarının məhdudlaşdırılmaması şərti ilə belə nəticəyə gələ bilərik ki, 40

Beləliklə, L matrisinin strukturunu və populyasiyanın ilkin vəziyyətini (sütun vektoru X(t0)) bilməklə, biz istənilən vaxtda əhalinin vəziyyətini proqnozlaşdıra bilərik:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

Leslie matrisi L aşağıdakı formaya malikdir:

^ai a2. .. a n-1 a > u-n

0 Р 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0. .. Р n-1 0 V

burada a i - müvafiq qruplardan doğulan şəxslərin sayını xarakterizə edən yaşa bağlı doğum nisbətləri; Pi - sağ qalma əmsalı i yaş qrupundan i +1 qrupuna növbəti zamana qədər keçid ehtimalına bərabərdir (at-

^ Pi 1-dən böyük ola bilər). i=1

RI, 2011, №1

L matrisi n-ölçülü Evklid fəzasında xətti operatoru təyin edir, biz onu da Lesli operatoru adlandıracağıq. x;(t) kəmiyyətləri ədədlərin mənasına malik olduğundan onlar qeyri-mənfidirlər və bizi Pn n -ölçülü fəzanın müsbət oktantında Lesli operatorunun hərəkəti maraqlandıracaq. Matrisin bütün elementləri mənfi olmadığından (bu halda matrisin özü qeyri-mənfi adlanır), aydındır ki, heç bir müsbət oktant vektoru Lesli operatoru tərəfindən öz hüdudlarından kənara götürülmür, yəni. X(t j) (j = 1,2,...) trayektoriyası Pn-də qalır. Leslie modelinin bütün sonrakı xassələri L matrisinin qeyri-mənfi olmasından və onun xüsusi strukturundan irəli gəlir.

(1) tənliyinin həllərinin asimptotik davranışı L ​​matrisinin spektral xassələri ilə əhəmiyyətli dərəcədə bağlıdır, bunların əsasları tanınmış Perron-Frobenius teoremi ilə müəyyən edilir.

Tərif. Heterojen Leslie modeli formanın bir modelidir

X(tj+i) = L(j)X(to), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

burada Lj j-ci addımın Lesli matrisidir.

Qeyri-homogen modelin dinamikası çox zəif tədqiq edilmişdir (model (1)-in dinamikasına əsasən oxşar olsa da, bəzi fərqlərə malikdir). Eyni zamanda, bu model şübhəsiz daha realdır.

3. Lesli operatorunun spektral xassələri

İşin ardınca biz Lesli matrisinin imprimitlik indeksi konsepsiyasını nəzərdən keçirəcəyik.

Qeyri-mənfi elementləri olan parçalana bilməyən L matrisi, maksimum modulu olan tam bir xarakterik ədədi daşıyırsa, primitiv adlanır. Əgər matrisin maksimum modulu olan h > 1 xarakterik ədədləri varsa, ona imprimitiv deyilir. h ədədi L matrisinin imprimitivlik indeksi adlanır. Göstərilə bilər ki, Leslie matrisinin qeyri-müəyyənlik indeksi ən böyükə bərabərdir. ortaq bölən doğum səviyyəsinin sıfırdan fərqli olduğu yaş qruplarının sayı. Xüsusilə, Leslie matrisinin primitivliyi üçün

1 > 0 olması və ya doğum səviyyəsinin hər hansı iki ardıcıl qrupda baş verməsi kifayətdir, yəni. elə j var idi ki, j Ф 0 və

Yuxarıdakıları nəzərə alaraq, Leslie matrisinin bəzi xassələrini qeyd edə bilərik.

1. L matrisinin xarakterik polinomu bərabərdir

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

Asan idman,

riyazi induksiya üsulu ilə asanlıqla sübuta yetirilir.

2. A n(p) = 0 xarakterik tənliyinin unikal müsbət kökü р1 var ki,

burada p L matrisinin hər hansı digər xüsusi dəyəridir. p1 rəqəmi L matrisinin X1 müsbət xüsusi vektoruna uyğundur.

Xassənin 2-ci müddəası birbaşa qeyri-mənfi matrislər haqqında teoremdən və Dekart teoremindən irəli gəlir.

3. (3) bəndində bərabərlik əlaməti istisna hallarda, məhsuldarlıq dərəcələrindən yalnız biri sıfırdan fərqli olduqda baş verir:

və k > 0, j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n üçün j = 0.

4. P1 qiyməti əhalinin asimptotik davranışını müəyyən edir. I1 >1 olduqda populyasiyanın ölçüsü qeyri-müəyyən olaraq artır və I1 olduqda asimptotik sıfıra meyl edir.< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

L matrisinin müsbət məxsusi vektoru əmsala qədər təyin edilmişdir.

(4) formasının parçalana bilməyən Lesli matrisi üçün xassə 4-ün göstəricisi kəmiyyətdir.

R = а1 + £а iP1...Pi-1, i=2

populyasiyanın reproduktiv potensialı (çoxalma sürətinin ümumiləşdirilmiş parametri) kimi şərh edilə bilər, yəni R > 1 olarsa, p1 > 1 (əhali eksponent olaraq artır), əgər R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Mənfi məhsuldarlıq əmsalı halları üçün Lesli modelinin modifikasiyası

Əsərlər yalnız mənfi olmayan əmsallı Lesli modelini nəzərdən keçirdi. Bu seçimin əsas səbəbi, aşkar riyazi üstünlüklərə əlavə olaraq, həm sağ qalma ehtimalları, həm də məhsuldarlıq nisbətləri mahiyyət etibarilə mənfi ola bilməz. Bununla belə, populyasiyanın çoxalma modelləri ilə bağlı ən erkən işlərdə, ümumiyyətlə, Leslie matrisinin birinci cərgəsinin qeyri-müsbət əmsalları ilə işlənmiş modellərin aktuallığı qeyd edilmişdir. Xüsusilə, reproduktiv olmayan şəxslərin “anti-reproduktiv” davranışı ilə bioloji populyasiyaların çoxalma modelləri mənfi əmsallara malikdir.

RI, 2011, №1

hansı yaş qrupları (yumurtaların və gənc fərdlərin məhv edilməsi və s.). Yenidoğulmuşlar və digər yaş qruplarının nümayəndələri arasında resurslar uğrunda rəqabət də buna səbəb ola bilər. Bu baxımdan, qeyri-mənfi əmsallı Lesli modelləri üçün doğru olan erqodiklik xassəsinin demoqrafik potensialın təkrar istehsalı üçün daha geniş modellər sinfində qorunub saxlanılıb-saxlanılmaması aktual sualdır.

Aşağıdakı teorem bu suala cavab verir.

Teorem (Demoqrafik potensial təkrar istehsal modelinin qeyri-sabitlik dairəsi haqqında).

Demoqrafik potensialın yaş strukturu, yaşayan insanların sayı verilsin. Sonra l = (p: |p|) dairəsi var< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Bu çevrəni qeyri-sabitlik dairəsi, radiusunu isə qeyri-sabitlik radiusu adlandıracağıq.

Qeyd 1. Teoremdən mühüm bir nəticə çıxır - demoqrafik potensialın strukturu nə olursa olsun, həqiqi çoxalma sürətinin müəyyən dəyərlərində erqodiklik xüsusiyyəti müşahidə olunacaq. Xüsusilə, reproduksiya matrisinin birinci cərgəsində mənfi elementləri olan modellər və hətta demoqrafik potensialın mənfi dəyərləri erqodiklik xüsusiyyətinə malik ola bilər.

Qeyd 2. Teoremdən belə nəticə çıxır ki, əgər həqiqi təkrar istehsal əmsalının müəyyən qiyməti üçün model erqodiklik xassəsinə malikdirsə, o zaman böyük ölçüdə olan bütün təkrar istehsal əmsalları üçün də bu xassə malikdir.

5. Universitetin professor-müəllim heyətinin yaş dinamikasının öyrənilməsi. Rəqəmsal təcrübə

Xarkovdakı universitetlərdən birinin məlumatlarına əsasən müəllim heyətinin sayı və yaş bölgüsü dinamikasının proqnozunu nəzərdən keçirək. Pedaqoji heyətin standart, “sıxılmış” yaş strukturu 5 yaş kateqoriyası şəklində statistika ilə formalaşır. Cədvəldə hər yaş kateqoriyasının illər üzrə N sayı və bu yaş kateqoriyasının ümumi saya nisbətdə faizi göstərilir.

L j keçid matrislərini elə quraq ki

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

Bunun üçün forma (2) matrisində doğum və sağ qalma nisbətlərini müəyyən etmək lazımdır. Sağ qalma nisbətləri ilə əldə edilə bilər

cədvəldəki məlumatlardan istifadə edərək (4) tənliyinin birbaşa həlli.

Müəllim heyətinin strukturu

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Cəmi 854 629 649 657

Doğuş dərəcələrinə gəlincə, əlavə fərziyyələr irəli sürmək lazımdır. Müəllim heyətinin sayı hər il on nəfər artsın. Doğuş nisbətləri a olduğundan; i-ci yaş qrupunun fərdlərinin orta məhsuldarlığı kimi şərh edildikdə, a1, a 5 = 0 və a 2 = 7 və 3 = 3 olduğunu güman etmək olar. İlkin məlumatlara əsasən, 4-ün mənfi olduğunu görürük. Bu vəziyyət professor-müəllim heyətinin bəzi üzvlərinin universitetdən getməsi kimi yozulur. Yuxarıdakılardan belə çıxır ki, L j matrisləri formaya malikdir:

3 0 0-da 0 0. (5)

Biz yalnız reproduktiv sinifləri nəzərdən keçirəcəyik. Bunun üçün azaldılmış matrisin formasını dəyişmək lazımdır (sonuncu sıfır sütunundan xilas olaq). Və 2-ci bənddə göstərildiyi kimi reproduktivdən sonrakı sinifləri hesablayırıq.

Beləliklə, yuxarıda göstərilənləri və ilkin məlumatları nəzərə alaraq iki matris əldə edirik:

a4 = 15, Р1 = 0,27, р2 = 1,39, р3 = 0,29 əmsallı (5) formasının Li matrisi;

a 4 = 11, Р1 = 0,381, р2 = 1,64, р3 = 0,43 əmsallı (5) tipli L2 matrisi.

L1 və L2 matrisləri müvafiq olaraq 2005-2006 və 2007-2008-ci illərin keçidlərinə uyğundur. İlkin yaş bölgüsü üçün X(t0) = T vektorunu götürürük.

Bu matrislər qeyri-stabilləşmə dairəsinə daxil olmayan p1 reproduksiya əmsallarına malikdir. Buradan belə nəticə çıxır ki, verilmiş çoxalma rejiminə malik olan populyasiya erqodiklik xüsusiyyətinə malikdir.

Verilmiş ilkin paylanma ilə heterojen Leslie modelini tətbiq edərək, ümumi say üçün n=30-dan başlayaraq şərtin təmin edildiyini görürük.

RI, 2011, №1

aşağıdakı formanın sabitləşməsi: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., burada q = 1.64 L 2 matrisinin ən böyük xüsusi dəyəridir.

Stabilləşmədən sonra yaş kateqoriyalarının faiz nisbəti belədir: birinci kateqoriya - 39%, ikinci - 14%, üçüncü - 22%, dördüncü - 12%, beşinci -13%.

Ən böyük xüsusi dəyər birdən böyük olduğu üçün modelimiz açıqdır. Bu baxımdan nəzərə almayacağıq ümumi sayı müəllim heyəti və bu sayın ən böyük dərəcəsinə nisbəti

L2 matrisinin xüsusi dəyəri:

L(j)X(t0)/cc, burada j = 1,2,....

Şəkildə 2015-ci ilə qədər professor-müəllim heyətinin yaş strukturunun dinamikası göstərilir.

Faiz

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Zamanla yaş kateqoriyalarının paylarında dəyişikliklər

Bu rəqəmdə yaş kateqoriyalarının faizi bu diapazonda olduğu üçün 10-dan 40-a qədər olan şkala seçilmişdir.

Proqnoz modelinin məlumatları ümumiyyətlə 50 yaşdan yuxarı işçilərin nisbətinin artması istiqamətində ümumi tendensiyanı qoruyur ki, bu da universitetin yaş tərkibinin "qocalması" meylinin davam etdiyini göstərir. Müəyyən edilmişdir ki, bu tendensiyanın qarşısını almaq üçün ilk iki yaş kateqoriyasını ən azı 23% artırmaq, qalan yaş kateqoriyalarında isə müvafiq azalma etmək lazımdır.

Elmi yenilik ondan ibarətdir ki, ilk dəfə olaraq mənfi məhsuldarlıq əmsalı halında heterojen Lesli modelinə baxılıb. Bu, modelin təkcə doğum səviyyəsini deyil, həm də pregenerativ dövrdə fərdlərin ölüm nisbətini nəzərə almasına imkan verir ki, bu da modeli daha real edir. Mənfi əmsalların olması əsas öz dəyərinin (qeyri-sabitlik dairəsi) lokalizasiyasının müvafiq regionunu nəzərə almaqla Lesli modelinin dinamikasının öyrənilməsi metodologiyasını əsaslı şəkildə dəyişir.

Praktiki əhəmiyyəti: bu model hər bir yaş qrupunda həm məhsuldarlıq, həm də ölüm hallarını nəzərə almaqla əhalinin sayında və onun yaş strukturunda dəyişiklikləri proqnozlaşdırmağa imkan verir. Xüsusən, Xarkov şəhərinin bir neçə universitetini əhatə edən real statistik məlumatlardan istifadə etməklə professor-müəllim heyətində yaşa bağlı dəyişikliklərin dinamikası ilə bağlı proqnoz verilmişdir. Proqnoz məlumatları real məlumatlarla kifayət qədər yaxşı əlaqələndirilir.

Ədəbiyyat: 1. Leslie P.H. Müəyyən əhali riyaziyyatında matrislərin istifadəsi haqqında // Biometrika. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber İ.E., Kolker Yu.İ., Poluektov R.A. Populyasiyaların ölçüsünə və yaş tərkibinə nəzarət // Kibernetika problemləri. Məsələ 25. S.129-138. 3. Rizniçenko G.Yu., Rubin A.B. Riyazi modellər bioloji istehsal prosesləri. M .: Nəşriyyat. Moskva Dövlət Universiteti, 1993. 301 s. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Bioloji icmaların sabitliyi. M.: Nauka, 1978.352 s. 5. Gantmakher F. P. Matrislər nəzəriyyəsi. M.: Nauka, 1967.548 s. 6. Logofet D.O, Belova I.N. Qeyri-mənfi matrislər əhali dinamikasının modelləşdirilməsi vasitəsi kimi: klassik modellər və müasir ümumiləşdirmələr // Əsas və Tətbiqi Riyaziyyat. 2007.T. 13. Cild. 4. S.145-164. 7. Kurosh A. G. Ali cəbr kursu. M.: Nauka, 1965. 433 s.

Stil İkonu: Leslie Winer

Mətn: Alla Anatsko

Model, şair və müğənni Leslie Winer görünüşü ilə mühakimə olunduğu üçün dəbdən məyus oldu. Lakin moda bir daha Winer-i valeh edir. Və buna görə.

Dünyanın ilk androqin modeli, Basquiat və Burroughs'un dostu, Valentino və Miss Diorun siması, əla intellektə malik davakar, şair və musiqiçi, onsuz Massive Attack və Portishead mövcud olmazdı - bütün bunlar Leslie Winerdir. , ziyalı və öz iradəsi ilə kənar adam, bəlkə də trip-hopu icad etdi. Niyə bir neçə onillikdən sonra moda sənayesi Leslie haqqında unutmur?

İlk androgin model

Nyu York, 1979. Model və kult musiqiçi Lesli Uaynerin I Sat Back trekini yazacağı Vincent Gallo tərəfindən ifa olunan OK, Leslie, sehrinizi işləməyin vaxtıdır ifadəsinin otuz ildən çox yaşı var. Gənc Winer Massaçusetsdən dünyanın əsas metropoluna - Məktəbə daxil olmaq üçün köçür təsviri incəsənət konsept sənətinin pioneri Joseph Kosuth tərəfindən kursa. Yaşayış və təhsil materiallarını ödəmək üçün Lesli qonşusuna porno romanlar yazmağa kömək edir və daha sonra William Burroughsun köməkçisi və himayədarı olur. Çox tez Elite Model Management ilə müqavilə bağlayır - onun ilk kompozisiyasında beş fotoşəkil var. Onlar tamamilə şərti bir qızdır: bu günə qədər ticarət nişanı tikanlı görünüş və androgyny haqqında heç bir işarə yoxdur.

Artıq 1980-ci ildə Lesli saçlarını kəsdirdi - onun portfelində Paolo Roversi və Peter Lindbergh tərəfindən çəkilmiş kadrlar göründü. Beləliklə, Jean-Paul Gaultier'in onu adlandırdığı "dünyanın ilk androqin modeli"nin karyerası başlayır. Lesli özünü pis aparır və şənliklərdə əylənir, Jean-Michel Basquiat ilə qısa bir münasibətdə olur, lakin yaxşı işləyir - Helmut Newton və Irving Penn tərəfindən çəkilir, onu İtalyan və Fransız Vogue, möhtəşəm The Face və O illərdə məşhur olan Mademoiselle jurnalı. O, tanınması üçün xüsusi, yaxşı işlənmiş bir bucaq, yan baxış və yırtıcı kişi qıyıqlığı əldə edir ki, bu da sonradan az qala klişeyə çevriləcək. populyar mədəniyyət- Hilary Swank onları “Boys Don’t Cry” filmində təkrarlayacaq və Ruby Rose-u vulqarlaşdıracaq.

Vogue ABŞ, oktyabr 1981

Vogue ABŞ, noyabr 1982

Vogue ABŞ, iyul 1982

İndi Leslie 80-ci illərin supermodeli adlanır, baxmayaraq ki, Winer özü zəhərli bir şəkildə zarafat edir: “Bu nə axmaqlıqdır? O vaxt belə bir anlayış belə yox idi. Mən çox şey etdim və spirtli içki aludəçisi idim, tamponlardan istifadə etdim - model kimi işlədiyimdən daha uzun müddət və daha çox həvəslə.

("points":[("id":1,"xassələr":("x":0,"y":0,"z":0,"şəffaflıq":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"şəffaflıq":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":4," xassələri":("x":778,"y":0,"z":0,"şəffaflıq":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"addımlar":[("id":2,"properties":("duration":0.8,"delay":0,"bezier":,"rahatlıq":" Power2.easeInOut","automatic_duration":true)),("id":5,"properties":("duration":0.1,"delay":0,"bezier":,"ease":"Power2.easeInOut ","avtomatik_duration":true))],"transform_origin":("x":0,5,"y":0,5))

Moda məyusluğu və Witch albomu

WITCH albom qapağı

Vogue Italia, sentyabr 1989

Lesli fəal şəkildə film çəkdi və dünyanı gəzdi, lakin o, klublarda da uğurla qalmaqal yaratdı - Parisdən Tokioya qədər ən dəbli müəssisələrə giriş onun üçün əbədi olaraq bağlandı. 1980-ci illərin ortalarında o, özünü Londonda tapdı, burada yerli metronun nümayəndələri ilə bir yerdə qalmağa başladı və Leigh Bowery Taboo klubunda gəzməyə başladı. Uayner nə vaxtsa özünün yeni parlaq imicinə öyrəşmişdi - kişi köynəyi, dağınıq saçları, dişlərində siqaret və linzalarda orta barmaq; lakin onun həyatını boşa xərclədiyini və ədəbi istedadından maksimum istifadə etmədiyini başa düşməsi ona model və ya muse kimi karyera ilə barışmağa imkan vermədi. Londonda qalmaq üçün Lesli tez keçmiş basçı Adamla evlənir və Qarışqalar - sənədlər naminə; Toy şahidləri onun qonşuları və Bowery dostlarıdır: rejissor Con Meyberi və toydan bir neçə ay sonra həddindən artıq dozadan ölən rəssam Trojan. Bu ölüm dolayısı ilə Uayneri müğənni edir: Ərinin yeni qrupu Maks sənətçiyə ehtiram yazmaq qərarına gəlir və əvvəllər yalnız sözlər yazan Lesli özünü vokalçı kimi sınayır. Onun debüt treki 337.5537's Little Ghost adlanırdı, burada yığım kodu əslində Basquiat tərəfindən icad edilmiş bir etiketə çevrildi və Winerin adını rəqəmlərlə ifadə etdi - LESSLEE.

Daha sonra Uayner əri ilə Sinead O'Connor üçün trek hazırlayacaq, lakin Lesli özü narazı qalacaqdı - o, Max qrupunun musiqi yazmasını bəyənmirdi, həmkarlarında heç bir enerji hiss etmirdi. Xoşbəxtlikdən, həyatında bir rol modeli meydana çıxdı: əfsanəvi prodüser Trevor Horn - onun iş tərzi Leslie-ni güc qazanmağa və ilk "Kind of Easy" trekini buraxmağa məcbur etdi, onun pirat nüsxələri qəfildən dar dairələrdə populyarlaşdı. Növbəti addım, ictimaiyyətin "əvvəllər Şahzadə kimi tanınan müğənni" adlı fenomenlə üzləşməsindən üç il əvvəl Leslie-nin müəllif hüquqları simvolu olan qrafik təxəllüsü ilə qeyd etdiyi "Wittch" tammetrajlı albomu idi. Ancaq istehzalı odur ki, səsyazma yalnız üç il sonra - 1993-cü ildə buraxıldı.

Vogue UK, May 1990

Leslie Winer və illüstrator Tony Viramontes

Albom məhz Lesli Uaynerin xüsusi sehrinin təcəssümü oldu: o, ayrı-ayrılıqda, sanki tamamilə əks olunmadan, kəskin siyasi və sosial problemlər o qədər adi və ürpertici səslənirlər ki, özünüzü qoparmaq mümkün deyil - və bütün bunlar dərin bas ilə. O zaman Winer, demək olar ki, ən siyasiləşmiş ifaçı oldu, lakin o, yeraltında qaldı - o, xüsusilə qrafiklərə can atmadı, lakin istəmədən trip-hop ilə gəldi. Winer-in işi və texnikaları getdikcə Massive Attack, Tricky və Portishead-in treklərində görünür, baxmayaraq ki, bəzi tənqidçilər MNE jurnalının Winer-in “trip-hopun nənəsi” olması barədə fikirlərini bir qədər mübahisəli hesab edirlər: albom çıxan zaman eyni Massive Hücum artıq aktiv idi və qalın bas 1990-cı illərin əvvəllərində demək olar ki, hər ikinci musiqi təcrübəsi üçün əsas oldu. Digər tərəfdən, məşhur Bristol səsi yenicə formalaşmağa başlayanda havada ümumi bir şey var idi, təkcə ifa tərzi deyil, həm də əhval-ruhiyyə və ən əsası xarakterik distopiya sözləri - və Leslie bunu hamıdan əvvəl tutdu. .

Twiggy- əsl adı Lesley Hornby. 60-cı illər - gənclik üsyanları dövrü - bir çox gənclər uyğunlaşmaq, itaət etmək, özlərini tərk etmək istəmədikdə, kef içində yaşamaq istəyirdilər. Valideynlərinin, kilsənin və dövlətin hakimiyyətinə qarşı üsyan etdilər və yeni dəyərlər axtarışına başladılar. Nəsillər arasında belə münaqişələr həmişə olub. Qeyri-adi olan o idi ki, gənclər təkcə etiraz etmirdilər, həm də yeni dəyərlər, yeni mədəniyyət yaratdılar.

Təbii ki, bu dövrdə yenisi yaranmalı idi. O dövrdə növlər və Brigitte Bardot populyar olaraq qaldı. Lakin yeni idealın təcəssümü model Twiggy idi - cəmi 45 kiloqram çəkisi və 169 sm boyu olan on altı yaşlı ingilis qadın.O, Londonun ətraflarında anadan olub, 16 yaşında Twiggy bərbər Leonardo ilə tanış olub və bərbər olub. gözəllik salonunun üzü. Twiggy'nin qısa saçlı model kimi ilk fotosessiyasını Barri Lateqan çəkib. Leslie Hornby - Twiggy üçün yaddaqalan təxəllüsü ilə gələn o idi.

London qəzetinin jurnalistlərindən biri salon pəncərəsində Tviqqinin şəklini görüb və onun portretini qəzetdə “1966-cı ilin üzü” başlığı ilə dərc edib. Elə həmin il Twiggy dünyanın ən məşhur modeli oldu.

Cəmi üç il model kimi çalışdıqdan sonra o qədər varlandı ki, 19 yaşında təqaüdə çıxa bildi. Twiggy - nazik budaq kimi tərcümə olunur - milyonların kumirinə çevrilən ilk model idi. O, ictimaiyyətə çıxanda ətrafına izdiham toplaşdı.

Twiggy modeli Uzun illər ardıcıl olaraq moda modellərinin mübahisəsiz kraliçası olaraq qaldı. O, musiqiçi və aktyorlarla birlikdə modelləri pop mədəniyyətinin ayrılmaz hissəsinə çevirən prosesi başlatan ilk model olub.

Twiggy, gəncliyi və saflığı nəfəs alan obrazı ən yaxşı şəkildə əks etdirirdi.

Qoy x i(k) , əhalidəki fərdlərin sayı haradadır i zamanın ayrı-ayrı nöqtələrində yaş qrupu k. Fərdlərin çoxalması, ölməsi və bir yaş qrupundan digərinə keçid prosesləri aşağıdakı kimi rəsmiləşdirilə bilər (Rosenberg, 1984). Əvvəlcə əhalinin indiki vəziyyətini müəyyən edək k+ 1 andakı vəziyyətdən asılıdır k. Birinci qrupun sayı ( k= 1) bir vaxt intervalı ərzində bütün digər qrupların yeni doğulmuş nəsillərinin sayını təmsil edir; Müəyyən bir yaş qrupunun fərdlərinin bu qrupdakı fərdlərin sayına birbaşa mütənasib olaraq nəsillər törətdiyinə inanılır:

Harada f i- Doğum səviyyəsi i ci yaş qrupu. ilə işarə etsək d j<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j qrupa j+ 1, onda yaza bilərik n– 1 növ nisbət:

Daha sonra və -ni birləşdirərək sistemi yaza bilərik nəhalinin yaş tərkibinin diskret modelini təmsil edən fərq tənlikləri. Matris şəklində biz var:

x(k + 1) = Lx(k),

Harada x(k) = {x i(k)) ayrı-ayrı yaş qruplarının ədədlərinin vektorudur və

– məhsuldarlıq və sağ qalma nisbətləri matrisi

Bunu daha ətraflı təsvir etsək, əldə edirik:

Ən sol sütun vektoru bir anda müxtəlif yaş qruplarından olan şəxslərin sayını əks etdirir k+1 və ən sağ sütun vektoru eyni anda müxtəlif yaş qruplarından olan şəxslərin sayıdır k. Doğuş və sağ qalma nisbətləri matrisi bir vəziyyətdən digərinə keçid matrisidir.

İstənilən vaxtda əhalinin yaş tərkibini hesablamaq üçün sadə əlaqələrdən istifadə edirik:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Bu model Leslie modeli kimi tanınır (Leslie, 1945).

Kvadrat matris L qeyri-mənfidir (onun bütün elementləri mənfi deyil). Leslie matrisinin parçalanmaması üçün (yəni, onu sətirlərin və müvafiq sütunların hər hansı bir dəyişməsi ilə formaya endirmək olmaz):

Harada A Və B kvadrat submatrislərdir), zəruri və kifayətdir ki . Bioloji olaraq bu vəziyyət o deməkdir ki n Bu maksimum mümkün deyil, fərdlərin ən böyük reproduktiv yaşıdır.

Sistemin xarakterik tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

Harada E– əsas diaqonalda olan bir matris və onun bütün digər şərtləri sıfıra bərabərdir.

Leslie matrisi mənfi olmayan və parçalana bilməyən olduğundan, Perron-Frobenius teoreminə uyğun olaraq, xarakterik tənlik bunun sadə kökü olan həqiqi müsbət xarakteristikaya malikdir (bütün digər xarakterik ədədlər arasında maksimumdur). tənlik. Bundan əlavə, -dən bəri, tənliyin sıfır kökləri yoxdur. Bu şərtlərdən belə nəticə çıxır ki, sistemin asimptotik həlli kifayət qədər böyükdür k xüsusi dəyər λ 1 (hamısının maksimumu) və müvafiq xüsusi vektor ilə müəyyən ediləcək b 1 Leslie matrisi:

Harada ilə 1 – vektorun ilkin paylanmasının koordinatlarından asılı olaraq bəzi sabitlər x(0).

Əgər λ 1 >1 olarsa, əhali artır ( x(k) artımla artır k). Əgər λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, yəni. oxşar əhali artımının vəziyyəti (düstur 5-ə baxın). P(1)>0 ölümə uyğundur və P(1) = 0 – stasionar əhalinin ölçüsü. Beləliklə, λ 1 xüsusi dəyərini təyin etmədən matrisin formasından zamanla simulyasiya edilmiş populyasiyanın təbiəti haqqında keyfiyyətli nəticələr çıxarmaq olar.

Lesli modelinin dezavantajı Maltus modelinin dezavantajına bənzəyir - bu, λ 1 >1 ilə qeyri-məhdud əhali artımıdır ki, bu da bəzi populyasiyaların yalnız ilkin artım fazalarına uyğun gəlir (Rozenberq, 1984).

Leslie modelindən Schell qoyunlarının selopopulyasiyasının yaş strukturunu təsvir etmək üçün istifadə edilmişdir ( Helictotrichon schellinum). Bu, şimal çəmən çöllərinin boş kollu kiçik çəmən otudur. A.N. Cheburaeva (1977) müxtəlif illərdə (1970-1974) ümumi sahəsi 50 m2 olan su hövzəsi yaylasında Penza vilayətinin Poperechenskaya çölündə bu dənli bitkilərin fərdlərinin yaş qrupları üzrə paylanmasını öyrənmişdir. Hər il 0,5×0,5 m-lik 200 sahədə qoyun fərdlərinin sayılması aparılırdı.Müşahidələrin belə böyük təkrarlanması hər bir yaş qrupunda fərdlərin sayının əldə edilmiş hesablamalarını kifayət qədər sabit hesab etməyə imkan verir. Tədqiqatçı doqquz yaş qrupunu müəyyənləşdirdi:

· cücərtilər Və vurur

· pregenerativ fərdlər ( yeniyetmə, yetişməmiş Və gənc vegetativ)

· generativ fərdlər ( gənc, yetkin Və köhnə)

· doğuşdan sonrakı fərdlər ( subsenile Və qoca)

Shell qoyunlarının senopopulyasiyasının dinamikasına hava şəraitinin təsirini nəzərə almaq üçün (1972-ci il quraqlıq ili idi) mütləq saylardan nisbi saylara keçmək lazımdır. Hər bir yaş qrupu üçün bərabər fasilələrlə aşağıdakı nisbət təmin edilməlidir: x i + 1 (k + 1) < x mən ( k), yəni. zamanın sonrakı nöqtəsində yaşlı qrupda indiki vaxtda gənc qrupda olduğundan daha çox fərd olmamalıdır. Bu baxımdan, A.N.-nin ilk yeddi yaş sinfi. Cheburaeva birləşdi. Modelin qurulması üçün ilkin məlumatlar cədvəldə verilmişdir. 1.

Cədvəl 1

Müxtəlif yaş qrupları üçün Shell qoyunlarının senopopulyasiyasının mütləq və nisbi sayı (A.N. Cheburaeva, 1977-ci il)

Dəyişikliyə baxmayaraq, 1972-ci il məlumatları hələ də fərqlidir, buna görə də Leslie modelinin bolluğu dəqiq proqnozlaşdıracağını gözləmək lazım deyil. Daha dəqiq proqnoz əldə etmək üçün Lesli matrisinin əmsallarını hava şəraitindən asılı etmək lazımdır.

Matris qurmaq üçün L Onun əmsallarının mümkün dəyərləri haqqında bəzi fikirlərdən istifadə edirik. Beləliklə, doğum nisbətləri f i bütün generativ dövlətləri əhatə edən birinci qrupdan yaşlı bitkilərə keçid zamanı onlar azalmalıdır. Sağ qalma dərəcələri d i təxminən bərabər alınır (fərdlərin yarısı birinci qrupdan ikinciyə keçir, ikincidən bir qədər azdır). Nəhayət, Leslie matrisi belə görünür:

Leslie modeli üçün xarakterik tənlik bu haldaüçüncü dərəcəli çoxhədlidir:

Bunu yoxlamaq asandır P(1) = 0.23>0 P. Leslie nəzəriyyəsinə görə, müşahidə olunan zaman intervalında verilmiş bir senopopulyasiyanın qocalmasını və solmasını göstərir.

Xarakterik tənliyin köklərini hesablayaq. Bunun üçün istifadə edəcəyik Kardano düsturu. Formanın kub tənliyini həll etmək üçün alqoritmi nəzərdən keçirin:

Əvəz edək:

Tənliyi alırıq:

Tutaq ki, kökün qiyməti iki kəmiyyətin cəmi kimi təqdim olunur y = α + β, onda tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

İfadəsini bərabərləşdirək (3 αβ + s), onda tənlikdən sistemə keçə bilərik:

sistemə bərabərdir:

İki kök üçün Vyeta düsturlarını əldə etdik kvadrat tənlik (α 3 – birinci kök; β 3 – ikinci kök). Buradan:

– tənliyin diskriminantı.

Əgər D>0 olarsa, onda tənliyin üç müxtəlif həqiqi kökü var.

Əgər D = 0 olarsa, onda ən azı iki kök üst-üstə düşür: ya tənliyin ikiqat həqiqi kökü və başqa, fərqli həqiqi kökü var, ya da hər üç kök üst-üstə düşür və çoxlu üçlü kök əmələ gətirir.

Əgər D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Beləliklə, kanonik formada kub tənliyinin kökləri:

Harada i= xəyali ədəddir.

Bu düsturu kub kökünün hər bir dəyəri üçün tətbiq etməlisiniz (kub kökü həmişə üç dəyər verir!) və şərt yerinə yetirildiyi üçün kökün dəyərini götürməlisiniz:

Aşağıdakı əlaqələri yoxlamaq üçün istifadə edilə bilər:

Harada d≠ 0

Harada d≠ 0

Nəhayət:

Bizim vəziyyətimizdə: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Sonra yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək xarakterik tənliyin öz dəyərlərini tapırıq: λ 1 = 0.814; λ 2 = – 0,107 + 0,112 i; λ 3 = – 0,107 – 0,112 i, Harada i= xəyali ədəddir. Beləliklə, xarakterik tənliyin bir həqiqi və iki mürəkkəb kökü var. λ 1 bu tənliyin maksimum köküdür və λ 1 olduğundan<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Bundan əlavə, Yu.M. Svirzhev və D.O. Logofet (1978), ümumi saydakı dövri dalğalanmaların mövcudluğu üçün sadə və kafi bir şərt olan ifadələr:

Bununla əlaqədar olaraq, λ 1 >max (0,5, 0,4) olduğundan, Şell qoyunlarının populyasiyasında dövri tərəddüdlərin olmasını gözləmək lazımdır.

Lesli modeli çərçivəsində müşahidə edilən A.N. Cheburaeva fenomeni qoyunların koenopopulyasiyasının qocalması və bir neçə il ərzində fərdlərin yaş spektri üzrə paylanmasında dalğalanmaların olmasıdır. Şəkildə. Şəkil 1 müəyyən edilmiş yaş qruplarının hər biri üçün fərdlərin sayının dinamikasını göstərir. Modelin qənaətbəxş proqnoz verməsi üçün matris əmsallarının L sabit deyil, hava şəraitindən asılı idi. Lesli modelini nəticədə vektor üçün normallaşdırma şərtləri ilə tamamlasaq x(k+1) belə ki, bütün əhalinin ölçüsünün cəmi o zaman müşahidə edilən ümumi ölçüyə bərabər olsun k+1, sonra hava şəraitinin təsiri dolayısı ilə nəzərə alınır. Bu vəziyyətdə model belə görünəcək:

x(k+1) = Lx(k), ,

Harada X(k+1) – bir anda əhalinin ümumi sayı k+1 (digər qeydlər Leslie modelinə bənzəyir). Beləliklə, müxtəlif illərdə verilmiş kenopopulyasiyanın fərdlərinin ümumi sayını bilmək, ümumi bioloji mülahizələrdən Lesli matrisini qurmaq və aşağıdakı kimi qəbul etmək. x(1) 1970-ci ildə qoyun fərdlərinin yaş qruplarına görə bölgüsü, digər illərdə fərdlərin yaş qruplarına görə bölgüsünü inandırıcı şəkildə bərpa etmək mümkündür.

Senopopulyasiyanın mütləq ölçüsünün hesablanması Helictotrichon schellinum müxtəlif yaş qrupları üçün müxtəlif illərdə aşağıdakı kimi həyata keçirilir. 1970-ci il üçün orijinal məlumatları götürürük və onları matrisə əvəz edirik. Biz müvafiq qaydalara uyğun olaraq matrisin vurmasını həyata keçiririk. 1971-ci il üçün müxtəlif yaş qruplarının nömrələri ilə yeni bir matris əldə edirik.

Bunu hər il hər dəfə təkrar edirik. Nəticələri cədvələ daxil edirik, Lesli modelindən istifadə edərək fərdlərin ümumi sayını hesablayırıq və empirik məlumatlarla müqayisə edirik. Sonra, bir düzəliş əmsalı təqdim edirik və modelə görə hesablamaları ümumi rəqəmə uyğunlaşdırırıq (Cədvəl 2).

cədvəl 2

Leslie modelinə və empirik məlumatlara görə müxtəlif yaş qrupları üçün Shell qoyun kenopopulyasiyasının mütləq ölçüsü

Yaş qrupu
empirik məlumatlar	model Leslie	empirik məlumatlar	model Leslie		empirik məlumatlar	model Leslie	Leslie modeli ümumi əhali üçün düzəliş edilmişdir	empirik məlumatlar	model Leslie	Leslie modeli ümumi əhali üçün düzəliş edilmişdir	empirik məlumatlar	model Leslie	Leslie modeli ümumi əhali üçün düzəliş edilmişdir
Fidan, pregenerativ və generativ fərdlər				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
Subsenile fərdlər				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
Yaşlı şəxslər				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
Ümumi sayı				532,7			449,2			360,9			294,6