Ən məşhur say sistemləri. Say sistemləri. Mövqeyi olmayan say sistemləri. Əlifba say sistemləri

Hamısı xüsusi say sistemindən asılıdır.

Onluq say sistemindən demək olar ki, hər yerdə istifadə olunur.

Roma say sistemi müasir dünya nömrəni ardıcıllıqla göstərmək istədiyiniz zaman ən çox istifadə olunur. Məsələn, “10” kəmiyyət (on ədəd), Roma “X” isə “onluq” deməkdir.

İkili say sistemi kompüterlərdə ən çox istifadə olunur, çünki ikili ədədin bir rəqəmi bir bitə - kompüter texnologiyasında minimum məlumat vahidinə uyğun gəlir.

Həmçinin, ikili say sistemi ənənəvi olaraq düymlərdə xətti ölçüləri göstərərkən istifadə olunur, məsələn, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″. Ən birinci məlum istifadəİkilik say sistemi, bəlkə də, qədim hind riyaziyyatçısı Pinqalaya (təxminən eramızdan əvvəl 2-5-ci əsrlər) aiddir.

Onaltılıq say sistemi aşağı səviyyəli proqramlaşdırmada, eləcə də kompüter sənədlərində geniş istifadə olunur. Müasir kompüterlərdə minimum yaddaş vahidi 8 bitlik baytdır, onun dəyərləri rahat şəkildə iki onaltılıq rəqəmlə yazılmışdır. Bu istifadə IBM/360 sistemi ilə başladı, burada bütün sənədlər onaltılıq say sistemindən istifadə etdi.

Səkkizlik say sistemi ilə hər şey maraqlıdır. Məsələn, bəzi Amerika hinduları tərəfindən istifadə edilmişdir, çünki miqdarların barmaqların sayına görə deyil, barmaqlar arasındakı boşluqların sayına görə hesablanması lazım olduğuna inanırdılar.

1716-cı ildə Avropada İsveç kralı XII Çarlz Emmanuel Swedenborqdan 64 rəqəmli say sistemi hazırlamağı xahiş etdi və Emmanuel Swedenborg qeyd etdi ki, kral kimi yüksək intellektə malik olmayan adi insanlar bu qədər böyük rəqəm sistemini anlamaqda çətinlik çəkəcəklər. əsasında və buna görə də səkkizlik say sistemindən istifadə edilməsi təklif edilmişdir. XII Çarlzın niyə məhz bu təməli seçdiyini bilmək maraqlı olardı.

Həmçinin, səkkizlik say sistemi bəzən kompüterlərdə istifadə olunur - yəqin ki, ən çox Unix-ə bənzər icazələri təyin edərkən istifadə olunur. əməliyyat sistemləri. Bir zamanlar 24 və 36 bitlik sözlərdən istifadə edən kompüterlər var idi. Belə kompüterlərdə səkkizlik say sistemindən istifadə etmək çox rahat idi, çünki sözün bütün bitləri tam səkkizlik rəqəmlərlə təmsil oluna bilirdi və həmişə başlanğıcda əhəmiyyətsiz sıfır bitləri əlavə etməyə ehtiyac yox idi. Məsələn, 36 bitlik bir söz üçün tam olaraq 12 səkkizlik rəqəm lazımdır.

Diskret riyaziyyat kursumuzda biz səkkizlik sistemi öyrənirik, çünki o, onluq say sistemindən yan keçməklə ikilik say sistemindən birbaşa çevrilə biləcəyimiz sistemlərdən biridir.

Dəqiqə və saniyələrin hesablanmasında sexagesimal say sistemindən geniş istifadə olunur. Seksagesimal sistemin mənşəyi aydın deyil. Ola bilsin ki, bu, duodecimal say sistemi ilə bağlıdır (60 = 5 × 12, burada 5 əlindəki barmaqların sayıdır). O.Neugebauer (1927) tərəfindən belə bir fərziyyə də mövcuddur ki, Akkadlar Şumer dövlətini zəbt etdikdən sonra orada uzun müddət eyni vaxtda iki pul vahidi mövcud olmuşdur: şekel (şekel) və mina və onların nisbəti 1 mina kimi müəyyən edilmişdir. = 60 şekel. Sonralar bu bölgü adət halına gəldi və istənilən nömrələri qeyd etmək üçün müvafiq sistemin yaranmasına səbəb oldu.

Onaltılıq say sistemində ədədin əvvəlinə sıfırlar əlavə etmək mümkündürmü?

Bütün mövqe say sistemləri üçün bütün qaydalar eynidir. Onluq say sistemində başlanğıcda əhəmiyyətsiz sıfırların, sonunda isə onluq nöqtədən sonra əlavə edilməsinə icazə verilir. Eyni şəkildə, hər hansı digər mövqe say sistemində əhəmiyyətsiz sıfırlar əlavə edilə bilər.

25-arlıq say sistemində ədədi yazmaq üçün hansı simvollardan istifadə olunur?

Onaltılıq say sistemi kifayət qədər ümumi say sistemidir. Bu say sisteminin standartı var - 9-dan böyük rəqəmlər A-dan F-ə qədər latın əlifbasının hərfləri ilə yazılır.

Bazası 10-dan çox olan bütün digər mövqe say sistemləri ümumi deyil və onlar üçün heç bir qeyd standartı yoxdur. Amma analoji olaraq, bu say sistemlərində latın əlifbasının hərflərindən də istifadə etmək rahat olardı.

Xüsusilə, 25-lik say sistemində ilk 10 rəqəm onluq say sistemindəki rəqəmlərlə - 0-dan 9-a qədər üst-üstə düşür, qalan 15-i isə A-dan O-ya qədər latın əlifbasının hərfləri ilə kodlanır. Eyni qaydalar digər mövqe say sistemlərinə tətbiq edilir.

Bəs latın əlifbasının kifayət qədər hərfləri olmayan say sistemi haqqında nə demək olar?

Bu sahədə universal standart yoxdur. Az-çox geniş istifadə olunan say sistemləri istisna olmaqla.

Əgər belə bir say sistemi ilə işləmək məcburiyyətindəsinizsə, o zaman ya başqalarının gətirdiyi qaydalara əməl edin (əgər kimsə belə say sistemindən istifadə edirsə), ya da öz qaydalarınızı tapın.

Təcrübədə böyük bazaya malik belə say sisteminə misal olaraq saniyə və dəqiqələrin sayılması üçün 60 rəqəmli say sistemini göstərmək olar. Zamanın necə qeydə alındığını hamımız bilirik. Məsələn, “34 dəqiqə 17 saniyə” mənasını verən “34:17” girişi əslində iki rəqəmlə kiçik ölçülü yazılmış rəqəmdir.

Onluqdan başqa say sistemlərində ədədləri necə düzgün oxumaq olar?

Ümumiyyətlə, bu cür rəqəmləri necə düzgün oxumaq üçün standart yoxdur.

Düzünü desək, 20 8-in “iyirmi” sözünün adlandırılması tamamilə düzgün deyil, çünki hamı bilir ki, “iyirmi” “onluq” deməkdir, səkkizlik say sistemində isə bu iki onluq deyil, səkkizlik sayı deməkdir. Bu rəqəm yəqin ki, düzgün şəkildə "iki sıfır" kimi oxunacaq, lakin bu standart deyil.

Onaltılıq say sistemindən istifadə edərkən hərflər adətən latın əlifbasında tələffüz edildiyi kimi tələffüz olunur: “A”, “Be”, “Tse”, “De”, “E”, “Ef”. 1E3.F 16 rəqəmi adətən belə tələffüz olunur: “one e three dot ef”.

Bununla belə, əgər nömrə yalnız onluq rəqəmlərdən istifadə edirsə, rəqəmlər tez-tez onluq işarə ilə yazılmış kimi oxunur. Məsələn, “517.5 8” “səkkizlik qeyddə beş yüz on yeddi nöqtə beş” kimi tələffüz edilə bilər. Yəqin ki, “səkkizlik say sistemində beş yüz on yeddi nöqtə beş səkkizdə” demək daha doğru olardı, lakin bu halda bəziləri “beş səkkiz”in necə yazılacağı ilə bağlı çaşqınlıq hissi keçirə bilər.

Bəzən ədədin hissələri müxtəlif qaydalara görə adlandırılır. Məsələn, bu kimi: "səkkizlik say sistemində beş yüz on yeddi nöqtə beş". Deyəsən, bu sahədə də hələlik standart yoxdur.

Düşünürəm ki, rəqəmlərin tələffüzündə ən vacib şey başqalarının nə demək istədiyinizi başa düşməsidir.

İkili ədədlərlə səkkizlik və onaltılıq ədədlər arasındakı uyğunluq cədvəlini necə yadda saxlamaq olar?

Bu cədvəli yalnız təcrübə ilə xatırlaya bilərsiniz - ona dəfələrlə müraciət edin və bir müddət sonra onu əzbər biləcəksiniz.

Amma bu cədvəli əzbərləməyə ehtiyac yoxdur! Yazışmaları müəyyən etmək o qədər asandır ki, bu cədvəli əzbər xatırladığımdan və ya hər dəfə hesabladığımdan əmin ola bilmirəm? Uyğunluğu müəyyən etmək üçün yalnız bir neçə çox sadə şeyi bilməlisiniz:

Bir onaltılıq rəqəm 4 ikilik rəqəmə, bir səkkizlik rəqəm isə 3 ikili rəqəmə uyğundur. Bunu yadda saxlamaq asandır, çünki 2 4 =16 və 2 3 =8.

0-dan 7-yə qədər olan ədədləri səkkizlik say sistemindən onluq say sisteminə və əksinə çevirməyi əqli olaraq öyrənməlisiniz. Bu, çox çətin əməliyyatdır, bunu yalnız vunderkindlər öz ağlında edə bilər. Əgər vunderkind deyilsinizsə, sadəcə olaraq 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6 və 7-nin 7-yə bərabər olduğunu xatırlaya bilərsiniz.

Əqli olaraq 0-dan 15-ə qədər olan ədədləri onluq say sistemindən onaltılıq sistemə çevirməyi öyrənməlisiniz. Bu çox sadədir, çünki 0-dan 9-a qədər olan rəqəmlər üst-üstə düşür və 10-dan 15-ə qədər olan rəqəmlər latın əlifbasının A-dan F-ə qədər olan hərflərinə uyğun gəlir. Siz hər dəfə başınızda saya bilərsiniz (10-dan A, 11-i B-dir. , 12 C və s.)

Ən çətini öyrənməkdir. Ancaq bu bacarıq yalnız masanın əhəmiyyətli bir hissəsini əhatə edir.

İndi siz asanlıqla 0-dan 15-ə qədər istənilən rəqəmi ikilik sistemdən ondalığa, sonra isə onaltılıq və ya səkkizliyə çevirə bilərsiniz. Və ya əksini edə bilərsiniz.

Rəqəmləri çevirmək üçün uzun bölməni bacarmalısınız. Uzun bölgü necə edəcəyimi bilmirəmsə?

Burada təqdim olunan nəzəri material sizin müəyyən bacarıqlara malik olduğunuzu güman edir. Əgər bu minimum bacarıqlarınız yoxdursa, burada yazılanları başa düşmək üçün əvvəlcə bu sadə bacarıqları əldə etməyin mənası var.

Burada təqdim olunan bütün nəzəri materialı başa düşmək üçün sizə lazım olacaq:

Prinsipcə rəqəmin nə olduğunu anlayın.

Kompüter elmində ən vacib mövzulardan birinə baxaq -. IN məktəb kurikulumu Bu, çox güman ki, ona ayrılan saatların olmaması səbəbindən daha çox "təvazökarlıqla" aşkar edilir. Bu mövzuda bilik, xüsusən də say sistemlərinin tərcüməsi, müvəffəqiyyət üçün ilkin şərtdir Vahid Dövlət İmtahanından keçmək və müvafiq fakültələr üzrə ali məktəblərə qəbul. kimi anlayışları aşağıda ətraflı müzakirə edirik mövqeli və qeyri-mövqeli say sistemləri, bu say sistemlərinə nümunələr verilmiş, tam onluq ədədlərin tərcüməsi qaydaları, düzgündür ondalıklar və qarışıq onluq ədədlərin istənilən başqa say sisteminə, ədədlərin istənilən say sistemindən ondalığa çevrilməsi, səkkizlik və onaltılıq say sistemlərindən ikilik say sisteminə çevrilməsi. Bu mövzuda imtahanlarda çoxlu problemlər var. Onları həll etmək bacarığı abituriyentlər üçün tələblərdən biridir. Tezliklə: Bölmənin hər bir mövzusu üçün ətraflı nəzəri materialdan əlavə, demək olar ki, bütün mümkün variantlar təqdim olunacaq tapşırıqlarüçün öz-özünə təhsil. Bundan əlavə, tam pulsuz olaraq fayl hostinq xidmətindən hazır olanları yükləmək imkanınız olacaq. ətraflı həllər təsvir edərək bu vəzifələrə müxtəlif yollarla düzgün cavab almaq.

mövqe say sistemləri.

Mövqeyi olmayan say sistemləri- rəqəmin kəmiyyət qiymətinin onun nömrədəki yerindən asılı olmadığı say sistemləri.

Qeyri-mövqeli say sistemlərinə, məsələn, Roman dili daxildir, burada rəqəmlər əvəzinə Latın hərfləri var.

I	1 (bir)
V	5 (beş)
X	10 (on)
L	50 (əlli)
C	100 (yüz)
D	500 (beş yüz)
M	1000 (min)

Burada V hərfi yerindən asılı olmayaraq 5-i ifadə edir. Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, Roma say sistemi qeyri-mövqeli say sisteminin klassik nümunəsi olsa da, tamamilə qeyri-mövqeli deyil, çünki Böyük olanın qarşısındakı kiçik ədəd ondan çıxarılır:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
Mİ	1001 (1000+1=1001)

mövqe say sistemləri.

Mövqe say sistemləri- rəqəmin kəmiyyət qiymətinin onun nömrədəki yerindən asılı olduğu say sistemləri.

Məsələn, onluq say sistemindən danışırıqsa, onda 700 rəqəmində 7 rəqəmi "yeddi yüz" deməkdir, lakin 71 rəqəmindəki eyni rəqəm "yeddi on", 7020 nömrəsində isə "yeddi min" deməkdir. .

Hər biri mövqeli say sistemiöz var əsas. Baza olaraq ikidən böyük və ya ona bərabər olan natural ədəd seçilir. Verilmiş say sistemində istifadə olunan rəqəmlərin sayına bərabərdir.

İkili- bazası 2 olan mövqe say sistemi.
Dördüncü dövr- bazası 4 olan mövqe say sistemi.
Beş qat- bazası 5 olan mövqe say sistemi.
Səkkizlik- 8 bazası olan mövqe say sistemi.
Onaltılıq- bazası 16 olan mövqe say sistemi.

“Say sistemləri” mövzusunda məsələləri uğurla həll etmək üçün tələbə 16 10-a qədər ikilik, onluq, səkkizlik və onaltılıq ədədlərin uyğunluğunu əzbər bilməlidir:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Bu say sistemlərində ədədlərin necə alındığını bilmək faydalıdır. Bunu səkkizlik, onaltılıq, üçlük və başqalarında təxmin edə bilərsiniz mövqe say sistemləri hər şey bizim öyrəşdiyimiz onluq sistemlə eyni şəkildə baş verir:

Nömrəyə biri əlavə edilir və yeni nömrə alınır. Əgər vahidlərin yeri say sisteminin əsasına bərabər olarsa, onluqların sayını 1-ə artırırıq və s.

Bu “bir keçid” əksər tələbələri qorxudur. Əslində hər şey olduqca sadədir. Keçid vahidlərin rəqəmi bərabər olduqda baş verir nömrə bazası, biz onluqların sayını 1 artırırıq. Yaxşı köhnə onluq sistemini xatırlayan bir çoxları bu keçiddəki rəqəmlər haqqında dərhal çaş-baş qalırlar, çünki onluq və məsələn, ikilik onluqlar fərqli şeylərdir.

Beləliklə, hazırcavab tələbələr, məsələn, birinci sütunları (dəyişən qiymətləri), əslində, artan ardıcıllıqla ikilik ədədlərlə doldurulmuş həqiqət cədvəllərini doldurarkən “öz metodlarını” (təəccüblü şəkildə... işləyir) inkişaf etdirirlər.

Məsələn, rəqəmlərin daxil olmasına baxaq səkkizlik sistem: Birinci rəqəmə (0) 1 əlavə edirik, 1 alırıq. Sonra 1-ə 1 əlavə edirik, 2 alırıq və s. 7-yə. 7-yə bir əlavə etsək, say sisteminin əsasına bərabər bir ədəd alırıq, yəni. 8. Sonra onluqları bir artırmaq lazımdır (səkkizlik onluğu alırıq - 10). Sonrakı, aydındır ki, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Bir say sistemindən digərinə keçid qaydaları.

1 Tam onluq ədədlərin hər hansı digər say sisteminə çevrilməsi.

Nömrə bölünməlidir yeni say sistemi bazası. Bölmənin birinci qalığı yeni nömrənin ilk kiçik rəqəmidir. Bölmənin əmsalı yeni bazadan kiçik və ya ona bərabərdirsə, o (hissə) yenidən yeni bazaya bölünməlidir. Bölmə yeni bazadan daha az əmsal əldə edənə qədər davam etdirilməlidir. Bu, yeni nömrənin ən yüksək rəqəmidir (yadda saxlamaq lazımdır ki, məsələn, onaltılıq sistemdə 9-dan sonra hərflər var, yəni. qalan 11-dirsə, onu B kimi yazmalısınız).

Nümunə (“küncə bölmə”): 173 10 rəqəmini səkkizlik say sisteminə çevirək.

Beləliklə, 173 10 =255 8

2 Adi onluq kəsrlərin hər hansı digər say sisteminə çevrilməsi.

Nömrə yeni say sistemi bazasına vurulmalıdır. Tam hissəyə çevrilən rəqəm yeni ədədin kəsr hissəsinin ən yüksək rəqəmidir. növbəti rəqəmi əldə etmək üçün tam hissəyə keçid baş verənə qədər alınan hasilin kəsr hissəsi yenidən say sisteminin yeni bazasına vurulmalıdır. Kəsr hissəsi sıfıra bərabər olana qədər və ya məsələdə göstərilən dəqiqliyə çatana qədər vurmağa davam edirik (“..., məsələn, iki onluq yer dəqiqliyi ilə hesablayın”).

Misal: 0,65625 10 ədədini səkkizlik say sisteminə çevirək.

Qeyd ədədlərin yazılması üsuludur. Adətən, nömrələr xüsusi simvollardan - nömrələrdən istifadə etməklə yazılır (həmişə olmasa da). Əgər heç oxumamısansa bu sual, onda ən azı iki say sistemini bilməlisən - ərəb və rum. Birincisi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rəqəmlərindən istifadə edir və mövqe say sistemidir. İkincidə - I, V, X, L, C, D, M və bu qeyri-mövqe say sistemidir.

Mövqe say sistemlərində ədəddə rəqəmlə işarələnən kəmiyyət onun mövqeyindən asılıdır, qeyri-mövqe say sistemlərində isə asılı deyil. Misal üçün:

11 - burada birinci vahid on, ikincisi isə 1-i ifadə edir.
II - burada hər iki vahid bir işarə edir.

345, 259, 521 - burada 5 rəqəmi birinci halda 5, ikincidə 50, üçüncüdə isə 500 deməkdir.

XXV, XVI, VII - burada V rəqəmi harada olursa olsun, həmişə beş vahid deməkdir. Başqa sözlə, V işarəsi ilə göstərilən kəmiyyət onun mövqeyindən asılı deyil.

Mövqe say sistemlərində toplama, vurma və digər riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək qeyri-mövqeli say sistemlərinə nisbətən daha asandır, çünki riyazi əməliyyatlar sadə alqoritmlərdən istifadə etməklə həyata keçirilir (məsələn, sütuna vurma, iki ədədin müqayisəsi).

Mövqe say sistemləri dünyada ən çox yayılmışdır. Uşaqlıqdan hər kəsə tanış olan (0-dan 9-a qədər on rəqəmdən istifadə edən) onluq sistemlə yanaşı, ikilik (0 və 1 rəqəmləri istifadə olunur), səkkizlik və onaltılıq say sistemləri texnologiyada geniş istifadə olunur.

Sıfırın mühüm rolunu qeyd etmək lazımdır. Bəşəriyyət tarixində bu ədədin “kəşfi” mövqe say sistemlərinin formalaşmasında böyük rol oynamışdır.

Say sisteminin əsası ədədləri yazmaq üçün istifadə olunan rəqəmlərin sayıdır.

Yer rəqəmdəki rəqəmin mövqeyidir. Rəqəm tutumu rəqəmi təşkil edən rəqəmlərin sayıdır (məsələn, 264 üçrəqəmli rəqəm, 00010101 səkkizrəqəmli ədəddir). Rəqəmlər sağdan sola nömrələnir (məsələn, 598 rəqəmində səkkiz birinci rəqəmi, beş isə üçüncü rəqəmi tutur).

Deməli, mövqe say sistemində ədədlər elə yazılır ki, hər bir növbəti (sağdan sola hərəkət) rəqəm say sisteminin əsasının gücünə görə digərindən böyük olsun. (diaqramla gəl)

Eyni ədəd (qiymət) müxtəlif say sistemlərində təmsil oluna bilər. Rəqəmin təsviri fərqlidir, lakin mənası dəyişməz olaraq qalır.

İkili say sistemi

IN ikili sistem nömrələmə yalnız iki rəqəmdən istifadə edir 0 və 1. Başqa sözlə, iki ikilik say sisteminin əsasını təşkil edir. (Eyni şəkildə, onluq sistemdə 10 bazası var.)

İkilik say sistemində ədədləri başa düşməyi öyrənmək üçün əvvəlcə bizə tanış olan onluq say sistemində ədədlərin necə əmələ gəldiyini nəzərdən keçirək.

Onluq say sistemində on rəqəmimiz var (0-dan 9-a qədər). Sayma 9-a çatdıqda, yeni rəqəm (onluqlar) təqdim edilir, birlər sıfırlanır və sayma yenidən başlayır. 19-dan sonra onluq rəqəmi 1 artır və birlər yenidən sıfırlanır. Və s. Onlarla 9-a çatdıqda, üçüncü rəqəm görünür - yüzlər.

İkilik say sistemi onluq say sisteminə bənzəyir, bir şərtlə ki, ədədin formalaşmasında yalnız iki rəqəm iştirak edir: 0 və 1. Rəqəm öz həddi (yəni bir) çatan kimi yeni rəqəm görünür və köhnə sıfıra sıfırlanır.

Gəlin ikili sistemdə saymağa çalışaq:
0 sıfırdır
1 birdir (və bu boşalma limitidir)
10 ikidir
11 üçdür (və bu yenə limitdir)
100 dörddür
101 - beş
110 - altı
111 - yeddi və s.
Ədədlərin ikilik sistemdən onluğa çevrilməsi

İkilik say sistemində dəyərlər artdıqca ədədlərin uzunluqlarının sürətlə artdığını müşahidə etmək çətin deyil. Bunun nə demək olduğunu necə müəyyən etmək olar: 10001001? Rəqəmlərin yazılmasının bu formasına öyrəşməyən insan beyni adətən onun nə qədər olduğunu başa düşə bilmir. İkilik ədədləri ondalığa çevirə bilmək yaxşı olardı.

Onluq say sistemində istənilən ədədi vahidlərin cəmi, onluq, yüzlük və s. kimi göstərmək olar. Misal üçün:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Bu girişə diqqətlə baxın. Burada 1, 4, 7 və 6 rəqəmləri 1476 rəqəmini təşkil edən ədədlər toplusudur. Bütün bu ədədlər növbə ilə bu və ya digər dərəcədə qaldırılmış on ilə vurulur. On onluq say sisteminin əsasını təşkil edir. Onun yüksəldildiyi güc mənfi bir rəqəminin rəqəmidir.

İstənilən ikili nömrə oxşar şəkildə genişləndirilə bilər. Burada yalnız əsas 2 olacaq:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Bunlar. 2-ci əsasdakı 10001001 rəqəmi 10-cu əsasdakı 137 rəqəminə bərabərdir. Bunu belə yaza bilərsiniz:

10001001 2 = 13710
İkili say sistemi niyə bu qədər geniş yayılmışdır?

Fakt budur ki, ikili say sistemi kompüter texnologiyasının dilidir. Hər bir nömrə bir şəkildə fiziki mühitdə təmsil olunmalıdır. Əgər bu, onluq sistemdirsə, onda siz on vəziyyətə malik bir cihaz yaratmalı olacaqsınız. Bu mürəkkəbdir. Yalnız iki vəziyyətdə ola bilən fiziki bir element istehsal etmək daha asandır (məsələn, cərəyan var və ya cərəyan yoxdur). İkilik say sisteminə bu qədər diqqət yetirilməsinin əsas səbəblərindən biri də budur.
Onluq ədədin ikiliyə çevrilməsi

Onluq ədədi ikiliyə çevirmək lazım ola bilər. Bir yol ikiyə bölmək və qalandan ikili ədəd yaratmaqdır. Məsələn, onun ikili notasiyasını 77 rəqəmindən almalısınız:

77 / 2 = 38 (1 qalıq)
38 / 2 = 19 (0 qalıq)
19 / 2 = 9 (1 qalıq)
9/2 = 4 (1 qalıq)
4/2 = 2 (0 qalıq)
2/2 = 1 (0 qalıq)
1/2 = 0 (1 qalıq)

Qalanları sonundan başlayaraq birlikdə toplayırıq: 1001101. Bu, ikili təsvirdə 77 rəqəmidir. yoxlayaq:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Səkkizlik say sistemi

Beləliklə, müasir "texniki qurğular" yalnız ikili say sistemini başa düşür. Ancaq bir tərəfdən sıfırların və birlərin uzun qeydlərini qavramaq insan üçün çətindir, digər tərəfdən ədədləri ikilik sistemdən onluq sistemə çevirmək və geriyə çevirmək kifayət qədər vaxt aparan və əmək tələb edən işdir. Nəticədə proqramçılar tez-tez başqa say sistemlərindən istifadə edirlər: səkkizlik və onaltılıq. Həm 8, həm də 16 ikinin səlahiyyətləridir və ikili ədədi onlara çevirmək (həmçinin tərsini etmək) çox asandır.

Səkkizlik say sistemi səkkiz rəqəmdən (0-dan 7-yə qədər) istifadə edir. Hər bir rəqəm ikilik say sistemində üç rəqəm dəstinə uyğundur:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

İkilik ədədi səkkizliyə çevirmək üçün onu üçlüklərə bölmək və onları səkkizlik say sistemindən özlərinə uyğun rəqəmlərlə əvəz etmək kifayətdir. Sondan üçlüyə bölünməyə başlamalı, əskik rəqəmləri isə sıfırlarla əvəz etməlisiniz. Misal üçün:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Yəni ikilik say sistemində 1011101 rəqəmi səkkizlik say sistemində 135 rəqəminə bərabərdir. Və ya 1011101 2 = 1358.

Əks tərcümə. Tutaq ki, siz 1008 rəqəmini (səhv eləməyin! səkkizlikdə 100, onluqda 100 deyil) ikilik say sisteminə çevirmək istəyirsiniz.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Səkkizlik ədədi onluq ədədə çevirmək artıq tanış olan sxemdən istifadə etməklə edilə bilər:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Onaltılıq say sistemi

Onaltılıq say sistemi, səkkizlik say sistemi kimi, ikili ədədləri ona çevirmək asan olduğuna görə informatikada geniş istifadə olunur. Hexadecimal notation rəqəmləri daha yığcam edir.

Onaltılıq say sistemində 0-dan 9-a qədər rəqəmlər və ilk altı latın hərfindən istifadə olunur - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

İkilik ədədi onaltılıq rəqəmə çevirərkən birincisi sonundan başlayaraq dörd rəqəmdən ibarət qruplara bölünür. Rəqəmlərin sayı tam ədədə bölünmürsə, onda ilk dördün qarşısında sıfırlar əlavə olunur. Hər dörd rəqəm onaltılıq say sistemində bir rəqəmə uyğundur:

Misal üçün:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Lazım gələrsə, 4C5 rəqəmi aşağıdakı kimi onluq say sisteminə çevrilə bilər (C, onluq say sistemində bu simvola uyğun gələn rəqəmlə əvəz edilməlidir - bu, 12-dir):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Hexadecimal notation istifadə edərək əldə edilə bilən maksimum ikirəqəmli ədəd FF-dir.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 bir baytın maksimum dəyəridir, 8 bitə bərabərdir: 1111 1111 = FF. Buna görə də, onaltılıq say sistemindən istifadə edərək bayt dəyərlərini qısaca (iki rəqəmdən istifadə edərək) yazmaq çox rahatdır. Diqqət! 8 bitlik baytda 256 vəziyyət ola bilər, lakin maksimum dəyər 255-dir. 0-ı unutma - bu, tam olaraq 256-cı vəziyyətdir

Mühazirə 1. Say sistemləri

1. Say sistemlərinin yaranma tarixi.

2. Mövqe və qeyri-mövqe say sistemləri.

3. Onluq say sistemi, onda ədədlərin yazılması.

4. Rütbə

İnsan daim rəqəmlərlə məşğul olmalıdır, ona görə də hər hansı rəqəmi düzgün adlandırıb yazmağı, rəqəmlər üzərində əməliyyatları yerinə yetirməyi bacarmalısan. Bir qayda olaraq, hər kəs bunun öhdəsindən uğurla gəlir. Hal-hazırda hər yerdə istifadə olunan və onluq say sistemi adlanan ədədlərin yazılması üsulu burada kömək edir.

Bu sistemin tədqiqi ildə başlayır ibtidai məktəb, və təbii ki, müəllimə bu sahədə müəyyən biliklər lazımdır. O, rəqəmlərin yazılmasının müxtəlif üsullarını, alqoritmləri bilməlidir arifmetik əməliyyatlar və onların əsaslandırılması. Bu mühazirə materialı minimumu təmin edir, onsuz tədrisə müxtəlif metodoloji yanaşmaları başa düşmək mümkün deyil. kiçik məktəblilərədədlərin yazılması və onlar üzərində əməliyyatların yerinə yetirilməsi yollarını.

Say sistemlərinin yaranma tarixi.

Say anlayışı qədim zamanlarda yaranmışdır. Daha sonra nömrələrin adlandırılması və yazılması ehtiyacı yarandı. Rəqəmlərin adlandırılması, yazılması və onlar üzərində əməliyyatların yerinə yetirilməsi üçün dil deyilir say sistemi.

Ən sadə sistem qeydlər natural ədədlər yalnız bir nömrə tələb edir, məsələn, "çubuqlar" (və ya ağacdakı çentiklər, məsələn ibtidai insan, ya da Amerika hinduları kimi ipdəki düyün), vahidi təmsil edir. Bu işarəni təkrarlamaqla istənilən rəqəmi yaza bilərsiniz: hər bir rəqəm n sadəcə yazılmışdır n"çubuqlar". Belə say sistemində hesab əməllərini yerinə yetirmək rahatdır. Ancaq bu qeyd üsulu çox qənaətsizdir və çoxlu sayda qaçılmaz olaraq hesablamada səhvlərə səbəb olur.

Buna görə də, zaman keçdikcə nömrələrin yazılmasının başqa, daha qənaətcil və rahat yolları yarandı. Gəlin onlardan bəzilərinə nəzər salaq.

IN Qədim Yunanıstan qondarma çardaq nömrələnməsi. 1, 2, 3, 4 rəqəmləri tire ilə göstərildi:

5 rəqəmi G işarəsi ilə yazılmışdır (“pente” sözü ilə başlayan “pi” hərfinin qədim forması - beş). 6, 7, 8, 9 rəqəmləri aşağıdakı kimi təyin edildi:

10 rəqəmi Δ ilə işarələnmişdir (“deka” sözünün ilk hərfi ondur). 100, 1000 və 10.000 rəqəmləri H, X, M - müvafiq sözlərin başlanğıc hərfləri ilə təyin olundu.

Digər nömrələr bu işarələrin müxtəlif kombinasiyaları ilə yazılmışdır.

Eramızdan əvvəl III əsrdə çardaq nömrələməsi sözdə olanlarla əvəz olundu İon sistemi. Orada 1-dən 9-a qədər rəqəmlər əlifbanın ilk doqquz hərfi ilə göstərilir: α (alfa), β (beta), γ (qamma), δ (delta), ε (epsilon), ς (Heyrət! Vay) ζ (zeta),
η (eta), (teta).

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 rəqəmləri - aşağıdakı doqquz hərfdə: i(incə),
κ (kappa), λ (lambda), μ (mu), ν (çılpaq), ξ (xi), ο (omikron), π (pi), ilə(polis).

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 rəqəmləri yunan əlifbasının son doqquz hərfidir.

Qədim dövrlərdə yəhudilər, ərəblər və Yaxın Şərqin bir çox başqa xalqlarının əlifba sırası qədim yunan əlifbasına bənzəyirdi. İlk dəfə hansı insanlar arasında göründüyü məlum deyil.

IN Qədim Roma “açar” rəqəmləri 1, 5, 10, 50, 100, 500 və 1000 idi. Onlar müvafiq olaraq I, V, X, L, C, D və M hərfləri ilə təyin olunurdu.

Bütün tam ədədlər (5000-ə qədər) yuxarıdakı rəqəmlərin təkrarlanması ilə yazılmışdır. Eyni zamanda, daha böyük bir ədəd daha kiçik olanın qarşısındadırsa, o zaman əlavə olunur, lakin kiçik olan daha böyük olanın qarşısındadırsa (bu halda təkrarlana bilməz), onda kiçik olanı çıxarılır. daha böyük olandan: VI = 6, yəni. 5 + 1; IV = 4, yəni. 5 – 1;
XL = 40, yəni. 50 – 10; LX = 60, yəni. 50 + 10. Eyni nömrə üç dəfədən çox olmayaraq yerləşdirilir: LXX = 70, LXXX = 80, 90 rəqəmi XC (LXXXX deyil) yazılır.

Məsələn: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Bu yazıda çoxrəqəmli ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatların yerinə yetirilməsi çox çətindir. Bununla belə, Roma nömrələməsi bu günə qədər salamat qalmışdır. Yubileyləri, konfransların adlarını, kitablarda fəsilləri və s. qeyd etmək üçün istifadə olunur.

Qədim dövrlərdə rus dilində rəqəmlər hərflərlə təyin olunurdu. İşarənin hərf deyil, rəqəm olduğunu göstərmək üçün onların üstündə “titlo” adlı xüsusi işarə qoyulmuşdur. İlk doqquz rəqəm belə yazılmışdır:

Onlar aşağıdakı kimi təyin olunur:

Yüzlər aşağıdakı kimi təyin olunur:

Minlərlə ilk doqquz rəqəm kimi “başlıqları” olan eyni hərflərlə təyin olundu, lakin onların solunda “≠” işarəsi var idi: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

On minlərləçağırırdılar" qaranlıq", onlar vahid işarələrini dövrə vuraraq təyin edildi:

10 000, = 20 000, = 80 000.

“İnsanlara zülmət” ifadəsi buradan gəlir, yəni. çox adam var.

Yüz minlərləçağırırdılar" legionlar", onlar nöqtələrin dairələri ilə vahid işarələrini dövrələməklə təyin edildi:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Milyonlarlaçağırırdılar" leodras" Onlar şüa dairələri və ya vergüllərlə vahid işarələrini dövrələməklə təyin edildi:

1 000 000, = 2 000 000.

On milyonlarlaçağırırdılar" qarğalar"və ya" korvidlər" və onlar xaç dairələri ilə vahid işarələrini dövrələmək və ya hər iki tərəfə K hərfini qoymaqla təyin edildi:

Yüz milyonlarlaçağırırdılar" göyərtələr" "Göyərtənin" xüsusi bir təyinatı var idi - kvadrat mötərizələr məktubun üstündə və altında yerləşdirildi:

Sakinlərin heroqlifləri Qədim Babil dar şaquli və üfüqi takozlardan ibarət idi; bu iki ikona da nömrələri qeyd etmək üçün istifadə olunurdu. Bir şaquli paz bir, üfüqi isə on demək idi. Qədim Babildə onlar 60 vahiddən ibarət qruplarda sayılırdılar. Məsələn, 185 rəqəmi 3 dəfə 60 və daha 5 kimi göstərilmişdir.Belə bir rəqəm yalnız iki işarədən istifadə etməklə yazılmışdır, bunlardan biri 60-ın neçə dəfə alındığını, digəri isə neçə vahidin alındığını göstərir.

Babillilər arasında cinsi kiçik sistemin nə vaxt və necə yarandığına dair bir çox fərziyyələr var, lakin heç biri hələ sübut olunmayıb. Fərziyyələrdən biri odur ki, iki qəbilə qarışığı olub, onlardan biri altılıq sistemindən, digəri isə onluq sistemdən istifadə edirdi. Seksagesimal sistem bu iki sistem arasında kompromis kimi yaranmışdır. Başqa bir fərziyyə odur ki, babillilər ilin uzunluğunu 360 gün hesab edirdilər ki, bu da təbii olaraq 60 rəqəmi ilə əlaqələndirilir.

Seksagesimal sistem, məsələn, saatın 60 dəqiqəyə, dəqiqənin 60 saniyəyə bölünməsində və bucaqların ölçülməsi üçün oxşar sistemdə müəyyən dərəcədə bu günə qədər sağ qalmışdır: 1 dərəcə 60 dəqiqəyə bərabərdir, 1. dəqiqə 60 saniyədir.

Binar sistem Bəzi ibtidai tayfalar sayarkən qeydlərdən istifadə edirdilər; bu, qədim Çin riyaziyyatçılarına məlum idi, lakin ikili sistemi həqiqətən inkişaf etdirən və quran, onda dərin metafizik həqiqətin təcəssümünü görən böyük alman riyaziyyatçısı Leybnits idi.

İkili say sistemi Afrika, Avstraliya və bəzi (yerli) mədəniyyətlər tərəfindən istifadə olunur Cənubi Amerika.

İkilik say sistemində ədədləri təmsil etmək üçün yalnız iki rəqəm tələb olunur: 0 və 1. Bu səbəbdən ədədin ikili yazısını iki müxtəlif sabit vəziyyətə malik fiziki elementlərdən istifadə etməklə göstərmək asandır. Müasir elektron kompüterlərdə binar sistemin geniş yayılmasının vacib səbəblərindən biri məhz bu idi.

Bütün say sistemləri arasında ən qənaətcil olanıdır üçlü. Səmərəlilik baxımından ona ekvivalent olan ikili sistem və dördüncü sistem bu baxımdan üçlü sistemdən bir qədər aşağıdır, lakin bütün əsas mümkün sistemlərdən üstündür. Əgər onluq sistemdə 1-dən 10-a qədər rəqəmlərin yazılması üçün 90, ikilik sistemdə isə 60 müxtəlif vəziyyət tələb olunursa, üçlü sistemdə 57 vəziyyət kifayətdir.

Üçlü təhlilə ehtiyacın özünü göstərdiyi ən ümumi vəziyyət, bəlkə də, bir fincan tərəzisində çəkindir. Burada üç fərqli hal yarana bilər: ya stəkanlardan biri digərindən üstün olacaq, ya da əksinə, ya da fincanlar bir-birini tarazlaşdıracaq.

Dördüncü say sistemiəsasən Cənubi Amerikanın hind tayfaları və barmaqları arasındakı boşluqları hesablayan Kaliforniyanın Yucca hinduları tərəfindən istifadə olunur.

Beşqat say sistemi digərlərindən daha geniş yayılmışdı. Cənubi Amerikanın Tamanakos hinduları 5 rəqəmi üçün “bütün əl” üçün eyni sözü istifadə edirlər. Tamanakdakı “altı” sözü “digər tərəfdən bir barmaq”, yeddi “digər tərəfdən iki barmaq” və s. səkkiz və doqquz üçün. On "iki əl" adlanır. 11-dən 14-ə qədər bir rəqəmi adlandırmaq istəyən Tamanakos hər iki əlini irəli uzatır və sayırlar: "bir ayağında, ikisi ayağında" və s. 15-ə çatana qədər - "bütün ayaq". Bunun ardınca “biri digər ayağında” (16 nömrə) və s. 19-a qədər. Tamanak dilində 20 rəqəmi “bir hindistanlı”, 21 rəqəmi “bir başqa hindinin əlində” deməkdir. “İki hindli” 40, “üç hindli” 60 deməkdir.

Qədim Yava və Azteklərin sakinləri 5 gündən ibarət bir həftəyə sahib idilər.

Bəzi tarixçilər hesab edirlər ki, X (on) rum rəqəmi iki Roma 5s V-dən (onlardan biri tərs) ibarət olub və V rəqəmi öz növbəsində insan əlinin stilizə edilmiş təsvirindən yaranıb.

Qədim dövrlərdə geniş yayılmışdı duodecimal say sistemi. Onun mənşəyi də barmaqlarla saymaqla bağlıdır. Məhz, əlin dörd barmağı (baş barmaqdan başqa) cəmi 12 falanqsa malik olduğundan, bu falanqslar boyunca onları növbə ilə baş barmaqla çevirərək 1-dən 12-yə qədər sayır. növbəti rəqəm.

Duodecimal sistemin əsas üstünlüyü ondan ibarətdir ki, onun əsası 2, 3 və 4-ə bölünür. Duodecimal sistemin tərəfdarları 16-cı əsrdə meydana çıxdı. Daha sonra bunlara aşağıdakılar daxildir: görkəmli insanlar, Herbert Spencer, John Quincy Adams və George Bernard Shaw kimi. Hətta iki dövri nəşri nəşr edən Amerika Duodecimal Cəmiyyəti var: Duodecimal Bulletin və Duodecimal System Manual. Cəmiyyət bütün "duodenumları" 12-nin əsas kimi istifadə etdiyi xüsusi bir sayma hökmdarı ilə təmin edir.

Şifahi nitqdə on ikilik sistemin qalıqları günümüzə qədər gəlib çatmışdır: bəziləri “on iki” demək əvəzinə “onluq” deyirlər. Bir çox əşyanın onlarla deyil, onlarla, məsələn, xidmətdəki bıçaq (12 nəfərlik dəst) və ya mebel dəstindəki stulların sayılması adəti qorunub saxlanılmışdır.

Duodecimal say sistemində üçüncü rəqəm vahidinin adıdır kobud- indi nadirdir, lakin ticarət praktikasında 20-ci əsrin əvvəllərində mövcud idi və hətta yüz il əvvəl də asanlıqla tapıla bilərdi. Məsələn, 1928-ci ildə V.V. Mayakovski, ehtiyac duyduqları və lazım olmayan hər şeyi satın alan şəhər əhalisini ələ salaraq yazırdı:

Ətrafa baxmaq

malların səpələnməsi,

İkili say sistemində yalnız iki rəqəmdən istifadə olunur, 0 və 1. Başqa sözlə desək, iki ikilik say sisteminin əsasını təşkil edir. (Eyni şəkildə, onluq sistemdə 10 bazası var.)

İkilik say sistemində ədədləri başa düşməyi öyrənmək üçün əvvəlcə bizə tanış olan onluq say sistemində ədədlərin necə əmələ gəldiyini nəzərdən keçirək.

Gəlin ikili sistemdə saymağa çalışaq:
0 sıfırdır
1 birdir (və bu boşalma limitidir)
10 ikidir
11 üçdür (və bu yenə limitdir)
100 dörddür
101 - beş
110 - altı
111 - yeddi və s.

Ədədlərin ikilik sistemdən onluğa çevrilməsi