İki tam ədədin ən böyük ortaq bölməsi. Bir node nədir? Bölmə. dividend: bölən = hissə
Lancinova Aisa
Yüklə:
Önizləmə:
Təqdimat önizləmələrindən istifadə etmək üçün Google hesabı yaradın və ona daxil olun: https://accounts.google.com
Slayd başlıqları:
Nömrələrin GCD və LCM üzrə məsələlər "Kamışovskaya orta məktəbi" MCOU-nun 6-cı sinif şagirdi Lantsinova Aisa Nəzarətçi Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, riyaziyyat müəllimi səh. Kamışevo, 2013
50, 75 və 325 ədədlərinin gcd-nin tapılması nümunəsi. 1) 50, 75 və 325 ədədlərini sadə amillərə ayıraq. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Bu ədədlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən digərlərinin genişlənməsinə daxil olmayanları kəsirik. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Qalan amillərin hasilini tapın 5 ∙ 5 = 25 Cavab: GCD (50, 75 və 325 ən böyük təbii) a və b ədədləri qalıqsız bölündükdə bu ədədlərin ən böyük ortaq böləninə bu ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi deyilir.
72, 99 və 117 rəqəmlərinin LCM-nin tapılması nümunəsi. 1) 72, 99 və 117 ədədlərini sadə amillərə ayıraq 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ədədlərindən birinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazın və onlara qalan ədədlərin çatışmayan əmsallarını əlavə edin. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3′∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Əldə olunan amillərin hasilini tapın. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Cavab: LCM (72, 99 və 117) = 10296 Ən kiçik ümumi çoxluq natural ədədlər a və b a və b-nin qatı olan ən kiçik natural ədədi adlandırır.
Karton vərəqi düzbucaqlı formasına malikdir, uzunluğu 48 sm, eni isə 40 sm.Bu vərəq tullantısız bərabər kvadratlara kəsilməlidir. Bu iş vərəqindən əldə edilə bilən ən böyük kvadratlar hansılardır və neçədir? Həlli: 1) S = a ∙ b – düzbucaqlının sahəsi. S= 48 ∙ 40 = 1960 sm². - karton sahəsi. 2) a – kvadratın tərəfi 48: a – kartonun uzunluğu boyunca düzülə bilən kvadratların sayı. 40: a – kartonun eni boyunca düzülə bilən kvadratların sayı. 3) GCD (40 və 48) = 8 (sm) – kvadratın tərəfi. 4) S = a² - bir kvadratın sahəsi. S = 8² = 64 (sm²) - bir kvadratın sahəsi. 5) 1960: 64 = 30 (kvadratların sayı). Cavab: Hər birinin tərəfi 8 sm olan 30 kvadrat. GCD problemləri
Otaqdakı kamin kvadrat şəklində olmalıdır. 195 ͯ 156 sm ölçülü şömine üçün neçə plitə lazımdır və ən böyük kafel ölçüləri hansılardır? Həlli: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (sm²) – Şöminənin səthinin S. 2) GCD (195 və 156) = 39 (sm) - kafel tərəfi. 3) S = a² = 39² = 1521 (sm²) - 1 kafel sahəsi. 4) 30420: = 20 (ədəd). Cavab: 39 ͯ 39 (sm) ölçüdə 20 plitələr. GCD problemləri
Perimetri ətrafında 54 ͯ 48 m olan bağ sahəsi hasarlanmalı, bunun üçün müəyyən fasilələrlə beton dirəklər qoyulmalıdır. Sayt üçün neçə dirək gətirmək lazımdır və dirəklər bir-birindən maksimum hansı məsafədə yerləşdiriləcək? Həlli: 1) P = 2(a + b) – sahənin perimetri. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 və 48) = 6 (m) – sütunlar arasındakı məsafə. 3) 204: 6 = 34 (sütunlar). Cavab: 34 dirək, 6 m məsafədə GCD problemləri
Buketlər 210 tünd qırmızı, 126 ağ və 294 qırmızı qızılgüldən toplanıb, hər buketdə eyni rəngdə bərabər sayda qızılgül var. Bu güllərdən ən çox neçə buket hazırlanır və bir buketdə hər rəngdən neçə gül var? Həlli: 1) GCD (210, 126 və 294) = 42 (buket). 2) 210: 42 = 5 (tünd qırmızı qızılgüllər). 3) 126: 42 = 3 (ağ qızılgül). 4) 294: 42 = 7 (qırmızı qızılgüllər). Cavab: 42 buket: hər buketdə 5 tünd qırmızı, 3 ağ, 7 qırmızı qızılgül. GCD problemləri
Tanya və Maşa eyni sayda poçt dəstləri aldılar. Tanya 90 rubl, Maşa isə 5 rubl verdi. daha çox. Bir dəst neçəyə başa gəlir? Hər adam neçə dəst alıb? Həll: 1) 90 + 5 = 95 (rub.) Maşa ödədi. 2) GCD (90 və 95) = 5 (rub.) – 1 dəstin qiyməti. 3) 980: 5 = 18 (dəst) – Tanya tərəfindən alınıb. 4) 95: 5 = 19 (dəstlər) – Maşa tərəfindən alınıb. Cavab: 5 rubl, 18 dəst, 19 dəst. GCD problemləri
Liman şəhərində üç turist gəmisi səfəri başlayır, birincisi 15 gün, ikincisi 20, üçüncüsü isə 12 gün davam edir. Limana qayıdan gəmilər həmin gün yenidən yola düşdü. Bu gün gəmilər hər üç marşrut üzrə limanı tərk edib. Neçə gündən sonra onlar ilk dəfə birlikdə yenidən dənizə çıxacaqlar? Hər gəmi neçə səfər edəcək? Həlli: 1) NOC (15,20 və 12) = 60 (gün) – görüş vaxtı. 2) 60: 15 = 4 (səyahətlər) – 1 gəmi. 3) 60: 20 = 3 (səyahətlər) – 2 gəmi. 4) 60: 12 = 5 (uçuşlar) – 3 gəmi. Cavab: 60 gün, 4 uçuş, 3 uçuş, 5 uçuş. NOC vəzifələri
Maşa mağazada Ayı üçün yumurta aldı. Meşəyə gedərkən yumurtaların sayının 2,3,5,10 və 15-ə bölündüyünü anladı.Maşa neçə yumurta aldı? Həlli: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (yumurta) Cavab: Maşa 30 yumurta aldı. NOC vəzifələri
16 ͯ 20 sm ölçülü qutuları yerləşdirmək üçün dibi kvadrat formada qutu hazırlamaq tələb olunur.Qutuları qutuya möhkəm yerləşdirmək üçün kvadrat dibinin kənarının ən qısa uzunluğu nə qədər olmalıdır? Həlli: 1) LCM (16 və 20) = 80 (qutu). 2) S = a ∙ b – 1 qutunun sahəsi. S = 16 ∙ 20 = 320 (sm²) - 1 qutunun alt sahəsi. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (sm²) – kvadratın dibinin sahəsi. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – qutunun ölçüləri. Cavab: 160 sm kvadratın dibinin tərəfidir. NOC vəzifələri
K nöqtəsindən yol boyu hər 45 m-dən bir elektrik dirəkləri var.Onlar bu dirəkləri bir-birindən 60 m məsafədə yerləşdirərək başqaları ilə əvəz etmək qərarına gəliblər. Neçə sütun var idi və neçə olacaq? Həlli: 1) LCM (45 və 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – sütunlar var idi. 3) 180: 60 = 3 – sütunlara çevrildi. Cavab: 4 sütun, 3 sütun. NOC vəzifələri
12 nəfərdən ibarət bir cərgədə yürüş edib, cərgədə 18 nəfərlik sütuna çevrilsə, parad meydançasında neçə əsgər gedir? Həlli: 1) NOC (12 və 18) = 36 (insan) - yürüş. Cavab: 36 nəfər. NOC vəzifələri
GCD-nin ən böyük ortaq bölənini tapaq (36; 24)
Həll addımları
Metod №1
36
- kompozit nömrə
24
- kompozit nömrə
36 rəqəmini genişləndirək
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- 2-ci sadə rəqəmə bölünür
9:
3
=
3
- 3-cü sadə rəqəmə bölünür.
Gəlin 24 rəqəmini parçalayaq əsas amillərə daxil edin və yaşıl rənglə vurğulayın. Sadə ədədlərdən ən kiçik sadə ədəd 2-dən başlayaraq bölmənin sadə ədəd olduğu ortaya çıxana qədər bölən seçməyə başlayırıq.
24:
2
= 12
- 2-ci sadə rəqəmə bölünür
12:
2
= 6
- 2-ci sadə rəqəmə bölünür
6:
2
=
3
3 sadə ədəd olduğu üçün bölməni tamamlayırıq
2) Onu mavi rənglə vurğulayın və ümumi amilləri yazın
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Ümumi amillər (36; 24): 2, 2, 3
3) İndi GCD-ni tapmaq üçün ümumi amilləri çoxaltmalısınız
Cavab: GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Metod № 2
1) (36; 24) ədədlərinin bütün mümkün bölənlərini tapın. Bunun üçün 36 ədədini növbə ilə 1-dən 36-ya, 24 ədədini isə 1-dən 24-ə qədər bölənlərə böləcəyik.Əgər ədəd qalıqsız bölünürsə, onda bölənləri bölənlər siyahısına yazırıq.
36 nömrə üçün
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
24 nömrəsi üçün Onun qalıqsız bölündüyü bütün halları yazaq:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) Rəqəmlərin (36; 24) bütün ortaq bölənlərini yazaq və ən böyüyünü yaşıl rənglə vurğulayaq, bu, ədədlərin (36; 24) gcd-nin ən böyük ortaq bölməsi olacaq.
Rəqəmlərin ümumi amilləri (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Cavab: GCD (36 ; 24) = 12
LCM-nin ən kiçik ümumi qatını tapaq (52; 49)
Həll addımları
Metod №1
1) Rəqəmləri əsas amillərə ayıraq. Bunun üçün rəqəmlərin hər birinin sadə olub-olmadığını yoxlayaq (əgər ədəd sadədirsə, o, sadə amillərə parçalana bilməz və özü də parçalanmadır)
52
- kompozit nömrə
49
- kompozit nömrə
52 rəqəmini genişləndirək əsas amillərə daxil edin və yaşıl rənglə vurğulayın. Sadə ədədlərdən ən kiçik sadə ədəd 2-dən başlayaraq bölmənin sadə ədəd olduğu ortaya çıxana qədər bölən seçməyə başlayırıq.
52:
2
= 26
- 2-ci sadə rəqəmə bölünür
26:
2
=
13
- 2-ci sadə rəqəmə bölünür.
Bölməni tamamlayırıq, çünki 13 sadə ədəddir
49 rəqəmini genişləndirək əsas amillərə daxil edin və yaşıl rənglə vurğulayın. Sadə ədədlərdən ən kiçik sadə ədəd 2-dən başlayaraq bölmənin sadə ədəd olduğu ortaya çıxana qədər bölən seçməyə başlayırıq.
49:
7
=
7
- 7-nin sadə rəqəminə bölünür.
7 sadə ədəd olduğu üçün bölməni tamamlayırıq
2) Əvvəlcə ən böyük ədədin, sonra isə kiçik ədədin amillərini yazın. Çatışmayan amilləri tapaq, kiçik ədədin genişlənməsi zamanı daha böyük ədədin genişlənməsinə daxil olmayan amilləri mavi rənglə vurğulayın.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) İndi LCM-i tapmaq üçün daha böyük ədədin amillərini mavi rənglə vurğulanan çatışmayan amillərlə vurmalısınız.
LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Metod № 2
1) Rəqəmlərin bütün mümkün qatlarını tapın (52; 49). Bunun üçün növbə ilə 52 rəqəmini 1-dən 49-a qədər olan rəqəmlərə, 49-u isə 1-dən 52-yə qədər rəqəmlərə vuracağıq.
Bütün qatları seçin 52 yaşıl:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Bütün qatları seçin 49 yaşıl:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) Rəqəmlərin (52; 49) bütün ortaq qatlarını yazaq və ən kiçiyini yaşıl rənglə vurğulayaq, bu rəqəmlərin (52; 49) ən kiçik ortaq qatı olacaq.
Rəqəmlərin ortaq qatları (52; 49): 2548
Cavab: LCM (52; 49) = 2548
Lakin bir çox natural ədədlər digər natural ədədlərə də bölünür.
Misal üçün:
12 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə bölünür;
36 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə, 18-ə, 36-ya bölünür.
Ədədin tam bölündüyü ədədlər (12 üçün bunlar 1, 2, 3, 4, 6 və 12) adlanır. ədədlərin bölənləri. Natural ədədin bölməsi a- verilmiş ədədi bölən natural ədəddir a izsiz. İkidən çox bölən olan natural ədədə deyilir kompozit .
Nəzərə alın ki, 12 və 36 rəqəmlərinin ümumi faktorları var. Bu ədədlər bunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ədədlərin ən böyük böləni 12-dir. Bu iki ədədin ortaq bölməsi a Və b- bu verilmiş hər iki ədədin qalıqsız bölündüyü ədəddir a Və b.
Ümumi çoxluqlar bir neçə ədəd bu ədədlərin hər birinə bölünən ədəddir. Misal üçün, 9, 18 və 45 ədədlərinin 180-ə ortaq qatı var. Lakin 90 və 360 da onların ortaq qatlarıdır. Bütün ümumi çarpanlar arasında həmişə ən kiçiyi olur bu halda bu 90-dır. Bu nömrə deyilir ən kiçikümumi çoxsaylı (CMM).
LCM həmişə təbii ədəddir və onun təyin olunduğu ədədlərin ən böyüyündən böyük olmalıdır.
Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM). Xüsusiyyətlər.
Kommutativlik:
Assosiativlik:
Xüsusilə, əgər və kobud ədədlərdirsə, onda:
İki tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu m Və n bütün digər ümumi qatların bölənidir m Və n. Üstəlik, ümumi çoxluqlar dəsti m, n LCM-in qatlarının çoxluğu ilə üst-üstə düşür( m, n).
üçün asimptotikanı bəzi ədədi-nəzəri funksiyalar baxımından ifadə etmək olar.
Belə ki, Çebışev funksiyası. Və:
Bu, Landau funksiyasının tərifindən və xassələrindən irəli gəlir g(n).
Sadə ədədlərin paylanması qanunundan nə gəlir.
Ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması (LCM).
NOC( a, b) bir neçə yolla hesablana bilər:
1. Ən böyük ümumi bölən məlumdursa, onun LCM ilə əlaqəsindən istifadə edə bilərsiniz:
2. Hər iki ədədin sadə amillərə kanonik parçalanması məlum olsun:
Harada p 1 ,...,p k- müxtəlif sadə ədədlər və d 1 ,...,d k Və e 1 ,...,e k— qeyri-mənfi tam ədədlər (müvafiq əsas genişlənmədə deyilsə, onlar sıfır ola bilər).
Sonra NOC ( a,b) düsturla hesablanır:
Başqa sözlə, LCM parçalanması ən azı ədədlərin parçalanmalarından birinə daxil olan bütün əsas amilləri ehtiva edir. a, b, və bu çarpanın iki göstəricisindən ən böyüyü alınır.
Misal:
Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunun hesablanması iki ədədin LCM-nin bir neçə ardıcıl hesablamalarına endirilə bilər:
Qayda. Bir sıra nömrələrin LCM-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:
- ədədləri sadə amillərə ayırmaq;
- ən böyük parçalanmanı (verilənlərin ən çoxunun amillərinin məhsulu) istədiyiniz məhsulun amillərinə köçürün və sonra birinci nömrədə görünməyən və ya orada görünən digər ədədlərin parçalanmasından amillər əlavə edin. daha az dəfə;
— əsas amillərin nəticəsi verilmiş ədədlərin LCM-i olacaqdır.
İstənilən iki və ya daha çox natural ədədin öz LCM-i var. Əgər ədədlər bir-birinin çoxluğu deyilsə və ya genişlənmədə eyni amillərə malik deyilsə, onda onların LCM-i bu ədədlərin hasilinə bərabərdir.
28 ədədinin (2, 2, 7) əsas amilləri 3 amili (21 rəqəmi) ilə tamamlanır, nəticədə alınan məhsul (84) 21 və 28-ə bölünən ən kiçik ədəd olacaqdır.
Ən böyük 30 ədədinin əsas amilləri 25 ədədinin 5 əmsalı ilə tamamlanır, nəticədə alınan hasil 150 ən böyük 30 ədədindən böyükdür və bütün verilmiş ədədlərə qalıqsız bölünür. Bu ən az məhsul Mümkün olanlardan (150, 250, 300...), bütün verilmiş ədədlər çoxluq təşkil edir.
2,3,11,37 ədədləri sadə ədədlərdir, ona görə də onların LCM-i verilmiş ədədlərin hasilinə bərabərdir.
Qayda. Sadə ədədlərin LCM-ni hesablamaq üçün bütün bu ədədləri birlikdə vurmaq lazımdır.
Başqa bir seçim:
Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) tapmaq üçün sizə lazımdır:
1) hər bir ədədi onun əsas amillərinin məhsulu kimi təmsil edin, məsələn:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) bütün əsas amillərin səlahiyyətlərini yazın:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) bu ədədlərin hər birinin bütün sadə bölənlərini (vurucularını) yazın;
4) bu ədədlərin bütün genişlənmələrində olan onların hər birinin ən böyük dərəcəsini seçin;
5) bu səlahiyyətləri artırın.
Misal. Rəqəmlərin LCM-ni tapın: 168, 180 və 3024.
Həll. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Bütün əsas bölənlərin ən böyük güclərini yazırıq və onları çarpırıq:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
a və b ədədlərinin qalıqsız bölündüyü ən böyük natural ədəd deyilir ən böyük ortaq bölən bu nömrələr. GCD (a, b) işarələyin.
İki natural ədəd 18 və 60 nümunəsindən istifadə edərək GCD-ni tapmağı nəzərdən keçirək:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Və 432
Rəqəmləri əsas amillərə ayıraq:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Birinci nömrədən amilləri ikinci və üçüncü nömrələrdə olmayanları kəsərək alırıq:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Nəticədə, GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD-nin tapılması
Ən böyük ortaq bölən tapmağın ikinci yolu istifadə etməkdir Evklid alqoritmi. Evklid alqoritmi ən çox yayılmışdır təsirli yoldur tapmaq GCD, ondan istifadə edərək daima bölən ədədlərin qalığını tapmaq və tətbiq etmək lazımdır təkrarlanma düsturu.
Təkrarlanma düsturu GCD üçün, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), burada a mod b a bölünmüş b-nin qalığıdır.
Evklid alqoritmi
Nümunə Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapın 7920 Və 594
Gəlin GCD ( 7920 , 594 ) Evklid alqoritmindən istifadə edərək, kalkulyatordan istifadə edərək bölmənin qalığını hesablayacağıq.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Nəticədə biz GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Ən kiçik ümumi çoxluq
Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı ortaq məxrəci tapmaq üçün siz bilməlisiniz və hesablamağı bacarmalısınız. ən az ümumi çoxluq(NOK).
“A” rəqəminin çoxluğu “a” rəqəminə qalıqsız bölünən ədəddir.
8-in qatları olan ədədlər (yəni bu ədədlər 8-ə qalıqsız bölünür): bunlar 16, 24, 32... ədədləridir.
9-un qatları: 18, 27, 36, 45...
Eyni ədədin bölənlərindən fərqli olaraq, verilmiş a ədədinin sonsuz çoxlu qatları var. Sonlu sayda bölənlər var.
İki natural ədədin ümumi çoxluğu bu ədədlərin hər ikisinə bölünən ədəddir..
Ən kiçik ümumi çoxluqİki və ya daha çox natural ədədin (LCM) özü bu ədədlərin hər birinə bölünən ən kiçik natural ədəddir.
NOC-u necə tapmaq olar
LCM iki şəkildə tapıla və yazıla bilər.
LOC tapmağın ilk yolu
Bu üsul adətən kiçik nömrələr üçün istifadə olunur.
- Hər iki ədəd üçün eyni olan qatı tapana qədər sətirdə hər ədədin qatlarını yazırıq.
- “a” rəqəminin qatını işarə edirik böyük hərf"TO".
Misal. LCM 6 və 8-i tapın.
LOC tapmaq üçün ikinci yol
Bu üsul üç və ya daha çox rəqəm üçün LCM-i tapmaq üçün istifadə etmək üçün əlverişlidir.
Ədədlərin parçalanmasında eyni amillərin sayı fərqli ola bilər.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Cavab: LCM (24, 60) = 120
Siz həmçinin ən az ümumi çoxluğu (LCM) tapmağı aşağıdakı kimi rəsmiləşdirə bilərsiniz. LOC-u tapaq (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Rəqəmlərin parçalanmasından gördüyümüz kimi, 12-nin bütün amilləri 24-ün (ədədlərin ən böyüyü) parçalanmasına daxildir, ona görə də 16 rəqəminin parçalanmasından LCM-ə yalnız bir 2 əlavə edirik.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Cavab: LCM (12, 16, 24) = 48
NOC tapmaq üçün xüsusi hallar
Məsələn, LCM (60, 15) = 60
İki sadə ədədlərin ümumi sadə amilləri olmadığı üçün onların ən kiçik ortaq çoxluğu bu ədədlərin hasilinə bərabərdir.
Veb saytımızda siz həmçinin hesablamalarınızı yoxlamaq üçün onlayn ən az ümumi çoxluğu tapmaq üçün xüsusi kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.
Əgər natural ədəd yalnız 1-ə və özünə bölünürsə, ona sadə deyilir.
İstənilən natural ədəd həmişə 1-ə və özünə bölünür.
2 rəqəmi ən kiçik sadə ədəddir. Bu yeganə cüt sadə ədəddir, qalan sadə ədədlər təkdir.
Çox sayda sadə ədədlər var və onların arasında birincisi 2 rəqəmidir. Ancaq son sadə rəqəm yoxdur. “Öyrənmək üçün” bölməsində 997-yə qədər sadə ədədlər cədvəlini yükləyə bilərsiniz.
Lakin bir çox natural ədədlər digər natural ədədlərə də bölünür.
- 12 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə bölünür;
- 36 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə, 18-ə, 36-ya bölünür.
- ədədlərin bölənlərini sadə amillərə ayırın;
Ədədin tam bölündüyü ədədlərə (12 üçün bunlar 1, 2, 3, 4, 6 və 12-dir) ədədin bölənləri adlanır.
a natural ədədinin bölməsi verilmiş “a” ədədini qalıqsız bölən natural ədəddir.
İkidən çox bölən olan natural ədədə mürəkkəb deyilir.
Nəzərə alın ki, 12 və 36 rəqəmlərinin ümumi faktorları var. Bu rəqəmlər: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ədədlərin ən böyük böləni 12-dir.
Verilmiş iki “a” və “b” ədədlərinin ortaq böləni, verilmiş “a” və “b” ədədlərinin hər ikisinin qalıqsız bölündüyü ədəddir.
Ən böyük ortaq bölən(GCD) iki verilmiş “a” və “b” ədədidir ən böyük rəqəm, hər iki ədəd “a” və “b” qalıqsız bölünür.
Qısaca “a” və “b” ədədlərinin ən böyük ortaq bölənləri aşağıdakı kimi yazılır::
Misal: gcd (12; 36) = 12.
Həll qeydində ədədlərin bölənləri böyük “D” hərfi ilə işarələnir.
7 və 9 nömrələrinin yalnız bir ümumi bölən var - 1 rəqəmi. Belə nömrələr deyilir ümumi ədədlər.
Müqayisəli ədədlər- bunlar yalnız bir ümumi bölən olan natural ədədlərdir - 1 rəqəmi. Onların gcd-si 1-dir.
Ən böyük ortaq böləni necə tapmaq olar
İki və ya daha çox natural ədədin gcd-sini tapmaq üçün sizə lazımdır:
Şaquli çubuqdan istifadə edərək hesablamaları yazmaq rahatdır. Xəttin solunda əvvəlcə dividend, sağda - bölən yazırıq. Sonra, sol sütunda əmsalların dəyərlərini yazırıq.
Bunu dərhal bir misalla izah edək. 28 və 64 rəqəmlərini sadə amillərə ayıraq.
- Hər iki rəqəmdə eyni əsas amilləri vurğulayırıq.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Eyni sadə amillərin hasilini tapın və cavabını yazın;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Cavab: GCD (28; 64) = 4
GCD-nin yerini iki yolla rəsmiləşdirə bilərsiniz: bir sütunda (yuxarıda edildiyi kimi) və ya "bir sıra".
gcd yazmağın ilk yolu
gcd 48 və 36-nı tapın.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
gcd yazmağın ikinci yolu
İndi GCD axtarışının həllini sətirdə yazaq. gcd 10 və 15-i tapın.
Məlumat saytımızda siz hesablamalarınızı yoxlamaq üçün Ən Böyük Ümumi Bölmə onlayn köməkçisindən də istifadə edə bilərsiniz.
Ən az ümumi çoxluğun tapılması, LCM-nin tapılması üsulları, nümunələri.
Aşağıda təqdim olunan material LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr, LCM və GCD arasındakı əlaqə adlı məqalədən nəzəriyyənin məntiqi davamıdır. Burada biz danışacağıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq (LCM), və biz misalların həllinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. Birincisi, bu nömrələrin GCD-dən istifadə edərək iki ədədin LCM-nin necə hesablandığını göstərəcəyik. Sonra, ədədləri əsas amillərə ayırmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağa baxacağıq. Bundan sonra biz üç və ya daha çox ədədin LCM-nin tapılmasına, həmçinin mənfi ədədlərin LCM-nin hesablanmasına diqqət yetirəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması
Ən az ümumi çoxluğu tapmağın bir yolu LCM və GCD arasındakı əlaqəyə əsaslanır. LCM və GCD arasındakı mövcud əlaqə iki tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamağa imkan verir müsbət ədədlər məlum ən böyük ortaq bölən vasitəsilə. Müvafiq düstur belədir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Verilmiş düsturdan istifadə edərək LCM-nin tapılması nümunələrinə baxaq.
126 və 70 iki ədədinin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Bu misalda a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) düsturu ilə ifadə olunan LCM və GCD arasındakı əlaqədən istifadə edək. Yəni əvvəlcə 70 və 126 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmalıyıq, bundan sonra yazılı düsturdan istifadə edərək bu ədədlərin LCM-ni hesablaya bilərik.
Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(126, 70) tapaq: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, buna görə də GCD(126, 70)=14.
İndi biz tələb olunan ən kiçik ümumi çoxluğu tapırıq: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
LCM(68, 34) nəyə bərabərdir?
68 34-ə bölündüyü üçün GCD(68, 34)=34 olur. İndi ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayırıq: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Qeyd edək ki, əvvəlki nümunə a və b müsbət tam ədədləri üçün LCM-i tapmaq üçün aşağıdakı qaydaya uyğundur: əgər a b-yə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı a-dır.
Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın başqa bir yolu ədədləri sadə amillərə ayırmağa əsaslanır. Əgər verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərindən məhsul tərtib etsəniz və sonra verilmiş ədədlərin parçalanmasında mövcud olan bütün ümumi sadə amilləri bu məhsuldan xaric etsəniz, nəticədə alınan məhsul verilmiş ədədlərin ən kiçik ümumi qatına bərabər olacaqdır. .
LCM-nin tapılması üçün göstərilən qayda LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) bərabərliyindən irəli gəlir. Həqiqətən, a və b ədədlərinin hasili a və b ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Öz növbəsində, GCD(a, b) a və b ədədlərinin genişlənmələrində eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir (ədədlərin əsas amillərə genişlənməsindən istifadə edərək GCD-nin tapılması bölməsində təsvir edildiyi kimi).
Bir misal verək. Bilək ki, 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. Bu genişlənmələrin bütün amillərindən hasilini tərtib edək: 2·3·3·5·5·5·7 . İndi bu məhsuldan həm 75 rəqəminin genişlənməsində, həm də 210 rəqəminin genişlənməsində mövcud olan bütün amilləri istisna edirik (bu amillər 3 və 5-dir), onda məhsul 2·3·5·5·7 formasını alacaq. . Bu hasilin qiyməti 75 və 210 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabərdir, yəni LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
441 və 700 ədədlərini sadə çarpanlara ayırın və bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapın.
441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayıraq: 
441=3·3·7·7 və 700=2·2·5·5·7 alırıq.
İndi bu ədədlərin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərdən hasil yaradaq: 2·2·3·3·5·7·7·7. Gəlin bu məhsuldan hər iki genişlənmədə eyni vaxtda mövcud olan bütün amilləri istisna edək (yalnız belə bir amil var - bu 7 rəqəmidir): 2·2·3·3·5·5·7·7. Beləliklə, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Ədədlərin əsas amillərə bölünməsindən istifadə edərək LCM-nin tapılması qaydası bir az fərqli formalaşdırıla bilər. Əgər b ədədinin genişlənməsinin çatışmayan amilləri a ədədinin genişlənməsindən gələn amillərə əlavə olunarsa, nəticədə alınan məhsulun qiyməti a və b ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabər olacaqdır.
Məsələn, eyni 75 və 210 ədədlərini götürək, onların sadə amillərə parçalanmaları aşağıdakı kimidir: 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. 75 rəqəminin genişlənməsindən 3, 5 və 5 faktorlarına 210 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 7 əmsallarını əlavə edirik, qiyməti 2·3·5·5·7 hasilini alırıq. LCM-ə bərabərdir(75, 210).
84 və 648-in ən kiçik ortaq qatını tapın.
Əvvəlcə 84 və 648 ədədlərinin sadə amillərə parçalanmalarını alırıq. Onlar 84=2·2·3·7 və 648=2·2·2·3·3·3·3 kimi görünürlər. 84 rəqəminin genişlənməsindən 2, 2, 3 və 7 faktorlarına 648 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2, 3, 3 və 3 əmsallarını əlavə edərək 2 2 2 3 3 3 3 3 7 hasilini alırıq, bu da 4 536-ya bərabərdir. Beləliklə, 84 və 648-in arzu olunan ən kiçik ümumi çoxluğu 4,536-dır.
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması
Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu iki ədədin LCM-ni ardıcıl olaraq tapmaqla tapmaq olar. Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmağa imkan verən müvafiq teoremi xatırlayaq.
a 1 , a 2 , …, a k müsbət tam ədədləri verilsin, m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ardıcıllıqla hesablanmaqla bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu m k tapılır. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını tapmaq nümunəsindən istifadə edərək bu teoremin tətbiqini nəzərdən keçirək.
Dörd ədədin LCM-ni tapın 140, 9, 54 və 250.
Əvvəlcə m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) tapırıq. Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(140, 9) təyin edirik, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, buna görə də, GCD(140, 9)=1, ondan LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Yəni m 2 =1 260.
İndi m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54) tapırıq. Onu GCD(1 260, 54) vasitəsilə hesablayaq, onu da Evklid alqoritmi ilə müəyyən edirik: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Onda gcd(1,260, 54)=18, ondan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yəni m 3 =3 780.
m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250) tapmaq qalır. Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(3,780, 250) tapırıq: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Buna görə də, GCD(3,780, 250)=10, ondan GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yəni m 4 =94.500.
Beləliklə, orijinal dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu 94.500-dür.
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .
Bir çox hallarda verilmiş ədədlərin sadə faktorlara bölünməsindən istifadə etməklə üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapmaq rahatdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı qaydaya əməl etməlisiniz. Bir neçə ədədin ən kiçik ortaq qatı hasilinə bərabərdir ki, o, aşağıdakı kimi tərtib edilir: ikinci ədədin genişlənməsinin çatışmayan amilləri birinci nömrənin genişlənməsindən bütün amillərə, genişlənməsindən çatışmayan amillərə əlavə olunur. nəticədə çıxan amillərə üçüncü ədəd əlavə edilir və s.
Baş faktorlara ayırma üsulu ilə ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması nümunəsinə baxaq.
Beş ədəd 84, 6, 48, 7, 143-ün ən kiçik ortaq qatını tapın.
Əvvəlcə bu ədədlərin sadə amillərə parçalanmasını alırıq: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 sadə ədəddir, üst-üstə düşür. onun əsas amillərə parçalanması ilə) və 143=11·13.
Bu ədədlərin LCM-ni tapmaq üçün birinci 84 rəqəminin (onlar 2, 2, 3 və 7-dir) amillərinə ikinci 6 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə etmək lazımdır. 6 rəqəminin parçalanmasında çatışmayan amillər yoxdur, çünki həm 2, həm də 3 ilk 84 rəqəminin parçalanmasında artıq mövcuddur. Sonra, 2, 2, 3 və 7 amillərinə üçüncü 48 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 faktorlarını əlavə edirik, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillər toplusunu alırıq. Növbəti addımda bu çoxluğa çarpanları əlavə etməyə ehtiyac olmayacaq, çünki 7 artıq onun tərkibindədir. Nəhayət, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillərinə 143 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 11 və 13 əmsallarını əlavə edirik. 2·2·2·2·3·7·11·13 hasilini alırıq ki, bu da 48,048-ə bərabərdir.
Buna görə də LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .
Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatının tapılması
Bəzən bir, bir neçə və ya bütün nömrələr mənfi olan ədədlərin ən az ümumi çoxluğunu tapmaq lazım olan tapşırıqlar var. Bu hallarda hər şey mənfi ədədlər onları əks ədədlərlə əvəz etməli və sonra müsbət ədədlərin LCM-ni tapmalısınız. Mənfi ədədlərin LCM-ni tapmağın yolu budur. Məsələn, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) və LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Bunu edə bilərik, çünki a-nın qatlarının çoxluğu −a-nın qatlarının çoxluğu ilə eynidir (a və −a əks ədədlərdir). Həqiqətən, b a-nın bir neçə qatı olsun, onda b a-ya bölünür və bölünmə anlayışı b=a·q olan q tam ədədinin mövcudluğunu bildirir. Lakin b=(−a)·(−q) bərabərliyi də doğru olacaq ki, bu da eyni bölünmə anlayışına görə b-nin −a-ya bölünməsi, yəni b-nin −a-ya çoxluğu deməkdir. Əksi də doğrudur: əgər b −a-nın bəzi qatıdırsa, b də a-nın qatıdır.
−145 və −45 mənfi ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapın.
−145 və −45 mənfi ədədlərini onların əksi 145 və 45 ədədləri ilə əvəz edək. Bizdə LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) var. GCD(145, 45)=5 müəyyən etdikdən sonra (məsələn, Evklid alqoritmindən istifadə etməklə) GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 hesablayırıq. Beləliklə, −145 və −45 mənfi tam ədədlərinin ən kiçik ümumi çoxluğu 1,305-dir.
www.cleverstudents.ru
Bölməni öyrənməyə davam edirik. kimi anlayışlara bu dərsdə baxacağıq GCD Və NOC.
GCDən böyük ortaq böləndir.
NOCən az ümumi çoxluqdur.
Mövzu olduqca darıxdırıcıdır, amma mütləq başa düşmək lazımdır. Bu mövzunu dərk etmədən siz riyaziyyatda əsl maneə olan kəsrlərlə effektiv işləyə bilməyəcəksiniz.
Ən böyük ortaq bölən
Tərif. Ədədlərin ən böyük ortaq böləni a Və b a Və b qalıqsız bölünür.
Bu tərifi yaxşı başa düşmək üçün gəlin dəyişənləri əvəz edək a Və b hər hansı iki ədəd, məsələn, dəyişən əvəzinə a Dəyişən yerinə 12 rəqəmini və əvəz edək b sayı 9. İndi bu tərifi oxumağa çalışaq:
Ədədlərin ən böyük ortaq böləni 12 Və 9 olan ən böyük ədəd adlanır 12 Və 9 qalıqsız bölünür.
Tərifdən aydın olur ki, söhbət 12 və 9 ədədlərinin ortaq bölənindən gedir və bu bölən bütün mövcud bölənlərin ən böyüyüdür. Bu ən böyük ortaq bölücü (GCD) tapmaq lazımdır.
İki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün üç üsuldan istifadə olunur. Birinci üsul kifayət qədər əmək tələb edir, lakin mövzunun mahiyyətini aydın başa düşməyə və onun tam mənasını hiss etməyə imkan verir.
İkinci və üçüncü üsullar olduqca sadədir və GCD-ni tez tapmağa imkan verir. Hər üç üsulu nəzərdən keçirəcəyik. Və hansını praktikada istifadə edəcəyinizi seçmək sizin ixtiyarınızdadır.
Birinci üsul iki ədədin bütün mümkün bölənlərini tapmaq və ən böyüyünü seçməkdir. Aşağıdakı nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq: 12 və 9 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapın.
Əvvəlcə 12 rəqəminin bütün mümkün bölənlərini tapacağıq. Bunun üçün 12-ni 1-dən 12-yə qədər olan bütün bölənlərə böləcəyik. Əgər bölən 12-ni qalıqsız bölməyə imkan verirsə, onda biz onu vurğulayacağıq. mavi və mötərizədə müvafiq izahat verin.
12: 1 = 12
(12 qalıqsız 1-ə bölünür, yəni 1 12 rəqəminin bölənidir)
12: 2 = 6
(12 qalıqsız 2-yə bölünür, yəni 2 12 rəqəminin bölənidir)
12: 3 = 4
(12 qalıqsız 3-ə bölünür, yəni 3 12 rəqəminin bölənidir)
12: 4 = 3
(12 qalıqsız 4-ə bölünür, yəni 4 12 rəqəminin bölənidir)
12: 5 = 2 (2 qaldı)
(12 qalıqsız 5-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 5 12 rəqəminin bölməsi deyil)
12: 6 = 2
(12 qalıqsız 6-ya bölünür, yəni 6 12 rəqəminin bölənidir)
12: 7 = 1 (5 qalıq)
(12 qalıqsız 7-yə bölünmür, yəni 7 12 rəqəminin bölməsi deyil)
12: 8 = 1 (4 qalıq)
(12 qalıqsız 8-ə bölünmür, yəni 8 12-yə bölən deyil)
12: 9 = 1 (3 qalıq)
(12 qalıqsız 9-a bölünmür, yəni 9 12 rəqəminin bölən deyil)
12: 10 = 1 (2 qalıq)
(12 qalıqsız 10-a bölünmür, bu o deməkdir ki, 10 12 rəqəminin bölməsi deyil)
12: 11 = 1 (1 qalıq)
(12 qalıqsız 11-ə bölünmür, yəni 11 12-yə bölən deyil)
12: 12 = 1
(12 qalıqsız 12-yə bölünür, yəni 12 12 rəqəminin bölənidir)
İndi 9 ədədinin bölənlərini tapaq. Bunun üçün 1-dən 9-a kimi bütün bölənləri yoxlayın.
9: 1 = 9
(9 1-ə qalıqsız bölünür, yəni 1 9 rəqəminin bölənidir)
9: 2 = 4 (1 qalıq)
(9 qalıqsız 2-yə bölünmür, bu o deməkdir ki, 2 9 rəqəminin bölməsi deyil)
9: 3 = 3
(9 3-ə qalıqsız bölünür, yəni 3 9 rəqəminin bölənidir)
9: 4 = 2 (1 qalıq)
(9 qalıqsız 4-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 4 9 rəqəminin bölməsi deyil)
9: 5 = 1 (4 qalıq)
(9 qalıqsız 5-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 5 9 rəqəminin bölməsi deyil)
9: 6 = 1 (3 qalıq)
(9 qalıqsız 6-ya bölünmür, bu o deməkdir ki, 6 9 rəqəminin bölməsi deyil)
9: 7 = 1 (2 qalıb)
(9 qalıqsız 7-yə bölünmür, bu o deməkdir ki, 7 9 rəqəminin bölməsi deyil)
9: 8 = 1 (1 qalıq)
(9 qalıqsız 8-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 8 9 rəqəminin bölməsi deyil)
9: 9 = 1
(9 9-a qalıqsız bölünür, yəni 9 9 rəqəminin bölənidir)
İndi hər iki ədədin bölənlərini yazaq. Mavi rənglə vurğulanan rəqəmlər bölənlərdir. Gəlin onları yazaq:
Bölənləri yazdıqdan sonra hansının ən böyük və ən ümumi olduğunu dərhal müəyyən edə bilərsiniz.
Tərifə görə, 12 və 9 ədədlərinin ən böyük ortaq böləni 12 və 9-u qalıqsız bölən ədəddir. 12 və 9 ədədlərinin ən böyük və ortaq bölməsi 3 rəqəmidir
Həm 12, həm də 9 rəqəmi 3-ə qalıqsız bölünür:
Beləliklə, gcd (12 və 9) = 3
GCD tapmağın ikinci yolu
İndi isə ən böyük ortaq bölənin tapılmasının ikinci üsuluna baxaq. Bu metodun mahiyyəti hər iki ədədi əsas amillərə parçalamaq və ümumi olanları çoxaltmaqdır.
Misal 1. 24 və 18 rəqəmlərinin gcd-sini tapın
Əvvəlcə hər iki rəqəmi əsas amillərə ayıraq:
İndi onların ümumi amillərini çoxaldaq. Qarışıqlığın qarşısını almaq üçün ümumi amilləri vurğulamaq olar.
24 rəqəminin genişlənməsinə baxırıq. Onun birinci amili 2-dir. 18 rəqəminin genişlənməsində də eyni amili axtarırıq və onun da orada olduğunu görürük. Hər ikisini vurğulayırıq:
Yenidən 24 rəqəminin genişlənməsinə baxırıq. Onun ikinci amili də 2-dir. 18 rəqəminin genişlənməsində də eyni amili axtarırıq və ikinci dəfədir ki, artıq orada olmadığını görürük. Sonra heç nəyi vurğulamırıq.
24 rəqəminin genişlənməsində sonrakı iki, 18 rəqəminin genişlənməsində də yoxdur.
Keçək 24 rəqəminin genişlənməsində sonuncu faktora. Bu 3 amildir. 18 rəqəminin genişlənməsində də eyni amili axtarırıq və görürük ki, o da oradadır. Hər üçü vurğulayırıq:
Beləliklə, 24 və 18 rəqəmlərinin ümumi amilləri 2 və 3 faktorlarıdır. GCD almaq üçün bu amilləri çarpmaq lazımdır:
Beləliklə, gcd (24 və 18) = 6
GCD tapmağın üçüncü yolu
İndi isə gəlin ən böyük ortaq bölən tapmağın üçüncü yoluna baxaq. Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, ən böyük ümumi bölən üçün tapılacaq ədədlər sadə amillərə parçalanır. Sonra birinci ədədin genişlənməsindən ikinci ədədin genişlənməsinə daxil olmayan amillərin üstündən xətt çəkilir. Birinci genişlənmədə qalan nömrələr vurulur və GCD əldə edilir.
Məsələn, bu üsuldan istifadə edərək 28 və 16 rəqəmləri üçün GCD-ni tapaq. Əvvəlcə bu rəqəmləri əsas amillərə ayırırıq:
İki genişlənmə əldə etdik: və
İndi birinci ədədin parçalanmasından ikinci ədədin parçalanmasına daxil olmayan amilləri siləcəyik. İkinci nömrənin genişləndirilməsi yeddi daxil deyil. Gəlin onu ilk genişlənmədən çıxaraq:
İndi qalan amilləri çoxaldırıq və GCD alırıq:
4 rəqəmi 28 və 16 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu ədədlərin hər ikisi 4-ə qalıqsız bölünür:
Misal 2. 100 və 40 ədədlərinin gcd-sini tapın
100 rəqəminin faktorinqi
40 rəqəminin faktorinqi
İki genişlənmə əldə etdik:
İndi birinci ədədin parçalanmasından ikinci ədədin parçalanmasına daxil olmayan amilləri siləcəyik. İkinci nömrənin genişlənməsinə bir beş daxil deyil (yalnız bir beş var). İlk genişlənmədən onu keçək
Qalan ədədləri vuraq:
20 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 20 rəqəmi 100 və 40 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu iki ədəd 20-yə qalıqsız bölünür:
GCD (100 və 40) = 20.
Misal 3. 72 və 128 rəqəmlərinin gcd-sini tapın
72 rəqəminin faktorinqi
128 rəqəminin faktorinqi
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
İndi birinci ədədin parçalanmasından ikinci ədədin parçalanmasına daxil olmayan amilləri siləcəyik. İkinci nömrənin genişlənməsi iki üçlüyü əhatə etmir (onlar ümumiyyətlə yoxdur). Gəlin onları ilk genişlənmədən çıxaraq:
8 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 8 rəqəmi 72 və 128 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu iki ədəd 8-ə qalıqsız bölünür:
GCD (72 və 128) = 8
Bir neçə nömrə üçün GCD tapılır
Ən böyük ümumi bölən yalnız iki deyil, bir neçə ədəd üçün tapıla bilər. Bunun üçün ən böyük ortaq bölən üçün tapılacaq ədədlər sadə amillərə parçalanır, sonra bu ədədlərin ümumi sadə çarpanlarının hasili tapılır.
Məsələn, 18, 24 və 36 rəqəmləri üçün GCD tapaq
18 rəqəmini çarpazlara ayıraq
24 rəqəmini çarpazlara ayıraq
36 rəqəmini çarpazlara ayıraq
Üç genişlənmə əldə etdik:
İndi bu rəqəmlərdə ümumi amilləri vurğulayaq və vurğulayaq. Ümumi amillər hər üç rəqəmdə görünməlidir:
Görürük ki, 18, 24 və 36 rəqəmləri üçün ümumi amillər 2 və 3 faktorlarıdır. Bu amilləri vuraraq, axtardığımız gcd-ni əldə edirik:
6 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 6 rəqəmi 18, 24 və 36 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu üç ədəd 6-ya qalıqsız bölünür:
GCD (18, 24 və 36) = 6
Misal 2. 12, 24, 36 və 42 nömrələri üçün GCD tapın
Gəlin hər bir ədədi əsas amillərə ayıraq. Sonra bu ədədlərin ümumi amillərinin hasilini tapırıq.
12 rəqəmini çarpazlara ayıraq
42 rəqəmini çarpazlara ayıraq
Dörd genişlənmə əldə etdik:
İndi bu rəqəmlərdə ümumi amilləri vurğulayaq və vurğulayaq. Ümumi amillər bütün dörd rəqəmdə görünməlidir:
Görürük ki, 12, 24, 36 və 42 ədədlərinin ümumi amilləri 2 və 3-ün faktorlarıdır. Bu amilləri birlikdə vursaq, axtardığımız gcd-i əldə edirik:
6 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 6 rəqəmi 12, 24, 36 və 42 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu ədədlər 6-ya qalıqsız bölünür:
GCD (12, 24, 36 və 42) = 6
Əvvəlki dərsdən bilirik ki, əgər bir ədəd digərinə qalıqsız bölünürsə, ona bu ədədin qatı deyilir.
Belə çıxır ki, bir neçə ədədin ümumi çoxluğu ola bilər. İndi biz iki ədədin çoxluğu ilə maraqlanacağıq və bu, mümkün qədər kiçik olmalıdır.
Tərif. Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM). a Və b- a Və b a və nömrə b.
Tərif iki dəyişəndən ibarətdir a Və b. Bu dəyişənlərin yerinə istənilən iki ədədi əvəz edək. Məsələn, dəyişən əvəzinə a Dəyişən yerinə 9 rəqəmini və əvəz edək b 12 rəqəmini əvəz edək. İndi isə tərifi oxumağa çalışaq:
Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM). 9 Və 12 - Bu ən kiçik rəqəm, bu çoxluqdur 9 Və 12 . Başqa sözlə desək, bu o qədər kiçik bir ədəddir ki, qalıqsız ədədə bölünür 9 və nömrə ilə 12 .
Tərifdən aydın olur ki, LCM 9-a və 12-yə qalıqsız bölünən ən kiçik ədəddir.Bu LCM-i tapmaq lazımdır.
Ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) tapmaq üçün iki üsuldan istifadə edə bilərsiniz. Birinci üsul odur ki, siz iki ədədin ilk qatlarını yaza bilərsiniz və sonra bu çarpanlar arasında həm ədədlər, həm də kiçiklər üçün ümumi olacaq bir ədəd seçə bilərsiniz. Gəlin bu üsulu tətbiq edək.
İlk öncə 9 rəqəminin birinci qatlarını tapaq. 9-un qatlarını tapmaq üçün bu doqquzu 1-dən 9-a qədər olan ədədlərə tək-tək vurmaq lazımdır. Nəticədə alınan cavablar 9 rəqəminin qatları olacaq. başlayaq. Çoxluqları qırmızı rənglə vurğulayacağıq:
İndi biz 12 ədədinin qatlarını tapırıq.Bunun üçün 12-ni 1-dən 12-yə qədər olan bütün ədədlərə tək-tək vururuq.
Biz 10-a 10-a bölünən ədədlər deyirik. Məsələn, 30 və ya 50 10-un qatlarıdır. 28 14-ün qatıdır. Həm 10-a, həm də 14-ə bölünən ədədlərə təbii olaraq 10-un və 14-ün ümumi qatları deyilir.
İstədiyimiz qədər ümumi çoxluq tapa bilərik. Məsələn, 140, 280 və s.
Təbii sual budur: ən kiçik ümumi çoxluğu, ən kiçik ümumi çoxluğu necə tapmaq olar?
10 və 14 üçün tapılan qatlardan indiyə qədər ən kiçiyi 140-dır. Bəs o, ən kiçik ümumi çoxluqdur?
Nömrələrimizi hesablayaq:
Gəlin 10-a və 14-ə bölünən bir ədəd quraq. 10-a bölünə bilmək üçün 2 və 5-in amillərinə sahib olmaq lazımdır. 14-ə bölünmək üçün 2 və 7-nin faktorlarına sahib olmaq lazımdır. Amma 2 artıq var, yalnız 7 toplamaq lazımdır. Nəticədə çıxan 70 ədədi 10 və 14-ün ortaq qatıdır. Bununla belə, ondan kiçik ədəd qurmaq mümkün olmayacaq ki, o da ümumi çox olsun.
Beləliklə, budur ən az ümumi çoxluq. Bunun üçün NOC qeydindən istifadə edirik.
182 və 70 nömrələri üçün GCD və LCM-i tapaq.
Özünüz üçün hesablayın:
3. 
Yoxlayırıq:
GCD və LCM-nin nə olduğunu başa düşmək üçün faktorizasiya olmadan edə bilməzsiniz. Ancaq bunun nə olduğunu artıq başa düşdükdə, hər dəfə bunu nəzərə almaq lazım deyil.
Misal üçün:
Siz asanlıqla yoxlaya bilərsiniz ki, biri digərinə bölünən iki ədəd üçün kiçik olan onların GCD, böyük olan isə LCM-dir. Bunun niyə belə olduğunu özünüz izah etməyə çalışın.
Atanın addım uzunluğu 70 sm, balaca qızınınki isə 15 sm-dir, ayaqları eyni işarədə gəzməyə başlayırlar. Ayaqları yenidən düz olana qədər nə qədər yeriyəcəklər?
Ata və qızı hərəkət etməyə başlayırlar. Əvvəlcə ayaqları eyni işarədədir. Bir neçə addım getdikdən sonra ayaqları eyni səviyyəyə qayıtdı. Bu o deməkdir ki, həm ata, həm də qız bu işarəyə çatmaq üçün çoxlu addımlar atıblar. Bu o deməkdir ki, ona olan məsafə həm ata, həm də qızın addım uzunluğuna bölünməlidir.
Yəni tapmalıyıq:
Yəni bu 210 sm = 2 m 10 sm-də baş verəcəkdir.
Atanın 3 addım atacağını, qızın isə 14 addım atacağını başa düşmək çətin deyil (şək. 1).
düyü. 1. Problem üçün illüstrasiya
Problem 1
Petyanın VKontakte şəbəkəsində 100, Vanyanın isə 200 dostu var. Petya ilə Vanyanın 30 ortaq dostu varsa, birlikdə neçə dostu var?
Cavab 300 yanlışdır, çünki onların ortaq dostları ola bilər.
Gəlin bu problemi belə həll edək. Petyanın ətrafdakı bütün dostlarını təsvir edək. Gəlin Vanyanın çoxlu dostlarını başqa, daha böyük bir dairədə təsvir edək.
Bu dairələrin ümumi hissəsi var. Orada ortaq dostlar var. Bu ümumi hissə iki çoxluğun "kəsişməsi" adlanır. Yəni, ortaq dostlar çoxluğu hər kəsin dostlarının kəsişdiyi yerdir.
düyü. 2. Çoxlu dostların dairələri
Əgər 30 ortaq dost varsa, solda 70 nəfər yalnız Petina ilə, 170 nəfər isə yalnız Vaninanın dostudur (şək. 2-ə baxın).
Ümumilikdə nə qədər?
İki dairədən ibarət olan bütün böyük çoxluğa iki çoxluğun birliyi deyilir.
Əslində, VK özü bizim üçün iki dəstin kəsişməsi problemini həll edir, başqasının səhifəsini ziyarət edərkən dərhal bir çox ortaq dostları göstərir.
İki rəqəmin GCD və LCM ilə bağlı vəziyyət çox oxşardır.
Problem 2
İki ədədi nəzərdən keçirin: 126 və 132.
Biz onların əsas amillərini dairələrdə təsvir edirik (bax. Şəkil 3).
düyü. 3. Əsas amilləri olan dairələr
Çoxluqların kəsişməsi onların ümumi bölənləridir. GCD onlardan ibarətdir.
İki dəstin birliyi bizə LCM verir.
Biblioqrafiya
1. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Riyaziyyat 6 sinif. - Gimnaziya. 2006.
3. Depman İ.Ya., Vilenkin N.Ya. Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. - M.: Təhsil, 1989.
4. Rurukin A.N., Çaykovski İ.V. 5-6-cı siniflər üçün riyaziyyat kursu üçün tapşırıqlar. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.Q. Riyaziyyat 5-6. MEPhI qiyabi məktəbin 6-cı sinif şagirdləri üçün dərslik. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Şevrin L.N., Gein A.G., Koryakov İ.O., Volkov M.V. Riyaziyyat: 5-6-cı siniflər üçün dərslik-həmsöhbət Ali məktəb. - M.: Təhsil, Riyaziyyat müəllimi kitabxanası, 1989.
3. “Məktəb köməkçisi” veb-saytı ()
Ev tapşırığı
1. Liman şəhərində üç turist gəmisi səfəri başlayır, birincisi 15 gün, ikincisi 20, üçüncüsü isə 12 gün davam edir. Limana qayıdan gəmilər həmin gün yenidən yola düşdü. Bu gün gəmilər hər üç marşrut üzrə limanı tərk edib. Neçə gündən sonra onlar ilk dəfə birlikdə yenidən dənizə çıxacaqlar? Hər gəmi neçə səfər edəcək?
2. Rəqəmlərin LCM-ni tapın:
3. Ən kiçik ümumi çoxluğun sadə amillərini tapın:
Və əgər: 
, , .
Yüklənir...