Sistemin sıfır həlli. Xətti cəbri tənliklərin homojen sistemləri. Xətti tənliyin əsas həllər sistemini necə tapmaq olar

Sistem m xətti tənliklər c n naməlumlar adlanır xətti homojenlər sistemi bütün sərbəst şərtlər sıfıra bərabər olduqda tənliklər. Belə bir sistem belə görünür:

Harada və ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - verilmiş nömrələr; x i- naməlum.

Xətti homojen tənliklər sistemi həmişə ardıcıldır, çünki r(A) = r(). Həmişə ən azı sıfıra malikdir ( əhəmiyyətsiz) məhlulu (0; 0; …; 0).

Hansı şəraitdə homojen sistemlərin sıfırdan fərqli həlləri olduğunu nəzərdən keçirək.

Teorem 1. Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlləri o halda olur ki, onun əsas matrisinin dərəcəsi r daha az bilinməyənlər n, yəni. r < n.

□ 1). Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli olsun. Rütbə matrisin ölçüsünü aşa bilmədiyi üçün, aydındır ki, r ≤ n. Qoy r = n. Sonra kiçik ölçülərdən biri n n sıfırdan fərqlidir. Buna görə də, uyğun xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var: ... Bu o deməkdir ki, mənasız olanlardan başqa heç bir həll yolu yoxdur. Beləliklə, qeyri-trivial bir həll varsa, o zaman r < n.

2). Qoy r < n. Sonra homojen sistem ardıcıl olmaqla qeyri-müəyyəndir. Bu o deməkdir ki, onun sonsuz sayda həlli var, yəni. sıfırdan fərqli həllər var. ■

Homojen bir sistem düşünün n xətti tənliklər c n naməlum:

(2)

Teorem 2. Homojen sistem n xətti tənliklər c n naməlumların (2) sıfırdan fərqli həlləri o halda olur ki, onun determinantı sıfıra bərabər olsun: = 0.

□ Əgər sistemin (2) sıfırdan fərqli həlli varsa, o zaman = 0. Çünki sistemin yalnız bir sıfır həlli olduqda. = 0 olarsa, dərəcə r sistemin əsas matrisi naməlumların sayından azdır, yəni. r < n. Və buna görə də, sistemin sonsuz sayda həlli var, yəni. sıfırdan fərqli həllər var. ■

Sistemin həllini işarə edək (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n sim kimi .

Xətti homojen tənliklər sisteminin həlləri aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1. Əgər xətt (1) sisteminin həllidir, onda xətt (1) sisteminin həllidir.

2. Əgər xətlər və (1) sisteminin həlləridir, onda istənilən qiymətlər üçün ilə 1 və ilə 2 onların xətti birləşməsi də (1) sisteminin həllidir.

Bu xassələrin etibarlılığı onları birbaşa sistemin tənliklərində əvəz etməklə yoxlanıla bilər.

Formallaşdırılmış xassələrdən belə nəticə çıxır ki, xətti homojen tənliklər sisteminə həllərin istənilən xətti kombinasiyası da bu sistemin həllidir.

Xətti müstəqil həllər sistemi e 1 , e 2 , …, e rçağırdı Əsas, əgər (1) sisteminin hər bir həlli bu həllərin xətti kombinasiyasıdırsa e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3.Əgər dərəcə r xətti homogen tənliklər sisteminin dəyişənləri üçün əmsalların matrisləri (1) dəyişənlərin sayından azdır n, onda hər hansı bir fundamental sistemin həlli sistemi (1) ibarətdir n–r qərarlar.

Buna görə də ümumi qərar xətti homojen tənliklər sistemi (1) formaya malikdir:

Harada e 1 , e 2 , …, e r– sistemin hər hansı fundamental həlli sistemi (9), ilə 1 , ilə 2 , …, ilə p- ixtiyari nömrələr, R = n–r.

Teorem 4. Sistemin ümumi həlli m xətti tənliklər c n naməlumlar müvafiq xətti bircins tənliklər sisteminin ümumi həllinin (1) və bu sistemin ixtiyari xüsusi həllinin (1) cəminə bərabərdir.

Misal. Sistemi həll edin

Həll. Bu sistem üçün m = n= 3. Müəyyənedici

Teorem 2-yə görə, sistemin yalnız əhəmiyyətsiz bir həlli var: x = y = z = 0.

Misal. 1) Sistemin ümumi və xüsusi həllərini tapın

2) Əsas həllər sistemini tapın.

Həll. 1) Bu sistem üçün m = n= 3. Müəyyənedici

2-ci teoremə görə sistemin sıfırdan fərqli həlləri var.

Sistemdə yalnız bir müstəqil tənlik olduğundan

x + y – 4z = 0,

sonra ondan ifadə edəcəyik x =4z- y. Sonsuz sayda həlli haradan əldə edirik: (4 z- y, y, z) – bu sistemin ümumi həllidir.

At z= 1, y= -1, biz bir xüsusi həll alırıq: (5, -1, 1). qoymaq z= 3, y= 2, ikinci xüsusi həlli alırıq: (10, 2, 3) və s.

2) Ümumi həlldə (4 z- y, y, z) dəyişənlər y Və z pulsuzdur və dəyişəndir X- onlardan asılıdır. Əsas həllər sistemini tapmaq üçün sərbəst dəyişənlərə qiymətlər təyin edək: əvvəlcə y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Əsas həllər sistemini təşkil edən qismən (-1, 1, 0), (4, 0, 1) həllər alırıq.

İllüstrasiyalar:

düyü. 1 Xətti tənliklər sistemlərinin təsnifatı

düyü. 2 Xətti tənliklər sistemlərinin tədqiqi

Təqdimatlar:

· Həlli SLAE_matris metodu

· SLAE_Cramer metodunun həlli

· Həlli SLAE_Gauss üsulu

· Riyazi məsələlərin həlli üçün paketlər Mathematica, MathCad: xətti tənliklər sistemlərinin analitik və ədədi həllərinin axtarışı

Nəzarət sualları:

1. Xətti tənliyi təyin edin

2. O, hansı sistem növünə bənzəyir? m ilə xətti tənliklər n naməlum?

3. Xətti tənliklərin həlli sistemlərinə nə deyilir?

4. Hansı sistemlərə ekvivalent deyilir?

5. Hansı sistem uyğunsuz adlanır?

6. Hansı sistem birləşmə adlanır?

7. Hansı sistem müəyyən adlanır?

8. Hansı sistem qeyri-müəyyən adlanır

9. Xətti tənliklər sistemlərinin elementar çevrilmələrini sadalayın

10. Matrislərin elementar çevrilmələrini sadalayın

11. Xətti tənliklər sisteminə elementar çevrilmələrin tətbiqinə dair teorem tərtib edin.

12. Matris üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?

13. Kramer üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?

14. Qauss üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?

15. Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı yaranan 3 mümkün halı sadalayın.

16. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulunu təsvir edin

17. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Kramer metodunu təsvir edin

18. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss metodunu təsvir edin

19. Hansı sistemləri tərs matrisdən istifadə etməklə həll etmək olar?

20. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı yaranan 3 mümkün halı sadalayın.

Ədəbiyyat:

1. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyat: Universitetlər üçün dərslik / N.Ş. Kremer, B.A. Putko, İ.M. Trishin, M. N. Fridman. Ed. N.Ş. Kremer. – M.: BİRLİK, 2005. – 471 s.

2. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyatın ümumi kursu: Dərslik. / Ed. VƏ. Ermakova. –M.: İNFRA-M, 2006. – 655 s.

3. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyatdan məsələlər toplusu: Dərslik / Redaktə edən V.İ. Ermakova. M.: İNFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Ehtimal nəzəriyyəsi və maqmatik statistikada problemlərin həlli üçün bələdçi. - M.: Ali məktəb, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. - M.: Ali məktəb, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Təlimlərdə və məsələlərdə ali riyaziyyat. Hissə 1, 2. – M.: Oniks 21-ci əsr: Sülh və Təhsil, 2005. – 304 s. 1-ci hissə; – 416 səh. 2-ci hissə.

7. İqtisadiyyatda riyaziyyat: Dərslik: 2 hissədə / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, İ.G. Şandara. – M.: Maliyyə və Statistika, 2006.

8. Şipaçev V.S. Ali riyaziyyat: tələbələr üçün dərslik. universitetlər - M.: Ali məktəb, 2007. - 479 s.

Əlaqədar məlumat.

Texnologiyamızı cilalamağa davam edəcəyik elementar çevrilmələr haqqında xətti tənliklərin homojen sistemi.
Birinci abzaslara əsasən, material darıxdırıcı və orta hesabla görünə bilər, lakin bu təəssürat aldadıcıdır. Texnikaların daha da inkişafı ilə yanaşı, bir çox yeni məlumatlar olacaq, buna görə də bu məqalədəki nümunələri laqeyd etməməyə çalışın.

Homojen xətti tənliklər sistemi nədir?

Cavab özünü göstərir. Sərbəst müddət olduqda xətti tənliklər sistemi homojendir hər kəs sistemin tənliyi sıfırdır. Misal üçün:

Bu tamamilə aydındır homojen sistem həmişə ardıcıldır, yəni həmişə həlli var. Və, ilk növbədə, gözünüzə çarpan sözdə deyilənlərdir əhəmiyyətsiz həll . Trivial, sifətin mənasını ümumiyyətlə başa düşməyənlər üçün nümayişsiz deməkdir. Əlbəttə ki, akademik deyil, amma başa düşülən şəkildə =) ...Niyə kolun ətrafında döyün, bu sistemin başqa həll yollarının olub olmadığını öyrənək:

Misal 1

Həll: homojen sistemi həll etmək üçün yazmaq lazımdır sistem matrisi elementar çevrilmələrin köməyi ilə onu mərhələli formaya gətirir. Nəzərə alın ki, burada şaquli zolağı və pulsuz şərtlərin sıfır sütununu yazmağa ehtiyac yoxdur - axırda sıfırlarla nə etsəniz də, onlar sıfır olaraq qalacaqlar:

(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -3-ə vuruldu.

(2) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.

Üçüncü sətri 3-ə bölmək o qədər də məntiqli deyil.

Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent homojen sistem alınır , və Qauss metodunun tərsinə istifadə edərək, həllin unikal olduğunu yoxlamaq asandır.

Cavab verin:

Gəlin açıq bir kriteriya formalaşdıraq: homojen xətti tənliklər sistemi var sadəcə mənasız bir həll, Əgər sistem matrisinin dərəcəsi(bu halda 3) dəyişənlərin sayına bərabərdir (bu halda – 3 ədəd).

Gəlin isinsin və radiomuzu elementar çevrilmə dalğasına kökləyək:

Misal 2

Xətti tənliklərin homojen sistemini həll edin

Alqoritmi nəhayət birləşdirmək üçün son tapşırığı təhlil edək:

Misal 7

Homojen sistemi həll edin, cavabı vektor şəklində yazın.

Həll: sistemin matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:

(1) Birinci sətrin işarəsi dəyişdirildi. Bir daha diqqəti dəfələrlə rast gəlinən bir texnikaya cəlb edirəm ki, bu da növbəti hərəkəti əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirməyə imkan verir.

(1) 2-ci və 3-cü sətirlərə birinci sətir əlavə edilmişdir. 2-yə vurulan birinci sətir 4-cü sətirə əlavə edildi.

(3) Son üç sətir mütənasibdir, onlardan ikisi çıxarılmışdır.

Nəticədə standart bir addım matrisi əldə edilir və həll yivli yol boyunca davam edir:

– əsas dəyişənlər;
- sərbəst dəyişənlər.

Əsas dəyişənləri sərbəst dəyişənlərlə ifadə edək. 2-ci tənlikdən:

- 1-ci tənliyi əvəz edin:

Beləliklə, ümumi həll yolu budur:

Baxılan nümunədə üç sərbəst dəyişən olduğundan, əsas sistem üç vektordan ibarətdir.

Gəlin üçlü dəyərləri əvəz edək ümumi həllə çevirin və koordinatları homojen sistemin hər bir tənliyini ödəyən vektor alın. Yenə də təkrar edirəm ki, alınan hər bir vektoru yoxlamaq çox məqsədəuyğundur - bu, çox vaxt çəkməyəcək, ancaq sizi səhvlərdən tamamilə qoruyacaqdır.

Üçlü dəyərlər üçün vektorunu tapın

Və nəhayət, üçü üçün üçüncü vektoru alırıq:

Cavab verin: , Harada

Kəsr dəyərlərdən qaçmaq istəyənlər üçlü hesab edə bilərlər və ekvivalent formada cavab alın:

Fraksiyalardan danışarkən. Məsələdə alınan matrisə baxaq və özümüzdən soruşaq: sonrakı həlli sadələşdirmək mümkündürmü? Axı biz burada əvvəlcə əsas dəyişəni kəsrlər vasitəsilə ifadə etdik, sonra kəsrlər vasitəsilə əsas dəyişəni və deməliyəm ki, bu proses ən sadə və ən xoşagələn deyildi.

İkinci həll:

Fikir cəhd etməkdir digər əsas dəyişənləri seçin. Gəlin matrisə baxaq və üçüncü sütunda ikisini qeyd edək. Bəs niyə yuxarıda sıfır olmasın? Daha bir elementar çevrilmə həyata keçirək:

Xətti cəbri tənliklərin homojen sistemləri

Dərslərin bir hissəsi kimi Qauss üsulu Və Ümumi həlli olan uyğun olmayan sistemlər/sistemlər hesab etdik xətti tənliklərin qeyri-homogen sistemləri, Harada pulsuz üzv(adətən sağdadır) ən azı bir tənliklərdən sıfırdan fərqli idi.
İndi isə yaxşı istiləşmədən sonra matris dərəcəsi, texnikanı cilalamağa davam edəcəyik elementar çevrilmələr haqqında xətti tənliklərin homojen sistemi.
Birinci abzaslara əsasən, material darıxdırıcı və orta hesabla görünə bilər, lakin bu təəssürat aldadıcıdır. Texnikaların daha da inkişafı ilə yanaşı, çoxlu yeni məlumatlar olacaq, buna görə də bu məqalədəki nümunələri nəzərdən qaçırmamağa çalışın.

Homojen xətti tənliklər sistemi nədir?

Cavab özünü göstərir. Sərbəst müddət olduqda xətti tənliklər sistemi homojendir hər kəs sistemin tənliyi sıfırdır. Misal üçün:

Misal 1

(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -3-ə vuruldu.

(2) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.

Üçüncü sətri 3-ə bölmək o qədər də məntiqli deyil.

Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent homojen sistem alınır , və Qauss metodunun tərsinə istifadə edərək, həllin unikal olduğunu yoxlamaq asandır.

Cavab verin:

Gəlin isinsin və radiomuzu elementar çevrilmə dalğasına kökləyək:

Misal 2

Xətti tənliklərin homojen sistemini həll edin

Məqalədən Matrisin dərəcəsini necə tapmaq olar? Matris ədədlərini eyni vaxtda azaltmağın rasional texnikasını xatırlayaq. Əks təqdirdə, böyük və tez-tez dişləyən balıqları kəsməli olacaqsınız. Dərsin sonunda tapşırığın təxmini nümunəsi.

Sıfırlar yaxşı və rahatdır, lakin praktikada sistem matrisinin sətirlərində vəziyyət daha çox olur xətti asılıdır. Və sonra ümumi bir həllin ortaya çıxması qaçılmazdır:

Misal 3

Xətti tənliklərin homojen sistemini həll edin

Həll: sistemin matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək. İlk hərəkət yalnız bir dəyər əldə etməyə deyil, həm də birinci sütundakı rəqəmləri azaltmağa yönəldilmişdir:

(1) Birinci sətirə üçüncü sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Yuxarı solda "mənfi" olan bir bölmə aldım, bu da çox vaxt sonrakı dəyişikliklər üçün daha əlverişlidir.

(2) İlk iki sətir eynidir, onlardan biri silinib. Düzünü desəm, mən həll yolu tapmadım - belə oldu. Transformasiyaları şablon şəkildə həyata keçirirsinizsə, o zaman xətti asılılıq sətirlər bir az sonra üzə çıxacaqdı.

(3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, 3-ə vuruldu.

(4) Birinci sətrin işarəsi dəyişdirildi.

Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent bir sistem əldə edildi:

Alqoritm üçün olduğu kimi işləyir heterojen sistemlər. “Pillələrdə oturan” dəyişənlər əsasdır, “addım” almayan dəyişən sərbəstdir.

Əsas dəyişənləri sərbəst dəyişən vasitəsilə ifadə edək:

Cavab verin: ümumi qərar:

Önəmsiz həll ümumi düstura daxil edilir və onu ayrıca yazmağa ehtiyac yoxdur.

Yoxlama həm də adi sxem üzrə aparılır: nəticədə alınan ümumi həll sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində əvəz edilməli və bütün əvəzetmələr üçün hüquqi sıfır alınmalıdır.

Bunu sakit və dinc şəkildə başa çatdırmaq olardı, lakin homojen tənliklər sisteminin həlli çox vaxt təqdim edilməlidir. vektor şəklində istifadə etməklə əsas həllər sistemi. Xahiş edirəm, hələlik bunu unut analitik həndəsə, indidən məqalədə bir az açdığım vektorlardan ümumi cəbri mənada danışacağıq. matris dərəcəsi. Terminologiya üzərində parıldamağa ehtiyac yoxdur, hər şey olduqca sadədir.

Xətti cəbr tənliklərinin (SLAEs) sistemlərinin həlli, şübhəsiz ki, xətti cəbr kursunun ən vacib mövzusudur. Riyaziyyatın bütün sahələrindən çoxlu sayda problem xətti tənliklər sistemlərinin həllinə gəlir. Bu faktorlar bu məqalənin səbəbini izah edir. Məqalənin materialı seçilmiş və strukturlaşdırılmışdır ki, onun köməyi ilə edə bilərsiniz

xətti cəbri tənliklər sisteminizi həll etmək üçün optimal üsul seçmək,
seçilmiş metodun nəzəriyyəsini öyrənmək,
tipik misal və problemlərin ətraflı həllərini nəzərdən keçirərək xətti tənliklər sisteminizi həll edin.

Məqalənin materialının qısa təsviri.

Əvvəlcə bütün lazımi tərifləri, anlayışları veririk və qeydləri təqdim edirik.

Sonra, tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabər olan və unikal həlli olan xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üsullarını nəzərdən keçirəcəyik. Birincisi, Kramer metoduna diqqət yetirəcəyik, ikincisi, belə tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulunu göstərəcəyik, üçüncüsü, Gauss metodunu (naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsulu) təhlil edəcəyik. Nəzəriyyəni möhkəmləndirmək üçün biz mütləq bir neçə SLAE-ni müxtəlif yollarla həll edəcəyik.

Bundan sonra, tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşməyən və ya sistemin əsas matrisi tək olan ümumi formalı xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həllinə keçəcəyik. SLAE-lərin uyğunluğunu müəyyən etməyə imkan verən Kronecker-Capelli teoremini formalaşdıraq. Sistemlərin həllini (əgər onlar uyğundursa) matrisin əsas minoru anlayışından istifadə edərək təhlil edək. Biz həmçinin Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik və misalların həlli yollarını ətraflı təsvir edəcəyik.

Biz xətti cəbri tənliklərin bircins və qeyri-homogen sistemlərinin ümumi həllinin strukturu üzərində mütləq dayanacağıq. Fundamental həllər sisteminin konsepsiyasını verək və əsas həllər sisteminin vektorlarından istifadə edərək SLAE-nin ümumi həllinin necə yazıldığını göstərək. Daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misala baxaq.

Sonda, xətti olanlara endirilə bilən tənliklər sistemlərini, həmçinin həllində SLAE-lərin yarandığı müxtəlif problemləri nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Təriflər, anlayışlar, təyinatlar.

Formanın n naməlum dəyişəni (p n-ə bərabər ola bilər) olan p xətti cəbri tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirəcəyik.

Naməlum dəyişənlər, - əmsallar (bəzi real və ya mürəkkəb ədədlər), - sərbəst şərtlər (həmçinin həqiqi və ya kompleks ədədlər).

SLAE qeydinin bu forması deyilir əlaqələndirmək.

IN matris forması bu tənliklər sisteminin yazılması formaya malikdir,
Harada - sistemin əsas matrisi, - naməlum dəyişənlərin sütun matrisi, - sərbəst şərtlərin sütun matrisi.

Sərbəst şərtlərdən ibarət matris sütununu A matrisinə (n+1)-ci sütun kimi əlavə etsək, adlananı alarıq. uzadılmış matris xətti tənliklər sistemləri. Tipik olaraq, uzadılmış matris T hərfi ilə işarələnir və sərbəst şərtlərin sütunu qalan sütunlardan şaquli bir xətt ilə ayrılır, yəni

Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli sistemin bütün tənliklərini eyniliyə çevirən naməlum dəyişənlərin dəyərlər toplusu adlanır. Naməlum dəyişənlərin verilmiş qiymətləri üçün matris tənliyi də eyniliyə çevrilir.

Əgər tənliklər sisteminin ən azı bir həlli varsa, ona deyilir birgə.

Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, ona deyilir birgə olmayan.

SLAE-nin unikal həlli varsa, o zaman çağırılır müəyyən; birdən çox həll yolu varsa, onda - qeyri-müəyyən.

Sistemin bütün tənliklərinin sərbəst şərtləri sıfıra bərabər olarsa , sonra sistem çağırılır homojen, əks halda - heterojen.

Xətti cəbri tənliklərin elementar sistemlərinin həlli.

Bir sistemin tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə və onun əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyilsə, belə SLAE-lər çağırılacaqdır. ibtidai. Bu cür tənlik sistemlərinin unikal həlli var və homojen sistem vəziyyətində bütün naməlum dəyişənlər sıfıra bərabərdir.

Biz orta məktəbdə belə SLAE-ləri öyrənməyə başladıq. Onları həll edərkən bir tənlik götürdük, bir naməlum dəyişəni digərləri ilə ifadə etdik və onu qalan tənliklərdə əvəz etdik, sonra növbəti tənliyi götürdük, növbəti naməlum dəyişəni ifadə etdik və onu başqa tənliklərlə əvəz etdik və s. Yaxud əlavə metodundan istifadə edirdilər, yəni bəzi naməlum dəyişənləri aradan qaldırmaq üçün iki və ya daha çox tənlik əlavə edirdilər. Bu üsullar üzərində ətraflı dayanmayacağıq, çünki onlar mahiyyətcə Gauss metodunun modifikasiyasıdır.

Xətti tənliklərin elementar sistemlərinin həlli üçün əsas üsullar Kramer üsulu, matris üsulu və Qauss üsuludur. Gəlin onları sıralayaq.

Kramer üsulu ilə xətti tənliklər sistemlərinin həlli.

Tutaq ki, xətti cəbri tənliklər sistemini həll etməliyik

burada tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdir və sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir, yəni .

Sistemin baş matrisinin determinantı olsun, və - əvəzetmə yolu ilə A-dan alınan matrislərin təyinediciləri 1-ci, 2-ci, …, n-ci sərbəst üzvlər sütununa müvafiq olaraq sütun:

Bu qeyd ilə naməlum dəyişənlər Cramer metodunun düsturlarından istifadə etməklə hesablanır . Cramer metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli belə tapılır.

Misal.

Kramer üsulu .

Həll.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir . Onun determinantını hesablayaq (lazım olduqda məqaləyə baxın):

Sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olduğu üçün sistemin Kramer metodu ilə tapıla bilən unikal həlli var.

Lazımi təyinediciləri tərtib edib hesablayaq (A matrisinin birinci sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə, determinantı ikinci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə, A matrisinin üçüncü sütununu isə sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə müəyyənedicini əldə edirik) :

Düsturlardan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin tapılması :

Cavab:

Kramer metodunun əsas çatışmazlığı (əgər onu çatışmazlıq adlandırmaq olarsa) sistemdəki tənliklərin sayı üçdən çox olduqda determinantların hesablanmasının mürəkkəbliyidir.

Matris metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli (tərs matrisdən istifadə etməklə).

Xətti cəbri tənliklər sistemi matris şəklində verilsin, burada A matrisi n ölçüsünə malikdir və onun təyinedicisi sıfırdan fərqlidir.

Çünki A matrisi tərsdir, yəni tərs matris var. Bərabərliyin hər iki tərəfini sola vursaq, naməlum dəyişənlərdən ibarət matris-sütun tapmaq üçün düstur alırıq. Matris metodundan istifadə edərək xətti cəbri tənliklər sisteminin həllini belə əldə etdik.

Misal.

Xətti tənliklər sistemini həll edin matris üsulu.

Həll.

Tənliklər sistemini matris şəklində yenidən yazaq:

Çünki

onda SLAE matris metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər. Tərs matrisi istifadə edərək, bu sistemin həlli kimi tapıla bilər .

A matrisinin elementlərinin cəbri əlavələrindən matrisdən istifadə edərək tərs matris quraq (lazım olduqda məqaləyə baxın):

Tərs matrisi vurmaqla naməlum dəyişənlərin matrisini hesablamaq qalır pulsuz üzvlərin matris sütununa (lazım olduqda, məqaləyə baxın):

Cavab:

və ya başqa qeyddə x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris metodundan istifadə edərək xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli yollarını taparkən əsas problem tərs matrisin, xüsusən üçüncüdən yuxarı düzənli kvadrat matrislərin tapılmasının mürəkkəbliyidir.

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli.

Tutaq ki, n naməlum dəyişəni olan n xətti tənlik sisteminin həllini tapmalıyıq.
əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir.

Gauss metodunun mahiyyəti naməlum dəyişənlərin ardıcıl xaric edilməsindən ibarətdir: birincisi, x 1 sistemin bütün tənliklərindən ikincidən başlayaraq xaric edilir, sonra x 2 üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir və s. yalnız naməlum dəyişən x n olana qədər. sonuncu tənlikdə qalır. Naməlum dəyişənləri ardıcıl olaraq aradan qaldırmaq üçün sistem tənliklərinin çevrilməsi prosesi adlanır birbaşa Qauss üsulu. Qauss metodunun irəli vuruşunu tamamladıqdan sonra sonuncu tənlikdən x n tapılır, sondan əvvəlki tənlikdən bu qiymətdən istifadə edərək x n-1 hesablanır və s. birinci tənlikdən x 1 tapılır. Sistemin sonuncu tənliyindən birincisinə keçərkən naməlum dəyişənlərin hesablanması prosesi adlanır. Qauss metodunun tərsi.

Naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması alqoritmini qısaca təsvir edək.

Güman edirik ki, sistemin tənliklərini yenidən təşkil etməklə həmişə buna nail ola bilərik. İkincidən başlayaraq sistemin bütün tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini silək. Bunun üçün sistemin ikinci tənliyinə birincini vururuq, üçüncü tənliyə birincini vururuq və s., n-ci tənliyə birincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır

harada və .

Sistemin birinci tənliyində x 1-i digər naməlum dəyişənlər baxımından ifadə etsəydik və yaranan ifadəni bütün digər tənliklərdə əvəz etsəydik, eyni nəticəyə çatmış olardıq. Beləliklə, x 1 dəyişəni ikincidən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.

Sonra, oxşar şəkildə davam edirik, ancaq nəticədə göstərilən sistemin yalnız şəkildə qeyd olunan bir hissəsi ilə

Bunun üçün sistemin üçüncü tənliyinə ikincini vururuq, dördüncü tənliyə ikincini əlavə edirik, vururuq və s., n-ci tənliyə ikincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır

harada və . Beləliklə, x 2 dəyişəni üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.

Sonra, naməlum x 3-ü aradan qaldırmağa davam edirik, eyni zamanda sistemin şəkildə qeyd olunan hissəsi ilə eyni şəkildə hərəkət edirik.

Beləliklə, sistem formanı alana qədər Qauss metodunun birbaşa irəliləməsini davam etdiririk

Bu andan Qauss metodunun tərsinə başlayırıq: biz axırıncı tənlikdən x n-i belə hesablayırıq, x n-in alınan qiymətindən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən x n-1 tapırıq və s., birinci tənlikdən x 1-i tapırıq. .

Misal.

Xətti tənliklər sistemini həll edin Gauss üsulu.

Həll.

Sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən x 1 naməlum dəyişənini xaric edək. Bunu etmək üçün, ikinci və üçüncü tənliyin hər iki tərəfinə birinci tənliyin müvafiq hissələrini müvafiq olaraq və çarpan əlavə edirik:

İndi üçüncü tənlikdən x 2-ni onun sol və sağ tərəflərinə ikinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edərək, vuraraq çıxarırıq:

Bu, Gauss metodunun irəli vuruşunu tamamlayır; biz tərs vuruşa başlayırıq.

Yaranan tənliklər sisteminin sonuncu tənliyindən x 3 tapırıq:

İkinci tənlikdən alırıq.

Birinci tənlikdən biz qalan naməlum dəyişəni tapırıq və bununla da Qauss metodunun əksini tamamlayırıq.

Cavab:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ümumi formalı xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli.

Ümumiyyətlə, p sisteminin tənliklərinin sayı n naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşmür:

Belə SLAE-lərin heç bir həlli olmaya bilər, tək həll yolu ola bilər və ya sonsuz sayda həll yolu ola bilər. Bu ifadə əsas matrisi kvadrat və tək olan tənliklər sistemlərinə də aiddir.

Kroneker-Kapelli teoremi.

Xətti tənliklər sisteminin həllini tapmazdan əvvəl onun uyğunluğunu müəyyən etmək lazımdır. SLAE nə vaxt uyğundur, nə vaxt uyğunsuzdur sualının cavabı tərəfindən verilir Kroneker-Kapelli teoremi:
n naməlum (p n-ə bərabər ola bilər) olan p tənliklər sisteminin ardıcıl olması üçün sistemin əsas matrisinin rütbəsinin genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni. , Rank(A)=Rank(T).

Nümunə olaraq xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu müəyyən etmək üçün Kroneker-Kapelli teoreminin tətbiqini nəzərdən keçirək.

Misal.

Xətti tənliklər sisteminin olub olmadığını öyrənin həllər.

Həll.

. Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi üsulundan istifadə edək. İkinci dərəcəli kiçik sıfırdan fərqlidir. Onunla həmsərhəd olan üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara baxaq:

Üçüncü dərəcəli bütün sərhədyanı kiçiklər sıfıra bərabər olduğundan, əsas matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir.

Öz növbəsində, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi üçə bərabərdir, çünki kiçik üçüncü dərəcəlidir

sıfırdan fərqlidir.

Beləliklə, Rang(A), buna görə də, Kronecker-Capelli teoremindən istifadə edərək, xətti tənliklərin orijinal sisteminin uyğunsuz olduğu qənaətinə gələ bilərik.

Cavab:

Sistemin həlli yoxdur.

Beləliklə, biz Kronecker-Capelli teoremindən istifadə edərək bir sistemin uyğunsuzluğunu təyin etməyi öyrəndik.

Bəs uyğunluğu müəyyən edilərsə, SLAE-nin həllini necə tapmaq olar?

Bunun üçün bizə matrisin əsas minoru anlayışı və matrisin rütbəsi haqqında teorem lazımdır.

A matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksək dərəcəli minoru deyilir əsas.

Minor bazisin tərifindən belə çıxır ki, onun sırası matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Sıfır olmayan A matrisi üçün bir neçə əsas minor ola bilər; həmişə bir əsas minor var.

Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək .

Bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli kiçikləri sıfıra bərabərdir, çünki bu matrisin üçüncü cərgəsinin elementləri birinci və ikinci sıraların müvafiq elementlərinin cəmidir.

Aşağıdakı ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar əsasdır, çünki onlar sıfırdan fərqlidirlər

Yetkinlik yaşına çatmayanlar əsas deyil, çünki onlar sıfıra bərabərdir.

Matris dərəcə teoremi.

Əgər p ilə n sıralı matrisin dərəcəsi r-ə bərabərdirsə, o zaman matrisin seçilmiş bazis minorunu təşkil etməyən bütün sətir (və sütun) elementləri xətti şəkildə ifadə olunan müvafiq sətir (və sütun) elementləri ilə ifadə edilir. əsas kiçik.

Matris dərəcə teoremi bizə nə deyir?

Əgər Kroneker-Kapelli teoreminə görə sistemin uyğunluğunu müəyyən etmişiksə, onda sistemin əsas matrisinin hər hansı kiçik əsasını seçirik (onun sırası r-ə bərabərdir) və sistemdən bütün tənlikləri xaric edirik. seçilmiş əsası təşkil etmir. Bu şəkildə əldə edilən SLAE orijinala bərabər olacaq, çünki atılan tənliklər hələ də lazımsızdır (matris dərəcələri teoreminə görə, onlar qalan tənliklərin xətti birləşməsidir).

Nəticədə, sistemin lazımsız tənliklərini atdıqdan sonra iki hal mümkündür.

Əgər yaranan sistemdə r tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə, o zaman müəyyən olacaq və yeganə həllini Kramer üsulu, matris üsulu və ya Qauss metodu ilə tapmaq olar.

Misal.

Həll.

Sistemin əsas matrisinin dərəcəsi ikiyə bərabərdir, çünki kiçik ikinci dərəcəlidir sıfırdan fərqlidir. Genişləndirilmiş Matris Rank həm də ikiyə bərabərdir, çünki yeganə üçüncü dərəcəli minor sıfırdır

yuxarıda nəzərdən keçirilən ikinci dərəcəli minor isə sıfırdan fərqlidir. Kroneker-Kapelli teoreminə əsaslanaraq, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu təsdiq edə bilərik.

Əsas olaraq minor alırıq . Birinci və ikinci tənliklərin əmsalları ilə formalaşır:

Sistemin üçüncü tənliyi bazis minorunun formalaşmasında iştirak etmir, ona görə də onu matrisin dərəcəsi üzrə teorem əsasında sistemdən çıxarırıq:

Beləliklə, xətti cəbri tənliklərin elementar sistemini əldə etdik. Kramer metodundan istifadə edərək həll edək:

Cavab:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Əgər yaranan SLAE-də r tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayından n azdırsa, onda tənliklərin sol tərəflərində bazis təşkil edən terminləri minor qoyub, qalan şərtləri isə tənliklərin sağ tərəflərinə köçürürük. əks işarəli sistemin tənlikləri.

Tənliklərin sol tərəflərində qalan naməlum dəyişənlərə (onlardan r) deyilir əsas.

Sağ tərəflərdə olan naməlum dəyişənlər (n - r ədəd var) adlanır pulsuz.

İndi biz inanırıq ki, sərbəst naməlum dəyişənlər ixtiyari qiymətlər ala bilər, r əsas naməlum dəyişənlər isə sərbəst naməlum dəyişənlər vasitəsilə unikal şəkildə ifadə olunacaqdır. Onların ifadəsini Cramer metodundan, matris metodundan və ya Gauss metodundan istifadə etməklə əldə edilən SLAE-ni həll etməklə tapmaq olar.

Buna bir nümunə ilə baxaq.

Misal.

Xətti cəbri tənliklər sistemini həll edin .

Həll.

Sistemin baş matrisinin ranqını tapaq yetkinlik yaşına çatmayanları həmsərhədləşdirmə üsulu ilə. Gəlin 1 1 = 1-i birinci sıranın sıfırdan fərqli minoru kimi götürək. Gəlin bu minorla həmsərhəd olan ikinci dərəcəli sıfır olmayan minoru axtarmağa başlayaq:

İkinci dərəcəli sıfır olmayan minoru belə tapdıq. Gəlin üçüncü dərəcəli sıfırdan kənar sərhədi olan minoru axtarmağa başlayaq:

Beləliklə, əsas matrisin dərəcəsi üçdür. Genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi də üçə bərabərdir, yəni sistem ardıcıldır.

Üçüncü sıranın tapılmış sıfırdan fərqli minorunu əsas götürürük.

Aydınlıq üçün minorun əsasını təşkil edən elementləri göstəririk:

Kiçik əsasda iştirak edən şərtləri sistem tənliklərinin sol tərəfində buraxırıq, qalanlarını isə əks işarələrlə sağ tərəflərə köçürürük:

Sərbəst naməlum dəyişənlərə x 2 və x 5 ixtiyari qiymətlər verək, yəni qəbul edirik. , ixtiyari ədədlər haradadır. Bu halda, SLAE formasını alacaq

Yaranan elementar xətti cəbri tənliklər sistemini Kramer metodundan istifadə edərək həll edək:

Beləliklə, .

Cavabınızda sərbəst bilinməyən dəyişənləri göstərməyi unutmayın.

Cavab:

İxtiyari nömrələr haradadır.

Ümumiləşdirin.

Ümumi xətti cəbri tənliklər sistemini həll etmək üçün əvvəlcə Kroneker-Kapelli teoremindən istifadə edərək onun uyğunluğunu müəyyən edirik. Əsas matrisin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər deyilsə, sistemin uyğunsuz olduğu qənaətinə gəlirik.

Əgər əsas matrisin rütbəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabərdirsə, onda biz minor bazisini seçirik və sistemin seçilmiş bazis minorunun formalaşmasında iştirak etməyən tənliklərini ləğv edirik.

Baza minorunun sırası naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə, SLAE-nin bizə məlum olan istənilən üsulla tapıla bilən unikal həlli var.

Baza minorunun sırası naməlum dəyişənlərin sayından azdırsa, sistem tənliklərinin sol tərəfində əsas naməlum dəyişənlərlə şərtləri buraxırıq, qalan şərtləri sağ tərəflərə köçürür və ixtiyari qiymətlər veririk. pulsuz naməlum dəyişənlər. Yaranan xətti tənliklər sistemindən Kramer metodundan, matris metodundan və ya Qauss metodundan istifadə edərək əsas naməlum dəyişənləri tapırıq.

Ümumi formalı xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss üsulu.

Qauss metodundan hər hansı bir növ xətti cəbri tənliklər sistemlərinin ardıcıllığını yoxlamadan həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması prosesi SLAE-nin həm uyğunluğu, həm də uyğunsuzluğu haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir və həll yolu varsa, onu tapmağa imkan verir.

Hesablama baxımından Qauss metoduna üstünlük verilir.

Ümumi xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss metodu məqaləsində onun ətraflı təsviri və təhlil edilmiş nümunələrinə baxın.

Fundamental həllər sisteminin vektorlarından istifadə edərək homojen və qeyri-homogen xətti cəbr sistemlərinin ümumi həllinin yazılması.

Bu bölmədə sonsuz sayda həlli olan xətti cəbri tənliklərin eyni vaxtda homojen və qeyri-homogen sistemləri haqqında danışacağıq.

Əvvəlcə homojen sistemlərlə məşğul olaq.

Əsas həllər sistemi n naməlum dəyişəni olan p xətti cəbri tənliklərin homojen sistemi bu sistemin (n – r) xətti müstəqil həllər toplusudur, burada r sistemin əsas matrisinin əsas minorunun sırasıdır.

Bircins SLAE-nin xətti müstəqil həllərini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) kimi işarələsək, n ölçüsünün sütunlu matrisləridir. 1) ilə, onda bu bircins sistemin ümumi həlli ixtiyari sabit C 1, C 2, ..., C (n-r) əmsalları olan əsas həllər sisteminin vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təmsil olunur, yəni.

Xətti cəbri tənliklərin homojen sisteminin ümumi həlli termini (oroslau) nə deməkdir?

Mənası sadədir: düstur orijinal SLAE-nin bütün mümkün həll yollarını müəyyən edir, başqa sözlə, ixtiyari sabitlərin C 1, C 2, ..., C (n-r) dəyərlərinin istənilən dəstini götürərək, düsturdan istifadə edərək orijinal homojen SLAE-nin məhlullarından birini əldə edin.

Beləliklə, əsas həllər sistemi tapsaq, bu homojen SLAE-nin bütün həllərini kimi təyin edə bilərik.

Homojen SLAE üçün əsas həllər sisteminin qurulması prosesini göstərək.

Orijinal xətti tənliklər sisteminin əsas minorunu seçirik, bütün digər tənlikləri sistemdən çıxarırıq və sərbəst naməlum dəyişənləri ehtiva edən bütün şərtləri əks işarəli sistem tənliklərinin sağ tərəflərinə köçürürük. Sərbəst naməlum dəyişənlərə 1,0,0,...,0 qiymətlərini verək və nəticədə yaranan elementar xətti tənliklər sistemini istənilən üsulla, məsələn, Kramer metodundan istifadə etməklə həll etməklə əsas naməlumları hesablayaq. Bu, X (1) ilə nəticələnəcək - fundamental sistemin ilk həlli. Sərbəst naməlumlara 0,1,0,0,…,0 qiymətlərini verib əsas naməlumları hesablasaq, X (2) alırıq. Və s. Sərbəst naməlum dəyişənlərə 0.0,…,0.1 qiymətlərini təyin etsək və əsas naməlumları hesablasaq, X (n-r) alırıq. Bu şəkildə, homojen bir SLAE üçün əsas həllər sistemi qurulacaq və onun ümumi həlli formada yazıla bilər.

Xətti cəbri tənliklərin qeyri-homogen sistemləri üçün ümumi həll formada təmsil olunur, burada müvafiq homojen sistemin ümumi həlli və sərbəst naməlumlara qiymətlər verməklə əldə etdiyimiz orijinal qeyri-homogen SLAE-nin xüsusi həllidir. 0,0,...,0 və əsas bilinməyənlərin qiymətlərinin hesablanması.

Nümunələrə baxaq.

Misal.

Xətti cəbri tənliklərin homojen sisteminin əsas həllər sistemini və ümumi həllini tapın. .

Həll.

Xətti tənliklərin homojen sistemlərinin əsas matrisinin dərəcəsi həmişə uzadılmış matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi metodundan istifadə edərək əsas matrisin rütbəsini tapaq. Birinci dərəcəli sıfır olmayan minor kimi sistemin əsas matrisinin a 1 1 = 9 elementini götürürük. İkinci sıranın sərhədyanı sıfırdan fərqli minorunu tapaq:

Sıfırdan fərqli ikinci dərəcəli minor tapıldı. Sıfır olmayan birini axtarmaq üçün onunla həmsərhəd olan üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları nəzərdən keçirək:

Bütün üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir, buna görə də əsas və genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir. götürək. Aydınlıq üçün onu təşkil edən sistemin elementlərini qeyd edək:

Orijinal SLAE-nin üçüncü tənliyi əsas minorun formalaşmasında iştirak etmir, buna görə də onu istisna etmək olar:

Tənliklərin sağ tərəflərində əsas bilinməyənləri ehtiva edən şərtləri buraxırıq və sərbəst naməlum olan şərtləri sağ tərəflərə köçürürük:

Orijinal homojen xətti tənliklər sisteminin əsas həllər sistemini quraq. Bu SLAE-nin əsas həllər sistemi iki həlldən ibarətdir, çünki orijinal SLAE dörd naməlum dəyişəni ehtiva edir və onun əsas minorunun sırası ikiyə bərabərdir. X (1) tapmaq üçün sərbəst naməlum dəyişənlərə x 2 = 1, x 4 = 0 dəyərlərini veririk, sonra tənliklər sistemindən əsas naməlumları tapırıq.
.

Gəlin nəzərdən keçirək homojen sistem n dəyişənli m xətti tənliklər:

(15)

Homojen xətti tənliklər sistemi həmişə ardıcıldır, çünki onun həmişə sıfır (xırda) həlli var (0,0,…,0).

Əgər (15) sistemində m=n və , onda sistemin Kramer teoremindən və düsturlarından irəli gələn yalnız sıfır həlli var.

Teorem 1. Homojen sistem (15) qeyri-trivial həllə malikdir, o zaman və yalnız onun matrisinin dərəcəsi dəyişənlərin sayından azdır, yəni. . r(A)< n.

Sübut. Sistemin (15) qeyri-trivial həllinin mövcudluğu sistem matrisinin sütunlarının xətti asılılığına ekvivalentdir (yəni x 1, x 2,..., x n ədədləri var, hamısı sıfıra bərabər deyil, belə ki, bərabərliklər (15) doğrudur).

Əsas minor teoreminə görə, matrisin bütün sütunları əsas olmadıqda, matrisin sütunları xətti asılı olur , yəni.  matrisin əsas minorunun r sırası onun sütunlarının n sayından kiçik olduqda. və s.

Nəticə. Kvadrat homojen sistemdə |A|=0 olduqda qeyri-trivial həllər  olur.

Teorem 2. Əgər x (1), x (2),..., x (s) sütunları bircins sistem AX = 0 üçün həllərdirsə, onda onların istənilən xətti kombinasiyası da bu sistemin həllidir.

Sübut. Həlllərin hər hansı bir birləşməsini nəzərdən keçirin:

Onda AX=A()===0. və s.

Nəticə 1.Əgər homojen sistemin qeyri-trivial həlli varsa, onun sonsuz sayda həlli var.

Bu. Ax = 0 sisteminin x (1), x (2),..., x (s) həllərini tapmaq lazımdır ki, bu sistemin istənilən başqa həlli onların xətti kombinasiyası və , üstəlik, özünəməxsus şəkildə.

Tərif.Ах=0 sisteminin x (1), x (2),..., x (k) xətti müstəqil həllərinin k=n-r (n sistemdəki naməlumların sayı, r=rg A) sistemi adlanır. əsas həllər sistemi bu sistem.

Teorem 3. n naməlum və r=rg A olan bircinsli sistem Ах=0 verilsin.Sonra bu sistemin k=n-r həlləri x (1), x (2),..., x (k) çoxluğu var, a əmələ gətirir. əsas həllər sistemi.

Sübut. Ümumiliyi itirmədən hesab edə bilərik ki, A matrisinin əsas minoru yuxarı sol küncdə yerləşir. Onda, əsas minor teoreminə əsasən, A matrisinin qalan sətirləri əsas cərgələrin xətti birləşmələridir. Bu o deməkdir ki, əgər x 1, x 2,…, x n dəyərləri ilk r tənliklərini ödəyirsə, yəni. əsas minorun cərgələrinə uyğun gələn tənliklər), onda onlar digər tənlikləri də ödəyirlər. Nəticə etibarilə, (r+1)-dən başlayaraq bütün tənlikləri ləğv etsək, sistemin həllər toplusu dəyişməyəcək. Sistemi alırıq:

Sərbəst naməlum olan x r +1 , x r +2 ,…, x n-i sağ tərəfə keçirək və əsas x 1 , x 2 ,…, x r-ni sol tərəfə buraxaq:

(16)

Çünki bu halda bütün b i =0, onda düsturların yerinə

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), alırıq:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Sərbəst naməlum x r +1 , x r +2 ,…, x n ixtiyari qiymətlərə təyin etsək, onda əsas naməlumlara münasibətdə unikal həlli olan qeyri-sinqulyar matrisli kvadrat SLAE alırıq. Beləliklə, homojen SLAE-nin istənilən həlli x r +1, x r +2,…, x n sərbəst naməlumların qiymətləri ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Sərbəst bilinməyənlərin aşağıdakı k=n-r sıra dəyərlərinə nəzər salın:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serial nömrəsi mötərizədə yuxarı işarə ilə göstərilir və qiymətlər seriyası sütunlar şəklində yazılır. Hər seriyada i=j olduqda =1 və ij olduqda =0.

Sərbəst naməlumların dəyərlərinin i-ci seriyası ,,...,əsas naməlumların qiymətlərinə unikal şəkildə uyğun gəlir. Sərbəst və əsas naməlumların qiymətləri birlikdə sistemə həllər verir (17).

Göstərək ki, e i =,i=1,2,…,k sütunları (18)

əsas həllər sistemini formalaşdırır.

Çünki Bu sütunlar konstruksiyaya görə Ax=0 bircins sisteminin məhlullarıdır və onların sayı k-yə bərabərdir, onda həllərin xətti müstəqilliyini sübut etmək qalır (16). Həlllərin xətti kombinasiyası olsun e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), sıfır sütununa bərabərdir:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Onda bu bərabərliyin sol tərəfi r+1,r+2,...,n ədədləri olan komponentləri sıfıra bərabər olan sütundur. Lakin (r+1)-ci komponent  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 -ə bərabərdir. Eynilə, (r+2)-ci komponent  2 ,…-ə, k-ci komponent isə  k-yə bərabərdir. Buna görə də  1 =  2 = …= k =0, yəni həllərin xətti müstəqilliyi e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Qurulmuş əsas həllər sistemi (18) adlanır normal. (13) düsturu əsasında o, aşağıdakı formaya malikdir:

(20)

Nəticə 2. Qoy e 1 , e 2 ,…, e k-homogen sistemin məhlullarının normal əsas sistemi, onda bütün məhlulların çoxluğu düsturla təsvir edilə bilər:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)

burada с 1,с 2,…,с k – ixtiyari qiymətlər qəbul edin.

Sübut. 2-ci teoremə görə sütun (19) Ax=0 homojen sisteminin həllidir. Bu sistemin istənilən həllinin (17) şəklində təqdim oluna biləcəyini sübut etmək qalır. Sütunu nəzərdən keçirin X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Bu sütun r+1,...,n rəqəmləri olan elementlərdə y sütunu ilə üst-üstə düşür və (16) həllidir. Buna görə də sütunlar X Və saatüst-üstə düşür, çünki Sistemin (16) həlləri onun x r +1 ,…, x n sərbəst naməlumlarının qiymətləri və sütunları ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. saat Və X bu dəstlər eynidir. Beləliklə, saat=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, yəni. həll saat sütunların xətti birləşməsidir e 1 ,…,y n normal FSR. və s.

Sübut edilmiş ifadə yalnız normal FSR üçün deyil, həm də homojen SLAE-nin ixtiyari FSR üçün doğrudur.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - ümumi qərar xətti homogen tənliklər sistemləri

Burada X 1, X 2,…, X n - r – hər hansı əsas həllər sistemi,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r ixtiyari ədədlərdir.

Misal. (səh. 78)

Qeyri-homogen SLAE həlləri arasında əlaqə quraq (1) və müvafiq homojen SLAE (15)

Teorem 4. Qeyri-homogen sistemin (1) və uyğun bircins sistemin (15) hər hansı həllinin cəmi (1) sisteminin həllidir.

Sübut. Əgər c 1 ,…,c n (1) sisteminin həlli, d 1 ,…,d n isə (15) sisteminin həllidirsə, onda c naməlum ədədlərini hər hansı (məsələn, i-ci) tənliyinə əvəz etmək; sistemi (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , alırıq:

B i +0=b i h.t.d.

Teorem 5. Qeyri-bircins sistemin (1) iki ixtiyari həlli arasındakı fərq homojen sistemin (15) həllidir.

Sübut. Əgər c 1 ,…,c n və c 1 ,…,c n (1) sisteminin həllidirsə, onda c naməlum ədədlərini sistemin (1-ci) hər hansı (məsələn, i-ci) tənliyində əvəz etmək ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , alırıq:

B i -b i =0 p.t.d.

Sübut edilmiş teoremlərdən belə çıxır ki, n dəyişəni olan m xətti homogen tənliklər sisteminin ümumi həlli müvafiq bircins xətti tənliklər sisteminin (15) ümumi həllinin cəminə və müəyyən bir həllin ixtiyari nömrəsinə bərabərdir. bu sistem (15).

X neod. =X ümumi bir +X tez-tez dəfədən çox (22)

Qeyri-bircins sistemin xüsusi həlli kimi, düsturlarda c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j olarsa, alınan məhlulun qəbul edilməsi təbiidir. (a in)) j=1,2,…,r ((13) bütün c r +1 ,…,c n ədədlərini sıfıra bərabər qoyun, yəni.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Bu xüsusi həlli ümumi həllə əlavə etmək X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r müvafiq homojen sistem əldə edirik:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

İki dəyişənli iki tənlik sistemini nəzərdən keçirək:

əmsallardan ən azı biri olan a ij 0.

Həll etmək üçün birinci tənliyi 22-yə, ikincini isə (-a 12) vuraraq və onları əlavə etməklə x 2-ni aradan qaldırırıq: Birinci tənliyi (-a 21), ikincini isə 11-ə vurmaqla x 1-i aradan qaldırırıq. və onları əlavə edin: Mötərizədə göstərilən ifadə təyinedicidir

təyin edərək ,, onda sistem formasını alacaq:, yəni, əgər, onda sistemin unikal həlli var:,.

Əgər Δ=0, və (və ya), onda sistem uyğunsuzdur, çünki formasına endirilmişdir Əgər Δ=Δ 1 =Δ 2 =0 olarsa, sistem qeyri-müəyyəndir, çünki formada azaldılır