y 3x tərs funksiyası. Qarşılıqlı tərs funksiyalar, əsas təriflər, xassələr, qrafiklər. İntervalda tərs funksiyanın mövcudluğu və davamlılığı haqqında teoremin isbatı

Funksiya bir dəyişənin digərindən asılılığıdır. Funksiyalar cədvəl metodu, şifahi metod, qrafik metod və ya düsturdan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər.

Funksiyalar aşağıdakı növlərə bölünür:

Xətti funksiya
Kvadrat funksiya
Kub funksiyası
Triqonometrik funksiya
Güc funksiyası
Eksponensial funksiya
Loqarifmik funksiya

Funksiya Domeni D(y) y = f(x) funksiya tənliyinin sağ tərəfindəki ifadənin məna kəsb etdiyi x arqumentinin (müstəqil dəyişən x) bütün icazə verilən dəyərlərinin çoxluğudur. Başqa sözlə, bu, f(x) ifadəsinin məqbul dəyərlərinin diapazonudur.

y = f(x) funksiyasının qrafikindən onun tərif sahəsini tapmaq üçün OX oxu boyunca soldan sağa hərəkət edərək funksiya qrafikinin olduğu x dəyərlərinin bütün intervallarını yazmalısınız. mövcuddur.

E(y) funksiyasının qiymətlər dəsti y asılı dəyişənin ala biləcəyi bütün dəyərlər toplusudur.

y = f(x) funksiyasının qrafikindən onun qiymətlər dəstini tapmaq üçün OY oxu boyunca aşağıdan yuxarıya doğru hərəkət edərək y dəyərlərinin bütün intervallarını yazmalısınız. funksiya qrafiki mövcuddur.

Tərs funksiya- verilmiş y = f(x) funksiyasından alınan y=g(x) funksiyası, əgər x = f(y) münasibətindən y-i x vasitəsilə ifadə etsək.

Verilmiş y = f(x) funksiyasının tərsini tapmaq üçün sizə lazımdır:

y = f(x) münasibətində x-i y, y-ni x ilə əvəz edin: x = f(y).
Əldə edilən x=f(y) ifadəsində y-ni x ilə ifadə edin.

f(x) və g(x) funksiyaları qarşılıqlı tərsdir. Buna bir nümunə ilə baxaq

Tərs funksiyaların tapılmasına nümunələr:

f və g funksiyalarının oblastı və oblastı dəyişdirilir: f-nin oblastı g-nin, f-in oblastı isə g-nin oblastıdır.

Hər funksiya üçün tərsini təyin edə bilməzsiniz. Funksiyanın dönməzliyinin şərti onun monotonluğudur, yəni funksiya yalnız artmalı və ya yalnız azalmalıdır. Əgər funksiya bütün təyinetmə dairəsi üzrə monoton deyil, müəyyən intervalda monotondursa, onda onun tərs funksiyasını yalnız bu intervalda təyin etmək olar.

Qarşılıqlı tərs funksiyaların xassələri Qarşılıqlı tərs funksiyaların bəzi xassələrini qeyd edək. 1) Şəxsiyyətlər.

Qoy f Və g- qarşılıqlı tərs funksiyalar. Sonra: f(g(y)) = y Və g(f(x)) = x. 2) Tərif sahəsi.

Qoy f Və g– qarşılıqlı tərs funksiyalar. Funksiya Domeni f funksiya diapazonu ilə üst-üstə düşür g, və əksinə, funksiyanın diapazonu f funksiyanın təyini sahəsi ilə üst-üstə düşür g. 3) Monoton.

Qarşılıqlı tərs funksiyalardan biri artırsa, digəri də artır. Bənzər bir ifadə azalan funksiyalar üçün də doğrudur. 4) Qrafiklər.

Eyni koordinat sistemində qurulmuş qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri düz xəttə nisbətən bir-birinə simmetrikdir. y = x.

Funksiya qrafiklərinin çevrilmələri funksiyanın xətti çevrilmələridir y = f(x) və ya onun arqumenti x ağla y = af(kx + b) + m, həmçinin moduldan istifadə etməklə çevrilmə.

Funksiyanın qrafikini necə qurmağı bilmək y = f(x), Harada

funksiyasının qrafikini çəkə bilərsiniz y = af(kx + b) + m.

Qeydlər üçün suallar

Y = 0,5x - 4

Funksiya sahəsini tapın:

Bir funksiyanın cüt və ya tək olduğunu müəyyən edin:

Kəsr rasional tənliyini həll edin:

Bu funksiyanın tərsini tapın:

6f(-1) +3f(5) ifadəsinin qiymətini tapın, əgər

Nə vaxt problemlə qarşılaşmışıq verilmiş funksiya f və onun arqumentinin verilmiş qiyməti, bu nöqtədə funksiyanın qiymətini hesablamaq lazım idi. Ancaq bəzən tərs problemlə üzləşməli olursunuz: məlum f funksiyası və onun müəyyən dəyəri y verildikdə, funksiyanın verilmiş y qiymətini aldığı arqumentin qiymətini tapmaq.

Hər bir dəyərini təyinetmə sahəsində bir nöqtədə qəbul edən funksiyaya çevrilən funksiya deyilir. Məsələn, xətti funksiya olacaq çevrilə bilən funksiya. A kvadrat funksiya ya da sinus funksiyası çevrilən funksiyalar olmayacaq. Çünki funksiya müxtəlif arqumentlərlə eyni dəyəri ala bilər.

Tərs funksiya

Fərz edək ki, f hansısa ixtiyari tərs funksiyadır. y0 dəyərlərinin sahəsindən hər bir ədəd x0 tərif sahəsindən yalnız bir ədədə uyğundur, belə ki, f(x0) = y0.

İndi hər bir x0 dəyərini y0 dəyəri ilə əlaqələndirsək, yeni funksiya əldə edəcəyik. Məsələn, üçün xətti funksiya f(x) = k * x + b funksiyası g(x) = (x - b)/k tərs olacaq.

Bəzi funksiyalar varsa g hər nöqtədə X ters çevrilən f funksiyasının qiymət diapazonu elə bir dəyər alır ki, f(y) = x, onda funksiyanın g- f-ə tərs funksiya var.

Əgər bizə hansısa tərs funksiyanın qrafiki verilmişdirsə, onda tərs funksiyanın qrafikini qurmaq üçün aşağıdakı ifadədən istifadə edə bilərik: f funksiyasının qrafiki və onun tərs funksiyası g düzə nisbətən simmetrik olacaq. y = x tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt.

Əgər g funksiyası f funksiyasının tərsidirsə, g funksiyası inversilə funksiya olacaqdır. Və f funksiyası g funksiyasının tərsi olacaq. Adətən deyilir ki, iki f və g funksiyası bir-birinə qarşılıqlı tərsdir.

Aşağıdakı şəkildə f və g funksiyalarının bir-birinə tərs olan qrafikləri göstərilir.

Aşağıdakı teoremi əldə edək: əgər f funksiyası hansısa A intervalında artırsa (yaxud azalırsa), onda o, inversilədir. f funksiyasının qiymət diapazonunda müəyyən edilmiş tərs funksiya g də artan (və ya müvafiq olaraq azalan) funksiyadır. Bu teorem deyilir tərs funksiya teoremi.

Bir-birini tərsinə çevirən uyğun ifadələr. Bunun nə demək olduğunu başa düşmək üçün düşünməyə dəyər konkret misal. Tutaq ki, bizdə y = cos(x) var. Arqumentdən kosinusu götürsəniz, y-nin qiymətini tapa bilərsiniz. Aydındır ki, bunun üçün X olmalıdır. Bəs oyun əvvəlcə verilsəydi? Məsələ buradan gedir. Problemi həll etmək üçün tərs funksiyadan istifadə etmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə bu arkkosindir.

Bütün çevrilmələrdən sonra əldə edirik: x = arccos(y).

Yəni verilmiş funksiyaya tərs funksiya tapmaq üçün ondan sadəcə olaraq arqument ifadə etmək kifayətdir. Ancaq bu, yalnız nəticədə əldə edilən nəticənin bir mənası varsa işləyir (bu barədə daha sonra).

Ümumi şəkildə bu faktı belə yazmaq olar: f(x) = y, g(y) = x.

Tərif

Qoy f funksiyası X çoxluğu və oblastı Y çoxluğu olan funksiya olsun. O zaman, domenləri əks tapşırıqları yerinə yetirən g varsa, o zaman f inversilədir.

Üstəlik, bu halda g unikaldır, yəni bu xassəni qane edən tam bir funksiya var (çox yox, az deyil). Sonra tərs funksiya adlanır və yazılı şəkildə aşağıdakı kimi işarələnir: g(x) = f -1 (x).

Başqa sözlə desək, onları ikili əlaqə kimi də düşünmək olar. Reversibilite yalnız çoxluğun bir elementi digərindən bir qiymətə uyğun olduqda baş verir.

Tərs funksiya həmişə mövcud deyil. Bunun üçün hər bir element y є Y ən çox bir x є X-ə uyğun olmalıdır. Onda f birə bir və ya inyeksiya adlanır. Əgər f -1 Y-ə aiddirsə, onda bu çoxluğun hər bir elementi bəzi x ∈ X-ə uyğun olmalıdır. Bu xassə ilə funksiyalara surjectionlar deyilir. Y-nin f-nin şəkli olduğu tərifə uyğundur, lakin bu həmişə belə deyil. Tərs olmaq üçün funksiya həm inyeksiya, həm də suryeksiya olmalıdır. Belə ifadələrə bijeksiyalar deyilir.

Misal: kvadrat və kök funksiyaları

Funksiya üzərində müəyyən edilmişdir)