Tərs triqonometrik funksiyalar və onların xassələri. Onu bütün tərs triqonometrik funksiyalar baxımından ifadə edək. Tərs triqonometrik funksiyaların əsas əlaqələri
TO tərs triqonometrik funksiyalar Aşağıdakı 6 funksiyaya daxildir: arcsine , arkkosin , arktangent , arkotangent , qövsvari Və arccosecant .
Orijinal triqonometrik funksiyalar dövri olduğundan, tərs funksiyalar, ümumiyyətlə desək, olur polisemantik . İki dəyişən arasında tək-tək uyğunluğu təmin etmək üçün orijinal triqonometrik funksiyaların təyini sahələri yalnız onları nəzərə almaqla məhdudlaşdırılır. əsas filiallar . Məsələn, \(y = \sin x\) funksiyası yalnız \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\) intervalında nəzərə alınır. Bu intervalda tərs arksinüs funksiyası unikal şəkildə müəyyən edilir.
Arksinus funksiyası
\(a\) ədədinin qövsü (\(\arcsin a\) ilə işarələnir) \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) intervalında \(x\) bucağının qiymətidir. 2) \right]\), bunun üçün \(\sin x = a\). Tərs funksiya \(y = \arcsin x\) \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ nöqtəsində müəyyən edilir), onun dəyər diapazonu \(y \in \left[dir) ( - \pi / 2,\pi /2) \sağ]\).
Qövs kosinus funksiyası
\(a\) ədədinin arkkosinusu (\(\arccos a\) ilə işarələnir) \(\left[ (0,\pi) \right]\) intervalında \(x\) bucağının qiymətidir. , burada \(\cos x = a\). \(y = \arccos x\) tərs funksiyası \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ nöqtəsində müəyyən edilir, onun dəyər diapazonu \(y \in) seqmentinə aiddir. \left[ (0,\ pi)\right]\).
Arktangens funksiyası
Ədədin arktangensi a(\(\arctan a\) ilə işarələnir) açıq intervalda \(x\) bucağın qiymətidir \(\left((-\pi/2, \pi/2) \sağ)\), at hansı \(\tan x = a\). Tərs funksiya \(y = \arctan x\) hamı üçün müəyyən edilmişdir \(x \in \mathbb(R)\), arktangent diapazonu \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\sağ)\).
Qövs tangensi funksiyası
\(a\) ədədinin arkotangensi (\(\text(arccot) a\) ilə işarələnir) \(\left[ (0,\) açıq intervalda \(x\) bucağının qiymətidir. pi) \right]\), burada \(\cot x = a\). Tərs funksiya \(y = \text(arccot) x\) hamı üçün müəyyən edilir \(x \in \mathbb(R)\), onun dəyər diapazonu \(y \in\) intervalındadır. sol [ (0,\pi) \sağ]\).
Arksekant funksiyası
\(a\) ədədinin qövsəkanı (\(\text(arcsec ) a\) ilə işarələnir) \(\sec x = a\) olan \(x\) bucağının qiymətidir. \(y = \text(arcsec ) x\) tərs funksiyası \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) nöqtəsində müəyyən edilir. )\ ), onun dəyər diapazonu \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] çoxluğuna aiddir. \).
Arkkosensiya funksiyası
\(a\) ədədinin arkkosenti (\(\text(arccsc ) a\) və ya \(\text(arccosc ) a\)) \(\) olan \(x\) bucağının qiymətidir. csc x = a\). \(y = \text(arccsc ) x\) tərs funksiyası \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) nöqtəsində müəyyən edilir. )\ ), onun dəyərlərinin diapazonu çoxluğa aiddir \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).
Arksinus və arkkosin funksiyalarının əsas dəyərləri (dərəcə ilə)
| \(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
| \(\arccos x\) | \(180^\circ\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(0^\circ\) |
Arktangent və arkkotangent funksiyaların əsas dəyərləri (dərəcə ilə)
| \(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arctan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| \(\mətn(arccot) x\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) |
Dərslər 32-33. Tərs triqonometrik funksiyalar
09.07.2015 8495 0Hədəf: tərs triqonometrik funksiyaları və onlardan triqonometrik tənliklərin həlli üçün istifadəni nəzərdən keçirin.
I. Dərslərin mövzusunun və məqsədinin bildirilməsi
II. Yeni materialın öyrənilməsi
1. Tərs triqonometrik funksiyalar
Bu mövzu ilə bağlı müzakirəmizə aşağıdakı nümunə ilə başlayaq.
Misal 1
Tənliyi həll edək: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) Ordinat oxunda 1/2 qiymətini çəkirik və bucaqları qururuq x 1 və x2, bunun üçün günah x = 1/2. Bu halda x1 + x2 = π, buradan x2 = π – x 1 . Triqonometrik funksiyaların dəyər cədvəlindən istifadə edərək x1 = π/6 dəyərini tapırıq, sonra
Sinus funksiyasının dövriliyini nəzərə alaq və bu tənliyin həllərini yazaq:
burada k ∈ Z.
b) Aydındır ki, tənliyin həlli alqoritmi günah x = a əvvəlki paraqrafdakı kimidir. Təbii ki, indi a dəyəri ordinat oxu boyunca çəkilir. Bir şəkildə x1 bucağını təyin etməyə ehtiyac var. Bu bucağı simvolla qeyd etməyə razılaşdıq arcsin A. Sonra bu tənliyin həlli formada yazıla bilərBu iki formul bir formada birləşdirilə bilər: harada 
Qalan tərs triqonometrik funksiyalar oxşar şəkildə təqdim olunur.
Çox tez-tez bucağın böyüklüyünü onun triqonometrik funksiyasının məlum dəyərindən müəyyən etmək lazımdır. Belə bir problem çoxqiymətlidir - triqonometrik funksiyaları eyni qiymətə bərabər olan saysız-hesabsız bucaqlar var. Buna görə də, triqonometrik funksiyaların monotonluğuna əsaslanaraq, bucaqları unikal şəkildə təyin etmək üçün aşağıdakı tərs triqonometrik funksiyalar tətbiq edilir.
a sayının arksinusu (arksin , onun sinusu a-ya bərabərdir, yəni.
Ədədin qövs kosinusu a(arccos a) kosinusu a-a bərabər olan intervaldan a bucağıdır, yəni.
Ədədin arktangensi a (arctg a) - intervaldan belə a bucağıtangensi a-a bərabər olan, yəni.
tg a = a.
Ədədin arkotangensi a(arcctg a) kotangensi a-a bərabər olan (0; π) intervalından a bucağıdır, yəni. ctg a = a.
Misal 2
Tapaq:
Tərs triqonometrik funksiyaların təriflərini nəzərə alaraq əldə edirik:
Misal 3
Gəlin hesablayaq 
Qoy bucaq a = arcsin 3/5, sonra təriflə sin a = 3/5 və . Ona görə də tapmaq lazımdır cos A. Əsas triqonometrik eyniliyi istifadə edərək, əldə edirik:
Nəzərə alınır ki, cos a ≥ 0. Beləliklə, 
Funksiya xüsusiyyətləri | Funksiya |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arktan x | y = arcctg x |
|
Domen | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Dəyərlər diapazonu | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Paritet | Qəribə | Nə tək, nə də cüt | Qəribə | Nə tək, nə də cüt |
Funksiya sıfırları (y = 0) | x = 0-da | x = 1-də | x = 0-da | y ≠ 0 |
İşarənin sabitliyinin intervalları | x ∈ (0; 1] üçün y > 0, saat< 0 при х ∈ [-1; 0) | x ∈ [-1 üçün y > 0; 1) | x ∈ (0; +∞) üçün y > 0, saat< 0 при х ∈ (-∞; 0) | x ∈ üçün y > 0 (-∞; +∞) |
Monoton | Artan | Azalan | Artan | Azalan |
Triqonometrik funksiya ilə əlaqə | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Cədvəl | ||||
Tərs triqonometrik funksiyaların tərifləri və əsas xassələri ilə bağlı bir sıra daha tipik nümunələr verək.
Misal 4
Funksiyanın təyini oblastını tapaq
y funksiyasının təyin olunması üçün bərabərsizliyi təmin etmək lazımdır
bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir
Birinci bərabərsizliyin həlli x intervalıdır∈
(-∞; +∞), ikinci - Bu interval və bərabərsizliklər sisteminin həlli və buna görə də funksiyanın təyini sahəsidir
Misal 5
Funksiyanın dəyişmə sahəsini tapaq
Funksiyanın davranışını nəzərdən keçirək z = 2x - x2 (şəkilə bax).
Aydındır ki, z ∈ (-∞; 1]. Nəzərə alsaq ki, arqument z qövs kotangent funksiyası müəyyən edilmiş hədlər daxilində dəyişir, bunu əldə etdiyimiz cədvəl məlumatlarından
Beləliklə, dəyişiklik sahəsi
Misal 6
y = funksiyasının olduğunu sübut edək arctg x tək. Qoy
Sonra tg a = -x və ya x = - tg a = tg (- a), və 
Buna görə də - a = arctg x və ya a = - arctg X. Beləliklə, biz bunu görürükyəni y(x) tək funksiyadır.
Misal 7
Bütün tərs triqonometrik funksiyalar vasitəsilə ifadə edək
Qoy 
Aydındır ki 
Sonra o vaxtdan
Bucağı təqdim edək 
Çünki 
Bu 
Elə buna görə də 
Və 
Belə ki,
Misal 8
y = funksiyasının qrafikini quraq cos (arcsin x).
O zaman a = arcsin x işarə edək 
Nəzərə alaq ki, x = sin a və y = cos a, yəni x 2 + y2 = 1 və x-də məhdudiyyətlər (x∈
[-1; 1]) və y (y ≥ 0). Onda y = funksiyasının qrafiki cos(arcsin x) yarımdairədir.
Misal 9
y = funksiyasının qrafikini quraq arccos (cos x).
cos funksiyasından bəri x intervalında dəyişir [-1; 1], onda y funksiyası bütün ədədi oxda müəyyən edilir və seqmentdə dəyişir. Nəzərə alaq ki, y = arccos (cosx) seqmentdə = x; y funksiyası cüt və dövri 2π dövrü ilə. Nəzərə alsaq ki, funksiya bu xüsusiyyətlərə malikdir cos x İndi qrafik yaratmaq asandır.
Bəzi faydalı bərabərlikləri qeyd edək:
Misal 10
Funksiyanın ən kiçik və ən böyük qiymətlərini tapaq işarə edək 
Sonra 
Gəlin funksiyanı əldə edək 
Bu funksiyanın nöqtədə minimumu var z = π/4 və ona bərabərdir 
Funksiyanın ən böyük dəyəri nöqtədə əldə edilir z = -π/2 və bərabərdir 
Beləliklə, və
Misal 11
Gəlin tənliyi həll edək
Bunu nəzərə alaq 
Sonra tənlik belə görünür:
və ya 
harada Arktangentin tərifinə görə alırıq:
2. Sadə triqonometrik tənliklərin həlli
1-ci misalda olduğu kimi, siz ən sadə triqonometrik tənliklərin həllərini əldə edə bilərsiniz.
tənlik | Həll |
tgx = a | |
ctg x = a |
Misal 12
Gəlin tənliyi həll edək 
Sinus funksiyası tək olduğundan tənliyi formada yazırıq
Bu tənliyin həlli yolları:
hardan tapırıq? 
Misal 13
Gəlin tənliyi həll edək 
Verilmiş düsturdan istifadə edərək tənliyin həllərini yazırıq:
və tapacağıq 
Qeyd edək ki, xüsusi hallarda (a = 0; ±1) tənlikləri həll edərkən sin x = a və cos x = lakin istifadə etməmək daha asan və daha rahatdır ümumi düsturlar, və vahid dairə əsasında həlləri yazın:
sin x = 1 həll tənliyi üçün
tənliyi üçün sin x = 0 həllər x = π k;
sin x = -1 tənliyi üçün həll 
cos tənliyi üçün x = 1 həll x = 2π k ;
cos x = 0 tənliyi üçün həllər
cos x = -1 tənliyi üçün həll 
Misal 14
Gəlin tənliyi həll edək 
Bu misalda tənliyin xüsusi halı olduğundan, müvafiq düsturdan istifadə edərək həllini yazacağıq:
hardan tapa bilerik? 
III. Nəzarət sualları (frontal sorğu)
1. Tərs triqonometrik funksiyaların əsas xassələrini müəyyənləşdirin və sadalayın.
2. Tərs triqonometrik funksiyaların qrafiklərini verin.
3. Sadə triqonometrik tənliklərin həlli.
IV. Dərs tapşırığı
§ 15, № 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, № 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, № 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Ev tapşırığı
§ 15, № 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (q); 16 (b); 18 (c, d); 19 (q); 22;
§ 16, № 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, № 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).
VI. Yaradıcı tapşırıqlar
1. Funksiyanın oblastını tapın:
Cavablar:
2. Funksiyanın diapazonunu tapın:
Cavablar:
3. Funksiyanın qrafikini qurun:
VII. Dərslərin yekunlaşdırılması
Tərs triqonometrik funksiyalar- bunlar arksinus, arkkosin, arktangens və arkkotangensdir.
Əvvəlcə bəzi təriflər verək.
Arcsine Yaxud deyə bilərik ki, bu, sinusu a sayına bərabər olan seqmentə aid olan bucaqdır.
qövs kosinusu a sayı elə bir ədəd adlanır ki
Arktangent a sayı elə bir ədəd adlanır ki
Arkkotangent a sayı elə bir ədəd adlanır ki
Gəlin bizim üçün bu dörd yeni funksiya - tərs triqonometrik funksiyalar haqqında ətraflı danışaq.
Unutmayın, biz artıq görüşmüşük.
Məsələn, hesab Kvadrat kök a ədədindən kvadratı a-ya bərabər olan qeyri-mənfi ədəddir.
b ədədinin a əsası üçün loqarifmi elə c ədədidir ki
Harada
Biz başa düşürük ki, riyaziyyatçılar niyə yeni funksiyalar “icad etməli”dilər. Məsələn, tənliyin həlli və Biz onları xüsusi arifmetik kvadrat kök simvolu olmadan yaza bilməzdik.
Loqarifm anlayışı, məsələn, belə bir tənliyin həllərini yazmaq üçün lazım olduğu ortaya çıxdı: Bu tənliyin həlli irrasional ədəddir.Bu, 7-ni almaq üçün 2-nin artırılması lazım olan gücün göstəricisidir.
Triqonometrik tənliklərlə də eynidir. Məsələn, biz tənliyi həll etmək istəyirik
Aydındır ki, onun həlləri triqonometrik çevrənin ordinatı bərabər olan nöqtələrə uyğundur və aydındır ki, bu sinusun cədvəl qiyməti deyil. Həll yollarını necə yazmaq olar?
Burada sinusu verilmiş a ədədinə bərabər olan bucağı ifadə edən yeni funksiya olmadan edə bilmərik. Bəli, hər kəs artıq təxmin edib. Bu arksindir.
Sinusu bərabər olan seqmentə aid bucaq dörddə birinin arksinusudur. Və bu o deməkdir ki, triqonometrik dairənin düzgün nöqtəsinə uyğun gələn tənliyimizin həllər seriyası
Tənliyimiz üçün ikinci həll seriyası
Triqonometrik tənliklərin həlli haqqında daha çox məlumat əldə edin -.
Bunu öyrənmək qalır - niyə arcsinusun tərifi bunun seqmentə aid bir bucaq olduğunu göstərir?
Məsələ burasındadır ki, məsələn, sinusu bərabər olan sonsuz sayda bucaq var. Onlardan birini seçməliyik. Seqmentdə olanı seçirik.
Triqonometrik dairəyə nəzər salın. Görəcəksiniz ki, seqmentdə hər bir bucaq müəyyən sinus dəyərinə uyğundur və yalnız bir. Və əksinə, seqmentdən olan sinusun istənilən dəyəri seqmentdəki bucağın vahid dəyərinə uyğundur. Bu o deməkdir ki, bir seqmentdə -dən -ə qədər qiymət alan bir funksiya təyin edə bilərsiniz
Tərifi bir daha təkrarlayaq:
Ədədin arksinusu ədəddir , belə
Təyinat: Arcsine tərif sahəsi bir seqmentdir, dəyərlər diapazonu bir seqmentdir.
"Arcsines sağda yaşayır" ifadəsini xatırlaya bilərsiniz. Unutmayın ki, bu, yalnız sağda deyil, həm də seqmentdədir.
Biz funksiyanın qrafikini çəkməyə hazırıq
Həmişə olduğu kimi, x dəyərlərini üfüqi oxda və y dəyərlərini şaquli oxda çəkirik.
Ona görə də x -1-dən 1-ə qədər diapazonda yerləşir.
Bu o deməkdir ki, y = arcsin x funksiyasının təyin olunma oblastı seqmentdir
y seqmentinə aid olduğunu söylədik. Bu o deməkdir ki, y = arcsin x funksiyasının qiymət diapazonu seqmentdir.
Qeyd edək ki, y=arcsinx funksiyasının qrafiki tamamilə və xətlərlə məhdudlaşan sahəyə uyğundur.
Tanımadığı funksiyanın qrafikini tərtib edərkən həmişə olduğu kimi, cədvəldən başlayaq.
Tərifinə görə, sıfırın arksinusu, sinusu sıfıra bərabər olan seqmentdən bir ədəddir. Bu rəqəm nədir? - Aydındır ki, bu, sıfırdır.
Eynilə, birinin arksinusu, sinusu birə bərabər olan seqmentdən bir ədəddir. Aydındır ki, bu
Davam edirik: - bu, sinusu bərabər olan seqmentdən bir ədəddir. Bəli
| 0 | |||||
| 0 |
Funksiya qrafikinin qurulması
Funksiya xüsusiyyətləri
1. Tərifin əhatə dairəsi
2. Dəyərlər diapazonu
3., yəni bu funksiya təkdir. Onun qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
4. Funksiya monoton şəkildə artır. Onun --ə bərabər olan minimum dəyəri --a, ən böyük dəyəri isə --ə bərabərdir
5. Funksiyaların qrafikləri nədən ibarətdir və ? Sizə elə gəlmirmi ki, onlar "eyni nümunəyə görə yaradılmışlar" - eynilə funksiyanın sağ qolu və funksiyanın qrafiki kimi, yoxsa eksponensial və loqarifmik funksiyaların qrafikləri kimi?
Təsəvvür edin ki, biz adi sinus dalğasından kiçik bir fraqmenti kəsdik və sonra onu şaquli olaraq çevirdik - və bir arcsine qrafiki alacağıq.
Bu intervaldakı bir funksiya üçün arqumentin dəyərləri nədirsə, arksinusu üçün funksiyanın dəyərləri olacaqdır. Belə də olmalıdır! Axı, sinus və arksinus - qarşılıqlı funksiyalar. Qarşılıqlı tərs funksiya cütlərinin digər nümunələri at və , həmçinin eksponensial və loqarifmik funksiyalardır.
Xatırladaq ki, qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri düz xəttə nisbətən simmetrikdir.
Eynilə, biz funksiyanı təyin edirik.Bizə yalnız hər bir bucaq dəyərinin öz kosinus dəyərinə uyğun olduğu bir seqment lazımdır və kosinusu bilməklə bucağı unikal şəkildə tapa bilərik. Bir seqment bizə uyğun olacaq
Ədədin qövs kosinusu ədəddir , belə
Xatırlamaq asandır: "qövs kosinusları yuxarıdan yaşayır" və yalnız yuxarıdan deyil, seqmentdə
Təyinat: Qövs kosinusunun tərif sahəsi bir seqmentdir, dəyərlər diapazonu bir seqmentdir.
Aydındır ki, seqment ona görə seçilmişdir ki, orada hər bir kosinus dəyəri yalnız bir dəfə alınır. Başqa sözlə, -1-dən 1-ə qədər hər bir kosinus dəyəri intervaldan bir bucaq dəyərinə uyğundur
Qövs kosinusu nə hətta, nə də qəribə funksiya. Ancaq aşağıdakı açıq əlaqədən istifadə edə bilərik:
Funksiyanın qrafikini çəkək
Bizə funksiyanın monoton olduğu bir bölmə lazımdır, yəni hər bir dəyəri bir dəfə alır.
Bir seqment seçək. Bu seqmentdə funksiya monoton şəkildə azalır, yəni çoxluqlar arasında uyğunluq bir-birdir. Hər bir x dəyərinin müvafiq y dəyəri var. Bu seqmentdə kosinusa tərs funksiya, yəni y = arccosx funksiyası var.
Qövs kosinusunun tərifindən istifadə edərək cədvəli dolduraq.
İntervalına aid olan x ədədinin qövs kosinusu elə intervala aid y ədədi olacaq ki
Bu o deməkdir ki, çünki ;
Çünki ;
Çünki,
Çünki,
| 0 | |||||
| 0 |
Budur qövs kosinus qrafiki:
Funksiya xüsusiyyətləri
1. Tərifin əhatə dairəsi
2. Dəyərlər diapazonu
Bu funksiya ümumi formadadır - o, nə cüt, nə də tək deyil.
4. Funksiya ciddi şəkildə azalır. y = arccosx funksiyası , -ə bərabər olan ən böyük dəyərini, sıfıra bərabər olan ən kiçik qiymətini isə -də alır.
5. Funksiyaları və bir-biri ilə tərsdir.
Sonrakılar arktangens və arktangensdir.
Ədədin arktangenti ədəddir , belə
Təyinat: . Arktangensin təyini sahəsi intervaldır, dəyərlərin sahəsi isə intervaldır.
Arktangensin tərifində nə üçün intervalın ucları - nöqtələr xaric edilir? Təbii ki, bu nöqtələrdə tangens müəyyən edilmədiyi üçün. Bu bucaqların heç birinin tangensinə bərabər a sayı yoxdur.
Arktangentin qrafikini quraq. Tərifə görə, x ədədinin arktangensi elə intervala aid olan y ədədidir ki
Qrafikin necə qurulacağı artıq aydındır. Arktangent funksiya olduğundan tangensin qarşılığı, biz aşağıdakı kimi davam edirik:
Funksiya qrafikinin x və y arasında uyğunluğun bir-bir olduğu bölməsini seçirik. Bu, C intervalıdır. Bu bölmədə funksiya -dən -ə qədər olan dəyərləri götürür
Sonra var tərs funksiya, yəni funksiya, domen, tərif bütöv ədəd xətti olacaq və qiymətlər diapazonu interval olacaq.
O deməkdir ki,
O deməkdir ki,
O deməkdir ki,
Bəs sonsuz böyük x dəyərləri üçün nə baş verir? Başqa sözlə, bu funksiya x üstəgəl sonsuzluğa meyl etdiyi üçün necə davranır?
Özümüzə sual verə bilərik: intervalda hansı ədəd üçün tangens dəyəri sonsuzluğa meyllidir? - Aydındır ki, bu
Bu o deməkdir ki, sonsuz böyük x dəyərləri üçün arktangens qrafiki üfüqi asimptota yaxınlaşır.
Eynilə, əgər x mənfi sonsuzluğa yaxınlaşırsa, arktangens qrafiki üfüqi asimptota yaxınlaşır.
Şəkildə funksiyanın qrafiki göstərilir
Funksiya xüsusiyyətləri
1. Tərifin əhatə dairəsi
2. Dəyərlər diapazonu
3. Funksiya təkdir.
4. Funksiya ciddi şəkildə artır.
6. Funksiyalar və qarşılıqlı tərsdir - təbii ki, funksiya intervalda nəzərə alındıqda
Eynilə, tərs tangens funksiyasını təyin edirik və onun qrafikini çəkirik.
Ədədin arkotangenti ədəddir , belə
Funksiya qrafiki:
Funksiya xüsusiyyətləri
1. Tərifin əhatə dairəsi
2. Dəyərlər diapazonu
3. Funksiya ümumi formadadır, yəni nə cüt, nə də tək deyil.
4. Funksiya ciddi şəkildə azalır.
5. Bu funksiyanın birbaşa və - üfüqi asimptotları.
6. və funksiyaları intervalda nəzərə alınarsa, qarşılıqlı tərsdir
Tərif və qeyd
Arksinüs (y = arcsin x) sinusun tərs funksiyasıdır (x = günahkar -1 ≤ x ≤ 1 və dəyərlər çoxluğu -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arcsine bəzən aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Arksinus funksiyasının qrafiki
y = funksiyasının qrafiki arcsin x
Sinus qrafikindən absis və ordinat oxları dəyişdirilərsə, arksinus qrafiki alınır. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün dəyərlər diapazonu funksiyanın monoton olduğu intervalla məhdudlaşır. Bu tərif arcsinusun əsas dəyəri adlanır.
Arkkosin, arkkos
Tərif və qeyd
Qövs kosinusu (y = arccos x) kosinusun tərs funksiyasıdır (x = cos y). Onun əhatə dairəsi var -1 ≤ x ≤ 1 və bir çox mənalar 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos (cos x) = x .
Arkkosin bəzən aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Qövs kosinus funksiyasının qrafiki
y = funksiyasının qrafiki arccos x
Kosinus qrafikindən absis və ordinat oxları dəyişdirilərsə, qövs kosinus qrafiki alınır. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün dəyərlər diapazonu funksiyanın monoton olduğu intervalla məhdudlaşır. Bu tərif qövs kosinusunun əsas dəyəri adlanır.
Paritet
Arcsine funksiyası qəribədir:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Qövs kosinusu funksiyası cüt və ya tək deyil:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Xüsusiyyətlər - ekstremal, artım, azalma
Arksinüs və arkkosin funksiyaları tərif sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Arksin və arkkosinin əsas xassələri cədvəldə verilmişdir.
| y= arcsin x | y= arccos x | |
| Əhatə dairəsi və davamlılıq | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Dəyərlər diapazonu | ||
| Artan, enən | monoton şəkildə artır | monoton şəkildə azalır |
| Yüksəklər | ||
| Minimumlar | ||
| Sıfırlar, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Arksinuslar və arksinuslar cədvəli
Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün arcsines və arccosines dəyərlərini dərəcə və radyanla təqdim edir.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| dolu | sevindim. | dolu | sevindim. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formulalar
Həmçinin bax: Tərs triqonometrik funksiyalar üçün düsturların çıxarılmasıCəm və fərq düsturları
və ya
və
və
və ya
və
və
saat
saat
saat
saat
Loqarifmlər vasitəsilə ifadələr, kompleks ədədlər
Həmçinin bax: Düsturların çıxarılmasıHiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr
Törəmələri
;
.
Arksin və arkkosin törəmələrinin törəmələrinə baxın > > >
Daha yüksək dərəcəli törəmələr:
,
dərəcə polinomu haradadır. Düsturlarla müəyyən edilir:
;
;
.
Arksinus və arkkosinin yüksək dərəcəli törəmələrinin törəmələrinə baxın > > >
İnteqrallar
X = əvəzini edirik günah t. -π/ olduğunu nəzərə alaraq hissələrə görə inteqrasiya edirik. 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Qövs kosinüsünü qövs sinüsü ilə ifadə edək:
.
Serialın genişləndirilməsi
Zaman |x|< 1
aşağıdakı parçalanma baş verir:
;
.
Tərs funksiyalar
Arksinus və arkkosinin tərsləri müvafiq olaraq sinus və kosinusdur.
Aşağıdakı düsturlar bütün tərif sahəsi üçün etibarlıdır:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Aşağıdakı düsturlar yalnız arksinüs və arkkosin dəyərlərinin çoxluğunda etibarlıdır:
arcsin(sin x) = x saat
arccos (cos x) = x at.
İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.
Tərs kosinus funksiyası
y=cos x funksiyasının qiymət diapazonu (bax Şəkil 2) seqmentdir. Seqmentdə funksiya davamlıdır və monoton şəkildə azalır.
düyü. 2
Bu o deməkdir ki, seqmentdə y=cos x funksiyasına tərs olan funksiya müəyyən edilmişdir. Bu tərs funksiya qövs kosinusu adlanır və y=arccos x ilə işarələnir.
Tərif
a ədədinin arkkosinusu, əgər |a|1, kosinusu seqmentə aid olan bucaqdır; arccos a ilə işarələnir.
Beləliklə, a arccos a aşağıdakı iki şərti ödəyən bucaqdır: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
Məsələn, arccos, çünki cos və; arccos, çünki cos və.
y = arccos x funksiyası (Şəkil 3) seqmentdə müəyyən edilmişdir, onun qiymət diapazonu seqmentdir. Seqmentdə y=arccos x funksiyası davamlıdır və monoton şəkildə p-dən 0-a qədər azalır (çünki y=cos x seqmentdə davamlı və monoton azalan funksiyadır); seqmentin uclarında öz ekstremal qiymətlərinə çatır: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Qeyd edək ki, arccos 0 = . y = arccos x funksiyasının qrafiki (şək. 3-ə bax) y=x düz xəttinə nisbətən y = cos x funksiyasının qrafikinə simmetrikdir.
düyü. 3
arccos(-x) = p-arccos x bərabərliyinin yerinə yetirildiyini göstərək.
Əslində, tərifə görə 0? arccos x? R. Sonuncunun bütün hissələrini (-1) ilə vurmaq ikiqat bərabərsizlik, biz almaq - p? arccos x? 0. Axırıncı bərabərsizliyin bütün hissələrinə p əlavə etdikdə tapırıq ki, 0? p-arccos x? R.
Beləliklə, arccos(-x) və p - arccos x bucaqlarının qiymətləri eyni seqmentə aiddir. Seqmentdə kosinus monoton şəkildə azaldığından, onun üzərində bərabər kosinuslara malik iki fərqli bucaq ola bilməz. arccos(-x) və p-arccos x bucaqlarının kosinuslarını tapaq. Tərifinə görə cos (arccos x) = - x, azalma düsturlarına görə və tərifinə görə bizdə: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Deməli, bucaqların kosinusları bərabərdir, yəni bucaqların özləri bərabərdir.
Tərs sinus funksiyası
[-р/2;р/2] seqmentində artan, davamlı və [-1 seqmentindən qiymətlər alan y=sin x funksiyasını (şək. 6) nəzərdən keçirək; 1]. Bu o deməkdir ki, seqmentdə [- p/2; p/2] y=sin x funksiyasının tərs funksiyası müəyyən edilmişdir.
düyü. 6
Bu tərs funksiya arcsinus adlanır və y=arcsin x ilə işarələnir. Ədədin arksinüsünün tərifini təqdim edək.
Ədədin qövs sinusu a sayına bərabər olan və [-р/2] seqmentinə aid olan bucaq (və ya qövs); p/2]; arcsin a ilə işarələnir.
Beləliklə, arcsin a aşağıdakı şərtləri ödəyən bucaqdır: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin ha? r/2. Məsələn, sin və [- p/2; p/2]; arcsin, çünki sin = u [- p/2; p/2].
[- 1 seqmentində y=arcsin x funksiyası (şək. 7) müəyyən edilmişdir; 1], onun dəyərlərinin diapazonu [-р/2;р/2] seqmentidir. Seqmentdə [- 1; 1] y=arcsin x funksiyası fasiləsizdir və monoton şəkildə -p/2-dən p/2-ə qədər artır (bu, [-p/2; p/2] seqmentində y=sin x funksiyasının fasiləsiz olmasından irəli gəlir. və monoton şəkildə artır). Ən böyük dəyəri x = 1-də alır: arcsin 1 = p/2, ən kiçik dəyəri isə x = -1: arcsin (-1) = -p/2. x = 0-da funksiya sıfırdır: arcsin 0 = 0.
Göstərək ki, y = arcsin x funksiyası təkdir, yəni. arcsin(-x) = - arcsin x istənilən x üçün [ - 1; 1].
Həqiqətən, tərifə görə, əgər |x| ?1, bizdə: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Beləliklə, arcsin(-x) və bucaqları - arcsin x eyni seqmentə aiddir [ - p/2; p/2].
Gəlin bunların sinuslarını tapaq bucaqlar: sin (arcsin(-x)) = - x (tərifinə görə); y=sin x funksiyası tək olduğundan, sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Deməli, eyni intervala aid olan bucaqların sinusları [-р/2; p/2], bərabərdir, yəni bucaqların özləri bərabərdir, yəni. arcsin (-x)= - arcsin x. Bu o deməkdir ki, y=arcsin x funksiyası təkdir. y=arcsin x funksiyasının qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
Göstərək ki, istənilən x [-р/2 üçün arcsin (sin x) = x; p/2].
Həqiqətən, tərifə görə -p/2? arcsin (sin x) ? p/2 və şərtlə -p/2? x? r/2. Bu o deməkdir ki, x və arcsin (sin x) bucaqları y=sin x funksiyasının eyni monotonluq intervalına aiddir. Belə bucaqların sinusları bərabərdirsə, bucaqların özləri də bərabərdir. Bu bucaqların sinuslarını tapaq: x bucağı üçün sin x, arcsin (sin x) üçün sin (arcsin(sin x)) = sin x var. Biz tapdıq ki, bucaqların sinusları bərabərdir, buna görə də bucaqlar bərabərdir, yəni. arcsin(sin x) = x. .
düyü. 7
düyü. 8
arcsin (sin|x|) funksiyasının qrafiki y=arcsin (sin x) qrafikindən modul ilə əlaqəli adi çevrilmələrlə alınır (şəkil 8-də kəsikli xətt ilə göstərilmişdir). İstənilən y=arcsin (sin |x-/4|) qrafiki ondan x oxu boyunca /4 sağa sürüşdürülməklə alınır (şəkil 8-də bərk xətt kimi göstərilir)
Tangensin tərs funksiyası
İntervaldakı y=tg x funksiyası hər şeyi qəbul edir rəqəmli dəyərlər: E (tg x)=. Bu intervalda o, davamlıdır və monoton şəkildə artır. Bu o deməkdir ki, intervalda y = tan x funksiyasına tərs olan funksiya müəyyən edilmişdir. Bu tərs funksiyaya arktangent deyilir və y = arktan x ilə işarələnir.
a-nın arktangensi, tangensi a-ya bərabər olan intervaldan bucaqdır. Beləliklə, arctg a aşağıdakı şərtləri ödəyən bucaqdır: tg (arctg a) = a və 0? arctg a? R.
Deməli, istənilən x ədədi həmişə y = arktan x funksiyasının vahid qiymətinə uyğun gəlir (şək. 9).
Aydındır ki, D (arctg x) = , E (arctg x) = .
y = arctan x funksiyası artır, çünki y = tan x funksiyası intervalda artır. Sübut etmək çətin deyil ki, arctg(-x) = - arctgx, yəni. o arktangent tək funksiyadır.
düyü. 9
y = arctan x funksiyasının qrafiki y = tan x funksiyasının qrafikinə y = x düz xəttinə nisbətən simmetrikdir, y = arctan x qrafiki koordinatların başlanğıcından keçir (arktan 0 = 0 olduğundan) və mənşəyə nisbətən simmetrikdir (tək funksiyanın qrafiki kimi).
Sübut edilə bilər ki, arktan (tan x) = x əgər x.
Kotangent tərs funksiya
İntervaldakı y = ctg x funksiyası intervaldan bütün rəqəmli dəyərləri alır. Onun dəyərlərinin diapazonu bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu ilə üst-üstə düşür. İntervalda y = çarpayı x funksiyası davamlıdır və monoton şəkildə artır. Bu o deməkdir ki, bu intervalda y = cot x funksiyasına tərs olan funksiya müəyyən edilir. Kotangensin tərs funksiyası arkkotangens adlanır və y = arcctg x ilə işarələnir.
a-nın qövs kotangensi kotangensi a-ya bərabər olan intervala aid olan bucaqdır.
Beləliklə, arcctg a aşağıdakı şərtləri ödəyən bucaqdır: ctg (arcctg a)=a və 0? arcctg a? R.
Tərs funksiyanın tərifindən və arktangentin tərifindən belə çıxır ki, D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Qövs kotangenti azalan funksiyadır, çünki y = ctg x funksiyası intervalda azalır.
y = arcctg x funksiyasının qrafiki Ox oxunu kəsmir, çünki y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 = üçün.
y = arcctg x funksiyasının qrafiki Şəkil 11-də göstərilmişdir.
düyü. 11
Qeyd edək ki, x-in bütün real dəyərləri üçün eynilik doğrudur: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Yüklənir...