Ters tangens. Tərs triqonometrik funksiyalar. Tərs triqonometrik funksiyaların əsas əlaqələri

Tərif və qeyd

Arksinüs (y = arcsin x) sinusun tərs funksiyasıdır (x = günahkar -1 ≤ x ≤ 1 və dəyərlər çoxluğu -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsine bəzən aşağıdakı kimi işarələnir:
.

Arksinus funksiyasının qrafiki

y = funksiyasının qrafiki arcsin x

Sinus qrafikindən absis və ordinat oxları dəyişdirilərsə, arksinus qrafiki alınır. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün dəyərlər diapazonu funksiyanın monoton olduğu intervalla məhdudlaşır. Bu tərif arcsinusun əsas dəyəri adlanır.

Arkkosin, arkkos

Tərif və qeyd

Qövs kosinusu (y = arccos x) kosinusun tərs funksiyasıdır (x = cos y). Onun əhatə dairəsi var -1 ≤ x ≤ 1 və bir çox mənalar 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos (cos x) = x .

Arkkosin bəzən aşağıdakı kimi işarələnir:
.

Qövs kosinus funksiyasının qrafiki

y = funksiyasının qrafiki arccos x

Kosinus qrafikindən absis və ordinat oxları dəyişdirilərsə, qövs kosinus qrafiki alınır. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün dəyərlər diapazonu funksiyanın monoton olduğu intervalla məhdudlaşır. Bu tərif qövs kosinusunun əsas dəyəri adlanır.

Paritet

Arcsine funksiyası qəribədir:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Qövs kosinusu funksiyası cüt və ya tək deyil:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Xüsusiyyətlər - ekstremal, artım, azalma

Arksinüs və arkkosin funksiyaları tərif sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Arksin və arkkosinin əsas xassələri cədvəldə verilmişdir.

	y= arcsin x	y= arccos x
Əhatə dairəsi və davamlılıq	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Dəyərlər diapazonu
Artan, enən	monoton şəkildə artır	monoton şəkildə azalır
Yüksəklər
Minimumlar
Sıfırlar, y = 0	x = 0	x = 1
Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Arksinuslar və arksinuslar cədvəli

Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün arcsines və arccosines dəyərlərini dərəcə və radyanla təqdim edir.

x	arcsin x		arccos x
	dolu	sevindim.	dolu	sevindim.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulalar

Həmçinin bax: Tərs triqonometrik funksiyalar üçün düsturların çıxarılması

Cəm və fərq düsturları

və ya

və

və

saat

saat

Loqarifmlər vasitəsilə ifadələr, kompleks ədədlər

Həmçinin bax: Düsturların çıxarılması

Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

Törəmələri

;
.
Arksin və arkkosin törəmələrinin törəmələrinə baxın > > >

Daha yüksək dərəcəli törəmələr:
,
dərəcə polinomu haradadır. Düsturlarla müəyyən edilir:
;
;
.

Arksinus və arkkosinin yüksək dərəcəli törəmələrinin törəmələrinə baxın > > >

İnteqrallar

X = əvəzini edirik günah t. -π/ olduğunu nəzərə alaraq hissələrə görə inteqrasiya edirik. 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Qövs kosinüsünü qövs sinüsü ilə ifadə edək:
.

Serialın genişləndirilməsi

Zaman |x|< 1 aşağıdakı parçalanma baş verir:
;
.

Tərs funksiyalar

Arksinus və arkkosinin tərsləri müvafiq olaraq sinus və kosinusdur.

Aşağıdakı düsturlar bütün tərif sahəsi üçün etibarlıdır:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Aşağıdakı düsturlar yalnız arksinüs və arkkosin dəyərlərinin çoxluğunda etibarlıdır:
arcsin(sin x) = x saat
arccos (cos x) = x at.

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

Həmçinin bax:

Tərs kosinus funksiyası

y=cos x funksiyasının qiymət diapazonu (bax Şəkil 2) seqmentdir. Seqmentdə funksiya davamlıdır və monoton şəkildə azalır.

düyü. 2

Bu o deməkdir ki, seqmentdə y=cos x funksiyasına tərs olan funksiya müəyyən edilmişdir. Bu tərs funksiya qövs kosinusu adlanır və y=arccos x ilə işarələnir.

Tərif

a ədədinin arkkosinusu, əgər |a|1, kosinusu seqmentə aid olan bucaqdır; arccos a ilə işarələnir.

Beləliklə, a arccos a aşağıdakı iki şərti ödəyən bucaqdır: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Məsələn, arccos, çünki cos və; arccos, çünki cos və.

y = arccos x funksiyası (Şəkil 3) seqmentdə müəyyən edilmişdir, onun qiymət diapazonu seqmentdir. Seqmentdə y=arccos x funksiyası davamlıdır və monoton şəkildə p-dən 0-a qədər azalır (çünki y=cos x seqmentdə davamlı və monoton azalan funksiyadır); seqmentin uclarında öz ekstremal qiymətlərinə çatır: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Qeyd edək ki, arccos 0 = . y = arccos x funksiyasının qrafiki (şək. 3-ə bax) y=x düz xəttinə nisbətən y = cos x funksiyasının qrafikinə simmetrikdir.

düyü. 3

arccos(-x) = p-arccos x bərabərliyinin yerinə yetirildiyini göstərək.

Əslində, tərifə görə 0? arccos x? R. Sonuncunun bütün hissələrini (-1) ilə vurmaq ikiqat bərabərsizlik, biz almaq - p? arccos x? 0. Axırıncı bərabərsizliyin bütün hissələrinə p əlavə etdikdə tapırıq ki, 0? p-arccos x? R.

Beləliklə, arccos(-x) və p - arccos x bucaqlarının qiymətləri eyni seqmentə aiddir. Seqmentdə kosinus monoton şəkildə azaldığından, onun üzərində bərabər kosinuslara malik iki fərqli bucaq ola bilməz. arccos(-x) və p-arccos x bucaqlarının kosinuslarını tapaq. Tərifinə görə cos (arccos x) = - x, azalma düsturlarına görə və tərifinə görə bizdə: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Deməli, bucaqların kosinusları bərabərdir, yəni bucaqların özləri bərabərdir.

Tərs sinus funksiyası

[-р/2;р/2] seqmentində artan, davamlı və [-1 seqmentindən qiymətlər alan y=sin x funksiyasını (şək. 6) nəzərdən keçirək; 1]. Bu o deməkdir ki, seqmentdə [- p/2; p/2] y=sin x funksiyasının tərs funksiyası müəyyən edilmişdir.

düyü. 6

Bu tərs funksiya arcsinus adlanır və y=arcsin x ilə işarələnir. Ədədin arksinüsünün tərifini təqdim edək.

Ədədin qövs sinusu a sayına bərabər olan və [-р/2] seqmentinə aid olan bucaq (və ya qövs); p/2]; arcsin a ilə işarələnir.

Beləliklə, arcsin a aşağıdakı şərtləri ödəyən bucaqdır: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin ha? r/2. Məsələn, sin və [- p/2; p/2]; arcsin, çünki sin = u [- p/2; p/2].

[- 1 seqmentində y=arcsin x funksiyası (şək. 7) müəyyən edilmişdir; 1], onun dəyərlərinin diapazonu [-р/2;р/2] seqmentidir. Seqmentdə [- 1; 1] y=arcsin x funksiyası fasiləsizdir və monoton şəkildə -p/2-dən p/2-ə qədər artır (bu, [-p/2; p/2] seqmentində y=sin x funksiyasının fasiləsiz olmasından irəli gəlir. və monoton şəkildə artır). Ən böyük dəyəri x = 1-də alır: arcsin 1 = p/2, ən kiçik dəyəri isə x = -1: arcsin (-1) = -p/2. x = 0-da funksiya sıfırdır: arcsin 0 = 0.

Göstərək ki, y = arcsin x funksiyası təkdir, yəni. arcsin(-x) = - arcsin x istənilən x üçün [ - 1; 1].

Həqiqətən, tərifə görə, əgər |x| ?1, bizdə: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Beləliklə, arcsin(-x) və bucaqları - arcsin x eyni seqmentə aiddir [ - p/2; p/2].

Gəlin bunların sinuslarını tapaq bucaqlar: sin (arcsin(-x)) = - x (tərifinə görə); y=sin x funksiyası tək olduğundan, sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Deməli, eyni intervala aid olan bucaqların sinusları [-р/2; p/2], bərabərdir, yəni bucaqların özləri bərabərdir, yəni. arcsin (-x)= - arcsin x. Bu o deməkdir ki, y=arcsin x funksiyası təkdir. y=arcsin x funksiyasının qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.

Göstərək ki, istənilən x [-р/2 üçün arcsin (sin x) = x; p/2].

Həqiqətən, tərifə görə -p/2? arcsin (sin x) ? p/2 və şərtlə -p/2? x? r/2. Bu o deməkdir ki, x və arcsin (sin x) bucaqları y=sin x funksiyasının eyni monotonluq intervalına aiddir. Belə bucaqların sinusları bərabərdirsə, bucaqların özləri də bərabərdir. Bu bucaqların sinuslarını tapaq: x bucağı üçün sin x, arcsin (sin x) üçün sin (arcsin(sin x)) = sin x var. Biz tapdıq ki, bucaqların sinusları bərabərdir, buna görə də bucaqlar bərabərdir, yəni. arcsin(sin x) = x. .

düyü. 7

düyü. 8

arcsin (sin|x|) funksiyasının qrafiki y=arcsin (sin x) qrafikindən modul ilə əlaqəli adi çevrilmələrlə alınır (şəkil 8-də kəsikli xətt ilə göstərilmişdir). İstənilən y=arcsin (sin |x-/4|) qrafiki ondan x oxu boyunca /4 sağa sürüşdürülməklə alınır (şəkil 8-də bərk xətt kimi göstərilir)

Tangensin tərs funksiyası

İntervaldakı y=tg x funksiyası hər şeyi qəbul edir rəqəmli dəyərlər: E (tg x)=. Bu intervalda o, davamlıdır və monoton şəkildə artır. Bu o deməkdir ki, intervalda y = tan x funksiyasına tərs olan funksiya müəyyən edilmişdir. Bu tərs funksiyaya arktangent deyilir və y = arktan x ilə işarələnir.

a-nın arktangensi, tangensi a-ya bərabər olan intervaldan bucaqdır. Beləliklə, arctg a aşağıdakı şərtləri ödəyən bucaqdır: tg (arctg a) = a və 0? arctg a? R.

Deməli, istənilən x ədədi həmişə y = arktan x funksiyasının vahid qiymətinə uyğun gəlir (şək. 9).

Aydındır ki, D (arctg x) = , E (arctg x) = .

y = arctan x funksiyası artır, çünki y = tan x funksiyası intervalda artır. Sübut etmək çətin deyil ki, arctg(-x) = - arctgx, yəni. o arktangent tək funksiyadır.

düyü. 9

y = arctan x funksiyasının qrafiki y = tan x funksiyasının qrafikinə y = x düz xəttinə nisbətən simmetrikdir, y = arctan x qrafiki koordinatların başlanğıcından keçir (arktan 0 = 0 olduğundan) və mənşəyə nisbətən simmetrikdir (tək funksiyanın qrafiki kimi).

Sübut edilə bilər ki, arktan (tan x) = x əgər x.

Kotangent tərs funksiya

İntervaldakı y = ctg x funksiyası intervaldan bütün rəqəmli dəyərləri alır. Onun dəyərlərinin diapazonu bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu ilə üst-üstə düşür. İntervalda y = çarpayı x funksiyası davamlıdır və monoton şəkildə artır. Bu o deməkdir ki, bu intervalda y = cot x funksiyasına tərs olan funksiya müəyyən edilir. Kotangensin tərs funksiyası arkkotangens adlanır və y = arcctg x ilə işarələnir.

a-nın qövs kotangensi kotangensi a-ya bərabər olan intervala aid olan bucaqdır.

Beləliklə, arcctg a aşağıdakı şərtləri ödəyən bucaqdır: ctg (arcctg a)=a və 0? arcctg a? R.

Tərs funksiyanın tərifindən və arktangentin tərifindən belə çıxır ki, D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Qövs kotangenti azalan funksiyadır, çünki y = ctg x funksiyası intervalda azalır.

y = arcctg x funksiyasının qrafiki Ox oxunu kəsmir, çünki y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 = üçün.

y = arcctg x funksiyasının qrafiki Şəkil 11-də göstərilmişdir.

düyü. 11

Qeyd edək ki, x-in bütün real dəyərləri üçün eynilik doğrudur: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Tərs triqonometrik funksiyalar riyazi funksiyalar triqonometrik funksiyaların tərsləri olan .

y=arcsin(x) funksiyası

α ədədinin qövs sinusu α-ya bərabər olan [-π/2;π/2] intervalından α ədədidir.
Funksiya qrafiki
[-π/2;π/2] intervalında u= sin⁡(x) funksiyası ciddi şəkildə artan və davamlıdır; ona görə də tərs funksiyaya malikdir, ciddi şəkildə artan və davamlıdır.
x ∈[-π/2;π/2] olan y= sin⁡(x) funksiyası üçün tərs funksiya arksinusu adlanır və y=arcsin(x) ilə işarələnir, burada x∈[-1;1 ].
Beləliklə, tərs funksiyanın tərifinə görə, arcsinusun təyinetmə sahəsi [-1;1] seqmentidir, qiymətlər çoxluğu isə [-π/2;π/2] seqmentidir.
Qeyd edək ki, x ∈[-1;1] olan y=arcsin(x) funksiyasının qrafiki y= sin(⁡x) funksiyasının qrafikinə simmetrikdir, burada x∈[-π/2;π /2], birinci və üçüncü rüblərin koordinat bucaqlarının bissektrisasına münasibətdə.

Funksiya diapazonu y=arcsin(x).

Nümunə №1.

arcsin(1/2) tapın?

arcsin(x) funksiyasının qiymət diapazonu [-π/2;π/2] intervalına aid olduğu üçün yalnız π/6 qiyməti uyğundur.Ona görə də arcsin(1/2) =π/ 6.
Cavab:π/6

Nümunə № 2.
arcsin(-(√3)/2) tapın?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] qiymət diapazonu olduğuna görə yalnız -π/3 qiyməti uyğundur.Ona görə də arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

y=arccos(x) funksiyası

α ədədinin qövs kosinusu kosinusu α-ya bərabər olan intervaldan α ədədidir.

Funksiya qrafiki

Seqmentdə y= cos(⁡x) funksiyası ciddi şəkildə azalan və davamlıdır; buna görə də o, ciddi şəkildə azalan və davamlı olan tərs funksiyaya malikdir.
x ∈ olduğu y= cos⁡x funksiyası üçün tərs funksiya çağırılır qövs kosinusu və y=arccos(x) ilə işarələnir, burada x ∈[-1;1].
Beləliklə, tərs funksiyanın tərifinə görə, qövs kosinusunun tərif sahəsi [-1;1] seqmenti, qiymətlər çoxluğu isə seqmentdir.
Qeyd edək ki, y=arccos(x) funksiyasının qrafiki, burada x ∈[-1;1] y= cos(⁡x) funksiyasının qrafikinə simmetrikdir, burada x ∈, bissektrisasına görə. birinci və üçüncü rüblərin koordinat bucaqları.

Funksiya diapazonu y=arccos(x).

Nümunə № 3.

Arccos (1/2) tapılsın?

Dəyərlər diapazonu arccos(x) x∈ olduğundan, yalnız π/3 qiyməti uyğundur.Ona görə də arccos(1/2) =π/3.
Nümunə № 4.
arccos(-(√2)/2) tapın?

arccos(x) funksiyasının qiymət diapazonu intervala aid olduğu üçün yalnız 3π/4 qiyməti uyğundur.Ona görə də arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Cavab: 3π/4

y=arctg(x) funksiyası

α ədədinin arktangensi [-π/2;π/2] intervalından α ədədidir, onun tangensi α-ya bərabərdir.

Funksiya qrafiki

Tangens funksiyası fasiləsizdir və intervalda ciddi şəkildə artır (-π/2;π/2); buna görə də davamlı və ciddi şəkildə artan tərs funksiyaya malikdir.
y= tan⁡(x) funksiyası üçün tərs funksiya, burada x∈(-π/2;π/2); arktangent adlanır və y=arctg(x) ilə işarələnir, burada x∈R.
Beləliklə, tərs funksiyanın tərifinə görə, arktangentin təyinetmə sahəsi intervaldır (-∞;+∞), qiymətlər çoxluğu isə intervaldır.
(-π/2;π/2).
Qeyd edək ki, x∈R olan y=arctg(x) funksiyasının qrafiki y= tan⁡x funksiyasının qrafikinə simmetrikdir, burada x ∈ (-π/2;π/2) ilə müqayisədə birinci və üçüncü rüblərin koordinat bucaqlarının bisektoru.

y=arctg(x) funksiyasının diapazonu.

Nümunə № 5?

arktan((√3)/3) tapın.

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) qiymət diapazonu olduğundan, yalnız π/6 qiyməti uyğundur.Ona görə də arctg((√3)/3) =π/6.
Nümunə № 6.
arctg(-1) tapın?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) qiymət diapazonu olduğundan yalnız -π/4 qiyməti uyğundur.Ona görə də arctg(-1) = - π/4.

y=arcctg(x) funksiyası

α ədədinin qövs kotangensi kotangensi α-ya bərabər olan (0;π) intervalından α ədədidir.

Funksiya qrafiki

(0;π) intervalında kotangent funksiyası ciddi şəkildə azalır; əlavə olaraq, bu intervalın hər nöqtəsində davamlıdır; buna görə də (0;π) intervalında bu funksiya ciddi şəkildə azalan və davamlı olan tərs funksiyaya malikdir.
y=ctg(x), burada x ∈(0;π) funksiyası üçün tərs funksiya arkkotangent adlanır və y=arcctg(x) ilə işarələnir, burada x∈R.
Deməli, tərs funksiyanın tərifinə görə qövs kotangentinin təyin oblastı olacaqdır R, və dəsti ilə qiymətlər – interval (0;π). y=arcctg(x) funksiyasının qrafiki, burada x∈R y=ctg(x) x∈(0;π), nisbi funksiyasının qrafikinə simmetrikdir. birinci və üçüncü rüblərin koordinat bucaqlarının bissektrisasına.

Funksiya diapazonu y=arcctg(x).

Nümunə № 7.
arcctg((√3)/3) tapın?

arcctg(x) x ∈(0;π) dəyərlərinin diapazonu olduğundan yalnız π/3 dəyəri uyğundur.Ona görə də arccos((√3)/3) =π/3.

Misal № 8.
arcctg(-(√3)/3) tapın?

Qiymətlər diapazonu arcctg(x) x∈(0;π) olduğundan yalnız 2π/3 qiyməti uyğundur.Ona görə də arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redaktorlar: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Tərs triqonometrik funksiyalar(dairəvi funksiyalar, qövs funksiyaları) - triqonometrik funksiyalara tərs olan riyazi funksiyalar.

Bunlara adətən 6 funksiya daxildir:

arcsine(təyinatı: arcsin x; arcsin x- bu bucaqdır günah bərabərdir x),
arkkosin(təyinatı: arccos x; arccos x kosinusu bərabər olan bucaqdır x və s),
arktangent(təyinatı: arktan x və ya arktan x),
arkotangent(təyinatı: arcctg x və ya arccot x və ya arccotan x),
qövsvari(təyinatı: arcsec x),
arccosecant(təyinatı: arccosec x və ya arccsc x).

arcsine (y = arcsin x) - tərs funksiya günah (x = sin y . Başqa sözlə, dəyəri ilə bucağı qaytarır günah.

qövs kosinusu (y = arccos x) - tərs funksiya cos (x = cos y cos.

Arktangent (y = arktan x) - tərs funksiya tg (x = tan y), domeni və dəyərlər dəsti olan . Başqa sözlə, dəyəri ilə bucağı qaytarır tg.

Arkkotangent (y = arcctg x) - tərs funksiya ctg (x = cotg y), tərif sahəsi və dəyərlər dəsti var. Başqa sözlə, dəyəri ilə bucağı qaytarır ctg.

arcsec- arcsekant, sekantının qiymətinə görə bucağı qaytarır.

arccosec- arkkosekant, onun kosekantının dəyərinə əsaslanan bucağı qaytarır.

Tərs triqonometrik funksiya müəyyən bir nöqtədə müəyyən edilmədikdə, onun dəyəri yekun cədvəldə görünməyəcəkdir. Funksiyalar arcsec Və arccosec(-1,1) seqmentində müəyyən edilmir, lakin arcsin Və arccos yalnız [-1,1] intervalında müəyyən edilir.

Tərs triqonometrik funksiyanın adı müvafiq triqonometrik funksiyanın adından “arc-” prefiksini əlavə etməklə əmələ gəlir (lat. qövs bizə- qövs). Bu onunla bağlıdır ki, həndəsi cəhətdən tərs triqonometrik funksiyanın qiyməti bu və ya digər seqmentə uyğun gələn vahid dairənin qövsünün uzunluğu (yaxud bu qövsü əhatə edən bucaq) ilə əlaqələndirilir.

Bəzən xarici ədəbiyyatda, eləcə də elmi/mühəndislik kalkulyatorlarında kimi qeydlərdən istifadə edirlər günah−1, cos−1 arksine, arkkosin və bu kimi şeylər üçün bu tam dəqiq hesab edilmir, çünki funksiyanın gücə yüksəldilməsi ilə qarışıqlıq ola bilər −1 (« −1 » (mənfi birinci güc) funksiyanı təyin edir x = f -1 (y), funksiyanın tərsi y = f(x)).

Tərs triqonometrik funksiyaların əsas əlaqələri.

Burada düsturların etibarlı olduğu intervallara diqqət yetirmək vacibdir.

Tərs triqonometrik funksiyalara aid düsturlar.

Gəlin tərs qiymətlərdən hər hansı birini işarə edək triqonometrik funksiyalar vasitəsilə Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x və qeydi saxlayın: arcsin x, arcos x, arktan x, arccot x onların əsas dəyərləri üçün, onda onlar arasındakı əlaqə belə əlaqələrlə ifadə olunur.

TO tərs triqonometrik funksiyalar Aşağıdakı 6 funksiyaya daxildir: arcsine , arkkosin , arktangent , arkotangent , qövsvari Və arccosecant .

Orijinal triqonometrik funksiyalar dövri olduğundan, tərs funksiyalar, ümumiyyətlə desək, olur polisemantik . İki dəyişən arasında tək-tək uyğunluğu təmin etmək üçün orijinal triqonometrik funksiyaların təyini sahələri yalnız onları nəzərə almaqla məhdudlaşdırılır. əsas filiallar . Məsələn, \(y = \sin x\) funksiyası yalnız \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\) intervalında nəzərə alınır. Bu intervalda tərs arksinüs funksiyası unikal şəkildə müəyyən edilir.

Arksinus funksiyası
\(a\) ədədinin qövsü (\(\arcsin a\) ilə işarələnir) \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) intervalında \(x\) bucağının qiymətidir. 2) \right]\), bunun üçün \(\sin x = a\). Tərs funksiya\(y = \arcsin x\) \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ nöqtəsində müəyyən edilir), onun dəyər diapazonu \(y \in \left[ ()-ə bərabərdir - \pi /2, \pi /2) \sağ]\).

Qövs kosinus funksiyası
\(a\) ədədinin arkkosinusu (\(\arccos a\) ilə işarələnir) \(\left[ (0,\pi) \right]\) intervalında \(x\) bucağının qiymətidir. , burada \(\cos x = a\). \(y = \arccos x\) tərs funksiyası \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ nöqtəsində müəyyən edilir, onun dəyər diapazonu \(y \in) seqmentinə aiddir. \left[ (0,\ pi)\right]\).

Arktangens funksiyası
Ədədin arktangensi a(\(\arctan a\) ilə işarələnir) açıq intervalda \(x\) bucağın qiymətidir \(\left((-\pi/2, \pi/2) \sağ)\), at hansı \(\tan x = a\). Tərs funksiya \(y = \arctan x\) hamı üçün müəyyən edilmişdir \(x \in \mathbb(R)\), arktangent diapazonu \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\sağ)\).

Qövs tangensi funksiyası
\(a\) ədədinin arkotangensi (\(\text(arccot) a\) ilə işarələnir) \(\left[ (0,\) açıq intervalda \(x\) bucağının qiymətidir. pi) \right]\), burada \(\cot x = a\). Tərs funksiya \(y = \text(arccot) x\) hamı üçün müəyyən edilir \(x \in \mathbb(R)\), onun dəyər diapazonu \(y \in\) intervalındadır. sol [ (0,\pi) \sağ]\).

Arksekant funksiyası
\(a\) ədədinin qövsəkanı (\(\text(arcsec ) a\) ilə işarələnir) \(\sec x = a\) olan \(x\) bucağının qiymətidir. \(y = \text(arcsec ) x\) tərs funksiyası \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) nöqtəsində müəyyən edilir. )\ ), onun dəyər diapazonu \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] çoxluğuna aiddir. \).

Arkkosensiya funksiyası
\(a\) ədədinin arkkosenti (\(\text(arccsc ) a\) və ya \(\text(arccosc ) a\)) \(\) olan \(x\) bucağının qiymətidir. csc x = a\). \(y = \text(arccsc ) x\) tərs funksiyası \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) nöqtəsində müəyyən edilir. )\ ), onun dəyərlərinin diapazonu çoxluğa aiddir \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

Arksinus və arkkosin funksiyalarının əsas dəyərləri (dərəcə ilə)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Arktangent və arkkotangent funksiyaların əsas dəyərləri (dərəcə ilə)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\mətn(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)