Homojen matris. Homojen şüyüdlərin həlli. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli

Xətti sistem deyilir homojen , əgər onun bütün sərbəst şərtləri 0-a bərabərdirsə.

Matris şəklində homojen bir sistem yazılır:
.

Homojen sistem (2) həmişə ardıcıldır . Aydındır ki, nömrələr dəsti
,
, …,
sistemin hər bir tənliyini təmin edir. Həll
çağırdı sıfır və ya əhəmiyyətsiz qərar. Beləliklə, homojen bir sistemin həmişə sıfır həlli var.

Homojen sistem (2) hansı şəraitdə sıfırdan fərqli (trivial olmayan) həllərə malik olacaq?

Teorem 1.3 Homojen sistem (2) sıfırdan fərqli həllər var yalnız və yalnız rütbəsi olduqda r onun əsas matrisi daha az bilinməyənlər n .

Sistem (2) – qeyri-müəyyən
.

Nəticə 1. Əgər tənliklərin sayı m homojen sistem daha az dəyişənlərə malikdir
, onda sistem qeyri-müəyyəndir və çoxlu sıfırdan fərqli həllərə malikdir.

Nəticə 2. Kvadrat homojen sistem
bu sistemin əsas matrisi olduqda sıfırdan fərqli həllər var degenerasiya, yəni. təyinedici
.

Əks halda determinant olarsa
, kvadrat homojen sistemə malikdir yeganə şey sıfır həll
.

Sistemin dərəcəsi (2) olsun
yəni sistem (2) qeyri-trivial həllərə malikdir.

Qoy Və - bu sistemin xüsusi həlləri, yəni.
Və
.

Homojen sistemin məhlullarının xassələri

Həqiqətən, .

Həqiqətən, .

1) və 2) xassələrini birləşdirərək deyə bilərik ki, əgər

…,
- bircins sistemin məhlulları (2), onda onların istənilən xətti kombinasiyası da onun həllidir. Burada
- ixtiyari real ədədlər.

Tapmaq olar
xətti müstəqil qismən həllər homojen sistem (2), onun köməyi ilə bu sistemin hər hansı digər xüsusi həllini əldə edə bilərsiniz, yəni. sistemin ümumi həllini əldə edin (2).

Tərif 2.2 Ümumilik
xətti müstəqil qismən həllər

…,
homojen sistem (2) elə bir sistemdir ki, sistemin (2) hər bir həlli onların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər. əsas həllər sistemi homojen sistemin (FSR) (2).

Qoy

…,
əsas həllər sistemidir, onda homojen sistemin (2) ümumi həlli aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Harada

.

Şərh. FSR əldə etmək üçün şəxsi həllər tapmaq lazımdır

…,
, bir sərbəst dəyişənə öz növbəsində “1” dəyərini, bütün digər sərbəst dəyişənlərə isə “0” qiymətini verir.

alırıq ,, …,- FSR.

Misal. Homojen tənliklər sisteminin ümumi həllini və əsas həllər sistemini tapın:

Həll.Əvvəllər sistemin sonuncu tənliyini birinci yerə qoyaraq, sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və onu pilləli formaya gətirək. Tənliklərin sağ tərəfləri elementar çevrilmələr nəticəsində dəyişmədiyindən, sıfır qalan sütun

yazıla bilməz.

̴
̴
̴

Sistem dərəcəsi harada
- dəyişənlərin sayı. Sistem qeyri-müəyyəndir və bir çox həll yolu var.

Dəyişənlər üçün əsas minor
sıfırdan fərqli:
seçin
əsas dəyişənlər kimi, qalanları
- sərbəst dəyişənlər (hər hansı real dəyərləri götürün).

Zəncirdəki sonuncu matris pilləli tənliklər sisteminə uyğundur:

(3)

Əsas dəyişənləri ifadə edək
sərbəst dəyişənlər vasitəsilə
(Qauss metodunun əksi).

Son tənlikdən ifadə edirik :
və onu birinci tənliyə əvəz edin. Biz alacağıq. Mötərizələri açaq, oxşarlarını verək və ifadə edək :
.

İnanmaq
,
,
, Harada
, yazaq

- sistemin ümumi həlli.

Əsas həllər sistemini tapaq

,,.

Sonra homojen sistemin ümumi həlli belə yazıla bilər:

Şərh. FSR, əvvəlcə sistemin ümumi həllini tapmadan başqa bir şəkildə tapıla bilərdi. Bunun üçün nəticədə yaranan pillə sistemi (3) üçün nəzərdə tutulmaqla, üç dəfə həll edilməli idi :
; üçün :
; üçün :
.

Sistem m xətti tənliklər c n naməlumlar adlanır xətti homojenlər sistemi bütün sərbəst şərtlər sıfıra bərabər olduqda tənliklər. Belə bir sistem belə görünür:

Harada və ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - verilmiş nömrələr; x i- naməlum.

Xətti homojen tənliklər sistemi həmişə ardıcıldır, çünki r(A) = r(). Həmişə ən azı sıfıra malikdir ( əhəmiyyətsiz) məhlulu (0; 0; …; 0).

Hansı şəraitdə homojen sistemlərin sıfırdan fərqli həlləri olduğunu nəzərdən keçirək.

Teorem 1. Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlləri o halda olur ki, onun əsas matrisinin dərəcəsi r daha az bilinməyənlər n, yəni. r < n.

□ 1). Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli olsun. Rütbə matrisin ölçüsünü aşa bilmədiyi üçün, aydındır ki, r ≤ n. Qoy r = n. Sonra kiçik ölçülərdən biri n n sıfırdan fərqlidir. Buna görə də, uyğun xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var: ... Bu o deməkdir ki, mənasız olanlardan başqa heç bir həll yolu yoxdur. Beləliklə, qeyri-trivial bir həll varsa, o zaman r < n.

2). Qoy r < n. Sonra homojen sistem ardıcıl olmaqla qeyri-müəyyəndir. Bu o deməkdir ki, onun sonsuz sayda həlli var, yəni. sıfırdan fərqli həllər var. ■

Homojen bir sistem düşünün n xətti tənliklər c n naməlum:

(2)

Teorem 2. Homojen sistem n xətti tənliklər c n naməlumların (2) sıfırdan fərqli həlləri o halda olur ki, onun determinantı sıfıra bərabər olsun: = 0.

□ Əgər sistemin (2) sıfırdan fərqli həlli varsa, o zaman = 0. Çünki sistemin yalnız bir sıfır həlli olduqda. = 0 olarsa, dərəcə r sistemin əsas matrisi naməlumların sayından azdır, yəni. r < n. Və buna görə də, sistemin sonsuz sayda həlli var, yəni. sıfırdan fərqli həllər var. ■

Sistemin həllini işarə edək (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n sim kimi .

Xətti homojen tənliklər sisteminin həlləri aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1. Əgər xətt (1) sisteminin həllidir, onda xətt (1) sisteminin həllidir.

2. Əgər xətlər və (1) sisteminin həlləridir, onda istənilən qiymətlər üçün ilə 1 və ilə 2 onların xətti birləşməsi də (1) sisteminin həllidir.

Bu xassələrin etibarlılığı onları birbaşa sistemin tənliklərində əvəz etməklə yoxlanıla bilər.

Formallaşdırılmış xassələrdən belə nəticə çıxır ki, xətti homojen tənliklər sisteminə həllərin istənilən xətti kombinasiyası da bu sistemin həllidir.

Xətti müstəqil həllər sistemi e 1 , e 2 , …, e rçağırdı Əsas, əgər (1) sisteminin hər bir həlli bu həllərin xətti kombinasiyasıdırsa e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3.Əgər dərəcə r xətti homogen tənliklər sisteminin dəyişənləri üçün əmsalların matrisləri (1) dəyişənlərin sayından azdır n, onda hər hansı bir fundamental sistemin həlli sistemi (1) ibarətdir n–r qərarlar.

Buna görə də ümumi qərar xətti homojen tənliklər sistemi (1) formaya malikdir:

Harada e 1 , e 2 , …, e r– sistemin hər hansı fundamental həlli sistemi (9), ilə 1 , ilə 2 , …, ilə p- ixtiyari nömrələr, R = n–r.

Teorem 4. Sistemin ümumi həlli m xətti tənliklər c n naməlumlar müvafiq xətti bircins tənliklər sisteminin ümumi həllinin (1) və bu sistemin ixtiyari xüsusi həllinin (1) cəminə bərabərdir.

Misal. Sistemi həll edin

Həll. Bu sistem üçün m = n= 3. Müəyyənedici

Teorem 2-yə görə, sistemin yalnız əhəmiyyətsiz bir həlli var: x = y = z = 0.

Misal. 1) Sistemin ümumi və xüsusi həllərini tapın

2) Əsas həllər sistemini tapın.

Həll. 1) Bu sistem üçün m = n= 3. Müəyyənedici

2-ci teoremə görə sistemin sıfırdan fərqli həlləri var.

Sistemdə yalnız bir müstəqil tənlik olduğundan

x + y – 4z = 0,

sonra ondan ifadə edəcəyik x =4z- y. Sonsuz sayda həlli haradan əldə edirik: (4 z- y, y, z) – bu sistemin ümumi həllidir.

At z= 1, y= -1, biz bir xüsusi həll alırıq: (5, -1, 1). qoymaq z= 3, y= 2, ikinci xüsusi həlli alırıq: (10, 2, 3) və s.

2) Ümumi həlldə (4 z- y, y, z) dəyişənlər y Və z pulsuzdur və dəyişəndir X- onlardan asılıdır. Əsas həllər sistemini tapmaq üçün sərbəst dəyişənlərə qiymətlər təyin edək: əvvəlcə y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Əsas həllər sistemini təşkil edən qismən (-1, 1, 0), (4, 0, 1) həllər alırıq.

İllüstrasiyalar:

düyü. 1 Xətti tənliklər sistemlərinin təsnifatı

düyü. 2 Xətti tənliklər sistemlərinin tədqiqi

Təqdimatlar:

· Həlli SLAE_matris metodu

· SLAE_Cramer metodunun həlli

· Həlli SLAE_Gauss üsulu

· Riyazi məsələlərin həlli üçün paketlər Mathematica, MathCad: xətti tənliklər sistemlərinin analitik və ədədi həllərinin axtarışı

Nəzarət sualları:

1. Xətti tənliyi təyin edin

2. O, hansı sistem növünə bənzəyir? m ilə xətti tənliklər n naməlum?

3. Xətti tənliklərin həlli sistemlərinə nə deyilir?

4. Hansı sistemlərə ekvivalent deyilir?

5. Hansı sistem uyğunsuz adlanır?

6. Hansı sistem birləşmə adlanır?

7. Hansı sistem müəyyən adlanır?

8. Hansı sistem qeyri-müəyyən adlanır

9. Xətti tənliklər sistemlərinin elementar çevrilmələrini sadalayın

10. Matrislərin elementar çevrilmələrini sadalayın

11. Xətti tənliklər sisteminə elementar çevrilmələrin tətbiqinə dair teorem tərtib edin.

12. Matris üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?

13. Kramer üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?

14. Qauss üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?

15. Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı yaranan 3 mümkün halı sadalayın.

16. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulunu təsvir edin

17. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Kramer metodunu təsvir edin

18. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss metodunu təsvir edin

19. Hansı sistemləri tərs matrisdən istifadə etməklə həll etmək olar?

20. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı yaranan 3 mümkün halı sadalayın.

Ədəbiyyat:

1. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyat: Universitetlər üçün dərslik / N.Ş. Kremer, B.A. Putko, İ.M. Trishin, M. N. Fridman. Ed. N.Ş. Kremer. – M.: BİRLİK, 2005. – 471 s.

2. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyatın ümumi kursu: Dərslik. / Ed. VƏ. Ermakova. –M.: İNFRA-M, 2006. – 655 s.

3. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyatdan məsələlər toplusu: Dərslik / Redaktə edən V.İ. Ermakova. M.: İNFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Ehtimal nəzəriyyəsi və maqmatik statistikada problemlərin həlli üçün bələdçi. - M.: Ali məktəb, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. - M.: Ali məktəb, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Təlimlərdə və məsələlərdə ali riyaziyyat. Hissə 1, 2. – M.: Oniks 21-ci əsr: Sülh və Təhsil, 2005. – 304 s. 1-ci hissə; – 416 səh. 2-ci hissə.

7. İqtisadiyyatda riyaziyyat: Dərslik: 2 hissədə / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, İ.G. Şandara. – M.: Maliyyə və Statistika, 2006.

8. Şipaçev V.S. Ali riyaziyyat: tələbələr üçün dərslik. universitetlər - M.: Ali məktəb, 2007. - 479 s.

Əlaqədar məlumat.

Xətti cəbri tənliklərin homojen sistemləri

Dərslərin bir hissəsi kimi Qauss üsulu Və Ümumi həlli olan uyğun olmayan sistemlər/sistemlər hesab etdik xətti tənliklərin qeyri-homogen sistemləri, Harada pulsuz üzv(adətən sağdadır) ən azı bir tənliklərdən sıfırdan fərqli idi.
İndi isə yaxşı istiləşmədən sonra matris dərəcəsi, texnikanı cilalamağa davam edəcəyik elementar çevrilmələr haqqında xətti tənliklərin homojen sistemi.
Birinci abzaslara əsasən, material darıxdırıcı və orta hesabla görünə bilər, lakin bu təəssürat aldadıcıdır. Texnikaların daha da inkişafı ilə yanaşı, bir çox yeni məlumatlar olacaq, buna görə də bu məqalədəki nümunələri laqeyd etməməyə çalışın.

Homojen xətti tənliklər sistemi nədir?

Cavab özünü göstərir. Sərbəst müddət olduqda xətti tənliklər sistemi homojendir hər kəs sistemin tənliyi sıfırdır. Misal üçün:

Bu tamamilə aydındır homojen sistem həmişə ardıcıldır, yəni həmişə həlli var. Və, ilk növbədə, gözünüzə çarpan sözdə deyilənlərdir əhəmiyyətsiz həll . Trivial, sifətin mənasını ümumiyyətlə başa düşməyənlər üçün nümayişsiz deməkdir. Əlbəttə ki, akademik deyil, amma başa düşülən şəkildə =) ...Niyə kolun ətrafında döyün, bu sistemin başqa həll yollarının olub olmadığını öyrənək:

Misal 1

Həll: homojen sistemi həll etmək üçün yazmaq lazımdır sistem matrisi elementar çevrilmələrin köməyi ilə onu mərhələli formaya gətirir. Nəzərə alın ki, burada şaquli zolağı və pulsuz şərtlərin sıfır sütununu yazmağa ehtiyac yoxdur - axırda sıfırlarla nə etsəniz də, onlar sıfır olaraq qalacaqlar:

(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -3-ə vuruldu.

(2) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.

Üçüncü sətri 3-ə bölmək o qədər də məntiqli deyil.

Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent homojen sistem alınır , və Qauss metodunun tərsinə istifadə edərək, həllin unikal olduğunu yoxlamaq asandır.

Cavab verin:

Gəlin açıq bir kriteriya formalaşdıraq: homojen xətti tənliklər sistemi var sadəcə mənasız bir həll, Əgər sistem matrisinin dərəcəsi(bu halda 3) dəyişənlərin sayına bərabərdir (bu halda – 3 ədəd).

Gəlin isinsin və radiomuzu elementar çevrilmə dalğasına kökləyək:

Misal 2

Xətti tənliklərin homojen sistemini həll edin

Məqalədən Matrisin dərəcəsini necə tapmaq olar? Matris ədədlərini eyni vaxtda azaltmağın rasional texnikasını xatırlayaq. Əks təqdirdə, böyük və tez-tez dişləyən balıqları kəsməli olacaqsınız. Dərsin sonunda tapşırığın təxmini nümunəsi.

Sıfırlar yaxşı və rahatdır, lakin praktikada sistem matrisinin sətirlərində vəziyyət daha çox olur xətti asılıdır. Və sonra ümumi bir həllin ortaya çıxması qaçılmazdır:

Misal 3

Xətti tənliklərin homojen sistemini həll edin

Həll: sistemin matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək. İlk hərəkət yalnız bir dəyər əldə etməyə deyil, həm də birinci sütundakı rəqəmləri azaltmağa yönəldilmişdir:

(1) Birinci sətirə üçüncü sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Yuxarı solda "mənfi" olan bir bölmə aldım, bu da çox vaxt sonrakı dəyişikliklər üçün daha əlverişlidir.

(2) İlk iki sətir eynidir, onlardan biri silinib. Düzünü desəm, mən həll yolu tapmadım - belə oldu. Transformasiyaları şablon şəkildə həyata keçirirsinizsə, o zaman xətti asılılıq sətirlər bir az sonra üzə çıxacaqdı.

(3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, 3-ə vuruldu.

(4) Birinci sətrin işarəsi dəyişdirildi.

Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent bir sistem əldə edildi:

Alqoritm üçün olduğu kimi işləyir heterojen sistemlər. “Pillələrdə oturan” dəyişənlər əsasdır, “addım” almayan dəyişən sərbəstdir.

Əsas dəyişənləri sərbəst dəyişən vasitəsilə ifadə edək:

Cavab verin: ümumi qərar:

Önəmsiz həll ümumi düstura daxil edilir və onu ayrıca yazmağa ehtiyac yoxdur.

Yoxlama həm də adi sxem üzrə aparılır: nəticədə alınan ümumi həll sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində əvəz edilməli və bütün əvəzetmələr üçün hüquqi sıfır alınmalıdır.

Bunu sakit və dinc şəkildə başa çatdırmaq olardı, lakin homojen tənliklər sisteminin həlli çox vaxt təqdim edilməlidir. vektor şəklində istifadə etməklə əsas həllər sistemi. Xahiş edirəm, hələlik bunu unut analitik həndəsə, indidən məqalədə bir az açdığım vektorlardan ümumi cəbri mənada danışacağıq. matris dərəcəsi. Terminologiya üzərində parıldamağa ehtiyac yoxdur, hər şey olduqca sadədir.

Gəlin nəzərdən keçirək homojen sistem n dəyişənli m xətti tənliklər:

(15)

Homojen xətti tənliklər sistemi həmişə ardıcıldır, çünki onun həmişə sıfır (xırda) həlli var (0,0,…,0).

Əgər (15) sistemində m=n və , onda sistemin Kramer teoremindən və düsturlarından irəli gələn yalnız sıfır həlli var.

Teorem 1. Homojen sistem (15) qeyri-trivial həllə malikdir, o zaman və yalnız onun matrisinin dərəcəsi dəyişənlərin sayından azdır, yəni. . r(A)< n.

Sübut. Sistemin (15) qeyri-trivial həllinin mövcudluğu sistem matrisinin sütunlarının xətti asılılığına ekvivalentdir (yəni x 1, x 2,..., x n ədədləri var, hamısı sıfıra bərabər deyil, belə ki, bərabərliklər (15) doğrudur).

Əsas minor teoreminə görə, matrisin bütün sütunları əsas olmadıqda, matrisin sütunları xətti asılı olur , yəni.  matrisin əsas minorunun r sırası onun sütunlarının n sayından kiçik olduqda. və s.

Nəticə. Kvadrat homojen sistemdə |A|=0 olduqda qeyri-trivial həllər  olur.

Teorem 2. Əgər x (1), x (2),..., x (s) sütunları bircins sistem AX = 0 üçün həllərdirsə, onda onların istənilən xətti kombinasiyası da bu sistemin həllidir.

Sübut. Həlllərin hər hansı bir birləşməsini nəzərdən keçirin:

Onda AX=A()===0. və s.

Nəticə 1.Əgər homojen sistemin qeyri-trivial həlli varsa, onun sonsuz sayda həlli var.

Bu. Ax = 0 sisteminin x (1), x (2),..., x (s) həllərini tapmaq lazımdır ki, bu sistemin istənilən başqa həlli onların xətti kombinasiyası və , üstəlik, özünəməxsus şəkildə.

Tərif.Ах=0 sisteminin x (1), x (2),..., x (k) xətti müstəqil həllərinin k=n-r (n sistemdəki naməlumların sayı, r=rg A) sistemi adlanır. əsas həllər sistemi bu sistem.

Teorem 3. n naməlum və r=rg A olan bircinsli sistem Ах=0 verilsin.Sonra bu sistemin k=n-r həlləri x (1), x (2),..., x (k) çoxluğu var, a əmələ gətirir. əsas həllər sistemi.

Sübut. Ümumiliyi itirmədən hesab edə bilərik ki, A matrisinin əsas minoru yuxarı sol küncdə yerləşir. Onda, əsas minor teoreminə əsasən, A matrisinin qalan sətirləri əsas cərgələrin xətti birləşmələridir. Bu o deməkdir ki, əgər x 1, x 2,…, x n dəyərləri ilk r tənliklərini ödəyirsə, yəni. əsas minorun cərgələrinə uyğun gələn tənliklər), onda onlar digər tənlikləri də ödəyirlər. Nəticə etibarilə, (r+1)-dən başlayaraq bütün tənlikləri ləğv etsək, sistemin həllər toplusu dəyişməyəcək. Sistemi alırıq:

Sərbəst naməlum olan x r +1 , x r +2 ,…, x n-i sağ tərəfə keçirək və əsas x 1 , x 2 ,…, x r-ni sol tərəfə buraxaq:

(16)

Çünki bu halda bütün b i =0, onda düsturların yerinə

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), alırıq:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Sərbəst naməlum x r +1 , x r +2 ,…, x n ixtiyari qiymətlərə təyin etsək, onda əsas naməlumlara münasibətdə unikal həlli olan qeyri-sinqulyar matrisli kvadrat SLAE alırıq. Beləliklə, homojen SLAE-nin istənilən həlli x r +1, x r +2,…, x n sərbəst naməlumların qiymətləri ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Sərbəst bilinməyənlərin aşağıdakı k=n-r sıra dəyərlərinə nəzər salın:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serial nömrəsi mötərizədə yuxarı işarə ilə göstərilir və qiymətlər seriyası sütunlar şəklində yazılır. Hər seriyada i=j olduqda =1 və ij olduqda =0.

Sərbəst naməlumların dəyərlərinin i-ci seriyası ,,...,əsas naməlumların qiymətlərinə unikal şəkildə uyğun gəlir. Sərbəst və əsas naməlumların qiymətləri birlikdə sistemə həllər verir (17).

Göstərək ki, e i =,i=1,2,…,k sütunları (18)

əsas həllər sistemini formalaşdırır.

Çünki Bu sütunlar konstruksiyaya görə Ax=0 bircins sisteminin məhlullarıdır və onların sayı k-yə bərabərdir, onda həllərin xətti müstəqilliyini sübut etmək qalır (16). Həlllərin xətti kombinasiyası olsun e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), sıfır sütununa bərabərdir:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Onda bu bərabərliyin sol tərəfi r+1,r+2,...,n ədədləri olan komponentləri sıfıra bərabər olan sütundur. Lakin (r+1)-ci komponent  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 -ə bərabərdir. Eynilə, (r+2)-ci komponent  2 ,…-ə, k-ci komponent isə  k-yə bərabərdir. Buna görə də  1 =  2 = …= k =0, yəni həllərin xətti müstəqilliyi e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Qurulmuş əsas həllər sistemi (18) adlanır normal. (13) düsturu əsasında o, aşağıdakı formaya malikdir:

(20)

Nəticə 2. Qoy e 1 , e 2 ,…, e k-homogen sistemin məhlullarının normal əsas sistemi, onda bütün məhlulların çoxluğu düsturla təsvir edilə bilər:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)

burada с 1,с 2,…,с k – ixtiyari qiymətlər qəbul edin.

Sübut. 2-ci teoremə görə sütun (19) Ax=0 homojen sisteminin həllidir. Bu sistemin istənilən həllinin (17) şəklində təqdim oluna biləcəyini sübut etmək qalır. Sütunu nəzərdən keçirin X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Bu sütun r+1,...,n rəqəmləri olan elementlərdə y sütunu ilə üst-üstə düşür və (16) həllidir. Buna görə də sütunlar X Və saatüst-üstə düşür, çünki Sistemin (16) həlləri onun x r +1 ,…, x n sərbəst naməlumlarının qiymətləri və sütunları ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. saat Və X bu dəstlər eynidir. Beləliklə, saat=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, yəni. həll saat sütunların xətti birləşməsidir e 1 ,…,y n normal FSR. və s.

Sübut edilmiş ifadə yalnız normal FSR üçün deyil, həm də homojen SLAE-nin ixtiyari FSR üçün doğrudur.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - ümumi qərar xətti homogen tənliklər sistemləri

Burada X 1, X 2,…, X n - r – hər hansı əsas həllər sistemi,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r ixtiyari ədədlərdir.

Misal. (səh. 78)

Qeyri-homogen SLAE həlləri arasında əlaqə quraq (1) və müvafiq homojen SLAE (15)

Teorem 4. Qeyri-homogen sistemin (1) və uyğun bircins sistemin (15) hər hansı həllinin cəmi (1) sisteminin həllidir.

Sübut. Əgər c 1 ,…,c n (1) sisteminin həlli, d 1 ,…,d n isə (15) sisteminin həllidirsə, onda c naməlum ədədlərini hər hansı (məsələn, i-ci) tənliyinə əvəz etmək; sistemi (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , alırıq:

B i +0=b i h.t.d.

Teorem 5. Qeyri-bircins sistemin (1) iki ixtiyari həlli arasındakı fərq homojen sistemin (15) həllidir.

Sübut. Əgər c 1 ,…,c n və c 1 ,…,c n (1) sisteminin həllidirsə, onda c naməlum ədədlərini sistemin (1-ci) hər hansı (məsələn, i-ci) tənliyində əvəz etmək ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , alırıq:

B i -b i =0 p.t.d.

Sübut edilmiş teoremlərdən belə çıxır ki, n dəyişəni olan m xətti homogen tənliklər sisteminin ümumi həlli müvafiq bircins xətti tənliklər sisteminin (15) ümumi həllinin cəminə və müəyyən bir həllin ixtiyari nömrəsinə bərabərdir. bu sistem (15).

X neod. =X ümumi bir +X tez-tez dəfədən çox (22)

Qeyri-bircins sistemin xüsusi həlli kimi, düsturlarda c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j olarsa, alınan məhlulun qəbul edilməsi təbiidir. (a in)) j=1,2,…,r ((13) bütün c r +1 ,…,c n ədədlərini sıfıra bərabər qoyun, yəni.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Bu xüsusi həlli ümumi həllə əlavə etmək X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r müvafiq homojen sistem əldə edirik:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

İki dəyişənli iki tənlik sistemini nəzərdən keçirək:

əmsallardan ən azı biri olan a ij 0.

Həll etmək üçün birinci tənliyi 22-yə, ikincini isə (-a 12) vuraraq və onları əlavə etməklə x 2-ni aradan qaldırırıq: Birinci tənliyi (-a 21), ikincini isə 11-ə vurmaqla x 1-i aradan qaldırırıq. və onları əlavə edin: Mötərizədə göstərilən ifadə təyinedicidir

təyin edərək ,, onda sistem formasını alacaq:, yəni, əgər, onda sistemin unikal həlli var:,.

Əgər Δ=0, və (və ya), onda sistem uyğunsuzdur, çünki formasına endirilmişdir Əgər Δ=Δ 1 =Δ 2 =0 olarsa, sistem qeyri-müəyyəndir, çünki formada azaldılır

Misal 1. Sistem üçün ümumi həlli və bəzi fundamental həllər sistemini tapın

Həll kalkulyatordan istifadə edərək tapın. Həll alqoritmi xətti qeyri-bərabər tənliklər sistemləri ilə eynidir.
Yalnız sətirlərlə işləyərək, matrisin rütbəsini, əsas minorunu tapırıq; Biz asılı və azad naməlumları elan edirik və ümumi həll tapırıq.

Birinci və ikinci sətirlər mütənasibdir, onlardan birini kəsək:

.
Asılı dəyişənlər – x 2, x 3, x 5, pulsuz – x 1, x 4. Birinci 10x 5 = 0 tənliyindən x 5 = 0 tapırıq, onda
; .
Ümumi həll yolu budur:

Biz (n-r) həllərdən ibarət olan fundamental həllər sistemini tapırıq. Bizim vəziyyətimizdə n=5, r=3, buna görə də əsas həllər sistemi iki həlldən ibarətdir və bu həllər xətti müstəqil olmalıdır. Sətirlərin xətti müstəqil olması üçün cərgələrin elementlərindən ibarət matrisin rütbəsinin sətirlərin sayına, yəni 2-yə bərabər olması zəruri və kifayətdir. Sərbəst naməlumları x 1 və vermək kifayətdir. İkinci dərəcəli determinantın sətirlərindən x 4 dəyərləri sıfırdan fərqli olaraq x 2 , x 3 , x 5 hesablayın. Ən sadə sıfırdan fərqli determinantdır.
Beləliklə, ilk həll yolu budur: , ikinci - .
Bu iki qərar əsas qərar sistemini təşkil edir. Qeyd edək ki, fundamental sistem unikal deyil (siz istədiyiniz qədər sıfırdan fərqli determinant yarada bilərsiniz).

Misal 2. Sistemin ümumi həllini və əsas həllər sistemini tapın
Həll.



,
bundan belə nəticə çıxır ki, matrisin dərəcəsi 3-dür və naməlumların sayına bərabərdir. Bu o deməkdir ki, sistemdə pulsuz naməlumlar yoxdur və buna görə də unikal həll yolu var - mənasızdır.

Məşq edin. Xətti tənliklər sistemini araşdırın və həll edin.
Misal 4

Məşq edin. Hər bir sistemin ümumi və xüsusi həllərini tapın.
Həll. Sistemin əsas matrisini yazaq:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Matrisi üçbucaq formasına endirək. Biz yalnız sətirlərlə işləyəcəyik, çünki matris cərgəsini sıfırdan fərqli bir rəqəmə vurub onu sistem üçün başqa cərgəyə əlavə etmək tənliyi eyni ədədə vurub başqa tənliklə əlavə etmək deməkdir ki, bu da tənliyin həllini dəyişmir. sistemi.
2-ci sətri (-5) ilə vurun. 1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edək:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2-ci sətri (6) ilə vuraq. 3-cü sətri (-1) ilə vurun. 2-ci sətirə 3-cü sətri əlavə edək:
Matrisin dərəcəsini tapaq.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Seçilmiş minor ən yüksək sıraya malikdir (mümkün azyaşlılar) və sıfırdan fərqlidir (əks diaqonaldakı elementlərin hasilinə bərabərdir), buna görə də çaldı (A) = 2.
Bu kiçik əsasdır. Buraya x 1 , x 2 naməlumlar üçün əmsallar daxildir, yəni x 1 , x 2 naməlumlar asılı (əsas), x 3 , x 4 , x 5 isə sərbəstdir.
Solda yalnız bazis minorunu qoyaraq matrisi çevirək.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Bu matrisin əmsalları olan sistem orijinal sistemə bərabərdir və formaya malikdir:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Naməlumların aradan qaldırılması metodundan istifadə edərək tapırıq qeyri-trivial həll:
x 3 , x 4 , x 5 sərbəst olanlar vasitəsilə x 1 , x 2 asılı dəyişənləri ifadə edən əlaqələri əldə etdik, yəni tapdıq. ümumi qərar:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Biz (n-r) həllərdən ibarət olan fundamental həllər sistemini tapırıq.
Bizim vəziyyətimizdə n=5, r=2, buna görə də əsas həllər sistemi 3 həlldən ibarətdir və bu həllər xətti müstəqil olmalıdır.
Sətirlərin xətti müstəqil olması üçün sətir elementlərindən ibarət matrisin rütbəsinin sətirlərin sayına bərabər olması, yəni 3 olması zəruri və kifayətdir.
Sıfır olmayan 3-cü dərəcəli determinantın sətirlərindən x 3 , x 4 , x 5 sərbəst naməlumları vermək və x 1 , x 2 hesablamaq kifayətdir.
Ən sadə sıfırdan fərqli determinant eynilik matrisidir.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Tapşırıq. Homojen xətti tənliklər sisteminin əsas həllər toplusunu tapın.