Törəmələrlə əməliyyatlar. Törəmə nədir?Törəmə funksiyanın tərifi və mənası. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi üçün ümumi qeydlər

Törəmə anlayışı

Qoy funksiya olsun f(x) müəyyən intervalla müəyyən edilir X. Nöqtədəki arqumentin qiymətini verək x 0 X ixtiyari artım Δ x belə ki, nöqtə x 0 + Δ x də aid idi X. Sonra müvafiq f(x) funksiyasının artımıΔ olacaq saat = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Tərif 1. f(x) funksiyasının törəməsi nöqtədə x 0 funksiyanın bu nöqtədəki artımının Δ-dakı arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır. x 0 (əgər bu məhdudiyyət varsa).

Funksiyanın törəməsini işarələmək üçün simvollardan istifadə edirik y" (x 0) və ya f"(x 0):

Əgər bir anda x 0 limit (4.1) sonsuzdur:

sonra bunu yerində deyirlər x 0 funksiyası f(x) Var sonsuz törəmə.

Əgər funksiyası f(x) çoxluğun hər bir nöqtəsində törəməsi var X, sonra törəmə f"(x) həm də arqumentin funksiyasıdır X,üzrə müəyyən edilmişdir X.

Törəmənin həndəsi mənası

Törəmənin həndəsi mənasını aydınlaşdırmaq üçün verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangensi təyin etməliyik.

Tərif 2. Tangens funksiyasının qrafikinə y = f(x) nöqtəsində M sekantın limit mövqeyi adlanır MN, məqam nə vaxtdır N bir nöqtəyə meyl edir Məyri boyunca f(x).

Qoy nöqtə olsun Məyri üzərində f(x) arqumentin qiymətinə uyğun gəlir x 0, və nöqtə N- arqument dəyəri x 0 + Δ x(Şəkil 4.1). Tangensin tərifindən belə çıxır ki, onun bir nöqtədə mövcudluğu üçün x 0 oxa teğetin meyl bucağına bərabər olan bir hədd olması lazımdır. Oh. Üçbucaqdan M.N.A. bunu izləyir

Əgər funksiyanın törəməsi f(x) nöqtəsində x 0 mövcuddur, onda (4.1)-ə əsasən əldə edirik

Buradan aydın bir nəticə çıxır ki törəmə f"(x 0) y funksiyasının qrafikinə toxunanın bucaq əmsalına (Ox oxunun müsbət istiqamətinə meyl bucağının tangensi) bərabərdir. = f(x) V nöqtə M(x 0, f(x 0)). Bu halda tangensin bucağı (4.2) düsturla müəyyən edilir:

Törəmənin fiziki mənası

Fərz edək ki, funksiya l = f(t) düz xətt üzrə maddi nöqtənin hərəkət qanununu yol asılılığı kimi təsvir edir l zamandan t. Sonra fərq Δ l = f (t +Δ t) - f(t) -Δ zaman intervalı ərzində getdiyi yoldur t, və nisbəti Δ l/Δ t- zamanla orta sürət Δ t. Sonra limit müəyyən edilir ani nöqtə sürəti zamanın bir nöqtəsində t zamana görə yolun törəməsi kimi.

Müəyyən mənada funksiyanın törəməsi saat = f(x) funksiyanın dəyişmə sürəti kimi də şərh edilə bilər: dəyər nə qədər böyük olar f"(x), tangensin əyriyə meyl bucağı nə qədər böyük olarsa, qrafik bir o qədər dik olar f(x) və funksiya daha sürətli böyüyür.

Sağ və sol törəmələr

Funksiyanın birtərəfli hədləri anlayışları ilə analoji olaraq, bir nöqtədə funksiyanın sağ və sol törəmələri anlayışları təqdim olunur.

Tərif 3. Sağ (sol) funksiyanın törəməsi saat = f(x) nöqtədə x 0Δ üçün (4.1) əlaqənin sağ (sol) həddi adlanır x 0 bu limit varsa.

Birtərəfli törəmələri ifadə etmək üçün aşağıdakı simvolizm istifadə olunur:

Əgər funksiyası f(x) nöqtəsində var x 0 törəmə, onda bu nöqtədə üst-üstə düşən sol və sağ törəmələri var.

Bir-birinə bərabər olmayan nöqtədə birtərəfli törəmələri olan funksiyaya misal verək. Bu f(x) = |x|. Həqiqətən, nöqtədə x = 0 bizdə var f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (Şəkil 4.2) və f' +(0) ≠ f' -(0), yəni. funksiyanın törəməsi yoxdur X = 0.

Funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatı adlanır fərqləndirmə; nöqtəsində törəməsi olan funksiya deyilir diferensiallaşan.

Bir nöqtədə funksiyanın diferensiallığı ilə davamlılığı arasında əlaqə aşağıdakı teoremlə müəyyən edilir.

TEOREM 1 . Əgər funksiya x 0 nöqtəsində diferensiallana bilirsə, o zaman bu nöqtədə davamlıdır.

Bunun əksi doğru deyil: funksiya f(x), bir nöqtədə davamlı, o nöqtədə törəmə olmaya bilər. Belə bir nümunə funksiyadır saat = |x|; bir nöqtədə davamlıdır x= 0, lakin bu nöqtədə törəməsi yoxdur.

Beləliklə, funksiyanın diferensiallıq tələbi davamlılıq tələbindən daha güclüdür, çünki ikincisi avtomatik olaraq birincidən irəli gəlir.

Verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyi

Bölmə 3.9-da qeyd edildiyi kimi, nöqtədən keçən xəttin tənliyi M(x 0, y 0) yamac ilə k oxşayır

Funksiya verilsin saat = f(x). Sonra bir nöqtədə törəmə olduğundan M(x 0, y 0) nöqtədə bu funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyidir M, onda belə çıxır ki, funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyi f(x) bu nöqtədə formaya malikdir

Verilmiş $x_0$ nöqtəsində $y = f(x)$ funksiyasının törəməsi, funksiyanın artımının onun arqumentinin müvafiq artımına nisbətinin həddidir, bu şərtlə ki, sonuncu sıfıra meyllidir:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Fərqləndirmə törəmənin tapılması əməliyyatıdır.

Bəzi elementar funksiyaların törəmələri cədvəli

Fərqləndirmənin əsas qaydaları

1. Cəmin (fərqin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ funksiyasının törəməsini tapın.

Cəmin (fərqin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Məhsulun törəməsi

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ törəməsini tapın

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Bölmənin törəməsi

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ törəməsini tapın

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Törəmənin fiziki mənası

Əgər maddi nöqtə düzxətli hərəkət edirsə və onun koordinatı $x(t)$ qanununa əsasən zamandan asılı olaraq dəyişirsə, bu nöqtənin ani sürəti funksiyanın törəməsinə bərabərdir.

Nöqtə $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ qanununa uyğun olaraq koordinat xətti boyunca hərəkət edir, burada $x(t)$ $t$ anındakı koordinatdır. Hansı anda nöqtənin sürəti $12$-a bərabər olacaq?

1. Sürət $x(t)$-ın törəməsidir, ona görə də verilmiş funksiyanın törəməsini tapaq

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. $t$ zamanın hansı nöqtəsində sürətin $12$-a bərabər olduğunu tapmaq üçün tənliyi qurub həll edirik:

Törəmənin həndəsi mənası

Yada salaq ki, koordinat oxlarına paralel olmayan düz xəttin tənliyini $y = kx + b$ şəklində yazmaq olar, burada $k$ düz xəttin mailliyidir. $k$ əmsalı düz xətt ilə $Ox$ oxunun müsbət istiqaməti arasındakı meyl bucağının tangensinə bərabərdir.

$f(x)$ funksiyasının $х_0$ nöqtəsindəki törəməsi bu nöqtədə qrafikə toxunan $k$ meylinə bərabərdir:

Beləliklə, ümumi bərabərlik yarada bilərik:

$f"(x_0) = k = tanα$

Şəkildə $f(x)$ funksiyasının tangensi artır, ona görə də $k > 0$ əmsalı. $k > 0$ olduğundan, onda $f"(x_0) = tanα > 0$. Tangens ilə $Ox$ müsbət istiqaməti arasındakı $α$ bucaq kəskindir.

Şəkildə $f(x)$ funksiyasına toxunan azalır, buna görə də $k əmsalı azalır< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Şəkildə $f(x)$ funksiyasının tangensi $Ox$ oxuna paraleldir, ona görə də $k = 0$ əmsalı, buna görə də $f"(x_0) = tan α = 0$. $f "(x_0) = 0$ çağırılan $x_0$ nöqtəsi ekstremum.

Şəkildə $y=f(x)$ funksiyasının qrafiki və $x_0$ absissi ilə nöqtədə çəkilmiş bu qrafikə toxunan bir diaqram göstərilir. $f(x)$ funksiyasının $x_0$ nöqtəsində törəməsinin qiymətini tapın.

Qrafikin tangensi artır, buna görə də $f"(x_0) = tan α > 0$

$f"(x_0)$ tapmaq üçün $Ox$ oxunun tangensi ilə müsbət istiqaməti arasında olan meyl bucağının tangensini tapırıq. Bunun üçün $ABC$ üçbucağına tangens qururuq.

$BAC$ bucağının tangensini tapaq. (Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Cavab: $0.25$

Törəmə artan və azalan funksiyaların intervallarını tapmaq üçün də istifadə olunur:

Əgər intervalda $f"(x) > 0$ olarsa, o zaman $f(x)$ funksiyası bu intervalda artır.

Əgər $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Şəkildə $y = f(x)$ funksiyasının qrafiki göstərilir. $х_1,х_2,х_3...х_7$ nöqtələri arasında funksiyanın törəməsi mənfi olan nöqtələri tapın.

Cavab olaraq bu nöqtələrin sayını yazın.

Plan:

1. Funksiyanın törəməsi

2. Diferensial funksiya

3. Diferensial hesablamanın funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi

Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi

Funksiya müəyyən intervalda təyin olunsun. Arqumentə artım veririk: , onda funksiya artım alacaq. Bu nisbətin həddini tapaq Əgər bu hədd varsa, o zaman funksiyanın törəməsi adlanır. Funksiya törəməsinin bir neçə qeydi var: . Bəzən törəmənin qeydində törəmənin hansı dəyişənə münasibətdə götürüldüyünü göstərən indeksdən istifadə olunur.

Tərif. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə (əgər bu hədd varsa) funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir:

Tərif.İntervalın hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya çağırılır diferensiallaşan bu intervalda.

Tərif. Funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatı adlanır fərqləndirmə.

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin qiyməti simvollardan biri ilə göstərilir: .

Misal.İxtiyari nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll. Dəyəri bir artım veririk. Nöqtədə funksiyanın artımını tapaq: . Gəlin münasibət yaradaq. Gəlin limitə keçək: . Beləliklə, .

Törəmənin mexaniki mənası. O vaxtdan və ya, yəni. maddi nöqtənin zamanın anında düzxətli hərəkət sürəti yolun zamana görə törəməsidir. Budur törəmənin mexaniki mənası .

Əgər funksiya hər hansı fiziki prosesi təsvir edirsə, törəmə bu prosesin baş vermə sürətidir. Budur törəmənin fiziki mənası .

Törəmənin həndəsi mənası. Bir nöqtədə şaquli olmayan tangensi olan davamlı əyrinin qrafikini nəzərdən keçirək. Onun bucaq əmsalını tapaq, burada oxu ilə toxunan bucaqdır. Bunu etmək üçün nöqtə və qrafikdən kəsici xətt çəkin (Şəkil 1).

Sekant və ox arasındakı bucağı - ilə işarə edək. Şəkil sekantın bucaq əmsalının bərabər olduğunu göstərir

Funksiyanın davamlılığına görə artım da sıfıra meyl etdikdə; buna görə də nöqtə qeyri-müəyyən müddətə əyri boyunca nöqtəyə yaxınlaşır və sekant nöqtə ətrafında dönərək tangensə çevrilir. Bucaq, yəni. . Buna görə də, , deməli, tangensin yamacı bərabərdir.

Bir əyriyə toxunan meyl

Bu bərabərliyi aşağıdakı formada yenidən yazırıq: , yəni. bir nöqtədə törəmə absissası bərabər olan nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyinə bərabərdir. Budur törəmənin həndəsi mənası .

Əgər toxunma nöqtəsinin koordinatları varsa (Şəkil 2), tangensin bucaq əmsalı bərabərdir: .

Verilmiş nöqtədən verilmiş istiqamətdə keçən düz xəttin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: .

Sonra tangens tənliyişəklində yazılır: .

Tərif. Təmas nöqtəsindəki tangensə perpendikulyar düz xətt deyilir əyri üçün normal.

Normalın bucaq əmsalı bərabərdir: (çünki normal tangensə perpendikulyardır).

Normal tənliyin forması var:, Əgər .

Tapılmış dəyərləri əvəz edərək, tangens tənlikləri əldə edirik, yəni. .

Normal tənlik: və ya .

Əgər funksiyanın bir nöqtədə sonlu törəməsi varsa, o zaman həmin nöqtədə diferensiallana bilir. Əgər funksiya intervalın hər nöqtəsində diferensiallana bilirsə, o zaman həmin intervalda diferensiallana bilir.

Teorem 6.1 Funksiya müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirsə, onda o, orada davamlıdır.

Əks teorem doğru deyil. Davamlı funksiyanın törəməsi olmaya bilər.

Misal. Funksiya intervalda fasiləsizdir (Şəkil 3).

Həll.

Bu funksiyanın törəməsi bərabərdir:

Bir nöqtədə - funksiya diferensiallaşmır.

Şərh. Praktikada çox vaxt mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapmalı olursunuz. Buna görə də diferensiasiya düsturları cədvəlində arqument aralıq arqumentlə əvəz olunur.

Törəmələr cədvəli

Sabit

Güc funksiyası:

2) xüsusilə;

Eksponensial funksiya:

3) xüsusilə;

Loqarifmik funksiya:

4) xüsusilə;

Triqonometrik funksiyalar:

Tərs triqonometrik funksiyalar , , , :

Funksiyanı diferensiallaşdırmaq onun törəməsini tapmaq, yəni həddi hesablamaq deməkdir: . Bununla belə, əksər hallarda limitin müəyyən edilməsi çətin bir işdir.

Əgər siz əsas elementar funksiyaların törəmələrini bilirsinizsə və bu funksiyalar üzərində arifmetik əməliyyatların nəticələrinin diferensiallaşdırılması qaydalarını bilirsinizsə, onda siz məktəb kursundan yaxşı məlum olan törəmələrin təyini qaydalarına əsasən istənilən elementar funksiyaların törəmələrini asanlıqla tapa bilərsiniz. .

Funksiyalar müəyyən intervalda iki diferensiallana bilən funksiya olsun.

Teorem 6.2İki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə (fərqinə) bərabərdir: .

Teorem istənilən sonlu sayda termin üçün etibarlıdır.

Misal. Funksiyanın törəməsini tapın.

Həll.

Teorem 6.3İki funksiyanın hasilinin törəməsi birinci amilin törəməsi ilə ikincinin üstəgəl birinci amilin hasilinə və ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir: .

Misal. Funksiyanın törəməsini tapın .

Həll.

Teorem 6.4İki funksiyanın bölünməsinin törəməsi, əgər kəsrə bərabərdirsə, onun payı kəsrin məxrəci ilə payın törəməsi və kəsrin payı ilə məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir; məxrəc isə əvvəlki məxrəcin kvadratıdır: .

Misal. Funksiyanın törəməsini tapın .

Həll. .

Mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapmaq üçün bu funksiyanın ara arqumentə görə törəməsini müstəqil arqumentə görə aralıq arqumentin törəməsi ilə vurmaq lazımdır.

Bir neçə aralıq arqument olduqda bu qayda qüvvədə qalır. Deməli, əgər , , , onda

Qoy və, onda - aralıq arqumenti və müstəqil arqumenti olan mürəkkəb funksiya.

Teorem 6.5Əgər funksiyanın nöqtədə törəməsi, funksiyanın isə müvafiq nöqtədə törəməsi varsa, mürəkkəb funksiyanın düsturla tapılan nöqtədə törəməsi var. , tənliyi ilə verilmiş funksiyanın törəməsini tapın: .

Həll. Funksiya gizli şəkildə müəyyən edilir. -ə görə tənliyi diferensiallayaq ki, bunu xatırlayaq: . Sonra tapırıq: .

Funksiya bir nöqtədə və onun qonşuluğunda müəyyən edilsin. Arqumentə elə bir artım verək ki, nöqtə funksiyanın təyini sahəsinə düşsün. Bundan sonra funksiya artırılacaq.

TƏrif. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi funksiyanın bu nöqtədəki artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, at (əgər bu hədd mövcuddursa və sonludursa), yəni.

İşarə edin: ,,,.

Sağdakı nöqtədə funksiyanın törəməsi (sol) çağırdı

(əgər bu limit mövcuddursa və sonludursa).

Təyin olunur: , – sağdakı nöqtədə törəmə,

, soldakı nöqtədə törəmədir.

Aydındır ki, aşağıdakı teorem doğrudur.

TEOREM. Funksiyanın bir nöqtədə törəməsi o halda olur ki, bu nöqtədə funksiyanın sağ və sol tərəfdəki törəmələri mövcud olsun və bir-birinə bərabər olsun. Üstəlik

Aşağıdakı teorem bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin mövcudluğu ilə bu nöqtədə funksiyanın davamlılığı arasında əlaqə qurur.

TEOREM (bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin olması üçün zəruri şərt). Əgər funksiyanın bir nöqtədə törəməsi varsa, bu nöqtədəki funksiya davamlıdır.

SÜBUT

Qoy var olsun. Sonra

,

sonsuz kiçik haradadır.

Şərh

funksiyanın törəməsi və işarə edir

funksiyanın diferensiallaşdırılması .

HƏNDƏSİ VƏ FİZİKİ MƏNA

1) Törəmənin fiziki mənası. Funksiya və onun arqumenti fiziki kəmiyyətlərdirsə, törəmə dəyişənin bir nöqtədə dəyişənə nisbətən dəyişmə sürətidir. Məsələn, zaman nöqtəsinin qət etdiyi məsafədirsə, onun törəməsi zaman anındakı sürətdir. Əgər anında keçiricinin kəsişməsindən axan elektrik miqdarıdırsa, o zaman elektrik enerjisinin miqdarının bir anda dəyişmə sürəti, yəni. bir anda cari güc.

2) Törəmənin həndəsi mənası.

Bir az əyri olsun, əyri üzərində bir nöqtə olsun.

Ən azı iki nöqtəni kəsən istənilən düz xətt deyilir sekant .

Bir nöqtədə əyriyə toxunan bir əyri boyunca hərəkət edən nöqtə meyl edirsə, sekantın limit mövqeyi adlanır.

Tərifdən aydın olur ki, əyriyə toxunan bir nöqtədə mövcuddursa, o, yeganədir.

Bir əyri (yəni funksiyanın qrafiki) nəzərdən keçirin. Bir nöqtədə şaquli olmayan tangens olsun. Onun tənliyi: (nöqtədən keçən və bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi).

Yamacın tərifinə görə

düz xəttin oxa meyl bucağı haradadır.

Sekantın oxa meyl bucağı olsun, burada. Bir tangens olduğundan, nə vaxt

Beləliklə,

Beləliklə, biz bunu əldə etdik – nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalı(nöqtədə funksiyanın törəməsinin həndəsi mənası). Buna görə də bir nöqtədə əyriyə toxunan tənliyi formada yazmaq olar

Şərh . Nöqtədə əyriyə çəkilmiş tangensə perpendikulyar nöqtədən keçən düz xətt deyilir nöqtədəki əyriyə normaldır . Perpendikulyar düz xətlərin bucaq əmsalları əlaqə ilə əlaqəli olduğundan, bir nöqtədə əyriyə normalın tənliyi formaya sahib olacaqdır.

, Əgər .

Əgər olarsa, onda nöqtədəki əyriyə toxunan formaya sahib olacaqdır

və normal.

TƏNGENT VƏ NORMAL TƏNLİKLƏR

Tangens tənliyi

Funksiya tənliklə verilsin y=f(x), tənliyi yazmalısınız tangens nöqtədə x 0. Törəmə tərifindən:

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

tənlik tangens funksiya qrafikinə: y=kx+b (k,b=const). Törəmənin həndəsi mənasından: f/(x 0)=tgα= kÇünki x 0 və f(x 0)∈ düz xətt, sonra tənlik tangens kimi yazılır: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) və ya

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Normal tənlik

Normal-ə perpendikulyardır tangens(şəkilə bax). Buna əsaslanaraq:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

Çünki normalın meyl bucağı β1 bucağıdır, onda bizdə:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).

Nöqtə ( x 0,f(x 0))∈ normal, tənlik formasını alır:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

SÜBUT

Qoy var olsun. Sonra

,

sonsuz kiçik haradadır.

Amma bu o deməkdir ki, o, bir nöqtədə davamlıdır (fasiləsizliyin həndəsi tərifinə bax). ∎

Şərh . Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı bu funksiyanın bir nöqtədə törəməsinin mövcudluğu üçün kifayət qədər şərt deyil. Məsələn, funksiya davamlıdır, lakin bir nöqtədə törəməsi yoxdur. Həqiqətən,

və buna görə də mövcud deyil.

Aydındır ki, yazışma bəzi çoxluqda müəyyən edilmiş funksiyadır. Onu çağırırlar funksiyanın törəməsi və işarə edir

Bir funksiyanın törəmə funksiyasını tapmaq əməliyyatı adlanır funksiyanın diferensiallaşdırılması .

Cəm və fərqin törəməsi

Törəmələri bizə məlum olan f(x) və g(x) funksiyaları verilsin. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

(f + g)' = f ' + g '

(f - g)' = f ' - g '

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Məsələn, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də, f − g fərqi f + (−1) g cəmi kimi yenidən yazıla bilər və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

Koordinat müstəvisində xOy funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirin y=f(x). Gəlin nöqtəni düzəldək M(x 0 ; f (x 0)). Bir absis əlavə edək x 0 artım Δх. Yeni bir absis alacağıq x 0 +Δx. Bu nöqtənin absisidir N, və ordinat bərabər olacaq f (x 0 +Δx). Absisdəki dəyişiklik ordinatın dəyişməsinə səbəb oldu. Bu dəyişiklik funksiya artımı adlanır və işarələnir Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Nöqtələr vasitəsilə M Və N sekant çəkək MN, bucaq əmələ gətirir φ müsbət ox istiqaməti ilə Oh. Bucağın tangensini təyin edək φ düz üçbucaqdan MPN.

Qoy Δх sıfıra meyl edir. Sonra sekant MN tangens mövqe tutmağa meylli olacaq MT, və bucaq φ bucaq halına gələcək α . Beləliklə, bucağın tangensi α bucağın tangensinin məhdudlaşdırıcı qiymətidir φ :

Bir funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın törəməsi adlanır:

Törəmənin həndəsi mənası Verilmiş nöqtədə funksiyanın ədədi törəməsinin bu nöqtədən keçən əyriyə və oxun müsbət istiqamətinə çəkdiyi tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabər olmasıdır. Oh:

Nümunələr.

1. Arqumentin artımını və y= funksiyasının artımını tapın x 2, arqumentin ilkin dəyəri bərabər idisə 4 və yeni - 4,01 .

Həll.

Yeni arqument dəyəri x=x 0 +Δx. Verilənləri əvəz edək: 4.01=4+Δх, deməli, arqumentin artımı Δх=4,01-4=0,01. Bir funksiyanın artımı, tərifinə görə, funksiyanın yeni və əvvəlki dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir, yəni. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Çünki bizim funksiyamız var y=x2, Bu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cavab: arqument artımı Δх=0,01; funksiya artımı Δу=0,0801.

Funksiya artımı fərqli şəkildə tapıla bilər: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Funksiyanın qrafikinə toxunanın meyl bucağını tapın y=f(x) nöqtədə x 0, Əgər f "(x 0) = 1.

Həll.

Törəmənin toxunma nöqtəsindəki dəyəri x 0 və tangens bucağın tangensinin qiymətidir (törəmənin həndəsi mənası). Bizdə: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,çünki tg45°=1.

Cavab: bu funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxunun müsbət istiqamətinə bərabər olan bucaq əmələ gətirir 45°.

3. Funksiyanın törəməsinin düsturunu çıxarın y=x n.

Fərqləndirmə funksiyanın törəməsinin tapılması hərəkətidir.

Törəmələri taparkən, törəmə dərəcəsi üçün düstur əldə etdiyimiz kimi, törəmənin tərifinə əsaslanan düsturlardan istifadə edin: (x n)" = nx n-1.

Bunlar düsturlardır.

Törəmələr cədvəliŞifahi ifadələri tələffüz etməklə yadda saxlamaq daha asan olacaq:

1. Sabit kəmiyyətin törəməsi sıfırdır.

2. X əsas birinə bərabərdir.

3. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar.

4. Dərəcənin törəməsi bu dərəcənin göstəricisinin eyni əsaslı dərəcə hasilinə bərabərdir, lakin göstərici bir azdır.

5. Kökün törəməsi iki bərabər kökə bölünən birinə bərabərdir.

6. Birin x-ə bölünməsinin törəməsi mənfi birə bölünən x kvadratına bərabərdir.

7. Sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir.

8. Kosinusun törəməsi mənfi sinusa bərabərdir.

9. Tangensin törəməsi kosinusun kvadratına bölünən birinə bərabərdir.

10. Kotangensin törəməsi sinusun kvadratına bölünən mənfi birinə bərabərdir.

Biz öyrədirik fərqləndirmə qaydaları.

1. Cəbri cəminin törəməsi terminlərin törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

2. Məhsulun törəməsi birinci amilin törəməsi ilə ikincinin hasilinə üstəgəl birinci amilin və ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

3. “Y”-nin “ve” ilə bölünməsi törəməsi, payın “y sadə çarpımı “ve” minus “y”nin və əsas ilə vurulduğu”, məxrəcinin isə “ve kvadratı” olduğu kəsrə bərabərdir.

4. Formulun xüsusi halı 3.