Koordinat oxları üzrə proyeksiyanın təyini. Gücün oxa proyeksiyası. Qüvvələrin vektor cəminin oxa proyeksiyası. Vektor proyeksiyalarının təsnifatı

A. A nöqtəsinin PQ oxuna proyeksiyası (şəkil 4) verilmiş nöqtədən verilmiş oxa endirilmiş perpendikulyarın a əsasıdır. Proyeksiya etdiyimiz oxa proyeksiya oxu deyilir.

b. Şəkildə göstərilən iki ox və A B vektoru verilsin. 5.

Başlanğıcı başlanğıcın proyeksiyası, sonu isə bu vektorun sonunun proyeksiyası olan vektor A B vektorunun PQ oxuna proyeksiyası adlanır.Belə yazılır;

Bəzən PQ göstəricisi aşağıya yazılmır, bu, PQ-dan başqa onun dizayn edilə biləcəyi başqa bir OS olmadığı hallarda edilir.

ilə. Teorem I. Bir ox üzərində yerləşən vektorların böyüklükləri onların istənilən oxa proyeksiyalarının böyüklükləri kimi əlaqələndirilir.

6-cı şəkildə göstərilən oxlar və vektorlar verilsin.Üçbucaqların oxşarlığından aydın olur ki, vektorların uzunluqları onların proyeksiyalarının uzunluqları kimi bağlıdır, yəni.

Rəsmdəki vektorlar müxtəlif istiqamətlərə yönəldildiyi üçün onların böyüklükləri fərqli işarələrə malikdir, buna görə də

Aydındır ki, proqnozların böyüklükləri də müxtəlif əlamətlərə malikdir:

(2)-ni (3)-ü (1)-ə əvəz edərək, alırıq

İşarələri tərsinə çevirərək, alırıq

Əgər vektorlar bərabər istiqamətlidirsə, onda onların proyeksiyaları da eyni istiqamətdə olacaq; (2) və (3) düsturlarında mənfi işarələr olmayacaq. (2) və (3) bəndlərini bərabərliyə (1) əvəz edərək dərhal bərabərliyi (4) əldə edirik. Beləliklə, teorem bütün hallar üçün sübut edilmişdir.

d. Teorem II. Vektorun hər hansı oxa proyeksiyasının böyüklüyü vektorun böyüklüyünə proyeksiyalar oxu ilə vektorun oxu arasındakı bucağın kosinusuna çarpılana bərabərdir.Oxlar Şəkil 1-də göstərildiyi kimi vektor kimi verilsin. . 7. Oxu ilə eyni istiqamətə malik olan və məsələn, oxların kəsişmə nöqtəsindən qrafiki olan vektor quraq. Onun uzunluğu birə bərabər olsun. Sonra onun böyüklüyü

Proyeksiya oxa vektor vektor, vektorun bu oxa skalyar proyeksiyasını və bu oxun vahid vektorunu vurmaqla əldə edilən vektordur. Məsələn, əgər x - skalyar proyeksiya vektor A X oxuna, sonra bir x i- onun bu oxa vektor proyeksiyası.

işarə edək vektor proyeksiyası vektorun özü ilə eynidir, lakin vektorun proqnozlaşdırıldığı oxun indeksi ilə. Beləliklə, vektorun vektor proyeksiyası A X oxunda işarə edirik A x ( yağ vektoru və ox adının alt simvolunu bildirən hərf) və ya (vektoru bildirən qalın olmayan, lakin yuxarıda ox (!) və oxun adının alt simvolu).

Skalyar proyeksiya ox başına vektor deyilir nömrə, mütləq dəyəri vektorun başlanğıc nöqtəsinin proyeksiyaları və son nöqtəsi arasında qapalı olan ox seqmentinin uzunluğuna (seçilmiş miqyasda) bərabərdir. Adətən ifadə yerinə skalyar proyeksiya sadəcə deyirlər - proyeksiya. Proyeksiya proqnozlaşdırılan vektorla eyni hərflə (normal, qalın olmayan yazıda), bu vektorun proyeksiya edildiyi oxun adının aşağı indeksi (bir qayda olaraq) ilə işarələnir. Məsələn, vektor X oxuna proyeksiya edilirsə A, onda onun proyeksiyası x ilə işarələnir. Eyni vektoru başqa oxa proyeksiya edərkən, ox Y olarsa, onun proyeksiyası y ilə işarələnəcək.

Proyeksiyanı hesablamaq üçün vektor bir oxda (məsələn, X oxu) başlanğıc nöqtəsinin koordinatını onun son nöqtəsinin koordinatından çıxarmaq lazımdır, yəni
a x = x k − x n.
Bir vektorun oxa proyeksiyası ədəddir. Bundan əlavə, x k dəyəri x n dəyərindən böyükdürsə, proyeksiya müsbət ola bilər,

x k dəyəri x n dəyərindən kiçik olarsa mənfi

və x k x n-ə bərabərdirsə, sıfıra bərabərdir.

Vektorun oxa proyeksiyasını vektorun modulunu və onun bu oxla yaratdığı bucağı bilməklə də tapmaq olar.

Şəkildən aydın olur ki, a x = a Cos α

yəni vektorun oxa proyeksiyası vektorun modulu ilə oxun istiqaməti ilə bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. vektor istiqaməti. Əgər bucaq kəskindirsə, onda
Cos α > 0 və a x > 0, və əgər kütdürsə, onda küt bucağın kosinusu mənfidir və vektorun oxa proyeksiyası da mənfi olacaqdır.

Oxdan saat əqrəbinin əksinə ölçülmüş bucaqlar müsbət, ox boyunca ölçülən bucaqlar isə mənfi hesab olunur. Lakin kosinus cüt funksiya olduğundan, yəni Cos α = Cos (− α) proyeksiyaları hesablayarkən bucaqları həm saat əqrəbinin, həm də saat əqrəbinin əksinə hesablamaq olar.

Bir vektorun oxa proyeksiyasını tapmaq üçün bu vektorun modulunu oxun istiqaməti ilə vektorun istiqaməti arasındakı bucağın kosinusuna vurmaq lazımdır.

Vektor koordinatları— verilmiş vektora bərabər seçilmiş koordinat sistemində bazis vektorlarının yeganə mümkün xətti kombinasiyasının əmsalları.

vektorun koordinatları haradadır.

Skalyar məhsul vektorlar

Vektorların skalyar hasili[- sonlu ölçülü vektor sahəsi vurulan eyni komponentlərin məhsullarının cəmi kimi müəyyən edilir vektorlar.

Məsələn, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) Və b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Cavab:

Proyeksiya xüsusiyyətləri:

Vektor proyeksiyasının xassələri

Mülk 1.

İki vektorun cəminin bir oxa proyeksiyası vektorların eyni oxa proyeksiyalarının cəminə bərabərdir:

Bu xassə vektorların cəminin proyeksiyasını onların proyeksiyalarının cəmi ilə və əksinə əvəz etməyə imkan verir.

Əmlak 2.Əgər vektor λ ədədinə vurulursa, onun oxa proyeksiyası da bu ədədə vurulur:

Əmlak 3.

Vektorun l oxuna proyeksiyası vektorun modulu ilə vektorla ox arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir:

Orth ox. Koordinat vahidi vektorlarında vektorun parçalanması. Vektor koordinatları. Koordinat xüsusiyyətləri

Cavab:

Baltaların vahid vektorları.

Düzbucaqlı koordinat sistemi (istənilən ölçüdə) koordinat oxları ilə düzülmüş vahid vektorlar dəsti ilə də təsvir edilir. Vahid vektorların sayı koordinat sisteminin ölçüsünə bərabərdir və hamısı bir-birinə perpendikulyardır.

Üçölçülü vəziyyətdə vahid vektorlar adətən işarə olunur

Və Arrow simvolları və həmçinin istifadə edilə bilər.

Bundan əlavə, sağ əlli koordinat sistemi vəziyyətində, aşağıdakı düsturlar vektorların vektor məhsulları ilə:

Koordinat vahidi vektorlarında vektorun parçalanması.

Koordinat oxunun vahid vektoru ilə, oxlar ilə, oxlar ilə işarələnir (şək. 1)

Müstəvidə yerləşən hər hansı vektor üçün aşağıdakı genişlənmə baş verir:

Əgər vektor fəzada yerləşir, onda koordinat oxlarının vahid vektorlarında genişlənmə formasına malikdir:

Vektor koordinatları:

A başlanğıcının koordinatlarını (x1; y1) və B sonunun koordinatlarını (x2; y2) bilərək vektorun koordinatlarını hesablamaq üçün sonun koordinatlarından başlanğıcın koordinatlarını çıxarmaq lazımdır: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinatların xassələri.

Mənşəyi O nöqtəsində və vahid vektor i olan koordinat xəttini nəzərdən keçirək. Onda bu xətt üzrə hər hansı a vektoru üçün: a = ox.

Balta ədədi a vektorunun koordinat oxundakı koordinatı adlanır.

Mülk 1. Oxa vektorlar əlavə edilərkən onların koordinatları əlavə edilir.

Əmlak 2. Bir vektor ədədə vurulduqda onun koordinatı həmin ədədə vurulur.

Vektorların nöqtə hasili. Xüsusiyyətlər.

Cavab:

Sıfırdan fərqli iki vektorun skalyar hasili ədəddir

bu vektorların hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.

Xüsusiyyətlər:

1. Skayar hasil kommutativ xüsusiyyətə malikdir: ab=ba

Skalyar məhsul koordinat vahidi vektorları. Koordinatları ilə təyin olunan vektorların skalyar hasilinin təyini.

Cavab:

Vahid vektorların nöqtə hasili (×).

(X)	I	J	K
I
J
K

Koordinatları ilə təyin olunan vektorların skalyar hasilinin təyini.

İki vektorun koordinatları ilə verilən skalyar hasilini düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar

İki vektorun çarpaz məhsulu. Vektor məhsulunun xassələri.

Cavab:

Üç qeyri-komplanar vektor, üçüncü vektorun sonundan birinci vektordan ikinciyə fırlanma saat yönünün əksinə edilirsə, sağ əlli üçlü təşkil edir. Əgər saat əqrəbi istiqamətində, onda sola, yoxsa, əks istiqamətdə ( "tutacaqları" ilə necə göstərdiyini göstər)

Vektorun çarpaz məhsulu A vektor etmək b vektor deyilir hansından:

1. Vektorlara perpendikulyar A Və b

2. Rəqəm olaraq uzunluğa malikdir sahəsinə bərabərdirüzərində əmələ gələn paraleloqram a Və b vektorlar

3. Vektorlar, a , b, Və c vektorların sağ üçlüyü əmələ gətirir

Xüsusiyyətlər:

Koordinat vahidi vektorlarının vektor məhsulu. Koordinatları ilə müəyyən edilmiş vektorların vektor məhsulunun təyini.

Cavab:

Koordinat vahidi vektorlarının vektor məhsulu.

Koordinatları ilə müəyyən edilmiş vektorların vektor məhsulunun təyini.

a = (x1; y1; z1) və b = (x2; y2; z2) vektorları düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində O, i, j, k koordinatları ilə verilsin və üçlü i, j, k olsun. sağ əlli.

a və b-ni əsas vektorlara genişləndirək:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Vektor məhsulunun xassələrindən istifadə edərək əldə edirik

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Vektor məhsulunun tərifinə görə tapırıq

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Bu bərabərlikləri nəzərə alaraq düstur (1) aşağıdakı kimi yazıla bilər:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formula (2) koordinatları ilə müəyyən edilmiş iki vektorun vektor hasilinin ifadəsini verir.

Alınan düstur çətin olur.Determinantların qeydindən istifadə edərək onu yadda saxlamaq üçün daha əlverişli olan başqa formada yaza bilərsiniz:

Adətən düstur (3) daha qısa yazılır:

Əvvəlcə bunun nə olduğunu xatırlayaq koordinat oxu, nöqtənin oxa proyeksiyası Və oxda bir nöqtənin koordinatları.

Koordinat oxu- Bu, müəyyən istiqamət verilən düz xəttdir. Siz onu sonsuz böyük modullu bir vektor kimi düşünə bilərsiniz.

Koordinat oxu hansısa hərflə işarələnir: X, Y, Z, s, t... Adətən oxda başlanğıc adlanan və bir qayda olaraq O hərfi ilə işarələnən nöqtə (ixtiyari) seçilir. Bu nöqtədən bizi maraqlandıran digər nöqtələrə olan məsafələr ölçülür.

Nöqtənin oxa proyeksiyası- bu, bu nöqtədən bu oxa endirilmiş perpendikulyarın əsasıdır (şəkil 8). Yəni bir nöqtənin oxa proyeksiyası nöqtədir.

Ox üzərində nöqtə koordinatı- bu, mütləq dəyəri oxun başlanğıcı ilə nöqtənin bu oxa proyeksiyası arasında olan ox seqmentinin uzunluğuna (seçilmiş miqyasda) bərabər olan bir ədəddir. Nöqtənin proyeksiyası mənşəyindən ox istiqamətində yerləşərsə, bu rəqəm artı işarəsi ilə, əks istiqamətdə olarsa mənfi işarəsi ilə götürülür.

Vektorun oxa skalyar proyeksiyası- Bu nömrə, mütləq dəyəri vektorun başlanğıc nöqtəsinin proyeksiyaları və son nöqtəsi arasında qapalı olan ox seqmentinin uzunluğuna (seçilmiş miqyasda) bərabərdir. Vacibdir! Adətən ifadə yerinə vektorun oxa skalyar proyeksiyası sadəcə deyirlər - vektorun oxa proyeksiyası, yəni söz skalyar aşağı salındı. Vektor proyeksiyası proqnozlaşdırılan vektorla eyni hərflə (normal, qalın olmayan yazıda), bu vektorun proyeksiya edildiyi oxun adının aşağı (bir qayda olaraq) indeksi ilə işarələnir. Məsələn, vektor X oxuna proyeksiya edilirsə A, onda onun proyeksiyası x ilə işarələnir. Eyni vektoru başqa oxa, məsələn, Y oxuna proyeksiya edərkən onun proyeksiyası y ilə işarələnəcək (şək. 9).

Hesablamaq üçün vektorun oxa proyeksiyası(məsələn, X oxu), başlanğıc nöqtəsinin koordinatını onun son nöqtəsinin koordinatından çıxarmaq lazımdır, yəni

a x = x k − x n.

Yadda saxlamalıyıq: vektorun oxa skalyar proyeksiyası (və ya sadəcə olaraq vektorun oxa proyeksiyası) ədəddir (vektor deyil)! Bundan əlavə, x k dəyəri x n dəyərindən böyükdürsə, proyeksiya müsbət, x k dəyəri x n dəyərindən kiçikdirsə mənfi və x k x n-ə bərabərdirsə sıfıra bərabər ola bilər (şək. 10).

Vektorun oxa proyeksiyasını vektorun modulunu və onun bu oxla yaratdığı bucağı bilməklə də tapmaq olar.

Şəkil 11-dən aydın olur ki, a x = a Cos α

Yəni vektorun oxa proyeksiyası vektorun modulu ilə bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. ox istiqaməti ilə vektor istiqaməti arasında. Əgər bucaq kəskindirsə, Cos α > 0 və a x > 0, o, kütdürsə, onda küt bucağın kosinusu mənfi olur və vektorun oxa proyeksiyası da mənfi olacaqdır.

Problemləri həll edərkən, tez-tez proyeksiyaların aşağıdakı xüsusiyyətlərindən istifadə ediləcək: əgər

A = b + c +…+ d, onda a x = b x + c x +…+ d x (digər oxlara bənzər),

a= m b, onda a x = mb x (eyni şəkildə digər oxlar üçün).

a x = a Cos α düsturu olacaq Tez-tez problemləri həll edərkən baş verir, buna görə də bunu mütləq bilməlisiniz. Proyeksiyanın təyin edilməsi qaydasını bilməlisiniz əzbərdən!

Unutma!

Bir vektorun oxa proyeksiyasını tapmaq üçün bu vektorun modulunu oxun istiqaməti ilə vektorun istiqaməti arasındakı bucağın kosinusuna vurmaq lazımdır.

Bir daha - ürəkdən!

Hərəkətin vektor təsviri faydalıdır, çünki bir rəsmdə həmişə çoxlu müxtəlif vektorları təsvir edə və gözləriniz qarşısında hərəkətin vizual "şəkilini" əldə edə bilərsiniz. Lakin vektorlarla əməliyyatları yerinə yetirmək üçün hər dəfə xətkeş və iletkidən istifadə etmək çox əmək tələb edir. Buna görə də, bu hərəkətlər müsbət və olan hərəkətlərə qədər azalır mənfi ədədlər– vektorların proyeksiyaları.

Vektorun oxa proyeksiyası proqnozlaşdırılan vektorun modulu ilə vektorun istiqamətləri ilə seçilmiş koordinat oxu arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabər olan skalyar kəmiyyət adlanır.

Sol rəsmdə modulu 50 km olan yerdəyişmə vektoru və onun istiqaməti formaları göstərilir küt bucaq X oxunun istiqaməti ilə 150°.Tərifdən istifadə edərək yerdəyişmənin X oxuna proyeksiyasını tapırıq:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Oxlar arasındakı bucaq 90° olduğundan, hərəkət istiqamətinin Y oxunun istiqaməti ilə 60° kəskin bucaq əmələ gətirdiyini hesablamaq asandır. Tərifdən istifadə edərək Y oxunda yerdəyişmə proyeksiyasını tapırıq:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Gördüyünüz kimi vektorun istiqaməti oxun istiqaməti ilə iti bucaq əmələ gətirirsə, proyeksiya müsbətdir; vektorun istiqaməti oxun istiqaməti ilə küt bucaq əmələ gətirirsə, proyeksiya mənfi olur.

Sağ rəsmdə modulu 5 m/s olan sürət vektoru göstərilir və istiqamət X oxunun istiqaməti ilə 30° bucaq əmələ gətirir.Proyeksiyaları tapaq:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Proyeksiya edilən vektorlar seçilmiş oxlara paralel və ya perpendikulyar olarsa, vektorların oxlar üzrə proyeksiyalarını tapmaq çox asandır. Nəzərə alın ki, paralellik halında iki variant mümkündür: vektor oxa müştərək istiqamətlidir və vektor oxa əksdir, perpendikulyarlıq halı üçün isə yalnız bir variant var.

Oxa perpendikulyar vektorun proyeksiyası həmişə sıfırdır (sol rəsmdə sy və ay, sağda isə sx və υx-ə baxın). Həqiqətən də, oxa perpendikulyar olan vektor üçün onunla ox arasındakı bucaq 90°-dir, ona görə də kosinus sıfırdır, yəni proyeksiya sıfırdır.

Oxla koistiqamətli vektorun proyeksiyası müsbətdir və onun mütləq qiymətinə bərabərdir, məsələn, sx = +s (soldakı rəsmə bax). Həqiqətən də, ox ilə koordinatlı vektor üçün onunla ox arasındakı bucaq sıfır, kosinusu isə “+1”, yəni proyeksiya vektorun uzunluğuna bərabərdir: sx = x – xo = + s .

Oxa qarşı olan vektorun proyeksiyası mənfidir və onun mənfi işarəsi ilə qəbul edilmiş moduluna bərabərdir, məsələn, sy = –s (sağ rəsmə bax). Həqiqətən də, oxa əks olan vektor üçün onunla ox arasındakı bucaq 180°, kosinusu isə “–1”dir, yəni proyeksiya mənfi işarə ilə alınan vektorun uzunluğuna bərabərdir: sy = y – yo = –s .

Hər iki təsvirin sağ tərəfləri vektorların koordinat oxlarından birinə paralel və digərinə perpendikulyar olduğu digər halları göstərir. Sizi bu hallarda da əvvəlki bəndlərdə tərtib edilmiş qaydalara əməl olunduğundan əmin olmağa dəvət edirik.