Daha yüksək dərəcəli törəmələr

Bu dərsdə biz daha yüksək dərəcəli törəmələri tapmağı, həmçinin yazmağı öyrənəcəyik ümumi formula"n-ci" törəməsi. Bundan əlavə, belə bir törəmə üçün Leybniz düsturu və populyar tələblə daha yüksək dərəcəli törəmələr gizli funksiya. Dərhal mini-test etməyi təklif edirəm:

Budur funksiya: və onun ilk törəməsi budur:

Bu nümunə ilə bağlı hər hansı bir çətinlik/çaşqınlıq varsa, lütfən, kursumun iki əsas məqaləsi ilə başlayın: Törəməni necə tapmaq olar? Və Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Elementar törəmələri mənimsədikdən sonra dərsi oxumağı məsləhət görürəm Törəmələrlə ən sadə problemlər, xüsusən də bəhs etdiyimiz ikinci törəmə.

İkinci törəmənin 1-ci törəmənin törəməsi olduğunu təxmin etmək belə çətin deyil:

Prinsipcə, ikinci törəmə artıq daha yüksək dərəcəli törəmə hesab olunur.

Eynilə: üçüncü törəmə 2-ci törəmənin törəməsidir:

Dördüncü törəmə 3-cü törəmənin törəməsidir:

Beşinci törəmə: , və daha yüksək dərəcəli bütün törəmələrin də sıfıra bərabər olacağı aydındır:

Roma nömrələməsinə əlavə olaraq, praktikada tez-tez aşağıdakı qeydlər istifadə olunur:
, “n-ci” sırasının törəməsi ilə işarələnir. Bu halda yuxarı yazı mötərizə içərisində olmalıdır– törəməni “y” hərfindən dərəcə ilə fərqləndirmək.

Bəzən belə bir şey görürsən: – müvafiq olaraq üçüncü, dördüncü, beşinci, ..., “nth” törəmələri.

Qorxusuz və şübhəsiz irəliləyin:

Misal 1

Funksiya verilir. tap .

Həll: nə deyə bilərsiniz... - dördüncü törəmə üçün davam edin :)

Artıq dörd vuruş qoymaq adət deyil, buna görə də rəqəmsal indekslərə keçirik:

Cavab verin:

Yaxşı, indi bu sual üzərində düşünək: şərt 4-cü deyil, məsələn, 20-ci törəməni tapmağı tələb edirsə nə etməli? 3-4-5-ci törəmə üçün (maksimum 6-7) böyüklük sırası, həll kifayət qədər tez rəsmiləşdirilir, o zaman biz çox tezliklə daha yüksək sifarişlərin törəmələrinə “almayacağıq”. Əslində, 20 sətir yazmayın! Belə bir vəziyyətdə tapılan bir neçə törəməni təhlil etməli, nümunəyə baxmalı və “n-ci” törəmə üçün düstur yaratmalısınız. Beləliklə, 1 nömrəli misalda başa düşmək asandır ki, hər bir sonrakı fərqləndirmə ilə eksponentin qarşısında əlavə bir "üç" görünəcək və istənilən addımda "üç"ün dərəcəsi onların sayına bərabərdir. törəmə, buna görə də:

İxtiyari natural ədəd haradadır.

Və həqiqətən, əgər , onda tam olaraq 1-ci törəmə alınır: , əgər – onda 2-ci: və s. Beləliklə, iyirminci törəmə dərhal müəyyən edilir: - və heç bir "kilometr uzunluğunda vərəqlər" yoxdur!

Özümüz istiləşmək:

Misal 2

Funksiyaları tapın. Sifariş törəməni yazın

Həll və cavab dərsin sonundadır.

Canlandırıcı istiləşmədən sonra daha çox şeyə baxacağıq mürəkkəb nümunələr, yuxarıdakı həll alqoritmini işləyəcəyik. Dərslə tanış olmağı bacaranlar üçün Ardıcıllıq limiti, bir az daha asan olacaq:

Misal 3

Funksiya üçün tapın.

Həll: vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün bir neçə törəmə tapaq:

Yaranan rəqəmləri çoxaltmağa tələsmirik! ;-)


Bəlkə də bu kifayətdir. ...Hətta bir az da həddini aşdım.

Növbəti addım “n-ci” törəməsi üçün düstur yaratmaq ən yaxşısıdır (şərt bunu tələb etmirsə, o zaman qaralama ilə əldə edə bilərsiniz). Bunun üçün biz əldə edilən nəticələrə baxırıq və hər bir sonrakı törəmənin əldə edildiyi nümunələri müəyyən edirik.

Birincisi, onlar bir-birini əvəz edirlər. Uyğunlaşma təmin edir "sönən işıq", və 1-ci törəmə müsbət olduğundan, aşağıdakı amil ümumi düstura daxil olacaq: . Ekvivalent bir seçim də işləyə bilər, amma şəxsən bir optimist kimi, plus işarəsini sevirəm =)

İkincisi, numeratorda "yuxarılar" faktorial, və o, törəmə nömrədən bir vahid geridə qalır:

Üçüncüsü, saydakı "iki" nin gücü artır, bu da törəmənin sayına bərabərdir. Eyni şeyi məxrəcin dərəcəsi haqqında da demək olar. Nəhayət:

Yoxlamaq üçün bir neçə “en” dəyərini əvəz edək, məsələn, və:

Əla, indi səhv etmək sadəcə günahdır:

Cavab verin:

Üçün daha sadə funksiya müstəqil qərar:

Misal 4

Funksiyaları tapın.

Və daha maraqlı bir problem:

Misal 5

Funksiyaları tapın.

Proseduru bir daha təkrarlayaq:

1) Əvvəlcə bir neçə törəmə tapırıq. Nümunələri tutmaq üçün ümumiyyətlə üç və ya dörd kifayətdir.

2) Sonra etməyi şiddətlə tövsiyə edirəm (ən azı qaralama şəklində)“n-ci” törəməsi – sizi səhvlərdən qorumağa zəmanət verilir. Ancaq onsuz da edə bilərsiniz, yəni. zehni olaraq təxmin edin və dərhal, məsələn, iyirminci və ya səkkizinci törəməni yazın. Üstəlik, bəzi insanlar ümumiyyətlə sözügedən problemləri şifahi şəkildə həll edə bilirlər. Ancaq yadda saxlamalısınız ki, "sürətli" üsullar çətin olur və təhlükəsiz olmaq daha yaxşıdır.

3) Son mərhələdə "n-ci" törəməni yoxlayırıq - bir cüt "n-ci" dəyər götürürük (tercihen qonşu olanlar) və əvəzetməni yerinə yetiririk. Və əvvəllər tapılmış bütün törəmələri yoxlamaq daha etibarlıdır. Sonra onu istədiyiniz dəyərlə əvəz edirik, məsələn və ya nəticəni diqqətlə tarayırıq.

Tez həll Dərsin sonunda 4 və 5 nümunə.

Bəzi tapşırıqlarda problemlərin qarşısını almaq üçün funksiya üzərində bir az sehr işləməlisiniz:

Misal 6

Həll: Mən təklif olunan funksiyanı ümumiyyətlə fərqləndirmək istəmirəm, çünki bu, “pis” kəsrlə nəticələnəcək və bu, sonrakı törəmələrin tapılmasını xeyli çətinləşdirəcək.

Bu baxımdan, ilkin çevrilmələri yerinə yetirmək məsləhətdir: istifadə edirik kvadrat fərq düsturu Və loqarifmin xassəsidir :

Tamamilə başqa məsələdir:

Və köhnə dostlar:

Məncə hər şeyə baxılır. Nəzərə alın ki, 2-ci kəsr işarəsini əvəz edir, lakin 1-ci kəsr deyil. Sifariş törəməsini qururuq:

Nəzarət:

Yaxşı, gözəllik naminə, mötərizədə faktorialı çıxaraq:

Cavab verin:

Maraqlı tapşırıq Müstəqil həll üçün:

Misal 7

Funksiya üçün sifarişli törəmə düsturunu yazın

İndi hətta İtalyan mafiyasının həsəd aparacağı sarsılmaz qarşılıqlı zəmanət haqqında:

Misal 8

Funksiya verilir. Tap

Nöqtədə on səkkizinci törəmə. Sadəcə.

Həll: ilk, açıq-aydın, tapmaq lazımdır. Get:

Sinusla başladıq və sinusla bitirdik. Aydındır ki, sonrakı diferensiallaşma ilə bu dövr sonsuza qədər davam edəcək və belə bir sual yaranır: on səkkizinci törəməni “almağın” ən yaxşı yolu nədir?

"Həvəskar" üsul: sağdakı sütunda sonrakı törəmələrin nömrələrini tez yazın:

Beləliklə:

Lakin bu, törəmənin sırası çox böyük deyilsə işləyir. Əgər, məsələn, yüzüncü törəməni tapmaq lazımdırsa, onda 4-ə bölünmə qabiliyyətindən istifadə etməlisiniz. Yüz 4-ə qalıqsız bölünür və belə ədədlərin aşağı sətirdə yerləşdiyini görmək asandır, ona görə də: .

Yeri gəlmişkən, 18-ci törəmə də oxşar mülahizələrdən müəyyən edilə bilər:
İkinci sətirdə qalan 2 ilə 4-ə bölünən ədədlər var.

Başqa, daha çox akademik metoda əsaslanır sinus dövriliyi Və azaldılması düsturları. Sinusun “n-ci” törəməsi üçün hazır düsturdan istifadə edirik , istədiyiniz nömrə sadəcə əvəz olunur. Misal üçün:
(azaldılması düsturu ) ;
(azaldılması düsturu )

Bizim vəziyyətimizdə:

(1) Sinus olduğu üçün dövri funksiya dövr ilə , sonra arqument ağrısız şəkildə 4 dövr (yəni ) "açılaraq" edilə bilər.

İki funksiyanın hasilinin sifarişli törəməsini düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

Xüsusilə:

Xüsusi olaraq heç bir şeyi xatırlamağa ehtiyac yoxdur, çünki nə qədər çox düstur bilsəniz, bir o qədər az başa düşəcəksiniz. Özünüzlə tanış olmaq daha faydalıdır Nyutonun binomialı, çünki Leibniz düsturu ona çox, çox oxşardır. Yaxşı, 7-ci və ya daha yüksək sifarişlərin törəmələrini əldə edəcək şanslılar (bu, həqiqətən mümkün deyil), bunu etməyə məcbur olacaq. Ancaq növbə gələndə kombinatorika- onda hələ də etməlisən =)

Funksiyanın üçüncü törəməsini tapaq. Leibniz düsturundan istifadə edirik:

IN bu halda: . Törəmələri şifahi oxumaq asandır:

İndi əvəzetməni diqqətlə və DİQQƏTLİ yerinə yetirin və nəticəni sadələşdirin:

Cavab verin:

Müstəqil həll üçün oxşar tapşırıq:

Misal 11

Xüsusiyyətləri tapın

Əgər əvvəlki misalda “baş-başa” həll hələ də Leybniz düsturu ilə rəqabət aparırdısa, onda bu, həqiqətən də xoşagəlməz olacaq. Və daha da xoşagəlməz - daha yüksək dərəcəli törəmə halında:

Misal 12

Göstərilən sıranın törəməsini tapın

Həll: ilk və əhəmiyyətli qeyd odur ki, yəqin ki, belə qərar verməyə ehtiyac yoxdur =) =)

Funksiyaları yazaq və onların 5-ci sıra daxil olmaqla törəmələrini tapaq. Güman edirəm ki, sağ sütunun törəmələri sizin üçün şifahi oldu:

Sol sütunda "canlı" törəmələr tez "bitdi" və bu çox yaxşıdır - Leibniz düsturunda üç termin sıfıra endiriləcək:

Haqqında məqalədə ortaya çıxan dilemma üzərində bir daha dayanaq mürəkkəb törəmələr: Nəticəni sadələşdirməliyəmmi? Prinsipcə, bu şəkildə tərk edə bilərsiniz - müəllimin yoxlaması daha asan olacaq. Amma o, qərarın yekunlaşdırılmasını tələb edə bilər. Digər tərəfdən, öz təşəbbüsü ilə sadələşdirmə cəbri səhvlərlə doludur. Ancaq "primitiv" şəkildə alınan cavabımız var =) (əvvəldəki linkə baxın) və ümid edirəm ki, doğrudur:

Əla, hər şey birləşdi.

Cavab verin:

Müstəqil həll üçün xoşbəxt tapşırıq:

Misal 13

Funksiya üçün:
a) birbaşa diferensiasiya yolu ilə tapmaq;
b) Leybniz düsturundan istifadə edərək tapın;
c) hesablamaq.

Xeyr, mən heç də sadist deyiləm – burada “a” nöqtəsi olduqca sadədir =)

Ancaq ciddi şəkildə, ardıcıl diferensiallaşdırma ilə "birbaşa" həllin də "yaşamaq hüququ" var - bəzi hallarda onun mürəkkəbliyi Leybniz düsturunun tətbiqinin mürəkkəbliyi ilə müqayisə edilə bilər. Müvafiq hesab edirsinizsə istifadə edin - bu, çətin ki, tapşırığı yerinə yetirməmək üçün səbəb ola bilər.

Qısa bir həll və dərsin sonunda cavab.

Son paraqrafı qaldırmaq üçün bacarmalısan gizli funksiyaları fərqləndirir:

Dolayı şəkildə göstərilən funksiyaların daha yüksək dərəcəli törəmələri

Bir çoxumuz həyatımızın uzun saatlarını, günlərini və həftələrini oxumağa sərf etmişik dairələr, parabolalar, hiperbola- və bəzən bu, əsl cəza kimi görünürdü. Odur ki, intiqam alaq və onları düzgün şəkildə fərqləndirək!

Onun içindəki “məktəb” parabolası ilə başlayaq kanonik mövqe:

Misal 14

Tənlik verilir. tap .

Həll: İlk addım tanışdır:

Funksiya və onun törəməsinin üstüörtülü şəkildə ifadə olunması məsələnin mahiyyətini dəyişmir, ikinci törəmə 1-ci törəmənin törəməsidir:

Bununla belə, oyunun qaydaları var: adətən 2-ci və daha yüksək dərəcəli törəmələr ifadə edilir yalnız "X" və "Y" vasitəsilə. Beləliklə, nəticədə 2-ci törəmə ilə: -i əvəz edirik:

Üçüncü törəmə 2-ci törəmənin törəməsidir:

Eynilə, əvəz edək:

Cavab verin:

"Məktəb" hiperbolası kanonik mövqe- Üçün müstəqil iş:

Misal 15

Tənlik verilir. tap .

Təkrar edirəm ki, 2-ci törəmə və nəticə yalnız “x”/“y” vasitəsilə ifadə edilməlidir!

Qısa bir həll və dərsin sonunda cavab.

Uşaqların zarafatlarından sonra Alman pornoqrafiyasına baxaq, daha böyüklər üçün nümunələrə baxaq, onlardan başqa bir vacib həlli öyrənəcəyik:

Misal 16

Ellipsözü.

Həll: 1-ci törəməni tapaq:

İndi dayanaq və növbəti məqamı təhlil edək: indi kəsri fərqləndirməliyik, bu heç də xoş deyil. Bu vəziyyətdə, əlbəttə ki, sadədir, lakin real həyat problemlərində belə hədiyyələr çox azdır. Çətin törəməni tapmamağın bir yolu varmı? Mövcuddur! Tənliyi götürürük və 1-ci törəməni tapmaqda olduğu kimi eyni texnikadan istifadə edirik - hər iki tərəfə vuruşları "asırıq":

İkinci törəmə yalnız və ifadəsi ilə ifadə edilməlidir, deməli, indi (hazırda) 1-ci törəmədən xilas olmaq rahatdır. Bunu etmək üçün yaranan tənliyi əvəz edin:

Lazımsız texniki çətinliklərin qarşısını almaq üçün hər iki hissəni aşağıdakılarla çarpaq:

Və yalnız son mərhələdə fraksiyanı tərtib edirik:

İndi orijinal tənliyə baxırıq və əldə edilən nəticənin sadələşdirilə biləcəyini görürük:

Cavab verin:

İstənilən nöqtədə 2-ci törəmənin qiymətini necə tapmaq olar (əlbəttə ki, ellipsə aiddir) məsələn, nöqtədə ? Çox asan! Haqqında dərsdə bu motivə artıq rast gəlinmişdir normal tənlik: ifadədə 2-ci törəməni əvəz etməlisiniz :

Əlbəttə ki, hər üç halda açıq şəkildə əldə etmək olar müəyyən edilmiş funksiyalar və onları fərqləndirin, lakin sonra kökləri olan iki funksiya ilə işləməyə zehni olaraq hazır olun. Məncə, həlli “qeyri-müəyyən şəkildə” həyata keçirmək daha əlverişlidir.

Özünüz həll etmək üçün son nümunə:

Misal 17

Dolayı şəkildə müəyyən edilmiş funksiyanı tapın

üçün Leibniz düsturu verilmişdir n-ci hesablamalar iki funksiyanın hasilinin törəməsi. Onun sübutu iki şəkildə verilir. n-ci dərəcəli törəmənin hesablanması nümunəsi nəzərdən keçirilir.

Məzmun

Həmçinin bax: İki funksiyanın hasilinin törəməsi

Leybniz düsturu

Leybnits düsturundan istifadə edərək iki funksiyanın hasilinin n-ci dərəcəli törəməsini hesablaya bilərsiniz. Bu belə görünür:
(1) ,
Harada
- binomial əmsallar.

Binom əmsalları bir binomialın güclərdə genişlənmə əmsallarıdır və:
.
Həmçinin ədəd n-dən k-yə qədər olan birləşmələrin sayıdır.

Leibniz düsturunun sübutu

İki funksiyanın hasilinin törəməsi üçün düstur tətbiq edək:
(2) .
(2) düsturu aşağıdakı formada yenidən yazaq:
.
Yəni hesab edirik ki, bir funksiya x dəyişənindən, digəri isə y dəyişənindən asılıdır. Hesablamanın sonunda biz fərz edirik. Onda əvvəlki düstur aşağıdakı kimi yazıla bilər:
(3) .
Törəmə şərtlərin cəminə bərabər olduğundan və hər bir müddət iki funksiyanın məhsulu olduğundan, daha yüksək dərəcəli törəmələri hesablamaq üçün ardıcıl olaraq (3) qaydasını tətbiq etmək olar.

Onda n-ci dərəcəli törəmə üçün əlimizdə:

.
Bunu nəzərə alaraq və Leibniz düsturunu alırıq:
(1) .

İnduksiya ilə sübut

Riyazi induksiya metodundan istifadə etməklə Leybnits düsturunun sübutunu təqdim edək.

Gəlin bir daha Leibniz düsturunu yazaq:
(4) .
n = 1 üçün bizdə:
.
Bu, iki funksiyanın hasilinin törəməsi üçün düsturdur. O ədalətlidir.

Fərz edək ki, (4) düsturu n-ci dərəcəli törəmə üçün etibarlıdır. Bunun n+ törəməsi üçün etibarlı olduğunu sübut edək 1 -ci sifariş.

Fərqləndirək (4):
;



.
Beləliklə, tapdıq:
(5) .

(5) bəndini əvəz edək və nəzərə alaq:

.
Bu, düsturun (4) n+ törəməsi üçün eyni formaya malik olduğunu göstərir 1 -ci sifariş.

Deməli, düstur (4) n = üçün etibarlıdır 1 . Bəzi n = m ədədi üçün uyğun olduğu fərziyyəsindən belə çıxır ki, n = m + üçün uyğundur. 1 .
Leybnitsin düsturu sübut edilmişdir.

Misal

Funksiyanın n-ci törəməsini hesablayın
.

Leybnitsin düsturunu tətbiq edək
(2) .
Bizim vəziyyətimizdə
;
.

Törəmələr cədvəlindən əldə edirik:
.
Triqonometrik funksiyaların xassələrini tətbiq edirik:
.
Sonra
.
Bu onu göstərir ki, sinus funksiyasının differensiallaşdırılması onun - ilə yerdəyişməsinə gətirib çıxarır. Sonra
.

Funksiyanın törəmələrinin tapılması.
;
;
;
, .

Çünki üçün, onda Leybniz düsturunda yalnız ilk üç hədd sıfırdan fərqlidir. Binom əmsallarının tapılması.
;
.

Leybnitsin düsturuna görə bizdə:

.

Həmçinin bax:

Tətbiq olunan məsələlərin həlli inteqralın hesablanmasına gəlir, lakin bunu həmişə dəqiq yerinə yetirmək mümkün olmur. Bəzən müəyyən bir inteqralın qiymətini müəyyən dərəcədə dəqiqliklə, məsələn, minə qədər bilmək lazımdır.

Müəyyən bir inteqralın təxmini dəyərini tələb olunan dəqiqliklə tapmaq lazım olduqda problemlər yaranır, sonra Simposnı üsulu, trapezoidlər və düzbucaqlılar kimi ədədi inteqrasiyadan istifadə olunur. Bütün hallar onu müəyyən dəqiqliklə hesablamağa imkan vermir.

Bu məqalə Nyuton-Leybniz düsturunun tətbiqini araşdırır. Bu, müəyyən inteqralın dəqiq hesablanması üçün lazımdır. veriləcək ətraflı nümunələr, müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişiklikləri nəzərə alınır və hissələr üzrə inteqral edildikdə müəyyən inteqralın qiymətlərini tapırıq.

Nyuton-Leybnits düsturu

Tərif 1

y = y (x) funksiyası [ a intervalından kəsilməz olduqda; b ] , və F (x) bu seqmentin funksiyasının əks törəmələrindən biridir, onda Nyuton-Leybnits düsturuədalətli hesab edilir. Bunu belə yazaq: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Bu formula nəzərə alın inteqral hesablamanın əsas düsturu.

Bu düsturun sübutunu yaratmaq üçün mövcud dəyişən yuxarı həddi olan inteqral anlayışından istifadə etmək lazımdır.

y = f (x) funksiyası [ a intervalından kəsilməz olduqda; b ], onda x ∈ a arqumentinin qiyməti; b , inteqral isə ∫ a x f (t) d t formasına malikdir və yuxarı hədd funksiyası hesab olunur. ∫ a x f (t) d t = Φ (x) formasını alacaq funksiyanın qeydini götürmək lazımdır, o, davamlıdır və ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = şəklində bərabərsizlikdir. f (x) bunun üçün etibarlıdır.

Təsdiq edək ki, Φ (x) funksiyasının artımı ∆ x arqumentinin artımına uyğundur, müəyyən inteqralın beşinci əsas xassəsindən istifadə etmək lazımdır və alırıq.

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

burada c ∈ x dəyəri; x + ∆ x .

Bərabərliyi Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) şəklində təyin edək. Funksiya törəməsinin tərifi ilə ∆ x → 0 kimi həddə getmək lazımdır, onda Φ " (x) = f (x) formasının düsturunu alırıq. Biz tapırıq ki, Φ (x) [a;b] üzərində yerləşən y = f (x) formalı funksiyanın əks törəmələrindən biri. Əks halda ifadə yazıla bilər.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, burada C-nin qiyməti sabitdir.

Müəyyən inteqralın birinci xassəsindən istifadə edərək F (a)-nı hesablayaq. Sonra bunu anlayırıq

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, deməli, C = F (a) alırıq. Nəticə F (b) hesablanarkən tətbiq edilir və alırıq:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), başqa sözlə, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Bərabərlik Nyuton-Leybnits düsturu ilə isbat edilir ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Funksiyanın artımını F x a b = F (b) - F (a) kimi qəbul edirik. Qeyddən istifadə etməklə Nyuton-Leybnits düsturu ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) formasını alır.

Düsturu tətbiq etmək üçün [ a seqmentindən y = f (x) inteqral funksiyasının y = F (x) əks törəmələrindən birini bilmək lazımdır; b ], bu seqmentdən antiderivativin artımını hesablayın. Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək hesablamaların bir neçə nümunəsinə baxaq.

Misal 1

Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə edərək ∫ 1 3 x 2 d x müəyyən inteqralını hesablayın.

Həll

Nəzərə alın ki, y = x 2 formasının inteqranı [ 1 ] intervalından kəsilməzdir; 3 ], onda bu intervalda inteqral oluna bilir. Cədvələ görə qeyri-müəyyən inteqrallar görürük ki, y = x 2 funksiyası x-in bütün real qiymətləri üçün antitörəmələr toplusuna malikdir, bu da x ∈ 1 deməkdir; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C kimi yazılacaq. C = 0 olan antitörəmə götürmək lazımdır, onda F (x) = x 3 3 alırıq.

Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə edirik və müəyyən inteqralın hesablanmasının ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 formasını aldığını tapırıq.

Cavab:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Misal 2

Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə edərək ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x müəyyən inteqralı hesablayın.

Həll

Verilmiş funksiya seqmentdən kəsilməzdir [ - 1 ; 2 ], bu o deməkdir ki, onun üzərində inteqrasiya oluna bilər. Diferensial işarəsi altında toplama üsulundan istifadə etməklə qeyri-müəyyən inteqral ∫ x · e x 2 + 1 d x qiymətini tapmaq lazımdır, onda ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d () alırıq. x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Deməli, y = x · e x 2 + 1 funksiyasının bütün x, x ∈ - 1 üçün etibarlı olan antitörəmələri çoxluğu var; 2.

C = 0-da əks törəməni götürmək və Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq etmək lazımdır. Sonra formanın ifadəsini alırıq

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Cavab:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Misal 3

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x və ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x inteqrallarını hesablayın.

Həll

Seqment - 4; - 1 2 inteqral işarəsi altında olan funksiyanın kəsilməz olduğunu bildirir, yəni inteqraldır. Buradan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyasının əks törəmələri çoxluğunu tapırıq. Bunu anlayırıq

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivativini götürmək lazımdır, sonra Nyuton-Leybniz düsturunu tətbiq edərək hesabladığımız inteqralı alırıq:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

İkinci inteqralın hesablanmasına davam edirik.

Seqmentdən [ - 1 ; 1 ] bizdə var ki, inteqral funksiya qeyri-məhdud hesab olunur, çünki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , onda belə çıxır ki, zəruri şərtdir seqmentdən inteqrasiya. Onda F (x) = 2 x 2 - 2 x [ - 1 intervalından y = 4 x 3 + 2 x 2 üçün antitörəmə deyil; 1 ], çünki O nöqtəsi seqmentə aiddir, lakin tərif sahəsinə daxil deyil. Bu o deməkdir ki, y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyası üçün [ - 1 ; 1].

Cavab: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,[ - 1 intervalından y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyası üçün müəyyən Riemann və Nyuton-Leybnits inteqralı var; 1].

Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə etməzdən əvvəl müəyyən inteqralın varlığını dəqiq bilmək lazımdır.

Müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişdirilməsi

y = f (x) funksiyası təyin olunduqda və [ a intervalından kəsilməz olduqda; b], sonra mövcud dəst [a; b] α seqmentində müəyyən edilmiş x = g (z) funksiyasının qiymət diapazonu hesab olunur; β mövcud davamlı törəmə ilə, burada g (α) = a və g β = b, buradan əldə edirik ki, ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Bu düstur ∫ a b f (x) d x inteqralını hesablamaq lazım olduqda istifadə olunur, burada qeyri-müəyyən inteqral ∫ f (x) d x formasına malikdir, biz əvəzetmə üsulu ilə hesablayırıq.

Misal 4

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x formasının müəyyən inteqralını hesablayın.

Həll

İnteqral funksiyası inteqrasiya intervalında davamlı hesab olunur, bu isə müəyyən inteqralın mövcud olması deməkdir. Qeyd edək ki, 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. x = 9 dəyəri o deməkdir ki, z = 2 9 - 9 = 9 = 3 və x = 18 üçün z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 alırıq, onda g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Alınan dəyərləri ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z düsturu ilə əvəz etdikdə əldə edirik ki,

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinə əsasən bizdə belə olur ki, 2 z 2 + 9 funksiyasının əks törəmələrindən biri 2 3 a r c t g z 3 qiymətini alır. Sonra Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq edərkən bunu əldə edirik

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r 1 c = π 1 c = π 3 8

Tapıntı ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z düsturundan istifadə etmədən həyata keçirilə bilər.

Əvəzetmə metodundan istifadə etsək, ∫ 1 x 2 x - 9 d x formasının inteqralından istifadə etsək, onda ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C nəticəsinə gələ bilərik.

Buradan Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə edərək hesablamalar aparacağıq və müəyyən inteqralı hesablayacağıq. Bunu anlayırıq

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c tr c = π 3 a r c tr c = π 3 - π 3 = π 18

Nəticələr eyni idi.

Cavab: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Müəyyən inteqral hesablanarkən hissələr üzrə inteqrasiya

Əgər seqmentdə [ a ; b ] u (x) və v (x) funksiyaları müəyyən edilmiş və davamlıdır, onda onların birinci dərəcəli törəmələri v " (x) · u (x) inteqral edilə biləndir, beləliklə inteqrallana bilən u " (x) funksiyası üçün bu seqmentdən · v ( x) bərabərliyi ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x doğrudur.

O zaman düsturdan istifadə etmək olar, ∫ a b f (x) d x inteqralını hesablamaq lazımdır, ∫ f (x) d x isə hissələr üzrə inteqraldan istifadə edərək onu axtarmaq lazım idi.

Misal 5

Müəyyən inteqralı hesablayın ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Həll

x · sin x 3 + π 6 funksiyası - π 2 intervalında inteqral oluna bilir; 3 π 2, yəni davamlıdır.

Qoy u (x) = x, sonra d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, və d (u (x)) = u " (x) d x = d x, və v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x düsturundan əldə edirik ki,

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Məsələni başqa bir şəkildə həll etmək olar.

Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə edərək hissələr üzrə inteqraldan istifadə edərək x · sin x 3 + π 6 funksiyasının əks törəmələri çoxluğunu tapın:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Cavab: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın