Problemlərdə paraleloqram. Paraleloqramın sahəsi Tərəflərini bilən paraleloqramın sahəsini necə hesablamaq olar

Paraleloqram, həndəsə kursunun (bölmə planimetriyası) problemlərində tez-tez rast gəlinən həndəsi fiqurdur. Bu dördbucağın əsas xüsusiyyətləri əks bucaqların bərabərliyi və iki cüt paralel qarşı tərəfin olmasıdır. Paraleloqramın xüsusi halları romb, düzbucaqlı, kvadratdır.

Bu tip çoxbucaqlıların sahəsinin hesablanması bir neçə yolla edilə bilər. Gəlin onların hər birinə nəzər salaq.

Tərəfi və hündürlüyü məlumdursa, paraleloqramın sahəsini tapın

Paraleloqramın sahəsini hesablamaq üçün onun tərəfinin dəyərlərindən, həmçinin üzərinə endirilən hündürlüyün uzunluğundan istifadə edə bilərsiniz. Bu halda, əldə edilən məlumatlar həm məlum tərəfin - fiqurun əsasının, həm də fiqurun yan tərəfinin ixtiyarınızda olması halında etibarlı olacaqdır. Bu vəziyyətdə tələb olunan dəyər düsturdan istifadə edərək əldə ediləcək:

S = a * h (a) = b * h (b),

S müəyyən edilməli olan sahədir,
a, b - məlum (və ya hesablanmış) tərəf,
h onun üzərinə endirilən hündürlükdür.

Misal: paraleloqramın bünövrəsinin qiyməti 7 sm, əks təpədən ona endirilən perpendikulyarın uzunluğu 3 sm-dir.

Həlli:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

2 tərəfi və onların arasındakı bucaq məlumdursa, paraleloqramın sahəsini tapın

Fiqurun iki tərəfinin ölçülərini, eləcə də onların öz aralarında yaratdığı bucağın dərəcə ölçüsünü bildiyiniz halı nəzərdən keçirək. Verilən məlumatlar paraleloqramın sahəsini tapmaq üçün də istifadə edilə bilər. Bu halda düstur ifadəsi belə görünəcək:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

a - tərəf,
c – məlum (və ya hesablanmış) baza,
α, β – a və c tərəfləri arasındakı bucaqlar.

Misal: paraleloqramın əsası 10 sm, tərəfi 4 sm azdır. Şəklin küt bucağı 135°-dir.

Həlli: ikinci tərəfin qiymətini təyin edin: 10 – 4 = 6 sm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Diaqonallar və onların arasındakı bucaq məlumdursa, paraleloqramın sahəsini tapın

Verilmiş çoxbucaqlının diaqonallarının məlum qiymətlərinin, eləcə də onların kəsişməsi nəticəsində əmələ gələn bucağın olması fiqurun sahəsini təyin etməyə imkan verir.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S müəyyən ediləcək sahədir,
d1, d2 – məlum (və ya hesablamalarla hesablanmış) diaqonallar,
γ, φ – d1 və d2 diaqonalları arasındakı bucaqlar.

Paraleloqram tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlıdır.

Bu şəkildə əks tərəflər və bucaqlar bir-birinə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və onu ikiyə bölür. Paraleloqramın sahəsi üçün düsturlar tərəflərdən, hündürlükdən və diaqonallardan istifadə edərək dəyəri tapmağa imkan verir. Xüsusi hallarda paraleloqram da təqdim edilə bilər. Onlar düzbucaqlı, kvadrat və romb hesab olunur.
Əvvəlcə paraleloqramın hündürlüyünə və aşağı salındığı tərəfə görə sahəsinin hesablanması nümunəsinə baxaq.

Bu iş klassik sayılır və əlavə araşdırma tələb etmir. İki tərəfdən ərazini və onların arasındakı bucağı hesablamaq üçün düsturları nəzərdən keçirmək daha yaxşıdır. Hesablamalarda eyni üsuldan istifadə olunur. Əgər tərəflər və onların arasındakı bucaq verilirsə, onda sahə aşağıdakı kimi hesablanır:

Tutaq ki, bizə tərəfləri a = 4 sm, b = 6 sm olan paraleloqram verilmişdir.Onların arasındakı bucaq α = 30°-dir. Ərazini tapaq:

Diaqonallar vasitəsilə paraleloqramın sahəsi

Diaqonallardan istifadə edərək paraleloqramın sahəsi üçün düstur dəyəri tez tapmağa imkan verir.
Hesablamalar üçün diaqonallar arasında yerləşən bucağın ölçüsünə ehtiyacınız olacaq.

Diaqonallardan istifadə edərək paraleloqramın sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirək. Diaqonalları D = 7 sm, d = 5 sm olan paraleloqram verilsin.Onlar arasındakı bucaq α = 30°-dir. Verilənləri düsturla əvəz edək:

Diaqonal vasitəsilə paraleloqramın sahəsini hesablamaq nümunəsi bizə əla nəticə verdi - 8,75.

Diaqonal vasitəsilə paraleloqramın sahəsinin düsturunu bilməklə bir çox maraqlı məsələləri həll edə bilərsiniz. Onlardan birinə nəzər salaq.

Tapşırıq: Sahəsi 92 kvadratmetr olan paraleloqram verilmişdir. bax F nöqtəsi onun BC tərəfinin ortasında yerləşir. Gəlin sahəsini tapaq paraleloqramımızda yerləşəcək trapesiya ADFB. Əvvəlcə şərtlərə uyğun olaraq aldığımız hər şeyi çəkək.
Həll yoluna keçək:

Şərtlərimizə görə, ah =92 və buna görə də trapesiyamızın sahəsi bərabər olacaq

Paraleloqramın sahəsi

Teorem 1

Paraleloqramın sahəsi onun tərəfinin uzunluğu ilə ona çəkilən hündürlüyün hasilinə bərabər müəyyən edilir.

burada $a$ paraleloqramın tərəfidir, $h$ bu tərəfə çəkilmiş hündürlükdür.

Sübut.

Bizə $AD=BC=a$ olan $ABCD$ paraleloqramı verilsin. $DF$ və $AE$ yüksəkliklərini çəkək (şək. 1).

Şəkil 1.

Aydındır ki, $FDAE$ rəqəmi düzbucaqlıdır.

\[\bucaq BAE=(90)^0-\bucaq A,\ \] \[\bucaq CDF=\bucaq D-(90)^0=(180)^0-\bucaq A-(90)^0 =(90)^0-\bucaq A=\BAE bucağı\]

Nəticədə, $CD=AB,\ DF=AE=h$ olduğundan, $I$ üçbucaqlarının bərabərliyi meyarına görə $\triangle BAE=\triangle CDF$. Sonra

Beləliklə, düzbucaqlının sahəsi haqqında teoremə görə:

Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 2

Paraleloqramın sahəsi onun bitişik tərəflərinin uzunluğunun bu tərəflər arasındakı bucağın sinusunun çarpımı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

burada $a,\b$ paraleloqramın tərəfləri, $\alpha$ onların arasındakı bucaqdır.

Sübut.

Bizə $BC=a,\ CD=b,\ \bucaq C=\alfa $ olan $ABCD$ paraleloqramı verilsin. $DF=h$ hündürlüyünü çəkək (şək. 2).

Şəkil 2.

Sinusun tərifinə görə alırıq

Beləliklə

Beləliklə, Teoremlə $1$:

Teorem sübut edilmişdir.

Üçbucağın sahəsi

Teorem 3

Üçbucağın sahəsi onun tərəfinin uzunluğunun və ona çəkilən hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

burada $a$ üçbucağın tərəfidir, $h$ bu tərəfə çəkilmiş hündürlükdür.

Sübut.

Şəkil 3.

Beləliklə, Teoremlə $1$:

Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 4

Üçbucağın sahəsi onun bitişik tərəflərinin uzunluğunun və bu tərəflər arasındakı bucağın sinusunun məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

burada $a,\b$ üçbucağın tərəfləri, $\alfa$ onların arasındakı bucaqdır.

Sübut.

Bizə $AB=a$ olan $ABC$ üçbucağı verilsin. $CH=h$ hündürlüyünü tapaq. Onu $ABCD$ paraleloqramına qədər quraq (şək. 3).

Aydındır ki, üçbucaqların bərabərliyi üçün $I$ meyarına görə, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Sonra

Beləliklə, Teoremlə $1$:

Teorem sübut edilmişdir.

Trapezoid sahəsi

Teorem 5

Trapezoidin sahəsi onun əsaslarının uzunluqları və hündürlüyü cəminin məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir.

Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar

Sübut.

Bizə $ABCK$ trapesiya verilsin, burada $AK=a,\ BC=b$. Gəlin orada $BM=h$ və $KP=h$ yüksəkliklərini, həmçinin $BK$ diaqonalını çəkək (şək. 4).

Şəkil 4.

Teoremlə $3$ alırıq

Teorem sübut edilmişdir.

Nümunə tapşırıq

Misal 1

Yan uzunluğu $a.$ olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapın

Həll.

Üçbucaq bərabərtərəfli olduğundan onun bütün bucaqları $(60)^0$-a bərabərdir.

Sonra teoremə görə 4$-a sahibik

Cavab:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Qeyd edək ki, bu məsələnin nəticəsi verilmiş tərəfi olan hər hansı bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapmaq üçün istifadə edilə bilər.

Paraleloqramın tərifi

Paraleloqraməks tərəflərinin bərabər və paralel olduğu dördbucaqlıdır.

Onlayn kalkulyator

Paraleloqramın bəziləri var faydalı xassələri, bu rəqəmlə əlaqəli problemlərin həllini asanlaşdıran. Məsələn, xüsusiyyətlərdən biri paraleloqramın əks bucaqlarının bərabər olmasıdır.

Sadə nümunələri həll etməklə bir neçə üsul və düsturları nəzərdən keçirək.

Əsasına və hündürlüyünə əsaslanan paraleloqramın sahəsi üçün düstur

Sahənin tapılmasının bu üsulu, ehtimal ki, ən sadə və sadə üsullardan biridir, çünki bir neçə istisna ilə üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düsturla demək olar ki, eynidir. Əvvəlcə rəqəmlərdən istifadə etmədən ümumiləşdirilmiş işə baxaq.

Əsası olan ixtiyari paraleloqram verilsin a a a, yan b b b və hündürlük H h h, bazamıza aparıldı. Sonra bu paraleloqramın sahəsi üçün düstur belədir:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- əsas;
H h h- hündürlük.

Tipik problemləri həll etmək üçün məşq etmək üçün asan bir problemə baxaq.

Misal

Əsasının 10 (sm) və hündürlüyü 5 (sm) olduğu bilinən paraleloqramın sahəsini tapın.

Həll

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Biz onu düsturumuzda əvəz edirik. Biz əldə edirik:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (kv. bax)

Cavab: 50 (kv. bax)

İki tərəfə və aralarındakı bucağa əsaslanan paraleloqramın sahəsi üçün düstur

Bu vəziyyətdə tələb olunan dəyər aşağıdakı kimi tapılır:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alfa)S=a ⋅b ⋅günah(α)

A, b a, b a, b- paraleloqramın tərəfləri;
α\alfa α - tərəflər arasındakı bucaq a a a Və b b b.

İndi başqa bir nümunəni həll edək və yuxarıda təsvir olunan düsturdan istifadə edək.

Misal

Tərəfi məlumdursa, paraleloqramın sahəsini tapın a a a, əsas olan və uzunluğu 20 (sm) və perimetri olan səh səh, ədədi olaraq 100 (sm), bitişik tərəflər arasındakı bucaq ( a a a Və b b b) 30 dərəcəyə bərabərdir.

Həll

A = 20 a=20 a =2 0
p = 100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Cavab tapmaq üçün biz bu dördbucağın yalnız ikinci tərəfini bilirik. Gəlin onu tapaq. Paraleloqramın perimetri düsturla verilir:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a +a +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b =3 0

Ən çətin hissə bitdi, qalan yalnız tərəflər və onların arasındakı bucaq üçün dəyərlərimizi əvəz etməkdir:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ günah (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (kv. bax)

Cavab: 300 (kv. bax)

Diaqonallara və onların arasındakı bucağa əsaslanan paraleloqramın sahəsi üçün düstur

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alfa)S=2 1 ⋅ D⋅d⋅günah(α)

D D D- böyük diaqonal;
d d d- kiçik diaqonal;
α\alfa α - diaqonallar arasında kəskin bucaq.

Misal

10 (sm) və 5 (sm) bərabər paraleloqramın diaqonalları verilmişdir. Onların arasındakı bucaq 30 dərəcədir. Onun sahəsini hesablayın.

Həll

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ günah (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (kv. bax)

Kvadrat həndəsi fiqur - bu fiqurun ölçüsünü göstərən həndəsi fiqurun ədədi xarakteristikası (bu fiqurun qapalı konturu ilə məhdudlaşan səthin bir hissəsi). Sahənin ölçüsü onda olan kvadrat vahidlərin sayı ilə ifadə edilir.

Üçbucaq sahəsi düsturları

Yan tərəfə və hündürlüyə görə üçbucağın sahəsi üçün düstur
Üçbucağın sahəsiüçbucağın bir tərəfinin uzunluğunun və bu tərəfə çəkilmiş hündürlüyün uzunluğunun hasilinin yarısına bərabərdir.
Üç tərəfə və dairənin radiusuna əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur
Üç tərəfə və yazılmış dairənin radiusuna əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur
Üçbucağın sahəsiüçbucağın yarımperimetri ilə daxili çevrənin radiusunun hasilinə bərabərdir.

Kvadrat sahə düsturları

Yan uzunluğu kvadratın sahəsi üçün düstur
Kvadrat sahə tərəfinin uzunluğunun kvadratına bərabərdir.
Diaqonal uzunluğu boyunca kvadratın sahəsi üçün düstur
Kvadrat sahə diaqonalının uzunluğunun kvadratının yarısına bərabərdir.
S= 1 2
2

Düzbucaqlı sahə düsturu

Düzbucaqlının sahəsi

Paraleloqram sahə düsturları

Yan uzunluğu və hündürlüyü əsasında paraleloqramın sahəsi üçün düstur
Paraleloqramın sahəsi
İki tərəfə və aralarındakı bucağa əsaslanan paraleloqramın sahəsi üçün düstur
Paraleloqramın sahəsi tərəflərinin uzunluqlarının hasilinin onların arasındakı bucağın sinusuna bərabərdir.
a b sin α

Rombun sahəsi üçün düsturlar

Yan uzunluğuna və hündürlüyünə əsaslanan rombun sahəsi üçün düstur
Rombun sahəsi onun tərəfinin uzunluğu ilə bu tərəfə endirilən hündürlüyün uzunluğunun hasilinə bərabərdir.
Yan uzunluğuna və bucağına əsaslanan rombun sahəsi üçün düstur
Rombun sahəsi onun tərəfinin uzunluğunun kvadratının və rombun tərəfləri arasındakı bucağın sinusunun hasilinə bərabərdir.
Diaqonallarının uzunluğuna əsaslanan bir rombun sahəsi üçün düstur
Rombun sahəsi onun diaqonallarının uzunluqlarının hasilinin yarısına bərabərdir.

Trapezoid sahəsinin düsturları

Trapesiya üçün Heron düsturu
Harada S trapezoidin sahəsidir,
- trapezoidin əsaslarının uzunluqları,
- trapezoidin tərəflərinin uzunluqları,