Tənliklər sistemi və ya hesab əlaqələri kimi və ya həndəsi fiqurlar, və ya hər ikisinin birləşməsi, riyaziyyat vasitəsi ilə öyrənilməsi, əsas qanunauyğunluqları təsvir edən riyazi əlaqələr, tənliklər, bərabərsizliklər toplusu kimi real dünya obyektinin müəyyən xassələrinin xassələri haqqında verilən suallara cavab verməlidir. tədqiq olunan prosesə, obyektə və ya sistemə xas olan.

Avtomatlaşdırılmış idarəetmə sistemlərində nəzarətçinin iş alqoritmini təyin etmək üçün riyazi modeldən istifadə olunur. Bu alqoritm nəzarət məqsədinə nail olmaq üçün masterdakı dəyişiklikdən asılı olaraq nəzarət hərəkətinin necə dəyişdirilməsini müəyyən edir.

Modelin təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı istifadə olunan riyazi vasitələrin təsnifatına əsaslanır. Çox vaxt dixotomiyalar şəklində qurulur. Məsələn, məşhur dixotomiya dəstlərindən biri:

və s. Hər bir qurulmuş model xətti və ya qeyri-xətti, deterministik və ya stoxastik, ... Təbii olaraq, qarışıq tiplər də mümkündür: bir cəhətdən cəmlənmiş (parametrlər baxımından), digərində paylanmış və s.

Obyektin təmsil olunma üsuluna görə təsnifat

Formal təsnifatla yanaşı, modellər obyekti təmsil etmə tərzinə görə fərqlənir:

• Struktur və ya funksional modellər

Elmdə model fərziyyələr birdəfəlik sübut oluna bilməz, yalnız eksperiment nəticəsində onların təkzib və ya təkzib edilməməsindən danışmaq olar.

Əgər birinci tip model qurulursa, bu o deməkdir ki, o, müvəqqəti olaraq həqiqət kimi qəbul edilir və başqa problemlər üzərində cəmləşə bilər. Lakin bu, tədqiqatda bir məqam ola bilməz, ancaq müvəqqəti fasilədir: birinci tip modelin statusu yalnız müvəqqəti ola bilər.

Fenomenoloji model

İkinci növ fenomenoloji modeldir ( "Özümüzü elə aparırıq ki..."), fenomeni təsvir etmək üçün bir mexanizm ehtiva edir, baxmayaraq ki, bu mexanizm kifayət qədər inandırıcı olmasa da, mövcud məlumatlar tərəfindən kifayət qədər təsdiq edilə bilməz və ya mövcud nəzəriyyələrə və obyekt haqqında yığılmış biliklərə uyğun gəlmir. Buna görə də fenomenoloji modellər müvəqqəti həllər statusuna malikdir. Hesab olunur ki, cavab hələ də məlum deyil və “əsl mexanizmlər”in axtarışı davam etdirilməlidir. Peierls, məsələn, ikinci növ kimi elementar hissəciklərin kalorili modelini və kvark modelini ehtiva edir.

Tədqiqatda modelin rolu zamanla dəyişə bilər və ola bilər ki, yeni məlumatlar və nəzəriyyələr fenomenoloji modelləri təsdiqləyir və onlar hipotez statusuna yüksəlir. Eynilə, yeni biliklər tədricən birinci tip fərziyyə modelləri ilə ziddiyyət təşkil edə bilər və onlar ikinciyə çevrilə bilər. Beləliklə, kvark modeli tədricən fərziyyələr kateqoriyasına keçir; fizikada atomizm müvəqqəti həll yolu kimi yarandı, lakin tarixin gedişatı ilə birinci tip oldu. Lakin efir modelləri 1-ci tipdən 2-ci tipə keçdilər və indi elmdən kənardadırlar.

Modellər qurarkən sadələşdirmə ideyası çox populyardır. Amma sadələşdirmə müxtəlif formalarda olur. Peierls modelləşdirmədə üç növ sadələşdirməni müəyyən edir.

Təxminən

Modellərin üçüncü növü təxmini hesablamalardır ( “Biz çox böyük və ya çox kiçik bir şeyi hesab edirik”). Əgər tədqiq olunan sistemi təsvir edən tənliklər qurmaq mümkündürsə, bu o demək deyil ki, onları hətta kompüterin köməyi ilə də həll etmək olar. Bu vəziyyətdə ümumi qəbul edilmiş bir texnika təxminlərin istifadəsidir (3-cü tip modellər). Onların arasında xətti cavab modelləri. Tənliklər xətti olanlarla əvəz olunur. Standart bir nümunə Ohm qanunudur.

Düşüncə eksperimenti

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Harada x ¨ (\displaystyle (\ddot (x)))-nin ikinci törəməsi deməkdir x (\displaystyle x) vaxta görə: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Alınan tənlik nəzərdən keçirilən fiziki sistemin riyazi modelini təsvir edir. Bu model "harmonik osilator" adlanır.

Formal təsnifata görə bu model xətti, deterministik, dinamik, konsentrasiyalı, davamlıdır. Onun qurulması prosesində biz bir çox fərziyyələr irəli sürdük (xarici qüvvələrin olmaması, sürtünmənin olmaması, sapmaların kiçikliyi və s. haqqında), əslində bunlar yerinə yetirilməyə bilər.

Reallıqla əlaqədar olaraq, bu, ən çox 4-cü tip modeldir sadələşdirmə(“Aydınlıq üçün bəzi təfərrüatları buraxacağıq”), çünki bəzi vacib universal xüsusiyyətlər (məsələn, dağılma) buraxılmışdır. Bəzi təxmini hesablamalara görə (məsələn, yükün tarazlıqdan sapması az sürtünmə ilə, çox vaxt və müəyyən digər şərtlərə tabe olsa da), belə bir model real mexaniki sistemi olduqca yaxşı təsvir edir, çünki atılan amillər davranışına əhəmiyyətsiz təsir göstərir. Bununla belə, model bu amillərdən bəzilərini nəzərə alaraq dəqiqləşdirilə bilər. Bu, daha geniş (yenidən məhdud olsa da) tətbiq dairəsinə malik yeni modelə gətirib çıxaracaq.

Bununla belə, modeli təkmilləşdirərkən onun riyazi tədqiqatının mürəkkəbliyi əhəmiyyətli dərəcədə arta və modeli praktik olaraq yararsız hala sala bilər. Çox vaxt daha sadə model daha mürəkkəb (və formal olaraq “daha ​​düzgün”) ilə müqayisədə real sistemin daha yaxşı və daha dərindən araşdırılmasına imkan verir.

Harmonik osilator modelini fizikadan uzaq obyektlərə tətbiq etsək, onun substantiv statusu fərqli ola bilər. Məsələn, bu modeli bioloji populyasiyalara tətbiq edərkən, çox güman ki, 6-cı tip kimi təsnif edilməlidir bənzətmə(“yalnız bəzi xüsusiyyətləri nəzərə alaq”).

Sərt və yumşaq modellər

Harmonik osilator "sərt" adlanan modelə bir nümunədir. Həqiqi fiziki sistemin güclü ideallaşdırılması nəticəsində əldə edilir. Harmonik osilatorun xassələri keyfiyyətcə kiçik pozğunluqlarla dəyişdirilir. Məsələn, sağ tərəfə kiçik bir termin əlavə etsəniz − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\nöqtə (x)))(sürtünmə) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- bəzi kiçik parametr), onda əlavə terminin işarəsini dəyişdirsək, eksponensial sönümlü salınımlar alırıq. (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\nöqtə (x)))) sonra sürtünmə nasosa çevriləcək və salınımların amplitudası eksponent olaraq artacaq.

Sərt bir modelin tətbiqi məsələsini həll etmək üçün laqeyd etdiyimiz amillərin nə qədər əhəmiyyətli olduğunu başa düşmək lazımdır. Sərt olanın kiçik bir pozulması ilə əldə edilən yumşaq modelləri öyrənmək lazımdır. Harmonik osilator üçün onlar, məsələn, aşağıdakı tənliklə verilə bilər:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\nöqtə (x)))).

Burada f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\nöqtə (x))))- sürtünmə qüvvəsini və ya yayın sərtlik əmsalının onun uzanma dərəcəsindən asılılığını nəzərə ala bilən bəzi funksiyalar. Açıq funksiya forması f (\displaystyle f) Hazırda bizi maraqlandırmır.

Yumşaq modelin davranışının sərt olanın davranışından əsaslı şəkildə fərqlənmədiyini sübut etsək (narahat edən amillərin açıq növündən asılı olmayaraq, əgər onlar kifayət qədər kiçikdirlərsə), problem sərt modeli öyrənməyə qədər azalacaq. Əks halda, sərt modelin öyrənilməsindən əldə edilən nəticələrin tətbiqi əlavə tədqiqat tələb edəcəkdir.

Əgər sistem xırda pozğunluqlar zamanı öz keyfiyyət davranışını saxlayırsa, onun struktur olaraq sabit olduğu deyilir. Harmonik osilator struktur cəhətdən qeyri-sabit (kobud olmayan) sistemin nümunəsidir. Bununla belə, bu model məhdud müddət ərzində prosesləri öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.

Modellərin çox yönlü olması

Ən vacib riyazi modellər adətən mühüm xüsusiyyətə malikdir çox yönlülük: Prinsipcə fərqli real hadisələr eyni riyazi modellə təsvir edilə bilər. Məsələn, harmonik osilator təkcə yaydakı yükün davranışını deyil, həm də çox vaxt tamamilə fərqli xarakter daşıyan digər salınım proseslərini təsvir edir: sarkacın kiçik salınımları, mayenin səviyyəsindəki dalğalanmalar. U (\displaystyle U)-şəkilli gəmi və ya salınan dövrədə cərəyan gücünün dəyişməsi. Beləliklə, bir riyazi modeli öyrənməklə, onun təsvir etdiyi hadisələrin bütün sinfini dərhal öyrənirik. Məhz elmi biliyin müxtəlif seqmentlərində riyazi modellərlə ifadə olunan qanunların bu izomorfizmi Lüdviq fon Bertalanfini “ümumi sistemlər nəzəriyyəsi” yaratmağa ruhlandırdı.

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs məsələləri

Riyazi modelləşdirmə ilə bağlı çoxlu problemlər var. Birincisi, modelləşdirilmiş obyektin əsas diaqramını hazırlamalı, onu bu elmin idealizasiyaları çərçivəsində çoxaltmalısınız. Beləliklə, qatar vaqonu müxtəlif materiallardan lövhələr və daha mürəkkəb gövdələr sisteminə çevrilir, hər bir material onun standart mexaniki idealizasiyası (sıxlıq, elastik modullar, standart möhkəmlik xüsusiyyətləri) kimi müəyyən edilir, bundan sonra tənliklər tərtib edilir, yol boyu bəziləri detallar əhəmiyyətsiz kimi atılır, Hesablamalar aparılır, ölçmələrlə müqayisə edilir, model dəqiqləşdirilir və s. Bununla belə, riyazi modelləşdirmə texnologiyalarını inkişaf etdirmək üçün bu prosesi onun əsas komponentlərinə bölmək faydalıdır.

Ənənəvi olaraq, riyazi modellərlə əlaqəli iki əsas problem sinfi var: birbaşa və tərs.

Birbaşa tapşırıq: modelin strukturu və onun bütün parametrləri məlum hesab edilir, əsas vəzifə obyekt haqqında faydalı biliklər çıxarmaq üçün modelin tədqiqini aparmaqdır. Körpü hansı statik yükə tab gətirəcək? Dinamik yükə necə reaksiya verəcək (məsələn, bir əsgər şirkətinin yürüşü və ya müxtəlif sürətlə qatarın keçməsi), təyyarənin səs maneəsini necə keçəcəyi, çırpınmadan dağılacaqmı - bunlar birbaşa problemin tipik nümunələridir. Düzgün birbaşa problemin qoyulması (düzgün sualın verilməsi) xüsusi bacarıq tələb edir. Düzgün suallar verilməsə, körpünün davranışı üçün yaxşı bir model qurulsa belə, çökə bilər. Belə ki, 1879-cu ildə Böyük Britaniyada Firth of Tay üzərindən keçən metal Dəmiryol Körpüsü dağıldı, onun layihəçiləri körpünün maketini düzəltdilər, onu faydalı yükün hərəkəti üçün 20 qat təhlükəsizlik əmsalı üçün hesabladılar, lakin onu unutdular. həmin yerlərdə davamlı olaraq küləklər əsir. Və bir il yarımdan sonra dağıldı.

Ən sadə halda (məsələn, bir osilator tənliyi) birbaşa məsələ çox sadədir və bu tənliyin açıq həllinə qədər azalır.

Tərs problem: bir çox mümkün modellər məlumdur, obyekt haqqında əlavə məlumatlar əsasında konkret model seçilməlidir. Çox vaxt modelin strukturu məlumdur və bəzi naməlum parametrləri müəyyən etmək lazımdır. Əlavə məlumat əlavə empirik məlumatlardan və ya obyekt üçün tələblərdən ibarət ola bilər ( dizayn problemi). Tərs məsələnin həlli prosesindən asılı olmayaraq əlavə məlumatlar gələ bilər ( passiv müşahidə) və ya həll zamanı xüsusi olaraq planlaşdırılan təcrübənin nəticəsi ola bilər ( aktiv müşahidə).

Mövcud məlumatlardan maksimum istifadə etməklə tərs problemin ustalıqla həllinin ilk nümunələrindən biri müşahidə edilən sönümlü salınımlardan sürtünmə qüvvələrinin yenidən qurulması üçün Nyutonun metodu idi.

Başqa bir misal riyazi statistikadır. Bu elmin vəzifəsi kütləvi təsadüfi hadisələrin ehtimal modellərini qurmaq üçün müşahidə və eksperimental məlumatların qeydə alınması, təsviri və təhlili üsullarını hazırlamaqdır. Yəni, mümkün modellər toplusu ehtimal modelləri ilə məhdudlaşır. Xüsusi tapşırıqlarda modellər dəsti daha məhduddur.

Kompüter simulyasiya sistemləri

Riyazi modelləşdirməni dəstəkləmək üçün kompüter riyaziyyat sistemləri hazırlanmışdır, məsələn, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim və s. Onlar həm sadə, həm də mürəkkəb proseslərin və cihazların formal və blok modellərini yaratmağa və proses zamanı model parametrlərini asanlıqla dəyişməyə imkan verir. modelləşdirmə. Blok modelləri bloklarla təmsil olunur (ən çox qrafik), dəsti və əlaqəsi model diaqramı ilə müəyyən edilir.

Əlavə nümunələr

Maltus modeli

Maltusun təklif etdiyi modelə görə, artım tempi mövcud əhalinin sayına mütənasibdir, yəni diferensial tənliklə təsvir edilir:

x ˙ = α x (\displaystyle (\nöqtə (x))=\alfa x),

Harada α (\displaystyle \alpha)- məhsuldarlıq və ölüm arasındakı fərqlə müəyyən edilən müəyyən parametr. Bu tənliyin həlli eksponensial funksiyadır x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alfa t)). Doğum nisbəti ölüm nisbətini üstələyirsə ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), əhalinin sayı qeyri-məhduddur və çox sürətlə artır. Reallıqda bu, məhdud resurslara görə baş verə bilməz. Müəyyən bir kritik əhali ölçüsünə çatdıqda, model məhdud resursları nəzərə almadığı üçün adekvat olmağı dayandırır. Maltus modelinin təkmilləşdirilməsi Verhulst diferensial tənliyi ilə təsvir edilən logistik model ola bilər:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\nöqtə (x))=\alfa \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\sağ)x),

doğum nisbətinin tam olaraq ölüm nisbəti ilə kompensasiya olunduğu "tarazlıq" populyasiya ölçüsü haradadır. Belə bir modeldə əhalinin ölçüsü tarazlıq dəyərinə meyl edir x s (\displaystyle x_(s)), və bu davranış struktur olaraq sabitdir.

Yırtıcı-yırtıcı sistem

Tutaq ki, müəyyən ərazidə iki növ heyvan yaşayır: dovşan (bitki yeyən) və tülkü (dovşan yeyən). Qoy dovşanların sayı x (\displaystyle x), tülkülərin sayı y (\displaystyle y). Dovşanların tülkülər tərəfindən yeməsini nəzərə almaq üçün lazımi düzəlişlərlə Maltus modelindən istifadə edərək, aşağıdakı sistemə çatırıq: modellər Tablalar - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(hallar)(\nöqtə (x))=(\alpha -cy)x\\(\nöqtə (y) ))=(-\beta +dx)y\end(hallar)))

Bu sistemin davranışı struktur cəhətdən sabit deyil: modelin parametrlərində kiçik bir dəyişiklik (məsələn, dovşanların ehtiyac duyduğu məhdud resursları nəzərə alaraq) davranışın keyfiyyətcə dəyişməsinə səbəb ola bilər.

Müəyyən parametr dəyərləri üçün bu sistem dovşan və tülkülərin sayı sabit olduqda tarazlıq vəziyyətinə malikdir. Bu vəziyyətdən sapma dovşan və tülkülərin sayında tədricən solğun dalğalanmalara səbəb olur.

Əks vəziyyət də mümkündür, tarazlıq vəziyyətindən hər hansı bir kiçik sapma, növlərdən birinin tamamilə yox olmasına qədər fəlakətli nəticələrə səbəb olacaqdır. Volterra - Trats modeli bu ssenarilərdən hansının həyata keçirildiyi sualına cavab vermir: burada əlavə araşdırma tələb olunur.

həmçinin bax

Qeydlər

1. “Reallığın riyazi təsviri” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Kibernetik modelləşdirmənin fəlsəfi məsələlərinə dair. M., Bilik, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mixaylov A. P. Riyazi modelləşdirmə. İdeyalar. Metodlar. Nümunələr. - 2-ci nəşr, rev. - M.: Fizmətlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192
6. Sevostyanov, A. G. Texnoloji proseslərin modelləşdirilməsi: dərslik / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M .: İşıq və Qida sənayesi, 1984. - 344 s.
7. Rotach V.Ya. Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsi. - 1-ci. - M.: ZAO "MPEI nəşriyyatı", 2008. - S. 333. - 9 s. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Çoxölçülü hadisələr üçün model reduksiya və qaba dənəli yanaşmalar(İngilis dili). Springer, Mürəkkəblik seriyası, Berlin-Heidelberq-Nyu York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4. Alındı ​​18 iyun 2013. Arxivləşdirildi 18 iyun 2013.
9. “Nəzəriyyə hansı riyazi aparatdan - xətti və ya qeyri-xəttidən - və hansı növ xətti və ya qeyri-xətti riyazi modellərdən istifadə etməsindən asılı olaraq xətti və ya qeyri-xətti hesab olunur. ...sonuncunu inkar etmədən. Müasir bir fizik, qeyri-xəttilik kimi vacib bir varlığın tərifini yenidən yaratmalı olsaydı, çox güman ki, fərqli hərəkət edər və iki əksin daha vacib və geniş yayılması kimi qeyri-xəttiliyə üstünlük verərək, xəttiliyi “yox” kimi təyin edərdi. qeyri-xəttilik”. Danilov Yu.A., Qeyri-xətti dinamikadan mühazirələr. Elementar təqdimat. “Sinergetika: keçmişdən gələcəyə” seriyası. Buraxılış 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. “Sonlu sayda adi diferensial tənliklərlə modelləşdirilmiş dinamik sistemlərə konsentrasiyalı və ya nöqtə sistemləri deyilir. Onlar sonlu ölçülü faza fəzasından istifadə etməklə təsvir edilir və sonlu sayda sərbəstlik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Müxtəlif şəraitdə eyni sistem ya cəmlənmiş, ya da paylanmış hesab edilə bilər. Paylanmış sistemlərin riyazi modelləri bunlardır diferensial tənliklər qismən törəmələrdə, inteqral tənliklərdə və ya gecikmiş arqumentli adi tənliklərdə. Paylanmış sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı sonsuzdur və onun vəziyyətini müəyyən etmək üçün sonsuz sayda verilənlər tələb olunur”.
    Anishchenko V. S., Dinamik sistemlər, Soros təhsil jurnalı, 1997, No 11, səh. 77-84.
11. “S sistemində öyrənilən proseslərin xarakterindən asılı olaraq modelləşdirmənin bütün növlərini deterministik və stoxastik, statik və dinamik, diskret, davamlı və diskret-fasiləsiz bölmək olar. Deterministik modelləşdirmə deterministik prosesləri, yəni hər hansı təsadüfi təsirlərin olmamasının fərz edildiyi prosesləri əks etdirir; stoxastik modelləşdirmə ehtimal prosesləri və hadisələri təsvir edir. ... Statik modelləşdirmə obyektin istənilən andakı davranışını təsvir etməyə xidmət edir, dinamik modelləşdirmə isə obyektin zamanla davranışını əks etdirir. Diskret modelləşdirmə diskret olduğu ehtimal edilən prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur, davamlı modelləşdirmə sistemlərdə davamlı prosesləri əks etdirməyə imkan verir və diskret-fasiləsiz modelləşdirmə həm diskret, həm də davamlı proseslərin mövcudluğunu vurğulamaq istədikləri hallar üçün istifadə olunur. ”
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Tipik olaraq, riyazi model modelləşdirilən obyektin strukturunu (cihazını), tədqiqat məqsədləri üçün vacib olan bu obyektin komponentlərinin xassələrini və əlaqələrini əks etdirir; belə bir model struktur adlanır. Model yalnız obyektin necə işlədiyini - məsələn, xarici təsirlərə necə reaksiya verdiyini əks etdirirsə, o zaman funksional və ya məcazi mənada qara qutu adlanır. Birləşdirilmiş modellər də mümkündür. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s.

Riyazi modelləşdirmə nəzəriyyəsi üçün modelləşdirmənin məqsədini bilmək və modelləşdirmə obyektini riyazi formada təqdim etmək lazımdır. "Model" sözü latın modus (surət, şəkil, kontur) sözündəndir. Modelləşdirmənin ən sadə və ən bariz nümunəsi coğrafi və topoqrafik xəritələrdir. Modellər kimyada struktur düsturlardır. İdrak vasitəsi kimi model arasında dayanır məntiqi təfəkkür və tədqiq olunan proses və ya fenomen.

Modelləşdirmə bəzi A obyektinin digər obyekt B ilə əvəz edilməsidir. Əvəz edilən obyekt orijinal, əvəz edən obyekt isə model adlanır. Beləliklə, model orijinalı əvəz edir. Dəyişdirilmə məqsədindən asılı olaraq, eyni orijinalın modeli fərqli ola bilər. Elm və texnologiyada modelləşdirmənin əsas məqsədi orijinalı onun daha sadə modelindən istifadə edərək öyrənməkdir. Bir obyekti digəri ilə əvəz etmək o zaman məna kəsb edir ki, onlar arasında müəyyən oxşarlıq və ya bənzətmə olsun.

Riyazi model obyektlərin, anlayışların, sistemlərin və ya proseslərin riyazi terminlərlə ifadə olunan təxmini təsviridir. Modelləşdiriləcək obyektlər, anlayışlar, sistemlər və ya proseslər modelləşdirmə obyektləri (OM) adlanır.

Bütün cisimlər və hadisələr az və ya çox dərəcədə bir-biri ilə bağlıdır, lakin modelləşdirmə zamanı qarşılıqlı əlaqələrin çox hissəsi diqqətdən kənarda qalır və modelləşdirmə obyekti ayrıca bir sistem kimi qəbul edilir. Modelləşdirmə obyekti ayrıca sistem kimi müəyyən edilirsə, o zaman xarici mühitlə tələb olunan əlaqələrin seçilməsini təmin edən seçmə prinsipini tətbiq etmək lazımdır. Məsələn, elektron sxemlərin modelləşdirilməsi zamanı xarici mühitlə istilik, akustik, optik və mexaniki qarşılıqlı təsirlərə əhəmiyyət verilmir və yalnız elektrik dəyişənləri nəzərə alınır. Seçicilik prinsipi sistemə bir səhv, yəni modelin və modelləşdirilmiş obyektin davranışında fərq yaradır. Növbəti mühüm modelləşdirmə amili sistemdə giriş və çıxış dəyişənlərini birləşdirən səbəbiyyət prinsipidir.

Sistemin kəmiyyətini müəyyən etmək üçün “dövlət” anlayışı təqdim olunur. Məsələn, elektron dövrənin vəziyyəti müəyyən bir zamanda elektron dövrədə olan gərginliklərin və cərəyanların dəyərlərinə aiddir.

Riyazi modeli analitik şəkildə əldə edərkən ən çox tanınmış kateqoriyalardan istifadə olunur: qanunlar, strukturlar və parametrlər.

Əgər hər hansı y dəyişəni başqa x dəyişənindən asılıdırsa, onda birinci kəmiyyət ikincinin funksiyasıdır. Bu asılılıq y = f(x) və ya y = y(x) şəklində yazılır. Bu qeyddə x dəyişəni arqument adlanır. Funksiyanın mühüm xarakteristikası onun törəməsidir, tapma prosesi diferensiallaşma adlanır. Riyazi qaydalara əsasən naməlum funksiyanı, onun törəmələrini və arqumentlərini birləşdirən tənliklərə diferensial deyilir. Verilmiş törəmədən funksiyanın özünü tapmağa imkan verən diferensiallaşmaya tərs proses inteqrasiya adlanır.

Funksiya arqumentdən - zamandan asılı olan yol olduqda xüsusi bir halı nəzərdən keçirək. Onda yolun zamana görə törəməsi sürət, sürətin törəməsi (yaxud yolun ikinci törəməsi) isə sürətdir. Məsələn, sürət məlumdursa, müəyyən vaxtda hərəkət edərkən cismin keçdiyi yolu tapmaq üçün inteqrasiyadan istifadə olunur. Yalnız sürətlənmə məlumdursa, yolu tapmaq üçün inteqrasiya əməliyyatı iki dəfə yerinə yetirilir. Bu halda birinci inteqralı hesabladıqdan sonra sürət məlum olur.

Riyazi modellərin yaradılmasının son məqsədi dəyişənlər arasında funksional asılılıqlar yaratmaqdır. Hər bir konkret model üçün funksional asılılıq ciddi şəkildə müəyyən edilmiş formada ola bilər. Girişi x y siqnalını qəbul edən və çıxış siqnalı y görünən cihaz simulyasiya edildikdə, əlaqə cədvəl şəklində yazıla bilər. Bunun üçün giriş və çıxış siqnallarında dəyişikliklərin bütün diapazonu müəyyən sayda bölmələrə bölünür. Giriş siqnalının dəyişmə diapazonunun hər bir bölməsi çıxış siqnalının dəyişmə diapazonunun müəyyən bir hissəsinə uyğun olacaq. Bir neçə giriş və bir neçə çıxışın olduğu mürəkkəb sistemlərdə analitik asılılıqlar diferensial tənliklər sistemləri ilə ifadə edilir.

* Qanunlar adətən Kirchhoff və Nyuton qanunları kimi müəyyən sahələr üçün tərtib edilir. Bu qanunları bir sistemə tətbiq etmək, adətən, diqqətimizi bir elm və texnologiya sahəsinə yönəldir. Elektrik sistemini təhlil etmək üçün Kirchhoff qanunlarından və Maksvell tənliklərindən istifadə etməklə tədqiqatçı sistemdəki digər (məsələn, istilik) proseslərə məhəl qoymur.

Riyazi modelin yaradılması sistemdə mövcud olan elementlər və onların əlaqələri haqqında bilik tələb edir. Riyazi modelin (MM) parametrləri tənliklər sisteminə daxil olanlardır fərqli ehtimallar. Bu əmsallar tənliklər və sərhəd şərtləri ilə birlikdə tam MM təşkil edir.

İstənilən riyazi model aşağıdakıların nəticəsində əldə edilə bilər: 1) hadisənin birbaşa müşahidəsi, onun bilavasitə öyrənilməsi və dərk edilməsi (modellər fenomenolojidir); 2) bəzi daha ümumi modeldən xüsusi hal kimi yeni model alındıqda bəzi deduksiya prosesi (belə modellər asimptotik adlanır); 3) yeni model elementar modellərin təbii ümumiləşdirilməsi olduqda bəzi induksiya prosesi (belə modellər kompozit və ya ansambl modelləri adlanır).

Bütün sistemlər zaman və məkanda mövcuddur. Riyazi olaraq bu o deməkdir ki, zaman və üç məkan dəyişəni müstəqil dəyişənlər hesab edilə bilər.

Müəyyən dəyişənlərin müstəqil olanlar kimi istifadəsinə əsaslanan, davamlı və ya diskret formada təqdim olunan riyazi modellərin təsnifatının bir çox əlamətləri var; MM aşağıdakı kimi təsnif edilir:

1) paylanmış parametrləri olan modellər (bütün müstəqil dəyişənlər davamlı formada alınır);

2) yığılmış parametrləri olan modellər (bütün müstəqil məkan dəyişənləri diskret, zaman dəyişəni isə davamlıdır);

3) diskret parametrlərə malik modellər (bütün müstəqil dəyişənlər diskret formada götürülür).

Şəkildə. 3.10 a... modellərin təxmini təsnifatını göstərir. Bütün modelləri real və ideala bölmək olar (şəkil 3.10, a). Bu fəsildə yalnız öz məzmununa görə obyektiv (real reallığı əks etdirən), lakin formaca subyektiv olan və ondan kənarda mövcud ola bilməyən ideal modellərdən bəhs edilir. İdeal modellər ancaq insan biliyində mövcuddur və məntiq qanunlarına uyğun fəaliyyət göstərir. Məntiqi modellərə müxtəlif işarəli modellər daxildir. İstənilən simvolik modelin yaradılmasında vacib məqam rəsmiləşdirmə prosedurudur (düsturlar, əlifbalar, say sistemləri).

Hazırda elm və texnikanın bir sıra sahələrində model anlayışı klassik fizikanın ruhunda, vizual, məsələn, mexaniki sistem kimi deyil, ruhda şərh olunur. müasir mərhələ bilik mücərrəd məntiqi-riyazi struktur kimi.

Müasir modelləşdirmədə mücərrəd məntiqi modellərin idrakda artan rolu ilə yanaşı, kibernetik funksional informasiya modellərinin geniş tətbiqi ilə bağlı daha bir tendensiya müşahidə olunur.

Kibernetik modelləşdirmənin unikallığı ondan ibarətdir ki, modellə simulyasiya edilmiş obyektin obyektiv oxşarlığı yalnız onların funksiyalarına, tətbiq sahələrinə və xarici mühitlə əlaqəsinə aiddir. Kibernetik proseslərin öyrənilməsinə informasiya yanaşmasının əsasını abstraksiya təşkil edir.

CAD LSI-də baş verən modelləri nəzərdən keçirək: struktur, funksional, həndəsi, simvolik, mental, analitik, ədədi və simulyasiya.

Struktur modellər obyektin və ya sistemin elementlərinin tərkibini, onların məkanda yerləşməsini və münasibətlərini, yəni sistemin strukturunu əks etdirir. Struktur modellər həm real (layihələr), həm də ideal ola bilər (məsələn, maşınqayırma çertyojları, çap dövrə lövhəsi topologiyası və IC topologiyası).

Funksional modellər yalnız orijinalın davranış tərzini, onun xarici mühitdən funksional asılılığını təqlid edir. Ən tipik nümunə “qara qutu” konsepsiyası üzərində qurulmuş modellərdir.

Bu modellərdə riyazi əlaqədən istifadə edərək müxtəlif giriş və çıxış kəmiyyətlərini birləşdirərək, onun məzmunundan və strukturundan tamamilə mücərrəd olaraq orijinalın fəaliyyətini təkrar istehsal etmək mümkündür.

düyü. 3.10. Modellərin ümumi təsnifatı (a), həmçinin tammiqyaslı (b), fiziki (c), real riyazi (d), vizual (e), simvolik (f), ideal riyazi (g) modellər

Həndəsi modellər obyektin yalnız strukturunu əks etdirir və dizaynla bağlı böyük əhəmiyyət kəsb edir elektron sistemlər. Həndəsi oxşarlıq əsasında qurulan bu modellər cisimlərin optimal yerləşdirilməsi, çap elektron lövhələrində və inteqral sxemlərdə izlərin çəkilməsi ilə bağlı məsələləri həll etməyə imkan verir.

İşarə modelləri simvolların (işarələrin) sifarişli qeydidir. İşarələr bir-biri ilə fiziki qanunlara görə deyil, müəyyən bir bilik sahəsində müəyyən edilmiş qaydalara görə və ya necə deyərlər, işarələrin təbiətinə görə qarşılıqlı əlaqədə olurlar. İkonik modellər indi olduqca geniş yayılmışdır. Demək olar ki, hər bir bilik sahəsi - dilçilik, proqramlaşdırma, elektronika və bir çox başqaları - modelləri təsvir etmək üçün öz simvolizmini inkişaf etdirmişdir. Bunlar proqramlar, sxemlər və s.

Psixi modellər sensor qavrayışın və mücərrəd təfəkkürün fəaliyyətinin məhsuludur. Mental modellərə Bor atomunun məşhur planetar modeli daxildir. Bu modelləri çatdırmaq üçün şifahi və ya simvolik təsvir şəklində təqdim olunur, yəni psixi modelləri müxtəlif işarə sistemləri şəklində qeyd etmək olar.

Analitik modellər öyrənilən hadisəni xarakterizə edən parametrlər və dəyişənlərdən tələb olunan kəmiyyətlərin açıq-aşkar asılılıqlarını əldə etməyə imkan verir. Riyazi əlaqənin analitik həlli obyektin ümumiləşdirilmiş təsviridir

Rəqəmsal modellər, lazımi kəmiyyətlərin dəyərlərinin müvafiq metodların tətbiqi nəticəsində əldə edilməsi ilə xarakterizə olunur. ədədi üsullar. Bütün ədədi üsullar istənilən kəmiyyətlər haqqında yalnız şəxsi məlumat əldə etməyə imkan verir, çünki onların həyata keçirilməsi üçün riyazi əlaqəyə daxil olan bütün parametrlərin xüsusi dəyərlərinin göstərilməsini tələb edirlər. İstədiyiniz hər bir dəyər üçün riyazi modeli özünəməxsus şəkildə çevirmək və müvafiq ədədi proseduru tətbiq etmək lazımdır.

Simulyasiya modelləri kompüterdə modelləşdirmə alqoritmləri (proqramları) şəklində həyata keçirilir ki, bu da çıxış dəyişənlərinin dəyərlərini hesablamağa və giriş dəyişənlərinin, parametrlərin və parametrlərin verilmiş qiymətləri üçün modelin getdiyi yeni vəziyyəti müəyyən etməyə imkan verir. modelin ilkin vəziyyəti. Simulyasiya modelləşdirməsi, ədədi modelləşdirmədən fərqli olaraq, modelləşdirmə alqoritminin modelləşdirmə nəticəsində əldə edilməli olan məlumat növündən müstəqilliyi ilə xarakterizə olunur. Dəyişənlər, parametrlər, tənliklər və bərabərsizliklər vasitəsilə mücərrəd riyazi formada təmsil olunan riyazi model kifayət qədər universal, çevik və effektivdir.

MM-ə aşağıdakı elementlər daxildir: dəyişənlər (asılı və müstəqil); sabitlər və ya sabit parametrlər (dəyişənlər arasında əlaqə dərəcəsini təyin edən); riyazi ifadələr (dəyişənləri və parametrləri birləşdirən tənliklər və/yaxud bərabərsizliklər); məntiqi ifadələr (riyazi modeldə müxtəlif məhdudiyyətlərin müəyyən edilməsi); məlumat (əlifba-rəqəm və qrafik).

Riyazi modellər aşağıdakı meyarlara görə təsnif edilir: 1) modellərin zamanla davranışı; 2) riyazi modeli təşkil edən giriş məlumatlarının, parametrlərin və ifadələrin növləri; 3) riyazi modelin strukturunu; 4) istifadə olunan riyazi aparatın növü.

İnteqral sxemlərə gəldikdə, aşağıdakı təsnifat təklif edilə bilər.

İnteqral sxemin xassələrinin xarakterindən asılı olaraq riyazi modellər funksional və struktura bölünür.

Funksional modellər obyektin işləmə proseslərini əks etdirir, bu modellər tənliklər sistemi formasına malikdir.

Bir sıra layihələndirmə məsələlərinin həlli zamanı layihələndirilən obyektin yalnız struktur xassələrini əks etdirən riyazi modellərdən geniş istifadə olunur; belə struktur modellər matrislər, qrafiklər, vektorların siyahısı və ekspress formasını ala bilər qarşılıqlı tənzimləmə kosmosda elementlər, keçiricilər şəklində birbaşa əlaqənin olması və s.. Struktur modelləri obyektdə fiziki proseslərin xüsusiyyətlərindən mücərrədləşdirərək, struktur sintez problemlərini rəsmiləşdirmək və həll etmək mümkün olduqda istifadə olunur.

düyü. 3.11. İnverterin struktur modeli = it. d.)

Alınma üsuluna görə funksional riyazi modellər nəzəri və formal bölünür.

Fiziki qanunların öyrənilməsi əsasında nəzəri modellər alınır və modellərin tənliklərinin strukturu və parametrləri aydın fiziki əsasa malikdir.

Formal modellər real obyektin xassələrinin qara qutu kimi nəzərə alınması ilə əldə edilir.

Nəzəri yanaşma müxtəlif iş rejimləri və xarici parametrlərdə geniş dəyişikliklər üçün etibarlı olan daha universal modellər əldə etməyə imkan verir.

Təsnifatda bir sıra əlamətlər riyazi modeli təşkil edən tənliklərin xüsusiyyətləri ilə bağlıdır; Tənliklərin xətti və ya qeyri-xətti olmasından asılı olaraq modellər xətti və qeyri-xətti bölünür.

Dəyişən qiymətlər çoxluğunun gücündən asılı olaraq modellər davamlı və diskret bölünür (şək. 3.12).

Davamlı modellərdə onlarda görünən dəyişən davamlı və ya hissə-hissə davamlıdır.

Diskret modellərdə dəyişənlər çoxluğu hesablana bilən diskret kəmiyyətlərdir.

düyü. 3.12. Davamlı və diskret dəyişənlər

Çıxış, daxili və xarici parametrlər arasında əlaqə formasına əsasən, tənliklər sistemləri şəklində modellər və çıxış parametrlərinin daxili və xarici parametrlərdən açıq asılılığı şəklində olan modellər fərqləndirilir. Onlardan birincisi alqoritmik, ikincisi isə analitik adlanır.

Model tənliklərinin dizayn obyektində proseslərin ətalətini nəzərə alıb-almamasından asılı olaraq dinamik və statik modellər fərqləndirilir.

Model və simulyasiya anlayışı.

Geniş mənada model- bu, onun əvəzedicisi və ya nümayəndəsi kimi istifadə edilən istənilən həcmin, prosesin və ya hadisənin hər hansı təsviri, psixi analoqu və ya müəyyən edilmiş təsviri, təsviri, diaqramı, çertyoj, xəritə və s. Obyekt, proses və ya hadisənin özü bu modelin orijinalı adlanır.

Modelləşdirmə - bu, hər hansı bir obyekt və ya obyektlər sisteminin modellərini qurmaq və öyrənmək yolu ilə öyrənilməsidir. Bu, xüsusiyyətləri müəyyən etmək və ya aydınlaşdırmaq və yeni tikilmiş obyektlərin qurulması üsullarını rasionallaşdırmaq üçün modellərin istifadəsidir.

İstənilən elmi tədqiqat metodu modelləşdirmə ideyasına əsaslanır, nəzəri metodlarda müxtəlif növ simvolik, abstrakt modellərdən, eksperimental metodlarda isə mövzu modellərindən istifadə edilir.

Tədqiqat zamanı mürəkkəb real hadisə hansısa sadələşdirilmiş surət və ya diaqramla əvəz olunur, bəzən belə bir nüsxə yalnız növbəti görüşdə arzu olunan hadisəni yadda saxlamağa və tanımağa xidmət edir. Bəzən qurulmuş diaqram bəzi vacib xüsusiyyətləri əks etdirir, hadisənin mexanizmini başa düşməyə imkan verir və onun dəyişməsini proqnozlaşdırmağa imkan verir. Fərqli modellər eyni fenomenə uyğun ola bilər.

Tədqiqatçının vəzifəsi hadisənin xarakterini və prosesin gedişatını proqnozlaşdırmaqdır.

Bəzən elə olur ki, obyekt mövcuddur, lakin onunla aparılan təcrübələr baha başa gəlir və ya ciddi ekoloji fəsadlara səbəb olur. Bu cür proseslər haqqında biliklər modellərdən istifadə etməklə əldə edilir.

Əhəmiyyətli bir məqam ondan ibarətdir ki, elmin mahiyyəti konkret bir hadisənin deyil, əlaqəli hadisələrin geniş sinfinin öyrənilməsini nəzərdə tutur. O, qanunlar adlanan bəzi ümumi kateqorik mülahizələrin formalaşdırılması ehtiyacını nəzərdə tutur. Təbii ki, belə bir formalaşdırma ilə bir çox detallar nəzərdən qaçırılır. Bir nümunəni daha aydın müəyyən etmək üçün onlar şüurlu şəkildə qabalaşdırmaya, ideallaşdırmaya və eskizlərə gedirlər, yəni hadisənin özünü deyil, onun az-çox dəqiq surətini və ya modelini öyrənirlər. Bütün qanunlar modellər haqqında qanunlardır və buna görə də zaman keçdikcə bəzilərinin olması təəccüblü deyil elmi nəzəriyyələr yararsız hesab edilir. Bu, elmin dağılmasına səbəb olmur, çünki bir model digəri ilə əvəz olunub daha müasir.

Elmdə xüsusi rolu riyazi modellər, tikinti materialları və bu modellərin alətləri - riyazi anlayışlar oynayır. Onlar minilliklər ərzində toplanmış və təkmilləşmişdir. Müasir riyaziyyat son dərəcə güclü və universal tədqiqat vasitələri təqdim edir. Demək olar ki, riyaziyyatda hər bir anlayış, ədəd anlayışından başlayaraq hər bir riyazi obyekt riyazi modeldir. Öyrənilən obyektin və ya hadisənin riyazi modelini qurarkən onun xüsusiyyətlərindən, xüsusiyyətlərindən və təfərrüatlarından olanlar müəyyən edilir ki, bir tərəfdən obyekt haqqında az-çox dolğun məlumat var, digər tərəfdən isə riyazi rəsmiləşdirməyə imkan verir. Riyazi formallaşdırma o deməkdir ki, obyektin xüsusiyyətləri və detalları uyğun adekvat riyazi anlayışlarla əlaqələndirilə bilər: ədədlər, funksiyalar, matrislər və s. Sonra tədqiq olunan obyektdə onun ayrı-ayrı hissələri və komponentləri arasında aşkar edilən və qəbul edilən əlaqələri və əlaqələri riyazi əlaqələrdən istifadə etməklə yazmaq olar: bərabərliklər, bərabərsizliklər, tənliklər. Nəticə tədqiq olunan prosesin və ya hadisənin riyazi təsviri, yəni onun riyazi modelidir.

Riyazi modelin tədqiqi həmişə öyrənilən obyektlər üzərində müəyyən hərəkət qaydaları ilə əlaqələndirilir. Bu qaydalar səbəblər və nəticələr arasındakı əlaqəni əks etdirir.

Riyazi modelin qurulması hər hansı bir sistemin tədqiqatının və ya dizaynının mərkəzi mərhələsidir. Obyektin bütün sonrakı təhlili modelin keyfiyyətindən asılıdır. Modelin qurulması formal prosedur deyil. Bu, tədqiqatçıdan, onun təcrübəsindən və zövqündən çox asılıdır və həmişə müəyyən eksperimental materiala əsaslanır. Model kifayət qədər dəqiq, adekvat və istifadəsi rahat olmalıdır.

Riyazi modelləşdirmə.

Riyazi modellərin təsnifatı.

Riyazi modellər ola bilərdeterministik Və stokastik .

Müəyyən etmək model və obyekt və ya hadisəni təsvir edən dəyişənlər arasında təkbətək uyğunluğun qurulduğu modellərdir.

Bu yanaşma obyektlərin fəaliyyət mexanizmi haqqında biliklərə əsaslanır. Çox vaxt modelləşdirilən obyekt mürəkkəbdir və onun mexanizminin deşifrə edilməsi çox əmək tutumlu və vaxt aparan ola bilər. Bu halda, aşağıdakı kimi davam edin: eksperimentlər orijinal üzərində aparılır, nəticələr emal olunur və simulyasiya edilmiş obyektin mexanizmini və nəzəriyyəsini araşdırmadan, metodlardan istifadə etməklə riyazi statistika və ehtimal nəzəriyyələri, obyekti təsvir edən dəyişənlər arasında əlaqə qurur. Bu vəziyyətdə alırsınızstokastik model . IN stokastik model, dəyişənlər arasında əlaqə təsadüfi, bəzən əsasdır. Çox sayda amillərin təsiri, onların birləşməsi obyekti və ya hadisəni təsvir edən təsadüfi dəyişənlər toplusuna səbəb olur. Rejimlərin xarakterinə görə modeldirstatistik Və dinamik.

Statistikmodelzamanla parametrlərdə dəyişikliklər nəzərə alınmadan sabit vəziyyətdə modelləşdirilmiş obyektin əsas dəyişənləri arasında əlaqələrin təsvirini ehtiva edir.

IN dinamikmodellərbir rejimdən digərinə keçid zamanı modelləşdirilmiş obyektin əsas dəyişənləri arasında əlaqələr təsvir edilir.

Modelləri var diskret Və davamlı, və qarışıq növü. IN davamlı Dəyişənlər müəyyən bir intervaldan qiymətlər alırdiskretdəyişənlər təcrid olunmuş qiymətlər alır.

Xətti modellər- modeli xətti olaraq təsvir edən bütün funksiyalar və münasibətlər dəyişənlərdən asılıdır vəxətti deyiləks halda.

Riyazi modelləşdirmə.

Tələblər , p təqdim etdi modellərə.

1. Çox yönlülük- real obyektin öyrənilən xassələrinin modeldə təsvirinin tamlığını xarakterizə edir.

1. Adekvatlıq bir obyektin istənilən xassələrini verilmişdən yüksək olmayan xəta ilə əks etdirmək qabiliyyətidir.
2. Dəqiqlik, real obyektin xüsusiyyətlərinin dəyərləri ilə modellərdən istifadə edərək əldə edilən bu xüsusiyyətlərin dəyərləri arasında uyğunluq dərəcəsi ilə qiymətləndirilir.
3. İqtisadi - kompüter yaddaş ehtiyatlarının xərclənməsi və onun həyata keçirilməsi və istismarı üçün vaxtla müəyyən edilir.

Riyazi modelləşdirmə.

Modelləşdirmənin əsas mərhələləri.

1. Problemin ifadəsi.

Təhlilin məqsədinin və ona nail olmaq yollarının müəyyən edilməsi və tədqiq olunan problemə ümumi yanaşmanın işlənib hazırlanması. Bu mərhələdə tapşırığın mahiyyətini dərindən dərk etmək tələb olunur. Bəzən problemi düzgün qoymaq onu həll etməkdən daha çətin deyil. Səhnələşdirmə formal proses deyil, ümumi qaydalar yoxdur.

2. Nəzəri əsasların öyrənilməsi və ilkin obyekt haqqında məlumatların toplanması.

Bu mərhələdə uyğun bir nəzəriyyə seçilir və ya hazırlanır. Əgər orada deyilsə, obyekti təsvir edən dəyişənlər arasında səbəb-nəticə əlaqələri qurulur. Giriş və çıxış məlumatları müəyyən edilir və sadələşdirici fərziyyələr edilir.

3. Rəsmiləşdirmə.

O, simvollar sisteminin seçilməsindən və onlardan istifadə edərək obyektin komponentləri arasındakı əlaqələri riyazi ifadələr şəklində yazmaqdan ibarətdir. Obyektin nəticədə riyazi modelinin təsnif edilə biləcəyi məsələlər sinfi müəyyən edilir. Bəzi parametrlərin dəyərləri bu mərhələdə hələ təyin olunmaya bilər.

4. Həll üsulunun seçilməsi.

Bu mərhələdə modellərin son parametrləri obyektin iş şəraiti nəzərə alınmaqla qurulur. Yaranan riyazi məsələ üçün həll üsulu seçilir və ya xüsusi üsul hazırlanır. Metod seçərkən istifadəçinin biliyi, onun üstünlükləri və tərtibatçının üstünlükləri nəzərə alınır.

5. Modelin həyata keçirilməsi.

Bir alqoritm işləyib hazırladıqdan sonra proqram yazılır, o, sazlanır, sınaqdan keçirilir və istədiyiniz məsələnin həlli alınır.

6. Alınan məlumatların təhlili.

Alınan və gözlənilən həllər müqayisə edilir, modelləşdirmə xətası izlənilir.

7. Real obyektin adekvatlığının yoxlanılması.

Modeldən alınan nəticələr müqayisə edilirya obyekt haqqında mövcud olan məlumatlarla, ya da təcrübə aparılır və onun nəticələri hesablanmışlarla müqayisə edilir.

Modelləşdirmə prosesi iterativdir. Mərhələlərin qeyri-qənaətbəxş nəticələri olduqda 6. və ya 7. uğursuz modelin inkişafına səbəb ola biləcək əvvəlki mərhələlərdən birinə qayıdış edilir. Bu mərhələ və bütün sonrakı mərhələlər dəqiqləşdirilir və modelin belə dəqiqləşdirilməsi məqbul nəticələr əldə olunana qədər baş verir.

Riyazi model riyaziyyat dili ilə real dünyanın hər hansı bir hadisə və ya obyekt sinfinin təxmini təsviridir. Modelləşdirmənin əsas məqsədi bu obyektləri tədqiq etmək və gələcək müşahidələrin nəticələrini proqnozlaşdırmaqdır. Bununla belə, modelləşdirmə həm də ətrafımızdakı dünyanı dərk etmək üsuludur, onu idarə etməyə imkan verir.

Riyazi modelləşdirmə və əlaqəli kompüter təcrübəsi bu və ya digər səbəbdən tam miqyaslı təcrübənin qeyri-mümkün və ya çətin olduğu hallarda əvəzolunmazdır. Məsələn, “əgər... nə olardı” yoxlamaq üçün tarixdə təbii təcrübə qurmaq mümkün deyil, bu və ya digər kosmoloji nəzəriyyənin doğruluğunu yoxlamaq mümkün deyil. Mümkündür, lakin ağlabatan olması çətin ki, taun kimi bir xəstəliyin yayılması ilə təcrübə aparmaq və ya onun nəticələrini öyrənmək üçün nüvə partlayışı həyata keçirmək. Lakin bütün bunları kompüterdə ilk öncə öyrənilən hadisələrin riyazi modellərini qurmaqla həyata keçirmək olar.

1.1.2 2. Riyazi modelləşdirmənin əsas mərhələləri

1) Modelin qurulması. Bu mərhələdə hansısa “qeyri-riyazi” obyekt dəqiqləşdirilir - təbiət hadisəsi, layihələndirmə, iqtisadi plan, istehsal prosesi və s. Bu halda, bir qayda olaraq, vəziyyətin aydın təsviri çətindir. Birincisi, hadisənin əsas xüsusiyyətləri və onlar arasında keyfiyyət səviyyəsində əlaqələr müəyyən edilir. Sonra tapılan keyfiyyət asılılıqları riyaziyyatın dilində tərtib edilir, yəni riyazi model qurulur. Bu modelləşdirmənin ən çətin mərhələsidir.

2) Modelin apardığı riyazi məsələnin həlli. Bu mərhələdə problemin kompüterdə həlli üçün alqoritmlərin və ədədi üsulların işlənib hazırlanmasına böyük diqqət yetirilir, onların köməyi ilə nəticə tələb olunan dəqiqliklə və məqbul müddət ərzində tapıla bilər.

3) Riyazi modeldən alınan nəticələrin şərhi.Riyaziyyat dilində modeldən alınan nəticələr sahədə qəbul edilən dildə şərh edilir.

4) Modelin adekvatlığının yoxlanılması.Bu mərhələdə eksperimental nəticələrin müəyyən dəqiqlik daxilində modelin nəzəri nəticələri ilə uyğun olub-olmaması müəyyən edilir.

5) Modelin modifikasiyası.Bu mərhələdə ya model reallığa daha adekvat olması üçün mürəkkəbləşir, ya da praktiki olaraq məqbul həllə nail olmaq üçün sadələşdirilir.

1.1.3 3. Modelin təsnifatı

Modellər müxtəlif meyarlara görə təsnif edilə bilər. Məsələn, həll olunan problemlərin xarakterinə görə modelləri funksional və struktura bölmək olar. Birinci halda, bir hadisə və ya obyekti xarakterizə edən bütün kəmiyyətlər kəmiyyətcə ifadə edilir. Üstəlik, onlardan bəziləri müstəqil dəyişənlər, digərləri isə bu kəmiyyətlərin funksiyaları kimi qəbul edilir. Riyazi model adətən nəzərdən keçirilən kəmiyyətlər arasında kəmiyyət əlaqələri quran müxtəlif tipli (diferensial, cəbri və s.) tənliklər sistemidir. İkinci halda, model ayrı-ayrı hissələrdən ibarət mürəkkəb obyektin strukturunu xarakterizə edir, onların arasında müəyyən əlaqələr mövcuddur. Tipik olaraq, bu əlaqələr kəmiyyətlə ölçülə bilməz. Belə modelləri qurmaq üçün qrafik nəzəriyyəsindən istifadə etmək rahatdır. Qrafik müstəvidə və ya fəzada bəziləri xətlərlə (kənarlarla) birləşdirilən nöqtələr toplusunu (təpələri) təmsil edən riyazi obyektdir.

İlkin məlumatların və nəticələrin xarakterinə əsasən proqnozlaşdırma modelləri deterministik və ehtimal-statistika bölünə bilər. Birinci tip modellər müəyyən, birmənalı proqnozlar verir. İkinci növün modelləri əsaslanır statistik məlumat, və onların köməyi ilə əldə edilən proqnozlar ehtimal xarakteri daşıyır.

RİYASİ MODELLEŞME VƏ ÜMUMİ KOMPYÜTERLƏŞMƏ VƏ YA SİMULASYON MODELLERİ

İndi ölkədə demək olar ki, ümumbəşəri kompüterləşmə getdiyi bir vaxtda müxtəlif peşə sahiblərinin “Biz kompüter tətbiq etsək, bütün problemlər dərhal həllini tapacaq” ifadələrini eşidirik. Bu nöqteyi-nəzərdən tamamilə yanlışdır, müəyyən proseslərin riyazi modelləri olmadan kompüterlərin özləri heç bir şey edə bilməyəcəklər və yalnız universal kompüterləşməni xəyal etmək olar.

Yuxarıda deyilənlərə dəstək olaraq, biz modelləşdirməyə, o cümlədən riyazi modelləşdirməyə ehtiyacı əsaslandırmağa və onun insan idrakında və transformasiyasında üstünlüklərini aşkar etməyə çalışacağıq. xarici dünya, mövcud çatışmazlıqları müəyyən edək və keçək... simulyasiya modelləşdirməyə, yəni. kompüterdən istifadə edərək modelləşdirmə. Amma hər şey qaydasındadır.

Əvvəlcə suala cavab verək: model nədir?

Model idrak (öyrənmə) prosesində bu tədqiqat üçün vacib olan bəzi tipik xassələri saxlayaraq orijinalı əvəz edən maddi və ya əqli cəhətdən təmsil olunan obyektdir.

Yaxşı qurulmuş model tədqiqat üçün real obyektdən daha əlçatandır. Məsələn, ölkə iqtisadiyyatı ilə təcrübələr təhsil məqsədləri, burada bir model olmadan edə bilməzsiniz.

Deyilənləri ümumiləşdirərək suala cavab verə bilərik: modellər nə üçündür? Üçün

• obyektin necə işlədiyini başa düşmək (onun quruluşu, xassələri, inkişaf qanunları, xarici dünya ilə qarşılıqlı əlaqə).
• obyekti (prosesi) idarə etməyi və ən yaxşı strategiyaları müəyyənləşdirməyi öyrənin
• obyektə təsirin nəticələrini proqnozlaşdırmaq.

Hər hansı bir modelin müsbət cəhəti nədir? O, obyekt haqqında yeni biliklər əldə etməyə imkan verir, lakin təəssüf ki, bu və ya digər dərəcədə natamamdır.

Modelriyazi metodlardan istifadə etməklə riyaziyyat dilində tərtib edilənə riyazi model deyilir.

Onun tikintisi üçün başlanğıc nöqtəsi adətən hansısa problemdir, məsələn, iqtisadi problemdir. Həm təsviri, həm də optimallaşdırma riyazi geniş yayılmışdır, müxtəlifliyi xarakterizə edir iqtisadi proseslər və hadisələr, məsələn:

• resurs bölgüsü
• rasional kəsmə
• nəqliyyat
• müəssisələrin konsolidasiyası
• şəbəkə planlaşdırılması.

Riyazi model necə qurulur?

• Əvvəlcə tədqiqatın məqsədi və mövzusu formalaşdırılır.
• İkincisi, bu məqsədə uyğun gələn ən mühüm xüsusiyyətlər vurğulanır.
• Üçüncüsü, modelin elementləri arasındakı əlaqələr şifahi şəkildə təsvir olunur.
• Sonra əlaqə rəsmiləşdirilir.
• Və riyazi modeldən istifadə etməklə hesablama aparılır və nəticədə həll təhlil edilir.

Bu alqoritmdən istifadə edərək, hər hansı bir optimallaşdırma problemini həll edə bilərsiniz, o cümlədən multikriteriyalar, yəni. bir deyil, bir neçə məqsəd, o cümlədən ziddiyyətli məqsədlər güdülür.

Bir misal verək. Nəzəriyyə növbə- növbə problemi. İki amili balanslaşdırmaq lazımdır - xidmət cihazlarının saxlanması xərcləri və növbədə qalma xərcləri. Modelin rəsmi təsvirini qurduqdan sonra analitik və hesablama metodlarından istifadə etməklə hesablamalar aparılır. Model yaxşıdırsa, onun köməyi ilə tapılan cavablar modelləşdirmə sisteminə adekvatdır, pisdirsə, təkmilləşdirilməli və dəyişdirilməlidir. Adekvatlıq meyarı təcrübədir.

Optimallaşdırma modelləri, o cümlədən multikriteriyalar, ümumi xüsusiyyətə malikdir - məqsəd (və ya bir neçə məqsəd) məlumdur, buna nail olmaq üçün çox vaxt mürəkkəb sistemlərlə məşğul olmaq lazımdır, burada söhbət optimallaşdırma problemlərini həll etmək deyil, öyrənmək və proqnozlaşdırmaqdır. seçilmiş idarəetmə strategiyalarından asılı olaraq dövlətlər. Və burada biz əvvəlki planın həyata keçirilməsinin çətinlikləri ilə qarşılaşırıq. Onlar aşağıdakılardır:

• mürəkkəb sistem elementlər arasında çoxlu əlaqələri ehtiva edir
• real sistemə təsadüfi amillər təsir edir, onları analitik olaraq nəzərə almaq mümkün deyil
• orijinalı modellə müqayisə etmək imkanı yalnız riyazi aparatdan istifadənin əvvəlində və sonrasında mövcuddur, çünki aralıq nəticələrin real sistemdə analoqu olmaya bilər.

Mürəkkəb sistemləri öyrənərkən ortaya çıxan sadalanan çətinliklərlə əlaqədar olaraq, təcrübə daha çevik bir üsul tələb etdi və ortaya çıxdı - "Simujasiya modelləşdirmə".

Tipik olaraq, simulyasiya modeli ayrı-ayrı sistem bloklarının fəaliyyətini və onlar arasında qarşılıqlı əlaqə qaydalarını təsvir edən kompüter proqramları toplusu kimi başa düşülür. İstifadəsi təsadüfi dəyişənlər simulyasiya sistemi ilə (kompüterdə) və sonradan təkrar təcrübələrin aparılmasını zəruri edir Statistik təhlil nəticələr əldə etmişdir. Simulyasiya modellərindən istifadənin çox yayılmış nümunəsi MONTE KARLO metodundan istifadə edərək növbə probleminin həllidir.

Beləliklə, simulyasiya sistemi ilə işləmək kompüterdə aparılan təcrübədir. Üstünlükləri nələrdir?

– Riyazi modellərə nisbətən real sistemə daha çox yaxınlıq;

– Blok prinsipi hər bir bloku ümumi sistemə daxil etməzdən əvvəl yoxlamağa imkan verir;

– Sadə riyazi əlaqələrlə təsvir edilə bilməyən daha mürəkkəb xarakterli asılılıqların istifadəsi.

Sadalanan üstünlüklər çatışmazlıqları müəyyənləşdirir

– simulyasiya modelinin qurulması daha uzun çəkir, daha çətindir və daha bahalıdır;

– simulyasiya sistemi ilə işləmək üçün sinifə uyğun kompüteriniz olmalıdır;

– istifadəçi ilə simulyasiya modeli (interfeys) arasında qarşılıqlı əlaqə çox mürəkkəb, rahat və yaxşı məlum olmamalıdır;

-imitasiya modelinin qurulması real prosesin riyazi modelləşdirmədən daha dərindən öyrənilməsini tələb edir.

Sual yaranır: simulyasiya modelləşdirməsi optimallaşdırma üsullarını əvəz edə bilərmi? Xeyr, lakin bu, onları rahat şəkildə tamamlayır. Simulyasiya modeli, optimallaşdırma probleminin ilk dəfə həll olunduğu nəzarəti optimallaşdırmaq üçün müəyyən bir alqoritmi həyata keçirən bir proqramdır.

Deməli, nə kompüter, nə riyazi model, nə də onun öyrənilməsi üçün bir alqoritm tək başına kifayət qədər mürəkkəb məsələni həll edə bilməz. Lakin onlar birlikdə ətrafımızdakı dünyanı dərk etməyə və onu insanın maraqlarına uyğun idarə etməyə imkan verən qüvvəni təmsil edirlər.

1.2 Modelin təsnifatı

1.2.1 Zaman amili və istifadə sahəsi nəzərə alınmaqla təsnifat (Makarova N.A.) Statik model - bu, obyekt haqqında məlumatın birdəfəlik şəkli kimidir (bir sorğunun nəticəsi) Dinamik model imkan verir zamanla obyektdəki dəyişikliklərə baxın (Klinikada kart) Modelləri də uyğun olaraq təsnif etmək olar onlar hansı bilik sahəsinə aiddirlər?(bioloji, tarixi, ətraf mühit və s.) Yuxarıya qayıt

1.2.2 İstifadə sahəsinə görə təsnifat (Makarova N.A.) Təhsil- vizual təlimatlar, simulyatorlar ey ulayanlar proqramlar Təcrübəli modellər - azaldılmışdır nüsxələr (külək tunelindəki avtomobil) Elmi və texniki sinxofazotron, elektron avadanlıqların sınaqdan keçirilməsi üçün stend Oyun- iqtisadi, idman, iş oyunları Təqlid- yox Onlar sadəcə olaraq reallığı əks etdirir, lakin onu təqlid edirlər (dərmanlar siçanlar üzərində sınaqdan keçirilir, məktəblərdə təcrübələr aparılır və s. Bu modelləşdirmə üsulu adlanır. sınaq və səhv Yuxarıya qayıt

1.2.3 Təqdimat üsuluna görə təsnifat Makarov N.A.) Material modellər- əks halda mövzu adlandırmaq olar. Onlar həndəsi və fiziki xassələri orijinal və həmişə real təcəssümü var Məlumat modellərə icazə verilmir toxunun və ya baxın. Onlar yalnız məlumatlara əsaslanır .Və məlumat model obyektin, prosesin, hadisənin xassələrini və vəziyyətlərini, habelə xarici aləmlə əlaqəsini xarakterizə edən məlumat məcmusudur. Şifahi model - zehni və ya şifahi formada informasiya modeli. İkonik model-məlumat işarələrlə ifadə olunan model , yəni.. hər hansı bir rəsmi dil vasitəsi ilə. Kompüter modeli - m Proqram təminatı mühiti vasitəsilə həyata keçirilən model.

1.2.4 "Yer İnformatikası" kitabında verilmiş modellərin təsnifatı (Gein A.G.)) “... burada sadə görünən bir iş var: Qaraqum səhrasını keçmək nə qədər vaxt aparacaq? Cavab təbiidir nəqliyyat növündən asılıdır. Əgər səyahət edin dəvələr, o zaman bir dövr, maşınla getsən başqa, təyyarə ilə uçsan üçüncüsü olacaq. Və ən əsası, səyahət planlaşdırmaq üçün müxtəlif modellər tələb olunur. Birinci halda, tələb olunan modeli memuarlarda tapmaq olar məşhur tədqiqatçılar səhralar: axı burada vahələr və dəvə yolları haqqında məlumat olmadan edə bilməzsiniz. İkinci halda, yol atlasında olan məlumatlar əvəzolunmazdır. Üçüncüsü, uçuş cədvəlindən istifadə edə bilərsiniz. Bu üç model bir-birindən - xatirələr, atlas və cədvəl - və informasiyanın təqdimat xarakteri ilə fərqlənir. Birinci halda, model məlumatın şifahi təsviri ilə təmsil olunur (təsviri model), ikincidə - sanki həyatdan bir fotoşəkil (tam miqyaslı model), üçüncüdə - simvollardan ibarət cədvəl: gediş və gəliş vaxtları, həftənin günü, biletin qiyməti (sözdə işarə modeli) Bununla belə, bu bölgü çox ixtiyaridir - memuarlarda xəritə və diaqramlar (tam miqyaslı modelin elementləri), xəritələrdə simvollar (simvolik modelin elementləri), cədvəldə simvolların (elementlərin) dekodlanması var. təsviri model). Beləliklə, modellərin bu təsnifatı... fikrimizcə, səmərəsizdir” Fikrimcə, bu fraqment təsviri (gözəl dil və təqdimat tərzi) və sanki Heinin bütün kitablarında ümumi olan Sokratik tədris üslubunu nümayiş etdirir (Hər kəs bunun belə olduğunu düşünür. Sizinlə tam razıyam, amma diqqətlə baxsanız...). Belə kitablarda aydın təriflər sistemi tapmaq olduqca çətindir (müəllif tərəfindən nəzərdə tutulmayıb). N.A.-nın redaktorluğu ilə hazırlanmış dərslikdə. Makarova fərqli bir yanaşma nümayiş etdirir - anlayışların tərifləri aydın şəkildə vurğulanır və bir qədər statikdir.

1.2.5 A.I.Bochkin tərəfindən təlimatda verilmiş modellərin təsnifatı Qeyri-adi dərəcədə çox sayda təsnifat metodu var .P gətirin yalnız ən tanınmış əsaslardan bəziləri və əlamətlər: diskretlik Və davamlılıq, matris və skalyar modellər, statik və dinamik modellər, analitik və informasiya modelləri, mövzu və obrazlı işarə modelləri, irimiqyaslı və qeyri-miqyaslı... Hər bir işarə müəyyən verir həm modelin, həm də simulyasiya edilmiş reallığın xassələri haqqında biliklər. İşarə bitmiş və ya qarşıdan gələn modelləşdirmə metodu haqqında bir işarə kimi xidmət edə bilər. Diskretlik və davamlılıq Diskretlik - kompüter modellərinin xarakterik xüsusiyyəti .Hər şeydən sonra kompüter çoxlu sayda da olsa, sonlu vəziyyətdə ola bilər. Buna görə də, obyekt davamlı (zaman) olsa belə, modeldə atlamalarda dəyişəcəkdir. Hesab etmək olardı davamlılıq qeyri-kompüter tipli modellərin əlaməti. Şans və determinizm . Qeyri-müəyyənlik, qəzaəvvəlcə qarşı çıxdı kompüter dünyası: Yenidən işə salınan alqoritm özünü təkrarlamalı və eyni nəticələri verməlidir. Ancaq təsadüfi prosesləri simulyasiya etmək üçün psevdor təsadüfi say sensorlarından istifadə olunur. Deterministik problemlərə təsadüfiliyin tətbiqi güclü və maraqlı modellərə gətirib çıxarır (Təsadüfi atışla sahənin hesablanması). Matrislik - miqyaslılıq. Parametrlərin mövcudluğu matris model ilə müqayisədə onun daha mürəkkəbliyini və bəlkə də dəqiqliyini göstərir skalyar. Məsələn, ölkə əhalisinin bütün yaş qruplarını müəyyən etməsək, onun dəyişməsini bütövlükdə nəzərə alsaq, skalyar model (məsələn, Maltus modeli), onu təcrid etsək, matris (cins) əldə edəcəyik. -yaş) modeli. Məhz matris modeli müharibədən sonra məhsuldarlığın dəyişməsini izah etməyə imkan verdi. Statik dinamik. Modelin bu xassələri adətən real obyektin xassələri ilə əvvəlcədən müəyyən edilir. Burada seçim azadlığı yoxdur. Sadəcə statik modelə doğru bir addım ola bilər dinamik, və ya bəzi model dəyişənləri hələlik dəyişməz hesab edilə bilər. Məsələn, bir peyk Yer ətrafında hərəkət edir, onun hərəkəti Aydan təsirlənir. Əgər peykin inqilabı zamanı Ayı stasionar hesab etsək, daha sadə model əldə edirik. Analitik modellər. Proseslərin təsviri analitik olaraq, düsturlar və tənliklər. Ancaq bir qrafik qurmağa çalışarkən, funksiya dəyərləri və arqumentlər cədvəlinə sahib olmaq daha rahatdır. Simulyasiya modelləri. Təqlid modellər uzun müddət əvvəl gəmilərin, körpülərin və s.-nin miqyaslı surətləri şəklində ortaya çıxdı. Necə bağlı olduğunu bilmək modelin elementlərini analitik və məntiqi cəhətdən müəyyən əlaqələr və tənliklər sistemini həll etmək deyil, yaddaş elementləri arasındakı əlaqələri nəzərə alaraq real sistemi kompüterin yaddaşında göstərmək daha asandır. İnformasiya modelləri. Məlumat Modellər adətən riyazi, daha doğrusu alqoritmik olanlarla ziddiyyət təşkil edir. Burada məlumatların həcminin alqoritmlərə nisbəti vacibdir. Daha çox məlumat varsa və ya daha vacibdirsə, məlumat modelimiz var, əks halda - riyazi. Mövzu modelləri. Bu, ilk növbədə uşaq modelidir - oyuncaq. İkonik modellər. Bu, ilk növbədə insan şüurunda bir modeldir: obrazlı, qrafik təsvirlər üstünlük təşkil edərsə və simvolik, daha çox söz və/və ya rəqəm varsa. Obrazlı işarə modelləri kompüterdə qurulur. Ölçəkli modellər. TO iri miqyaslı modellər obyektin (xəritənin) formasını təkrarlayan mövzu və ya obrazlı modellərdir.

Dizayn prosesində obyektin inkişaf dinamikasını, onun elementlərinin və müxtəlif vəziyyətlərinin əlaqələrinin daxili mahiyyətini yalnız dinamik analogiya prinsipindən istifadə edən modellərin köməyi ilə, yəni. modellər.

Riyazi model tədqiq olunan prosesi və ya hadisəni təsvir edən riyazi əlaqələr sistemidir. Riyazi modeli tərtib etmək üçün istənilən riyazi vasitələrdən - çoxluqlar nəzəriyyəsindən, riyazi məntiqdən, diferensial və ya inteqral tənliklərin dilindən istifadə edə bilərsiniz. Riyazi modelin tərtib edilməsi prosesi deyilir riyazi modelləşdirmə. Digər model növləri kimi, riyazi model də problemi sadələşdirilmiş formada təqdim edir və yalnız verilmiş obyekt və ya proses üçün ən vacib olan xassələri və nümunələri təsvir edir. Riyazi model çoxtərəfli imkan verir kəmiyyət təhlili. İlkin məlumatları, meyarları, məhdudiyyətləri dəyişdirərək, hər dəfə verilmiş şərtlərdə optimal həlli əldə edə və müəyyən edə bilərsiniz. sonrakı istiqamət axtarış.

Riyazi modellərin yaradılması onların tərtibatçılarından formal məntiqi üsulları bilməklə yanaşı, əsas ideyaları və qaydaları ciddi şəkildə formalaşdırmaq, eləcə də kifayət qədər etibarlı faktiki müəyyən etmək üçün tədqiq olunan obyektin hərtərəfli təhlilini tələb edir. statistik və tənzimləyici məlumatlar.

Qeyd etmək lazımdır ki, hazırda istifadə olunan bütün riyazi modellər aiddir göstərişli. Təlimatlı modellərin işlənib hazırlanmasında məqsəd həllin tapılması istiqamətini göstərməklə yanaşı, inkişaf etdirmənin məqsədidir təsvir edən modellər insanın faktiki təfəkkür proseslərinin əksidir.

Riyaziyyatın köməyi ilə tədqiq olunan obyekt və ya proses haqqında yalnız bəzi ədədi məlumatların əldə edilməsinə dair kifayət qədər geniş yayılmış fikir var. “Əlbəttə, bir çox riyazi fənlər yekun ədədi nəticə əldə etməyə yönəlib. Amma riyazi üsulları yalnız rəqəm əldə etmək probleminə endirmək riyaziyyatı sonsuz dərəcədə yoxsullaşdırmaq, bu gün tədqiqatçıların əlində olan o güclü silahın mümkünlüyünü yoxsullaşdırmaq deməkdir...

Bu və ya digər özəl dildə yazılmış riyazi model (məsələn, diferensial tənliklər) əks etdirir müəyyən xüsusiyyətlər real fiziki proseslər. Riyazi modellərin təhlili nəticəsində biz, ilk növbədə, tədqiq olunan proseslərin xüsusiyyətləri haqqında keyfiyyətli fikirlər əldə edirik, ardıcıl vəziyyətlərin dinamik sıralarını müəyyən edən qanunauyğunluqları müəyyənləşdirir və prosesin gedişatını proqnozlaşdırmaq imkanı əldə edirik. və onun kəmiyyət xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin”.

Riyazi modellər bir çox tanınmış modelləşdirmə üsullarında istifadə olunur. Onların arasında obyektin statik və dinamik vəziyyətini təsvir edən modellərin işlənməsi, optimallaşdırma modelləri var.

Obyektin statik və dinamik vəziyyətini təsvir edən riyazi modellərə misal olaraq ənənəvi struktur hesablamalarının müxtəlif üsulları ola bilər. Riyazi əməliyyatların ardıcıllığı (alqoritm) şəklində təqdim olunan hesablama prosesi müəyyən strukturun hesablanması üçün riyazi modelin tərtib edildiyini söyləməyə imkan verir.

IN optimallaşdırma modellər üç elementdən ibarətdir:

Qəbul edilmiş keyfiyyət meyarını əks etdirən obyektiv funksiya;

Tənzimlənən parametrlər;

Tətbiq edilmiş məhdudiyyətlər.

Bütün bu elementlər riyazi olaraq tənliklər, məntiqi şərtlər və s. şəklində təsvir edilməlidir. Optimallaşdırma məsələsinin həlli müəyyən edilmiş məhdudiyyətlərə əməl etməklə məqsəd funksiyasının minimum (maksimum) qiymətinin tapılması prosesidir. Məqsəd funksiyası ekstremal qiymətə çatdıqda həll nəticəsi optimal hesab olunur.

Optimallaşdırma modelinə misal olaraq sənaye binalarının alternativ layihələndirilməsi metodunda “əlaqə uzunluğu” meyarının riyazi təsvirini göstərmək olar.

Məqsəd funksiyası bütün funksional əlaqələrin ümumi çəkili uzunluğunu əks etdirir, minimuma meyl etməlidir:

elementin əlaqəsinin çəki dəyəri haradadır;

– elementlər arasında əlaqənin uzunluğu;

– yerləşdirilmiş elementlərin ümumi sayı.

Binaların yerləşdirilən elementlərinin sahələri dizayn həllinin bütün variantlarında bərabər olduğundan, variantlar bir-birindən yalnız elementlər arasındakı müxtəlif məsafələrdə və onların bir-birinə nisbətən yerləşməsi ilə fərqlənir. Nəticə etibarilə, bu halda tənzimlənən parametrlər mərtəbə planlarına yerləşdirilən elementlərin koordinatlarıdır.

Elementlərin yerləşməsinə (planda əvvəlcədən müəyyən edilmiş yerdə, xarici perimetrdə, bir-birinin üstündə və s.) və birləşmələrin uzunluğuna (elementlər arasındakı birləşmələrin uzunluqları sərt şəkildə göstərilmişdir, minimum) qoyulmuş məhdudiyyətlər və ya dəyərlərin maksimum hədləri müəyyən edilir, dəyişmə sərhədləri müəyyən edilmiş qiymətlərdir) formal olaraq yazılır.

Əgər bu variant üçün hesablanmış məqsəd funksiyasının dəyəri minimal olarsa, variant optimal sayılır (bu meyara uyğun olaraq).

Müxtəlif riyazi modellər - iqtisadi-riyazi model– ünsiyyət modelini təmsil edir iqtisadi xüsusiyyətlər və sistem parametrləri.

İqtisadi-riyazi modellərə misal olaraq sənaye binalarının alternativ layihələndirilməsinin yuxarıda qeyd olunan metodunda məsrəf meyarlarının riyazi təsvirini göstərmək olar. Riyazi statistika üsullarının tətbiqi əsasında alınan riyazi modellər birmərtəbəli və çoxmərtəbəli sənaye binalarının karkasının, bünövrəsinin, torpaq işlərinin qiymətindən və onların hündürlüyündən, yükdaşıyan konstruksiyaların aralığından və meydançasından asılılığını əks etdirir.

Qərarların qəbul edilməsinə təsadüfi amillərin təsirinin nəzərə alınması metoduna əsasən riyazi modellər deterministik və ehtimal olunanlara bölünür. Determinist model sistemin işləməsi prosesində təsadüfi amillərin təsirini nəzərə almır və fəaliyyət nümunələrinin analitik təsvirinə əsaslanır. Ehtimal (stokastik) model sistemin işləməsi zamanı təsadüfi amillərin təsirini nəzərə alır və statistik, yəni. kütləvi hadisələrin qeyri-xəttiliyini, dinamikasını, müxtəlif paylanma qanunları ilə təsvir olunan təsadüfi pozulmalarını nəzərə almağa imkan verən kəmiyyət qiymətləndirilməsi.

Yuxarıdakı misallardan istifadə edərək deyə bilərik ki, “əlaqələrin uzunluğu” meyarını təsvir edən riyazi model deterministik modellərə, “xərclər” meyarlar qrupunu təsvir edən riyazi modellərə isə ehtimal modellərinə aiddir.

Linqvistik, semantik və informasiya modelləri

Riyazi modellərin aşkar üstünlükləri var, çünki problemin aspektlərinin kəmiyyətcə müəyyənləşdirilməsi məqsədlərin prioritetləri haqqında aydın təsəvvür yaradır. Mütəxəssis hər zaman müvafiq ədədi məlumatları təqdim edərək müəyyən bir qərarın qəbulunu əsaslandıra bilməsi vacibdir. Ancaq tam riyazi təsvir layihə fəaliyyətləri qeyri-mümkündür, buna görə də memarlıq və tikinti dizaynının ilkin mərhələsində həll olunan problemlərin əksəriyyətinə aiddir zəif strukturlaşdırılmışdır.

Yarımstrukturlu problemlərin xüsusiyyətlərindən biri də onlarda istifadə olunan meyarların şifahi təsviridir. Təbii dildə təsvir olunan meyarların təqdim edilməsi (belə meyarlar deyilir Dilçilik), optimal dizayn həllərini tapmaq üçün daha az mürəkkəb üsullardan istifadə etməyə imkan verir. Belə meyarları nəzərə alaraq, dizayner məqsədlərinin tanış, şübhəsiz ifadələrinə əsaslanaraq qərar qəbul edir.

Problemin bütün aspektlərinin mənalı təsviri bir tərəfdən onun həlli prosesinə sistemləşdirməni daxil edir, digər tərəfdən isə riyaziyyatın müvafiq sahələrini öyrənmədən öz peşə problemlərini daha çox həll edə bilən mütəxəssislərin işini xeyli asanlaşdırır. rasional olaraq. Şəkildə. 5.2 verilmişdir linqvistik model, bir çörək üçün müxtəlif layout variantlarında təbii ventilyasiya üçün şərait yaratmaq imkanlarını təsvir edir.

Mənalı problem təsvirlərinin digər üstünlükləri bunlardır:

Dizayn həllinin effektivliyini müəyyən edən bütün meyarları təsvir etmək bacarığı. Eyni zamanda, mürəkkəb anlayışların təsvirə daxil edilməsi və mütəxəssisin baxış sahəsinə kəmiyyət, ölçülə bilən amillərlə yanaşı, keyfiyyət, ölçülə bilməyənlərin də daxil olması vacibdir. Beləliklə, qərarın qəbulu zamanı bütün subyektiv və obyektiv məlumatlardan istifadə ediləcək;

düyü. 5.2 "Havalandırma" meyarının məzmununun linqvistik model şəklində təsviri

Alınan məlumatların etibarlılığını təmin edən mütəxəssislər tərəfindən qəbul edilmiş formulalar əsasında bu meyarın variantlarında məqsədə çatma dərəcəsini birmənalı qiymətləndirmək bacarığı;

Qəbul edilmiş qərarların bütün nəticələrinin natamam biliyi ilə bağlı qeyri-müəyyənliyi, eləcə də proqnozlaşdırıcı məlumatları nəzərə almaq bacarığı.

Tədqiqat obyektini təsvir etmək üçün təbii dildən istifadə edən modellərə semantik modellər də daxildir.

Semantik model- obyektin müxtəlif komponentləri, tərəfləri, xassələri arasında qarşılıqlı əlaqə (yaxınlıq) dərəcəsini əks etdirən belə bir təsviri vardır. Qarşılıqlı bağlılıq nisbi məkan düzülüşü deyil, mənada bağlılıq deməkdir.

Beləliklə, semantik mənada təbii işıqlandırma əmsalı ilə şəffaf çitlərin işıq sahəsi arasındakı əlaqə pəncərə açılışları və divarın bitişik kor hissələri arasındakı əlaqədən daha yaxın kimi təqdim ediləcəkdir.

Bağlantı əlaqələri toplusu obyektdə seçilmiş hər bir elementin və bütövlükdə obyektin nəyi təmsil etdiyini göstərir. Eyni zamanda, semantik model obyektdə müxtəlif cəhətlərin bağlılıq dərəcəsi ilə yanaşı, anlayışların məzmununu da əks etdirir. Elementar modellər təbii dildə ifadə olunan anlayışlardır.

Semantik modellərin qurulması prinsiplərə əsaslanır ki, bunlara əsasən modelin istifadə olunduğu bütün müddət ərzində anlayışlar və əlaqələr dəyişmir; bir anlayışın məzmunu digərinə keçmir; iki anlayış arasındakı əlaqələr onlara münasibətdə bərabər və qeyri-yönümlü qarşılıqlı təsirə malikdir.

Hər bir model təhlili müəyyən ümumi keyfiyyətə malik olan modelin elementlərini seçmək məqsədi daşıyır. Bu, yalnız birbaşa əlaqələri nəzərə alan alqoritmin qurulmasına əsas verir. Modeli yönləndirilməmiş qrafikə çevirərkən, hər bir elementdən yalnız bir dəfə istifadə edərək bir elementdən digərinə hərəkəti izləyən iki element arasında yol tapılır. Elementlərin görünmə ardıcıllığı iki elementin ardıcıllığı adlanır. Ardıcıllıqlar müxtəlif uzunluqlara malik ola bilər. Onlardan ən qısası element münasibətləri adlanır. İki elementin ardıcıllığı onlar arasında birbaşa əlaqə olsa belə mövcuddur, lakin bu halda heç bir əlaqə yoxdur.

Semantik modelin nümunəsi olaraq, rabitə əlaqələri ilə birlikdə bir mənzilin planının təsvirini veririk. Konsepsiya mənzilin binasıdır. Birbaşa əlaqə iki otağın, məsələn, bir qapı ilə funksional birləşməsi deməkdir (Cədvəl 5.1-ə baxın).

Modelin yönləndirilməmiş qrafik formasına çevrilməsi elementlərin ardıcıllığını əldə etməyə imkan verir (şək. 5.3).

2-ci element (hamam otağı) və element 6 (kiler) arasında formalaşan ardıcıllığın nümunələri cədvəldə verilmişdir. 5.2. Cədvəldən göründüyü kimi, 3-cü ardıcıllıq bu iki elementin əlaqəsini təmsil edir.

Cədvəl 5.1

Mənzil planının təsviri

düyü. 5.3 İstiqamətsiz qrafik şəklində planlaşdırma həllinin təsviri

Riyazi model nədir?

Riyazi model anlayışı.

Riyazi model çox sadə bir anlayışdır. Və çox vacibdir. Riyaziyyatı real həyatı birləşdirən riyazi modellərdir.

Danışan sadə dildə, riyazi model hər hansı bir vəziyyətin riyazi təsviridir. Hamısı budur. Model primitiv ola bilər və ya super mürəkkəb ola bilər. Vəziyyət nə olursa olsun, model belədir.)

İstənilən halda (təkrar edirəm - hər hansı birində!) bir şeyi saymaq və hesablamaq lazım olduğu halda - biz riyazi modelləşdirmə ilə məşğul oluruq. Bundan şübhələnməsək də.)

P = 2 CB + 3 CM

Bu giriş alışlarımızın xərclərinin riyazi modeli olacaqdır. Modeldə qablaşdırmanın rəngi, yararlılıq müddəti, kassirlərin nəzakəti və s. nəzərə alınmır. Ona görə də o model, faktiki alış deyil. Lakin xərclər, yəni. bizə nə lazımdır- mütləq öyrənəcəyik. Model düzgündürsə, əlbəttə.

Riyazi modelin nə olduğunu təsəvvür etmək faydalıdır, lakin bu kifayət deyil. Ən əsası bu modelləri qura bilməkdir.

Məsələnin riyazi modelinin tərtibi (qurulması).

Riyazi model yaratmaq məsələnin şərtlərini riyazi formaya çevirmək deməkdir. Bunlar. sözləri tənliyə çevirmək, düstur, bərabərsizlik və s. Üstəlik, onu çevirin ki, bu riyaziyyat ciddi şəkildə uyğun olsun orijinal mətn. Əks halda, bizə məlum olmayan başqa bir problemin riyazi modeli ilə nəticələnəcəyik.)

Daha dəqiq desək, lazımdır

Dünyada sonsuz sayda tapşırıq var. Buna görə də, riyazi model hazırlamaq üçün aydın addım-addım təlimatlar təklif edin hər hansı vəzifələr qeyri-mümkündür.

Ancaq diqqət etməli olduğunuz üç əsas məqam var.

1. İstənilən problem, qəribə də olsa, mətni ehtiva edir.) Bu mətn, bir qayda olaraq, ehtiva edir açıq, açıq məlumat. Rəqəmlər, dəyərlər və s.

2. Hər hansı bir problem var gizli məlumatlar. Bu, beyninizdə əlavə bilikləri nəzərdə tutan bir mətndir. Onlarsız yol yoxdur. Bundan əlavə, riyazi məlumatlar çox vaxt sadə sözlərin arxasında gizlənir və... diqqətdən yayınır.

3. İstənilən tapşırıq verilməlidir məlumatların bir-biri ilə əlaqəsi. Bu əlaqə düz mətnlə verilə bilər (bir şey nəyəsə bərabərdir) və ya sadə sözlərin arxasında gizlənə bilər. Ancaq sadə və aydın faktlar çox vaxt diqqətdən kənarda qalır. Və model heç bir şəkildə tərtib edilmir.

Dərhal deyəcəyəm: bu üç məqamı tətbiq etmək üçün problemi (və diqqətlə!) bir neçə dəfə oxumalısınız. Adi şey.

İndi - nümunələr.

Sadə bir problemlə başlayaq:

Petroviç balıq ovundan qayıtdı və ovunu qürurla ailəyə təqdim etdi. Diqqətlə araşdırdıqda məlum oldu ki, 8 balıq şimal dənizlərindən, bütün balıqların 20%-i cənub dənizlərindən gəlib və Petroviçin balıq tutduğu yerli çaydan bir nəfər də olsun gəlməyib. Petroviç Dəniz məhsulları mağazasında neçə balıq aldı?

Bütün bu sözləri bir növ tənliyə çevirmək lazımdır. Bunu etmək üçün sizə lazımdır, təkrar edirəm, problemdəki bütün məlumatlar arasında riyazi əlaqə qurmaq.

Haradan başlamaq lazımdır? Əvvəlcə tapşırıqdan bütün məlumatları çıxaraq. Sıra ilə başlayaq:

Birinci məqama diqqət yetirək.

Hansı biri burdadır? açıq-aşkar riyazi məlumat? 8 balıq və 20%. Çox deyil, amma çox şeyə ehtiyacımız yoxdur.)

İkinci məqama diqqət yetirək.

axtarırlar gizli məlumat. Budur. Bu sözlər: “Bütün balıqların 20%-i". Burada faizlərin nə olduğunu və necə hesablandığını başa düşmək lazımdır. Əks halda, problem həll edilə bilməz. Bu, məhz budur. əlavə informasiya, başınızda olmalıdır.

da var riyazi tamamilə görünməyən məlumatlar. Bu tapşırıq sualı: "Nə qədər balıq almışam...” Bu da bir rəqəmdir. Və onsuz heç bir model formalaşmayacaq. Ona görə də bu rəqəmi hərflə qeyd edək "X". Biz hələ x-in nəyə bərabər olduğunu bilmirik, lakin bu təyinat bizim üçün çox faydalı olacaq. X üçün nə götürmək və onunla necə davranmaq barədə daha ətraflı məlumat Riyaziyyatda problemləri necə həll etmək olar dərsdə yazılmışdır? Gəlin bunu dərhal yazaq:

x ədəd - balıqların ümumi sayı.

Problemimizdə cənub balıqları faizlə verilir. Biz onları parçalara çevirməliyik. Nə üçün? Sonra nə hər hansı modelin problemi tərtib edilməlidir eyni tipli miqdarda. Parçalar - buna görə də hər şey parça-parçadır. Deyək ki, saatlar və dəqiqələr verilirsə, biz hər şeyi bir şeyə çeviririk - ya yalnız saatlar, ya da yalnız dəqiqələr. Nə olduğunun fərqi yoxdur. Bu vacibdir bütün dəyərlər eyni tipdə idi.

Gəlin məlumatların açıqlanmasına qayıdaq. Faizin nə olduğunu bilməyən heç vaxt üzə çıxarmaz, bəli... Amma kim bilirsə, dərhal deyəcək ki, buradakı faiz ümumi sayı balıq verilir. Və bu rəqəmi bilmirik. Heç nə işləməyəcək!

Əbəs yerə balıqların ümumi sayını (parçalarla!) "X" təyin edilmişdir. Cənub balıqlarının sayını saymaq mümkün olmayacaq, amma biz onları yaza bilərik? Bunun kimi:

0,2 x ədəd - cənub dənizlərindən gələn balıqların sayı.

İndi tapşırıqdan bütün məlumatları endirdik. Həm aşkar, həm də gizli.

Üçüncü məqama diqqət yetirək.

axtarırlar riyazi əlaqə tapşırıq məlumatları arasında. Bu əlaqə o qədər sadədir ki, çoxları bunu hiss etmir... Bu, tez-tez olur. Burada toplanmış məlumatları bir yığına yazmaq və nə olduğunu görmək faydalıdır.

Nəyimiz var? Yemək 8 ədədşimal balıqları, 0,2 x ədəd- cənub balıqları və x balıq- ümumi miqdar. Bu məlumatları bir şəkildə birləşdirmək mümkündürmü? Bəli Asan! Balıqların ümumi sayı bərabərdir cənub və şimalın cəmi! Yaxşı, kimin ağlına gələrdi...) Beləliklə, yazırıq:

x = 8 + 0,2x

Bu tənlikdir problemimizin riyazi modeli.

Nəzərə alın ki, bu problemdə Bizdən heç nəyi qatlamaq tələb olunmur! Cənub və şimal balıqlarının cəminin bizə ümumi sayı verəcəyini başa düşən özümüz idik. İş o qədər aydındır ki, diqqətdən kənarda qalır. Amma bu sübut olmadan riyazi model yaradıla bilməz. Bunun kimi.

İndi bu tənliyi həll etmək üçün riyaziyyatın bütün gücündən istifadə edə bilərsiniz). Riyazi model məhz buna görə tərtib edilmişdir. Bu xətti tənliyi həll edirik və cavabını alırıq.

Cavab: x=10

Başqa bir məsələnin riyazi modelini yaradaq:

Petroviçdən soruşdular: "Pulun çoxdur?" Petroviç ağlamağa başladı və cavab verdi: "Bəli, bir az. Əgər bütün pulun yarısını xərcləsəm, qalanın yarısını xərcləsəm, onda yalnız bir kisə pulum qalacaq..." Petroviçin nə qədər pulu var. ?

Yenə nöqtə-nöqtə işləyirik.

1. Biz açıq məlumat axtarırıq. Onu dərhal tapa bilməyəcəksiniz! Açıq-aşkar məlumatdır bir pul çantası. Başqa yarımlar da var... Yaxşı, ikinci abzasda buna baxacağıq.

2. Biz gizli məlumat axtarırıq. Bunlar yarımdır. Nə? Çox aydın deyil. Biz daha çox axtarırıq. Daha bir sual var: "Petroviçin nə qədər pulu var?" Gəlin pulun miqdarını hərflə işarə edək "X":

X- bütün pullar

Və problemi yenidən oxuyuruq. Onsuz da Petroviç bilirik X pul. Yarımların işləyəcəyi yer budur! Yazırıq:

0,5 x- bütün pulun yarısı.

Qalan da yarısı olacaq, yəni. 0,5 x. Və yarısının yarısı belə yazıla bilər:

0,5 0,5 x = 0,25x- qalanın yarısı.

İndi bütün gizli məlumatlar üzə çıxıb və qeydə alınıb.

3. Biz qeydə alınan məlumatlar arasında əlaqə axtarırıq. Burada sadəcə Petroviçin əzabını oxuya və riyazi olaraq yaza bilərsiniz):

Bütün pulun yarısını xərcləsəm...

Gəlin bu prosesi qeyd edək. Bütün pullar - X. Yarım - 0,5 x. Xərcləmək götürməkdir. İfadə yazıya çevrilir:

x - 0,5 x

Bəli qalanın yarısı...

Qalığın daha yarısını çıxaraq:

x - 0,5 x - 0,25x

onda bircə pulum qalacaq...

Və burada bərabərlik tapdıq! Bütün çıxmalardan sonra bir çanta pul qalır:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Budur, riyazi model! Bu yenə xətti tənlikdir, onu həll edirik, alırıq:

Nəzərdən keçirilməsi üçün sual. dörd nədir? Rubl, dollar, yuan? Və bizim riyazi modelimizdə pul hansı vahidlərlə yazılıb? Çantalarda! Bu dörd deməkdir çanta Petroviçdən pul. Daha yaxşı.)

Tapşırıqlar, əlbəttə ki, elementardır. Bu, xüsusi olaraq riyazi modelin tərtib edilməsinin mahiyyətini ələ keçirmək üçündür. Bəzi tapşırıqlar daha çox məlumat ehtiva edə bilər, bu da asanlıqla itirilə bilər. Bu, tez-tez sözdə olur. səlahiyyət tapşırıqları. Bir yığın söz və rəqəmdən riyazi məzmunu necə çıxarmaq nümunələrlə göstərilmişdir

Daha bir qeyd. Klassik məktəb problemlərində (hovuzu dolduran borular, bir yerdə üzən qayıqlar və s.) Bütün məlumatlar, bir qayda olaraq, çox diqqətlə seçilir. İki qayda var:
- problemin həlli üçün kifayət qədər məlumat var;
- Problemdə lazımsız məlumat yoxdur.

Bu bir işarədir. Riyazi modeldə istifadə olunmayan bir dəyər varsa, səhv olub-olmadığını düşünün. Kifayət qədər məlumat yoxdursa, çox güman ki, bütün gizli məlumatlar müəyyən edilməyib və qeydə alınmayıb.

Bacarıqda və s həyat vəzifələri bu qaydalara ciddi əməl olunmur. Heç bir ipucu yoxdur. Amma bu kimi problemləri də həll etmək olar. Əlbəttə ki, klassiklər üzərində məşq etsəniz.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.