Müntəzəm dördbucaqlı piramidanın yanal səth sahəsi: düsturlar və nümunə problemlər. Piramidanın yan səthinin sahəsini necə tapmaq olar Piramidanın yan səthinin sahəsi cəminə bərabərdir

çoxşaxəli fiqurdur, onun əsası çoxbucaqlıdır, qalan üzlər isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlarla təmsil olunur.

Baza kvadratdırsa, o zaman piramida deyilir dördbucaqlı, üçbucaqdırsa - onda üçbucaqlı. Piramidanın hündürlüyü onun yuxarı hissəsindən bazaya perpendikulyar şəkildə çəkilir. Sahəni hesablamaq üçün də istifadə olunur apotem– yuxarıdan endirilmiş yan üzün hündürlüyü.
Piramidanın yan səthinin sahəsinin düsturu onun yan üzlərinin bir-birinə bərabər olan sahələrinin cəmidir. Ancaq bu hesablama üsulu çox nadir hallarda istifadə olunur. Əsasən, piramidanın sahəsi təməlin perimetri və apotem vasitəsilə hesablanır:

Piramidanın yan səthinin sahəsini hesablamaq üçün bir nümunə nəzərdən keçirək.

ABCDE əsası və üstü F olan bir piramida verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 sm Apotem a = 5 sm Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Gəlin perimetri tapaq. Bazanın bütün kənarları bərabər olduğundan, beşbucağın perimetri bərabər olacaq:
İndi piramidanın yan sahəsini tapa bilərsiniz:

Daimi üçbucaqlı piramidanın sahəsi

Müntəzəm üçbucaqlı piramida nizamlı üçbucağın yerləşdiyi əsasdan və sahəsi bərabər olan üç yan üzdən ibarətdir.
Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin düsturu müxtəlif yollarla hesablana bilər. Perimetr və apotemdən istifadə edərək adi hesablama düsturunu tətbiq edə bilərsiniz və ya bir üzün sahəsini tapıb üçə vura bilərsiniz. Piramidanın üzü üçbucaq olduğundan, üçbucağın sahəsi üçün düstur tətbiq edirik. Bunun üçün bir apotem və bazanın uzunluğu tələb olunacaq. Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirək.

Apotem a = 4 sm və əsas üzü b = 2 sm olan piramida verilmişdir.Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Əvvəlcə yan üzlərdən birinin sahəsini tapın. IN bu halda O olacaq:
Dəyərləri düsturla əvəz edin:
Adi bir piramidada bütün tərəflər eyni olduğundan, piramidanın yan səthinin sahəsi üç üzün sahələrinin cəminə bərabər olacaqdır. Müvafiq olaraq:

Kəsilmiş piramidanın sahəsi

Kəsilmiş Piramida, bir piramidadan və onun kəsişməsinin əsasına paralel olan çoxüzlüdür.
Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin düsturu çox sadədir. Sahə əsasların və apotemlərin perimetrlərinin cəminin yarısının hasilinə bərabərdir:

Piramidanın tərifi

piramidaçoxüzlüdür, əsası çoxbucaqlıdır, üzləri isə üçbucaqdır.

Onlayn kalkulyator

Piramidanın bəzi komponentlərinin tərifi üzərində dayanmağa dəyər.

O, digər çoxüzlülər kimi, var qabırğalar. adlı bir nöqtəyə yaxınlaşırlar üst piramidalar. O, ixtiyari çoxbucaqlıya əsaslana bilər. Kənarçağırdı həndəsi fiqur, bazanın tərəflərindən biri və ən yaxın iki qabırğa ilə əmələ gəlir. Bizim vəziyyətimizdə bu üçbucaqdır. Hündürlük piramida, əsasının yerləşdiyi müstəvidən çoxüzlünün yuxarı hissəsinə qədər olan məsafədir. Adi bir piramida üçün bir anlayış da var apotemlər- bu, piramidanın yuxarısından bazasına enmiş perpendikulyardır.

Piramidaların növləri

Piramidaların 3 növü var:

1. Düzbucaqlı- hər hansı bir kənarın baza ilə düz bucaq meydana gətirdiyi biri.
2. Düzgün- onun əsası müntəzəm həndəsi fiqurdur, çoxbucaqlının təpəsi isə təməlin mərkəzinin proyeksiyasıdır.
3. tetraedr- üçbucaqlardan ibarət piramida. Üstəlik, onların hər biri əsas götürülə bilər.

Piramidanın səth sahəsi üçün düstur

Piramidanın ümumi səth sahəsini tapmaq üçün yan səthin sahəsini və təməlin sahəsini əlavə etməlisiniz.

Ən sadə hal adi bir piramidanın işidir, buna görə də onunla məşğul olacağıq. Belə bir piramidanın ümumi səth sahəsini hesablayaq. Yan səth sahəsi:

S tərəfi = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(yan))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS yan​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅səh

Ll l- piramidanın apothemi;
səh səh- piramidanın əsasının perimetri.

Piramidanın ümumi səthi:

S = S tərəfi + S əsas S=S_(\mətn(yan))+S_(\mətn(əsas))S=S yan​ + S əsas​

S tərəfi S_(\mətn(yan)) S yan​ - piramidanın yan səthinin sahəsi;
S əsas S_(\mətn(əsas)) S əsas​ - piramidanın əsas sahəsi.

Problemin həlli nümunəsi.

Üçbucaqlı piramidanın ümumi sahəsini tapın, əgər onun apotemi 8 (sm) və bazasında tərəfi 3 (sm) olan bərabərtərəfli üçbucaq varsa.

Həll

L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3

Bazanın perimetrini tapaq. Baza tərəfi olan bərabərtərəfli üçbucaq olduğundan a a a, sonra onun perimetri səh səh(bütün tərəflərinin cəmi):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Sonra piramidanın yan sahəsi:

S tərəfi = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(yan))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S yan​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (kv. bax)

İndi piramidanın əsasının sahəsini, yəni üçbucağın sahəsini tapaq. Bizim vəziyyətimizdə üçbucaq bərabərtərəflidir və onun sahəsi düsturla hesablana bilər:

S əsas = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(əsas))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S əsas​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

A a a- üçbucağın tərəfi.

Biz əldə edirik:

S əsas = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(əsas))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\təxminən 3.9S əsas​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (kv. bax)

Ümumi sahə, ərazi:

S = S tərəfi + S əsas ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\mətn(yan))+S_(\mətn(əsas))\təqribən36+3.9=39.9S=S yan​ + S əsas​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (kv. bax)

Cavab: 39,9 sm kv.

Başqa bir nümunə, bir az daha mürəkkəbdir.

Piramidanın əsası sahəsi 36 (sm2) olan bir kvadratdır. Çoxüzlülərin apoteminin əsas tərəfi 3 dəfə böyükdür a a a. Bu fiqurun ümumi səth sahəsini tapın.

Həll

S dördlü = 36 S_(\text(dörd))=36S dördlük​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Bazanın tərəfini, yəni kvadratın tərəfini tapaq. Onun sahəsi və yan uzunluğu əlaqəlidir:

S kvad = a 2 S_(\text(dörd))=a^2S dördlük​ = a 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = a 2
a = 6 a=6 a =6

Piramidanın əsasının perimetrini (yəni kvadratın perimetrini) tapaq:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Apoteminin uzunluğunu tapaq:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

Bizim vəziyyətimizdə:

S dördlü = S əsas S_(\text(dörd))=S_(\text(əsas))S dördlük​ = S əsas​

Qalan yalnız yanal səthin sahəsini tapmaqdır. Formula görə:

S tərəfi = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(yan))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S yan​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (kv. bax)

Ümumi sahə, ərazi:

$S=S^{\text{yan + Səsas = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (kv. bax)}}$

Cavab: 252 sm kv.

Adi üçbucaqlı piramidada SABC R- qabırğanın ortası AB, S- üst.
Məlumdur ki SR = 6, və yanal səth sahəsi bərabərdir 36 .
Seqmentin uzunluğunu tapın B.C..

Gəlin rəsm çəkək. Adi bir piramidada yan üzlər ikitərəfli üçbucaqlardır.

Xətt seqmenti S.R.- median bazaya endirildi və buna görə də yan üzün hündürlüyü.

Düzgün üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin sahəsi sahələrin cəminə bərabərdir
üç bərabər yan üz S tərəfi = 3 S ABS. Buradan S ABS = 36: 3 = 12- üzün sahəsi.

Üçbucağın sahəsi onun əsasının və hündürlüyünün məhsulunun yarısına bərabərdir
S ABS = 0,5 AB SR. Sahəni və hündürlüyü bilməklə, bazanın tərəfini tapırıq AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Cavab verin: 4

Problemə digər tərəfdən yanaşa bilərsiniz. Baza yan olsun AB = BC = a.
Sonra üzün sahəsi S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Üç üzün hər birinin sahəsi bərabərdir 3a, üç üzün sahəsi bərabərdir 9a.
Problemin şərtlərinə görə, piramidanın yan səthinin sahəsi 36-dır.
S tərəfi = 9a = 36.
Buradan a = 4.

Bu həndəsi fiqur və onun xassələri ilə bağlı sualları öyrənməzdən əvvəl bəzi terminləri başa düşməlisiniz. İnsan piramida haqqında eşidəndə Misirdə nəhəng binaları təsəvvür edir. Ən sadə olanlar belə görünür. Amma olur fərqli növlər və fiqurlar, yəni həndəsi fiqurlar üçün hesablama düsturu fərqli olacaq.

Fiqur növləri

Piramida - həndəsi fiqur, bir neçə sifəti bildirən və təmsil edən. Əslində, bu, eyni çoxbucaqlıdır, onun əsasında çoxbucaqlı yerləşir və tərəflərdə bir nöqtədə - təpədə birləşən üçbucaqlar var. Fiqur iki əsas növdə olur:

• düzgün;
• kəsilmiş.

Birinci halda, əsas müntəzəm çoxbucaqlıdır. Burada bütün yan səthlər bərabərdirözləri ilə rəqəmin özü arasında bir mükəmməllikçinin gözünü sevindirəcək.

İkinci halda, iki əsas var - ən altındakı böyük və yuxarı arasında kiçik, əsasın formasını təkrarlayır. Başqa sözlə desək, kəsilmiş piramida bazaya paralel olaraq formalaşmış kəsiyi olan çoxüzlüdür.

Şərtlər və simvollar

Əsas şərtlər:

• Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucaq- üç bərabər bucaqlı və bərabər tərəfləri olan fiqur. Bu vəziyyətdə bütün bucaqlar 60 dərəcədir. Fiqur müntəzəm çoxüzlülərin ən sadəsidir. Bu rəqəm təməldə yerləşirsə, belə bir çoxhedron müntəzəm üçbucaqlı adlanacaqdır. Baza kvadratdırsa, piramida müntəzəm dördbucaqlı piramida adlanacaq.
• Vertex– kənarların kəsişdiyi ən yüksək nöqtə. Zirvənin hündürlüyü zirvədən piramidanın əsasına qədər uzanan düz xətt ilə formalaşır.
• Kənar– çoxbucaqlının müstəvilərindən biri. Üçbucaqlı piramida vəziyyətində üçbucaq şəklində və ya trapezoid şəklində ola bilər. kəsilmiş piramida.
• Bölmə – düz fiqur, parçalanması nəticəsində yaranmışdır. Bölmə ilə qarışdırılmamalıdır, çünki bölmə həm də bölmənin arxasında nə olduğunu göstərir.
• Apotem- piramidanın yuxarısından bazasına çəkilmiş seqment. Bu, həm də ikinci hündürlük nöqtəsinin yerləşdiyi üzün hündürlüyüdür. Bu tərif yalnız müntəzəm çoxüzlü üçün etibarlıdır. Məsələn, bu kəsilmiş piramida deyilsə, üz üçbucaq olacaq. Bu halda, bu üçbucağın hündürlüyü apotem olacaq.

Sahə formulları

Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın istənilən növ bir neçə yolla edilə bilər. Əgər rəqəm simmetrik deyilsə və müxtəlif tərəfləri olan çoxbucaqlıdırsa, bu halda bütün səthlərin cəmi vasitəsilə ümumi səth sahəsini hesablamaq daha asandır. Başqa sözlə, hər bir üzün sahəsini hesablamaq və onları birlikdə əlavə etmək lazımdır.

Hansı parametrlərin bilindiyindən asılı olaraq, kvadrat, trapesiya, ixtiyari dördbucaqlı və s. hesablanması üçün düsturlar tələb oluna bilər. Müxtəlif hallarda düsturların özləri fərqləri də olacaq.

Müntəzəm bir rəqəm vəziyyətində, ərazini tapmaq daha asandır. Yalnız bir neçə əsas parametri bilmək kifayətdir. Əksər hallarda hesablamalar xüsusi olaraq belə rəqəmlər üçün tələb olunur. Buna görə də müvafiq düsturlar aşağıda veriləcəkdir. Əks təqdirdə, hər şeyi bir neçə səhifəyə yazmaq məcburiyyətində qalacaqsınız ki, bu da sizi yalnız çaşdıracaq və çaşdıracaq.

Hesablama üçün əsas düstur Müntəzəm piramidanın yanal səthi aşağıdakı formada olacaq:

S=½ Pa (P əsasın perimetridir və apotemdir)

Bir misala baxaq. Polihedron A1, A2, A3, A4, A5 seqmentləri olan bazaya malikdir və hamısı 10 sm-ə bərabərdir.Apotem 5 sm-ə bərabər olsun.Əvvəlcə perimetri tapmaq lazımdır. Bazanın bütün beş üzü eyni olduğundan, onu belə tapa bilərsiniz: P = 5 * 10 = 50 sm.Sonra, əsas düsturu tətbiq edirik: S = ½ * 50 * 5 = 125 sm kvadrat.

Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi hesablamaq üçün ən asan. Formula belə görünür:

S =½* ab *3, burada a apotemdir, b əsasın üzüdür. Burada üç faktor bazanın üzlərinin sayını, birinci hissə isə yan səthin sahəsini bildirir. Bir nümunəyə baxaq. Apotem 5 sm və əsas kənarı 8 sm olan fiqur verilmişdir.Hesab edirik: S = 1/2*5*8*3=60 sm kvadrat.

Kəsilmiş piramidanın yan səth sahəsi Hesablamaq bir az daha çətindir. Formula belə görünür: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, burada p_01 və p_02 əsasların perimetrləridir və apotemdir. Bir nümunəyə baxaq. Deyək ki, dördbucaqlı bir fiqur üçün əsasların tərəflərinin ölçüləri 3 və 6 sm, apotem isə 4 sm-dir.

Burada əvvəlcə əsasların perimetrlərini tapmaq lazımdır: р_01 =3*4=12 sm; р_02=6*4=24 sm.Qiymətləri əsas düsturla əvəz etmək qalır və əldə edirik: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 sm kvadrat.

Beləliklə, istənilən mürəkkəbliyin müntəzəm piramidasının yanal səth sahəsini tapa bilərsiniz. Diqqətli olmalı və çaşdırmamalısınız bütün polihedrin ümumi sahəsi ilə bu hesablamalar. Və hələ də bunu etmək lazımdırsa, sadəcə polihedronun ən böyük əsasının sahəsini hesablayın və onu polihedrin yan səthinin sahəsinə əlavə edin.

Video

Bu video müxtəlif piramidaların yanal səth sahəsini necə tapmaq barədə məlumatları birləşdirməyə kömək edəcəkdir.

piramida- bazasında yerləşən və üzləri olan çoxbucaqlı və üçbucaqlardan əmələ gələn çoxüzlü növlərindən biri.

Üstəlik, piramidanın yuxarı hissəsində (yəni bir nöqtədə) bütün üzlər birləşir.

Piramidanın sahəsini hesablamaq üçün onun yanal səthinin bir neçə üçbucaqdan ibarət olduğunu müəyyən etməyə dəyər. Və istifadə edərək onların sahələrini asanlıqla tapa bilərik

müxtəlif formullar. Üçbucaqlar haqqında hansı məlumatları bildiyimizdən asılı olaraq, onların sahəsini axtarırıq.

Üçbucaqların sahəsini tapmaq üçün istifadə edilə bilən bəzi düsturları sadalayırıq:

1. S = (a*h)/2 . Bu vəziyyətdə üçbucağın hündürlüyünü bilirik h , yan tərəfə endirilir a .
2. S = a*b*sinβ . Budur üçbucağın tərəfləri a , b , və onların arasındakı bucaqdır β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Budur üçbucağın tərəfləri a, b, c . Üçbucağa daxil edilmiş dairənin radiusu belədir r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Üçbucağın ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu bərabərdir R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Bu düstur yalnız üçbucaq düzbucaqlı olduqda tətbiq edilməlidir.
6. S = (a²*√3)/4 . Bu düsturu bərabərtərəfli üçbucağa tətbiq edirik.

Yalnız piramidamızın üzləri olan bütün üçbucaqların sahələrini hesabladıqdan sonra onun yan səthinin sahəsini hesablaya bilərik. Bunun üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edəcəyik.

Piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün heç bir çətinlik yaranmır: bütün üçbucaqların sahələrinin cəmini tapmaq lazımdır. Bunu düsturla ifadə edək:

Sp = ΣSi

Burada Si birinci üçbucağın sahəsidir və S P - piramidanın yan səthinin sahəsi.

Bir nümunəyə baxaq. Müntəzəm bir piramida nəzərə alınmaqla, onun yanal üzləri bir neçə bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarətdir,

« Həndəsə zehni qabiliyyətlərimizi kəskinləşdirmək üçün ən güclü vasitədir».

Galileo Galilei.

kvadrat isə piramidanın əsasını təşkil edir. Üstəlik, piramidanın kənarının uzunluğu 17 sm-dir. Ərazini tapaq bu piramidanın yan səthi.

Biz belə əsaslandırırıq: bilirik ki, piramidanın üzləri üçbucaqlıdır, onlar bərabərtərəflidir. Bu piramidanın kənar uzunluğunun nə olduğunu da bilirik. Buradan belə çıxır ki, bütün üçbucaqların bərabər tərəfləri var və onların uzunluğu 17 sm-dir.

Bu üçbucaqların hər birinin sahəsini hesablamaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 sm²

Beləliklə, kvadratın piramidanın təməlində olduğunu bildiyimiz üçün dörd bərabərtərəfli üçbucağın olduğu ortaya çıxır. Bu o deməkdir ki, piramidanın yan səthinin sahəsi istifadə edərək asanlıqla hesablana bilər aşağıdakı formula: 125,137 sm² * 4 = 500,548 sm²

Cavabımız belədir: 500,548 sm² - bu piramidanın yan səthinin sahəsidir.