Sabit nömrə Açağırdı limit ardıcıllıqlar(x n ), əgər hər hansı ixtiyari kiçik müsbət ədəd üçünε > 0 bütün qiymətlərə malik olan N ədədi var x n, bunun üçün n>N, bərabərsizliyi ödəyin

|x n - a|< ε. (6.1)

Bunu aşağıdakı kimi yazın: və ya x n → a.

(6.1) bərabərsizlik ekvivalentdir ikiqat bərabərsizlik

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

bu o deməkdir ki, xal x n, bəzi n>N ədədindən başlayaraq, intervalın daxilində yatın (a-ε, a+ ε ), yəni. hər hansı bir kiçikə düşməkε -bir nöqtənin qonşuluğu A.

Limiti olan ardıcıllığa deyilir konvergent, əks halda - fərqli.

Funksiya həddi anlayışı ardıcıllıq həddi anlayışının ümumiləşdirilməsidir, çünki ardıcıllığın həddi tam ədəd arqumentinin x n = f(n) funksiyasının həddi hesab edilə bilər. n.

f(x) funksiyası verilsin və olsun a - limit nöqtəsi bu funksiyanın təyini sahəsi D(f), yəni. hər hansı qonşuluğunda D(f) çoxluğundan başqa nöqtələr olan belə bir nöqtə a. Nöqtə a D(f) çoxluğuna aid ola və ya olmaya bilər.

Tərif 1.Sabit A ədədi adlanır limit funksiyaları f(x) saat x→a, arqument dəyərlərinin hər hansı ardıcıllığı üçün (x n) meyllidirsə A, müvafiq ardıcıllıqlar (f(x n)) A həddi ilə eynidir.

Bu tərif deyilir Heine görə funksiyanın limitini təyin etməklə, və ya " ardıcıllıqla dildə”.

Tərif 2. Sabit A ədədi adlanır limit funksiyaları f(x) saat x→a, əgər, ixtiyari kiçik müsbət ε ədədini təyin etməklə, belə δ tapmaq olar>0 (ε-dən asılı olaraq), hər kəs üçündür x, yatanε-nömrənin məhəllələri A, yəni. üçün x, bərabərsizliyi təmin edir
0 < x-a< ε , f(x) funksiyasının qiymətləri yalan olacaqε-A sayının qonşuluğu, yəni.|f(x)-A|< ε.

Bu tərif deyilir Koşiyə görə funksiyanın limitini təyin etməklə, və ya “ε - δ dilində “.

1 və 2 tərifləri ekvivalentdir. f(x) funksiyası x → olarsabir var limit, A-ya bərabərdir, bu formada yazılır

. (6.3)

Ardıcıllığın (f(x n)) hər hansı yaxınlaşma üsulu üçün məhdudiyyətsiz artması (və ya azalması) halında x limitinizə qədər A, onda f(x) funksiyasının olduğunu deyəcəyik sonsuz həddi, və formada yazın:

Limiti sıfır olan dəyişən (yəni ardıcıllıq və ya funksiya) çağırılır sonsuz kiçik.

Həddi sonsuzluğa bərabər olan dəyişənə deyilir sonsuz böyük.

Təcrübədə həddi tapmaq üçün aşağıdakı teoremlərdən istifadə olunur.

Teorem 1 . Hər bir məhdudiyyət varsa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Şərh. 0/0 kimi ifadələr, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - məsələn, iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük kəmiyyətin nisbəti qeyri-müəyyəndir və bu tip həddi tapmağa “qeyri-müəyyənliklərin açılması” deyilir.

Teorem 2. (6.7)

olanlar. sabit göstərici ilə gücə əsaslanan həddə gedə bilərsiniz, xüsusən, ;

(6.8)

(6.9)

Teorem 3.

(6.10)

(6.11)

Harada e » 2.7 - natural loqarifmin əsası. (6.10) və (6.11) düsturları birinci adlanır gözəl hədd və ikinci əlamətdar hədd.

(6.11) düsturunun nəticələri praktikada da istifadə olunur:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

xüsusilə limit,

Əgər x → a və eyni zamanda x > a, sonra x yazın→a + 0. Xüsusilə a = 0 olarsa, 0+0 simvolunun yerinə +0 yazın. Eynilə, əgər x→a və eyni zamanda x a-0. Nömrələri və müvafiq olaraq çağırılır sağ limit Və sol həddi funksiyaları f(x) nöqtədə A. f(x) funksiyasının x→ kimi limiti olması üçüna zəruri və kifayətdir ki . f(x) funksiyası çağırılır davamlı nöqtədə limit varsa x 0

. (6.15)

Şərt (6.15) aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

,

yəni funksiyanın işarəsi altında limitə keçid o zaman mümkündür ki, o, verilmiş nöqtədə davamlı olsun.

Əgər (6.15) bərabərliyi pozulubsa, o zaman deyirik saat x = x o funksiyası f(x) Bu var boşluq y = 1/x funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu funksiyanın təyinetmə sahəsi çoxluqdur R, x = 0 istisna olmaqla. x = 0 nöqtəsi D(f) çoxluğunun həddi nöqtəsidir, çünki onun hər hansı qonşuluğunda, yəni. 0 nöqtəsini ehtiva edən hər hansı açıq intervalda D(f) nöqtələri var, lakin onun özü bu çoxluğa aid deyil. f(x o)= f(0) qiyməti müəyyən edilməmişdir, ona görə də x o = 0 nöqtəsində funksiya kəsilməyə malikdir.

f(x) funksiyası çağırılır nöqtədə sağda davamlı x o limit varsa

,

Və nöqtəsində solda davamlı x o, əgər limit

.

Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı xo həm sağa, həm də sola bu nöqtədə onun davamlılığına bərabərdir.

Funksiyanın nöqtədə davamlı olması üçün xo, məsələn, sağda, birincisi, sonlu bir hədd olması, ikincisi, bu həddin f(x o) ilə bərabər olması lazımdır. Buna görə də, bu iki şərtdən ən azı biri yerinə yetirilməsə, funksiya kəsiləcəkdir.

1. Əgər hədd mövcuddursa və f(x o) bərabər deyilsə, bunu deyirlər funksiyası f(x) nöqtədə x o var birinci növ qırılma, və ya sıçrayış.

2. Əgər limit olarsa+∞ və ya -∞ və ya yoxdur, onda deyirlər ki, in nöqtə xo funksiyanın fasiləsizliyi var ikinci növ.

Məsələn, y = çarpayı x at x funksiyası→ +0 +∞-ə bərabər limitə malikdir, bu o deməkdir ki, x=0 nöqtəsində ikinci növ fasiləsizliyə malikdir. y = E(x) funksiyası (bütün hissəsi x) tam absis olan nöqtələrdə birinci növ kəsiklər və ya sıçrayışlar var.

İntervalın hər bir nöqtəsində fasiləsiz olan funksiya çağırılır davamlı V . Davamlı funksiya bərk əyri ilə təmsil olunur.

Müəyyən bir kəmiyyətin davamlı artımı ilə bağlı bir çox problemlər ikinci əlamətdar həddə gətirib çıxarır. Belə vəzifələrə, məsələn, aşağıdakılar daxildir: mürəkkəb faiz qanununa uyğun olaraq yataqların artması, ölkə əhalisinin artması, radioaktiv maddələrin parçalanması, bakteriyaların çoxalması və s.

Gəlin nəzərdən keçirək Ya. I. Perelmanın nümunəsi, rəqəmin şərhini verir e mürəkkəb faiz problemində. Nömrə e həddi var . Əmanət kassalarında faiz pulları hər il əsas kapitala əlavə edilir. Qoşulma daha tez-tez edilirsə, kapital daha sürətli böyüyür, çünki marağın formalaşmasında daha böyük məbləğ iştirak edir. Sırf nəzəri, çox sadələşdirilmiş bir nümunə götürək. 100 inkar banka yatırılsın. vahidlər illik 100% əsasında. Faiz pulu əsas kapitala yalnız bir ildən sonra əlavə olunarsa, bu müddət ərzində 100 den. vahidlər 200 pul vahidinə çevriləcək. İndi görək 100 dəniz nəyə çevriləcək. vahid, əgər faiz pulu hər altı aydan bir əsas kapitala əlavə edilirsə. Altı aydan sonra 100 den. vahidlər 100-ə qədər artacaq× 1,5 = 150, başqa altı aydan sonra - 150× 1,5 = 225 (den. vahid). Qoşulma ilin hər 1/3-də aparılırsa, bir ildən sonra 100 den. vahidlər 100-ə çevriləcək× (1 +1/3) 3 " 237 (den. vahid). Faiz pulunun əlavə edilməsi şərtlərini 0,1 ilə, 0,01 ilə, 0,001 ilə və s. artıracağıq. Sonra 100 den. vahidlər bir ildən sonra belə olacaq:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vahid),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vahid),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vahid).

Faizlərin əlavə edilməsi şərtlərinin qeyri-məhdud azaldılması ilə yığılmış kapital qeyri-müəyyən müddətə artmır, təqribən 271-ə bərabər olan müəyyən bir həddə yaxınlaşır. İllik 100% ilə qoyulmuş kapital, hesablanmış faiz olsa belə, 2,71 dəfədən çox arta bilməz. Limit səbəbiylə hər saniyə paytaxta əlavə edildi

Misal 3.1.Ədəd ardıcıllığının limitinin tərifindən istifadə edərək x n =(n-1)/n ardıcıllığının 1-ə bərabər həddi olduğunu sübut edin.

Həll.Nə olursa olsun, bunu sübut etməliyikε > 0, nə götürsək də, onun üçün N natural ədədi var ki, bütün n N üçün bərabərsizlik əmələ gəlir.|x n -1|< ε.

İstənilən e > 0 götürək. Çünki ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, onda N-i tapmaq üçün 1/n bərabərsizliyini həll etmək kifayətdir.< e. Beləliklə, n>1/ e və buna görə də N 1/-nin tam hissəsi kimi qəbul edilə bilər. e , N = E(1/ e ). Biz bununla da həddi sübut etdik.

Misal 3.2 . Ümumi terminlə verilmiş ardıcıllığın həddi tapın .

Həll.Cəm teoreminin limitini tətbiq edək və hər bir həddi tapaq. Nə zaman n→ ∞ hər bir terminin payı və məxrəci sonsuzluğa meyllidir və biz hissə həddi teoremini birbaşa tətbiq edə bilmərik. Ona görə də əvvəlcə biz transformasiya edirik x n, birinci hədisin payı və məxrəcinin bölünməsi n 2, ikincisi isə n. Sonra, hissənin limitini və cəmi teoreminin limitini tətbiq edərək, tapırıq:

.

Misal 3.3. . tap .

Həll. .

Burada dərəcə teoremindən istifadə etdik: dərəcənin həddi bazanın həddi dərəcəsinə bərabərdir.

Misal 3.4 . tap ( ).

Həll.Fərq teoreminin həddi tətbiq etmək mümkün deyil, çünki formanın qeyri-müəyyənliyimiz var ∞-∞ . Ümumi termin formulunu çevirək:

.

Misal 3.5 . f(x)=2 1/x funksiyası verilmişdir. Heç bir məhdudiyyət olmadığını sübut edin.

Həll.Ardıcıllıqla funksiyanın limitinin 1 tərifindən istifadə edək. 0-a yaxınlaşan ardıcıllığı ( x n ) götürək, yəni. Göstərək ki, f(x n)= qiyməti müxtəlif ardıcıllıqlar üçün fərqli davranır. X n = 1/n olsun. Aydındır ki, sonra limit İndi kimi seçək x n x n = -1/n ümumi termini olan, həmçinin sıfıra meylli ardıcıllıq. Buna görə də heç bir məhdudiyyət yoxdur.

Misal 3.6 . Heç bir məhdudiyyət olmadığını sübut edin.

Həll.X 1 , x 2 ,..., x n ,... hansı ardıcıllıq olsun
. (f(x n)) = (sin x n) ardıcıllığı müxtəlif x n → ∞ üçün necə davranır

Əgər x n = p n, onda sin x n = sin p hamı üçün n = 0 n və limit Əgər
x n =2 p n+ p /2, onda sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hamı üçün 1 n və buna görə də hədd. Deməli, mövcud deyil.

Limitləri onlayn hesablamaq üçün vidjet

Yuxarı pəncərədə sin(x)/x əvəzinə limitini tapmaq istədiyiniz funksiyanı daxil edin. Aşağı pəncərədə x-in meyl etdiyi nömrəni daxil edin və Hesablama düyməsini basın, istədiyiniz limiti əldə edin. Nəticə pəncərəsində yuxarı sağ küncdəki Addımları göstər düyməsini sıxsanız, ətraflı bir həll əldə edəcəksiniz.

Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları: sqrt(x) - kvadrat kök, cbrt(x) - kub kök, exp(x) - eksponent, ln(x) - natural loqarifm, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangens, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. İşarələr: * vurma, / bölmə, ^ eksponentasiya, əvəzinə sonsuzluq Sonsuzluq. Misal: funksiya sqrt(tan(x/2)) kimi daxil edilir.

Funksiya y = f (x) X çoxluğunun hər bir x elementi Y çoxluğunun bir və yalnız bir y elementi ilə əlaqəli olduğu qanundur (qaydadır).

X elementi ∈ Xçağırdı funksiya arqumenti və ya müstəqil dəyişən.
Element y ∈ Yçağırdı funksiya dəyəri və ya asılı dəyişən.

X çoxluğu adlanır funksiyanın domeni.
Elementlər toplusu y ∈ Y X dəstində ön təsvirləri olan , adlanır sahə və ya funksiya qiymətləri dəsti.

Həqiqi funksiya çağırılır yuxarıdan məhduddur (aşağıdan), bərabərsizliyin hamı üçün yerinə yetirildiyi M ədədi varsa:
.
Nömrə funksiyası çağırılır məhduddur, əgər hamı üçün belə bir M rəqəmi varsa:
.

Üst kənar və ya dəqiq yuxarı hədd Həqiqi bir funksiya yuxarıdan onun dəyər diapazonunu məhdudlaşdıran ən kiçik ədəd adlanır. Yəni bu, hər kəs üçün və hər kəs üçün funksiya dəyəri s′-dən çox olan bir arqument olan s ədədidir: .
Funksiyanın yuxarı həddi aşağıdakı kimi göstərilə bilər:
.

Müvafiq olaraq alt kənar və ya dəqiq aşağı hədd Həqiqi funksiya aşağıdan onun dəyər diapazonunu məhdudlaşdıran ən böyük ədəd adlanır. Yəni bu, hər kəs və hər kəs üçün funksiya dəyəri i′-dən kiçik olan arqument olan i ədədidir: .
Funksiyanın infimumunu aşağıdakı kimi qeyd etmək olar:
.

Funksiya limitinin müəyyən edilməsi

Koşiyə görə funksiyanın limitinin təyini

Son nöqtələrdə funksiyanın sonlu hədləri

Funksiya, nöqtənin özü istisna olmaqla, son nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilsin. bir nöqtədə, əgər hər hansı biri üçün, -dən asılı olaraq, belə bir şey var ki, bütün x üçün bərabərsizlik yerinə yetirilir.
.
Funksiya limiti aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Yaxud da.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın limitinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.

Birtərəfli məhdudiyyətlər.
Bir nöqtədə sol limit (sol tərəfli limit):
.
Bir nöqtədə sağ limit (sağ limit):
.
Sol və sağ məhdudiyyətlər çox vaxt aşağıdakı kimi işarələnir:
; .

Sonsuzluq nöqtələrində funksiyanın sonlu hədləri

Sonsuzluq nöqtələrindəki məhdudiyyətlər oxşar şəkildə müəyyən edilir.
.
.
.
Onlar tez-tez belə adlandırılır:
; ; .

Bir nöqtənin qonşuluğu anlayışından istifadə

Əgər nöqtənin deşilmiş qonşuluğu anlayışını təqdim etsək, onda sonlu və sonsuz uzaq nöqtələrdə funksiyanın son həddinin vahid tərifini verə bilərik:
.
Son nöqtələr üçün burada
; ;
.
Sonsuzluqdakı nöqtələrin hər hansı qonşuluğu deşilir:
; ; .

Sonsuz Funksiya Limitləri

Tərif
Funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda (sonlu və ya sonsuzda) müəyyən edilsin. Funksiya həddi f (x) x → x kimi 0 sonsuzluğa bərabərdir, əgər hər hansı bir ixtiyari böyük ədəd üçün M > 0 , δ M rəqəmi var > 0 , M-dən asılı olaraq, deşilmiş δ M - nöqtənin qonşuluğuna aid olan bütün x üçün: , aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilir:
.
Sonsuz hədd aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Yaxud da.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın sonsuz həddinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.

Siz həmçinin və bərabər olan müəyyən işarələrin sonsuz hədlərinin təriflərini təqdim edə bilərsiniz:
.
.

Funksiya limitinin universal tərifi

Nöqtənin qonşuluğu anlayışından istifadə edərək, həm sonlu (ikitərəfli və birtərəfli), həm də sonsuz uzaq nöqtələr üçün tətbiq olunan funksiyanın sonlu və sonsuz həddinin universal tərifini verə bilərik:
.

Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini

Funksiya bəzi X: çoxluğunda müəyyən edilsin.
a sayı funksiyanın həddi adlanır nöqtədə:
,
x-ə yaxınlaşan hər hansı ardıcıllıq üçün 0 :
,
elementləri X çoxluğuna aid olan: ,
.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək bu tərifi yazaq:
.

X nöqtəsinin sol tərəfli qonşuluğunu X çoxluğu kimi götürsək 0 , onda sol limitin tərifini alırıq. Əgər sağ əllidirsə, onda düzgün limitin tərifini alırıq. Sonsuzluqda olan nöqtənin qonşuluğunu X çoxluğu kimi götürsək, funksiyanın sonsuzluq həddinin tərifini alırıq.

Teorem
Funksiya limitinin Koşi və Heine tərifləri ekvivalentdir.
Sübut

Funksiya limitinin xassələri və teoremləri

Bundan əlavə, nəzərdən keçirilən funksiyaların sonlu ədəd və ya simvollardan biri olan nöqtənin müvafiq qonşuluğunda müəyyən edildiyini güman edirik: . O, həmçinin birtərəfli limit nöqtəsi ola bilər, yəni forma və ya . Qonşuluq iki tərəfli limit üçün iki tərəfli və birtərəfli limit üçün birtərəflidir.

Əsas xüsusiyyətlər

Əgər f funksiyasının qiymətləri (x) sonlu sayda x nöqtəsini dəyişdirin (və ya qeyri-müəyyən olun). 1, x 2, x 3, ... x n, onda bu dəyişiklik ixtiyari x nöqtəsində funksiyanın limitinin mövcudluğuna və dəyərinə təsir etməyəcək. 0 .

Sonlu hədd varsa, x nöqtəsinin deşilmiş qonşuluğu var 0 , bunun üzərində f funksiyası var (x) məhdud:
.

Funksiya x nöqtəsində olsun 0 sonlu sıfırdan fərqli hədd:
.
Onda intervaldan istənilən c ədədi üçün x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var 0 , nə üçün ,
, Əgər;
, Əgər .

Əgər nöqtənin hansısa deşilmiş məhəlləsində , sabitdirsə, onda .

Sonlu sərhədlər varsa və x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda 0
,
Bu .

Əgər , və nöqtənin bəzi məhəlləsində
,
Bu .
Xüsusilə bəzi məhəllədə bir nöqtə varsa
,
onda əgər , onda və ;
əgər , onda və .

X nöqtəsinin bəzi deşilmiş məhəlləsində olarsa 0 :
,
və sonlu (və ya müəyyən işarənin sonsuz) bərabər hədləri var:
, Bu
.

Əsas xassələrin sübutları səhifədə verilmişdir
“Funksiya limitlərinin əsas xassələri”.

Funksiya limitinin arifmetik xassələri

Funksiyaları və nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda təyin olunsun. Və sonlu məhdudiyyətlər olsun:
Və .
C isə sabit, yəni verilmiş ədəd olsun. Sonra
;
;
;
, Əgər .

Əgər, onda.

Arifmetik xüsusiyyətlərin sübutları səhifədə verilmişdir
“Funksiya hədlərinin arifmetik xassələri”.

Funksiya limitinin mövcudluğu üçün Koşi kriteriyası

Teorem
Sonlu və ya sonsuz x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müəyyən edilmiş funksiya üçün 0 , bu nöqtədə sonlu həddi var idi, bu, istənilən ε üçün zəruri və kifayətdir > 0 x nöqtəsinin belə deşilmiş məhəlləsi var idi 0 , hər hansı bir nöqtə üçün və bu qonşuluq üçün aşağıdakı bərabərsizliyə malikdir:
.

Mürəkkəb funksiyanın həddi

Limit teoremi mürəkkəb funksiya
Qoy funksiyanın limiti olsun və nöqtənin deşilmiş məhəlləsini nöqtənin deşilmiş qonşuluğuna xəritələndirin. Qoy funksiya bu məhəllədə müəyyən edilsin və onun limiti olsun.
Budur son və ya sonsuz uzaq nöqtələr: . Qonşuluqlar və onların müvafiq sərhədləri ikitərəfli və ya birtərəfli ola bilər.
Onda mürəkkəb funksiyanın həddi var və o bərabərdir:
.

Mürəkkəb funksiyanın limit teoremi funksiya nöqtədə müəyyən edilmədikdə və ya limitdən fərqli qiymətə malik olduqda tətbiq edilir. Bu teoremi tətbiq etmək üçün, funksiyanın qiymətlər çoxluğunda nöqtənin olmadığı nöqtənin deşilmiş qonşuluğu olmalıdır:
.

Əgər funksiya nöqtəsində davamlıdırsa, o zaman limit işarəsi arqumentə tətbiq oluna bilər davamlı funksiya:
.
Aşağıdakılar bu vəziyyətə uyğun gələn teoremdir.

Funksiyanın fasiləsiz funksiyasının həddi haqqında teorem
g funksiyasının həddi olsun (t) t → t kimi 0 , və o, x-ə bərabərdir 0 :
.
Budur t nöqtəsi 0 sonlu və ya sonsuz uzaq ola bilər: .
Və f funksiyası olsun (x) x nöqtəsində davamlıdır 0 .
Onda f kompleks funksiyasının həddi var (g(t)), və f-ə bərabərdir (x0):
.

Teoremlərin sübutları səhifədə verilmişdir
“Mürəkkəb funksiyanın həddi və davamlılığı”.

Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar

Sonsuz kiçik funksiyalar

Tərif
Funksiyanın sonsuz kiçik olduğu deyilir
.

Cəm, fərq və məhsul-də sonlu sayda sonsuz kiçik funksiyanın sonsuz kiçik funksiyasıdır.

Məhdudlaşdırılmış funksiyanın hasili nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda , at sonsuz kiçik bir funksiyadır.

Funksiyanın sonlu həddi olması üçün bu, zəruri və kifayətdir
,
-də sonsuz kiçik funksiya haradadır.

“Sonsuz kiçik funksiyaların xassələri”.

Sonsuz böyük funksiyalar

Tərif
Funksiyanın sonsuz böyük olduğu deyilir
.

Nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda məhdud funksiyanın cəmi və ya fərqi və nöqtəsində sonsuz böyük funksiya - nöqtəsində sonsuz böyük funksiyadır.

Əgər funksiya üçün sonsuz böyükdürsə və funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda məhduddursa, onda
.

Əgər nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda funksiya bərabərsizliyi ödəyirsə:
,
və funksiya sonsuz kiçikdir:
, və (nöqtənin bəzi deşilmiş məhəlləsində), sonra
.

Xüsusiyyətlərin sübutları bölmədə təqdim olunur
“Sonsuz böyük funksiyaların xassələri”.

Sonsuz böyük və sonsuz kiçik funksiyalar arasındakı əlaqə

Əvvəlki iki xassədən sonsuz böyük və sonsuz kiçik funksiyalar arasında əlaqə yaranır.

Əgər funksiya sonsuz böyükdürsə, onda funksiya sonsuz kiçikdir.

Əgər funksiya və üçün sonsuz kiçikdirsə, onda funksiya sonsuz böyükdür.

Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiya arasındakı əlaqə simvolik olaraq ifadə edilə bilər:
, .

Sonsuz kiçik funksiyanın müəyyən bir işarəsi varsa, yəni nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müsbət (və ya mənfi) olarsa, bu faktı aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:
.
Eyni şəkildə, sonsuz böyük bir funksiyanın müəyyən bir işarəsi varsa, onda yazırlar:
.

Onda sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar arasındakı simvolik əlaqə aşağıdakı əlaqələrlə tamamlana bilər:
, ,
, .

Sonsuzluq simvollarına aid əlavə düsturları səhifədə tapa bilərsiniz
"Sonsuzluq nöqtələri və onların xassələri."

Monoton funksiyaların hədləri

Tərif
Bəzi X həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilmiş funksiya çağırılır ciddi şəkildə artır, əgər bütün bunlar üçün aşağıdakı bərabərsizlik əməl edərsə:
.
Müvafiq olaraq, üçün ciddi şəkildə azalır funksiyası aşağıdakı bərabərsizliyə malikdir:
.
üçün azalmayan:
.
üçün artmayan:
.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ciddi şəkildə artan funksiya da azalmır. Ciddi şəkildə azalan funksiya da artmayandır.

Funksiya çağırılır monoton, əgər azalmayan və ya artmayandırsa.

Teorem
Funksiya olduğu intervalda azalmasın.
Əgər yuxarıda M ədədi ilə məhdudlaşırsa: onda sonlu həddi var. Yuxarıdan məhdud deyilsə, onda .
Əgər aşağıdan m sayı ilə məhdudlaşırsa: onda sonlu həddi var. Aşağıdan məhdud deyilsə, onda .

Əgər a və b nöqtələri sonsuzdursa, o zaman ifadələrdə həddi işarələr o deməkdir ki, .
Bu teoremi daha yığcam formalaşdırmaq olar.

Funksiya olduğu intervalda azalmasın. Sonra a və b nöqtələrində birtərəfli məhdudiyyətlər var:
;
.

Artmayan funksiya üçün oxşar teorem.

Funksiya olduğu intervalda artmasın. Sonra birtərəfli məhdudiyyətlər var:
;
.

Teoremin sübutu səhifədə təqdim olunur
“Montonik funksiyaların hədləri”.

İstinadlar:
L.D. Kudryavtsev. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 2003.
SANTİMETR. Nikolski. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 1983.

Limitlər nəzəriyyəsi riyazi analizin qollarından biridir. Limitlərin həlli məsələsi olduqca genişdir, çünki limitlərin həlli üçün onlarla üsul var müxtəlif növlər. Bu və ya digər məhdudiyyəti həll etməyə imkan verən onlarla nüans və fənd var. Buna baxmayaraq, biz hələ də praktikada ən çox rast gəlinən əsas məhdudiyyət növlərini anlamağa çalışacağıq.

Limit anlayışının özü ilə başlayaq. Ancaq əvvəlcə qısa tarixi məlumat. 19-cu əsrdə riyazi analizin əsasını qoyan və sərt təriflər verən, xüsusən də limitin tərifini verən fransız Avqustin Lui Koşi yaşayırdı. Demək lazımdır ki, eyni Koşi bütün fizika və riyaziyyat tələbələrinin kabusunda olub, var və olacaq, çünki o, çoxlu sayda riyazi analiz teoremlərini sübut edib və hər bir teorem digərindən daha iyrəncdir. Bununla əlaqədar olaraq, məhdudiyyətin ciddi tərifini nəzərdən keçirməyəcəyik, lakin iki şeyi etməyə çalışacağıq:

1. Limitin nə olduğunu anlayın.
2. Limitlərin əsas növlərini həll etməyi öyrənin.

Bəzi qeyri-elmi izahatlara görə üzr istəyirəm, materialın hətta çaynik üçün də başa düşülməsi vacibdir, bu, əslində layihənin vəzifəsidir.

Bəs hədd nədir?

Və yalnız bir misal niyə tüklü nənəyə....

İstənilən limit üç hissədən ibarətdir:

1) Tanınmış limit simvolu.
2) Limit işarəsi altındakı girişlər, in bu halda. Girişdə "X birinə meyllidir" deyilir. Çox vaxt - dəqiq, baxmayaraq ki, praktikada "X" əvəzinə başqa dəyişənlər var. Praktiki tapşırıqlarda birinin yeri tamamilə hər hansı bir rəqəm ola bilər, eləcə də sonsuzluq ().
3) Bu halda limit işarəsi altında funksiyalar .

Girişin özü belə oxunur: "x kimi funksiyanın həddi birliyə meyllidir."

Növbəti vacib suala baxaq - “x” ifadəsi nə deməkdir? çalışır birinə"? Və "cəhd etmək" nə deməkdir?
Limit anlayışı, belə demək mümkünsə, bir anlayışdır. dinamik. Gəlin ardıcıllıq quraq: əvvəlcə , sonra , , …, , ….
Yəni “x çalışır birinə” aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: “x” ardıcıl olaraq dəyərləri qəbul edir yaxınlaşan birliyə sonsuz yaxın və praktik olaraq üst-üstə düşür.

Yuxarıdakı nümunəni necə həll etmək olar? Yuxarıdakılara əsasən, limit işarəsi altındakı funksiyaya sadəcə birini əvəz etməlisiniz:

Beləliklə, birinci qayda: Hər hansı bir limit verildikdə, biz sadəcə olaraq nömrəni funksiyaya daxil etməyə çalışırıq.

Ən sadə həddi nəzərdən keçirdik, lakin bunlar praktikada da baş verir və o qədər də nadir deyil!

Sonsuzluğa misal:

Gəlin bunun nə olduğunu anlayaq? Bu, hədsiz artdıqda, yəni: əvvəl, sonra, sonra, sonra və s. ad infinitum olduqda belədir.

Bu zaman funksiya ilə nə baş verir?
, , , …

Beləliklə: əgər , onda funksiya mənfi sonsuzluğa meyl edir:

Kobud desək, birinci qaydamıza görə, “X” əvəzinə funksiyaya sonsuzluğu qoyub cavabı alırıq.

Sonsuzluğu olan başqa bir nümunə:

Yenə sonsuzluğa yüksəlməyə başlayırıq və funksiyanın davranışına baxırıq:

Nəticə: funksiya limitsiz artdıqda:

Və başqa bir nümunə silsiləsi:

Zəhmət olmasa aşağıdakıları özünüz üçün zehni təhlil etməyə çalışın və ən sadə məhdudiyyət növlərini xatırlayın:

, , , , , , , , ,
Hər hansı bir yerdə şübhəniz varsa, bir kalkulyator götürüb bir az məşq edə bilərsiniz.
Bu halda, ardıcıllığı qurmağa çalışın, , . Əgər , onda , , .

Qeyd: ciddi desək, bir neçə ədədin ardıcıllığının qurulmasına bu yanaşma düzgün deyil, lakin ən sadə nümunələri başa düşmək üçün olduqca uyğundur.

Aşağıdakı şeyə də diqqət yetirin. Limit yuxarıda böyük rəqəmlə və ya hətta bir milyon ilə verilsə belə: , onda hamısı eynidir , çünki gec-tez "X" o qədər nəhəng dəyərlər alacaq ki, onlarla müqayisədə bir milyon əsl mikrob olacaq.

Yuxarıdakılardan nəyi xatırlamalı və başa düşməlisiniz?

1) Hər hansı bir limit verildikdə, biz sadəcə olaraq nömrəni funksiyaya əvəz etməyə çalışırıq.

2) , və s kimi ən sadə hədləri başa düşməli və dərhal həll etməlisiniz.

İndi biz hədlər qrupunu nəzərdən keçirəcəyik və funksiyası, payı və məxrəci çoxhədli olan kəsrdir.

Misal:

Limiti hesablayın

Qaydamıza görə, funksiyada sonsuzluğu əvəz etməyə çalışacağıq. Yuxarıda nə əldə edirik? Sonsuzluq. Və aşağıda nə baş verir? Həm də sonsuzluq. Beləliklə, növ qeyri-müəyyənliyi adlanan şeyə sahibik. Kimsə düşünə bilər ki, cavab hazırdır, lakin ümumi halda bu heç də belə deyil və indi nəzərdən keçirəcəyimiz bəzi həll texnikasını tətbiq etmək lazımdır.

Bu tip məhdudiyyətləri necə həll etmək olar?

Əvvəlcə paylayıcıya baxırıq və ən yüksək gücü tapırıq:

Numeratorda aparıcı qüvvə ikidir.

İndi məxrəcə baxırıq və onu ən yüksək gücə qədər tapırıq:

Məxrəcin ən yüksək dərəcəsi ikidir.

Sonra payın və məxrəcin ən yüksək gücünü seçirik: bu nümunədə onlar eyni və ikiyə bərabərdir.

Deməli, həll üsulu belədir: qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün pay və məxrəci ən yüksək gücə bölmək lazımdır.

Budur, cavabdır və sonsuzluq deyil.

Qərarın tərtib edilməsində prinsipial olaraq nə vacibdir?

Birincisi, əgər varsa, qeyri-müəyyənliyi göstəririk.

İkincisi, ara izahatlar üçün həlli dayandırmaq məsləhətdir. Mən adətən işarədən istifadə edirəm, onun heç bir riyazi mənası yoxdur, ancaq aralıq izahat üçün həllin kəsildiyini bildirir.

Üçüncüsü, limitdə nəyin hara getdiyini qeyd etmək məsləhətdir. İş əl ilə tərtib edildikdə, bunu belə etmək daha rahatdır:

Qeydlər üçün sadə qələmdən istifadə etmək daha yaxşıdır.

Əlbəttə ki, bunların heç birini etməli deyilsiniz, amma sonra, bəlkə də, müəllim həlldəki çatışmazlıqları qeyd edəcək və ya tapşırıqla bağlı əlavə suallar verməyə başlayacaq. Bu sizə lazımdır?

Misal 2

Həddini tapın
Yenə say və məxrəcdə ən yüksək dərəcədə tapırıq:

Numeratorda maksimum dərəcə: 3
Məxrəcdə maksimum dərəcə: 4
seçin ən böyük dəyər, bu halda dörd.
Alqoritmimizə uyğun olaraq qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün pay və məxrəci -ə bölürük.
Tam tapşırıq belə görünə bilər:

Pay və məxrəci bölün

Misal 3

Həddini tapın
Hissədə maksimum “X” dərəcəsi: 2
Məxrəcdə maksimum “X” dərəcəsi: 1 (şəklində yazıla bilər)
Qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün pay və məxrəci bölmək lazımdır. Son həll belə görünə bilər:

Pay və məxrəci bölün

Notation sıfıra bölmək deyil (sıfıra bölmək olmaz), sonsuz kiçik ədədə bölmək deməkdir.

Beləliklə, növlərin qeyri-müəyyənliyini aşkar etməklə biz bunu edə bilərik son nömrə, sıfır və ya sonsuzluq.

Növ və onların həlli üsulunun qeyri-müəyyənliyi ilə məhdudiyyətlər

Növbəti hədlər qrupu indicə nəzərdən keçirilən limitlərə bir qədər bənzəyir: say və məxrəcdə çoxhədlilər var, lakin “x” artıq sonsuzluğa deyil, sonlu ədəd.

Misal 4

Limiti həll edin
Əvvəlcə kəsrdə -1-i əvəz etməyə çalışaq:

Bu halda qeyri-müəyyənlik deyilən şey əldə edilir.

Ümumi qayda : əgər pay və məxrəcdə çoxhədlilər varsa və formada qeyri-müəyyənlik varsa, onu açıqlamaq siz payı və məxrəci çarpanlara ayırmalısınız.

Bunun üçün çox vaxt kvadrat tənliyi həll etməli və/və ya qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməlisiniz. Əgər bu şeylər unudulubsa, səhifəni ziyarət edin Riyazi düsturlar və cədvəllər və yoxlayın metodik material İsti düsturlar məktəb kursu riyaziyyatçılar. Yeri gəlmişkən, onu çap etmək yaxşıdır, çox vaxt tələb olunur və məlumat kağızdan daha yaxşı mənimsənilir.

Beləliklə, limitimizi həll edək

Hissəyə və məxrəcə təsir edin

Numeratoru faktorlara ayırmaq üçün kvadrat tənliyi həll etməlisiniz:

Əvvəlcə diskriminant tapırıq:

Və bunun kvadrat kökü: .

Diskriminant böyükdürsə, məsələn 361, biz bir kalkulyatordan, çıxarış funksiyasından istifadə edirik. kvadrat kökən sadə kalkulyatorda mövcuddur.

! Kök bütövlükdə çıxarılmırsa (vergüllə kəsr ədədi alınır), çox güman ki, diskriminant səhv hesablanıb və ya tapşırıqda hərf səhvi olub.

Sonra kökləri tapırıq:

Beləliklə:

Hamısı. Saxlayıcı faktorlara bölünür.

Məxrəc. Məxrəc onsuz da ən sadə amildir və onu sadələşdirməyin heç bir yolu yoxdur.

Aydındır ki, onu qısaltmaq olar:

İndi limit işarəsi altında qalan ifadədə -1 əvəz edirik:

Təbii ki, in sınaq işi, test və ya imtahan zamanı həll heç vaxt belə təfərrüatlı şəkildə yazılmır. Son versiyada dizayn bu kimi görünməlidir:

Gəlin payı faktorlara ayıraq.

Misal 5

Limiti hesablayın

Birincisi, həllin "bitirmə" versiyası

Gəlin say və məxrəci faktorlara ayıraq.

Hesablayıcı:
Məxrəc:



,

Bu nümunədə nə vacibdir?
Birincisi, siz payın necə aşkar edildiyini yaxşı başa düşməlisiniz, əvvəlcə mötərizədə 2 götürdük, sonra kvadratlar fərqi üçün düsturdan istifadə etdik. Bu, bilməli və görməli olduğunuz düsturdur.

Limitlərin həlli üsulları. Qeyri-müəyyənliklər.
Funksiyanın böyümə qaydası. Əvəzetmə üsulu

Misal 4

Həddini tapın

Bu daha sadə bir nümunədir müstəqil qərar. Təklif olunan nümunədə yenə qeyri-müəyyənlik (daha çox yüksək sifariş kökdən hündürlük).

"x" "mənfi sonsuzluğa" meyllidirsə

Uzun müddətdir ki, bu məqalədə “mənfi sonsuzluq” xəyalı var. Çoxhədləri olan hədləri nəzərdən keçirək. Həll prinsipləri və üsulları bir sıra nüanslar istisna olmaqla, dərsin birinci hissəsində olduğu kimi tamamilə eyni olacaq.

Praktik tapşırıqları həll etmək üçün tələb olunacaq 4 hiyləyə baxaq:

1) Limiti hesablayın

Limitin dəyəri yalnız müddətdən asılıdır, çünki o, ən yüksək artım sırasına malikdir. Əgər, onda modulunda sonsuz böyükdür mənfi rəqəm bərabər dərəcəyə, bu halda – dördüncüdə “plus sonsuzluğa” bərabərdir: . Sabit ("iki") müsbət, Buna görə də:

2) Limiti hesablayın

Budur, yenə ali dərəcə hətta, Buna görə də: . Ancaq qarşısında bir "mənfi" var ( mənfi sabit –1), buna görə də:

3) Limiti hesablayın

Limit dəyəri yalnız ondan asılıdır. Məktəbdən xatırladığınız kimi, "mənfi" tək dərəcənin altından "atılır", yəni modulunda sonsuz böyükdür mənfi ədədi TƏK gücə çevirin"mənfi sonsuzluğa" bərabərdir, bu halda: .
Sabit (“dörd”) müsbət, deməkdir:

4) Limiti hesablayın

Kənddə birinci oğlan yenə var qəribə dərəcə, əlavə olaraq, qoynunda mənfi sabit, yəni: Beləliklə:
.

Misal 5

Həddini tapın

Yuxarıdakı məqamlardan istifadə edərək, burada qeyri-müəyyənliyin olduğu qənaətinə gəlirik. Paylayıcı və məxrəc eyni böyümə sırasına malikdir, yəni limitdə nəticə sonlu bir ədəd olacaqdır. Bütün qızartmaları ataraq cavabı öyrənək:

Həll mənasızdır:

Misal 6

Həddini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Və indi, bəlkə də, ən incə hallar:

Misal 7

Həddini tapın

Aparıcı şərtləri nəzərə alaraq, burada qeyri-müəyyənliyin olduğu qənaətinə gəlirik. Numerator məxrəcdən daha yüksək artım sırasına malikdir, buna görə də dərhal limitin sonsuzluğa bərabər olduğunu söyləyə bilərik. Bəs hansı sonsuzluq, “artı” və ya “mənfi”? Texnika eynidir - gəlin say və məxrəcdəki xırda şeylərdən xilas olaq:

Qərar veririk:

Pay və məxrəci bölün

Misal 15

Həddini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Dərsin sonunda yekun dizaynın təxmini nümunəsi.

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi mövzusunda daha bir neçə maraqlı nümunə:

Misal 16

Həddini tapın

Birliyi limitlə əvəz etdikdə qeyri-müəyyənlik əldə edilir. Dəyişənin dəyişdirilməsi artıq özünü təklif edir, lakin əvvəlcə düsturdan istifadə edərək tangensi çeviririk. Doğrudan da, bizə bir tangens nə üçün lazımdır?

Qeyd edək ki, buna görə də. Tamamilə aydın deyilsə, sinus dəyərlərinə baxın triqonometrik cədvəl. Beləliklə, biz dərhal çarpandan xilas oluruq, əlavə olaraq, daha çox tanış olan 0: 0 qeyri-müəyyənliyi əldə edirik. Limitimiz sıfıra meyl etsəydi, yaxşı olardı.

Əvəz edək:

Əgər, onda

Kosinusun altında "x" var, onu da "te" ilə ifadə etmək lazımdır.
Əvəzindən ifadə edirik: .

Həllini tamamlayırıq:

(1) Əvəzetməni həyata keçiririk

(2) Kosinusun altındakı mötərizələri açın.

(4) Təşkil etmək ilk gözəl hədd, payı və əks ədədi süni şəkildə çoxaldın.

Müstəqil həll üçün tapşırıq:

Misal 17

Həddini tapın

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Bunlar siniflərində sadə tapşırıqlar idi, praktikada hər şey daha pis ola bilər və əlavə olaraq azaldılması düsturları, müxtəlif istifadə etməlisiniz triqonometrik düsturlar, eləcə də digər fəndlər. Məqalədə Kompleks Limitlər bir neçə real nümunəyə baxdım =)

Bayram ərəfəsində, nəhayət, başqa bir ümumi qeyri-müəyyənliklə vəziyyəti aydınlaşdıracağıq:

“Sonsuzluğun gücünə bir” qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması

Bu qeyri-müəyyənlik "xidmət olunur" ikinci gözəl hədd, və həmin dərsin ikinci hissəsində biz əksər hallarda praktikada rast gəlinən standart həllər nümunələrinə ətraflı baxdıq. İndi eksponentlərlə şəkil tamamlanacaq, əlavə olaraq, dərsin yekun tapşırıqları "yanlış" hədlərə həsr olunacaq, burada 2-ci gözəl həddi tətbiq etmək lazım olduğu görünür, baxmayaraq ki, bu heç də düzgün deyil. hal.

2-ci əlamətdar hədd üçün iki işləyən düsturun dezavantajı ondan ibarətdir ki, arqument “plus sonsuzluğa” və ya sıfıra meyl etməlidir. Bəs arqument fərqli bir rəqəmə meyl edərsə nə etməli?

Köməyə universal bir düstur gəlir (bu, əslində ikinci əlamətdar həddin nəticəsidir):

Qeyri-müəyyənlik düsturla aradan qaldırıla bilər:

Haradasa mən artıq kvadrat mötərizələrin nə demək olduğunu izah etmişəm. Xüsusi bir şey yoxdur, mötərizələr sadəcə mötərizələrdir. Onlar adətən riyazi qeydləri daha aydın vurğulamaq üçün istifadə olunur.

Formulun əsas məqamlarını vurğulayaq:

1) Haqqındadır yalnız qeyri-müəyyənlik haqqında və başqa heç nə.

2) “x” arqumenti meyl göstərə bilər ixtiyari dəyər(və yalnız sıfıra və ya deyil), xüsusən də "mənfi sonsuzluğa" və ya hər kəs sonlu ədəd.

Bu düsturdan istifadə edərək dərsdəki bütün nümunələri həll edə bilərsiniz. Möhtəşəm Limitlər, 2-ci əlamətdar həddə aid olan. Məsələn, limiti hesablayaq:

Bu halda , və düstura görə :

Düzdür, bunu etməyi məsləhət görmürəm, ənənə hələ də tətbiq oluna bilsə, həllin "adi" dizaynından istifadə etməkdir. Lakin düsturdan istifadə edərək yoxlamaq çox rahatdır 2-ci əlamətdar həddə "klassik" nümunələr.

Limitləri necə tapmağı öyrənmək istəyənlər üçün bu yazıda bu barədə sizə məlumat verəcəyik. Nəzəriyyəni araşdırmayacağıq, adətən müəllimlər bunu mühazirələrdə verirlər. Beləliklə, "darıxdırıcı nəzəriyyə" dəftərlərinizə qeyd edilməlidir. Əgər belə deyilsə, o zaman kitabxanadan götürülmüş dərslikləri oxuya bilərsiniz. Təhsil müəssisəsi və ya digər İnternet resurslarında.

Beləliklə, kursun öyrənilməsində limit anlayışı olduqca vacibdir ali riyaziyyat, xüsusilə inteqral hesablama ilə qarşılaşdıqda və hədd və inteqral arasındakı əlaqəni başa düşdükdən sonra. Mövcud materialda nəzərdən keçirəcəyik sadə nümunələr, habelə onların həlli yolları.

Həll nümunələri

Misal 1

Hesablayın a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Həll

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ İnsanlar tez-tez bu məhdudiyyətləri həll etmək üçün bizə müraciət edirlər. Onları ayrıca bir nümunə kimi vurğulamaq və izah etmək qərarına gəldik ki, bu məhdudiyyətlər, bir qayda olaraq, sadəcə xatırlanmalıdır. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək!

Cavab verin

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Formanın qeyri-müəyyənliyi ilə nə etməli: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Misal 3

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ həll edin

Həll

Həmişə olduğu kimi, biz $ x $ dəyərini limit işarəsi altındakı ifadəyə əvəz etməklə başlayırıq. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ İndi nə var? Sonda nə olmalıdır? Bu qeyri-müəyyənlik olduğundan, bu hələ cavab deyil və hesablamağa davam edirik. Saylarda çoxhədli olduğumuz üçün məktəbdən hər kəsə tanış olan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ düsturundan istifadə edərək onu faktorlara ayıracağıq. Sən xatırlayırsan? Əla! İndi davam edin və onu mahnı ilə birlikdə istifadə edin :) Tapırıq ki, $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Yuxarıdakı çevrilməni nəzərə alaraq həll etməyə davam edirik: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Cavab verin

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Gəlin son iki misaldakı həddi sonsuzluğa çatdıraq və qeyri-müəyyənliyi nəzərdən keçirək: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Misal 5

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hesablayın

Həll

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nə etməli? Mən nə etməliyəm? Panik etməyin, çünki qeyri-mümkün mümkündür. Həm payda, həm də məxrəcdə olan x-i çıxarıb, sonra azaltmaq lazımdır. Bundan sonra limiti hesablamağa çalışın. Gəlin cəhd edək... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Nümunə 2-dəki tərifdən istifadə edərək və sonsuzluğu x-i əvəz edərək, əldə edirik: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Cavab verin

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlərin hesablanması alqoritmi

Beləliklə, nümunələri qısaca ümumiləşdirək və limitlərin həlli üçün alqoritm yaradaq:

1. Limit işarəsindən sonrakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin. Müəyyən bir ədəd və ya sonsuzluq əldə edilirsə, o zaman limit tamamilə həll olunur. Əks halda, qeyri-müəyyənliyimiz var: “sıfıra bölünən sıfır” və ya “sonsuzluğa bölünən sonsuzluq” və təlimatların növbəti addımlarına keçin.
2. “Sıfırın sıfıra bölünməsi” qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırmaq üçün siz pay və məxrəci faktorlara ayırmalısınız. Bənzərləri azaldın. Limit işarəsi altındakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin.
3. Əgər qeyri-müəyyənlik “sonsuzluğa bölünmüş sonsuzluqdur”sa, onda biz həm payı, həm də x məxrəcini ən böyük dərəcədə çıxarırıq. X-ləri qısaldırıq. Limitin altındakı x dəyərlərini qalan ifadəyə əvəz edirik.

Bu yazıda siz kursda tez-tez istifadə olunan limitlərin həllinin əsaslarını öyrəndiniz. Riyazi analiz. Əlbəttə ki, bunlar imtahan verənlərin təklif etdiyi bütün növ problemlər deyil, yalnız ən sadə həddlərdir. Gələcək məqalələrdə digər tapşırıq növləri haqqında danışacağıq, lakin irəli getmək üçün əvvəlcə bu dərsi öyrənməlisiniz. Gəlin köklər, dərəcələr varsa nə edəcəyimizi müzakirə edək, sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları, diqqətəlayiq hədləri, L'Hopital qaydasını öyrənək.

Əgər limitləri özünüz müəyyən edə bilmirsinizsə, panik etməyin. Biz həmişə kömək etməkdən məmnunuq!