COMPASS proqramı üzrə dərslər.

12-ci dərs. Compass 3D-də dairələrin qurulması.
Əyrilərə toxunan dairələr, iki nöqtəyə əsaslanan dairə.

Compass 3D-də toxunan dairələr yaratmaq üçün bir neçə üsul var:

• 1-ci əyriyə toxunan dairə;
• 2 döngəyə toxunan dairə;
• 3 döngəyə toxunan dairə;

Əyriyə toxunan bir dairə qurmaq üçün düyməni basın "1 əyriyə toxunan dairə" kompakt paneldə və ya yuxarı menyuda əmrləri ardıcıl olaraq basın "Alətlər" - "Həndəsə" - "Dairələr" - "1 əyriyə toxunan dairə."

Kursordan istifadə edərək əvvəlcə dairənin keçəcəyi əyrini göstəririk, sonra bu dairənin 1-ci və 2-ci nöqtələrini təyin edirik (nöqtələrin koordinatları xüsusiyyətlər panelinə daxil edilə bilər).

Bütün mümkün dairə seçimlərinin fantomları ekranda göstəriləcək. Kursordan istifadə edərək, bizə lazım olanları seçin və "Obyekt yarat" düyməsini klikləməklə onları düzəldin. "Abort əmri" düyməsini basaraq tikintini tamamlayırıq.

İkinci nöqtəni təyin etməzdən əvvəl, əmlak panelindəki müvafiq sahəyə radius və ya diametr dəyərini daxil edə bilərsiniz. Belə bir dairə həmişə tikilməyəcəkdir. Bu, verilən radius və ya diametrdən asılıdır. Quraşdırmanın qeyri-mümkünlüyü radius dəyərinə daxil olduqdan sonra fantomun yoxa çıxması ilə göstəriləcək.

Dairənin mərkəzi nöqtəsi məlumdursa, onu xüsusiyyətlər panelində də təyin etmək olar.

İki əyriyə toxunan bir dairə qurmaq üçün düyməni basın "2 döngəyə toxunan dairə" kompakt paneldə. Və ya yuxarı menyuda əmrləri ardıcıl olaraq basın "Alətlər" - "Həndəsə" - "Dairələr" - "2 əyriyə toxunan dairə".

Kursordan istifadə edərək, dairənin toxunmalı olduğu obyektləri göstəririk. Bütün mümkün tikinti variantlarının fantomları ekranda göstəriləcək.

Əgər çevrəyə aid olan nöqtənin mövqeyi məlumdursa, o zaman kursordan istifadə etməklə dəqiqləşdirilməli və ya koordinatlar xassələr panelinə daxil edilməlidir. Xüsusiyyətlər panelində radius və ya diametr dəyərlərini də daxil edə bilərsiniz. Quraşdırmanı başa çatdırmaq üçün istədiyiniz fantomu seçin və ardıcıl olaraq düymələri basın "Obyekt yarat" Və "İstifadə et əmri".

Üç əyriyə toxunan bir dairə qurmaq üçün düyməni basın "3 döngəyə toxunan dairə" kompakt paneldə. Və ya yuxarı menyuda əmrləri ardıcıl olaraq basın "Alətlər" - "Həndəsə" - "Dairələr" - "3 döngəyə toxunan dairə."

Konstruksiyalar əvvəlkilərə bənzəyir, buna görə də onları özünüz edin, nəticə aşağıdakı şəkildə göstərilir.

Mərkəzi tapmağın başqa bir yolu (məsələn, çevrilmiş məhsulların) - xüsusi bir alətdən, "mərkəz tapıcıdan" istifadə edərək, sözdə olanın xüsusiyyətlərinə əsaslanır. tangens xətləri. Çevrəyə toxunan hər hansı düz xəttdir ki, çevrə ilə görüş nöqtəsində bu nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır. Məsələn, cəhənnəmə. 174 düz A B C D Və E.F.– dairəyə toxunan ACE. Xallar A, C, E"toxunma nöqtələri" adlanır. Tangens xəttin özəlliyi ondan ibarətdir ki, onun yalnız bir ortaq nöqtəsi olan bir dairəsi var. Həqiqətən, əgər tangens AB(Şəkil 175) bir dairə ilə idi, bundan əlavə başqa bir ümumi nöqtə var, məsələn, İLƏ, onda onu mərkəzə birləşdirərək, ikitərəfli üçbucaq alacağıq SOA iki düz bucaq ilə SA, və bu, biz bilirik, mümkün deyil (niyə?).

Biz çox vaxt çevrəyə toxunan xətlərlə qarşılaşırıq praktik həyat. Blokun üzərinə atılan kəndir onun gərgin hissələrində blokun dairəsinə toxunan xətlərin mövqeyini alır. Qaldırıcıların kəmərləri (bir neçə blokun birləşmələri, şək. 176) təkərlərin çevrəsinə ümumi tangenslər xətti boyunca yerləşir. Kasnakların ötürücü kəmərləri də sözdə "xarici" tangenslərin kasnaklarının dairələrinə ümumi tangenslər mövqeyini tutur. açıq ötürmə və "daxili" - qapalı ötürmədə.

Dairədən kənarda verilmiş nöqtədən ona necə tangens çəkmək olar? Başqa sözlə: bir nöqtə vasitəsilə kimi A(rəsm 177) düz xətt çəkin AB bucaq etmək ABO düzdü? Bu aşağıdakı kimi edilir. Qoşun A mərkəzi ilə HAQQINDA(rəsm 178). Düz xətt yarıya və ortasına bölünür IN, mərkəz olaraq radiuslu dairəni təsvir edin IN. Başqa sözlə, on OA diametrdə olduğu kimi bir dairə qurun. Kəsişmə nöqtələri İLƏ Və D hər iki dairə bağlıdır A düz xətlər: bunlar tangens olacaq.

Bunu yoxlamaq üçün mərkəzdən nöqtələrə çəkək İLƏ Və D köməkçi xətlər ƏS Və OD. Bucaqlar WASP Və ODA- düz, çünki onlar yarımdairə şəklində yazılmışdır. Və bu o deməkdir ki ƏS Və O.D.– dairəyə toxunan.

Quruluşumuzu nəzərə alsaq, başqa şeylərlə yanaşı görürük ki, dairədən kənar hər bir nöqtədən ona iki tangens çəkə bilərik. Bu tangenslərin hər ikisinin eyni uzunluqda olduğunu yoxlamaq asandır, yəni A.C.= AD. Həqiqətən, dövr HAQQINDA bucağın tərəflərindən eyni dərəcədə uzaqdır A; deməkdir OA bərabər bölücüdür və buna görə də üçbucaqdır OAS Və OAD bərabər ( SUS).

Yol boyu müəyyən etdik ki, hər iki tangens arasındakı bucağı ikiyə bölən düz xəttin dairənin mərkəzindən keçir. Bu, çevrilmiş məhsulların mərkəzini - tapıcının mərkəzini tapmaq üçün cihazın dizaynı üçün əsasdır (şəkil 179). İki sətirdən ibarətdir AB Və AC, bir açı ilə sabitlənmiş və üçüncü hökmdar BD, kənarı olan BD kənarları arasındakı bucağı ikiyə bölür

ilk iki sətir. Cihaz yuvarlaq məhsula tətbiq olunur ki, hökmdarların kənarları ona bitişik olsun AB Və Günəş məhsulun ətrafı ilə təmasda oldu. Bu halda, kənarların dairə ilə yalnız bir ümumi nöqtəsi olacaq, buna görə də hökmdarın kənarı, tangenslərin indi göstərilən xüsusiyyətinə görə, dairənin mərkəzindən keçməlidir. Bir xətkeşdən istifadə edərək məhsulun üzərinə bir dairənin diametrini çəkdikdən sonra mərkəz tapıcını məhsula fərqli bir vəziyyətdə tətbiq edin və fərqli bir diametr çəkin. İstədiyiniz mərkəz hər iki diametrin kəsişməsində olacaqdır.

İki dairəyə ümumi tangens çəkmək lazımdırsa, yəni eyni anda iki dairəyə toxunacaq bir düz xətt çəkin, sonra aşağıdakı kimi davam edin. Bir dairənin mərkəzinə yaxın, məsələn, təxminən IN(Şəkil 180), radiusu hər iki dairənin radiusları arasındakı fərqə bərabər olan köməkçi dairəni təsvir edin. Sonra nöqtədən A tangenslər çəkin AC Və AD bu köməkçi dairəyə. Nöqtələrdən A Və IN perpendikulyar düz xətlər çəkin AC Və AD, nöqtələrdə verilmiş dairələrlə kəsişənə qədər E, F, H Və G. Birləşən düz xətlər E ilə F, G ilə H, radiuslara perpendikulyar olduqları üçün bu çevrələr üçün ümumi tangenslər olacaq AE, CF, AG Və D.H..

Yenicə çəkilmiş və xarici adlanan iki tangensdən əlavə, cəhənnəm kimi yerləşən daha iki tangens də çəkmək olar. 181 (daxili tangenslər). Bu quruluşu yerinə yetirmək üçün bu dairələrdən birinin mərkəzini - məsələn, ətrafında təsvir edin IN– hər iki dairənin radiuslarının cəminə bərabər radiuslu köməkçi çevrə. Nöqtədən A bu köməkçi çevrəyə tangenslər çəkin. Oxucular tikintinin sonrakı gedişatını özləri öyrənə biləcəklər.

Sualları təkrarlayın

Tangens nə adlanır? Tangens və dairənin neçə ortaq nöqtəsi var? – Çevrədən kənarda yerləşən nöqtə vasitəsilə çevrəyə tangensi necə çəkmək olar? – Neçə belə tangens çəkmək olar? - sentrifuqa nədir? – Onun cihazı nəyə əsaslanır? – İki dairəyə ümumi tangens necə çəkilir? - Neçə tangens var?

Həndəsi konstruksiyalar

Dairələrə toxunanların qurulması

Dairələrə toxunanların çəkilməsi ilə bağlı digər məsələlərin həllinin əsasını təşkil edən məsələni nəzərdən keçirək.

Nöqtədən edəkA(şək. 1) mərkəzi nöqtədə olan çevrəyə tangenslər çəkmək lazımdırHAQQINDA.

Tangensləri dəqiq qurmaq üçün xətlərin dairəyə toxunma nöqtələrini müəyyən etmək lazımdır. Bu baxımdanAtikişlə bağlanmalıdırHAQQINDAvə seqmenti bölünOAyarısında. Bu seqmentin ortasından - nöqtələrİLƏ, mərkəzdən olduğu kimi, diametri seqmentə bərabər olan bir dairəni təsvir edinOA. XallarTO1 VəTO2 bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş dairələrin kəsişməsiİLƏvə nöqtədə mərkəzləHAQQINDAxətlərin toxunma nöqtələridirAK1 VəAK2 verilmiş dairəyə.

Məsələnin həllinin düzgünlüyü təmas nöqtəsinə çəkilmiş çevrənin radiusunun çevrənin toxunuşuna perpendikulyar olması ilə təsdiqlənir. Bucaqlartamam1 AVətamam2 Adiametrinə söykəndiyi üçün düzdürlərASCnöqtəsində mərkəzi olan dairəİLƏ.

düyü. 1.

İki dairəyə tangenslər qurarkən tangenslər fərqləndirilirdaxiliVəxarici. Əgər verilmiş çevrələrin mərkəzləri tangensin bir tərəfində yerləşirsə, o, xarici, çevrələrin mərkəzləri isə tangensin əks tərəflərindədirsə, daxili hesab olunur.

HAQQINDA1 VəHAQQINDA2 R1 VəR2 . Verilmiş dairələrə xarici tangenslər çəkmək tələb olunur.

Dəqiq tikinti üçün düz xətlərin və verilmiş dairələrin tangens nöqtələrini müəyyən etmək lazımdır. Mərkəzləri olan dairələrin radiusları varsaHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 ardıcıl olaraq eyni dəyərlə azalmağa başlayın, sonra daha kiçik diametrli bir sıra konsentrik dairələr əldə edə bilərsiniz. Üstəlik, radiusun azaldılmasının hər bir vəziyyətində, kiçik dairələrə olan tangenslər arzu olunanlara paralel olacaqdır. Hər iki radiusu kiçik radiusun ölçüsü ilə azaltdıqdan sonraR2 mərkəzi olan dairəHAQQINDA2 nöqtəyə və mərkəzi olan dairəyə çevrilirHAQQINDA1 radiuslu konsentrik dairəyə çevriləcəkR3 , radiuslar arasındakı fərqə bərabərdirR1 VəR2 .

Əvvəllər təsvir edilmiş metoddan istifadə edərək, nöqtədənHAQQINDA2 radiuslu bir dairəyə xarici tangentləri çəkinR3 , nöqtələri birləşdirinHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 , nöqtə ilə bölünİLƏxətt seqmentiHAQQINDA1 HAQQINDA2 yarıya bölün və bir radius çəkinCO1 verilmiş bir dairə ilə kəsişməsi xətlərin toxunma nöqtələrini təyin edəcək bir qövsHAQQINDA2 TO1 VəHAQQINDA2 TO2 .

NöqtəA1 VəA2 daha böyük dairə ilə tələb olunan düz xətlərin tangensi düz xətlərin davamında yerləşirHAQQINDA1 TO1 VəHAQQINDA1 TO2 . XallarIN1 VəIN2 kiçik dairənin tangens xətləri bazaya perpendikulyardırHAQQINDA2 müvafiq olaraq köməkçi tangenslərəHAQQINDA2 TO1 VəHAQQINDA2 TO2 . Təmas nöqtələrini yerləşdirməklə istədiyiniz düz xətləri çəkə bilərsinizA1 IN1 VəA2 IN2 .

düyü. 2.

Mərkəzləri nöqtələri olan iki dairə verilsinHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 (Şəkil 2), müvafiq olaraq radiuslara malikdirR1 VəR2 . Verilmiş dairələrə daxili tangenslər çəkmək tələb olunur.

Düz xətlərin və dairələrin toxunma nöqtələrini müəyyən etmək üçün əvvəlki məsələnin həlli zamanı verilən mülahizələrə oxşar mülahizələrdən istifadə edirik. Əgər radiusu azaldırsınızsaR2 sıfıra, sonra mərkəzi olan dairəHAQQINDA2 mətləbə keçin. Lakin, bu halda, istədiyiniz radius ilə köməkçi tangenslərin paralelliyini qorumaqR1 bir ölçü artırılmalıdırR2 və radiuslu bir dairə çəkinR3 , məbləğinə bərabərdir radiusR1 VəR2 .

NöqtədənHAQQINDA2 radiuslu bir dairəyə toxunanları çəkinR3 , niyə nöqtələri birləşdirinHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 , nöqtə ilə bölünİLƏxətt seqmentiHAQQINDA1 HAQQINDA2 yarıya bölün və mərkəzi nöqtədə olan bir dairənin qövsünü çəkinİLƏvə radiusCO1 . Qövsün radiuslu dairə ilə kəsişməsiR3 nöqtələrin yerini müəyyən edəcəkTO1 VəTO2 köməkçi xətlərin toxunuşuHAQQINDA2 TO1 VəHAQQINDA2 TO2 .

NöqtəA1 VəA2 R1 bu dairənin seqmentlə kəsişməsindədirHAQQINDA1 TO1 VəHAQQINDA1 TO2 . Nöqtələri müəyyən etmək üçün1-dəVəAT 2radiuslu dairə ilə tələb olunan düz xətlərin tangensiR2 nöqtəsindən irəli gəlirO2köməkçi xətlərə perpendikulyarları bərpa edinO2K1VəO2K2verilmiş dairə ilə kəsişənə qədər. İstənilən xətlərlə verilmiş dairələr arasında toxunma nöqtələrinə malik olmaqla, düz xətlər çəkirikA1B1VəA2B2.

düyü. 3.

Bu fəsildə əsaslardan birinə qayıdırıq həndəsi fiqurlar- dairəyə. Çevrələrlə bağlı müxtəlif teoremlər, o cümlədən üçbucaqda yazılmış çevrələr, dördbucaqlı və bu fiqurların ətrafına çəkilmiş dairələr haqqında teoremlər sübut olunacaq. Bundan əlavə, üçbucağın diqqətəlayiq nöqtələri - üçbucağın bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsi, hündürlüklərinin kəsişmə nöqtəsi və üçbucağın tərəflərinə perpendikulyar bissektrisaların kəsişmə nöqtəsi haqqında üç müddəa sübut olunacaq. İlk iki ifadə hələ 7-ci sinifdə tərtib edilmişdir və indi biz onları sübut edə bilərik.

Düz xəttin və çevrənin nisbi mövqeyindən asılı olaraq neçə ortaq nöqtəsi ola biləcəyini öyrənək. Aydındır ki, bir xətt dairənin mərkəzindən keçirsə, o zaman dairəni iki nöqtədə - bu xətt üzərində uzanan diametrin uclarında kəsir.

P düz xətti r radiuslu çevrənin O mərkəzindən keçməsin.P düz xəttinə OH perpendikulyar çəkək və bu perpendikulyarın uzunluğunu, yəni mərkəzdən olan məsafəni d hərfi ilə işarə edək. bu dairəni düz xəttə (şək. 211).

düyü. 211

Gəlin araşdıraq qarşılıqlı tənzimləmə d və r arasındakı əlaqədən asılı olaraq xətt və dairə. Üç mümkün hal var.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Nəticə etibarilə, A və B nöqtələri dairənin üzərində yerləşir və deməli, p düz xətti ilə verilmiş çevrənin ortaq nöqtələridir.

Sübut edək ki, p düz xətti ilə verilmiş çevrənin başqa ortaq nöqtələri yoxdur. Fərz edək ki, onların daha bir ümumi C nöqtəsi var. Onda AC əsasına çəkilmiş O AC ikitərəfli üçbucağının medianı OD bu üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir, ona görə də OD ⊥ p. OD və OH seqmentləri üst-üstə düşmür, çünki AC seqmentinin D orta nöqtəsi H nöqtəsi ilə - AB seqmentinin orta nöqtəsi ilə üst-üstə düşmür. Biz tapdıq ki, O nöqtəsindən p düz xəttinə iki perpendikulyar (OH və OD seqmentləri) çəkilib, bu mümkün deyil.

Belə ki, dairənin mərkəzindən düz xəttə qədər olan məsafə dairənin radiusundan azdırsa (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . Bu halda düz xətt çevrəyə nisbətən sekant adlanır.

2) d = r. Bu halda OH = r, yəni H nöqtəsi çevrənin üzərində yerləşir və deməli, xəttin və çevrənin ümumi nöqtəsidir (şək. 211.6). Düz xətti p və dairənin başqa ümumi nöqtələri yoxdur, çünki p düz xəttinin H nöqtəsindən fərqli hər hansı M nöqtəsi üçün OM > OH = r (maili OM OH perpendikulyarından böyükdür) və buna görə də , M nöqtəsi çevrə üzərində uzanmır.

Beləliklə, dairənin mərkəzindən düz xəttə qədər olan məsafə dairənin radiusuna bərabərdirsə, düz xətt və dairənin yalnız bir ortaq nöqtəsi var.

3) d > r. Bu halda OH > r, deməli, r OM ≥ OH > r xəttinin istənilən M nöqtəsi üçün (şək. 211, c). Buna görə də M nöqtəsi çevrənin üzərində uzanmır.

Beləliklə, dairənin mərkəzindən düz xəttə qədər olan məsafə dairənin radiusundan böyükdürsə, düz xətt və dairənin ortaq nöqtələri yoxdur.

Bir dairəyə toxunan

Biz sübut etdik ki, xətt və dairənin bir və ya iki ortaq nöqtəsi ola bilər və heç bir ortaq nöqtəsi olmaya bilər.

Dairə ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan düz xəttə çevrəyə toxunan, onların ortaq nöqtəsi isə xəttin və çevrənin tangens nöqtəsi adlanır. Şəkil 212-də p düz xətti mərkəzi O olan çevrəyə tangensdir, A toxunma nöqtəsidir.

Çevrəyə toxunan xassə haqqında bir teoremi sübut edək.

Teorem

Sübut

O mərkəzi olan çevrəyə p, toxunma nöqtəsi A olsun (bax şək. 212). Sübut edək ki, p tangensi OA radiusuna perpendikulyardır.

düyü. 212

Tutaq ki, belə deyil. Sonra OA radiusu r düz xəttinə meyllidir. O nöqtəsindən p düz xəttinə çəkilmiş perpendikulyar maili OA-dan kiçik olduğundan çevrənin O mərkəzindən p düz xəttinə qədər olan məsafə radiusdan kiçikdir. Nəticə etibarilə p düz xətti ilə dairənin iki ortaq nöqtəsi var. Lakin bu şərtə ziddir: p düz xətti tangensdir.

Beləliklə, p düz xətti OA radiusuna perpendikulyardır. Teorem sübut edilmişdir.

A nöqtəsindən keçən və dairəyə B və C nöqtələrində toxunan mərkəzi O olan çevrəyə iki tangensi nəzərdən keçirək (şək. 213). AB və AC seqmentlərini adlandıraq bir nöqtədən çəkilmiş toxunan seqmentlər A. Onlar aşağıdakı əmlaka malikdirlər:

düyü. 213

Bu müddəanı sübut etmək üçün Şəkil 213-ə müraciət edək. Tangens xassəsinə dair teoremə görə 1 və 2 bucaqları düz bucaqlıdır, ona görə də ABO və ACO üçbucaqları düzbucaqlıdır. Onlar bərabərdirlər, çünki ümumi hipotenuz OA və bərabər ayaqları OB və OS var. Buna görə də, AB = AC və ∠3 = ∠4, sübut edilməli olan şeydir.

İndi teoremi tangens xassə (tangens xassə) haqqında teoremin əksini sübut edək.

Teorem

Sübut

Teoremin şərtlərindən belə nəticə çıxır ki, bu radius dairənin mərkəzindən verilmiş xəttə çəkilmiş perpendikulyardır. Buna görə də, dairənin mərkəzindən düz xəttə qədər olan məsafə radiusa bərabərdir və buna görə də düz xətt və dairənin yalnız bir ortaq nöqtəsi var. Amma bu o deməkdir ki, bu xətt dairəyə tangensdir. Teorem sübut edilmişdir.

Tangens xəttinin qurulması ilə bağlı məsələlərin həlli bu teoremə əsaslanır. Gəlin bu problemlərdən birini həll edək.

Tapşırıq

Mərkəzi O olan çevrənin verilmiş A nöqtəsi vasitəsilə bu çevrəyə bir tangens çəkin.

Həll

O A düz xəttini çəkək və sonra O A düz xəttinə perpendikulyar olan A nöqtəsindən keçən p düz xəttini çəkək. Tangens kriteriyasına görə p düz xətti istənilən tangensdir.

Tapşırıqlar

631. Radiusu r olan dairənin mərkəzindən r düz xəttinə qədər olan məsafə d olsun. Düz xəttin r və çevrənin nisbi mövqeyi nədir, əgər: a) r = 16 sm, d = 12 sm; b) r = 5 sm, d = 4,2 sm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 sm, d = 1,2 dm; e) r = 5 sm, d = 50 mm?

632. A nöqtəsindən dairənin mərkəzinə qədər olan məsafə dairənin radiusundan kiçikdir. Sübut edin ki, A nöqtəsindən keçən hər hansı bir xətt verilmiş çevrəyə görə sekantdır.

633. Yan tərəfi 6 sm olan O ABC kvadratı və mərkəzi O nöqtəsində 5 sm radiuslu çevrə verilmişdir.OA, AB, BC və AC xətlərindən hansı bu çevrəyə görə kəsicidir?

634. Mərkəzi O olan çevrənin radiusu OM AB akkordunu yarıya bölür. M nöqtəsindən çəkilmiş tangensin AB akkorduna paralel olduğunu sübut edin.

635. Çevrənin A nöqtəsindən çevrənin radiusuna bərabər olan tangens və akkord çəkilir. Aralarındakı bucağı tapın.

636. AB akkordunun uclarından çevrənin radiusuna bərabər, C nöqtəsində kəsişən iki tangens çəkilir. AC B bucağını tapın.

637. AB diametri ilə AC akkordu arasındakı bucaq 30°-dir. C nöqtəsindən tangens çəkilir və AB xəttini D nöqtəsində kəsir. ACD üçbucağının ikitərəfli olduğunu sübut edin.

638. AB xətti B nöqtəsində r radiuslu mərkəzi O olan dairəyə toxunur. OA = 2 sm və r = 1,5 sm olduqda AB-ni tapın.

639. AB xətti B nöqtəsində r radiuslu mərkəzi O olan dairəyə toxunur. ∠AOB = 60° və r = 12 sm olduqda AB-ni tapın.

640. Radiusu 4,5 sm olan mərkəzi O və A nöqtəsi olan çevrə verilmişdir. A nöqtəsi vasitəsilə çevrəyə iki tangens çəkilmişdir. OA = 9 sm olduqda aralarındakı bucağı tapın.

641. AB və AC seqmentləri A nöqtəsindən çəkilmiş mərkəzi O olan çevrəyə toxunan seqmentlərdir. AO seqmentinin orta nöqtəsi çevrənin üzərində yerləşirsə, BAC bucağını tapın.

642. Şəkil 213-də OB = 3sm, CM. = 6 sm.AB, AC, ∠3 və ∠4-ü tapın.

643. AB və AC xətləri B və C nöqtələrində mərkəzi O olan dairəyə toxunur. ∠OAB = 30°, AB = 5 sm olduqda BC-ni tapın.

644. MA və MB düz xətləri A və B nöqtələrində mərkəzi O olan dairəyə toxunur. C nöqtəsi B nöqtəsinə nisbətən O nöqtəsinə simmetrikdir. ∠AMC = 3∠BMC olduğunu sübut edin.

645. Verilmiş çevrənin AB diametrinin uclarından AB diametrinə perpendikulyar olmayan tangensə AA 1 və BB 1 perpendikulyarları çəkilir. Sübut edin ki, toxunma nöqtəsi A 1 B 1 seqmentinin orta nöqtəsidir.

646. ABC üçbucağında B bucağı düzdür. Sübut edin ki: a) BC düz xətti mərkəzi A radiuslu çevrəyə tangensdir; b) AB düz xətti CB radiusunun mərkəzi C olan dairəyə toxunandır; c) AC düz xətti mərkəzi B və radiusları BA və BC olan çevrələrə toxunan deyil.

647. AN seqmenti A nöqtəsindən radiusu 3 sm olan çevrənin O mərkəzindən keçən düz xəttə çəkilmiş perpendikulyardır, AN düz xətti çevrəyə toxunandır, əgər: a) CM. = 5 sm, AN = 4 sm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 sm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 sm?

648. Mərkəzi O olan çevrəyə tangens qurun: a) verilmiş xəttə paralel; b) verilmiş xəttə perpendikulyar.

Problemlərə cavablar

Birbaşa ( MN), dairə ilə yalnız bir ümumi nöqtəyə malik olan ( A), çağırdı tangens dairəyə.

Bu vəziyyətdə ümumi nöqtə deyilir əlaqə nöqtəsi.

Mövcud olma ehtimalı tangens, və üstəlik, istənilən nöqtədən çəkilir dairə, toxunma nöqtəsi kimi aşağıdakı kimi sübut olunur teorem.

Onu həyata keçirmək tələb olunsun dairə mərkəzi ilə O tangens nöqtəsi vasitəsilə A. Bunu nöqtədən etmək üçün A, mərkəzdən olaraq təsvir edirik qövs radius A.O., və nöqtədən O, mərkəz olaraq bu qövsü nöqtələrdə kəsirik B Və İLƏ verilmiş dairənin diametrinə bərabər olan kompas məhlulu.

Sonra xərclədikdən sonra akkordlar O.B. Və ƏS, nöqtəni birləşdirin A nöqtələrlə D Və E, bu akkordların verilmiş dairə ilə kəsişdiyi zaman. Birbaşa AD Və A.E. - çevrəyə toxunan O. Doğrudan da, tikintidən aydın olur ki üçbucaqlar AOB Və AOC isosceles(AO = AB = AC) əsaslarla O.B. Və ƏS, dairənin diametrinə bərabərdir O.

Çünki O.D. Və O.E.- radiuslar, onda D - orta O.B., A E- orta ƏS, deməkdir AD Və A.E. - medianlar, ikitərəfli üçbucaqların əsaslarına çəkilir və buna görə də bu əsaslara perpendikulyar. Düzdürsə D.A. Və E.A. radiuslara perpendikulyar O.D. Və O.E., sonra onlar - tangenslər.

Nəticə.

Bir nöqtədən dairəyə çəkilmiş iki tangens bərabərdir və bu nöqtəni mərkəzlə birləşdirən düz xətt ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirir..

Belə ki AD=AE və ∠ OAD = ∠OAEçünki düz üçbucaqlar AOD Və AOE, ümumi olan hipotenuz A.O. və bərabərdir ayaqları O.D. Və O.E.(radius kimi), bərabərdir. Qeyd edək ki, burada “tangens” sözü əslində “ tangens seqmenti” müəyyən bir nöqtədən təmas nöqtəsinə qədər.