Limitlərin həlli üsulları. Qeyri-müəyyənliklər.
Funksiyanın böyümə qaydası. Əvəzetmə üsulu

Misal 4

Həddini tapın

Bu daha sadə bir nümunədir müstəqil qərar. Təklif olunan nümunədə yenə qeyri-müəyyənlik var (kökdən daha yüksək artım sırası).

"x" "mənfi sonsuzluğa" meyllidirsə

Uzun müddətdir ki, bu məqalədə “mənfi sonsuzluq” xəyalı var. Çoxhədləri olan hədləri nəzərdən keçirək. Həll prinsipləri və üsulları bir sıra nüanslar istisna olmaqla, dərsin birinci hissəsində olduğu kimi tamamilə eyni olacaq.

Praktik tapşırıqları həll etmək üçün tələb olunacaq 4 hiyləyə baxaq:

1) Limiti hesablayın

Limitin dəyəri yalnız müddətdən asılıdır, çünki ən çoxu var yüksək sifariş artım. Əgər, onda modulunda sonsuz böyükdür mənfi rəqəm bərabər dərəcəyə, V bu halda– dördüncüdə “plus sonsuzluğa” bərabərdir: . Sabit ("iki") müsbət, Buna görə də:

2) Limiti hesablayın

Budur, yenə ali dərəcə hətta, Buna görə də: . Ancaq qarşısında bir "mənfi" var ( mənfi sabit –1), buna görə də:

3) Limiti hesablayın

Limit dəyəri yalnız ondan asılıdır. Məktəbdən xatırladığınız kimi, "mənfi" tək dərəcənin altından "atılır", yəni modulunda sonsuz böyükdür mənfi ədədi TƏK gücə çevirin"mənfi sonsuzluğa" bərabərdir, bu halda: .
Sabit (“dörd”) müsbət, deməkdir:

4) Limiti hesablayın

Kənddə birinci oğlan yenə var qəribə dərəcə, əlavə olaraq, qoynunda mənfi sabit, yəni: Beləliklə:
.

Misal 5

Həddini tapın

Yuxarıdakı məqamlardan istifadə edərək, burada qeyri-müəyyənliyin olduğu qənaətinə gəlirik. Paylayıcı və məxrəc eyni böyümə sırasına malikdir, yəni limitdə nəticə sonlu bir ədəd olacaqdır. Bütün qızartmaları ataraq cavabı öyrənək:

Həll mənasızdır:

Misal 6

Həddini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Və indi, bəlkə də, ən incə hallar:

Misal 7

Həddini tapın

Aparıcı şərtləri nəzərə alaraq, burada qeyri-müəyyənliyin olduğu qənaətinə gəlirik. Numerator məxrəcdən daha yüksək artım sırasına malikdir, buna görə də dərhal limitin sonsuzluğa bərabər olduğunu söyləyə bilərik. Bəs hansı sonsuzluq, “artı” və ya “mənfi”? Texnika eynidir - gəlin say və məxrəcdəki xırda şeylərdən xilas olaq:

Qərar veririk:

Pay və məxrəci bölün

Misal 15

Həddini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Dərsin sonunda yekun dizaynın təxmini nümunəsi.

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi mövzusunda daha bir neçə maraqlı nümunə:

Misal 16

Həddini tapın

Birliyi limitlə əvəz etdikdə qeyri-müəyyənlik əldə edilir. Dəyişənin dəyişdirilməsi artıq özünü təklif edir, lakin əvvəlcə düsturdan istifadə edərək tangensi çeviririk. Doğrudan da, bizə bir tangens nə üçün lazımdır?

Qeyd edək ki, buna görə də. Tamamilə aydın deyilsə, sinus dəyərlərinə baxın triqonometrik cədvəl. Beləliklə, biz dərhal çarpandan xilas oluruq, əlavə olaraq, daha çox tanış olan 0: 0 qeyri-müəyyənliyi əldə edirik. Limitimiz sıfıra meyl etsəydi, yaxşı olardı.

Əvəz edək:

Əgər, onda

Kosinusun altında "x" var, onu da "te" ilə ifadə etmək lazımdır.
Əvəzindən ifadə edirik: .

Həllini tamamlayırıq:

(1) Əvəzetməni həyata keçiririk

(2) Kosinusun altındakı mötərizələri açın.

(4) Təşkil etmək ilk gözəl hədd, payı və əks ədədi süni şəkildə çoxaldın.

Müstəqil həll üçün tapşırıq:

Misal 17

Həddini tapın

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Bunlar siniflərində sadə tapşırıqlar idi, praktikada hər şey daha pis ola bilər və əlavə olaraq azaldılması düsturları, müxtəlif istifadə etməlisiniz triqonometrik düsturlar, eləcə də digər fəndlər. Məqalədə Kompleks Limitlər bir neçə real nümunəyə baxdım =)

Bayram ərəfəsində, nəhayət, başqa bir ümumi qeyri-müəyyənliklə vəziyyəti aydınlaşdıracağıq:

“Sonsuzluğun gücünə bir” qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması

Bu qeyri-müəyyənlik "xidmət olunur" ikinci gözəl hədd, və həmin dərsin ikinci hissəsində biz əksər hallarda praktikada rast gəlinən standart həllər nümunələrinə ətraflı baxdıq. İndi eksponentlərlə şəkil tamamlanacaq, əlavə olaraq, dərsin yekun tapşırıqları "yanlış" hədlərə həsr olunacaq, burada 2-ci gözəl həddi tətbiq etmək lazım olduğu görünür, baxmayaraq ki, bu heç də düzgün deyil. hal.

2-ci əlamətdar hədd üçün iki işləyən düsturun dezavantajı ondan ibarətdir ki, arqument “plus sonsuzluğa” və ya sıfıra meyl etməlidir. Bəs arqument fərqli bir rəqəmə meyl edərsə nə etməli?

Köməyə universal bir düstur gəlir (bu, əslində ikinci əlamətdar həddin nəticəsidir):

Qeyri-müəyyənlik düsturla aradan qaldırıla bilər:

Haradasa mən artıq kvadrat mötərizələrin nə demək olduğunu izah etmişəm. Xüsusi bir şey yoxdur, mötərizələr sadəcə mötərizələrdir. Onlar adətən riyazi qeydləri daha aydın vurğulamaq üçün istifadə olunur.

Formulun əsas məqamlarını vurğulayaq:

1) Haqqındadır yalnız qeyri-müəyyənlik haqqında və başqa heç nə.

2) “x” arqumenti meyl göstərə bilər ixtiyari dəyər(və yalnız sıfıra və ya deyil), xüsusən də "mənfi sonsuzluğa" və ya hər kəs sonlu ədəd.

Bu düsturdan istifadə edərək dərsdəki bütün nümunələri həll edə bilərsiniz. Möhtəşəm Limitlər, 2-ci əlamətdar həddə aid olan. Məsələn, limiti hesablayaq:

Bu halda , və düstura görə :

Düzdür, bunu etməyi məsləhət görmürəm, ənənə hələ də tətbiq oluna bilsə, həllin "adi" dizaynından istifadə etməkdir. Lakin düsturdan istifadə edərək yoxlamaq çox rahatdır 2-ci əlamətdar həddə "klassik" nümunələr.

Əgər ədəd sonsuzluğa bölünürsə, hissə sıfıra meyl edəcəkmi? İçəridə davam etdi və ən yaxşı cavabı aldı

Olenkadan cavab[yeni]
hamısı 0
Krab Вark
Oracle
(56636)
Yox. Tam sıfır. Bölən sonsuzluğa meylli olduğu kimi, hissə də sıfıra meyl edəcəkdir. Və əgər sonsuzluğa meylli bir ədədə deyil, sonsuzluğun özünə bölünsək (yeri gəlmişkən, daha dəqiq desək, bu, rəsmi olaraq ümumiyyətlə nömrə hesab edilmir, ancaq nömrələrin təyinatını tamamlayan xüsusi simvol hesab olunur) - tam sıfır.

-dan cavab Iugeus Vladimir[quru]
Sıfırı bölsəniz də, istənilən ədədə vursanız belə, yenə də sıfır olacaq!

-dan cavab 1 23 [quru]
əgər hansısa cəfəngiyat sıfıra meyl edirsə, onda onu sonlu bir şeyə (ədəd və ya məhdud funksiya) vurmaq faydasızdır, çünki hər şey sıfıra meyllidir.
ancaq onu sonsuzluğa meyl edən bir növ şeylə çarparsanız, variantlar ola bilər.

-dan cavab Krab Вark[quru]
Hər hansı bir ədəd sonsuzluğa bölündükdə nəticə sıfırdır. Dəqiq sıfır, “sıfıra can atmaq” yoxdur. Və sonra onu hansı rəqəmə vursan da, sıfır. Sıfırın sıfırdan başqa hər hansı bir ədədə bölünməsinin nəticəsi sıfır olacaq, yalnız sıfırı sıfıra böldükdə nəticə müəyyən edilmir, çünki hər hansı bir ədəd bölmə kimi uyğun olacaq.

Çox vaxt bir çox insanlar niyə sıfıra bölmənin istifadə edilə bilməyəcəyi ilə maraqlanır? Bu yazıda bu qaydanın haradan gəldiyi, həmçinin sıfır ilə hansı hərəkətlərin edilə biləcəyi barədə ətraflı danışacağıq.

ilə təmasda

Sıfırı ən maraqlı nömrələrdən biri adlandırmaq olar. Bu rəqəmin heç bir mənası yoxdur, sözün əsl mənasında boşluq deməkdir. Ancaq hər hansı bir rəqəmin yanında bir sıfır qoyularsa, bu rəqəmin dəyəri bir neçə dəfə böyük olacaqdır.

Nömrənin özü çox sirlidir. Yenidən istifadə etdim qədim insanlar Maya. Mayyalılar üçün sıfır “başlanğıc” demək idi və təqvim günləri də sıfırdan başlayırdı.

Çox maraqlı fakt sıfır işarəsi ilə qeyri-müəyyənlik işarəsinin oxşar olmasıdır. Bununla Mayyalılar sıfırın qeyri-müəyyənliklə eyni işarə olduğunu göstərmək istəyirdilər. Avropada sıfır təyinatı nisbətən yaxınlarda ortaya çıxdı.

Bir çox insanlar sıfırla əlaqəli qadağanı da bilirlər. Kim bunu deyəcək sıfıra bölmək olmaz. Bunu məktəbdə müəllimlər deyir və uşaqlar adətən onların sözünü qəbul edirlər. Adətən uşaqlar ya bunu bilməkdə maraqlı deyillər, ya da vacib bir qadağa eşidəndə dərhal “Niyə sıfıra bölə bilmirsən?” deyə soruşsalar nə olacağını bilirlər. Amma yaşlandıqca maraq oyanır və bu qadağanın səbəbləri haqqında daha çox bilmək istəyirsən. Bununla belə, ağlabatan sübutlar var.

Sıfırla hərəkətlər

Əvvəlcə sıfırla hansı hərəkətlərin edilə biləcəyini müəyyənləşdirməlisiniz. Mövcuddur bir neçə növ hərəkət:

• Əlavə;
• çarpma;
• Çıxarma;
• Bölmə (sayıya görə sıfır);
• Ekponentasiya.

Vacibdir!Əgər toplama zamanı hər hansı bir ədədə sıfır əlavə etsəniz, bu rəqəm eyni qalacaq və onu dəyişməyəcək ədədi dəyər. Hər hansı bir ədəddən sıfırı çıxarsanız, eyni şey baş verir.

Çoxaldıqda və böldükdə şeylər bir az fərqlidir. Əgər istənilən ədədi sıfıra vurun, onda məhsul da sıfır olacaq.

Bir misala baxaq:

Bunu əlavə olaraq yazaq:

Cəmi beş sıfır var, belə ki, belə çıxır

Gəlin bir sıfıra vurmağa çalışaq. Nəticə də sıfır olacaq.

Sıfırı ona bərabər olmayan hər hansı digər ədədə də bölmək olar. Bu halda, nəticə olacaq, dəyəri də sıfır olacaq. Eyni qayda mənfi ədədlərə də aiddir. Sıfır mənfi ədədə bölünürsə, nəticə sıfırdır.

Siz həmçinin istənilən nömrəni yarada bilərsiniz sıfır dərəcəyə qədər. Bu halda nəticə 1 olacaq. “Sıfırdan sıfıra qədər” ifadəsinin tamamilə mənasız olduğunu xatırlamaq lazımdır. Sıfırı istənilən gücə yüksəltməyə çalışsanız, sıfır alırsınız. Misal:

Biz vurma qaydasından istifadə edirik və 0 alırıq.

Yəni sıfıra bölmək olarmı?

Beləliklə, biz əsas suala gəlirik. Sıfıra bölmək mümkündürmü? bütün? Sıfır olan bütün digər hərəkətlərin mövcud olduğunu və tətbiq edildiyini nəzərə alsaq, niyə biz bir ədədi sıfıra bölə bilmirik? Bu suala cavab vermək üçün ali riyaziyyata müraciət etmək lazımdır.

Konseptin tərifindən başlayaq, sıfır nədir? Məktəb müəllimləri deyir ki, sıfır heç nə deyil. Boşluq. Yəni 0 qulplu olduğunu deyəndə, demək ki, heç tutacaq da yoxdur.

Ali riyaziyyatda “sıfır” anlayışı daha genişdir. Bu heç də boşluq demək deyil. Burada sıfır qeyri-müəyyənlik adlanır, çünki bir az araşdırma etsək, belə çıxır ki, sıfırı sıfıra böldükdə, nəticədə hər hansı başqa bir ədəd çıxa bilər, bu da mütləq sıfır olmaya bilər.

Bilirdinizmi ki, bunlar sadədir arifmetik əməliyyatlar məktəbdə oxuduğunuz bir-birinizlə o qədər də bərabər deyilsiniz? Ən əsas hərəkətlər bunlardır toplama və vurma.

Riyaziyyatçılar üçün “” və “çıxma” anlayışları mövcud deyil. Deyək: beşdən üçü çıxarsan, iki qalacaq. Çıxarma belə görünür. Ancaq riyaziyyatçılar bunu belə yazacaqlar:

Beləliklə, məlum olur ki, naməlum fərq 5-i əldə etmək üçün 3-ə əlavə edilməli olan müəyyən bir ədəddir. Yəni, heç nəyi çıxarmaq lazım deyil, sadəcə uyğun rəqəmi tapmaq lazımdır. Bu qayda əlavəyə aiddir.

ilə işlər bir az fərqlidir vurma və bölmə qaydalarını. Məlumdur ki, sıfıra vurma sıfır nəticəyə gətirib çıxarır. Məsələn, 3:0=x olarsa, girişi tərsinə çevirsəniz, 3*x=0 alırsınız. Və 0-a vurulan bir ədəd məhsulda sıfır verəcəkdir. Belə çıxır ki, sıfır olan məhsulda sıfırdan başqa heç bir dəyər verəcək rəqəm yoxdur. Bu o deməkdir ki, sıfıra bölmək mənasızdır, yəni bizim qaydamıza uyğundur.

Bəs sıfırı özü ilə bölməyə çalışsanız nə olacaq? Bəzi qeyri-müəyyən ədədi x kimi götürək. Nəticədə alınan tənlik 0*x=0-dır. Onu həll etmək olar.

Əgər x əvəzinə sıfır almağa çalışsaq, 0:0=0 alacağıq. Məntiqli görünür? Ancaq x əvəzinə hər hansı başqa bir ədəd, məsələn, 1 götürməyə çalışsaq, nəticədə 0:0=1 olar. Hər hansı başqa bir nömrə götürsək və eyni vəziyyət yaranacaq tənliyə daxil edin.

Bu halda belə çıxır ki, amil kimi istənilən başqa rəqəmi götürə bilərik. Nəticə sonsuz sayda müxtəlif ədədlər olacaq. Bəzən ali riyaziyyatda 0-a bölmə hələ də məna kəsb edir, lakin sonra adətən müəyyən bir şərt yaranır, bunun sayəsində hələ də bir uyğun nömrə seçə bilərik. Bu hərəkət "qeyri-müəyyənliyin açıqlanması" adlanır. Adi arifmetikada sıfıra bölmək yenidən mənasını itirəcək, çünki çoxluqdan bir ədəd seçə bilməyəcəyik.

Vacibdir! Sıfırı sıfıra bölmək olmaz.

Sıfır və sonsuzluq

Sonsuzluğa ali riyaziyyatda çox rast gəlinir. Məktəblilərin sonsuzluqla riyazi əməliyyatların da olduğunu bilməsi sadəcə vacib olmadığı üçün müəllimlər uşaqlara niyə sıfıra bölməyin mümkün olmadığını düzgün izah edə bilmirlər.

Tələbələr ilkin riyazi sirləri yalnız institutun birinci kursunda öyrənməyə başlayırlar. Ali riyaziyyat həlli olmayan böyük problemlər toplusunu təqdim edir. Ən məşhur problemlər sonsuzluq problemləridir. Onlardan istifadə etməklə həll etmək olar riyazi analiz.

Sonsuzluğa da tətbiq edilə bilər elementar riyazi əməliyyatlar:əlavə, ədədə vurma. Adətən onlar çıxma və bölmədən də istifadə edirlər, lakin sonda yenə də iki sadə əməliyyata gəlirlər.

Amma nə olacaq cəhd etsəniz:

• Sonsuzluq sıfıra vurulur. Nəzəri olaraq hər hansı bir ədədi sıfıra vurmağa çalışsaq, sıfır alacağıq. Lakin sonsuzluq qeyri-müəyyən ədədlər toplusudur. Bu çoxluqdan bir ədəd seçə bilmədiyimiz üçün ∞*0 ifadəsinin həlli yoxdur və tamamilə mənasızdır.
• Sıfır sonsuzluğa bölünür. Yuxarıdakı hekayənin eynisi burada da baş verir. Biz bir ədəd seçə bilmirik, yəni nəyə bölünəcəyimizi bilmirik. İfadənin heç bir mənası yoxdur.

Vacibdir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənlikdən bir az fərqlidir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənliyin növlərindən biridir.

İndi sonsuzluğu sıfıra bölməyə çalışaq. Görünür, qeyri-müəyyənlik olmalıdır. Amma bölməni vurma ilə əvəz etməyə çalışsaq, çox dəqiq cavab alırıq.

Məsələn: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Belə çıxır riyazi paradoks.

Niyə sıfıra bölmək olmaz sualının cavabı

Düşüncə təcrübəsi, sıfıra bölməyə çalışmaq

Nəticə

Beləliklə, indi biz bilirik ki, sıfır bir təkdən başqa, demək olar ki, bütün əməliyyatlara tabedir. Nəticə qeyri-müəyyənlik olduğu üçün sıfıra bölmək olmaz. Sıfır və sonsuzluqla əməliyyatları yerinə yetirməyi də öyrəndik. Bu cür hərəkətlərin nəticəsi qeyri-müəyyənlik olacaq.

Funksiyanın törəməsi uzağa düşmür və L'Hopital qaydalarına gəldikdə, o, ilkin funksiyanın düşdüyü yerə tam olaraq düşür. Bu vəziyyət 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliklərini və hesablama zamanı yaranan bəzi digər qeyri-müəyyənlikləri aşkar etməyə kömək edir. limit iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyanın əlaqəsi. Bu qaydadan istifadə edərək hesablama çox sadələşdirilmişdir (əslində iki qayda və onlara qeydlər):

Yuxarıdakı düsturdan göründüyü kimi, iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyanın nisbət həddi hesablanarkən, iki funksiyanın nisbət həddi onların nisbət həddi ilə əvəz edilə bilər. törəmələri və bununla da müəyyən nəticə əldə etmək.

L'Hopital qaydalarının daha dəqiq formalaşdırılmasına keçək.

İki sonsuz kiçik kəmiyyətin həddi halı üçün L'Hopital qaydası. Qoy funksiyalar f(x) Və g(x a. Və elə məqamda a a funksiyanın törəməsi g(x) sıfır deyil ( g"(x a bir-birinə bərabərdir və sıfıra bərabərdir:

.

İki sonsuz böyük kəmiyyətin həddi halı üçün L'Hopital qaydası. Qoy funksiyalar f(x) Və g(x) nöqtənin bəzi qonşuluğunda törəmələri (yəni diferensiallaşan) var a. Və elə məqamda a onların törəmələri olmaya bilər. Üstəlik, məntəqənin yaxınlığında a funksiyanın törəməsi g(x) sıfır deyil ( g"(x)≠0) və bu funksiyaların hədləri x nöqtəsində funksiyanın qiymətinə meyllidir a bir-birinə bərabərdir və sonsuzluğa bərabərdir:

.

Onda bu funksiyaların nisbətinin həddi onların törəmələrinin nisbətinin həddinə bərabərdir:

Başqa sözlə, 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənlikləri üçün iki funksiyanın nisbətinin həddi, əgər sonuncu mövcuddursa, onların törəmələrinin nisbətinin həddi ilə bərabərdir (sonlu, yəni müəyyən sayda və ya sonsuz, yəni sonsuzluğa bərabərdir).

Qeydlər.

1. L'Hopital qaydaları funksiyaları yerinə yetirdikdə də tətbiq edilir f(x) Və g(x) nə vaxt müəyyən edilmir x = a.

2. Əgər funksiyaların törəmələrinin nisbətinin həddi hesablanarkən f(x) Və g(x) biz yenidən 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gəlirik, onda L'Hôpital qaydaları təkrar-təkrar tətbiq edilməlidir (ən azı iki dəfə).

3. L'Hopital qaydaları (x) funksiyalarının arqumenti sonlu ədədə meyl etmədikdə də tətbiq edilir. a, və sonsuzluğa ( x → ∞).

Digər növ qeyri-müəyyənliklər də 0/0 və ∞/∞ tiplərinin qeyri-müəyyənliklərinə endirilə bilər.

“Sıfırın sıfıra bölünməsi” və “sonsuzluğun sonsuza bölünməsi” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 1.

x=2 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Beləliklə, hər bir funksiyanın törəməsi alınır

Çoxhədlinin törəməsi sayda, məxrəcdə isə - mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi. Son bərabərlik işarəsindən əvvəl, adi limit, X yerinə iki ilə əvəz edilməsi.

Misal 2. L'Hopital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Həll. Əvəzetmə verilmiş funksiya dəyərlər x

Misal 3. L'Hopital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Həll. Verilmiş funksiyaya dəyərin əvəz edilməsi x=0 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Buna görə də, funksiyaların pay və məxrəcdə törəmələrini hesablayırıq və alırıq:

Misal 4. Hesablayın

Həll. Verilmiş funksiyaya əlavə sonsuzluğa bərabər olan x dəyərini əvəz etmək ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Beləliklə, L'Hopital qaydasını tətbiq edirik:

Şərh. Birinci törəmələrin nisbət həddi 0 formasının qeyri-müəyyənliyi olduğundan, L'Hopital qaydasının iki dəfə tətbiq edilməli olduğu, yəni ikinci törəmələrin nisbəti həddinə çatmalı olduğu nümunələrə keçək. /0 və ya ∞/∞.

“Sıfırla sonsuzluq” formasının qeyri-müəyyənliklərinin aşkarlanması

Misal 12. Hesablayın

.

Həll. alırıq

Bu nümunə triqonometrik eynilikdən istifadə edir.

“Sıfırdan sıfıra”, “Sıfırın gücünə sonsuzluq” və “sonsuzluğun gücünə bir” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması.

Formanın qeyri-müəyyənlikləri və ya adətən formanın funksiyasının loqarifmini götürərək 0/0 və ya ∞/∞ formasına endirilir.

İfadə limitini hesablamaq üçün xüsusi halı loqarifmin xassəsi olan loqarifmik eynilikdən istifadə etməlisiniz. .

Loqarifmik eynilikdən və funksiyanın davamlılıq xassəsindən istifadə edərək (həddinin işarəsindən kənara çıxmaq üçün) həddi aşağıdakı kimi hesablamaq lazımdır:

Ayrı-ayrılıqda eksponentdə ifadənin limitini tapmalı və qurmalısınız e tapılan dərəcəyə qədər.

Misal 13.

Həll. alırıq

.

.

Misal 14. L'Hopital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Həll. alırıq

Eksponentdəki ifadənin limitini hesablayın

.

.

Misal 15. L'Hopital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Əsas elementar funksiyalar başa düşdü.

Daha mürəkkəb tipli funksiyalara keçərkən, əlbəttə ki, mənası müəyyən edilməmiş ifadələrin görünüşü ilə qarşılaşacağıq. Belə ifadələr deyilir qeyri-müəyyənliklər.

Gəlin hər şeyi sadalayaq qeyri-müəyyənliklərin əsas növləri: sıfır sıfıra bölünür (0-a 0), sonsuzluq sonsuza bölünür, sıfır sonsuza vurulur, sonsuzluq mənfi sonsuzluq, bir sonsuzluq gücünə, sıfır sıfırın gücünə, sonsuzluq sıfırın gücünə.

BÜTÜN BAŞQA QEYRİYYƏTLİLİK İFADƏLƏRİ DEYİL VƏ TAM XÜSUSİ SON VƏ YA SONSUZ DƏYƏR ALIR.

Qeyri-müəyyənliyi üzə çıxarın imkan verir:

• funksiya növünün sadələşdirilməsi (qısaldılmış vurma düsturlarından, triqonometrik düsturlardan istifadə etməklə ifadələrin çevrilməsi, ardınca reduksiya ilə birləşdirilən ifadələrlə vurma və s.);
• diqqətəlayiq məhdudiyyətlərin istifadəsi;
• L'Hopital qaydasının tətbiqi;
• sonsuz kiçik ifadənin ekvivalenti ilə əvəz edilməsindən istifadə etməklə (ekvivalent sonsuz kiçiklər cədvəlindən istifadə etməklə).

Gəlin qeyri-müəyyənlikləri qruplaşdıraq qeyri-müəyyənlik cədvəli. Hər bir qeyri-müəyyənlik növü üçün biz onun açıqlanması metodunu (həddini tapmaq üsulu) əlaqələndiririk.

Bu cədvəl əsas elementar funksiyaların hədləri cədvəli ilə birlikdə istənilən limitləri tapmaqda sizin əsas alətləriniz olacaqdır.

Dəyəri əvəz etdikdən dərhal sonra hər şey düzələndə və qeyri-müəyyənlik yaranmayanda bir-iki misal verək.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Və dərhal cavab aldıq.

Cavab:

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Eksponensial güc funksiyamızın bazasında x=0 dəyərini əvəz edirik:

Yəni limit kimi yenidən yazmaq olar

İndi göstəriciyə nəzər salaq. Bu güc funksiyasıdır. Mənfi eksponentli güc funksiyaları üçün limitlər cədvəlinə müraciət edək. Oradan bizdə Və , buna görə də yaza bilərik .

Buna əsasən, limitimiz belə yazılacaq:

Yenidən məhdudiyyətlər cədvəlinə müraciət edirik, amma bunun üçün eksponensial funksiyalar birdən böyük baza ilə, buradan əldə edirik:

Cavab:

ilə nümunələrə baxaq ətraflı həllər İfadələri çevirməklə qeyri-müəyyənlikləri üzə çıxarmaq.

Çox vaxt qeyri-müəyyənliklərdən qurtulmaq üçün limit işarəsi altındakı ifadə bir qədər dəyişdirilməlidir.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Qeyri-müəyyənliyə gəldik. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənlik cədvəlinə baxırıq. İfadəsini sadələşdirməyə çalışaq.

Cavab:

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Qeyri-müəyyənliyə gəldik (0-dan 0-a). Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənlik cədvəlinə baxırıq və ifadəni sadələşdirməyə çalışırıq. Gəlin həm payı, həm də məxrəci məxrəcə birləşdirən ifadəyə vuraq.

Məxrəc üçün birləşmə ifadəsi olacaq

Məxrəci elə vurduq ki, qısaldılmış vurma düsturunu - kvadratların fərqini tətbiq edək və sonra yaranan ifadəni azalda bilək.

Bir sıra dəyişikliklərdən sonra qeyri-müəyyənlik aradan qalxdı.

Cavab:

ŞƏRH: Bu tip məhdudiyyətlər üçün birləşmiş ifadələrlə çarpma üsulu tipikdir, ona görə də istifadə etməkdən çəkinməyin.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Qeyri-müəyyənliyə gəldik. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənlik cədvəlinə baxırıq və ifadəni sadələşdirməyə çalışırıq. Həm pay, həm də məxrəc x = 1-də itdiyindən, bu ifadələri (x-1) azaltmaq olarsa və qeyri-müəyyənlik aradan qalxar.

Nömrəni çarpayılara ayıraq:

Məxrəci faktorlara ayıraq:

Limitimiz aşağıdakı formada olacaq:

Transformasiyadan sonra qeyri-müəyyənlik üzə çıxdı.

Cavab:

Qüdrət ifadələrindən sonsuzluqdakı limitləri nəzərdən keçirək. Güc ifadəsinin eksponentləri müsbətdirsə, sonsuzluqdakı həddi sonsuzdur. Üstəlik, ən böyük dərəcə əsas əhəmiyyət kəsb edir, qalanları atmaq olar.

Misal.

Misal.

Əgər həddi işarənin altındakı ifadə kəsrdirsə və həm pay, həm də məxrəc qüdrət ifadəsidirsə (m ədədin gücü, n isə məxrəcin gücüdür), onda sonsuzluqdan sonsuza qədər formanın qeyri-müəyyənliyi olduqda. yaranır, bu halda qeyri-müəyyənlik üzə çıxır həm payı, həm də məxrəci bölməklə

Misal.

Limiti hesablayın