Funksiya həddi sonsuzluğun tərifinə bərabərdir. Funksiya həddi

(x) x nöqtəsində 0 :
,
Əgər
1) x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var 0
2) istənilən ardıcıllıq üçün (xn), x-ə yaxınlaşır 0 :
elementləri məhəlləyə aid olan,
sonrakı ardıcıllıq (f(xn)) birləşir:
.

Burada x 0 və a ya sonlu ədədlər, ya da sonsuzluq nöqtələri ola bilər. Qonşuluq iki tərəfli və ya bir tərəfli ola bilər.

.

Funksiya limitinin ikinci tərifi (Cauchy-ə görə)

a ədədi f funksiyasının həddi adlanır (x) x nöqtəsində 0 :
,
Əgər
1) x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var 0 , funksiyanın müəyyən edildiyi;
2) istənilən müsbət ədəd ε üçün > 0 belə bir δ ε rəqəmi var > 0 , ε-dən asılı olaraq, deşilmiş δ ε-yə aid olan bütün x üçün x nöqtəsinin qonşuluğu 0 :
,
funksiya dəyərləri f (x) a nöqtəsinin ε qonşuluğuna aiddir:
.

X nöqtələri 0 və a ya sonlu ədədlər, ya da sonsuzluq nöqtələri ola bilər. Qonşuluq həm ikitərəfli, həm də birtərəfli ola bilər.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək bu tərifi yazaq:
.

Bu tərif ucları bərabər məsafədə olan məhəllələrdən istifadə edir. Ekvivalent tərif nöqtələrin ixtiyari qonşuluqlarından istifadə etməklə verilə bilər.

İxtiyari məhəllələrdən istifadə edən tərif
a ədədi f funksiyasının həddi adlanır (x) x nöqtəsində 0 :
,
Əgər
1) x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var 0 , funksiyanın müəyyən edildiyi;
2) hər hansı U məhəlləsi üçün (a) a nöqtəsinin x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var 0 ki, x nöqtəsinin deşilmiş qonşuluğuna aid olan bütün x üçün 0 :
,
funksiya dəyərləri f (x) məhəlləsinə aid olan U (a) a nöqtəsi:
.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək bu tərifi aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.

Birtərəfli və ikitərəfli məhdudiyyətlər

Yuxarıdakı təriflər hər hansı bir qonşuluq növü üçün istifadə edilə bilməsi baxımından universaldır. Son nöqtənin sol tərəfli deşilmiş qonşuluğu kimi istifadə etsək, sol tərəfli limitin tərifini alırıq. Sonsuzluqdakı nöqtənin qonşuluğundan qonşuluq kimi istifadə etsək, sonsuzluqdakı hədd tərifini alırıq.

Heine həddini müəyyən etmək üçün bu, ona yaxınlaşan ixtiyari ardıcıllığa əlavə məhdudiyyətin qoyulması ilə nəticələnir: onun elementləri nöqtənin müvafiq deşilmiş qonşuluğuna aid olmalıdır.

Koşi həddini müəyyən etmək üçün hər bir halda nöqtənin qonşuluğunun müvafiq təriflərindən istifadə edərək ifadələri və bərabərsizliklərə çevirmək lazımdır.
Bax "Bir nöqtənin qonşuluğu".

Həmin a nöqtəsini təyin etmək funksiyanın həddi deyil

Çox vaxt a nöqtəsinin funksiyanın limiti olmadığı şərtindən istifadə etmək lazım gəlir. Yuxarıdakı təriflərə inkarlar quraq. Onlarda biz fərz edirik ki, f funksiyası (x) x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müəyyən edilir 0 . a və x nöqtələri 0 ya sonlu ədədlər, ya da sonsuz uzaqlıqda ola bilər. Aşağıda qeyd olunanların hamısı həm ikitərəfli, həm də birtərəfli məhdudiyyətlərə aiddir.

Heine görə.
Nömrə a deyil funksiyanın həddi f (x) x nöqtəsində 0 : ,
belə bir ardıcıllıq varsa (xn), x-ə yaxınlaşır 0 :
,
elementləri məhəlləyə aid olan,
ardıcıllığı nədir (f(xn)) birləşmir:
.
.

Koşiyə görə.
Nömrə a deyil funksiyanın həddi f (x) x nöqtəsində 0 :
,
belə müsbət ε ədədi varsa > 0 , belə ki, istənilən müsbət ədəd δ üçün > 0 , x nöqtəsinin deşilmiş δ qonşuluğuna aid bir x var 0 :
,
ki, f funksiyasının qiyməti (x) a nöqtəsinin ε qonşuluğuna aid deyil:
.
.

Təbii ki, a nöqtəsi funksiyanın limiti deyilsə, bu o demək deyil ki, onun limiti ola bilməz. Məhdudiyyət ola bilər, lakin a-ya bərabər deyil. O, həmçinin mümkündür ki, funksiya nöqtənin deşilmiş qonşuluğunda müəyyən edilib, lakin limiti yoxdur.

Funksiya f(x) = günah(1/x) x → 0 kimi məhdudiyyəti yoxdur.

Məsələn, funksiya --da müəyyən edilir, lakin heç bir məhdudiyyət yoxdur. Bunu sübut etmək üçün ardıcıllığı götürək. Bir nöqtəyə yaxınlaşır 0 : . Çünki, o zaman.
Gəlin ardıcıllığı götürək. Bu da nöqtəyə yaxınlaşır 0 : . Amma o vaxtdan bəri.
Onda hədd heç bir a rəqəminə bərabər ola bilməz. Həqiqətən, üçün , bir ardıcıllıqla var. Buna görə də sıfırdan fərqli hər hansı bir rəqəm hədd deyil. Ancaq bu da bir məhdudiyyət deyil, çünki ardıcıllığı var.

Limitin Heine və Koşi təriflərinin ekvivalentliyi

Teorem
Funksiya limitinin Heine və Koşi tərifləri ekvivalentdir.

Sübut

Sübutda biz güman edirik ki, funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda (sonlu və ya sonsuzda) müəyyən edilir. a nöqtəsi də sonlu və ya sonsuz ola bilər.

Heine sübutu ⇒ Cauchy's

Birinci tərifə görə (Heineyə görə) funksiyanın nöqtədə a limiti olsun. Yəni nöqtənin qonşuluğuna aid olan və limiti olan hər hansı ardıcıllıq üçün
(1) ,
ardıcıllığın həddi belədir:
(2) .

Göstərək ki, funksiyanın bir nöqtədə Koşi limiti var. Yəni hər kəs üçün hər kəs üçün olan bir şey var.

Bunun əksini fərz edək. (1) və (2) şərtləri yerinə yetirilsin, lakin funksiyanın Koşi limiti yoxdur. Yəni hər kəs üçün mövcud olan bir şey var, yəni
.

Tutaq ki, burada n natural ədəddir. Sonra var, və
.
Beləliklə, -ə yaxınlaşan bir ardıcıllıq qurduq, lakin ardıcıllığın həddi a -ya bərabər deyil. Bu, teoremin şərtlərinə ziddir.

Birinci hissə sübut edilmişdir.

Koşi sübutu ⇒ Heinenin sübutu

İkinci tərifə görə (Koşiyə görə) funksiyanın nöqtədə a limiti olsun. Yəni hər kəs üçün bu var
(3) hamı üçün.

Göstərək ki, funksiya Heineyə görə bir nöqtədə a limitinə malikdir.
Gəlin ixtiyari bir ədəd götürək. Cauchy-nin tərifinə görə, ədəd mövcuddur, deməli (3) var.

Delikli məhəlləyə aid olan və -ə yaxınlaşan ixtiyari ardıcıllığı götürək. Konvergent ardıcıllığın tərifinə görə, hər kəs üçün mövcuddur
at.
Sonra (3) dən belə çıxır
at.
Madam ki, bu hər kəsə aiddir
.

Teorem sübut edilmişdir.

İstinadlar:
L.D. Kudryavtsev. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 2003.

Tərif 1. Qoy E- sonsuz sayda. Hər hansı bir məhəllədə çoxluğun nöqtələri varsa E, nöqtədən fərqlidir A, Bu Açağırdı son dəstin nöqtəsi E.

Tərif 2. (Heinrich Heine (1821-1881)). Qoy funksiya olsun
setdə müəyyən edilir X Və Açağırdı limit funksiyaları
nöqtədə (və ya nə vaxt
, əgər arqument dəyərlərinin hər hansı ardıcıllığı üçün
, yaxınlaşır , funksiya dəyərlərinin müvafiq ardıcıllığı ədədə yaxınlaşır A. Onlar yazır:
.

Nümunələr. 1) Funksiya
bərabər həddi var ilə, ədəd xəttinin istənilən nöqtəsində.

Həqiqətən, istənilən nöqtə üçün və arqument dəyərlərinin istənilən ardıcıllığı
, yaxınlaşır və başqa rəqəmlərdən ibarətdir , funksiya dəyərlərinin müvafiq ardıcıllığı formaya malikdir
, və bu ardıcıllığın yaxınlaşdığını bilirik ilə. Buna görə də
.

2) Funksiya üçün

.

Bu aydındır, çünki əgər
, sonra
.

3) Dirixlet funksiyası
heç bir nöqtədə məhdudiyyət yoxdur.

Doğrudan da, qoy
Və
, və hamısı - rasional ədədlər. Sonra
hamı üçün n, Buna görə də
. Əgər
və hamısı budur o zaman irrasional ədədlərdir
hamı üçün n, Buna görə də
. Buna görə də 2-ci tərifin şərtlərinin təmin olunmadığını görürük
mövcud deyil.

4)
.

Həqiqətən, ixtiyari bir ardıcıllığı götürək
, yaxınlaşır

nömrə 2. Sonra . Q.E.D.

Tərif 3. (Koşi (1789-1857)). Qoy funksiya olsun
setdə müəyyən edilir X Və bu setin limit nöqtəsidir. Nömrə Açağırdı limit funksiyaları
nöqtədə (və ya nə vaxt
, əgər varsa
olacaq
, belə ki, arqumentin bütün dəyərləri üçün X, bərabərsizliyi təmin edir

,

bərabərsizlik doğrudur

.

Onlar yazır:
.

Cauchy-nin tərifi məhəllələrdən istifadə etməklə də verilə bilər, əgər qeyd etsək ki, a:

funksiyasını yerinə yetirsin
setdə müəyyən edilir X Və bu setin limit nöqtəsidir. Nömrə A hədd adlanır funksiyaları
nöqtədə , əgər varsa -bir nöqtənin qonşuluğu A
deşilmişi var - bir nöqtənin qonşuluğu
,belə
.

Bu tərifi rəsmlə göstərmək faydalıdır.

Misal 5.
.

Doğrudan da, götürək
təsadüfi və tapın
, belə ki, hər kəs üçün X, bərabərsizliyi təmin edir
bərabərsizlik davam edir
. Son bərabərsizlik bərabərsizliyə bərabərdir
, ona görə də görürük ki, almaq kifayətdir
. Bəyanat sübuta yetirilib.

Ədalətli

Teorem 1. Heine və Koşiyə görə funksiyanın limitinin tərifləri ekvivalentdir.

Sübut. 1) Qoy
Cauchy-ə görə. Eyni ədədin də Heineyə görə hədd olduğunu sübut edək.

götürək
özbaşına. Tərif 3-ə görə var
, belə ki, hər kəs üçün
bərabərsizlik davam edir
. Qoy
– belə bir ixtiyari ardıcıllıq
saat
. Sonra bir nömrə var N hər kəs üçün belə
bərabərsizlik davam edir
, Buna görə də
hamı üçün
, yəni.

Heine görə.

2) İndi icazə verin
Heine görə. Gəlin bunu sübut edək
və Koşiyə görə.

Bunun əksini fərz edək, yəni. Nə
Cauchy-ə görə. Sonra var
hər kəs üçün belə
olacaq
,
Və
. Ardıcıllığı nəzərdən keçirin
. Göstərilənlər üçün
və hər hansı n mövcuddur

Və
. Bu o deməkdir ki
, Baxmayaraq ki
, yəni. nömrə A həddi deyil
nöqtədə Heine görə. Biz ifadəni sübut edən bir ziddiyyət əldə etdik. Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 2 (həddinin unikallığı haqqında). Bir nöqtədə funksiyanın limiti varsa , onda o, yeganədir.

Sübut. Əgər Heineyə görə limit müəyyən edilirsə, onda onun unikallığı ardıcıllığın limitinin unikallığından irəli gəlir. Əgər limit Koşiyə görə müəyyən edilirsə, onun unikallığı Koşiyə və Heynəyə görə limit təriflərinin ekvivalentliyindən irəli gəlir. Teorem sübut edilmişdir.

Ardıcıllıqlar üçün Koşi kriteriyası kimi, funksiyanın limitinin mövcudluğu üçün Koşi kriteriyası da yerinə yetirilir. Formalaşdırmadan əvvəl, verək

Tərif 4. Deyirlər ki, funksiyası
nöqtədə Koşi şərtini ödəyir , əgər varsa
mövcuddur

, belə
Və
, bərabərsizlik qüvvədədir
.

Teorem 3 (Limitin mövcudluğu üçün Koşi meyarı). Funksiya üçün
nöqtədə var idi sonlu həddi, bu nöqtədə funksiyanın Koşi şərtini təmin etməsi zəruri və kifayətdir.

Sübut.Zərurət. Qoy
. Biz bunu sübut etməliyik
nöqtəsində qane edir Cauchy vəziyyəti.

götürək
özbaşına və qoydu
. Limitin tərifinə görə mövcuddur
, hər hansı bir dəyər üçün
, bərabərsizliklərin ödənilməsi
Və
, bərabərsizliklər ödənilir
Və
. Sonra

Ehtiyac sübut olunub.

Adekvatlıq. Qoy funksiya olsun
nöqtəsində qane edir Cauchy vəziyyəti. Biz sübut etməliyik ki, bu nöqtədə var son hədd.

götürək
özbaşına. Tərifə görə 4 var
, belə ki, bərabərsizliklərdən
,
bunu izləyir
- bu verilir.

Gəlin əvvəlcə bunu istənilən ardıcıllıq üçün göstərək
, yaxınlaşır , ardıcıllığı
funksiya dəyərləri yaxınlaşır. Həqiqətən, əgər
, onda verilmiş üçün ardıcıllığın həddi müəyyən edilməsinə görə
nömrə var N, hər hansı bir üçün

Və
. Çünki
nöqtədə Cauchy şərtini təmin edir, bizdə var
. Sonra, ardıcıllıqlar üçün Koşi meyarına görə, ardıcıllıq
birləşir. Bütün belə ardıcıllıqları göstərək
eyni həddə yaxınlaşır. Bunun əksini fərz edək, yəni. ardıcıllıqlar nədir
Və
,
,
, belə. Ardıcıllığı nəzərdən keçirək. Birləşdiyi aydındır , buna görə də, yuxarıda sübut edilənə görə, ardıcıllıq birləşir, bu mümkün deyil, çünki alt ardıcıllıqlar
Və
müxtəlif hədləri var Və . Yaranan ziddiyyət bunu göstərir =. Buna görə də, Heinenin tərifinə görə, funksiya nöqtədədir son hədd. Kafilik və deməli, teorem sübut edilmişdir.

Funksiya y = f (x) X çoxluğunun hər bir x elementi Y çoxluğunun bir və yalnız bir y elementi ilə əlaqəli olduğu qanundur (qaydadır).

X elementi ∈ Xçağırdı funksiya arqumenti və ya müstəqil dəyişən.
Element y ∈ Yçağırdı funksiya dəyəri və ya asılı dəyişən.

X çoxluğu adlanır funksiyanın domeni.
Elementlər toplusu y ∈ Y X dəstində ön təsvirləri olan , adlanır sahə və ya funksiya qiymətləri dəsti.

Həqiqi funksiya çağırılır yuxarıdan məhduddur (aşağıdan), bərabərsizliyin hamı üçün yerinə yetirildiyi M ədədi varsa:
.
Nömrə funksiyası çağırılır məhduddur, əgər hamı üçün belə bir M rəqəmi varsa:
.

Üst kənar və ya dəqiq yuxarı hədd Həqiqi bir funksiya yuxarıdan onun dəyər diapazonunu məhdudlaşdıran ən kiçik ədəd adlanır. Yəni bu, hər kəs üçün və hər kəs üçün funksiya dəyəri s′-dən çox olan bir arqument olan s ədədidir: .
Funksiyanın yuxarı həddi aşağıdakı kimi göstərilə bilər:
.

Müvafiq olaraq alt kənar və ya dəqiq aşağı hədd Həqiqi funksiya aşağıdan onun dəyər diapazonunu məhdudlaşdıran ən böyük ədəd adlanır. Yəni bu, hər kəs və hər kəs üçün funksiya dəyəri i′-dən kiçik olan arqument olan i ədədidir: .
Funksiyanın infimumunu aşağıdakı kimi qeyd etmək olar:
.

Funksiya limitinin müəyyən edilməsi

Koşiyə görə funksiyanın limitinin təyini

Son nöqtələrdə funksiyanın sonlu hədləri

Funksiya, nöqtənin özü istisna olmaqla, son nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilsin. bir nöqtədə, əgər hər hansı biri üçün, -dən asılı olaraq, belə bir şey var ki, bütün x üçün bərabərsizlik yerinə yetirilir.
.
Funksiya limiti aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Yaxud da.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın limitinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.

Birtərəfli məhdudiyyətlər.
Bir nöqtədə sol limit (sol tərəfli limit):
.
Bir nöqtədə sağ limit (sağ limit):
.
Sol və sağ məhdudiyyətlər çox vaxt aşağıdakı kimi işarələnir:
; .

Sonsuzluq nöqtələrində funksiyanın sonlu hədləri

Sonsuzluq nöqtələrindəki məhdudiyyətlər oxşar şəkildə müəyyən edilir.
.
.
.
Onlar tez-tez belə adlandırılır:
; ; .

Bir nöqtənin qonşuluğu anlayışından istifadə

Əgər nöqtənin deşilmiş qonşuluğu anlayışını təqdim etsək, onda sonlu və sonsuz uzaq nöqtələrdə funksiyanın son həddinin vahid tərifini verə bilərik:
.
Son nöqtələr üçün burada
; ;
.
Sonsuzluqdakı nöqtələrin hər hansı qonşuluğu deşilir:
; ; .

Sonsuz Funksiya Limitləri

Tərif
Funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda (sonlu və ya sonsuzda) müəyyən edilsin. Funksiya həddi f (x) x → x kimi 0 sonsuzluğa bərabərdir, əgər hər hansı bir ixtiyari böyük ədəd üçün M > 0 , δ M rəqəmi var > 0 , M-dən asılı olaraq, deşilmiş δ M - nöqtənin qonşuluğuna aid olan bütün x üçün: , aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilir:
.
Sonsuz hədd aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Yaxud da.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın sonsuz həddinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.

Siz həmçinin və bərabər olan müəyyən işarələrin sonsuz hədlərinin təriflərini təqdim edə bilərsiniz:
.
.

Funksiya limitinin universal tərifi

Nöqtənin qonşuluğu anlayışından istifadə edərək, həm sonlu (ikitərəfli və birtərəfli), həm də sonsuz uzaq nöqtələr üçün tətbiq olunan funksiyanın sonlu və sonsuz həddinin universal tərifini verə bilərik:
.

Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini

Funksiya bəzi X: çoxluğunda müəyyən edilsin.
a sayı funksiyanın həddi adlanır nöqtədə:
,
x-ə yaxınlaşan hər hansı ardıcıllıq üçün 0 :
,
elementləri X çoxluğuna aid olan: ,
.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək bu tərifi yazaq:
.

X nöqtəsinin sol tərəfli qonşuluğunu X çoxluğu kimi götürsək 0 , onda sol limitin tərifini alırıq. Əgər sağ əllidirsə, onda düzgün limitin tərifini alırıq. Sonsuzluqda olan nöqtənin qonşuluğunu X çoxluğu kimi götürsək, funksiyanın sonsuzluq həddinin tərifini alırıq.

Teorem
Funksiya limitinin Koşi və Heine tərifləri ekvivalentdir.
Sübut

Funksiya limitinin xassələri və teoremləri

Bundan əlavə, nəzərdən keçirilən funksiyaların sonlu ədəd və ya simvollardan biri olan nöqtənin müvafiq qonşuluğunda müəyyən edildiyini fərz edirik: . O, həmçinin birtərəfli limit nöqtəsi ola bilər, yəni forma və ya . Qonşuluq iki tərəfli limit üçün iki tərəfli və birtərəfli limit üçün birtərəflidir.

Əsas xüsusiyyətlər

Əgər f funksiyasının qiymətləri (x) sonlu sayda x nöqtəsini dəyişdirin (və ya qeyri-müəyyən olun). 1, x 2, x 3, ... x n, onda bu dəyişiklik ixtiyari x nöqtəsində funksiyanın limitinin mövcudluğuna və dəyərinə təsir etməyəcək. 0 .

Sonlu hədd varsa, x nöqtəsinin deşilmiş qonşuluğu var 0 , bunun üzərində f funksiyası (x) məhdud:
.

Funksiya x nöqtəsində olsun 0 sonlu sıfırdan fərqli hədd:
.
Onda intervaldan istənilən c ədədi üçün x nöqtəsinin belə deşilmiş qonşuluğu var 0 , nə üçün ,
, Əgər;
, Əgər .

Əgər nöqtənin hansısa deşilmiş məhəlləsində , sabitdirsə, onda .

Sonlu sərhədlər varsa və x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda 0
,
Bu .

Əgər , və nöqtənin bəzi məhəlləsində
,
Bu .
Xüsusilə bəzi məhəllədə bir nöqtə varsa
,
onda əgər , onda və ;
əgər , onda və .

X nöqtəsinin bəzi deşilmiş məhəlləsində olarsa 0 :
,
və sonlu (və ya müəyyən işarənin sonsuz) bərabər hədləri var:
, Bu
.

Əsas xassələrin sübutları səhifədə verilmişdir
“Funksiya limitlərinin əsas xassələri”.

Funksiya limitinin arifmetik xassələri

Funksiyaları və nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda təyin olunsun. Və sonlu məhdudiyyətlər olsun:
Və .
C isə sabit, yəni verilmiş ədəd olsun. Sonra
;
;
;
, Əgər .

Əgər, onda.

Arifmetik xüsusiyyətlərin sübutları səhifədə verilmişdir
“Funksiya hədlərinin arifmetik xassələri”.

Funksiya limitinin mövcudluğu üçün Koşi kriteriyası

Teorem
Sonlu və ya sonsuz x nöqtəsinin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müəyyən edilmiş funksiya üçün 0 , bu nöqtədə sonlu həddi var idi, bu, istənilən ε üçün zəruri və kifayətdir > 0 x nöqtəsinin belə deşilmiş məhəlləsi var idi 0 , hər hansı bir nöqtə üçün və bu qonşuluq üçün aşağıdakı bərabərsizliyə malikdir:
.

Mürəkkəb funksiyanın həddi

Mürəkkəb funksiyanın həddi haqqında teorem
Qoy funksiyanın limiti olsun və nöqtənin deşilmiş məhəlləsini nöqtənin deşilmiş qonşuluğuna xəritələndirin. Qoy funksiya bu məhəllədə müəyyən edilsin və onun limiti olsun.
Budur son və ya sonsuz uzaq nöqtələr: . Qonşuluqlar və onların müvafiq sərhədləri ikitərəfli və ya birtərəfli ola bilər.
Onda mürəkkəb funksiyanın həddi var və o bərabərdir:
.

Mürəkkəb funksiyanın limit teoremi funksiya nöqtədə müəyyən edilmədikdə və ya limitdən fərqli qiymətə malik olduqda tətbiq edilir. Bu teoremi tətbiq etmək üçün, funksiyanın qiymətlər çoxluğunda nöqtənin olmadığı nöqtənin deşilmiş qonşuluğu olmalıdır:
.

Əgər funksiya nöqtəsində fasiləsizdirsə, onda limit işarəsi fasiləsiz funksiyanın arqumentinə tətbiq edilə bilər:
.
Aşağıdakılar bu vəziyyətə uyğun gələn teoremdir.

Funksiyanın fasiləsiz funksiyasının həddi haqqında teorem
g funksiyasının həddi olsun (t) t → t kimi 0 , və o, x-ə bərabərdir 0 :
.
Budur t nöqtəsi 0 sonlu və ya sonsuz uzaq ola bilər: .
Və f funksiyası olsun (x) x nöqtəsində davamlıdır 0 .
Onda f kompleks funksiyasının həddi var (g(t)), və f-ə bərabərdir (x0):
.

Teoremlərin sübutları səhifədə verilmişdir
“Mürəkkəb funksiyanın həddi və davamlılığı”.

Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar

Sonsuz kiçik funksiyalar

Tərif
Funksiyanın sonsuz kiçik olduğu deyilir
.

Cəm, fərq və məhsul-də sonlu sayda sonsuz kiçik funksiyalar - da sonsuz kiçik funksiyadır.

Məhdudlaşdırılmış funksiyanın hasili nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda , at sonsuz kiçik bir funksiyadır.

Funksiyanın sonlu həddi olması üçün bu, zəruri və kifayətdir
,
-də sonsuz kiçik funksiya haradadır.

“Sonsuz kiçik funksiyaların xassələri”.

Sonsuz böyük funksiyalar

Tərif
Funksiyanın sonsuz böyük olduğu deyilir
.

Nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda məhdud funksiyanın cəmi və ya fərqi və nöqtəsində sonsuz böyük funksiya - nöqtəsində sonsuz böyük funksiyadır.

Əgər funksiya üçün sonsuz böyükdürsə və funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda məhduddursa, onda
.

Əgər nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda funksiya bərabərsizliyi ödəyirsə:
,
və funksiya sonsuz kiçikdir:
, və (nöqtənin bəzi deşilmiş məhəlləsində), sonra
.

Xüsusiyyətlərin sübutları bölmədə təqdim olunur
“Sonsuz böyük funksiyaların xassələri”.

Sonsuz böyük və sonsuz kiçik funksiyalar arasındakı əlaqə

Əvvəlki iki xassədən sonsuz böyük və sonsuz kiçik funksiyalar arasında əlaqə yaranır.

Əgər funksiya sonsuz böyükdürsə, onda funksiya sonsuz kiçikdir.

Əgər funksiya və üçün sonsuz kiçikdirsə, onda funksiya sonsuz böyükdür.

Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiya arasındakı əlaqə simvolik olaraq ifadə edilə bilər:
, .

Sonsuz kiçik funksiyanın müəyyən bir işarəsi varsa, yəni nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda müsbət (və ya mənfi) olarsa, bu faktı aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:
.
Eyni şəkildə, sonsuz böyük bir funksiyanın müəyyən bir işarəsi varsa, onda yazırlar:
.

Onda sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyalar arasındakı simvolik əlaqə aşağıdakı əlaqələrlə tamamlana bilər:
, ,
, .

Sonsuzluq simvollarına aid əlavə düsturları səhifədə tapa bilərsiniz
"Sonsuzluq nöqtələri və onların xassələri."

Monoton funksiyaların hədləri

Tərif
Bəzi X həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilmiş funksiya çağırılır ciddi şəkildə artır, əgər bütün bunlar üçün aşağıdakı bərabərsizlik əməl edərsə:
.
Müvafiq olaraq, üçün ciddi şəkildə azalır funksiyası aşağıdakı bərabərsizliyə malikdir:
.
üçün azalmayan:
.
üçün artmayan:
.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ciddi şəkildə artan funksiya da azalmır. Ciddi şəkildə azalan funksiya da artmayandır.

Funksiya çağırılır monoton, əgər azalmayan və ya artmayandırsa.

Teorem
Funksiya olduğu intervalda azalmasın.
Əgər yuxarıda M ədədi ilə məhdudlaşırsa: onda sonlu həddi var. Yuxarıdan məhdud deyilsə, onda .
Əgər aşağıdan m sayı ilə məhdudlaşırsa: onda sonlu həddi var. Aşağıdan məhdud deyilsə, onda .

Əgər a və b nöqtələri sonsuzdursa, o zaman ifadələrdə həddi işarələr o deməkdir ki, .
Bu teoremi daha yığcam formalaşdırmaq olar.

Funksiya olduğu intervalda azalmasın. Sonra a və b nöqtələrində birtərəfli məhdudiyyətlər var:
;
.

Artmayan funksiya üçün oxşar teorem.

Funksiya olduğu intervalda artmasın. Sonra birtərəfli məhdudiyyətlər var:
;
.

Teoremin sübutu səhifədə təqdim olunur
“Montonik funksiyaların hədləri”.

İstinadlar:
L.D. Kudryavtsev. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 2003.
SANTİMETR. Nikolski. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 1983.

Limitlər bütün riyaziyyat tələbələrinə çoxlu problem yaradır. Məhdudiyyəti həll etmək üçün bəzən bir çox fəndlərdən istifadə etməli və müxtəlif həll üsulları arasından müəyyən bir nümunə üçün uyğun olanı seçməlisiniz.

Bu yazıda imkanlarınızın hüdudlarını anlamağa və ya nəzarətin hüdudlarını anlamağa kömək etməyəcəyik, lakin suala cavab verməyə çalışacağıq: ali riyaziyyatda məhdudiyyətləri necə başa düşmək olar? Anlayış təcrübə ilə gəlir, buna görə də eyni zamanda izahatlarla limitlərin həllinə dair bir neçə ətraflı nümunələr verəcəyik.

Riyaziyyatda limit anlayışı

Birinci sual budur: bu hədd nədir və nəyin həddi? Ədədi ardıcıllığın və funksiyaların hədləri haqqında danışmaq olar. Bizi funksiyanın həddi anlayışı maraqlandırır, çünki bu, tələbələrin ən çox rastlaşdığı şeydir. Ancaq əvvəlcə limitin ən ümumi tərifi:

Deyək ki, dəyişən dəyər var. Dəyişiklik prosesində bu dəyər qeyri-məhdud olaraq müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşırsa a , Bu a – bu dəyərin həddi.

Müəyyən intervalda müəyyən edilmiş funksiya üçün f(x)=y belə bir ədəd limit adlanır A , funksiya nə zaman meyl edir X , müəyyən bir nöqtəyə meyl edir A . Nöqtə A funksiyanın təyin olunduğu intervala aiddir.

Çətin səslənir, amma çox sadə yazılıb:

Lim- ingilis dilindən limit- limit.

Həddi müəyyənləşdirməyin həndəsi izahı da var, lakin burada biz nəzəriyyəyə dərindən girməyəcəyik, çünki bizi məsələnin nəzəri tərəfi deyil, praktiki tərəfi daha çox maraqlandırır. Bunu deyəndə X müəyyən dəyərə meyl edir, bu o deməkdir ki, dəyişən ədədin qiymətini almır, ona sonsuz yaxınlaşır.

Konkret misal verək. Vəzifə həddi tapmaqdır.

Bu nümunəni həll etmək üçün dəyəri əvəz edirik x=3 funksiyaya çevrilir. Biz əldə edirik:

Yeri gəlmişkən, əgər maraqlanırsınızsa, bu mövzuda ayrıca bir məqalə oxuyun.

Nümunələrdə X istənilən dəyərə meyl edə bilər. İstənilən rəqəm və ya sonsuzluq ola bilər. Budur bir nümunə zaman X sonsuzluğa meyl edir:

İntuitiv olaraq, məxrəcdəki ədəd nə qədər böyükdürsə, funksiya bir o qədər kiçik dəyər alacaq. Beləliklə, qeyri-məhdud böyümə ilə X məna 1/x azalacaq və sıfıra yaxınlaşacaq.

Gördüyünüz kimi, limiti həll etmək üçün sadəcə olaraq səy göstərdiyiniz dəyəri funksiyaya əvəz etməlisiniz. X . Ancaq bu, ən sadə haldır. Çox vaxt həddi tapmaq o qədər də aydın olmur. Məhdudiyyətlər daxilində növün qeyri-müəyyənlikləri var 0/0 və ya sonsuzluq/sonsuzluq . Belə hallarda nə etməli? Hiylələrə müraciət edin!

İçindəki qeyri-müəyyənliklər

Sonsuzluq/sonsuzluq formasının qeyri-müəyyənliyi

Bir məhdudiyyət olsun:

Funksiyada sonsuzluğu əvəz etməyə çalışsaq, həm payda, həm də məxrəcdə sonsuzluq əldə edəcəyik. Ümumiyyətlə, bu cür qeyri-müəyyənliklərin həllində sənətin müəyyən bir elementinin olduğunu söyləmək lazımdır: qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması üçün funksiyanı necə çevirə biləcəyinizə diqqət yetirməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə pay və məxrəci bölürük X ali pillədə. Nə olacaq?

Yuxarıda müzakirə edilən nümunədən bilirik ki, məxrəcdə x olan terminlər sıfıra meyilli olacaq. Sonra limitin həlli belədir:

Tip qeyri-müəyyənliklərini həll etmək üçün sonsuzluq/sonsuzluq payı və məxrəci bölün Xən yüksək dərəcədə.

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var

Başqa bir qeyri-müəyyənlik növü: 0/0

Həmişə olduğu kimi, funksiyaya dəyərlərin dəyişdirilməsi x=-1 verir 0 say və məxrəcdə. Bir az daha yaxından baxın və paylayıcıda kvadrat tənliyin olduğunu görəcəksiniz. Kökləri tapıb yazaq:

Gəlin azaldıb əldə edək:

Beləliklə, qeyri-müəyyənlik növü ilə qarşılaşırsınızsa 0/0 – say və məxrəci amil.

Nümunələri həll etməyinizi asanlaşdırmaq üçün bəzi funksiyaların hədləri olan bir cədvəl təqdim edirik:

L'Hopital qaydası daxilində

Hər iki qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmağın başqa bir güclü yolu. Metodun mahiyyəti nədir?

Limitdə qeyri-müəyyənlik olarsa, qeyri-müəyyənlik aradan qalxana qədər pay və məxrəcdən törəmə götürün.

L'Hopital qaydası belə görünür:

Əhəmiyyətli məqam : payın və məxrəcin törəmələrinin say və məxrəcin yerinə durduğu hədd olmalıdır.

İndi - əsl nümunə:

Tipik qeyri-müəyyənlik var 0/0 . Gəlin say və məxrəcin törəmələrini götürək:

Voila, qeyri-müəyyənlik tez və zərif şəkildə həll olunur.

Ümid edirik ki, siz bu məlumatı praktikada faydalı şəkildə tətbiq edə və “ali riyaziyyatda hədləri necə həll etmək olar” sualına cavab tapa biləcəksiniz. Bir nöqtədə ardıcıllığın limitini və ya funksiyanın limitini hesablamağınız lazımdırsa və bu iş üçün tamamilə vaxt yoxdursa, tez və ətraflı həll üçün peşəkar tələbə xidməti ilə əlaqə saxlayın.

Burada ardıcıllığın sonlu həddinin tərifinə baxacağıq. Sonsuzluğa yaxınlaşan ardıcıllığın vəziyyəti “Sonsuz böyük ardıcıllığın tərifi” səhifəsində müzakirə olunur.

Tərif.
(xn), əgər hər hansı müsbət ədəd ε üçün > 0 ε-dən asılı olaraq N ε natural ədədi var ki, bütün natural ədədlər üçün n > N ε bərabərsizlik olsun
| x n - a|< ε .
Ardıcıllığın həddi aşağıdakı kimi qeyd olunur:
.
Yaxud da.

Gəlin bərabərsizliyi çevirək:
;
;
.

Açıq interval (a - ε, a + ε) adlanır ε - a nöqtəsinin qonşuluğu.

Limiti olan ardıcıllığa deyilir konvergent ardıcıllıq. Ardıcıl olduğu da deyilir birləşir a. Limiti olmayan ardıcıllığa deyilir fərqli.

Tərifdən belə çıxır ki, əgər ardıcıllığın a limiti varsa, seçdiyimiz a nöqtəsinin hansı ε-qonşuluğundan asılı olmayaraq, ondan kənarda ardıcıllığın yalnız sonlu sayda elementi ola bilər və ya heç biri ola bilməz (boş çoxluq) . İstənilən ε qonşuluqda sonsuz sayda element var. Əslində, müəyyən bir ədəd ε verərək, bununla da nömrəyə sahibik. Beləliklə, nömrələrlə ardıcıllığın bütün elementləri, tərifinə görə, a nöqtəsinin ε qonşuluğunda yerləşir. İlk elementlər hər yerdə yerləşdirilə bilər. Yəni, ε-qonşuluqdan kənarda elementlərdən artıq ola bilməz - yəni sonlu ədəd.

Həm də qeyd edirik ki, fərq monotonik olaraq sıfıra meyl etməməlidir, yəni hər zaman azalmalıdır. O, qeyri-monotonik olaraq sıfıra meyl edə bilər: yerli maksimumlara malik olmaqla ya arta, ya da azala bilər. Bununla belə, bu maksimallar, n artdıqca, sıfıra meyl etməlidir (bəlkə də monoton deyil).

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək limitin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
(1) .

a-nın hədd olmadığını müəyyən etmək

İndi a sayının ardıcıllığın həddi olmadığı ilə bağlı əks ifadəni nəzərdən keçirək.

Nömrə a ardıcıllığın həddi deyil, əgər hər hansı n natural ədədi üçün belə bir natural m olarsa > n, Nə
.

Bu ifadəni məntiqi simvollardan istifadə edərək yazaq.
(2) .

Bəyanat ki a sayı ardıcıllığın həddi deyil, bunun mənası
belə bir ε - a nöqtəsinin qonşuluğunu seçə bilərsiniz, bunun xaricində ardıcıllığın sonsuz sayda elementi olacaqdır..

Bir nümunəyə baxaq. Ümumi elementi olan ardıcıllıq verilsin
(3)
Nöqtənin istənilən qonşuluğunda sonsuz sayda element var. Bununla belə, bu nöqtə ardıcıllığın həddi deyil, çünki nöqtənin hər hansı qonşuluğu da sonsuz sayda elementləri ehtiva edir. ε - ε = olan nöqtənin qonşuluğunu götürək 1 . Bu interval olacaq (-1, +1) . Cüt n olan birinci elementdən başqa bütün elementlər bu intervala aiddir. Lakin n-i tək olan bütün elementlər bu intervaldan kənardadır, çünki onlar x n bərabərsizliyini təmin edirlər > 2 . Tək elementlərin sayı sonsuz olduğundan, seçilmiş qonşuluqdan kənarda sonsuz sayda element olacaq. Buna görə də nöqtə ardıcıllığın həddi deyil.

İndi (2) ifadəsinə ciddi riayət edərək bunu göstərəcəyik. Nöqtə (3) ardıcıllığının həddi deyil, çünki elə mövcuddur ki, hər hansı bir təbii n üçün qeyri-bərabərliyin yerinə yetirildiyi tək nöqtə var.
.

Onu da göstərmək olar ki, istənilən a nöqtəsi bu ardıcıllığın həddi ola bilməz. Biz həmişə ε - a nöqtəsinin nə 0 nöqtəsi, nə də 2 nöqtəsi olmayan qonşuluğunu seçə bilərik. Və sonra seçilmiş qonşuluqdan kənarda ardıcıllığın sonsuz sayda elementləri olacaq.

Ekvivalent tərif

ε - qonşuluq anlayışını genişləndirsək, ardıcıllığın limitinin ekvivalent tərifini verə bilərik. Əgər ε-qonşuluq əvəzinə a nöqtəsinin hər hansı qonşuluğunu ehtiva edərsə, ekvivalent tərif əldə edəcəyik.

Bir nöqtənin qonşuluğunun müəyyən edilməsi
a nöqtəsinin qonşuluğu bu nöqtəni ehtiva edən istənilən açıq interval adlanır. Riyazi olaraq qonşuluq aşağıdakı kimi müəyyən edilir: , burada ε 1 və ε 2 - ixtiyari müsbət ədədlər.

Sonra limitin tərifi aşağıdakı kimi olacaqdır.

Ardıcıllıq limitinin ekvivalent tərifi
a sayı ardıcıllığın həddi adlanır, əgər onun hər hansı bir məhəlləsi üçün N natural ədədi varsa, nömrələrlə ardıcıllığın bütün elementləri bu məhəlləyə aid olsun.

Bu tərif geniş formada da təqdim edilə bilər.

a sayı ardıcıllığın həddi adlanır, əgər hər hansı müsbət ədədlər üçün və ondan asılı olaraq N natural ədədi varsa və beləliklə bərabərsizliklər bütün natural ədədlər üçün keçərlidir.
.

Təriflərin ekvivalentliyinin sübutu

Yuxarıda göstərilən ardıcıllığın limitinin iki tərifinin ekvivalent olduğunu sübut edək.

Birinci tərifə görə ardıcıllığın həddi a sayı olsun. Bu o deməkdir ki, hər hansı müsbət ε ədədi üçün aşağıdakı bərabərsizliklər təmin olunsun ki, funksiya var:
(4) at.

İkinci təriflə a sayının ardıcıllığın həddi olduğunu göstərək. Yəni, elə bir funksiyanın olduğunu göstərməliyik ki, istənilən müsbət ədədlər üçün ε olsun 1 və ε 2 aşağıdakı bərabərsizliklər təmin edilir:
(5) at.

Bizə iki müsbət ədəd olsun: ε 1 və ε 2 . Və ε onlardan ən kiçiyi olsun: . Sonra ; ; . Gəlin bunu (5)-də istifadə edək:
.
Ancaq bərabərsizliklər üçün təmin edilir. Sonra bərabərsizliklər (5) üçün də ödənilir.

Yəni, hər hansı müsbət ε ədədləri üçün (5) bərabərsizliklərinin ödənildiyi funksiya tapdıq. 1 və ε 2 .
Birinci hissə sübut edilmişdir.

İndi a rəqəmi ikinci tərifə görə ardıcıllığın həddi olsun. Bu o deməkdir ki, hər hansı müsbət ədədlər üçün ε funksiyası var 1 və ε 2 aşağıdakı bərabərsizliklər təmin edilir:
(5) at.

Birinci təriflə a sayının ardıcıllığın həddi olduğunu göstərək. Bunu etmək üçün qoymaq lazımdır. Sonra aşağıdakı bərabərsizliklər olduqda:
.
Bu, ilə ilk tərifə uyğundur.
Təriflərin ekvivalentliyi sübut edilmişdir.

Nümunələr

Burada verilmiş a ədədinin ardıcıllığın həddi olduğunu sübut etməmiz lazım olan bir neçə nümunəyə baxacağıq. Bu halda, siz ixtiyari müsbət ədəd ε təyin etməlisiniz və ε-nin N funksiyasını təyin etməlisiniz ki, bərabərsizlik olsun.

Misal 1

Bunu sübut et.

(1) .
Bizim vəziyyətimizdə;
.

.
Bərabərsizliklərin xassələrindən istifadə edək. Sonra və əgər, onda
.

.
Sonra
at.
Bu o deməkdir ki, nömrə verilmiş ardıcıllığın həddidir:
.

Misal 2

Ardıcıllığın limitinin tərifindən istifadə edərək sübut edin
.

Ardıcıllığın limitinin tərifini yazaq:
(1) .
Bizim vəziyyətimizdə;
.

Müsbət ədədləri daxil edin və:
.
Bərabərsizliklərin xassələrindən istifadə edək. Sonra və əgər, onda
.

Yəni, hər hansı müsbət üçün ondan böyük və ya bərabər istənilən natural ədədi götürə bilərik:
.
Sonra
at.
.

Misal 3

.

Biz qeydi təqdim edirik, .
Fərqi çevirək:
.
Təbii n üçün = 1, 2, 3, ... bizdə:
.

Ardıcıllığın limitinin tərifini yazaq:
(1) .
Müsbət ədədləri daxil edin və:
.
Sonra və əgər, onda
.

Yəni, hər hansı müsbət üçün ondan böyük və ya bərabər istənilən natural ədədi götürə bilərik:
.
Harada
at.
Bu o deməkdir ki, nömrə ardıcıllığın həddidir:
.

Misal 4

Ardıcıllığın limitinin tərifindən istifadə edərək sübut edin
.

Ardıcıllığın limitinin tərifini yazaq:
(1) .
Bizim vəziyyətimizdə;
.

Müsbət ədədləri daxil edin və:
.
Sonra və əgər, onda
.

Yəni, hər hansı müsbət üçün ondan böyük və ya bərabər istənilən natural ədədi götürə bilərik:
.
Sonra
at.
Bu o deməkdir ki, nömrə ardıcıllığın həddidir:
.

İstinadlar:
L.D. Kudryavtsev. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 2003.
SANTİMETR. Nikolski. Riyazi analiz kursu. 1-ci cild. Moskva, 1983.