Vektorların baltalara proyeksiyası. Vektorun oxa proyeksiyası (həndəsi, cəbri). Proyeksiyaların xassələri. Vektor proyeksiyasının tərifinə görə proyeksiyaların növləri

Proyeksiya oxa vektor vektor, vektorun bu oxa skalyar proyeksiyasını və bu oxun vahid vektorunu vurmaqla əldə edilən vektordur. Məsələn, əgər x - skalyar proyeksiya vektor A X oxuna, sonra bir x i- onun bu oxa vektor proyeksiyası.

işarə edək vektor proyeksiyası vektorun özü ilə eynidir, lakin vektorun proqnozlaşdırıldığı oxun indeksi ilə. Beləliklə, vektorun vektor proyeksiyası A X oxunda işarə edirik A x ( yağ vektoru və ox adının alt simvolunu bildirən hərf) və ya (vektoru bildirən qalın olmayan, lakin yuxarıda ox (!) və oxun adının alt simvolu).

Skalyar proyeksiya ox başına vektor deyilir nömrə, mütləq dəyəri vektorun başlanğıc nöqtəsinin proyeksiyaları və son nöqtəsi arasında qapalı olan ox seqmentinin uzunluğuna (seçilmiş miqyasda) bərabərdir. Adətən ifadə yerinə skalyar proyeksiya sadəcə deyirlər - proyeksiya. Proyeksiya proqnozlaşdırılan vektorla eyni hərflə (normal, qalın olmayan yazıda), bu vektorun proyeksiya edildiyi oxun adının aşağı indeksi (bir qayda olaraq) ilə işarələnir. Məsələn, vektor X oxuna proyeksiya edilirsə A, onda onun proyeksiyası x ilə işarələnir. Eyni vektoru başqa oxa proyeksiya edərkən, ox Y olarsa, onun proyeksiyası y ilə işarələnəcək.

Proyeksiyanı hesablamaq üçün vektor bir oxda (məsələn, X oxu) başlanğıc nöqtəsinin koordinatını onun son nöqtəsinin koordinatından çıxarmaq lazımdır, yəni
a x = x k − x n.
Bir vektorun oxa proyeksiyası ədəddir. Bundan əlavə, x k dəyəri x n dəyərindən böyükdürsə, proyeksiya müsbət ola bilər,

x k dəyəri x n dəyərindən kiçik olarsa mənfi

və x k x n-ə bərabərdirsə, sıfıra bərabərdir.

Vektorun oxa proyeksiyasını vektorun modulunu və onun bu oxla yaratdığı bucağı bilməklə də tapmaq olar.

Şəkildən aydın olur ki, a x = a Cos α

yəni vektorun oxa proyeksiyası vektorun modulu ilə oxun istiqaməti ilə bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. vektor istiqaməti. Əgər bucaq kəskindirsə, onda
Cos α > 0 və a x > 0, və əgər kütdürsə, onda küt bucağın kosinusu mənfidir və vektorun oxa proyeksiyası da mənfi olacaqdır.

Oxdan saat əqrəbinin əksinə ölçülmüş bucaqlar müsbət, ox boyunca ölçülən bucaqlar isə mənfi hesab olunur. Lakin kosinus cüt funksiya olduğundan, yəni Cos α = Cos (− α) proyeksiyaları hesablayarkən bucaqları həm saat əqrəbinin, həm də saat əqrəbinin əksinə hesablamaq olar.

Bir vektorun oxa proyeksiyasını tapmaq üçün bu vektorun modulunu oxun istiqaməti ilə vektorun istiqaməti arasındakı bucağın kosinusuna vurmaq lazımdır.

Vektor koordinatları— verilmiş vektora bərabər seçilmiş koordinat sistemində bazis vektorlarının yeganə mümkün xətti kombinasiyasının əmsalları.

vektorun koordinatları haradadır.

Skalyar məhsul vektorlar

Vektorların skalyar hasili[- sonlu ölçülü vektor sahəsi vurulan eyni komponentlərin məhsullarının cəmi kimi müəyyən edilir vektorlar.

Məsələn, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) Və b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

A. A nöqtəsinin PQ oxuna proyeksiyası (şəkil 4) verilmiş nöqtədən verilmiş oxa endirilmiş perpendikulyarın a əsasıdır. Proyeksiya etdiyimiz oxa proyeksiya oxu deyilir.

b. Şəkildə göstərilən iki ox və A B vektoru verilsin. 5.

Başlanğıcı başlanğıcın proyeksiyası, sonu isə bu vektorun sonunun proyeksiyası olan vektor A B vektorunun PQ oxuna proyeksiyası adlanır.Belə yazılır;

Bəzən PQ göstəricisi aşağıya yazılmır, bu, PQ-dan başqa onun dizayn edilə biləcəyi başqa bir OS olmadığı hallarda edilir.

ilə. Teorem I. Bir ox üzərində yerləşən vektorların böyüklükləri onların istənilən oxa proyeksiyalarının böyüklükləri kimi əlaqələndirilir.

6-cı şəkildə göstərilən oxlar və vektorlar verilsin.Üçbucaqların oxşarlığından aydın olur ki, vektorların uzunluqları onların proyeksiyalarının uzunluqları kimi bağlıdır, yəni.

Rəsmdəki vektorlar müxtəlif istiqamətlərə yönəldildiyi üçün onların böyüklükləri fərqli işarələrə malikdir, buna görə də

Aydındır ki, proqnozların böyüklükləri də müxtəlif əlamətlərə malikdir:

(2)-ni (3)-ü (1)-ə əvəz edərək, alırıq

İşarələri tərsinə çevirərək, alırıq

Əgər vektorlar bərabər istiqamətlidirsə, onda onların proyeksiyaları da eyni istiqamətdə olacaq; (2) və (3) düsturlarında mənfi işarələr olmayacaq. (2) və (3) bəndlərini bərabərliyə (1) əvəz edərək dərhal bərabərliyi (4) əldə edirik. Beləliklə, teorem bütün hallar üçün sübut edilmişdir.

d. Teorem II. Vektorun hər hansı oxa proyeksiyasının böyüklüyü vektorun böyüklüyünə proyeksiyalar oxu ilə vektorun oxu arasındakı bucağın kosinusuna çarpılana bərabərdir.Oxlar Şəkil 1-də göstərildiyi kimi vektor kimi verilsin. . 7. Oxu ilə eyni istiqamətə malik olan və məsələn, oxların kəsişmə nöqtəsindən qrafiki olan vektor quraq. Onun uzunluğu birə bərabər olsun. Sonra onun böyüklüyü

Tərif 1. Müstəvidə A nöqtəsinin l oxuna paralel proyeksiyası nöqtədir - layihə istiqamətini təyin edən vektora paralel olaraq A nöqtəsindən çəkilmiş düz xətt ilə l oxunun kəsişmə nöqtəsidir.

Tərif 2. Vektorun l oxuna (vektora) paralel proyeksiyası vektorun bazisə nisbətən koordinatıdır. ox l, burada nöqtələr və A və B nöqtələrinin müvafiq olaraq l oxuna paralel proyeksiyalarıdır (şək. 1).

Bizdə olan tərifə görə

Tərif 3. əgər və l oxu əsası Kartezyen, yəni vektorun l oxuna proyeksiyası ortoqonal adlanır (şək. 2).

Kosmosda vektorun oxa proyeksiyasının 2-ci tərifi qüvvədə qalır, yalnız proyeksiya istiqaməti iki kollinear olmayan vektorla müəyyən edilir (şək. 3).

Vektorun oxa proyeksiyasının tərifindən belə çıxır ki, vektorun hər bir koordinatı bu vektorun müvafiq bazis vektoru ilə müəyyən edilmiş oxa proyeksiyasıdır. Bu halda layihə istiqaməti, əgər layihə kosmosda aparılırsa (nəzərə alınırsa) başqa iki bazis vektorla və ya layihə müstəvidə nəzərdə tutulursa, başqa bazis vektoru ilə müəyyən edilir (şək. 4).

Teorem 1. Vektorun l oxuna ortoqonal proyeksiyası vektorun modulu ilə l oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir və, yəni.

Digər tərəfdə

Tapdığımızdan

AC-ni bərabərliklə (2) əvəz edərək əldə edirik

Rəqəmlərdən bəri x və baxılan hər iki halda eyni işarə ((şək. 5, a) ; (şək. 5, b), onda bərabərlikdən (4) belə çıxır.

Şərh. Bundan sonra vektorun oxa yalnız ortoqonal proyeksiyasını nəzərdən keçirəcəyik və buna görə də qeyddən “ort” (ortoqonal) sözü çıxarılacaq.

Problemlərin həllində sonradan istifadə olunan bir sıra düsturları təqdim edək.

a) Vektorun oxa proyeksiyası.

Əgər, onda (5) düsturuna görə vektora ortoqonal proyeksiya formaya malikdir

c) Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə.

Normal vektoru olan b verilmiş müstəvi, M verilmiş nöqtə olsun,

d M nöqtəsindən b müstəvisinə qədər olan məsafədir (şək. 6).

Əgər N b müstəvisinin ixtiyari nöqtəsidirsə və M və N nöqtələrinin oxa proyeksiyasıdırsa, onda

• G) Kesişən xətlər arasındakı məsafə.

a və b kəsişən xətlər verilsin, onlara perpendikulyar vektor olsun, A və B müvafiq olaraq a və b xətlərinin ixtiyari nöqtələri olsun (şək. 7) və A və B nöqtələrinin üzərinə proyeksiyaları olsun, onda

e) Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Qoy l- istiqamət vektoru olan verilmiş düz xətt, M ​​- verilmiş nöqtə,

N - onun xəttə proyeksiyası l, sonra - tələb olunan məsafə (şək. 8).

Əgər A xəttin ixtiyari nöqtəsidirsə l, sonra daxil düz üçbucaq MNA, hipotenuz MA və ayaqları tapıla bilər. O deməkdir ki,

f) Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucaq.

Bu xəttin istiqamət vektoru olsun l, - verilmiş müstəvinin normal vektoru b, - düz xəttin proyeksiyası l b müstəvisinə (şək. 9).

Məlum olduğu kimi, düz xətt arasındakı bucaq μ l və onun b müstəvisinə proyeksiyasına xəttlə müstəvi arasındakı bucaq deyilir. bizdə var

Vektor-koordinat metodundan istifadə etməklə metrik məsələlərin həllinə dair nümunələr verək.

İki vektor və fəzada verilsin. İxtiyari bir nöqtədən təxirə salaq O vektorlar və . Bucaq vektorlar arasında olan bucaqların ən kiçiki adlanır. Təyin edilmişdir .

Oxa nəzər salın l və onun üzərində vahid vektor (yəni uzunluğu 1-ə bərabər olan vektor) qrafını çəkin.

Vektor və ox arasında bir açıda l vektorlar arasındakı bucağı başa düşmək.

Elə isə qoy l bəzi oxdur və vektordur.

ilə işarə edək A 1 Və B 1 oxa proyeksiyalar l müvafiq olaraq xal A Və B. Belə iddia edək A 1 koordinata malikdir x 1, A B 1- əlaqələndirmək x 2 oxda l.

Sonra proyeksiya ox başına vektor l fərq adlanır x 1 – x 2 vektorun sonunun və başlanğıcının bu oxa proyeksiyalarının koordinatları arasında.

Vektorun oxa proyeksiyası l işarə edəcəyik.

Aydındır ki, əgər vektor və ox arasındakı bucaq l sonra ədviyyatlı x 2> x 1, və proyeksiya x 2 – x 1> 0; əgər bu bucaq ensizdirsə, onda x 2< x 1 və proyeksiya x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Bu x 2= x 1 Və x 2– x 1=0.

Beləliklə, vektorun oxa proyeksiyası l seqmentin uzunluğudur A 1 B 1, müəyyən işarə ilə götürülmüşdür. Buna görə vektorun oxa proyeksiyası ədəd və ya skalyardır.

Bir vektorun digərinə proyeksiyası da eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu zaman bu vektorun uclarının 2-ci vektorun yerləşdiyi xəttə proyeksiyaları tapılır.

Bəzi əsaslara baxaq proyeksiyaların xassələri.

XƏTTİ ASLI VƏ XƏTİ MÜSTƏQİL VEKTOR SİSTEMLERİ

Bir neçə vektoru nəzərdən keçirək.

Xətti birləşmə bu vektorların formasının istənilən vektoru, burada bəzi ədədlər var. Rəqəmlərə xətti birləşmə əmsalları deyilir. Onlar da deyirlər ki, bu halda bu vektorlar vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur, yəni. onlardan xətti hərəkətlərdən istifadə etməklə əldə edilir.

Məsələn, üç vektor verilmişdirsə, onda aşağıdakı vektorları onların xətti kombinasiyası hesab etmək olar:

Əgər vektor bəzi vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilirsə, o zaman deyilir qoyulmuşdur bu vektorlar boyunca.

Vektorlar deyilir xətti asılıdır, ədədlər varsa, hamısı sıfıra bərabər deyil, belə ki . Aydındır ki, bu vektorlardan hər hansı biri digərləri ilə xətti şəkildə ifadə olunarsa, verilmiş vektorlar xətti asılı olacaqdır.

Əks halda, yəni. nisbət olduqda yalnız zaman həyata keçirilir , bu vektorlar deyilir xətti müstəqil.

Teorem 1.İstənilən iki vektor yalnız və yalnız kollinear olduqda xətti asılıdır.

Sübut:

Aşağıdakı teorem eyni şəkildə sübut edilə bilər.

Teorem 2.Üç vektor yalnız və yalnız müştərək olduqda xətti asılıdır.

Sübut.

ƏSAS

Əsas sıfırdan fərqli xətti müstəqil vektorların toplusudur. Bazisin elementlərini ilə işarə edəcəyik.

Əvvəlki paraqrafda bir müstəvidə iki qeyri-kollinear vektorun xətti müstəqil olduğunu gördük. Buna görə də, əvvəlki bənddəki Teorem 1-ə əsasən, müstəvidəki əsas bu müstəvidəki hər hansı iki qeyri-kollinear vektordur.

Eynilə, hər hansı üç qeyri-komplanar vektor fəzada xətti müstəqildir. Nəticə etibarı ilə üç qeyri-komplanar vektoru fəzada bazis adlandırırıq.

Aşağıdakı ifadə doğrudur.

Teorem. Kosmosda əsas verilsin. Onda istənilən vektor xətti kombinasiya kimi təqdim oluna bilər , Harada x, y, z- bəzi rəqəmlər. Bu yeganə parçalanmadır.

Sübut.

Beləliklə, əsas hər bir vektoru unikal şəkildə üçlü ədədlə əlaqələndirməyə imkan verir - bu vektorun əsas vektorlara genişlənməsi əmsalları: . Hər üç rəqəm üçün əksi də doğrudur x, y, zəsasdan istifadə edərək, xətti kombinasiya etsəniz vektoru müqayisə edə bilərsiniz .

Əgər əsas və , sonra rəqəmlər x, y, z adlandırılır koordinatları verilmiş əsasda vektor. Vektor koordinatları ilə işarələnir.

KARTEZİAN KOORDİNAT SİSTEMİ

Kosmosda bir nöqtə verilsin O və üç qeyri-komplanar vektor.

Kartezian koordinat sistemi kosmosda (müstəvidə) nöqtə və əsasın toplanmasıdır, yəni. nöqtə və bu nöqtədən çıxan üç qeyri-komplanar vektor (2 qeyri-kollinear vektor) toplusu.

Nöqtə O mənşəli adlanır; koordinatların başlanğıcından bazis vektorları istiqamətində keçən düz xətlərə koordinat oxları - absis, ordinat və tətbiq oxu deyilir. Koordinat oxlarından keçən təyyarələrə koordinat müstəviləri deyilir.

Seçilmiş koordinat sistemində ixtiyari bir nöqtəni nəzərdən keçirək M. Nöqtə koordinatları anlayışını təqdim edək M. Mənşəyi nöqtə ilə birləşdirən vektor M. çağırdı radius vektoru xal M.

Seçilmiş əsasdakı bir vektor üçlü ədədlə əlaqələndirilə bilər - onun koordinatları: .

Nöqtənin radius vektorunun koordinatları M. adlandırılır M nöqtəsinin koordinatları. baxılan koordinat sistemində. M(x,y,z). Birinci koordinat absis, ikincisi ordinat, üçüncü koordinat adlanır.

Müstəvidə kartezian koordinatları da eyni şəkildə müəyyən edilir. Burada nöqtənin yalnız iki koordinatı var - absis və ordinat.

Verilmiş koordinat sistemi üçün hər bir nöqtənin müəyyən koordinatları olduğunu görmək asandır. Digər tərəfdən, rəqəmlərin hər üçlüyü üçün bu nömrələrin koordinatları olan unikal bir nöqtə var.

Seçilmiş koordinat sistemində əsas götürülən vektorlar vahid uzunluğa malikdirsə və cüt-cüt perpendikulyardırsa, o zaman koordinat sistemi adlanır. Kartezyen düzbucaqlı.

Bunu göstərmək asandır.

Bir vektorun istiqamət kosinusları onun istiqamətini tamamilə müəyyənləşdirir, lakin uzunluğu haqqında heç nə demir.

Hərəkətin vektor təsviri faydalıdır, çünki bir rəsmdə həmişə çoxlu müxtəlif vektorları təsvir edə və gözləriniz qarşısında hərəkətin vizual "şəkilini" əldə edə bilərsiniz. Lakin vektorlarla əməliyyatları yerinə yetirmək üçün hər dəfə xətkeş və iletkidən istifadə etmək çox əmək tələb edir. Buna görə də, bu hərəkətlər müsbət və olan hərəkətlərə qədər azalır mənfi ədədlər– vektorların proyeksiyaları.

Vektorun oxa proyeksiyası proqnozlaşdırılan vektorun modulu ilə vektorun istiqamətləri ilə seçilmiş koordinat oxu arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabər olan skalyar kəmiyyət adlanır.

Sol rəsmdə modulu 50 km olan yerdəyişmə vektoru və onun istiqaməti formaları göstərilir küt bucaq X oxunun istiqaməti ilə 150°.Tərifdən istifadə edərək yerdəyişmənin X oxuna proyeksiyasını tapırıq:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Oxlar arasındakı bucaq 90° olduğundan, hərəkət istiqamətinin Y oxunun istiqaməti ilə 60° kəskin bucaq əmələ gətirdiyini hesablamaq asandır. Tərifdən istifadə edərək Y oxunda yerdəyişmə proyeksiyasını tapırıq:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Gördüyünüz kimi vektorun istiqaməti oxun istiqaməti ilə iti bucaq əmələ gətirirsə, proyeksiya müsbətdir; vektorun istiqaməti oxun istiqaməti ilə küt bucaq əmələ gətirirsə, proyeksiya mənfi olur.

Sağ rəsmdə modulu 5 m/s olan sürət vektoru göstərilir və istiqamət X oxunun istiqaməti ilə 30° bucaq əmələ gətirir.Proyeksiyaları tapaq:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Proyeksiya edilən vektorlar seçilmiş oxlara paralel və ya perpendikulyar olarsa, vektorların oxlar üzrə proyeksiyalarını tapmaq çox asandır. Nəzərə alın ki, paralellik halında iki variant mümkündür: vektor oxa müştərək istiqamətlidir və vektor oxa əksdir, perpendikulyarlıq halı üçün isə yalnız bir variant var.

Oxa perpendikulyar vektorun proyeksiyası həmişə sıfırdır (sol rəsmdə sy və ay, sağda isə sx və υx-ə baxın). Həqiqətən də, oxa perpendikulyar olan vektor üçün onunla ox arasındakı bucaq 90°-dir, ona görə də kosinus sıfırdır, yəni proyeksiya sıfırdır.

Oxla koistiqamətli vektorun proyeksiyası müsbətdir və onun mütləq qiymətinə bərabərdir, məsələn, sx = +s (soldakı rəsmə bax). Həqiqətən də, ox ilə koordinatlı vektor üçün onunla ox arasındakı bucaq sıfır, kosinusu isə “+1”, yəni proyeksiya vektorun uzunluğuna bərabərdir: sx = x – xo = + s .

Oxa qarşı olan vektorun proyeksiyası mənfidir və onun mənfi işarəsi ilə qəbul edilmiş moduluna bərabərdir, məsələn, sy = –s (sağ rəsmə bax). Həqiqətən də, oxa əks olan vektor üçün onunla ox arasındakı bucaq 180°, kosinusu isə “–1”dir, yəni proyeksiya mənfi işarə ilə alınan vektorun uzunluğuna bərabərdir: sy = y – yo = –s .

Hər iki təsvirin sağ tərəfləri vektorların birinə paralel olduğu digər halları göstərir koordinat oxları və digərinə perpendikulyar. Sizi bu hallarda da əvvəlki bəndlərdə tərtib edilmiş qaydalara əməl olunduğundan əmin olmağa dəvət edirik.