Elementar sübut funksiyalarının törəmələri. Funksiya törəməsi. Nümunələr ilə ətraflı nəzəriyyə. Tərs funksiya anlayışı
Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.
Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması problemlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).
Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.
Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Sonra, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiasiya qaydalarında tapırıq. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.
Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.
Törəmələr cədvəlindən məlum olur ki, "x"-in törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:
Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. İkinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk; onu törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:
Əgər hələ də bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar yaranarsa, onlar adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.
Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli
| 1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur | |
| 2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir | |
| 3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır. | |
| 4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi | |
| 5. Kvadrat kökün törəməsi | |
| 6. Sinusun törəməsi | |
| 7. Kosinusun törəməsi |  |
| 8. Tangensin törəməsi |  |
| 9. Kotangensin törəməsi |  |
| 10. Arksinusun törəməsi |  |
| 11. Arkkosinin törəməsi |  |
| 12. Arktangensin törəməsi |  |
| 13. Qövs kotangentinin törəməsi |  |
| 14. Natural loqarifmin törəməsi | |
| 15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi |  |
| 16. Göstəricinin törəməsi | |
| 17. Eksponensial funksiyanın törəməsi |
Fərqləndirmə qaydaları
| 1. Cəmin və ya fərqin törəməsi |  |
| 2. Məhsulun törəməsi |  |
| 2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi | |
| 3. Bölmənin törəməsi |  |
| 4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi |  |
Qayda 1.Əgər funksiyaları
müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır
və
olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.
Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.
Qayda 2.Əgər funksiyaları
müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallana bilir
və
olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.
Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:
Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.
Məsələn, üç çarpan üçün:
Qayda 3.Əgər funksiyaları
müəyyən nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və
olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir, məxrəc isə - kvadratıdır. keçmiş say.
Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır
Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".
Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Termin halında onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu, törəmələrin öyrənilməsinin ilkin mərhələsində baş verən tipik bir səhvdir, lakin orta tələbə bir və iki hissədən ibarət bir neçə nümunəni həll etdikcə, o, artıq bu səhvə yol vermir.
Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).
Başqa bir ümumi səhv mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki yolla həll edilməsidir. Buna görə də mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə sadə funksiyaların törəmələrini tapmağı öyrənəcəyik.
Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .
Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman 
, sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.
kimi bir vəzifəniz varsa 
, sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.
Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar
Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir və onun amilləri cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:
Sonra cəminin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:
Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:
Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz.
Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:
Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:
Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, 
, sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .
Əgər sinusların, kosinusların, tangenslərin və digər triqonometrik funksiyaların törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa, yəni funksiya nə zaman görünür , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .
Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulu və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərini fərqləndirmək qaydasından istifadə edərək əldə edirik:
Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn törəmələrin kalkulyatoru .
Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalların diferensiallaşdırılması qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:
Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.
3 və 5-ci düsturları özünüz sübut edin.
FƏRQLƏNMƏNİN ƏSAS QAYDALARI
Limitdən istifadə edərək törəmənin tapılmasının ümumi üsulundan istifadə edərək ən sadə diferensiallaşma düsturlarını əldə etmək olar. Qoy u=u(x),v=v(x)– dəyişənin iki diferensiallanan funksiyası x.
1 və 2-ci düsturları özünüz sübut edin.
Formula 3-ün sübutu.
Qoy y = u(x) + v(x). Arqument dəyəri üçün x+Δ x bizdə var y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).
Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.
Beləliklə,
Düsturun sübutu 4.
Qoy y=u(x)·v(x). Sonra y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Buna görə də
Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).
Qeyd edək ki, funksiyaların hər biri ildən u Və v nöqtədə fərqlənə bilər x, onda onlar bu nöqtədə davamlıdırlar, yəni u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), Δ-da x→0.
Ona görə də yaza bilərik
Bu xassə əsasında istənilən sayda funksiyaların hasilinin diferensiallaşdırılması qaydasını əldə etmək olar.
Qoy, məsələn, y=u·v·w. Sonra,
y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w ".
Formula 5-in sübutu.
Qoy . Sonra
Sübutda biz bundan istifadə etdik v(x+Δ x)→v(x)Δ-da x→0.
Nümunələr.
KOMPLEKS FUNKSİYANIN TÖRƏMƏSİ HAQQINDA TEOREM
Qoy y = f(u), A u= u(x). Funksiyanı alırıq y arqumentdən asılı olaraq x: y = f(u(x)). Sonuncu funksiyaya funksiya və ya funksiyası deyilir mürəkkəb funksiya.
Funksiya tərifi sahəsi y = f(u(x)) ya funksiyanın tərifinin bütün sahəsidir u=u(x) və ya dəyərlərin müəyyən edildiyi hissə u, funksiyanın təyini sahəsindən çıxmamaq y= f(u).
Funksiyadan funksiya əməliyyatı yalnız bir dəfə deyil, istənilən sayda yerinə yetirilə bilər.
Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını təyin edək.
Teorem.Əgər funksiyası u= u(x) nə vaxtsa var x 0 törəmədir və bu nöqtədə dəyəri alır u 0 = u(x 0) və funksiya y=f(u) nöqtəsində var u 0 törəmə y" u = f "(u 0), sonra mürəkkəb funksiya y = f(u(x)) müəyyən edilmiş nöqtədə x 0 bərabər olan törəmə də vardır y"x = f "(u 0)· u "(x 0), əvəzinə harada u ifadəsi əvəz edilməlidir u= u(x).
Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın törəməsi verilmiş funksiyanın aralıq arqumentinə görə törəməsinin hasilinə bərabərdir. u ilə bağlı ara arqumentin törəməsinə x.
Sübut. Sabit bir dəyər üçün X 0 bizdə olacaq u 0 =u(x 0), saat 0 =f(u 0 ). Yeni arqument dəyəri üçün x 0+Δ x:
Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).
Çünki u- bir nöqtədə diferensiallaşan x 0, Bu u- bu nöqtədə davamlıdır. Buna görə də, Δ x→0 Δ u→0. Eynilə Δ üçün u→0 Δ y→0.
Şərtlə 
. Bu əlaqədən həddin tərifindən istifadə edərək (Δ-da) alırıq u→0)
burada Δ-da α→0 u→0 və deməli, Δ-da x→0.
Bu bərabərliyi belə yenidən yazaq:
Δ y=y" uΔ u+α·Δ u.
Alınan bərabərlik Δ üçün də etibarlıdır u ixtiyari α üçün =0, çünki o, 0=0 eyniliyinə çevrilir. Δ-da u=0 α=0 qəbul edəcəyik. Yaranan bərabərliyin bütün şərtlərini Δ-a bölək x
.
Şərtlə 
. Buna görə də, Δ-da limitə keçmək x→0, alırıq y" x = y"u·u" x. Teorem sübut edilmişdir.
Beləliklə, mürəkkəb bir funksiyanı fərqləndirmək y = f(u(x)),“xarici” funksiyanın törəməsini götürmək lazımdır f, onun arqumentini sadəcə dəyişən kimi nəzərdən keçirin və müstəqil dəyişənə münasibətdə "daxili" funksiyanın törəməsi ilə çoxalın.
Əgər funksiyası y=f(x)şəklində təmsil oluna bilər y=f(u), u=u(v), v=v(x), onda y " x törəməsinin tapılması əvvəlki teoremin ardıcıl tətbiqi ilə həyata keçirilir.
Sübut edilmiş qaydaya görə, bizdə var y"x = y" u u"x. Eyni teoremin tətbiqi u"x alırıq, yəni.
y"x = y" x u" v v"x = f"sən( u)· u" v ( v)· v" x ( x).
Nümunələr.
ƏRS FUNKSİYA KONSEPSİYASI
Bir nümunə ilə başlayaq. Funksiyanı nəzərdən keçirin y= x 3. Biz bərabərliyi nəzərə alacağıq y= x 3 tənlik nisbi kimi x. Bu, hər bir dəyər üçün tənlikdir saat vahid dəyəri müəyyən edir x: . Həndəsi olaraq bu, hər düz xəttin oxa paralel olması deməkdir öküz funksiyanın qrafiki ilə kəsişir y= x 3 yalnız bir nöqtədə. Buna görə də nəzərdən keçirə bilərik x funksiyası kimi y. Funksiyaya funksiyanın tərsi deyilir y= x 3.
Ümumi işə keçməzdən əvvəl tərifləri təqdim edirik.
Funksiya y = f(x)çağırdı artır müəyyən bir seqmentdə, əgər arqumentin dəyəri daha böyükdürsə x bu seqmentdən funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gəlir, yəni. Əgər x 2 >x 1, onda f(x 2 ) > f(x 1 ).
Funksiya oxşar şəkildə çağırılır azalan, arqumentin daha kiçik qiyməti funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gəlirsə, yəni. Əgər X 2 < X 1, onda f(x 2 ) > f(x 1 ).
Beləliklə, artan və ya azalan bir funksiya verilsin y=f(x), müəyyən intervalda müəyyən edilmişdir [ a; b]. Müəyyənlik üçün artan funksiyanı nəzərdən keçirəcəyik (azalan üçün hər şey oxşardır).
İki fərqli dəyəri nəzərdən keçirin X 1 və X 2. Qoy y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Artan funksiyanın tərifindən belə çıxır ki, əgər x 1 <x 2, onda saat 1 <saat 2. Buna görə də iki fərqli dəyər X 1 və X 2 iki fərqli funksiya dəyərinə uyğundur saat 1 və saat 2. Bunun əksi də doğrudur, yəni. Əgər saat 1 <saat 2, onda artan funksiyanın tərifindən belə nəticə çıxır ki x 1 <x 2. Bunlar. yenə iki fərqli dəyər saat 1 və saat 2 iki fərqli dəyərə uyğundur x 1 və x 2. Beləliklə, dəyərlər arasında x və onların müvafiq dəyərləri y təkbətək yazışma qurulur, yəni. tənlik y=f(x) hər biri üçün y(funksiya diapazonundan götürülmüşdür y=f(x)) vahid dəyəri müəyyən edir x, və bunu deyə bilərik x müəyyən arqument funksiyası var y: x= g(y).
Bu funksiya deyilir tərs funksiyası üçün y=f(x). Aydındır ki, funksiya y=f(x) funksiyasının tərsidir x=g(y).
Qeyd edək ki, tərs funksiya x=g(y) tənliyini həll etməklə tapılır y=f(x) nisbətən X.
Misal. Funksiya verilsin y= e x. Bu funksiya –∞-də artır< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= log y. Tərs funksiyanın sahəsi 0< y < + ∞.
Gəlin bir neçə şərh edək.
Qeyd 1. Artan (və ya azalan) funksiya varsa y=f(x) intervalında davamlıdır [ a; b], və f(a)=c, f(b)=d, onda tərs funksiya müəyyən edilir və [ intervalında davamlıdır. c; d].
Qeyd 2.Əgər funksiyası y=f(x) müəyyən intervalda nə artır, nə də azalır, onda bir neçə tərs funksiyaya malik ola bilər.
Misal. Funksiya y=x2–∞ ilə müəyyən edilir<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funksiyası – azalır və onun tərsi.
Qeyd 3.Əgər funksiyaları y=f(x) Və x=g(y) qarşılıqlı tərsdirlər, onda dəyişənlər arasında eyni əlaqəni ifadə edirlər x Və y. Buna görə də hər ikisinin qrafiki eyni əyridir. Amma tərs funksiyanın arqumentini yenidən ilə işarə etsək x, və vasitəsilə funksiyası y və onları eyni koordinat sistemində tərtib etsək, iki fərqli qrafik alacağıq. Qrafiklərin 1-ci koordinat bucağının bissektrisasına nisbətən simmetrik olacağını görmək asandır.
TÖRƏMƏLİ TƏRS FUNKSİYA HAQQINDA TEOREM
Funksiyanın törəməsini tapmağa imkan verən teoremi sübut edək y=f(x), tərs funksiyanın törəməsini bilmək.
Teorem.Əgər funksiya üçün y=f(x) tərs funksiya var x=g(y), hansısa məqamda saat 0 törəməsi var g "(v 0), sıfırdan fərqli, sonra müvafiq nöqtədə x 0=g(x 0) funksiyası y=f(x) törəməsi var f "(x 0), bərabərdir, yəni. düstur düzgündür.
Sübut. Çünki x=g(y) nöqtədə fərqlənə bilər y 0, Bu x=g(y) bu nöqtədə davamlıdır, buna görə də funksiya y=f(x) bir nöqtədə davamlıdır x 0=g(y 0). Buna görə də, Δ x→0 Δ y→0.
Gəlin bunu göstərək 
.
Qoy . Sonra, limitin mülkiyyətinə görə 
. Gəlin bu bərabərliyi Δ nöqtəsindəki limitə keçirək y→0. Sonra Δ x→0 və α(Δx)→0, yəni. .
Beləliklə,
,
Q.E.D.
Bu düstur formada yazıla bilər.
Nümunələrdən istifadə edərək bu teoremin tətbiqinə baxaq.
Əsas elementar funksiyaların törəmələri üçün düsturları sübutsuz təqdim edirik:
1. Güc funksiyası: (x n)` =nx n -1 .
2. Eksponensial funksiya: (a x)` =a x lna(xüsusilə, (e x)` = e x).
3. Loqarifmik funksiya: (xüsusilə, (lnx)` = 1/x).
4. Triqonometrik funksiyalar:
(cosх)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sin 2 x
5. Tərs triqonometrik funksiyalar:
Sübut oluna bilər ki, güc-eksponensial funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturdan iki dəfə istifadə etmək, yəni onu həm mürəkkəb güc funksiyası, həm də mürəkkəb eksponensial funksiya kimi diferensiallaşdırmaq və nəticələri əlavə etmək lazımdır. : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
Daha yüksək dərəcəli törəmələr
Funksiya törəməsinin özü funksiya olduğu üçün onun törəməsi də ola bilər. Yuxarıda müzakirə edilən törəmə anlayışı birinci dərəcəli törəmələrə aiddir.
törəmən-ci sifariş(n- 1)-ci dərəcəli törəmənin törəməsi adlanır. Məsələn, f``(x) = (f`(x))` - ikinci dərəcəli törəmə (və ya ikinci törəmə), f```(x) = (f``(x))` - üçüncü dərəcəli törəmə ( və ya üçüncü törəmə) və s. Bəzən mötərizədə Roma ərəb rəqəmləri daha yüksək dərəcəli törəmələri ifadə etmək üçün istifadə olunur, məsələn, beşinci dərəcəli törəmə üçün f (5) (x) və ya f (V) (x).
Daha yüksək dərəcəli törəmələrin fiziki mənası birinci törəmə üçün olduğu kimi müəyyən edilir: onların hər biri əvvəlki düzənli törəmənin dəyişmə sürətini təmsil edir. Məsələn, ikinci törəmə birincinin dəyişmə sürətini təmsil edir, yəni. sürət sürəti. Düzxətli hərəkət üçün zamanın bir anında bir nöqtənin sürətlənməsi deməkdir.
Elastiklik funksiyası
Elastiklik funksiyası E x (y) y funksiyasının nisbi artımının x arqumentinin nisbi artımına nisbətinin həddidir, çünki sonuncu sıfıra meyl edir: 
.
Funksiyanın elastikliyi x müstəqil dəyişəni 1% dəyişdikdə y = f(x) funksiyasının təxminən neçə faiz dəyişəcəyini göstərir.
İqtisadi mənada bu göstərici ilə törəmə arasındakı fərq ondan ibarətdir ki, törəmənin ölçü vahidləri var və buna görə də onun dəyəri dəyişənlərin ölçüldüyü vahidlərdən asılıdır. Məsələn, istehsal həcminin vaxtından asılılığı müvafiq olaraq ton və aylarla ifadə edilirsə, onda törəmə ayda tonla həcmin marjinal artımını göstərəcək; bu göstəriciləri, deyək ki, kiloqram və günlərlə ölçsək, onda həm funksiyanın özü, həm də onun törəməsi fərqli olacaq. Elastiklik mahiyyətcə ölçüsüz kəmiyyətdir (faizlə və ya payla ölçülür) və buna görə də göstəricilərin miqyasından asılı deyildir.
Diferensiallanan funksiyalar haqqında əsas teoremlər və onların tətbiqi
Fermat teoremi. Əgər intervalda diferensiallanan funksiya bu intervalın daxili nöqtəsində ən böyük və ya minimum qiymətinə çatırsa, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfırdır.
Sübut yoxdur.
Ferma teoreminin həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, interval daxilində əldə edilən ən böyük və ya ən kiçik qiymət nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan absis oxuna paraleldir (Şəkil 3.3).
Rol teoremi. y =f(x) funksiyası aşağıdakı şərtləri ödəsin:
2) (a, b) intervalı üzrə diferensiallanan;
3) seqmentin uclarında bərabər qiymətlər alır, yəni. f(a) =f(b).
Onda funksiyanın törəməsinin sıfıra bərabər olduğu seqmentin içərisində ən azı bir nöqtə var.
Sübut yoxdur.
Rol teoreminin həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, funksiyanın qrafikinə toxunan absis oxuna paralel olacaq ən azı bir nöqtə var (məsələn, Şəkil 3.4-də iki belə nöqtə var).
Əgər f(a) =f(b) = 0 olarsa, Rol teoremi fərqli şəkildə tərtib oluna bilər: diferensiallanan funksiyanın iki ardıcıl sıfırı arasında törəmənin ən azı bir sıfırı var.
Rol teoremi Laqranj teoreminin xüsusi halıdır.
Laqranj teoremi. y =f(x) funksiyası aşağıdakı şərtləri ödəsin:
1) [a, b] intervalında davamlı;
2) (a, b) intervalı üzrə diferensiallanan.
Sonra seqmentin içərisində ən azı bir belə c nöqtəsi var ki, burada törəmə funksiya artımının bu seqmentdəki arqument artımına bölünməsi ilə bərabərdir: 
.
Sübut yoxdur.
Laqranj teoreminin fiziki mənasını başa düşmək üçün qeyd edək ki, 
bütün [a, b] intervalında funksiyanın orta dəyişmə sürətindən başqa bir şey deyil. Beləliklə, teorem seqmentin daxilində funksiyanın "ani" dəyişmə sürətinin bütün seqment üzrə orta dəyişmə sürətinə bərabər olduğu ən azı bir nöqtə olduğunu bildirir.
Laqranj teoreminin həndəsi mənası Şəkil 3.5-də göstərilmişdir. Qeyd edək ki, ifadə 
AB akkordunun yerləşdiyi düz xəttin bucaq əmsalını təmsil edir. Teorem göstərir ki, funksiyanın qrafikində ona toxunan ən azı bir nöqtə olacaq, bu zaman ona toxunan bu akkorda paralel olacaqdır (yəni, tangensin mailliyi - törəmə - eyni olacaqdır).
Nəticə: əgər müəyyən intervalda funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdirsə, funksiya bu intervalda eyni dərəcədə sabitdir.
Əslində intervalı götürək. Laqranj teoreminə görə, bu intervalda onun üçün c nöqtəsi var 
. Deməli f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = sabit.
L'Hopital qaydası. İki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyanın nisbətinin həddi, əgər sonuncu göstərilən mənada mövcuddursa, onların törəmələrinin nisbətinin həddi (sonlu və ya sonsuz) bərabərdir.
Başqa sözlə, əgər formada qeyri-müəyyənlik varsa 
, Bu 
.
Sübut yoxdur.
Limitləri tapmaq üçün L'Hopital qaydasının tətbiqi praktiki dərslərdə müzakirə olunacaq.
Funksiyanın artması (azalması) üçün kifayət qədər şərt. Əgər diferensiallanan funksiyanın törəməsi müəyyən intervalda müsbət (mənfi) olarsa, bu intervalda funksiya artır (azalır).
Sübut. Bu intervaldan iki x 1 və x 2 dəyərini nəzərdən keçirin (x 2 > x 1 olsun). [x 1, x 2] üzərindəki Laqran teoreminə görə c nöqtəsi var ki, orada Teorem sübut edilmişdir. Funksiyanın monotonluğu şərtinin həndəsi şərhi: əgər müəyyən intervalda əyriyə toxunanlar absis oxuna iti bucaqlara yönəldilirsə, onda funksiya artır, küt bucaqlarda isə azalır (bax Şəkil 3.6). ). Qeyd: monotonluq üçün zəruri şərt daha zəifdir. Əgər funksiya müəyyən intervalda artırsa (azalırsa), onda törəmə bu intervalda qeyri-mənfi (müsbət deyil) olur (yəni ayrı-ayrı nöqtələrdə monoton funksiyanın törəməsi sıfıra bərabər ola bilər). Törəmə hesablanması tez-tez Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarında olur. Bu səhifədə törəmələri tapmaq üçün düsturların siyahısı var. Mövzunu öyrənərkən rahatlıq və aydınlıq üçün xülasə cədvəlini təqdim edirik. Sabity = C Güc funksiyası y = x p (x p) " = p x p - 1 Eksponensial funksiyay = balta (a x) " = a x ln a Xüsusilə, nə vaxta = ebizdə var y = e x (e x) " = e x Loqarifmik funksiya (log a x) " = 1 x ln a Xüsusilə, nə vaxta = ebizdə var y = log x (ln x) " = 1 x Triqonometrik funksiyalar (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x Tərs triqonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Hiperbolik funksiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Göstərilən cədvəlin düsturlarının necə alındığını təhlil edək və ya başqa sözlə, hər bir funksiya növü üçün törəmə düsturların törəməsini sübut edəcəyik. Bu düsturu əldə etmək üçün bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin tərifini əsas götürürük. Biz x 0 = x istifadə edirik, burada x istənilən həqiqi ədədin qiymətini alır və ya başqa sözlə, x f (x) = C funksiyasının oblastından istənilən ədəddir. Funksiya artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini ∆ x → 0 kimi yazaq: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Nəzərə alın ki, 0 ∆ x ifadəsi limit işarəsinin altına düşür. Bu, "sıfırın sıfıra bölünməsi" qeyri-müəyyənliyi deyil, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər deyil, dəqiq sıfır var. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır. Beləliklə, f (x) = C sabit funksiyasının törəməsi bütün tərif dairəsi boyunca sıfıra bərabərdir. Misal 1 Sabit funksiyalar verilir: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Həll
Verilmiş şərtləri təsvir edək. Birinci funksiyada 3 natural ədədinin törəməsini görürük. Aşağıdakı nümunədə törəməni götürməlisiniz A, Harada A- istənilən real rəqəm. Üçüncü nümunə bizə irrasional 4 ədədinin törəməsini verir. 13 7 22, dördüncüsü sıfırın törəməsidir (sıfır tam ədəddir). Nəhayət, beşinci halda rasional kəsrin törəməsi var - 8 7. Cavab: verilmiş funksiyaların törəmələri istənilən real üçün sıfırdır x(bütün tərif sahəsi üzrə) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 Gəlin güc funksiyasına və onun törəməsinin düsturuna keçək, forması var: (x p) " = p x p - 1, burada eksponent səh istənilən real rəqəmdir. Sübut 2 Göstəricinin natural ədəd olduğu düsturun sübutu budur: p = 1, 2, 3, … Biz yenə də törəmənin tərifinə etibar edirik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini yazaq: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyutonun binom düsturundan istifadə edirik: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Beləliklə: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Beləliklə, eksponent natural ədəd olduqda güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut etdik. Sübut 3 Nə zaman iş üçün sübut təqdim etmək p- sıfırdan başqa istənilən həqiqi ədəd üçün loqarifmik törəmədən istifadə edirik (burada loqarifmik funksiyanın törəməsi ilə fərqi başa düşməliyik). Daha dolğun başa düşmək üçün loqarifmik funksiyanın törəməsini öyrənmək və əlavə olaraq gizli funksiyanın törəməsini və mürəkkəb funksiyanın törəməsini başa düşmək məsləhətdir. İki halı nəzərdən keçirək: nə vaxt x müsbət və nə vaxt x mənfi. Beləliklə, x > 0. Sonra: x p > 0 . y = x p bərabərliyini e əsasına loqarifm edək və loqarifmin xassəsini tətbiq edək: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x Bu mərhələdə biz üstüörtülü şəkildə müəyyən edilmiş funksiya əldə etdik. Onun törəməsini müəyyən edək: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 İndi biz nə vaxt vəziyyətə baxırıq x - mənfi rəqəm. Əgər göstərici səh cüt ədəddir, onda güc funksiyası x üçün müəyyən edilir< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Sonra x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Əgər səh tək ədəddir, onda güc funksiyası x üçün müəyyən edilir< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 Sonuncu keçid, əgər olması səbəbindən mümkündür səh onda tək rəqəmdir p - 1 ya cüt ədəd, ya da sıfır (p = 1 üçün), buna görə də mənfi üçün x(- x) p - 1 = x p - 1 bərabərliyi doğrudur. Beləliklə, biz istənilən real p üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut etdik. Misal 2 Verilən funksiyalar: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Onların törəmələrini təyin edin. Həll
Verilmiş funksiyaların bəzilərini dərəcənin xassələrinə əsaslanaraq cədvəl formasına çeviririk y = x p , sonra isə düsturdan istifadə edirik: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84 Tərifdən əsas götürərək törəmə formulunu çıxaraq: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Bizdə qeyri-müəyyənlik var. Onu genişləndirmək üçün z = a ∆ x - 1 (z → 0 kimi ∆ x → 0) olan yeni dəyişən yazaq. Bu halda, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Sonuncu keçid üçün yeni loqarifm bazasına keçid formulundan istifadə edilmişdir. Orijinal limiti əvəz edək: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z İkinci əlamətdar həddi xatırlayaq və sonra eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düstur alırıq: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a Misal 3 Eksponensial funksiyalar verilir: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Onların törəmələrini tapmaq lazımdır. Həll
Eksponensial funksiyanın törəməsi və loqarifmin xassələri üçün düsturdan istifadə edirik: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Hər hansı bir loqarifmik funksiyanın törəməsi üçün düsturun sübutunu təqdim edək x tərif sahəsində və loqarifmin a əsasının hər hansı icazə verilən dəyərləri. Törəmə tərifinə əsasən, əldə edirik: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Göstərilən bərabərlik zəncirindən aydın olur ki, çevrilmələr loqarifmin xassəsinə əsaslanırdı. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e bərabərliyi ikinci əlamətdar həddə uyğun olaraq doğrudur. Misal 4 Loqarifmik funksiyalar verilir: f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x Onların törəmələrini hesablamaq lazımdır. Həll
Alınan düsturu tətbiq edək: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x Beləliklə, natural loqarifmin törəməsi birinə bölünür x. Triqonometrik funksiyanın törəməsinin düsturunu əldə etmək üçün bəzi triqonometrik düsturlardan və ilk gözəl hədddən istifadə edək. Sinus funksiyasının törəməsinin tərifinə görə alırıq: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Sinusların fərqi düsturu bizə aşağıdakı hərəkətləri yerinə yetirməyə imkan verəcəkdir: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Nəhayət, ilk gözəl limitdən istifadə edirik: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x olacaq cos x. Kosinusun törəməsinin düsturunu da sübut edəcəyik: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Bunlar. cos x funksiyasının törəməsi olacaq – günah x. Diferensiasiya qaydalarına əsasən tangens və kotangens törəmələri üçün düsturları əldə edirik: t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x Tərs funksiyaların törəməsi bölməsində arksinus, arkkosinus, arktangens və arktangens törəmələri üçün düsturların isbatı haqqında geniş məlumat verilir, ona görə də biz burada materialı təkrar etməyəcəyik. Diferensiasiya qaydasından və eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturundan istifadə edərək hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangensin törəmələri üçün düsturlar əldə edə bilərik: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
. Beləliklə, f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Onda f`(c) > 0 üçün bərabərsizliyin sol tərəfi müsbətdir, yəni f(x 2) >f(x 1) və funksiya artır. f`(c)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Fərqləndirmə qaydaları
Linki yadda saxlamağınızı məsləhət görürük, çünki bu cədvəl dəfələrlə lazım ola bilər.
Sabitin törəməsi
Sübut 1 Güc funksiyasının törəməsi
Eksponensial funksiyanın törəməsi
Sübut 4 Loqarifmik funksiyanın törəməsi
Sübut 5 Triqonometrik funksiyaların törəmələri
Sübut 6 Tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri
Hiperbolik funksiyaların törəmələri
Sübut 7
Yüklənir...