Xətlərin eyni müstəvidə olduğunu yoxlayın. İki düz xəttin eyni müstəviyə aid olması şərti. Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Bu məqalə paralel xətlər və paralel xətlər haqqındadır. Əvvəlcə müstəvidə və fəzada paralel xətlərin tərifi verilir, qeydlər təqdim edilir, paralel xətlərin nümunələri və qrafik təsvirləri verilir. Sonra xətlərin paralelliyi üçün əlamətlər və şərtlər müzakirə olunur. Sonda düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə və üçölçülü fəzada xəttin müəyyən tənlikləri ilə verilən xətlərin paralelliyini sübut edən tipik problemlərin həlli yolları göstərilir.

Səhifə naviqasiyası.

Paralel xətlər - əsas məlumatlar.

Tərif.

Bir müstəvidə iki xətt deyilir paralel, əgər onların ortaq nöqtələri yoxdursa.

Tərif.

Üç ölçülü fəzada iki xətt deyilir paralel, əgər onlar eyni müstəvidə yerləşirlərsə və ümumi nöqtələri yoxdursa.

Nəzərə alın ki, fəzada paralel xətlərin tərifində “eyni müstəvidə yerləşirlərsə” bəndi çox vacibdir. Bu məqama aydınlıq gətirək: üçölçülü fəzada ortaq nöqtələri olmayan və eyni müstəvidə olmayan iki xətt paralel deyil, kəsişir.

Paralel xətlərin bəzi nümunələri. Notebook vərəqinin əks kənarları paralel xətlər üzərində yerləşir. Evin divarının müstəvisinin tavan və döşəmənin təyyarələrini kəsdiyi düz xətlər paraleldir. Düz zəmində olan dəmir yolu relsləri də paralel xətlər hesab edilə bilər.

Paralel xətləri qeyd etmək üçün “” simvolundan istifadə edin. Yəni a və b sətirləri paraleldirsə, onda qısaca a b yaza bilərik.

Diqqət edin: əgər a və b xətləri paraleldirsə, o zaman deyə bilərik ki, a xətti b xəttinə, həmçinin b xətti a xəttinə paraleldir.

Müstəvidə paralel xətlərin öyrənilməsində mühüm rol oynayan bir ifadəni səsləndirək: verilmiş xətt üzərində olmayan nöqtədən verilənə paralel yeganə düz xətt keçir. Bu müddəa fakt kimi qəbul edilir (planimetriyanın məlum aksiomları əsasında bunu sübut etmək mümkün deyil) və ona paralel xətlərin aksiomu deyilir.

Kosmosdakı vəziyyət üçün teorem etibarlıdır: fəzada verilmiş xətt üzərində olmayan istənilən nöqtədən verilənə paralel bir düz xətt keçir. Bu teorem yuxarıda göstərilən paralel xətlərin aksiomundan istifadə etməklə asanlıqla sübuta yetirilir (siz onun sübutunu məqalənin sonunda istinadlar siyahısında verilmiş 10-11-ci siniflər üçün həndəsə dərsliyində tapa bilərsiniz).

Kosmosdakı vəziyyət üçün teorem etibarlıdır: fəzada verilmiş xətt üzərində olmayan istənilən nöqtədən verilənə paralel bir düz xətt keçir. Bu teorem yuxarıdakı paralel xətt aksiomundan istifadə etməklə asanlıqla isbat edilə bilər.

Xətlərin paralelliyi - paralelliyin əlamətləri və şərtləri.

Xətlərin paralelliyinin əlaməti xətlərin paralel olması üçün kifayət qədər şərtdir, yəni yerinə yetirilməsi xətlərin paralel olmasına zəmanət verən şərtdir. Başqa sözlə, bu şərtin yerinə yetirilməsi xətlərin paralel olması faktını müəyyən etmək üçün kifayətdir.

Bir müstəvidə və üçölçülü fəzada xətlərin paralelliyi üçün də zəruri və kifayət qədər şərtlər vardır.

“Paralel xətlər üçün zəruri və kafi şərt” ifadəsinin mənasını izah edək.

Biz artıq paralel xətlər üçün kifayət qədər şərtlə məşğul olmuşuq. “Paralel xətlər üçün zəruri şərt” nədir? “Lazımlı” adından aydın olur ki, bu şərtin yerinə yetirilməsi paralel xətlər üçün zəruridir. Başqa sözlə, xətlərin paralel olması üçün zəruri şərt yerinə yetirilmirsə, o zaman xətlər paralel deyildir. Beləliklə, paralel xətlər üçün zəruri və kafi şərt yerinə yetirilməsi paralel xətlər üçün həm zəruri, həm də kafi olan şərtdir. Yəni bu, bir tərəfdən xətlərin paralelliyinə işarədirsə, digər tərəfdən bu, paralel xətlərin malik olduğu xüsusiyyətdir.

Xətlərin paralelliyi üçün zəruri və kifayət qədər şərt tərtib etməzdən əvvəl bir neçə köməkçi tərifi xatırlatmaq məsləhətdir.

Sekant xətti verilmiş iki üst-üstə düşməyən xəttin hər birini kəsən xəttdir.

İki düz xətt eninə ilə kəsişdikdə, səkkiz inkişaf etməmiş xətt əmələ gəlir. Sözdə çarpaz uzanan, uyğun Və birtərəfli açılar. Gəlin onları rəsmdə göstərək.

Teorem.

Bir müstəvidə iki düz xətt bir eninə ilə kəsişirsə, onların paralel olması üçün kəsişən bucaqların bərabər olması və ya uyğun bucaqların bərabər olması və ya birtərəfli bucaqların cəminin 180-ə bərabər olması zəruri və kifayətdir. dərəcə.

Bir müstəvidə xətlərin paralelliyi üçün bu zəruri və kifayət qədər şərtin qrafik təsvirini göstərək.

Xətlərin paralelliyi üçün bu şərtlərin sübutlarını 7-9-cu siniflər üçün həndəsə dərsliklərində tapa bilərsiniz.

Qeyd edək ki, bu şərtlər üçölçülü məkanda da istifadə oluna bilər - əsas odur ki, iki düz xətt və sekant eyni müstəvidə yerləşir.

Xətlərin paralelliyini sübut etmək üçün tez-tez istifadə olunan daha bir neçə teorem var.

Teorem.

Bir müstəvidə iki xətt üçüncü xəttə paraleldirsə, onlar paraleldirlər. Bu meyarın sübutu paralel xətlərin aksiomundan irəli gəlir.

Üçölçülü fəzada paralel xətlər üçün də oxşar vəziyyət mövcuddur.

Teorem.

Əgər fəzada iki xətt üçüncü xəttə paraleldirsə, deməli, onlar paraleldirlər. Bu meyarın sübutu 10-cu sinifdə həndəsə dərslərində müzakirə olunur.

Göstərilən teoremləri təsvir edək.

Müstəvidə xətlərin paralelliyini sübut etməyə imkan verən başqa bir teoremi təqdim edək.

Teorem.

Bir müstəvidə iki xətt üçüncü xəttə perpendikulyardırsa, onlar paraleldirlər.

Kosmosdakı xətlər üçün də oxşar bir teorem var.

Teorem.

Əgər üçölçülü fəzada iki xətt eyni müstəviyə perpendikulyardırsa, onda onlar paraleldirlər.

Bu teoremlərə uyğun şəkillər çəkək.

Yuxarıda verilmiş bütün teoremlər, meyarlar və zəruri və kifayət qədər şərtlər həndəsə üsullarından istifadə edərək xətlərin paralelliyini sübut etmək üçün əladır. Yəni verilmiş iki xəttin paralelliyini sübut etmək üçün onların üçüncü xəttə paralel olduğunu göstərmək və ya çarpaz uzanan bucaqların bərabərliyini göstərmək lazımdır və s. Orta məktəbdə həndəsə dərslərində bir çox oxşar məsələlər həll olunur. Lakin qeyd etmək lazımdır ki, bir çox hallarda müstəvidə və ya üçölçülü fəzada xətlərin paralelliyini sübut etmək üçün koordinat metodundan istifadə etmək rahatdır. Düzbucaqlı koordinat sistemində göstərilən xətlərin paralelliyi üçün zəruri və kifayət qədər şərtləri formalaşdıraq.

Düzbucaqlı koordinat sistemində xətlərin paralelliyi.

Məqalənin bu bəndində biz formalaşdıracağıq paralel xətlər üçün zəruri və kafi şərtlər düzbucaqlı bir koordinat sistemində, bu xətləri təyin edən tənliklərin növündən asılı olaraq və xarakterik problemlərin ətraflı həllini də təqdim edəcəyik.

Oxy düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə iki düz xəttin paralellik şərtindən başlayaq. Onun sübutu xəttin istiqamət vektorunun tərifinə və müstəvidə xəttin normal vektorunun təyininə əsaslanır.

Teorem.

Bir müstəvidə üst-üstə düşməyən iki xəttin paralel olması üçün bu xətlərin istiqamət vektorlarının kollinear olması və ya bu xətlərin normal vektorlarının kollinear olması və ya bir xəttin istiqamət vektorunun normala perpendikulyar olması zəruri və kifayətdir. ikinci xəttin vektoru.

Aydındır ki, müstəvidə iki xəttin paralellik şərti (xətlərin istiqamət vektorları və ya xətlərin normal vektorları) və ya (bir xəttin istiqamət vektoru və ikinci xəttin normal vektoru) aşağı salınır. Beləliklə, əgər və a və b xətlərinin istiqamət vektorlarıdırsa və Və müvafiq olaraq a və b sətirlərinin normal vektorlarıdır, onda a və b sətirlərinin paralelliyi üçün zəruri və kafi şərt belə yazılacaqdır. , və ya , və ya , burada t hansısa həqiqi ədəddir. Öz növbəsində, bələdçilərin və (və ya) a və b xətlərinin normal vektorlarının koordinatları xətlərin məlum tənliklərindən istifadə etməklə tapılır.

Xüsusilə, düzbucaqlı koordinat sistemindəki a düz xətti müstəvidəki Oxy formasının ümumi düz xətti tənliyini təyin edirsə. , və düz xətt b - , onda bu xətlərin normal vektorları müvafiq olaraq koordinatlara malikdir və a və b sətirlərinin paralellik şərti kimi yazılacaq.

Əgər a xətti bucaq əmsalı olan xəttin tənliyinə, b xətti isə - uyğun gəlirsə, bu xətlərin normal vektorlarının koordinatları və var və bu xətlərin paralellik şərti formasını alır. . Nəticə etibarilə, düzbucaqlı koordinat sistemindəki müstəvidəki xətlər paraleldirsə və bucaq əmsalları olan xətlərin tənlikləri ilə təyin oluna bilərsə, o zaman xətlərin bucaq əmsalları bərabər olacaqdır. Və əksinə: düzbucaqlı bir koordinat sistemində bir müstəvidə üst-üstə düşməyən xətlər bərabər bucaq əmsallı xəttin tənlikləri ilə təyin edilə bilərsə, belə xətlər paraleldir.

Düzbucaqlı koordinat sistemindəki a xətti və b xətti forma müstəvisində xəttin kanonik tənlikləri ilə müəyyən edilirsə Və , və ya formanın müstəvisində düz xəttin parametrik tənlikləri Və müvafiq olaraq bu xətlərin istiqamət vektorlarının koordinatları və olur və a və b sətirlərinin paralellik şərti kimi yazılır.

Bir neçə nümunənin həllinə baxaq.

Misal.

Xətlər paraleldir? Və ?

Həll.

Seqmentlərdə bir xəttin tənliyini xəttin ümumi tənliyi şəklində yenidən yazaq: . İndi bunun xəttin normal vektoru olduğunu görə bilərik , a xəttin normal vektorudur. Bu vektorlar kollinear deyillər, çünki bərabərliyi olan t həqiqi ədədi yoxdur ( ). Nəticə etibarilə, müstəvidə xətlərin paralelliyi üçün zəruri və kafi şərt təmin edilmir, ona görə də verilmiş xətlər paralel deyildir.

Cavab:

Xeyr, xətlər paralel deyil.

Misal.

Düz və paralel xətlər varmı?

Həll.

Düz xəttin kanonik tənliyini bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyinə endirək: . Aydındır ki, xətlərin və tənlikləri eyni deyil (bu halda verilmiş xətlər eyni olardı) və xətlərin bucaq əmsalları bərabərdir, ona görə də ilkin xətlər paraleldir.

Düz xətlər eyni müstəvidə yerləşir. 1) kəsişirsə; 2) paraleldirsə.

L 1: və L 2: xətləri üçün eyni müstəviyə aid olmaq  belə ki, vektorlar M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) və q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) müştərək idi. Yəni üç vektorun mütənasiblik şərtinə görə qarışıq hasil M 1 M 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Çünki iki xəttin paralellik şərti formaya malikdir: sonra L 1 və L 2  xətlərinin kəsişməsi üçün ki, onlar (8) şərtini ödəsinlər və ən azı nisbətlərdən biri pozulsun.

Misal. Xətlərin nisbi mövqelərini araşdırın:

L 1 düz xəttinin istiqamət vektoru q 1 =(1;3;-2). L 2 xətti 2 müstəvinin kəsişməsi kimi təyin olunur α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Çünki L 2 xətti hər iki müstəvidə yerləşir, deməli o və deməli onun istiqamət vektoru normallara perpendikulyardır n 1 Və n 2 . Beləliklə, istiqamət vektoru s 2 vektorların çarpaz məhsuludur n 1 Və n 2 , yəni. q 2 =n 1 X n 2 ==-i-3j+2k.

Bu. s 1 =-s 2 , Bu o deməkdir ki, xətlər ya paralel, ya da üst-üstə düşür.

Düz xətlərin üst-üstə düşüb-düşmədiyini yoxlamaq üçün M 0 (1;2;-1)L 1 nöqtəsinin koordinatlarını L 2 ümumi tənliklərinə əvəz edirik: 1-2+2+1=0 - səhv bərabərliklər, yəni. nöqtə M 0 L 2,

buna görə də xətlər paraleldir.

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Kanonik L tənliyi ilə verilmiş M 1 (x 1;y 1;z 1) nöqtəsindən L düz xəttinə qədər olan məsafəni vektor hasilindən istifadə etməklə hesablamaq olar.

Düz xəttin kanonik tənliyindən belə çıxır ki, M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L nöqtəsi və düz xəttin istiqamət vektoru q=(l;m;n)

Vektorlardan istifadə edərək paraleloqram quraq q Və M 0 M 1 . Onda M 1 nöqtəsindən L düz xəttinə qədər olan məsafə bu paraleloqramın h hündürlüyünə bərabərdir. Çünki S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, onda

h= (9)

Kosmosda iki düz xətt arasındakı məsafə.

L 1: və L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 və L 2 - keçid

d=

Düz xəttin və təyyarənin fəzada nisbi mövqeyi.

Kosmosda düz xəttin və təyyarənin yerləşməsi üçün 3 hal mümkündür:

düz xətt və müstəvi bir nöqtədə kəsişir;

düz xətt və müstəvi paraleldir;

düz xətt müstəvidə yerləşir.

Düz xətt onun kanonik tənliyi ilə, müstəvi isə ümumi ilə verilsin

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Düz xəttin tənlikləri M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L nöqtəsini və istiqamət vektorunu verir. q=(l;m;n) və müstəvi tənliyi normal vektordur n=(A;B;C).

1. Xəttlə müstəvinin kəsişməsi.

Əgər xətt və müstəvi kəsişirsə, onda xəttin istiqamət vektoru qα müstəvisinə paralel deyil və buna görə də müstəvinin normal vektoruna ortoqonal deyil n. Bunlar. onların nöqtə məhsulu nq≠0 və ya onların koordinatları vasitəsilə,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

M nöqtəsinin koordinatlarını təyin edək - L düz xətti ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtələri.

Xəttin kanonik tənliyindən parametrik tənliyə keçək: , tR

Bu münasibətləri müstəvi tənliyində əvəz edək

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – məlumdur, t parametrini tapaq:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

Am+Bn+Cp≠0 olarsa, onda tənliyin M nöqtəsinin koordinatlarını təyin edən unikal həlli var:

t M = -→ (11)

Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaq. Paralellik və perpendikulyarlıq şərtləri.

L düz xətti arasında φ bucağı :

bələdçi vektoru ilə q=(l;m;n) və müstəvi

: Normal vektor ilə Ах+Ву+Сz+D=0 n=(A;B;C) 0˚ (paralel xətt və müstəvi vəziyyətində) ilə 90˚ (perpendikulyar xətt və müstəvi vəziyyətində) arasında dəyişir. (Vektor arasındakı bucaq q və onun α) müstəvisinə proyeksiyası.

– vektorlar arasındakı bucaq q Və n.

Çünki L düz xətti ilə  müstəvisi arasındakı  bucaq  bucağını tamamlayır, onda sin φ=sin(-)=cos =- (φ bucağı kəskin sin φ=sin( olduğuna görə mütləq qiymət hesab olunur). L) düz xəttinin istiqamətindən asılı olaraq -) və ya sin φ =sin(+)

IV fəsil. Kosmosda düz xətlər və təyyarələr. Çoxüzlülər

§ 46. Məkanda xətlərin qarşılıqlı düzülüşü

Kosmosda iki fərqli xətt eyni müstəvidə yerləşə bilər və ya olmaya da bilər. Müvafiq nümunələrə baxaq.

A, B, C nöqtələri eyni düz xətt üzərində uzanmasın. Onların arasından bir təyyarə çəkək R və müstəviyə aid olmayan bəzi S nöqtəsini seçin R(Şəkil 130).

Onda AB və BC düz xətləri eyni müstəvidə, yəni müstəvidə yerləşir R, AS və CB düz xətləri eyni müstəvidə yatmır. Həqiqətən də, əgər onlar eyni müstəvidə yatsalar, onda A, B, C, S nöqtələri də bu müstəvidə yerləşəcək, bu, mümkün deyil, çünki S A, B, C nöqtələrindən keçən müstəvidə yatmır.

Eyni müstəvidə yerləşən və kəsişməyən iki fərqli xəttə paralel deyilir. Üst-üstə düşən xətlərə paralel deyilir. Düzdürsə 1 1 və 1 2 paralel, sonra yazın 1 1 || 1 2 .

Beləliklə, 1 1 || 1 2, ilk növbədə, bir təyyarə varsa R belə
1 1 R Və 1 2 R və ikincisi, və ya 1 1 1 2 = və ya 1 1 = 1 2 .

Eyni müstəvidə olmayan iki düz xəttə əyri xətlər deyilir. Aydındır ki, kəsişən xətlər kəsişmir və paralel deyildir.

Paralel xətlərin bir mühüm xassəsini sübut edək ki, bu da paralelliyin keçidi adlanır.

Teorem. Əgər iki xətt üçüncüyə paraleldirsə, deməli, onlar bir-birinə paraleldirlər.

Qoy 1 1 || 1 2 və 1 2 || 1 3. Bunu sübut etmək lazımdır 1 1 || 1 3

Düzdürsə 1 1 , 1 2 , 1 3 eyni müstəvidə yatır, onda bu müddəa planimetriyada sübut olunur. Düz xətləri fərz edəcəyik 1 1 , 1 2 , 1 3 eyni müstəvidə yatmayın.

Düz xətlər vasitəsilə 1 1 və 1 2 təyyarə çəkin R 1 və vasitəsilə 1 2 və 1 3 - təyyarə R 2 (Şəkil 131).

Qeyd edək ki, düz xətt 1 3 müstəvisinə aid olmayan ən azı bir M nöqtəsini ehtiva edir
R 1 .

Düz xətt üzərindən bir müstəvi çəkin və M nöqtəsini çəkin R 3, təyyarə ilə kəsişir R 2 düz xətt boyunca l. Gəlin bunu sübut edək l ilə üst-üstə düşür 1 3. Biz bunu “ziddiyyətlə” sübut edəcəyik.

Fərz edək ki, düz xətt 1 düz xətt ilə üst-üstə düşmür 1 3. Sonra 1 xətti kəsir 1 2 hansısa nöqtədə A. Bundan belə çıxır ki, təyyarə R 3 A nöqtəsindən keçir R 1 və düz 1 1 R 1 və buna görə də təyyarə ilə üst-üstə düşür R 1 . Bu nəticə M nöqtəsi ilə ziddiyyət təşkil edir R 3 təyyarəyə aid deyil R 1 .
Ona görə də bizim fərziyyəmiz yanlışdır və buna görə də 1 = 1 3 .

Beləliklə, düz xətlərin olduğu sübut edilmişdir 1 1 və 1 3 eyni müstəvidə uzanır R 3. Düz xətlərin olduğunu sübut edək 1 1 və 1 3 kəsişmir.

Həqiqətən, əgər 1 1 və 1 3 kəsişdi, məsələn, B nöqtəsində, sonra təyyarə R 2 düz xəttdən keçəcək 1 2 və B nöqtəsi vasitəsilə 1 1 və buna görə də üst-üstə düşür R 1, bu mümkün deyil.

Tapşırıq.İstiqamətli tərəfləri olan bucaqların bərabər ölçülərə malik olduğunu sübut edin.

MAN və M 1 A 1 N 1 bucaqlarının ortaq istiqamətli tərəfləri olsun: AM şüası A 1 M 1 şüası ilə, AN şüası isə A 1 N 1 şüası ilə birgə istiqamətləndirilir (şək. 132).

AM və A 1 M 1 şüaları üzərində uzunluğa bərabər olan AB və A 1 B 1 seqmentlərini yerləşdirəcəyik. Sonra

|| və |BB 1 | = |AA 1 |

paraleloqramın əks tərəfləri kimi.

Eynilə, AN və A 1 N 1 şüaları üzərində uzunluğa bərabər olan AC və A 1 C 1 seqmentlərini çəkəcəyik. Sonra

|| və |CC 1 | = |AA 1 |

Paralelliyin keçidindən belə çıxır ki, || . Və |BB 1 |-dən bəri = |CC 1 | , onda BB 1 C 1 C paraleloqramdır və buna görə də |BC| = |B 1 C 1 |.
Beləliklə, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 və .

"A alın" video kursu riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanını 60-65 balla uğurla vermək üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir. Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 bal toplayan tələbə, nə də humanitar elmlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Vahid Dövlət İmtahanının sürətli həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaqçı vərəqlər, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.

Kosmosda iki xətt üçün dörd hal mümkündür:

Düz xətlər üst-üstə düşür;

Xətlər paraleldir (lakin üst-üstə düşmür);

Xətlər kəsişir;

Düz xətlər kəsişir, yəni. ümumi nöqtələri yoxdur və paralel deyil.

Düz xətləri təsvir etməyin iki yolunu nəzərdən keçirək: kanonik tənliklər və ümumi tənliklər. L 1 və L 2 xətləri kanonik tənliklərlə verilsin:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y) 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Onun kanonik tənliklərindən hər bir xətt üçün dərhal onun üzərindəki nöqtəni M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2; z 2) ∈ L 2 və koordinatları təyin edirik. istiqamət vektorlarından s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1 üçün, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2 üçün.

Xətlər üst-üstə düşürsə və ya paraleldirsə, onda onların istiqamət vektorları s 1 və s 2 kollineardır ki, bu da bu vektorların koordinatlarının nisbətlərinin bərabərliyinə bərabərdir:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Xətlər üst-üstə düşürsə, M 1 M 2 vektoru istiqamət vektorlarına kollineardır:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Bu ikiqat bərabərlik həm də M 2 nöqtəsinin L 1 xəttinə aid olması deməkdir. Nəticə etibarilə xətlərin üst-üstə düşməsinin şərti (6.10) və (6.11) bərabərliklərinin eyni vaxtda ödənilməsidir.

Xətlər kəsişirsə və ya kəsişirsə, onda onların istiqamət vektorları kollinear deyil, yəni. (6.10) şərti pozulub. kəsişən xətlər eyni müstəvidə yerləşir və buna görə də vektorlar s 1 , s 2 və M 1 M 2-dir düzbucaqlıüçüncü dərəcəli determinant, onların koordinatlarından ibarətdir (bax 3.2):

(6.12) şərti dörd vəziyyətdən üçündə ödənilir, çünki Δ ≠ 0 üçün xətlər eyni müstəviyə aid deyil və buna görə də kəsişir.

Bütün şərtləri bir araya gətirək:

Xətlərin nisbi mövqeyi sistemin həlli sayı ilə xarakterizə olunur (6.13). Xətlər üst-üstə düşürsə, sistemin sonsuz sayda həlli var. Xətlər kəsişirsə, bu sistemin unikal həlli var. Paralel və ya kəsişmə halında, birbaşa həll yolları yoxdur. Son iki halı xətlərin istiqamət vektorlarını tapmaqla ayırmaq olar. Bunun üçün iki hesablamaq kifayətdir vektor rəsm n 1 × n 2 və n 3 × n 4, burada n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Əgər alınan vektorlar kollineardırsa, onda verilmiş xətlər paraleldir. Əks halda, onlar bir-birinə qarışır.

Misal 6.4.

L 1 düz xəttinin s 1 istiqamət vektoru bu düz xəttin kanonik tənliklərindən istifadə etməklə tapılır: s 1 = (1; 3; -2). L 2 düz xəttinin s 2 istiqamət vektoru kəsişməsi olan müstəvilərin normal vektorlarının vektor hasilindən istifadə etməklə hesablanır:

s 1 = -s 2 olduğundan, xətlər paralel və ya üst-üstə düşür. Bu vəziyyətlərdən hansının bu xətlər üçün həyata keçirildiyini öyrənək. Bunun üçün M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 nöqtəsinin koordinatlarını L 2 düz xəttinin ümumi tənliklərində əvəz edirik. Onlardan birincisi üçün 1 = 0 alırıq. Deməli, M 0 nöqtəsi L 2 xəttinə aid deyil və nəzərdən keçirilən xətlər paraleldir.

Düz xətlər arasındakı bucaq. İki düz xətt arasındakı bucağı istifadə edərək tapmaq olar istiqamət vektorları düz Düz xətlər arasındakı iti bucaq onların istiqamət vektorları arasındakı bucağa bərabərdir (şək. 6.5) və ya istiqamət vektorları arasındakı bucaq kütdürsə, ona əlavədir. Beləliklə, L 1 və L 2 xətləri üçün onların istiqamət vektorları s x və s 2 məlumdursa, bu xətlər arasındakı iti bucaq φ skalyar hasil vasitəsilə müəyyən edilir:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Məsələn, s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2 olsun. (2.9) və (2.14) düsturlarından istifadə edərək hesablamaq vektor uzunluğu və koordinatlarda skalyar hasil alırıq